黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学(文)答案
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)
2020学年度高三上学期期末考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解方程组，得．故．选D．2.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，故选B.3.已知且则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设与的夹角为，向量在方向上的投影为故选4.已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的前项和为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前n项和公式可得S n．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．∴a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝0或4．∴a n＝2，或a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．当d＝0时，数列{a n}的前n项和为：2n；当d＝4时，则数列{a n}的前n项和为：2n2n2．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先求出函数的定义域，结合函数图象进行排除，再利用特殊值的符号得到答案．详解：令，得或，故排除选项A、D，由，故排除选项C，故选B．点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力．6. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2,动点满足当不共线时，面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设，两边平方并整理得：，．面积的最大值是选A8.设函数则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则有f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，又由f（x）＝2x﹣2﹣x，其导数为f′（x）＝（2x+2﹣x）ln2＞0，则函数f（x）在R上为增函数，则f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．9.在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ与μ，然后利用对勾函数的单调性求的取值范围．【详解】如图所示，△ABC中，，∴（），又点E在线段AD（不含端点）上移动，设k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上单调递减，∴λ的取值范围为（，+∞），故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是中档题．10.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】当时，，当时，或，，两式相减，得或，，即或，，又因为，所以的最小值为．故选.解法2：直接令，得，解得．故选.11.在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知P﹣ABCD为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通过方程解得，求解过程不难．【详解】如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，P﹣ABCD为正四棱锥，底边长为2，∵BC∥AD，∴∠PBC即为PB与AD所成角，可得斜高为2，∴△PEF为正三角形，正四棱锥P﹣ABCD的内切球半径即为△PEF的内切圆半径，可得r，设O为外接球球心，在Rt△OHA中，，解得R，∴，故选：B．【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．12.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则（）A. 2020B. 2020C. 2020D. 2021【答案】C【解析】【分析】a n+2﹣2a n+1+a n＝2，可得a n+2﹣a n+1﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出．【详解】∵a n+2﹣2a n+1+a n＝2，∴a n+2﹣a n+1﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4．∴{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．∴a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．∴n≥2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2n（n+1）．∴．∴1．∴2+2020＝2020．故选：C．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知满足不等式，则的最大值为__________．【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，即，即A（0，1），此时z=0+2=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积是__________．【答案】12【解析】【分析】首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积．【详解】由三视图得到几何体如图：体积为12；故答案为：12【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.15.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为__________．【答案】【解析】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则可得当且仅当y02=2p2，取得等号．故答案为：.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。
数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期1月线上(期末)语文试题
哈师大附中2020级高三上学期1月份线上测试语文试题时间：150分钟总分：150分一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：研究村落里的艺术，我们首先要知道村落里有哪些可以称为艺术的东西，人们把村落誉为文化的宝库，也是乡村艺术的宝库。
如村落景观，那是由特色民居、村落形态、田园风光、山水林田路等共同构成的诗意乡村。
还有生产场景，从牛耕田到联合收割机田间作业，从脱粒打场到晾晒贮存，从对农产品的粗加工到美食制作，再到乡村手艺，都充满着丰富的艺术内涵，给人们美的享受。
理解乡村艺术要注意其中的三个特点：第一，乡村艺术的乡土性。
乡土性首先指乡村艺术内容是乡土的，因为它直接来源于老百姓的生产和生活，牛耕田景观、花海景观，园艺、农艺、手艺等都是乡村艺术的重要内容。
乡土性同时也指艺术的形式也是乡土的，最接近老百姓的劳动和生活习惯，农业生产方式、生活方式本身就具有艺术价值，像年画、剪纸、绿化美化，还有唢呐、快板、评书、对歌等都是来源于生活。
第二，乡村艺术制作材料的自然性。
自然性是指乡村艺术具有天人合一理念，是天时地利人和在乡村生产与生活中的具体体现，如就地取材的民居建设，黄土高原的窑洞、夯土墙，太行山区的石头墙、石板房，海南的竹楼，等等。
手工艺也是这样，竹编、柳编、草编、荆条编，制茶、酿酒、做粉条，等等，都是利用当地自然资源和条件，取之于自然回归于自然。
第三，乡村艺术资源利用的综合性。
一方面乡村艺术体现的是乡村整体，包括乡村所处的自然环境、生态条件、农田、作物、村落建筑、生活方式、节日庆典、习俗与娱乐等，以及农业劳作和生活方式本身都是乡村艺术的重要资源和构成要素，乡村艺术就蕴含在这些要素之中。
另一方面，很多乡村艺术品的制作使用农产品的副产品作为材料，如利用麦秆制作出的草帽，用玉米皮编制的生活用品、工艺品等，体现废物利用和综合利用理念。
乡村艺术还表现为融合特征，一是生产与生活的融合。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=(a2−1)+(a−1)i为纯虚数，其中a∈R，则a2+i1+ai等于()A. −iB. iC. 1D. 1或i2.设向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−1)，则(a⃗⋅b⃗ )(a⃗+b⃗ )等于()A. (1,1)B. (−4,−4)C. −4D. (−2,−2)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a16=3，则S20=()A. 10B. 15C. 20D. 304.平面α与平面β平行的条件可以是()A. α内有无数条直线都与β平行B. 直线a//α，a//β，且直线a不在α内，也不在β内C. α内的任何直线都与β平行D. 直线a在α内，直线b在β内，且a//β，b//α5.设曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，则a=()A. 0B. 1C. 2D. 36.函数f(x)=2xsinxx2+cosx在[−2π,2π]上的图象大致为()A. B.C. D.7.将函数，φ∈(0,π)的图象沿x轴向右平移π6个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则φ的值为()A. 2π3B. π3C. π6D.5π68.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，P为A1C的中点，则异面直线BP与AD1所成角的余弦值为()A. 13B. √64C. √23D. √339.已知α，β是两个不同的平面，且直线m，n满足m//α，n⊥β，则以下结论成立的是()A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，则α⊥βC. 若α⊥β，则m//nD. 若m//n，则α⊥β10.设f(x)=lnx,若0<c<b<a<1,则f(a)a ,f(b)b,f(c)c的大小关系为()A. f(a)a >f(b)b>f(c)cB. f(a)a<f(b)b<f(c)cC. f(c)c <f(a)a<f(b)bD. f(b)b<f(c)c<f(a)a11.