百校联盟2018届高三TOP20四月联考(全国II卷)理数试题(解析版)
【全国校级联考】百校联盟2018届高三top20四月联考(全国ii卷)理数试题
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）理数试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.L 已知集合 A ={x|2 <x <51B =（x|x （x-3）<0},则 ApB=（）2.已知复数4a =(x,1 )b =(2»),若(a +b )±b ,4.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪A. (0,5)(3,5) D ・(0,3)A. 8 B . 10C.11 D 12纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分V2 ~2 ,在如图所示的古代 AB BC ，则向正八边形倒花矢昂:图片中任投一点，落在正方形 DEFG 中的概C.5.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（正八边形窗花矢最图片中,率为（A. 5 B . 11 0.14 D . 192 26. 过双曲线E ：4-4=l （a >0,b>0）的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线 E 交于A.B 两点，与双曲线Ea b 的渐近线交于C,D 两点，若|AB|=^|CD| ,则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. v = 土麗x B . y =±V5x C. y =i?x D . y =42^7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画岀的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A. — + ^3+4^2 B . 10+力+4 也 2 28. 已知f (x )=3 +1X1 +|x|),则不等式f (Ig X )< f (1网解集为(A -B . ^,10 I c. (0,10) D9. 已知数列 虹｝中，a, =7, a n + -27a n +2 =& +1 ,则A. 1028 B . 1026 C. 1024 D . 102210. f [x -y +1 >0| 巳知 D =«x, y *x—t <0 >,若存在点产D ,便得x o -3y o =3 ,则t 的取值范围为（A. 11. 已知函数f (x )=2cos x +sin 2x ---------------- ，则函数f (X )在 K -2x 卜的所有零点之和为（DA・ 3力B・ 4了C・2jt D -7i212.在三棱锥P _ABC中，AB =BC =CP=1,匕ABC =zBCP=120气平面PBC和平面ABC所成角为120。
精品解析：【全国校级联考】百校联盟2018届TOP20三月联考(全国II卷)理数试题(解析版)
百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，，则，所以集合的子集个数为4.故选D.2. 已知是虚数单位，，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选C.3. 古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息尺绢，过期第二天利息是尺，这样，每天利息比前一天增多尺，若过期天，欠债方共纳利息为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】D【解析】每天的利息构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以共纳利息为（尺）. 故选D.4. 某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】若种植2块西红柿，则他们在13，14或24位，其中两位是黄瓜和茄子，所以共有种种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共种.故选B.5. 函数的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，则时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，,由函数图象变换可得，因为，所以，故的取值范围是.故选A.6. 已知为坐标原点，等轴双曲线的左，右顶点分别为，，若双曲线的一条渐近线上存在一点，使得，且的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设，设的中点为，由，又,所以，又，所以双曲线的方程为.故选B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出考点：程序框图8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据给定的三视图可知，该几何体为如图（1）所示的几何体，是一个斜三棱柱，过点D 作AC 的平行线分别交于点E,F ，因为平面，截取后，补到几何体左侧，使得与重合，构造一个以为底面，以为高的直三棱柱，如图（2）所示，所以.点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 当时，下列有关函数，的结论正确的个数为（）①是偶函数；②与有相同的对称中心；③函数与的图象交点的横坐标之和为；④函数与的图象交点的纵坐标之和为.A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，，故①不正确；.所以，函数关于点对称，根据图象的平移，可得的图象也关于点对称，故②正确；令，得，解得或.由，所以和.所以横坐标之和为0，纵坐标之和为，故③④正确，故选C.10. 已知为坐标原点，平行四边形内接于椭圆，点，分别为，的中点，且，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据平行四边形的几何特征，A和C，D和B关于原点对称，所以为坐标原点，所以，设，所以.