(全国通用版)高考数学一轮复习选考部分不等式选讲课时分层作业七十六2证明不等式的基本方法理
高考文科数学一轮复习选修不等式选讲第二节证明不等式的基本方法课件
(理3)、作定差理法、与性作质商法:作差法是作差后与__比较,作商法是把两个_____作商后与__
比较.
结论
充分条件
已知条件或一个明显成立的事实
0
正数
1
2.基本不等式 (1)基本不等式判断大小的基本原则:积定_______,和定_______. (2)基本不等式使用的基本原则:_________和__最__小__. 积最大
第二节 证明不等式 的基本方法
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】
1.不等式的证明方法
(1)综合法:又叫顺推证法或由因导果法,方法是从__________________________
_______________等逐步推导出结论.
(2)分析法:又叫执果索因法,方法是从_____出发,逐已步知寻条找件结出论发成,利立用的定__义__、__公___, 直至所需条件为_____________________________.
提示:(1)×.不知道x的正负,不能直接用基本不等式. (2)×.作商比较法是商与1的大小比较. (3)√.综合法是从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等逐步推导出结论. (4)×.分析法是从结定三相等
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知x为实数,则1+x+ ≥3. ( ) (2)比较法最终要判断式子1的符号得出结论. ( ) (3)综合法是从原因推导到x结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理, 最后达到待证的结论. ( ) (4)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论 成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. ( )
全国通用近年高考数学一轮复习选考部分不等式选讲学案理(2021年整理)
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不等式选讲第1课绝对值不等式［过双基] 1．绝对值三角不等式定理1:如果a，b是实数，则｜a＋b｜≤｜a｜＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么｜a－c｜≤｜a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b）(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式｜x|〈a与｜x|〉a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a错误!∅∅|x|〉a错误!错误!R（2)｜ax＋b|≤①|ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3）|x－a｜＋|x－b｜≥c，|x－a｜＋｜x－b｜≤c（c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解．错误!1．不等式｜x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．解析：f(x）＝｜x＋1｜－|x－2｜＝错误!当－1<x〈2时，由2x－1≥1，解得1≤x<2.又当x≥2时，f（x)＝3>1,所以不等式的解集为错误!。
答案：｛x|x≥1}2．若存在实数x使｜x－a|＋｜x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|（x－a）－(x－1）｜＝｜a－1|,要使|x－a｜＋｜x－1|≤3有解，可使|a－1｜≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2，4］3．若不等式|kx－4|≤2的解集为错误!，则实数k＝________.解析:由|kx－4｜≤2⇔2≤kx≤6。
高考理科数学一轮复习分层练习选修-不等式的证明
[基础题组练]1．(2020·南阳模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12. 于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}． (2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥ |2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号， 所以M ＝[3，＋∞)．要证t 2＋1≥3t ＋3t ，即证t 2－3t ＋1－3t ≥0.而t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t. 因为t ∈M ，所以t －3≥0，t 2＋1>0， 所以（t －3）（t 2＋1）t ≥0.所以t 2＋1≥3t＋3t .2．(2020·榆林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求函数f (x )的最小值a ；(2)根据(1)中的结论，若m 3＋n 3＝a ，且m >0，n >0，求证：m ＋n ≤2.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|≥|x ＋1－(x －1)|＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0即－1≤x ≤1时取等号，所以f (x )min ＝2，即a ＝2.(2)证明：假设m ＋n >2，则m >2－n ，m 3>(2－n )3. 所以m 3＋n 3>(2－n )3＋n 3＝2＋6(1－n )2≥2.①由(1)知a ＝2，所以m 3＋n 3＝2.② ①②矛盾，所以m ＋n ≤2.3．(2020·宣城模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|，集合A ＝{x |f (x )<3}． (1)求集合A ；(2)若实数s ，t ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪1－t s <⎪⎪⎪⎪t －1s . 解：(1)函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x <－12，x ＋3，－12≤x <2，3x －1，x ≥2.首先画出y ＝f (x )与y ＝3的图象如图所示．可得不等式f (x )<3的解集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <0.(2)证明：因为实数s ，t ∈A ，所以s ，t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0. 所以⎝⎛⎭⎫1－t s 2－⎝⎛⎭⎫t －1s 2＝1＋t 2s 2－t 2－1s 2＝1s2(1－t 2)·(s 2－1)<0， 所以⎝⎛⎭⎫1－t s 2<⎝⎛⎭⎫t －1s 2，所以⎪⎪⎪⎪1－t s <⎪⎪⎪⎪t －1s . 4．(2020·重庆模拟)已知关于x 的不等式|2x |＋|2x －1|≤m 有解． (1)求实数m 的取值范围；(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝m ，证明：a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b ≥13.解：(1)|2x |＋|2x －1|≥|2x －(2x －1)|＝1，当且仅当2x (2x －1)≤0即0≤x ≤12时取等号，故m ≥1.所以实数m 的取值范围为[1，＋∞)． (2)证明：由题知a ＋b ≥1，又⎝⎛⎭⎫a 2a ＋2b ＋b22a ＋b (a ＋2b ＋2a ＋b )≥(a ＋b )2， 所以a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b ≥13(a ＋b )≥13.[综合题组练]1．设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1＜x ＜1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2， 只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1， 所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.2．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]． (1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 解：(1)因为f (x )＝k －|x －3|， 所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]． 因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]． 因此k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，因为a ，b ，c 为正实数，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋a 2b ＋a 3c ＋2b a ＋2b 3c ＋3c a ＋3c2b＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c 2b≥3＋2a 2b ·2b a ＋2a 3c ·3c a ＋22b 3c ·3c2b＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立． 因此a ＋2b ＋3c ≥9.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1. (1)求证：|b |≤1；(2)若f (0)＝－1，f (1)＝1，求实数a 的值．