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2=ac，且sinC=√2sinB，则其最小内角的余弦值为()A. −√24B. √24C. 5√28D. 3412.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)>x−1，则不等式f(x)<12x2−x+1的解集为()A. {x|−2<x<2}B. {x|x<2}C. {x|x>2}D. {x|x<−2或x>2}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cos(π4−α)=35，则sin2α=__________.14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a3=0，则S4S2=______ ．15.已知实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为______．16.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，D1D=λ(λ>0).若棱C1C上存在一点P满足A1P⊥平面PBD，则实数λ的取值范围是____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知f(x)=|x−4|+|x+2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)当a,b,c都大于0，且a+b+c=m时，求1a +4b+9c的最小值．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB(acosB+bcosA)=√3ccosB．(1)求B；(2)若b=2√3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．19.如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．(Ⅰ)求证：AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)求证：A1B//平面AC1D．20.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n(n∈N∗).}为等比数列；(I)求证：数列{a n+12(Ⅱ)记T n=S1+S2+⋯+S n，求T n的表达式．21.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足PN=2NA，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．22.已知函数f(x)=(x2+x−4)e−x−ax．⑴若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；⑴若x0是f(x)的极大值点，求f(x0)的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查复数的运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 利用复数是纯虚数求出a ，然后利用复数的运算法则化简求解即可． 【解答】解：由题意{a 2−1=0a −1≠0，解得a =−1，所以a 2+i1+ai=1+i 1−i=i (1−i )1−i=i ．故选B ．2.答案：B解析： 【分析】本题考查平面向量的数量积的坐标公式和向量的数乘运算，属于基础题． 运用向量的数量积的坐标公式和数乘运算，即可得到． 【解答】解：向量a ⃗ =(−1,2)， b ⃗ =(2,−1)， 则a ⃗ ⋅b ⃗ =−2−2=−4， 则有(a ⃗ ⋅b ⃗ )(a ⃗ +b ⃗ )=−4(1,1) =(−4,−4)． 故选B ．3.答案：D解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 20=a 5+a 16=3． ∴S 20=20(a 1+a 20)2=10×3=30．故选：D ．由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 20=a 5+a 16=3.再利用等差数列的前n 项和公式S 20=20(a 1+a 20)2即可得出．本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】本题考查两个平面平行的判定，注意平面内直线的位置关系，考虑特殊情况，属于基础题．对四个选项分别分析选择，当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，当直线a//α，a//β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选C，利用排除法应选D．【解答】解：对于A，当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故A错误；对于B，当直线a//α，a//β时，a与β可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故C正确；对于D，当直线a⊂α，直线b⊂β，且a//β时，直线a和直线b可能平行，也可能是异面直线，故D 错误．故选C．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵y=e ax−ln(x+1)，∴y′=ae ax−1．x+1∴x=0时，切线的斜率y′|x=0=k=a−1.∵曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，∴a−1=2，即a=3．故选：D．6.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点、变化趋势，属于基础题．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，推出结果即可．【解答】解：∵f(x)=2xsinxx2+cosx，，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C；∵f(π2)=ππ24=4π，f(3π2)=−3π9π24=−43π，∴|f(π2)|>|f(3π2)|，故排除B．故选D．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，考查函数的奇偶性，属于基础题．由平移变换求得g(x)，再根据奇偶性求得φ的值．【解答】解：将函数f(x)=3sin(2x+φ)，φ∈(0,π)的图象沿x轴向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=3sin(2x−π3+φ)的图象，又∵g(x)为奇函数，∴φ−π3=kπ，k∈Z，解得，k∈Z，∵φ∈(0,π)，∴φ=π3．故选B．8.答案：D解析：【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP与AD1所成角的余弦值．解：∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =BB 1=1，P 为A 1C 的中点， ∴如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B(1,2，0)，A 1(1,0，1)，C(0,2，0)，P(12,1,12)，A(1,0，0)，D 1(0,0，1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−1,12)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，设异面直线BP 与AD 1所成角为θ， 则cosθ=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12+12√4×√2=√33．∴异面直线BP 与AD 1所成角的余弦值为√33．故选D ．9.答案：D解析： 【分析】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题． 根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可得到答案． 【解答】选项A ，m ，n 可能平行；选项B ，α,β可能平行；选项C ，m ，n 可能相交； 对于D 选项，∵m//n ，n ⊥β，∴m ⊥β，又m//α，∴α⊥β． 故选D ．10.答案：A解析：令ℎ(x)=lnxx ,则ℎ′(x)=1−lnxx2,对于0<x<1,ℎ′(x)>0,ℎ(x)在(0,1)上单调递增，又0<c<b<a<1,那么f(a)a >f(b)b>f(c)c.11.答案：C解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的运用，属于基础题．根据题意由，由正弦定理变形得到c=√2b，再结合b2=ac，得到b=√2a，进而得到a=√22b，c=√2b，得到a<b<c，即A为最小内角，再运用余弦定理计算即可求解．【解答】解：，∴由正弦定理变形得到c=√2b，又b2=ac，∴b=√2a，∴a=√22b，c=√2b，∴a<b<c，∴A为△ABC最小内角，，故选C．12.答案：B解析：令g(x)=f(x)−12x2+x，则g′(x)=f′(x)−x+1，因为f′(x)>x−1，所以g′(x)>0，即g(x)在R上为增函数，不等式f(x)<12x2−x+1可化为f(x)−12x2+x<1，即g(x)<g(2)，又g(x)单调递增得x<2，所以不等式的解集为{x|x<2}．13.答案：−725解析：sin2α=cos(π2−2α)=cos[2(π4−α)]=2cos2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725.14.答案：65解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵8a2−a3=0，∴a 2(8−q)=0，解得q =8． 则S 4S 2=a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 2)1−q =1+q 2=65．故答案为：65．利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.答案：18解析：解：根据题意，实数x ，y 满足2x +y =1，则y =1−2x ，则xy =x(1−2x)=x −2x 2=−2(x −14)2+18，分析可得：当x =14时，xy 取得最大值，其最大值为18；故答案为：18．根据题意，由2x +y =1可得y =1−2x ，则xy =x(1−2x)=x −2x 2=−2(x −14)2+18，由二次函数的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意x 、y 的范围，要结合二次函数的性质分析． 16.答案： [2,+∞)解析：【分析】本题主要考查面面垂直的问题，根据垂直关系，求解即可．【解答】解：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，B(1,1，0)，A 1(1,0，λ)．