第二讲 整式

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化简时要搞清运算顺序, 分清每步运算的依据. (1) )化简时要搞清运算顺序, 分清每步运算的依据. (2) 多项式的乘法能用乘法公式的要尽量用公式运算. )多项式的乘法能用乘法公式的要尽量用公式运算. 去括号时要注意符号变化. (3) )去括号时要注意符号变化.
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幂的运算 2. 1) m n m +n m +n m an m n 为正整数) ( ) a = a ⇔a = a ·a ( , 为正整数) a ;
m n m +n m +n m n
( ) am ) = am n⇔am n= ( m ) ( , 为正整数) 2) n ( a n m n 为正整数) ;
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整式的有关概念 考点解读: 在整式的有关概念的考查中, 同类项是命题热点, 考点解读 : 在整式的有关概念的考查中, 同类项是命题热点, 判断是否 为同类项, 只需看是否含有相同的字母, 为同类项 , 只需看是否含有相同的字母 , 而且相同字母的指数应分别 相同, 与字母的顺序和系数都无关, 另外, 所有的常数项都是同类项. 相同, 与字母的顺序和系数都无关, 另外, 所有的常数项都是同类项. 一 个单项式的次数应是所有字母的指数和, 的情况. 个单项式的次数应是所有字母的指数和, 不要忽略指数是 1 的情况. 年红河自治州) 【例 1】( 】 2010 年红河自治州)如果 3x2n-1ym 与- 5xm y3 是同类项, m 和 n x x 是同类项, 则 的取值是( 的取值是( ) A) 3 B) ( ) 和- 2 ( ) 3 和 2 C) 3 D) ( ) 和 2 ( ) 3 和- 2 -
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正确掌握幂的运算性质是关键, 在运算过程中注意结果 正确掌握幂的运算性质是关键, 的符号. 的符号.
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x) ÷ 的结果正确的是( 计算( 3 x的结果正确的是( 2x x的结果正确的是 A) 8x B) 6x ( ) x2 ( ) x2 C) 8x D) 6x ( ) x3 ( ) x3 解析: 原式= 8x3÷ x2, x=8x 故选 A. 解析: 原式= x x= .
年成都) 下列计算正确的是( 针对训练 2 2: 2011 年成都)下列计算正确的是( : ( ( ) A) B) x= x+x=x2 ( ) ·x= x x x=2x C) 3 D) x=x ( ) x2) =x5 ( ) 3÷ 2 ( x
)
解析: 中 x+x=2x, 中 x·x=x2, 中( 2)3=x6, 解析: A x+x= x B C x 只有 D 正确. 正确. 故选 D. .
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第二讲 整 式
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一、整式的有关概念 代数式: 字母用基本的运算符号连结而成的式子叫代数式 用基本的运算符号连结而成的式子叫代数式, 1. 代数式: 数和 字母 用基本的运算符号连结而成的式子叫代数式, 由 单独一个数或一个字母也是代数式. 单独一个数或一个字母也是代数式.
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解析: 因为 3x2n-1ym 与- 5xm y3 是同类项. 解析: x x 是同类项. 所以 故选 C. . 即 .
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正确理解同类项的概念是关键, 由于整式加减运算的实 正确理解同类项的概念是关键, 质是去括号合并同类项, 所以在考查同类项时题型多样. 质是去括号合并同类项, 所以在考查同类项时题型多样. 若干个单项 式的和或差仍是单项式, 实质是说这若干个单项式是同类项. 式的和或差仍是单项式, 实质是说这若干个单项式是同类项.
2 2x ) x+ ( ) x x ) x+2) ( x- 1) - ( ) x- 2) 4x( - 1)其中 x= ,
.
解: 原式= 4x2- 4x+ - ( 2- 4) 4x2+ 4x 原式= x x+1- x ) x x x+ = 4x2- 4x+ - x2+ 4- 4x2+ 4x x+1x x+ - x x = - x2+ 5. . 当 x= 原式= - ( 时, 原式=
m n m -n m -n m n
5) n ( ) ) = ( ≠0, 为正整数) ( b , 为正整数) n .
n
6) a ( ) 0= 1( ≠0)a-p= ( ≠0, 为正整数) a ( a ) ; , 为正整数) p .