解：(1)证明：由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ， 所以b ＝12[f (1)－f (－1)]．因为当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1， 所以|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，所以|b |＝12|f (1)－f (－1)|≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1.(2)由f (0)＝－1，f (1)＝1可得c ＝－1，b ＝2－a ， 所以f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.当a ＝0时，不满足题意，当a ≠0时， 函数f (x )图象的对称轴为x ＝a －22a ，即x ＝12－1a. 因为x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1，即|f (－1)|≤1，所以|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2. 所以－12≤12－1a ≤0，故|f ⎝⎛⎭⎫12－1a |＝ |a ⎝⎛⎭⎫12－1a 2＋(2－a )⎝⎛⎭⎫12－1a －1|≤1. 整理得|（a －2）24a ＋1|≤1，所以－1≤（a －2）24a ＋1≤1，所以－2≤（a －2）24a ≤0，又a ＞0，所以（a －2）24a ≥0，所以（a －2）24a＝0，所以a ＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析 当b a为负时，①不成立． 当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案 －1解析 因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1， 所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析 方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0， 即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析 因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析 对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437， 当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2， 所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， 当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2， 即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案 27解析 因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1， 所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号， 所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233， 即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确； 因为a ＋b ≥2ab >0， 所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________． 答案 174解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 3＋2 2解析 因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1， 即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”， 所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。
高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明习题课件
S<a＋a b＋a＋b b＋c＋c d＋c＋d d＝2，]若 x1，x2，x3∈(0，＋∞)，则 3
个数xx12，xx23，xx31的值(
)
A．至多有一个不大于 1
B．至少有一个不大于 1
C．都大于 1
D．都小于 1
解析 故选 B.
解法一：设 x1≤x2≤x3，则xx12≤1，xx23≤1，xx31≥1.
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
2019/5/24
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4．已知 a，b∈R，a2＋b2＝4，则 3a＋2b 的取值范围 是____[－__2___1_3_，__2__1_3_]___．
解析 根据柯西不等式 (ac ＋ bd)2≤(a2 ＋ b2)·(c2 ＋ d2) ， 可 得 (3a ＋ 2b)2≤(a2 ＋ b2)·(32＋22) ∴－2 13≤3a＋2b≤2 13. 3a＋2b∈[－2 13，2 13]．
[B 级 能力达标]
全国通用版2019版高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲第2课不等式证明课件理
当－12<x<12时，f(x)<2 恒成立；当 x≥12时，由 f(x)<2 得 2x<2， 解得 x<1.所以 f(x)<2 的解集 M＝{x|－1<x<1}．
解析：∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0， ∴n≥m. 答案：n≥m
2．若 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的
a，b 恒成立的是________(填序号)．
①ab≤1；② a＋ b≤ 2； ③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；
⑤1a＋1b≥2.
(2)a＋1a2＋b＋1b2＝4＋a2＋b2＋a12＋b12 ＝4＋a2＋b2＋a＋a2b2＋a＋b2b2 ＝4＋a2＋b2＋1＋2ab＋ba22＋ba22＋2ba＋1 ＝4＋(a2＋b2)＋2＋2ab＋2ba＋ab22＋ab22 ≥6＋a＋2 b2＋4＋2＝225， 当且仅当 a＝b＝12时，等号成立， 所以a＋1a2＋b＋1b2≥225.
[即时演练] 求证：当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2. 证明：法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1) ＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(2x3－2x＋x－1) ＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]＝(x－1)2(2x2＋2x＋1) ＝(x－1)22x＋122＋12≥0，所以 1＋2x4≥2x3＋x2. 法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1 ＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，所以 1＋2x4≥2x3＋x2.
＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，
2023年高考数学(理科)一轮复习——不等式选讲 第二课时 不等式的证明
(2)用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4. 证明 不妨设max{a，b，c}＝a. 因为abc＝1，a＝－(b＋c)， 所以a>0，b<0，c<0. 由 bc≤（b＋4 c）2，可得 abc≤a43， 当且仅当 b＝c＝－2a时取等号， 故 a≥3 4，所以 max{a，b，c}≥3 4.
索引
感悟提升
1.比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论. (2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论. 2.利用放缩法证明不等式时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.
索引
训练1 (1)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为 __M_≥__N___. 解析 M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b) ＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b) ＝(a－b)(a＋b)(2a＋b). 因为a≥b＞0， 所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 logx10＋lg x＝lg1x＋lg x≥2(x>1)，①正确； ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确； 因为 ab≠0，ab与ba同号， 所以ba＋ab＝ba＋ab≥2，③正确； 由|x－1|＋|x－2|的几何意义知， |x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确.
索引
(2) bac＋ abc＋ acb≥ 3( a＋ b＋ c).
证明
bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c.