设P(0,1，x)，其中x ∈[0,λ]，则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，x −λ)，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，x)． 因为A 1P ⊥平面PBD ，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(−1,1，x −λ)·(−1，0，x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0,λ]，故判别式Δ=λ2−4≥0，且λ>0，解得λ≥2，所以实数λ的取值范围是[2,+∞)．故答案为 [2,+∞)．17.答案：解：(1)|x −4|+|x +2|≥|(x −4)−(x +2)|=6，所以m=6，(2)由柯西不等式得(a+b+c)(1a +4b+9c)≥(√a·√a +√b·√b+√c√c)2=36，因此1a +4b+9c≥6，当a=1，b=2，c=3时等号成立，所以1a +4b+9c的最小值为6．解析：本题考查绝对值不等式的性质及柯西不等式的应用，属于中档题．(1)根据绝对值不等式的性质得|x−4|+|x+2|≥|(x−4)−(x+2)|=6，即可求得m的值．(2)由柯西不等式得(a+b+c)(1a +4b+9c)≥(√a·√a +√b·√b+√c√c)2=36，即可求得1a+4b+9c的最小值．18.答案：解：(1)根据正弦定理得：sinB(sinAcosB+sinBcosA)=√3sinCcosB，∴sinBsin(A+B)=√3sinCcosB，∴sinBsinC=√3sinCcosB，∵C∈(0,π)，∴sinC>0，∴sinB=√3cosB，即tanB=√3，∵B∈(0,π)，∴B=π3，(2)∵S△ABC=12acsinB=√34ac=2√3，∴ac=8，根据余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，∴12=a2+c2−8，即a2+c2=20，∴a+c=√(a+c)2=√a2+2ac+c2=6，∴△ABC的周长为：6+2√3．解析：(1)根据正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinBsinC=√3sinCcosB，结合sinC>0，可求tanB=√3，结合范围B∈(0,π)，由特殊角的三角函数值可求B的值．(2)利用已知及三角形面积公式可求ac=8，进而利用余弦定理可求a+c=6，从而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：证明：(Ⅰ)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．因为BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，所以AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)连接A1C，设A1C∩AC1=E，连接DE．因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以E为A1C中点．因为D为BC中点，所以DE//A1B.因为DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B//平面AC1D．解析：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．(Ⅰ)由CC1⊥平面ABC.可证CC1⊥AD，由AB=AC，D为BC中点，可证AD⊥BC，即可证明AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)连接A1C，设A1C∩AC1=E，连接DE.可得E为A1C中点，由D为BC中点，可证DE//A1B，即可证明A1B//平面AC1D．20.答案：证明：(I)当n=1时，3a1=2S1+1，所以a1=1．当n ≥2时，由3a n =2S n +n①得3a n−1=2S n−1+n −1②①−②得3a n −3a n−1=2S n +n −2S n−1−n +1=2(S n −S n−1)+1，=2a n +1，所以：a n =3a n−1+1，则：a n +12=3(a n−1+12)， 所以数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)由(I)得a n +12=32⋅3n−1，所以：a n =32⋅3n−1−12将其代入①得，S n =34⋅3n −14(2n +3)T n =S 1+S 2+S 3+⋯+S n ，=34(31+32+33+⋯+3n )−14(5+7+⋯+2n +3)，=34⋅3(3n −1)3−1−n(n+4)4， =98(3n −1)−n(n+4)4．解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用构造新数列法得到数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步求出数列S n ，最后求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 21.答案：解：(1)取AC 的中点O ，连接OP ，OB ，则有∵PA =PC 且O 为AC 的中点，∴OP ⊥AC ；同理，OB ⊥AC ．∴AC ⊥平面POB ，则有∠POB 为平面P −AC −B 的平面角，又∵在△POB 中，OP =OB =1，BP =√2，则有OP 2+OB 2=BP 2，∴∠POB =90°∴平面PAC ⊥平面ABC ．(2)由(1)可知，OP ⊥平面ABC ，则有OP ⊥OC ，OP ⊥OB ，又∵OB ⊥OC ，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．则有，OA =OB =OC =OP =1，∴A(−1,0，0)，B(0,1，0)，C(1,0，0)，P(0,0，1)，∵M 是PC 的中点，∴M(12,0,12)，又∵PN =2NA ，∴N(−23,0,13)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−76,0,−16)设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则有{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴n ⃗ =(−1,1,1)， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，sinθ=∣∣cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >∣=∣∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗⃗ ∣∣∣∣=√65． 故直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为√65． 解析：此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直；第二小题用向量法更为方便． (1)利用线面垂直来证面面垂直；(2)利用向量法来求直线与平面所成的角。
化学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试化学试卷及答案
***学校2024—2025学年度高三上学期期中考试化学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
非选择题的作答：用黑色签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16Mo96一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确。
1.化学与人类社会可持续发展息息相关，下列说法错误的是A．壁虎在天花板上爬行自如是因为壁虎的脚与墙体之间有范德华力B．过量服用阿司匹林引起酸中毒后，可用静脉注射NaHCO3溶液的方法解毒C．酚醛树脂可用于生产烹饪器具的手柄，其单体为苯酚和甲醇D．SO2具有还原性，并且可以杀菌、抗氧化，在葡萄酒中可以添加适量的SO22.下列化学用语或表述正确的是A．BF3的空间结构：三角锥形B．碳的基态原子核外电子排布式：C．H2O2的电子式：D．N2H4和H2O可以形成分子间氢键3.下列实验操作或处理方法正确的是A．用浓氨水溶解试管中的银镜B．可以将混有H2S的C2H2气体通过CuSO4溶液除去杂质C．实验剩余的药品不能放回原试剂瓶，均需要放入指定容器中D．盛有液溴的棕色细口瓶中加水液封，并盖好橡胶塞4.工业上用N2和H2合成NH3，设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．消耗0.1mol H2时，生成N－H键数目为0.2N AB．合成氨反应温度一般选择400～500℃，因为该反应为吸热反应C．0.4mol N2所含电子的数目为4N AD ．氧化22.4L NH 3生成NO ，消耗O 2分子数为2N A 5.下列各组物质中，各步转化不能通过一步反应实现的是A ．Si→SiO 2→Na 2SiO 3B ．Fe→FeCl 2→Fe(OH)2C ．Na→NaCl →NaHCO 3D ．S→SO 3→H 2SO 46.类比迁移的思维方法有助于学习化学。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学(理)试题
当 ， ； ， ；
所以 在 上单调递减， 上单调递增，而要使 有两个零点，要满足 ，
即 ；
因为 ， ，令 ，由 ，
所以 ，即 ，因此 ，
而要证 ，
只需证 ，即证 ，即证 ，
由 ，只需证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 在 上递增， ，
故 在 上递增， ，
所以 ．
关键点点睛：（1）第（Ⅱ）问中隐零点的问题，解题关键在于 的化简要用到 ，即 ；
由 两边平方可求 ，再由平方关系求 .
由题得 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
15.递增的等比数列 的每一项都是正数，设其前 项的和为 ，若 则 _______.
364
由等比数列的性质将 化为 ，再由 可求出 ，然后列出关于 的方程组，求出 ，进而可以求出结果
设等比数列 的公比为 ，
A. B. C. D.
A
通过函数的奇偶性， ， ，可分别排除D，C，B，即得解
因为 ，所以 是奇函数，排除D；
当 时， ， ．
由 ，可排除C； ，排除B故选：A
11.已知数列 的前n项和 ，若 ， 恒成立，则实数 的最大值是（）
A.3B.4C.5D.6
C
先由 求出 ，根据 得到 ，求出 的最小值，即可得出结果.
C. D.
C
根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果.
因为 ，
所以数列 的前n项和
.故选C
本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型.