所以，所以，所以离心率为.故选A.11. 如图：是圆锥底面圆的直径，，是圆锥的两种母线，为底面圆的中心，过的中点作平行于的平面，使得平面与底面圆的交线长为，沿圆锥侧面连接点和点，当曲线段长度的最小值为时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据线面平行的性质定理，平面与底面圆的交线一定经过底面圆心，所以底面圆的半径为2，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，如图，曲线段AD的最小值为线段AD，所以，所以，所以，因为底面圆的周长为，所以母线长为6，，根据图形，球心一定位于所在直线上，设球心为，半径为，所以，所以，所以.故选D.点睛：（1）曲面上两点距离的最小值，一般的思路是化曲为直，即将平面展开求两点连线即可.（2）与球有关的组合体，注意运用性质，为底面的外心.12. 已知函数，，存在，使得的最小值为，则函数图象上一点到函数图象上一点的最短距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，（1）当时，.所以在上单调递减.（舍去）.（2）当时，.①当时，,在恒成立，所以在上单调递减.（舍去）.②当时，，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增.所以满足条件.设与直线平行的直线与相切，切点为，则，所以.所以切点为，所以最短距离为.故选C.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知菱形的边长为，，，，则__________．【答案】【解析】.所以.故答案为：.14. 若，满足约束条件则的取值范围为__________．【答案】【解析】满足条件的可行域如图所示，设，则,表示直线在轴上的截距，当直线经过(3,0)时最小，当直线经过(2,2)时，最大，所以，所以.故答案为：.15. 春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过人的概率为__________．【答案】【解析】根据正态分布的对称性，每个安检人口超过1100人的概率：.所以这三个安检人口每天至少有两个超过1100人的概率为.16. 已知数列的奇数项和偶数项为公比为的等比数列，，且.则数列的前项和的最小值为__________．【答案】【解析】当为奇数时，设；当为偶数时，设，综上：设.为偶数时，.又.当时，因为是关于的增函数，又也是关于的增函数，所以，学。
百校2018届高三第二次联考(理数)
广东省百校2018届高三第二次联考数学（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•复数z满足（z ，则z=（）A. —2B. —C. 2D. 12 22•已知A=｛x|y =log2（3x-1）｝,B 二｛y|x2y2=4｝，则A B二（）1 111A. （0＜）B. [-2-）C. H,2]D. （;,2）3 3 3 33.下表是我国某城市在20XX年1月份至10月份各月最低温与最高温（C）的数据一览表椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A •最低温与最高温为正相关B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D . 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4.已知命题p : x 2是x log 25的必要不充分条件；命题q :若sin x '，贝U32cos2x二sin x，则下列命题为真命题的上（）A. p q B . （—p） q C . p 广q）D . （一p）（一q）5.在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，若SnA3n ,Bc5、、，且csC=5，6 则a =（）A . 2-2B . 3C . 3^2D . 46•某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为A . 8 4,2 2,5B . 6 4,2 4.5C . 6 2 2 2 5D . 8 2,2 2、5―17.将曲线C 1 : y =sin(x)上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的62C 2：y = g x ，则g x 在［-二，0］上的单调递增区间是(x -2y-2 _09.设x, y 满足约束条件 x • 2y -6 一 0y -2 <07 A .[-]]7B .[-甸Jt6]A . 7B . 10 B .［丁丐A . [「6 则输出的C . 13D . 1610.函数 f (X )二 2 x - xe 「e x 2+ x _2的部分图象大致是( 曲线向左平移 一个单位长度，得到曲线22y x z=的取值范围是(yA, B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且 ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为 （ ）A . （1,、.2）B . （、、2, .2 .2）C . （、.2,2）D . （1,、.2） （.2 .2,：：）1 x12. 已知函数f （x ）=e 2x 二g （x ）=：+1 ，若f （m ）=g （n ）成立，则n-m 的最小值为（ ）11 A . In2 B . In 2 C .2ln 2D . 2ln 222 第U 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量 m 与向量n 互相垂直，且m —2n = （11 -2）,若m = 5，则n = ________14. 在二项式"』）6的展开式中，其3项为120，则x =——.15.如图，E 是正方体ABCD -A ]BC 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且 BD 1 / /平面BQF ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为216.