2021年高考数学一轮复习不等式选讲证明不等式的基本方法课时提升作业理选修
2021年高考数学一轮复习不等式选讲2证明不等式的基本方法课时提升作业理选修1.已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.【证明】2a3-b3-(2ab2-a2b)=(2a3-2ab2)+(a2b-b3)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a+b)(a-b)(2a+b),因为a≥b>0,所以a+b>0,a-b≥0,2a+b>0,所以(a+b)(a-b)(2a+b)≥0,所以2a3-b3-(2ab2-a2b)≥0,所以2a3-b3≥2ab2-a2b.2.(xx·长沙模拟)设函数f(x)=|x+a2|+|x-b2|,其中a,b为实数.(1)若a2+b2-2a+2b+2=0,解关于x的不等式f(x)≥3.(2)若a+b=4,证明:f(x)≥8.【解析】(1)由a2+b2-2a+2b+2=0,可得(a-1)2+(b+1)2=0,故a=1,b=-1;于是有f(x)=|x+1|+|x-1|=所以f(x)≥3的解集为∪.(2)f(x)=|x+a2|+|x-b2|≥|a2+b2|=a2+b2,由于a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2=16,故a2+b2≥8,即f(x)≥8得证.【加固训练】已知实数x,y满足:<,<,求证:<.【证明】因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.3.设a,b,c均为正实数,试证明不等式++≥++,并说明等号成立的条件.【证明】因为a,b,c均为正实数,所以≥≥,当且仅当a=b时等号成立;≥≥,当且仅当b=c时等号成立;≥≥,当且仅当a=c时等号成立.三个不等式相加,得++≥++,当且仅当a=b=c时等号成立.4.(xx·洛阳模拟)已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).(1)求++的最小值.(2)求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.【解析】(1)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),所以++≥3·=3·≥3·=3·=6.当且仅当==,a=b,即a=b=且x1=x2=1时,++有最小值6.(2)方法一:因为a,b∈(0,+∞),x1,x2∈(0,+∞),由柯西不等式可得: (ax1+bx2)(ax2+bx1)=[()2+()2]·[()2+()2]≥(·+·)2=(a+b)2=x1x2,当且仅当=,即x1=x2时取得等号.方法二:因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)=a2x1x2+ab+ab+b2x1x2=x1x2(a2+b2)+ab(+)≥x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2)=x1x2(a2+b2+2ab)=x1x2(a+b)2=x1x2,当且仅当x1=x2时,取得等号.5.(xx·唐山模拟)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.(1)证明:<.(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.【解析】(1)记f(x)=|x-1|-|x+2|=由-2<-2x-1<0,解得-<x<,则M=.所以≤|a|+|b|<×+×=.(2)由(1)得a2<,b2<.因为|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=(4a2-1)(4b2-1)>0,所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.【加固训练】已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8.(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f.【解析】(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;当-3≤x<1时,4≥8不成立;当x≥1时,由2x+2≥8,解得x≥3.所以原不等式的解集为{x|x≤-5或x≥3}. (2)要证f(ab)>|a|f,即证|ab-1|>|a-b|.因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)·(b2-1)>0,即|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.6.已知△ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,证明:∠B为锐角.【证明】要证明∠B为锐角,根据余弦定理,也就是证明cosB=>0,即需证a2+c2-b2>0.由于a2+c2-b2≥2ac-b2,要证a2+c2-b2>0.只需证2ac-b2>0.因为a,b,c的倒数成等差数列,所以+=,即2ac=b(a+c).所以要证2ac-b2>0.只需证b(a+c)-b2>0,即b(a+c-b)>0.上述不等式显然成立.所以∠B必为锐角.【加固训练】1.已知a>0,求证:-≥a+-2.【证明】要证-≥a+-2,只需证+2≥a++,只需证a2++4+4≥a2++2+2+2,即证2≥,只需证4≥2,即证a2+≥2,此式显然成立.所以原不等式成立.2.(xx·芜湖模拟)已知a,b为正实数.(1)求证:+≥a+b.(2)利用(1)的结论求函数y=+(0<x<1)的最小值.【解析】(1)方法一:因为a>0,b>0,所以(a+b)=a2+b2++≥a2+b2+2ab=(a+b)2.所以+≥a+b,当且仅当a=b时等号成立.方法二:因为+-(a+b)====.因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥a+b.(2)因为0<x<1,所以1-x>0,由(1)的结论,函数y=+≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x,即x=时等号成立.所以函数y=+(0<x<1)的最小值为1.3.(xx·保定模拟)设函数f(x)=|x-a|+1,a∈R.(1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|.(2)若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2.【解析】(1)方法一:当x≥4时2x+1-(x-4)=x+5>0得x>-5,所以x≥4成立,当-≤x<4时,2x+1+x-4=3x-3>0得x>1,所以1<x<4成立,当x<-时,-x-5>0得x<-5,所以x<-5成立,综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.方法二:当a=4时,不等式f(x)<1+|2x+1|,即为|x-4|<|2x+1|,两边平方得x2-8x+16<4x2+4x+1,解得x>1或x<-5,所以不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.(2)依题意可知|x-a|≤1⇒a-1≤x≤a+1,所以a=1,即+=1(m>0,n>0),所以m+2n=(m+2n)·=3++≥3+2,当且仅当m=1+,n=1+时取等号.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，在异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ＋y －3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析 将点(0,0)代入x －y ＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x －y ＋1<0所表示的平面区域内， 将点(0,0)代入x ＋y －3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x ＋y －3≥0所表示的平面区域内， 所以表示的平面区域不包括原点，排除A ，C ；x －y ＋1<0不包括边界，用虚线表示，x ＋y －3≥0包括边界，用实线表示，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 92解析 根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z ＝x ＋2y 经过点⎝⎛⎭⎫32，32时，z 取最大值为92.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥1，y ＋1≥0表示的平面区域的面积为______．答案 3解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，即B (0，－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即C (3，－1)， S △ABC ＝12×|3－0|×|1－(－1)|＝3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x >m 表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，3)解析 根据题意，先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，可得A (3,4)， 要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3， 所以m 的取值范围为(－∞，3)．教师备选已知点A (3,0)，B (－3,2)，若直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－13，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析 因为直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点， 所以点A 和点B 不同在直线的一侧， 所以(3a －0－1)(－3a －2－1)≤0， 解得a ≤－1或a ≥13.即a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两个部分，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B (0,5)，因为直线y ＝kx ＋2过定点C (0,2)， 所以C 点在可行域内，要使直线y ＝kx ＋2将可行域分成面积相等的两部分， 则直线y ＝kx ＋2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎝⎛⎭⎫32，12，即A ⎝⎛⎭⎫32，12， 所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34，114，将D 的坐标代入直线y ＝kx ＋2，得114＝34k ＋2，解得k ＝1.题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12 D.110答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 所以A (－1,1)，z min ＝－1－12＝－32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，则y ＋1x －2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－13 B.⎣⎡⎦⎤－2，－32 C.⎣⎡⎦⎤－2，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，2 答案 A解析 作出点P (x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，y ＋1x －2表示动点P 与定点Q (2，－1)连线的斜率． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.于是k QE ＝1＋11－2＝－2，k QF ＝0＋1－1－2＝－13.