6.已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点， ，则 =（）
2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题（PDF版）
2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题（PDF版）哈师大附中2017级高三学年上学期期中考试数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数i ai-+21为纯虚数，则实数a 为( )A.2B.2-C.21-D.212.若向量)2,1(),3,2(-==b a ,则=-?)2(b a a ( )A.8B.7C.6D.53.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若1111,27m m m a a a a -+=++=,且45m S =，则 m =( )A.8B.9C.10D.114.设αβ，为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β平行于同一条直线C ．α内有两条相交直线与β平行D ．α，β垂直于同一平面5.已知曲线x e a x f )12()(+=在0=x 处的切线过点)1,2(,则实数=a ( )A.3B.3-C.31D.31-6.函数2sin()()sin()2x xf x x x ππ-+=++在],[ππ-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7. 若把函数()sin(2)()2f x x π??=+<的图象关于点,06π??-对称，将其图象沿轴向右平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象,则()()y f x g x =-的最大值为( )A ．3 B ． 2C ．12D ．18. 如图，三棱锥A BCD -中，90DAB DAC BAC ∠=∠=∠=?，1AB AD AC ===，,M N 分别为,CD BC 的中点，则异面直线AM 与DN 所成角余弦值为( )A. 16B. 6C. 6D. 569. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：①如果，那么;②如果，那么;③如果，那么;④如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题的个数为( )A.1B.2C.3D.410. 定义在R 的函数)(x f 满足)1()1(+-=+x f x f ，当1≠x 时，恒有)()(x f x f x '>'成立，若21<<="" ，)(log="">A. c b a >>B.a b c >>C. b c a >>D.c a b >>11. 在ABC ?中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ?=?+?，则三角形的ABC ?形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定12.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()3()0xf x f x '+>，则关于x 的不等式x ,αβ,m n ,,//m n m n αβ⊥⊥αβ⊥,//m n αα⊥m n ⊥//,m αβα?//m β//,//m n αβm αn β31(3)(3)03x f x f ??---<的解集（）A.)6,3( B.)3,0( C.)6,0( D.),6(+∞ 第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13.已知cos 44πα??+=,则=α2sin . 14.已知等比数列}{n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ,若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a = . 15.已知,08,0,0=-++>>xy y x y x 则xy 的最大值是 .16.在四棱锥ABCD P -中,⊥PA 底面ABCD ,,2,//,===⊥AP DC AD DC AB AB AD ,若点E 为棱PC 上一点,满足AC BE ⊥,则=EC PE . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知关于x 的不等式|2|1()x m m R -≤∈的解集为[0,1].（1）求m 的值；（2）若,,a b c 均为正数，且a b c m ++=，求111313131a b c +++++的最小值.1=AB18．（本小题满分12分）已知ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ，且满足sin cos()6c B b C π=-. （1）求角C 的大小；（2）若ABC ?的周长为12，面积为.19．（本小题满分12分）三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点，M 为AB 中点 .（1）求证：//FM 面11A ACC ；（2）求证：AF BC ⊥20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)n n n a S n +=+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1132n an n b a -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，BCD∠=135°，PA ⊥底面ABCD ，2AB AC PA ===，,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．[来源:]（1）求证：面EMF ⊥面PAC ；（2）若M 为线段PD 的中点，求直线ME 与平面PAD 所成角的正切值．22．（本小题满分12分）已知函数2()2x kf x e x =-由两个不同的极值点12,x x .（1）求实数k 的取值范围；（2）证明：122x x +>.哈师大附中2017级高三学年上学期期中考试数学答案（文科）一、选择题15:;610:;11,12ADBCD DDBCA B A --二、填空题31113.;14.;15.4;16.423三、解答题17. （本小题满分10分）（1）112|112122m m x m x m x -+-≤?-≤-≤?≤≤，由已知解集为[0,1]得102112 m m -?=+?=??解得1m =；……5分（2）1a b c ++=[(31)(31)3(1)]a b c +++++2111()(111)313131a b c ++≥+++++ 当且仅当13a b c ===时，111313131a b c +++++的最小值32……10分（注：“当且仅当13a b c ===时”不写，扣2分） 18. （本小题满分12分）（1）由正弦定理得，sin sin sin cos()6C B B C π=-，sin 3cos C C = 即tan C =3C π=；……6分（2）由余弦定理得222c a b ab =+-，342321==ab S ,12=++c b a 解得4===c b a……12分 19. （本小题满分12分）（1）取AA 1中点N ，连结C 1N ，ND ，取C 1N 中点E ，连结EF ，AE ，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB 为平行四边形，∴AB//ND ，AB=ND ，∵NE=EC 1，C 1F=FD ，∴ND EF 2 1//=，又∵ND AM 21//=∴四边形MAEF 为平行四边形，∴MF//AE ，∵?MF 面11A ACC ，AE ?面11A ACC ，//FM 面11A ACC .……6分（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC ，D 为1B B 中点，所以四边形1BDC C 为梯形，又P 为BC 中点，F 为线段1C D 的中点，所以1//PF CC ，三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，所以1//AA PF ，所以AF ?平面1A APF ，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且BC ?平面ABC ，所以1AA BC ⊥①正三角形中， P 为BC 中点，则AP BC ⊥②由①②及1AA AP A =得BC ⊥平面1A APF ，所以AF BC ⊥ ……12分20. （本小题满分12分）（1）2(1)n n n a S n +=+，2n ≥时，211(1)(1)(1)n n n a S n ---+=+-，两式相减得： 1(1)(1)2(1)n n n a n a n ----=-……2分因为2n ≥，所以12n n a a --=，……4分又11a =，所以数列{}n a 为首项11a =，公差2d =的等差数列，所以21n a n =-.……6分（2）11232234n a n n b n n --=+=+……8分2(22)(41)341241n n n n n T n n +-=+=++-- ……12分 21. （本小题满分12分）(1)∵⊥PA 面ABCD ，EF ?面ABCD ，∴EF ⊥AP在ABC ?中，AB=AC ，?=∠=∠45ACB ABC ，∴AB ⊥AC ，又BE AF =//，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AB//EF ，因此，A C ⊥EF AP AC=C ，AP ?面PAC ，AC ?面PAC ，∴EF ⊥面PAC又EF ?面EMF ，∴面EMF ⊥面PAC . ……6分（2）连接,AE AM//ABC AB AC E BC AE BC AE AD ABCD AD BC =?⊥??⊥??中，为的中点中①PA ABCD AE PA AE ABCD ⊥??⊥平面平面② 由①②及PA AD A =得AE PAD ⊥平面所以AM 是EM 在平面PAD 中的射影，EMA ∠是EM 与平面PAD 所成的角； (9)分等腰直角三角形ABC ，2AB AC ==，所以AE =2BC AD PA ABCD PA AD PD PA===⊥?⊥?==?平面M 为PD 的中点，故AM =tan AE Rt MAE EMA AM ∠==中ME 与平面PAD .……12分 22．（本小题满分12分）（1）(),()x x f x e kx f x e k '''=-=-若0,()0()()k f x f x f x '''≤≥则恒成立，则单调递增，则至多有一个极值点，故舍去；0,()0ln ;()0ln k f x x k f x x k ''''∴>>?><?， (2)分11(0)10,(1,ln ),()0f x k f x ''=>?∈=，又(2ln )(2ln )f k k k k '=-，设2()2ln ,()10()h k k k h k k e k'=-=->>，所以()(,)()()20h k e h k h e e +∞>=->在递增，，22(ln ,2ln ),()0x k k f x '?∈=1212()0,()0f x x x x x f x x x x ''>?<><?<递增 k e >时函数()f x 有两个不同的极值点12,x x .……6分（2）1211221122()0,()0ln ln ,ln ln ,x x f x e kx f x e kx x k x x k x ''=-==-=?=-=-2211ln x x x x -=+，设21x t x =，则2112ln ln ln ,,11t t t x x t x x t t -===--，21ln ln (1)11t t t x x t t t +=+>-- ()ln ln 2(1),(1) 11()ln 1,()0,(1)g t t t t t t t g t t g t t t t=+-->-'''=+-=>> 1()ln 1(1,)1()(1)0g t t g t g t'''=+-+∞>>=在递增，所以t 时，()(1,)1()(1)0g t g t g +∞>>=在递增，所以t 时，1ln ln 2(1)0,ln ln 2(1)t t t t t t t t t >+-->+>-时，即12ln ln 12,2(1)t t t t x x t +>>+>-时，即……12分。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期四模语文试题(解析版)