已知点A 是抛物线C:x =2py （p 0）上一点，O 为坐标原点，若A, B 是以点M （0,8） 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且 ABO 为等边三角形，则p 的 值是 __________ .、解答题 （本大题共6小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演2 211.过双曲线 笃-当 "（a 0,b 0）的右焦点且垂直于a bx 轴的直线与双曲线交于算步骤.）（一）必考题（60分）17.已知正项数列 & ?满足印=1, a2 - a^a 2^ a n ,，数列:b n ?的前n 项和S n 满足2Sn = n - a n.（1）求数列〔a n !, IbJ 的通项公式；1（2）求数列｛｝的前n 项和T n.an 1bn18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位， 在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第 一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立， 某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品， 根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件1 4 3丄，兰，3，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次2 5 54 1 2 5，2,3（1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率; （2）经过前后两次烧制后， 甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 X ，求随机变量X的数学期望•19•如图，四边形 ABCD 是矩形，AB =3、、3,BC =3,DE =2EC,PE _ 平面 ABCD,PE = 6. （1） 证明：平面PAC —平面PBE ； （2） 求二面角 A -PB -C 的余弦值.2 2 20.已知椭圆C :X2 -y ^=1（a b 0）的长轴长是短轴长的 2. 2倍，且椭圆C 经过点 a b工艺品合格的概率依次为42A(2,).2(1)求椭圆C的方程；(2)设不与坐标轴平行的直线丨交椭圆C于M , N两点，MN| = 2J2，记直线丨在y轴上的截距为m,求m的最大值.221.函数f x ]=x mln(1 x).(1 )当m .0时，讨论f x的单调性；(2)若函数f x有两个极值点x,,x2，且为：::x2，证明：2f (x2) • -捲• 2x, In2 . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.「X = cos日22•在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为G为参数)，曲线C2的y = 1 +si n 日X x = 2cos参数方程为(「为参数)畀=s in申(1 )将G，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线I的极坐标方程为：-(COST -2sin二)=4，若G上的点P对应的参数为，点Q上在C?，点M为2PQ的中点，求点M到直线I距离的最小值•23.已知f(x)=x—a +x+2a+3 .(1)证明：f x 一2 ；3(2)若f( ) <3，求实数a的取值范围.2数学(理科)参考答案、选择题、填空题三、解答题所以 订,是以1为首项，1为公差的等差数列,当n_2时，b n =S n -S n 」=2n ，当n =1时b =2也满足，所以b n =2n .1 1 111（2）由（1）可知（），a n卅b n2n （n+1） 2 n n +11 11111 1 1 n 所以人兮73)GV(丁百)“冇18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件A, A, A 3,(1)设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格, 则 pg J 1 2.1 42 1 125525525550(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 所以随机变量X : B(3,0.4), 所以 E X P=3 0.4 = 1.2.19. （ 1）证明；设BE 交AC 于F ,因为四边形 ABCD 是矩形，AB =3、、3,BC =3,DE =2EC ,CE BC所以CE =寿3,,BC AB1-5: ACBAB6-10: CBDAD 11、 D 12: A13. 514.215.卫5216.—17•解：(1)因为 2 a n a n 二2a n 1-a n 1，所以,a n 1 a na n 1 - a n - 1= 0，因为 a n 10,a n，所以 a n 1 a n = 0，所以 a n 4 ~' a n-1，n又ABC 二BCD ，所以ABC ：：BCE, BEC 二ACB ,2JT因为BEC 二ACE 二ACB ACE ,2所以AC _ BE，又PE _平面ABCD .所以AC _ PE，而PE BE = E，所以平面PAC _平面PBE ;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可得A(3, -2. 3,0), B(3,. 3,0), C(0,3,0), P(0,0,6),——J则AB =(0,3 .3,0), BP =(-3,-'、3, \6),CB =(—,3设平面APB的法向量3>/3y1 = 0厲=(捲，比，乙)，则——1-3捲- J3y1+ 46/=0=1，即n i =(±,0,1)3设平面BPC的法向量- 3x2 = 0"EM)，则_3X2「3y2 危2=0，取X2 =0,% =2, Z i =1，即m = (0^. 