因此－2≤y ＋1x －2≤－13.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.45 C.255 D ．2答案 B解析 结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x －1)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方， 又(1,0)到直线2x －y ＝0的距离为25， 故(x －1)2＋y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y －3≤0，y ≥k x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则k 等于( )A ．3B ．5 C.12 D.14答案 A解析 由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示，作直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，只有当l 过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值， 易知B (2，－k )， ∴4－k ＝1，解得k ＝3. 教师备选1．(2022·六安模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y －2≥0，x ＋y －5≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 C解析 不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ， 作出直线y ＝－2x ，向上平移过点C 时，z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8. 2．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．答案 10解析 根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2是指可行域内的动点(x ，y )与定点(0,0)之间的距离的平方， 由图可知，点P 到原点O 的距离的平方最大，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以P (1,3)， 故z max ＝12＋32＝10.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.答案 3解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝a ，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，∴A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.①当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，x ＝z 无最小值，不满足题意； ②当a <0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，要使z 最小，则直线y ＝－1a x ＋za 在y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；③当a >0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，由图可知，当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，此时，－1a ≥－1，即a ≥1，此时z ＝a －12＋a ·a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.即a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝3或a ＝－5(舍)． 思维升华 常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2)，点B (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1，则OA →·OB →的取值范围是________． 答案 [1,5]解析 作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝OA →·OB →，则z ＝x ＋2y ， 将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z 2，由图象可得，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (1,2)时，z 取最大值，最大值为5.当直线y ＝－12x ＋z2过点C (1,0)时，z 取最小值，最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5]．(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，y －2≥0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值是______． 答案 52解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，其中k ＝y ＋1x ＋1表示可行域内点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 由图可得k min ＝k CQ ＝2＋13＋1＝34， 所以z min ＝1＋2×34＝52.(3)(2022·金华模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l ：y －ax ＝0，在z ＝y －ax 中，y ＝ax ＋z ，a 是斜率，z 是纵截距，直线向上平移，z 增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l 与AB 或AC 平行， 所以a ＝－1或a ＝2.题型三 实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A ．150元 B ．170元 C ．180元 D ．200元答案 B解析 设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤350，10x ＋20y ≤250，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤35，x ＋2y ≤25，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，小马派送完毕获得的工资z ＝8x ＋10y (元)， 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，x ＋2y ＝25，解得x ＝15，y ＝5， 所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值， 故z max ＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元． 教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A ．180 000元 B ．216 000元 C ．189 000元 D ．256 000元答案 B解析 设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，获利z 元． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y ，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．将z ＝2 100x ＋900y 化为y ＝－73x ＋z900，由图象可得，当直线y ＝－73x ＋z900过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.3y ＝90，5x ＋3y ＝600，得M (60,100)，∴z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)， ∴利润最大为216 000元．思维升华 解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( ) A ．2 400元 B ．2 560元 C ．2 816元 D ．4 576元答案 B解析 设甲型车x 辆，乙型车y 辆，运送这批水果的费用为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180，x ∈N ，y ∈N目标函数z ＝320x ＋504y ， 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．作直线320x ＋504y ＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z 取得最小值， 即z min ＝8×320＋0×504＝2 560(元)．课时精练1．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y <0表示的平面区域记为F ，则属于F 的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析 将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0，2>0，故不在区域F 内，将点(－1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，0＝0，故不在区域F 内，将点(－1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0，－2<0，故在区域F 内，将点(1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0，0＝0，故不在区域F 内．2．(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A ．12B ．6C ．9D ．15 答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，x －y ＝0得A (3,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋y ＝0得B (3，－3)， 所以可行域的面积为12×3×6＝9.3．(2021·全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4 答案 C解析 方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即点A 的坐标为(1,3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1,3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3,1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6,10,18，所以比较可知z min ＝6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6.②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立． 4．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C 符合题意．5．(2022·长沙模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[－3,0]D ．[－3，－1]答案 A解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即B (1，－1)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过原点时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，为2×0－0＝0；当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，为2×1－(－1)＝3， ∴z ＝2x －y 的取值范围是[0,3]．