（摘编自中国宇航学会《北斗导航天地间》）
1.下列对材料相关内容的理解和分析，不正确的一项是（ ）
A.绝的体积小，用其制造原子钟非常方便，但用金属铝制造的原子钟精度是最高的。
B.一般而言，位置精度衰减因子的大小，取决于卫星数量多少和卫星分布是否均匀。
C.只要不遮挡，我们一般都能接受和地面之间位置相对固定的静止轨道卫星的服务。
要做到这一点，卫星之间必须能够彼此通信，这就是星间链路的用处了。北斗系统采用了Ka频段的星间链路。所谓Ka频段，就是26.5～40GHz之间的那一段无线电频率。地球静止轨道卫星向地面提供卫星电视和宽带上网服务也会使用这个频段。Ka频段的带宽大、通信速度高，但是在为地面服务的时候，存在一种叫作雨衰的问题。就是在夏天暴雨的时候，因为雨点的尺寸和Ka频段的波长基本一样，所以会严重干扰通信服务。不过作为导航卫星的星间链路，Ka频段是非常合适的，因为宇宙里不会下雨。星间链路的关键技术就是卫星之间的通信波束信号要能够彼此对准，北斗卫星团队能够在整个星座之间实现星间链路的组网，是一个非常了不起的成就。
哈师大附中2024年高三第四次模拟考试
语文试卷
本试卷共23题，共150分，共8页。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
小专题-离子方程式的正误判断与书写的答案
B.盐酸的酸性强于亚硫酸， SO2 通入 BaCl2 溶液不反应，故 B 错误；
C. Fe（OH）2 比 NH3·H2O 更难电离，(NH4)2Fe(SO4)2 溶液中加入少量 NaOH 溶液：先发生 Fe2＋+2OH－=Fe（OH）2↓， 故 C 错误；
D. 用 CuCl2 溶液做导电性实验，灯泡发光：CuCl2
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
离子的物质的量之比与原物质组成比相符。 （2）“多变”就是过量的反应物，其离子的化学计量数根据反应实际需求量来确定，不受化学式中的比例制约， 是可变的。 3．B 【来源】上海交通大学附中 2019-2020 学年高三上学期期中考试化学试题 【解析】 【分析】 还原性 SO32-＞I-，滴加氯水，首先氧化亚硫酸根离子，据此分析解答。 【详解】 A．向 Na2SO3、NaI 的混合溶液中滴加少量氯水，首先氧化亚硫酸根离子，若只氧化亚硫酸根离子，反应的离子 方程式可以为：SO32-+Cl2+H2O═SO42-+2H++2Cl-，故 A 不选； B．向 Na2SO3、NaI 的混合溶液中滴加少量氯水，首先氧化亚硫酸根离子，不可能只发生 2I-+C12=2Cl-+I2，故 B 错误； C．向 Na2SO3、NaI 的混合溶液中滴加少量氯水，首先氧化亚硫酸根离子，若亚硫酸根离子完全反应后，氯气剩 余，可以再氧化碘离子，可能发生 2Cl2+2I-+SO32-+H2O=4Cl-+SO42-+2H++I2，故 C 不选； D．向 Na2SO3、NaI 的混合溶液中滴加少量氯水，首先氧化亚硫酸根离子，若反应后 Na2SO3 过量，则可能发生 Cl2+3SO32-+H2O=2Cl-+SO42-+2HSO3-，故 D 不选； 故选 B。 4．C 【来源】福建省莆田市第十一中学 2019-2020 学年高三上学期期中考试化学试题 【解析】 【详解】 A、次氯酸为弱酸，不能拆分，所以氯气溶于水的离子反应方程式为：Cl2＋H2O=H＋＋Cl－＋HClO，A 错误； B、硝酸具有强氧化性，能将亚硫酸根氧化为硫酸根，所以向稀 HNO3 中滴加 Na2SO3 溶液的离子反应方程式为： 3SO32-＋2H＋+ 2NO3-=3SO42-＋2NO↑+H2O，B 错误； C、酸性溶液中 KIO3 与 KI 反应生成 I2 的离子反应方程式为：IO3-＋5I－＋6H＋=3I2＋3H2O，C 正确； D、向 NaHCO3 溶液中加少量 Ba(OH)2 溶液：2HCO3-＋Ba2＋＋2OH－=BaCO3↓＋2H2O+ CO32-，D 错误； 故选 C。 【点睛】 当离子反应方程式涉及过量和少量时，假设少量的为 1mol，再根据具体反应添加。如 D 选项：Ba(OH)2 溶液少 量，则假设 Ba(OH)2 为 1mol，则含有 2mol OH－和 1mol Ba2＋，2mol OH－能与 2mol HCO3-完全反应同时生成 2molH2O
2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中数学(文)试题
绝密★启用前 2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中数学（文)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．i 是虚数单位,复数12ai i +-为纯虚数,则实数a 为( ) A ．2 B ．2- C ．12- D ．12 2．若向量()()2,3,1,2a b ==-v v ，则()2a a b ⋅-=v v v （ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1127m m m a a a -+++=，且45m S =，则m =（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 4．设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β平行于同一条直线 C ．α内有两条相交直线与β平行 D ．α，β垂直于同一平面 5．已知曲线()(21)x f x a e =+在0x =处的切线过点(2,1),则实数a =( ) A ．3 B ．3- C ．13 D ．13- 6．函数()()2sin sin 2x x f x x x ππ-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭在[],ππ-的图象大致为（ ）……○…………线…………○……※※装※※订※※线※※内……○…………线…………○……A．B．C．D．7．若把函数()sin(2)2f x xπϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，将其图象沿x轴向右平移6π个单位后，得到函数()y g x=的图象，则()()y f x g x=-的最大值为（）A B C．12D．18．如图，三棱锥A BCD-中，90DAB DAC BAC∠=∠=∠=︒，1AB AD AC===，M，N分别为CD，BC的中点，则异面直线AM与DN所成角余弦值为（）A．16B．6C D．569．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题；①如果m n⊥，mα⊥，//nβ，那么αβ⊥.②如果mα⊥，//nα，那么m n⊥.③如果//αβ，mα⊂，那么//mβ.④如果//m n，//αβ，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．定义在R的函数()f x满足(1)(1)f x f x+=-+，当1x≠时，恒有()()xf x f x''>成立，若12m<<，(2)ma f=，2(log4)b f=，2(log)c f m=，则a，b，c大小关系…外…………○…学校…内…………○…A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >> 11．在ABC ∆中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．无法确定 12．设定义在()0,∞+的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()30xf x f x '+>，则关于x 的不等式()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．()3,6 B ．()0,3 C ．()0,6 D ．()6,+∞ 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知cos 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α=____ 14．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 15．已知0x >，0y >，80x y xy ++-=，则xy 的最大值是______. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PE EC =__________． 三、解答题 17．已知关于x 的不等式21x m -≤（m R ∈）的解集为[]0,1.…………装…………○………※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※…………装…………○………（1）求m 的值； （2）若a ，b ，c 均为正数，且a b c m ++=，求111313131a b c +++++的最小值. 18．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos 6c B b C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ . (1)求角C 的大小； (2)若ABC ∆的周长为12，面积为.19．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点，M 为AB 中点．（1）求证：//FM 面11A ACC ；（2）求证：AF BC ⊥．20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()21n n n a S n +=+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1132n a n n b a -=++⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上.线…………○……线…………○…… （1）求证：面EMF ⊥面PAC ； （2）若M 为线段PD 的中点，求直线ME 与平面PAD 所成角的正切值.22．已知函数2()2x k f x e x =-有两个不同的极值点1x ，2x ． （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：122x x +>．参考答案1．A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后令【详解】1(1)(2)2(2)(2)ai ai i i i i +++=--+Q 2(21)4a a i -++= 2(21)42a a i -+=+ 复数12ai i +-为纯虚数 20,2210a a a -=⎧∴∴=⎨+≠⎩， 故选：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．D【解析】【分析】根据向量,a b r r 的坐标，求解出2a b -r r 的坐标表示，然后根据坐标形式下向量数量积的计算公式求解出()2a a b ⋅-r r r 的结果.