2,1)设平面APB与平面BPC所成的二面角为二，则cos日n1n2、、5jr n i - 5厂由图可知二面角为钝角，所以cos= = -—55n20.解：（1）因为 ^2 2b ，所以椭圆的方程为22 2xb =1,a =8，椭圆的方程为y8m 2 二73 ，满足 口2 :：: 1 . 8k 2，8所以m 的最大值为y14 - 7 .把点 A(2,的坐标代入椭圆的方程，得丄丄18b 2 b 2所以(2) 设直线I 的方程为y 二kx m,M (X i ,yJ,N(X 2, y ?),联立方程组 —y 2 -1I 8y = kx m2 2 2得(1 8k )x 16kmx 8m -8 = 0,由 256m 2 -32(m 2 -1)(1 8k 2)0 ,得:::1 8k 2，216km 8m -8所以 x | X 22 , X [ X 22 ，所以MN = J 1+k 2 \&花+x 2)2—4为屜mi)2 4 8m 2 -8 4、2 1 k 2 : 8k 21-m 21 8k 2由4zrv.8k 2，得(8k 2 1)(3-4k 2)令k 21 2m =21当且仅当1 8k 24(k 2 1)二t(t 1)= k 2二 t _ 1，所以 m^-32t2 84t -49，4t-(8t49)4t _21 -14，2，即8^49，4tt =3时，上式取等号, 8此时k 221.解：函数f X 的定义域为（-1,七），f X =21（1 ）令g x [=2x 2x m ，开口向上，x - - 为对称轴的抛物线， 当x • _1时，1 1 1①g （-2）m_0，即m_2时，gx_O ，即f x _ 0在（-1」：：）上恒成立,J - 2m 1 J - 2m —2 —必2 _ _2 —2—、、1-2m 1，当 X 1 ：：： X ：：： X 2 时,22即 f x ：0，当-1 . x x 1 或 x x 2 时，g x ]，0，即 f x 0，11 *, 1~2m 1 T1-2m 「¥ 亠综上，当0 ::: m 时，f x 在（， ）上递减，22 2 2 2亠 1 / —2m 1 J 1 —2m 、1在（-1,）和（ ，=）上递增，当m 时，在（-1,=）上递增.2 2 2 2 2（2）若函数f X 有两个极值点X j ,X 2且X^ X 2，1 1则必有0 ::: m ：：： £，且-1 ：：：洛 x 2 :: 0，且f x 在x 1, x 2上递减，在（-1,xJ 和（X 2, •：：）上递增，则 f (x 2) ：： f (0) =0,因为x , ,x 2是方程2x 2 2x ^0的两根，所以 X ! x 2 二-2,x 1x^-m ，即为=-1 - x 2, m = 2为，x 2，2要证 2f (x 2) -为 2x 1 In 2又 2 f (x 2) =2x ； 2mln(1 X 2)=2X ； 4x^21n(1 x 2)-2x | 4(1 x 2)x 2In(1 x 2)-(-1 x 2)2(-1 -x 2)ln 2=1 冷-2(1x 2)ln 2，2x 2 2x m1 ②当0 ：：： m 时,2由 g x ] = 2x 2x m ，得 x =-因为 g -1 二 m ・0,所以-r ：： x 1 < -1g X ：0，即证2x； -4(1 x?)x21n(1 %) -(1 x2)(1 -21 n 2) 0 对--■ x ■■■ 0恒成立,221设」x =2x -4(1 x)xln(1 x) -(1 x)(1 -2ln 2),( x ：：： 0)4则」x = -4(1 2x)ln(1 x) -Ine14 当 x :：: 0时，1 2x ■ 0,ln(1 x) ::: 0,ln — • 0 ,故’x 0 ,2e1所以，x 在(-3,0)上递增， J 1 1 1 1 故」x'( — )=2 4 — ln (1 —2ln 2) =0 , 2 4 2 2 2所以 2x ； -4(1 x 2)x 2ln(1 屜)-(1 x 2)(1 -2ln 2) 0 , 所以 2f (X 2)-为2x 1 ln2.22.解：(1) C 1的普通方程为x 2 (y -1)2 =1 , 它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，2C 2的普通方程为y 2 -1，它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆.41(2 )由已知得 P(0, 2)，设 Q(2cos ysi nr)，则 M(cos\1si nJ , 2直线l : x -2y -4 =0，点M 至y 直线l 的距离为cos ： -sin v - 65 =所以d 兰异翌 =6血7° ，即M 到直线l 的距离的最小值为 6亦_后V555所以f x -2.3a 2 2a 3,a -3,a 2 _2a,a ：：： - 3 L 423. (1)证明：因为f X 二而 x +2a 十3 —x +a 2 2x -a+|x + 2a +3 > =a 2 +2a+3 2x 2a 3-x a =(a 1)22 一2 ,3 2丄3 丄3f (_—) =a 2 +— + 2a +_2 2 2(2)因为- 3 -3a v — — a八——吕F ~—4£4〉2- 2r a + 2a + 3 < 3 r a —。
2018届高三4月联考数学试题(有答案,有附加题)
2018届高三联考数 学2018.04.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.若i z 231-=，)(12R a ai z ∈+=，21z z ⋅为实数，则=a _____.2.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从中抽取40辆汽车进行测速分析,得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图,时速在h km /70以下的汽车有_____.3.已知命题411:＞a p ，01,:2＞++∈∀ax ax R x q ，则p 成立是q 成立的_____.（选“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.4.从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率是_____.5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____.6.