6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件 C ．甲4件，乙5件 D ．甲2件，乙6件答案 D解析 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 件，利润为z 元，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ，y ∈N ，z ＝x ＋1.8y ，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，结合实际情况，显然当y ＝－59x ＋59z 经过整点A (2，6)时，z 最大．7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －6≤0，x ＋y －1≥0，2x －y ＋1≥0，则z ＝y －1x ＋1的最大值是( )A.127 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1,1)的连线的斜率， 由图可知z ＝y －1x ＋1的最大值在A 点取得，由⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝0，2x －y ＋1＝0， 得A (6,13)， 所以z max ＝13－16＋1＝127.8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案 答案 D解析 设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤200，3x ≤y ，x ≥2，作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，2≤x ≤4,6≤y ≤16，故x 可取2,3,4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品， 购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A ，B ，C 正确； 当x ＝2时，y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种， 当x ＝3时，y 可取9,10,11,12,13,14，共6种， 当x ＝4时，y 可取12，共1种， 故共有11＋6＋1＝18(种)，故D 不正确．9．已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，则实数b 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3)解析 因为点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，所以1＋2＋b <0，解得b <－3. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，则2y4x 的最小值为________． 答案 18解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，2y 4x ＝2y －2x，若使2y －2x 最小，需y －2x 最小． 令z ＝y －2x ，则y ＝2x ＋z ， z 表示直线在y 轴上的截距，根据平移知，当x ＝3，y ＝3时，z ＝y －2x 有最小值为－3， 则2y 4x 的最小值为2－3＝18. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________． 答案 －4解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,6)，B (1,0)，C (－1,2)．由于直线y ＝k (x －1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，所以当直线y ＝k (x －1)过线段AC 的中点D (0,4)时，△ABD 和△BCD 的面积相等， 此时k ＝k BD ＝4－00－1＝－4.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元． 答案 780解析 设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台， 则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，12x ＋10y ≥100，0<x ≤7，0<y ≤5，画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，z max ＝780.13．(2022·郑州模拟)已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的平面区域内的任意一点，且M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a ，则a 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．10 答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，即点A (－3,1)，同理可得B (3,1)，C (0，－2)， 且OA ＝OB ＝10，OC ＝2，x 2＋y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ，y )的距离的平方，由图可知，当点M 与点A 或点B 重合时，OM 取最大值，故x 2＋y 2的最大值为10， ∴a ≥10，即a 的最小值为10.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ，且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析 根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，由图可知，当直线经过点D 时，直线在y 轴上的截距最小， 此时z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝y ，可得D (1,1)， 所以z ＝2x －y 的最大值是1；当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z ＝2x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝a ，可得B (a ,2－a )， 所以z ＝2x －y 的最小值是3a －2， 因为z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍， 所以6a －4＝1，解得a ＝56.15．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，且目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，1 D ．(－∞，1]答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,2)，B (4,2)，C (3,1)，由z ＝kx －y ，将直线l ：y ＝kx －z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为－z ， 因此直线在y 轴上截距最小时，目标函数z 达到最大值． 因为当且仅当l 经过点C (3,1)时，目标函数z 达到最大值， 所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间， k AC ＝1－23－1＝－12，k BC ＝2－14－3＝1，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 16．(2022·宜春模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则2y 2－xy x 2的最小值是________． 答案 －18解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k ＝yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率， 由图象可知，OA 的斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，x ＋2y －6＝0得A (2,2)， ∴0≤k ≤1，∴2y 2－xy x 2＝2⎝⎛⎭⎫y x 2－y x＝2k 2－k ＝2⎝⎛⎭⎫k －142－18≥－18⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝14时，取到最小值.。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《利用导数证明不等式》课件
(2)当 x≥0 时，求证：f(x)＋x＋1≥12x2＋cos x.
1234
要证 f(x)＋x＋1≥12x2＋cos x， 即证 ex－12x2－cos x≥0， 设 g(x)＝ex－12x2－cos x，要证原不等式成立，即证 g(x)≥0 成立， ∵g′(x)＝ex－x＋sin x，sin x≥－1， ∴g′(x)＝ex－x＋sin x≥ex－x－1
1234
2.(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex－x－1. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
易知函数f(x)的定义域为R， ∵f(x)＝ex－x－1，∴f′(x)＝ex－1， 令f′(x)>0，解得x>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 令f′(x)<0，解得x<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减， 即f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)， ∴函数f(x)的极小值为f(0)＝0，无极大值.
(2)求证：当x>0时，ex>2sin x.
由(1)知，当a＝1时，f(x)＝x－sin x为增函数， 当x>0时，f(x)>f(0)＝0⇒x>sin x， 要证当x>0时，ex>2sin x，只需证当x>0时，ex>2x， 即证ex－2x>0在(0，＋∞)上恒成立， 设g(x)＝ex－2x(x>0)，则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0解得x＝ln 2， ∴g(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)>0， ∴g(x)≥g(ln 2)>0，∴ex>2x成立，故当x>0时，ex>2sin x.
高考数学一轮复习第十五章不等式选讲课件文
x
4,
x
3 2
,
y=f(x)的图象如图所示.
(6分)
(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x= 13或x=5, (8分)
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};
f(x)<-1的解集为 x |
x
1 3
或x
5.
(9分)
所以|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立.
2.绝对值三角不等式 定理1:若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:若a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 等号成立⇔(a-b)(b-c)≥0,即b落在a,c之间. 推论1:||a|-|b||≤|a+b|; 推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
所以|f(x)|>1的解集为 x |
x
1 3
或1
x
3或x
5
.