【详解】因为()()2,3,1,2a b ==-r r，所以()24,1a b -=-r r ， 所以()()224315a a b ⋅-=⨯+⨯-=r r r ， 故选：D .【点睛】本题考查坐标形式下向量的数量积计算，难度较易.3．B【解析】【分析】利用等差中项的性质求出m a 的值，然后利用等差数列的求和公式，结合条件45m S =可求出m 的值.【详解】由等差中项的性质可得11327m m m m a a a a -+++==，解得9m a =，()15452m m m a a S m +∴===，解得9m =. 故选：B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了利用等差数列的求和公式求参数，考查运算求解能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据面面平行的判定逐个选项分析即可.【详解】解：对于选项A ：当α与β相交时,α内也有无数条直线与β平行,所以选项A 不正确： 对于选项B ：当α、β平行于同一条直线时,α与β可能相交,所以选项B 不正确；对于选项C ：根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.可知C 正确；对于选项D ：当α、β垂直于同一平面,则α与β可能垂直,例如墙角的三个面,所以选项D 不正确；故选：C.【点睛】本题主要考查了面面平行的判定,属于基础题.5．D【解析】【分析】利用导数求出曲线f （x ）＝（2a +1）e x 在x ＝0处的切线方程，把已知点的坐标代入即可求解a 值．【详解】由f （x ）＝（2a +1）e x ，得f ′（x ）＝（2a +1）e x ，∴f ′（0）＝2a +1，又f （0）＝2a +1，∴曲线f （x ）＝（2a +1）e x 在x ＝0处的切线方程为y ﹣2a ﹣1＝（2a +1）（x ﹣0）， 代入（2，1），得﹣2a ＝4a +2，解得a 13=-． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是简单复合函数的求导，是中档题． 6．D【解析】【分析】 先判断奇偶性,再根据2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小判定即可. 【详解】解：()()22sin sin cos sin 2x xx x f x x x x x ππ-++==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭Q ,()()2sin cos x x f x f x x x +-=-=-+, ()f x ∴为奇函数,故A 错；2214221202f πππππ++⎛⎫==> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故BC 错；故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数值分析.属于基础题.7．D【解析】【分析】根据()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，得出sin()03πϕ-+=，结合2πϕ<求出函数()f x 的解析式，由平移变换得出函数()y g x =的解析式，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式化简函数()()y f x g x =-的解析式，根据余弦函数的性质即可得出最大值.【详解】 由于函数()sin(2)2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭ 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 所以sin()03πϕ-+=，即()3k k Z πϕπ-+=∈，整理得3k πϕπ=+ 由于2πϕ<，所以3πϕ=则()sin 23f x x p 骣琪=+琪桫将其图象沿x 轴向右平移6π个单位后，得到函数()sin 2sin 233y g x x x ππ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭1()()sin 2sin 2sin 22sin 2cos 2326y f x g x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当22()6x k k Z ππ+=∈时，函数()()y f x g x =-的最大值为1故选：D【点睛】本题主要考查了求图象平移后的解析式以及求余弦型函数的最值，属于中档题.8．B【解析】【分析】取NC 中点P ,连接,AP MP ,即可得//DN MP ,则将异面直线AM 与DN 所成角转化为 AM 与MP 所成的角,再利用解三角形的方法求解夹角余弦值即可.【详解】取NC 中点P ,连接,AP MP ,又因为M 为CD 中点,故//DN MP ,故AM 与DN 所成角即为AM 与MP 所成的角.由题得11,44AC NP CP BC ====,又N 为BC 的中点,1AB AC ==,90BAC ∠=︒,所以12AN BC ==AN BC ⊥.故4AP ==,又124MP DN ====.又122AM DC ==,故222135cos 26AM MP AP AMP AM MP +-+-∠===⋅ 所以异面直线AM 与DN所成角余弦值为6. 故选：B.【点睛】 本题主要考查了利用空间直线夹角的问题,需要根据题意利用平行转换异面角为三角形中的角度再计算,属于基础题.9．C【解析】【分析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④．【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n与β所成的角相等，④正确.故选：C .【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．10．A【解析】【分析】由(1)(1)f x f x +=-+，可知()f x 的对称轴为1x =，由12m <<，可得224m <<，20log 1m <<，2log 42=，进而可得到a b c >>．【详解】解：因为函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-+，所以()f x 的对称轴为1x =，因为()()xf x f x ''>，所以(1)()0x f x '->，所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因为12m <<，所以224m <<，20log 1m <<，2log 42=，22(log )(log 4)(2)m f m f f <<，所以a b c >>，故选：A ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．11．A【解析】【分析】利用基底向量的方法,可得CB CA AB =+u u u r u u u r u u u r ,再化简求得12a c =,23b c =,再利用余弦定理求解得cos 0C <即可判断.【详解】 解：由2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r 得：()2sin 4sin 3sin C CA AB A CA B AB ⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r , ()()2sin 4sin 3sin 2sin C A CA B C AB ∴-⋅=-⋅u u u r u u u r ,因为,CA AB u u u r u u u r 不共线,故2sin 4sin 3sin 2sin 0C A B C -=-=由正弦定理有24320c a b c -=-=,12a c ∴=,23bc =, 令6c =,则3a =,4b =,22291636110a b c +-=+-=-<Q∴C 为钝角,故ABC ∆是钝角三角形,故选：A.【点睛】本题主要考查了基底向量与正余弦定理的运用,需要根据题意根据利用基底向量表示CB CA AB =+u u u r u u u r u u u r 化简.属于中档题.12．A【解析】【分析】构造函数()()3g x x f x =,再根据题意分析()g x 的单调性, 再化简()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭可得()()33g x g -<,再利用函数的单调性与定义域求解即可.【详解】解：令()()3g x x f x =,()()()230g x x f x xf x ''=+>⎡⎤⎣⎦, 所以()g x 在()0,∞+上单调递增,()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭,即()()()3332730x f x f ---<, 所以()()33g x g -<,3330x x -<⎧⎨->⎩,所以36x <<, 故选：A.【点睛】本题主要考查了构造函数求解抽象函数不等式的问题,需要根据题中所给的导数与不等式分析需要构造的函数结构再求解.属于中档题.13．34【解析】【分析】由诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可.【详解】cos 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q223sin 2cos 2cos 212cos 122444πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：34 【点睛】本题主要考查了三角函数的知值求值问题，属于中档题.14．12【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32a a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--， 整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】 本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15．4【解析】【分析】利用基本不等式x y +≥将80x y xy ++-=转化为关于xy 的不等式再求解即可.【详解】解：因为80x y xy ++-=,且0x >,0y >,所以808x y xy xy ++-=≥-,所以)420≤, 所以04xy <≤,故答案为：4.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要根据题意利用基本不等式将题中所给的等式转换为关于xy 的不等式再求解.属于中档题.16．13【解析】【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE EC的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以AF AB ==，而AC =故:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.17．（1）1m =（2）32 【解析】【分析】（1）题先解出绝对值不等式，然后将两个解集进行比较，可得出m 的值；（2）题在已知1a b c ++=的情况下可构造表达式再运用柯西不等式即可得到最小值．【详解】（1）解不等式21x m -≤，得1122m m x -+≤≤. 