设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥+-02023201y y x y x ，则y x z 43+-=的最大值是_____.7.若)(x f 是周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，308)(2+-=x x x f ，则=)10(f _____.8.正方形铁片的边长为cm 8，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为____.9.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示，32)2(-=πf ，则=)0(f ____.10.平面直角坐标系xOy 中，双曲线)0,0(1:22221＞＞b a by a x C =-的渐近线与抛物线)0(2:22＞p py x C =交于点B A O ,,,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为____.11.已知点)2,1(),0,3(---B A ，若圆)0()2(222＞r r y x =+-上恰有两点N M ,，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.12.设E D ,分别为线段AC AB ,的中点,且0=⋅CD BE ,记α为AB 与AC 的夹角,则α2cos 的最小值为____.13.已知函数x a a x e e x x x x f --++--=4ln 32)(2，其中e 为自然对数的底数,若存在实数0x 使3)(0=x f 成立，则实数a 的值为____.14.若方程0|12|2=---t x x 有四个不同的实数根4321,,,x x x x ，且4321x x x x ＜＜＜，则)()(22314x x x x -+-的取值范围是____.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =.（1）求b 的值； （2）若4π=B ，S 为ABC ∆的面积，求C A S cos cos 28+的取值范围.16.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥,点F E ,分别是111,B A BB 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证:∥EF 平面1ADC .17.科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少%10.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m 万吨)0(＞m .（1）求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示）； （2）若A 市永远不需要采取紧急限排措施,求m 的取值范围.18.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a by a x C =+的左顶点，右焦点分别为F A ,，右准线为m .（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围；（2）在(1)的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为)0,2(-，设N M B ,,是椭圆上的三点，且ON OM OB 5453+=,求:以线段MN 的中点为圆心,过F A ,两点的圆的方程.19.设函数x ax x f ln 121)(2--=，其中R a ∈. （1）若0=a ，求过点)1,0(-且与曲线)(x f y =相切的直线方程；（2）若函数)(x f 有两个零点21,x x . ①求a 的取值范围；②求证：0)()(21＜x f x f '+'.20.设+⊆N M ，正项数列}{n a 的前n 项的积为n T ，且M k ∈∀，当k n ＞时，k n k n k n T T T T =-+都成立.（1）若}1{=M ，31=a ，332=a ，求数列}{n a 的前n 项和； （2）若}4,3{=M ，21=a ，求数列}{n a 的通项公式.附加题21B .选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵1 1a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l的方程．21C .选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2nn nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．联考数学试题Ⅰ一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．若132z i =-，21()z ai a R +∈=，12·z z 为实数，则a = ▲ ．232．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取40辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有 ▲ 辆． 163．已知命题11:>4p a ，命题210q x R ax ax +∀∈+>：，，则p 成立是q 成立的 ▲ 条件（选“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”填空）． 充分不必要4．从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为▲ ．235．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ▲ ．456．设,x y 满足约束条件10232020x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩,则34z x y =-+的最大值是 ▲ ．