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整式的乘除 3. 1) 整式的乘法: a+b ( +n) +bn. () 整式的乘法: ( ) m +n) am +an+bm +bn. 即 a+b) = 2) 整式的除法: 单项式相除, 系数与同底数幂分别相除作为商的因 ( )整式的除法 : 单项式相除 , 系数与 同底数幂 分别相除作为商的因 把 多项式除以单项式, 先把这个多项式的每一项除以这个单项式, 每一项除以这个单项式 再 式, 多项式除以单项式, 先把这个多项式的每一项除以这个单项式, 把所得的商相加. 把所得的商相加. () 3) 乘法公式: 两数和乘以这两数的差:a+b) (a = 乘法公式: 两数和乘以这两数的差:a+b) a- b) a2- b2. ① ( ( 两数和的平方: b 2 (a± 2ab+b ②两数和的平方: a±) = a2± ab+b2. ( b) 三、因式分解的有关概念 因式分解: 把一个多项式化为几个整式的积的形式. 1. 因式分解: 把一个多项式化为几个整式的积的形式. 因式分解与整式乘法的关系: 互逆变形, 2. 因式分解与整式乘法的关系 :互逆变形, 可以用整式乘法来检验因 式分解的正误. 多项式 式分解的正误. 积的形式. 积的形式.
n 3) ab) n n n n ab n n 为正整数) ab) ( ) ab) = a b ⇔a b = ( ) ( 为正整数) ( ; n n n n n n
( ) m ÷ n= am -n⇔am -n= am ÷ n( , 为正整数, 4) a a≠0) a a m n 为正整数, a≠ ) ;
整式 2.
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同类项: 所含字母相同, 字母相同 并且相同字母的指数也相等的项. 并且相同字母的指数也相等的项. 指数也相等的项 3. 同类项: 所含字母相同, 二、整式的运算 1. 整式的加减 1) 合并同类项法则: 合并同类项时, 只把同类项的系数相加, 系数相加 所得的结 () 合并同类项法则: 合并同类项时, 只把同类项的系数相加, 果作为系数, 字母和字母的指数保持不变. 保持不变. 果作为系数, 字母和字母的指数保持不变 ( ) 、添括号法则 2) 去 去括号法则: b+c =a+ b+c; a+( =a+b+c ①去括号法则: ( ) b+c; a+ b+c) b+c) =aa- ( ) - b- c. b+c =a 添括号法则: a+b+c=a+( ; b+c) ②添括号法则: a+b+c=a+ ( ) b+c b+c) c=a- b+c . a- b- c=a- ( )
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单项式针对训练 1 1: : 单项式- m 2n 的系数是
次数是 ,
.
解析: 解析: 由单项式系数的定义知系数是- ; 由单项式系数的定义知系数是- 由次数定义知 2+ 1= 3, + = , 即次数 是 3. . 答案: 答案: 3
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幂的运算性质 考点解读: 这部分主要是对基本计算层面的考查. 考点解读: 这部分主要是对基本计算层面的考查. 要正确区分幂的乘 方和同底数幂的乘法运算. 幂的乘方运算, 方和同底数幂的乘法运算. 幂的乘方运算, 是转化为指数的乘法运算 底数不变); 同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算( 底数不变) (底数不变); 同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算(底数不变). 年广州) 下面的计算正确的是( 【例 2】 ( 】 2011 年广州)下面的计算正确的是( ) A) 3x x B) x ( ) x2·4x2= 12x2 ( ) 3·x5=x15 x x C) x=x D) 2 ( ) 4÷ 3 x ( ) x5) =x7 ( 解析: 3x A. 故本选项错误; x B. 故本选项错误; 正 C. 解析: . x2·4x2= 12x4, x x 故本选项错误; . 3·x5=x8, 故本选项错误; . D. 故本选项错误. 确; . x5)2=x10, ( 故本选项错误. 故选 C. .
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首项为负时, 提公因式时将“ 号一起提出. (1) )首项为负时, 提公因式时将“ ” - 号一起提出. (2)当二项式可看作某两次平方的差时, )当二项式可看作某两次平方的差时, 可用平方差公式进行因式分 当三项式中的两项是两个数的平方和, 解, 当三项式中的两项是两个数的平方和, 另一项是这两项乘积的 2 倍时, 可用完全平方公式进行因式分解. 倍时, 可用完全平方公式进行因式分解. (3)因式分解的最后结果中重因式的乘积写成幂的形式, )因式分解的最后结果中重因式的乘积写成幂的形式, 结果中不能 含有多重括号, 书写最后结果时, 单项式要写在多项式的前面. 含有多重括号, 书写最后结果时, 单项式要写在多项式的前面. 可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确. (4) )可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确.
)
b=- 那么代数式 5- a+ b的值是( 针对训练 3 1: : 如果 a- 3b= - 3, b= , - a+3b的值是( A) 0 ( ) B) 2 ( ) C) 5 ( ) D) 8 ( )