由已知解集为[]0,1， 故有102112m m -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1m =. （2）由（1），1a b c ++=.111313131a b c +++++111166313131a b c ⎛⎫=⋅⋅++ ⎪+++⎝⎭ ()()()11113131316313131a b c a b c ⎛⎫=⋅+++++⋅++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 216≥⋅ ()21311162=⋅++=. 当且仅当13a b c ===时，111313131a b c +++++的最小值32. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，对应思想的应用，柯西不等式的运用能力，不等式的计算能力．本题属中档题．18．（1）3π（2）4a b c === 【解析】【分析】(1)利用两角差的余弦公式以及正弦定理的边化角公式化简即可求解；(2)由三角形的面积公式得到16ab =，由余弦定理以及三角形的周长列式求解即可.【详解】 (1)sin cos 6c B b C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q∴由正弦定理得：1sin sin sin cos sin sin 62C B B C B C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得到：sin C C =，即tan C =(0,)C π∈Q 3C π∴=(2)由(1)可知，3C π=122S ab ∴=⨯⨯=16ab =①由余弦定理得22222()3()48c a b ab a b ab a b =+-=+-=+-②又12a b c ++=③所以联立①②③可得4a b c ===.【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、三角形面积公式以及余弦定理，属于中档题. 19．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取1AA 中点N ，连结1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ，由已知可证1//2EF ND ，又1//2AM ND ，可证四边形MAEF 为平行四边形，可证//MF AE ，利用线面平行的判定定理即可证明//FM 面11A ACC ．（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F ，可证1//PF CC ，11//AA CC ，可证1//AA PF ，可证1AA BC ⊥，又正三角形中，P 为BC 中点，可证⊥AP BC ，利用线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面1A APF ，根据线面垂直的性质定理可证AF BC ⊥．【详解】证明：（1）取1AA 中点N ，连结1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ，//AN BD Q ，AN BD =，∴四边形ANDB 为平行四边形，//AB ND ∴，AB ND =，1NE EC =Q ，1C F FD =，1//2EF ND ∴ 又1//2AM ND Q ， ∴四边形MAEF 为平行四边形，//MF AE ∴，MF ⊂/Q 面11A ACC ，AE ⊂面11A ACC ， //FM ∴面11A ACC ．（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F ， 三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC ，D 为1B B 中点， ∴四边形1BDC C 为梯形，又P 为BC 中点，F 为线段1C D 的中点， 1//PF CC ∴，三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，1//AA PF ∴，AF ∴⊂平面1A APF ，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， 1AA BC ∴⊥①正三角形中，P 为BC 中点，则⊥AP BC ②， 由①②及1AA AP A =I ，得BC ⊥平面1A APF ， AF BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（1）21n a n =-；（2）241n n T n n =++-【解析】【分析】(1)利用通项公式与前n 项和n S 的关系求解即可.(2)由(1)有1234n n b n -=+⋅,再根据分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：（1）()21n n n a S n +=+, 2n ≥时,()()()211111n n n a S n ---+=+-,两式相减得：()()()11121n n n a n a n ----=-因为2n ≥,所以12n n a a --=,又11a =,所以数列{}n a 为首项11a =,公差2d =的等差数列,所以21n a n =-.（2）由于21n a n =-,所以11232234n a n n b n n --=+⋅=+⋅,故()()24122341241n n n n n T n n -+=+⋅=++--. 【点睛】本题主要考查了利用通项公式与前n 项和n S 的关系求解数列通项公式的方法以及分组求和与等差等比数列求和的公式.属于基础题.21．（1）证明见解析；（2【解析】【分析】(1) 分别证明EF AP ⊥,AC EF ⊥从而得到EF ⊥面PAC 再证明面EMF ⊥面PAC 即可.(2) 连接AE ,AM ,证明EMA ∠为线面角,同时证明Rt MAE ∆并求解tan EMA ∠即可.【详解】解：（1）证明：PA ⊥Q 面ABCD ,EF ⊂面ABCD ,EFAP ∴⊥,在ABC ∆中,AB AC =,45ABC ACB ∠=∠=︒, AB AC ∴⊥,∴四边形ABEF 为平行四边形,//AB EF ∴,AC EF ∴⊥,AP AC C =Q I ,AP ⊂面PAC ,AC ⊂面PAC ,EF ∴⊥面PAC ,又EF ⊂面EMF ,∴面EMF ⊥面PAC .（2）解：连接AE ,AM ,ABC ∆中,AB AC =Q ,E 为BC 的中点,AE BC ∴⊥,平行四边形ABCD 中,AD BC ∥,AE AD ∴⊥,PA ⊥Q 平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,AE PA ∴⊥,AE AD A =Q I ,AE ∴⊥平面PAD ,AM ∴是EM 在平面PAD 中的射影,EMA ∴∠是EM 与平面PAD 所成的角,等腰直角三角形ABC ,2AB AC ==,AE ∴=,BC ==Q AD ∴=PA ⊥Q 平面ABCD ,PA AD ∴⊥,2PA =Q ,PD ∴=又M 为PD 的中点,故AM =Rt MAE ∆中,tan AE EMA AM ∠==,∴直线ME 与平面PAD .【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及线面角的证明与求解等.需要根据题意根据线面垂直证明线面垂直以及根据线面垂直确定线面角的正切值大小等.属于中档题.22．（1）(,)e +∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接对()f x 求导，研究其极值点个数即可；（2）双变量问题，先想办法化成一个变量，转化为一元函数求值域问题，只需将12x t x =即可．【详解】解：（1）()x f x e kx '=-，()x f x e k ''=-，若0k …，则()0f x ''>恒成立，则()f x '单调递增，则()f x 至多有一个极值点，故舍去；若0k >，由()0f x ''>得x lnk >；由()0f x ''<得x lnk <，()f x '在(,)lnk -∞递减，(,)lnk +∞递增所以()(1)0f lnk k lnk '=-<，从而k e >，(0)10f '=>，1(1,)x lnk ∃∈，1()0f x '=，又(2)(2)f lnk k k lnk '=-，设2()2,()10()h k k lnk h k k e k'=-=->>，所以()h k 在(,)e +∞递增， ()h k h >（e ）20e =->，2(,2)x lnk lnk ∃∈，2()0f x '=，由()0f x '>得1x x <，或2x x >， 由()0f x '<得：12x x x <<，所以()f x 在1(,)x -∞递增，1(x ，2)x 递减，1(x ，)+∞递增，k e >时函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，故实数k 的取值范围为(,)e +∞．（2）1211221122()0,()0,x x f x e kx f x e kx x lnk lnx x lnk lnx ''=-==-=⇒=-=-，2211x x x ln x -=+， 设21x t x =，则2112,,11lnt tlnt x x lnt x x t t -===--，21(1)11lnt tlnt x x t t t +=+>--， 令()2(1)g t lnt tlnt t =+--，1t >，则1()1g t lnt t '=+-，1()0t g t t-''=>， 从而()()()()111,,1,10g t lnt t g t g t'=+-+∞>'>'=在递增所以时，()g t 在(1,)+∞递增，所以1t >时，()g t g >（1）0=，即1t >时，2(1)0lnt tlnt t +-->，即2(1)lnt tlnt t +>-，故()121,2,21lnt tlnt t x x t +>>+>-时即． 【点睛】本题第一问主要考察函数极值点个数问题，考察分类讨论思想；第二问考察转化思想，将两个变量通过比值代换转化为一个变量，从而利用函数性质求解，属于中档题．。
2020【新版上市】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学届高三数学第一学期期中试题 文