57．已知()f x 是周期为2的奇函数且当()0,1x ∈时()2830f x x x =-+,则()10f= ▲ ．24- 8．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为▲ ．π79．已知函数()()f x Acos x ωϕ=＋的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = ▲ ．2310．平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为▲ ．3211．已知点3,0()1),2(A B ---，，若圆()222(2)0x y r r +=->上恰有两点M N ，，使得MAB∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ▲ ．292(,)2212．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，cos 2α 的最小值为 ▲ ．72513．已知函数2()23ln 4x aa x f x x x x ee --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ▲ ． 1ln 2-14. 若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是 ▲ . (8,45]二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且3sinAcosC cosAsinC = .（1）求边b 的值；（2）若4B π=，S 为ABC ∆的面积，求82cos S AcosC +的取值范围．解：（1）由正弦定理sin sin a c A C = ，余弦定理222222cos ,cos 22a b c b c a C A ab bc+-+-== sin cos 3cos sin A C A C =可等价变形为222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅化简得2222b a c -= ……………………3分222a c b -= 4b ∴=或0(b =舍）……………………6分若求范围： （2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=382cos 82cos()82cos(2)4S AcosC A C A π=-=-∴+……………………10分在ABC ∆中，由3040202A A C A Cπππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪>⎩ 得3(,)82A ππ∈ 32(0,)44A ππ∴-∈，32cos(2)(,1)42A π∴-∈ 82cos (8,82)S AcosC ∈∴+……………………14分若求定值：由sin cos 3cos sin A C A C =得tan 3tan A C = 故2tan tan 4tan tan tan()11tan tan 13tan A C CB AC A C C+=-+=-=-=-- 解得27tan 3C ±=2220a c b -=>27tan 3C +∴=故tan 27A =+ 由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=382cos 82cos()82cos(2)8(sin 2cos 2)4S AcosC A C A A A π∴+=-=-=- 2222sin 2cos 22tan 1tan 8()8sin cos tan 1A A A A A A A --+==⋅++ 解得82cos 47S AcosC +=……………………14分16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F分别是1BB ，11B A 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．解：（1） 正三棱柱111C B A ABC -，∴⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，∴AD C C ⊥1，又D C AD 1⊥，111C C C D C = ∴⊥AD 平面11B BCC ，………………………………………………………3分 又 正三棱柱111C B A ABC -，∴平面ABC ⊥平面11B BCC ，∴⊥AD BC ，D 为BC 的中点．………6分（2） 连接B A 1，连接C A 1交1AC 于点G ，连接DG 矩形11ACC A ，∴G 为C A 1的中点， 又由(1)得D 为BC 的中点，∴△BC A 1中，B A DG 1//…………………9分 又 点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点，∴△B B A 11中，B A EF 1//，∴DG EF //，……12分 又⊄EF 平面1ADC ，⊂DG 平面1ADC ∴//EF 平面1ADC ．………14分17．（本小题满分14分）AA 1BCB 1C 1DEF AA 1BCB 1C 1DEF G科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨（m >0）.（Ⅰ）求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示)； （Ⅱ）若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围. 解：设2018年的碳排放总量为1a ，2019年的碳排放总量为2a ，… （Ⅰ）由已知，14000.9a m =⨯+,220.9(4000.9)4000.90.9a m m m m =⨯⨯++=⨯++=324 1.9m +. （4分）（Ⅱ）230.9(4000.90.9)a m m m =⨯⨯+++324000.90.90.9m m m =⨯+++,…124000.90.90.90.9n n n n a m m m m --=⨯+++⋅⋅⋅+10.94000.94000.910(10.9)10.9nnn n m m -=⨯+=⋅+--(40010)0.910n m m =-⋅+.