(10分)
方法 2 证明不等式的方法
1.用比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是:①作差; ②变形;③判断差的符号;④下结论.其中“变形”是证明的关键,一般通 过因式分解或配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式. 2.在证明不等式时,分析法与综合法常常联合使用,实际上是以分析法为 主,借助综合法,使证明的问题明朗化,此种方法称为分析综合法.分析综 合法的实质是既充分利用已知条件,又时刻不忘解题目标,兼顾条件与 结论,便于找到解题途径. 例2 (2017福建福州八中第六次质检,23)已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(全国通用版)高考数学一轮复习选考部分不等式选讲课时分层作业七十六2证明不等式的基本方法理
课时分层作业七十六证明不等式的基本方法(45分钟60 分)1.(10分)已知a>0,b>0,求证:+≥+.【证明】因为-(+)=+=+==≥0,所以原不等式建立.【一题多解】因为÷ (+)===-1 ≥-1=1.又 a>0,b>0,>0.所以+≥+.2.(10分)已知a, b,c是全不相等的正实数, 求证 :++>3.【解题指南】依据a,b,c全不相等,推测出与,与,与全不相等,而后利用基本不等式求得+ >2, + >2, + >2, 三式相加整理求得++>3, 原式得证 .【证明】因为 a,b,c全不相等,所以与,与,与全不相等,所以+ >2, + >2, + >2,三式相加得 , + + + + +>6,所以++>3,即++>3.【变式备选】(2018 ·南阳模拟 ) 已知函数 f(x)=k-|x-3|,k∈ R,且f(x+3)≥ 0的解集为[-1,1].(1)求 k 的值 .(2) 若 a,b,c是正实数,且++=1, 求证 :a+2b+3c ≥9.【解析】 (1) 因为 f(x)=k-|x-3|,所以 f(x+3)≥ 0等价于|x|≤k,由 |x| ≤ k 有解 , 得 k≥ 0, 且解集为 [-k,k].因为 f(x+3)≥ 0的解集为[-1,1].所以k=1.(2) 由 (1) 知++=1, 因为 a,b,c为正实数.所以 a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=2b=3c 时, 等号建立 .所以 a+2b+3c≥ 9.3.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=1,求证:·≥9., 运用已知和基本不等式可得证, 也能够用x+y代替“ 1”, 化简左侧,【解题指南】可将所证不等式左侧睁开而后再用基本不等式.【证明】因为 x>0,y>0,所以 1=x+y≥ 2. 所以 xy ≤.所以=1+++=1++=1+≥ 1+8=9.当且仅当x=y=时,等号建立.【一题多解】因为x+y=1,x>0,y>0,所以===5+2≥5+2× 2=9.当且仅当x=y=时,等号建立.4.(10分)某同学在一次研究性学习中发现, 以下 5 个不等关系式子①-1>2-;②2->-;③->-2;④-2>-;⑤->2-.(1)上述五个式子有同样的不等关系, 依据其构造特色 , 请你再写出一个近似的不等式 .(2)请写出一个更一般的不等式 , 使以上不等式为它的特别状况 , 并证明 .【分析】 (1)-2>-3( 答案不独一 ).(2)->-.证明 : 要证原不等式 , 只要证+>+,因为不等式两边都大于0,只要证 2a+3+2>2a+3+2,只要证>,22只要证 a +3a+2>a +3a,只要证 2>0, 明显建立 , 所以原不等式建立 .5.(10 分 ) 已知α ∈ (0,π ), 求证 :2sin 2α ≤.【证明】 2sin 2α -=4sinα cos α -==-,因为α ∈ (0, π ), 所以 sinα>0,1-cosα >0,又 (2cosα-1)2≥ 0,所以2sin 2α -≤0,所以 2sin 2 α ≤.6. (10 分 )(2018 ·泉州模拟 ) 设 a,b 为正实数 , 且+ =2.(1)求 a2+b2的最小值 .(2)若 (a- b) 2≥4(ab) 3, 求 ab 的值 .【分析】 (1) 由 2= +≥ 2得ab≥, 当 a=b=时取等号.故 a2+b2≥ 2ab≥1, 当 a=b=时取等号 .22所以 a +b的最小值是 1, 当且仅当a=b=时获得最小值.(2) 由 (a-b) 2≥ 4(ab) 3得≥ 4ab.即-≥ 4ab,进而ab+≤ 2.又 ab+≥ 2,当且仅当ab=1时取等号.所以 ab=1.。
(全国通用版)高考数学一轮复习选考部分不等式选讲课时分层作业六十二1绝对值不等式文
课时分层作业六十二绝对值不等式(45 分钟60 分)1.(10分)(2018·保定模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|-2.(1)求不等式 f(x) ≥1 的解集 .(2) 若对于 x 的不等式f(x)≥a2-a-2在R上恒建立,务实数a的取值范围.【分析】 (1) 原不等式价于或或解得 :x ≤ -或x≥,所以不等式的解集为.(2) 由于 f(x)=|x-1|+|x+1|-2≥ |(x-1)-(x+1)|-2=0,且 f(x) ≥ a2-a-2在 R上恒建立 ,2所以 a -a-2 ≤ 0,解得 -1 ≤ a≤ 2,所以实数 a 的取值范围是 -1 ≤ a≤ 2.2.(10 分 ) 已知函数 f(x)=|2x-1|,x∈ R.(1) 解不等式 f(x)<x+1.(2) 若对于 x,y ∈ R,有 |x-y-1|≤,|2y+1|≤, 求证 :f(x)<1.【分析】 (1) 不等式 f(x)<x+1,等价于 |2x-1|<x+1,即 -x-1<2x-1<x+1,求得 0<x<2,故不等式f(x)<x+1的解集为(0,2).(2) 由于 |x-y-1|≤,|2y+1|≤,所以 f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤ |2(x-y-1)|+|(2y+1)|≤ 2×+<1.【变式备选】 (2016 ·江苏高考 ) 设 a>0,|x-1|< ,|y-2|< , 求证 :|2x+y-4|<a.【证明】由|x-1|<可得|2x-2|<,|2x+y-4|≤|2x-2|+|y-2|<+=a.3.(10分)已知函数f(x)=|x+2|+|x+a|(a∈ R).(1)若 a=5, 求函数 f(x) 的最小值 , 并写出此时 x 的取值会合 .(2)若 f(x) ≥ 3 恒建立 , 求 a 的取值范围 .【分析】 (1) 若 a=5,f(x)=|x+2|+|x+5|=其图象如图 :所以 f(x) 的最小值为3, 使 f(x) 获得最小值的x 的会合为 {x|-5≤ x≤ -2}.(2)f(x)=|x+2|+|x+a|=|x-(-2)|+|x-(-a)|,由绝对值的几何意义可知,f(x)为数轴上的动点x 与两个定点-2,-a的距离的和,如图 :当动点 x 与-2 重合时 ,|x-(-2)|最小为0, 要使f(x)≥3 恒建立,则 |-2-(-a)|≥ 3,即|a-2|≥ 3,得 a-2 ≤ -3 或 a-2 ≥3,所以 a≤ -1 或 a≥ 5.4.