2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试数学试题（文科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{20}A x x x =+-<，集合21{|1}B x x=>，则A B =I A ．(1,2)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,1)- D ．(1,0)(0,1)-U 2．已知2sin cos 0θθ+=，则2sin cos cos θθθ-的值 A ．65-B ．35-C ．35D ．653．已知向量(1,3)=a ，向量,a c 的夹角是3π，2⋅=a c ，则||c 等于 A ．12B ．1C ．2D ．2 4．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥n B ．,αγβγα⊥⊥⇒∥βC ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m nD ．,,αββγ==I I m n m ∥α⇒n ∥β 5．已知角α的终边经过点P ()2,1，则sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为 A ．5-B ．25-C ．5D ．25 6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺7．函数()sin()ωϕ=+f x A x （其中0,||2πϕ><A ）的图象如图所示，为了得到()cos 2=g x x 的图象，则只要将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度俯视图侧视图正视图3112C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 8．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，则直线1A B 与1AC 所成角的大小为A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9．若函数()()20.3log 54=+-f x x x 在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32=c ，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<10．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则91056a a a a -=-A ．16B ．8C ．4D ．211．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A ．3 B ．43 C ．53 D ．11312．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()2(+3)f x f x =， 当30x -<≤时，3()log (1)f x x =-，则(2018)=f A ．67312- B ．67212- C ．67212 D ．67312二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()1,02,0x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则()()2f f -= ．14．已知32)24sin(=-θπ，则=θsin ．15．已知向量(1,2)=a ，(3,2)=-b ，若k （)+a b ∥3)-（a b ，则实数k 的值为 ． 16．已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A ． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若33a c +=，3b =,求ABC ∆的面积．18．（本小题12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足231(*)=-∈n n S a n N ，等差数列{}n b 满足11323,3b a b S ==+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点 ． （Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ； （Ⅱ）求三棱锥B MAC -的体积．20．（本小题12分）已知椭圆:E )0(12222>>=+b a b y a x 的左，右焦点分别为12,F F ，其离心率21=e ，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，且0AC BD ⋅=u u u r u u u r，当96=7AC BD +u u u r u u u r 时，求直线AC 的方程．21．（本小题12分）已知函数()ln 1x f x x+=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若()()ln g x f x a x =+在()0,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21*,22341--+⋅⋅⋅<∈≥+++n n n n N n n n .考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请填涂题号 ． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，已知:(0)l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ，当α在区间[0,)2π上变化时，求OB OA的最大值．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()352244f x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值a ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设,R m n +∈，且1m n +=≤2018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试文科数学参考答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DADCDBDBACAB二．填空题 13．12 14．19 15．13- 16．94π三．解答题17．解： （Ⅰ）由1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A 得，1)1cos cos sin sin (cos cos 3=-CA CA C A ,1)cos cos sin sin 3=-∴C A C A （，即31)cos(-=+∴C A ， 31cos =∴B ，又0B π<< , 322sin =∴B ． …………6分 （Ⅱ）由余弦定理得：312cos 222=-+=ac b c a B 3122)(22=--+∴ac b ac c a ， 又33a c +=，3b =，9ac =,1sin 322ABC S ac B ∆∴==． …………12分 18．解：（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴= …………3分设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ …………6分（Ⅱ）1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++L ① 则234113572133333n n n T ++=++++L ②，由①—②得，23121112112()33333n n n n T ++=++++-L 142433n n ++=- ∴223n n n T +=- …………12分19．解：（Ⅰ）取SC 中点为N ，连MN, ND,M N Q 分别是,SB SC 的中点，∴MN ∥BC ，且MN =12BC AD Q ∥BC ，且AD =12BC ，∴MN ∥AD 且MN =AD∴四边形AMND 为平行四边形，∴AM ∥ND又AM ⊄ 平面SCD , ND ⊂平面SCD ．∴AM ∥平面SCD ． ………6分（Ⅱ）SA ⊥Q 底面ABCD ，SA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，SA AB A =IBC ∴⊥平面SAB21112223323B MAC C MAB MAB V V S BC --∆∴==⋅⋅=⋅⋅⋅=． ………12分20．解：（Ⅰ）由已知，1,242c e c a ===，∴2,4c a ==，∴22212b a c =-= 故，椭圆方程为2211612x y += ………4分 （Ⅱ）∵0AC BD ⋅=u u u r u u u r，∴直线,AC BD 垂直相交于点1(2,0)F -．① 直线,AC BD 有一条斜率不存在时，6814AC BD +=+=u u u r u u u r，不成立②直线,AC BD 斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设AC 方程(2)y k x =+联立22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616480k x k x k +++-=222222(16)4(34)(1648)24(1)0k k k k ∆=-+-=+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212221616483434k k x x x x k k -+=-=++， 2212224(1)134k AC k x x k +∴=+-=+u u u r ．把k 1-代入上式可得：2234)1(24k k BD ++=，2222168(1)96(43)(34)7k AC BD k k +∴+==++u u u r u u u r，21k ∴=，即1k =±，所以直线AC 的方程为：20x y -+=或20x y ++=． …………12分 21．解： （Ⅰ）()2ln 'xf x x-=，由()'01f x x =⇒=，列表如下： x()0,11 ()1,+∞()'f x + 0 - ()f x单调递增极大值1单调递减因此增区间()0,1，减区间()1,+∞，极大值()11f =，无极小值.…………4分（Ⅱ）()()221ln 1ln '0x x a x axx g x x x x ⋅-+-+=+=≥对0x ∀>恒成立，于是，ln 0ax x -≥对0x ∀>恒成立， 所以，ln x a x ≥对0x ∀>恒成立 ()maxln ,0,x a x x ⎛⎫∴≥∈+∞ ⎪⎝⎭令()()ln ,0,xh x x x =∈+∞，则()221ln 1ln 'x xx x h x x x⋅--== 因为，()ln 1,0, x x e <∈，所以，()()'0,0, h x x e >∈，从而()h x 在()0,e 递增； 另外，()ln 1,, x x e >∈+∞，所以，()()'0,, h x x e <∈+∞，从而()h x 在(),e +∞递减． 综上，()()max ln 1e h x h e e e ===，故1a e ≥． …………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得()()()max ln 1ln 1111x x f x f x f x x x+=≤==⇒≤-，当且仅当1x =时取等号.令2*2n N n n x =∈≥（，）， ()()2222lnn 1ln 11111111111,222121n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<-⇒<-<-=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222ln 2ln 3ln 1111111111112322323421n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+⋅⋅⋅<-++-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ ()211121121241n n n n n --⎛⎫=-+-=⎪++⎝⎭2n ≥（）． …………12分 22．解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2222sin 24OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭ 由02πα≤<，知52444πππα≤+<，当242ππα+=， 即8πα=时，OB OA有最大值222+． …………10分23．解：（Ⅰ）()352244f x x x =-++2)452()432(=+--≥x x 当且仅当35(2)(2)044x x -+≤，即5388x -≤≤时，上式取等号， 即()f x 取得最小值2故2a =． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证．∵2(21)32(21)32(21),2(21)2222m n m m n n +++++≤=++≤=+，∴∴故，原不等式成立． …………10分。