(10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当 a=2 时 , 求不等式 f(x) ≤ 6 的解集 .(2) 设函数 g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥ 3,求a的取值范围.【分析】 (1) 当 a=2 时 ,f(x)=+2,解不等式+2≤ 6 得 -1 ≤ x≤3.所以 f(x) ≤ 6 的解集为.(2) 当 x∈ R时 ,f(x)+g(x)=+a+≥+a=+a,所以当 x∈R 时 ,f(x)+g(x)≥3等价于+a≥ 3① ,5.(10分)(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为R.(1)务实数 a 的取值范围 .(2) 若 a 的最大值为k, 且 m+n=2k(m>0,n>0), 求证 :+≥ 3.【解题指南】(1) 利用绝对值的几何意义, 求出表达式的最小值, 即可获得 a 的取值范围 .(2) 由 (1) 可得 m+n=3,则=(m+n)=, 依据基本不等式即可证明.【分析】 (1) 由于 |2x-1|+|x+1|-a≥ 0,所以 a≤ |2x-1|+|x+1|,依据绝对值的几何意义可得|2x-1|+|x+1|的最小值为, 所以 a≤.(2)由 (1) 可知 a 的最大值为 k= ,所以 m+n=3,所以=(m+n)=≥=3, 当且仅当n=2m时等号建立 ,问题得以证明.6.(10分)(2017·全国卷Ⅲ )已知函数f(x)= │ x+1│ - │ x-2 │.(1)求不等式 f(x) ≥1 的解集 .(2)若不等式 f(x) ≥x2-x+m 的解集非空 , 求 m的取值范围 .【分析】 (1) 当 x≤ -1 时 ,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解.当 -1<x<2 时 ,f(x)=x+1+(x-2)=2x-1.令 2x-1 ≥ 1, 得 x≥ 1, 所以 1≤x<2.当 x≥ 2 时 ,f(x)=x+1-(x-2)=3.由于 3>1, 所以 x≥ 2.综上所述 ,f(x)≥ 1的解集为[1,+∞ ).(2) 原式等价于存在x∈ R, 使 f(x)-x2+x≥m建立,即≥ m.设 g(x)=f(x)-x 2+x,由 (1) 知 g(x)=当 x≤ -1 时,g(x)=-x2+x-3,其张口向下 , 对称轴为x=>-1,所以 g(x) ≤ g=-5.当 -1<x<2 时 g(x)=-x 2+3x-1,其张口向下 , 对称轴为x=,所以 g(x) ≤ g=.当 x≥ 2 时 g(x)=-x2+x+3,其张口向下 , 对称轴为x=,所以 g(x) ≤ g=1.综上 :g(x)max=, 即 m的取值范围为.。
高考数学一轮总复习 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法模拟演练 理-人教版高三全册数学试题
2018版高考数学一轮总复习 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法模拟演练 理1.[2017·某某模拟]函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|－a . (1)若a ＝5，求函数f (x )的定义域A ；(2)设a ，b ∈(－1,1)，证明：|a ＋b |2<⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋ab 4.解 (1)由|x ＋1|＋|x ＋2|－5≥0，得2x ＋8≤0，x ≤－2或－4≥0，－2<x <－1或2x ≥2，x ≥－1， 解得A ＝{x |x ≤－4或x ≥1}．(2)证明：∵|a ＋b |2<⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋ab 4⇔2|a ＋b |<|4＋ab |.而4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝4a 2＋4b 2－a 2b 2－16 ＝a 2(4－b 2)＋4(b 2－4)＝(b 2－4)(4－a 2)， ∵a ，b ∈(－1,1)，∴(b 2－4)(4－a 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴|a ＋b |2<⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋ab 4.2.已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立． (1)某某数m 的值；(2)若α，β>1，f (α)＋f (β)＝2，求证：4α＋1β≥92.解 (1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |.要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2，解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α，β>1，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝2，即α＋β＝2. 所以4α＋1β＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝12( 5＋4βα＋αβ )≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝92. (当且仅当4βα＝αβ，即α＝43，β＝23时，等号成立)又因为α，β>1，所以4α＋1β>92恒成立．故4α＋1β≥92.3.[2017·某某模拟]已知a >0，b >0，记A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b . (1)求2A －B 的最大值；(2)若ab ＝4，是否存在a ，b ，使得A ＋B ＝6？并说明理由． 解 (1)2A －B ＝2a －a ＋2b －b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －222＋1≤1，等号在a ＝b ＝12时取得，即2A －B 的最大值为1. (2)A ＋B ＝a ＋b ＋a ＋b ≥2ab ＋2ab ，因为ab ＝4，所以A ＋B ≥4＋22>6，所以不存在这样的a ，b ，使得A ＋B ＝6.4.[2017·某某江南十校联考]已知函数f (x )＝|x |－|2x －1|，记f (x )>－1的解集为M . (1)求M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．解 (1)f (x )＝|x |－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}．(2)由(1)知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a＝a －1a 2＋1a ，当0<a <1时，a －1a 2＋1a <0，所以a 2－a ＋1<1a ；当a ＝1时，a －1a 2＋1a＝0，所以a 2－a ＋1＝1a；当1<a <2时，a －1a 2＋1a >0，所以a 2－a ＋1>1a.综上所述，当0<a <1时，a 2－a＋1<1a ；当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a；当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a.5.已知函数f (x )＝ax 2＋x －a 的定义域为[－1,1]． (1)若f (0)＝f (1)，解不等式|f (x )－1|<ax ＋34；(2)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54.解 (1)f (0)＝f (1)，即－a ＝a ＋1－a ，则a ＝－1， ∴f (x )＝－x 2＋x ＋1，∴不等式化为|－x 2＋x |<－x ＋34，①当－1≤x <0时，不等式化为x 2－x <－x ＋34，∴－32<x <0； ②当0≤x ≤1时，不等式化为－x 2＋x <－x ＋34，∴0≤x <12.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <12. (2)证明：由已知x ∈[－1,1]，∴|x |≤1，又|a |≤1，则|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 6.[2017·某某二联]已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，某某数a 的取值X 围；(2)若|a |<1，|b |<3，且a ≠0，判断f ab |a |与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 的大小，并说明理由．解 (1)因为f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1，不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，则1≥a 即可，所以实数a 的取值X 围是(－∞，1]．(2)f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .证明：要证f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －3|>|b －3a |，即证(ab －3)2>(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)·(b 2－9)． 因为|a |<1，|b |<3，所以(ab －3)2>(b －3a )2成立，所以原不等式成立.。
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课时分层作业七十六证明不等式的基本方法
(45分钟60分)
1.(10分)已知a>0,b>0,求证:+≥+.
【证明】因为-(+)
=+=+
==≥0,
所以原不等式成立.
【一题多解】由于÷(+)
=
=
=-1≥-1=1.
又a>0,b>0,>0.
所以+≥+.
2.(10分)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:++>
3.
【解题指南】根据a,b,c全不相等,推断出与,与,与全不相等,然后利用基本不等式求得
+>2,+>2,+>2,三式相加整理求得++>3,原式得证. 【证明】因为a,b,c全不相等,
所以与,与,与全不相等,
所以+>2,+>2,+>2,三式相加得,+++++>6,
所以++>3,
即++>3.
【变式备选】(2018·南阳模拟)已知函数f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1].
(1)求k的值.
(2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+2b+3c≥9.
【解析】(1)因为f(x)=k-|x-3|,
所以f(x+3)≥0等价于|x|≤k,
由|x|≤k有解,得k≥0,且解集为[-k,k].
因为f(x+3)≥0的解集为[-1,1].因此k=1.
(2)由(1)知++=1,因为a,b,c为正实数.
所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3++++++
=3+++
≥3+2
+2 +2 =9.
当且仅当a=2b=3c时,等号成立.
因此a+2b+3c≥9.
3.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=1,
求证:·≥9.
【解题指南】可将所证不等式左边展开,运用已知和基本不等式可得证,也可以用x+y取代“1”,化简左边,然后再用基本不等式.
【证明】因为x>0,y>0,
所以1=x+y≥2.所以xy≤.
所以=1+++
=1++=1+≥1+8=9.
当且仅当x=y=时,等号成立.
【一题多解】因为x+y=1,x>0,y>0,
所以=
==5+2
≥5+2×2=9.
当且仅当x=y=时, 等号成立.
4.(10分)某同学在一次研究性学习中发现,以下5个不等关系式子
①-1>2-;
②2->-;
③->-2;
④-2>-;
⑤->2-.
(1)上述五个式子有相同的不等关系,根据其结构特点,请你再写出一个类似的不等式.
(2)请写出一个更一般的不等式,使以上不等式为它的特殊情况,并证明.
【解析】(1)-2>-3(答案不唯一).
(2)->-.
证明:要证原不等式,只需证+>+, 因为不等式两边都大于0,
只需证2a+3+2
>2a+3+2,
只需证>,
只需证a2+3a+2>a2+3a,
只需证2>0,显然成立,所以原不等式成立.
5.(10分)已知α∈(0,π),求证:2sin 2α≤.
【证明】2sin 2α-=4sin αcos α-
=
=-,
因为α∈(0,π),所以sin α>0,1-cos α>0,
又(2cos α-1)2≥0,所以2sin 2α-≤0,
所以2sin 2α≤.
6.(10分)(2018·泉州模拟)设a,b为正实数,且+=2.
(1)求a2+b2的最小值.
(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.
【解析】(1)由2=+≥2得ab≥,当a=b=时取等号.
故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=时取等号.
所以a2+b2的最小值是1,当且仅当
a=b=时取得最小值.
(2)由(a-b)2≥4(ab)3得≥4ab. 即-≥4ab,从而ab+≤2.
又ab+≥2,当且仅当ab=1时取等号.
所以ab=1.。