（8分） 由已知有*,550n n N a ∀∈≤（1）当400100m -=即40m =时,显然满足题意；（9分）（2）当400100m ->即40m <时，由指数函数的性质可得:(40010)0.910550m m -⨯+≤，解得190m ≤.综合得40m <；（11分）（3）当400100m -<即40m >时，由指数函数的性质可得:10550m ≤，解得55m ≤,综合得4055m <≤.（13分） 综上可得所求范围是(0,55]m ∈. （14分）18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ．（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围;（2）在（1）的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(2,0)-，设B 、M 、N 是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中点为圆心，过,A F 两点的圆方程．解： （1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即2a c a c c -≥+,22a a c c≥+,12a c c a ≥+,112e e ≥+,2210e e +-≤102e <≤…………………………………………4分 （2）当12e =且(2,0)A -时， (1,0)F ，故2,1a c ==， …………………………………………5分所以3b =，椭圆方程是：22143x y += …………………………………………6分 设1122()()M x y N x y ，，， ，则2211143x y +=，2222143x y +=． 由3455OB OM ON =+，得 12123434(,)5555B x x y y ++． 因为B 是椭圆C 上一点，所以2212123434()()5555+=143x x y y ++ …………………8分 即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x xy y ++++⋅⋅+=1212043x x y y += ………① …………………10分 因为圆过,A F 两点， 所以线段MN 的中点的坐标为121 (,)22y y +- …………11分 又2222212121212121111()(2)[3(1)3(1)2]24444y y y y y y x x y y +=++=-+-+………② …………12分 由①和②得222212121212111313121()[3(1)3(1)3()][2()](2)24442444416y y x x x x x x +=-+-+-=-+=⋅-=所以圆心坐标为121(,)24-±…………14分 （少一解扣一分） 故所求圆方程为 2212157()()2416x y ++±= ………………16分 19．（本小题满分16分）设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a R ∈ ． （1）若0a =，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程； （2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，① 求a 的取值范围；② 求证：12'()'()0f x f x +<．解（1）当a ＝0时，f (x )＝－1－ln x ，f ′(x )＝－1x ．设切点为T (x 0，－1－ln x 0)，则切线方程为：y ＋1＋ln x 0＝－1x 0( x －x 0)． …………………… 2分因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x 0＝－1x 0(0－x 0)，解得x 0＝e ．所以所求切线方程为y ＝－1e x －1． …………………… 4分 （2）①f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x ＞0．(i) 若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f (x )在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 5分(ii)若a ＞0，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a．当0＜x ＜1a 时， f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞1a时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝12－ln 1a －1＝－12－ln 1a．要使函数f (x )有两个零点，首先 －12－ln 1a＜0，解得0＜a ＜e ． …………… 7分当0＜a ＜e 时，1a ＞1e＞1e ．因为f (1e )＝a 2e 2＞0，故f (1e )·f (1a)＜0．又函数f (x )在(0，1a )上单调递减，且其图像在(0，1a)上不间断，所以函数f (x )在区间(0，1a)内恰有1个零点． …………………… 9分考察函数g (x )＝x －1－ln x ，则g′(x )＝1－1x ＝x －1x ．当x ∈(0，1)时，g′(x )＜0，函数g (x )在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g′(x )＞0，函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，故f (2a )＝2a －1－ln 2a ≥0．因为2a －1a ＝2－a a ＞0，故2a ＞1a ．因为f (1a )·f (2a )≤0，且f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，其图像在(1a，＋∞)上不间断，所以函数f (x )在区间(1a ，2a ] 上恰有1个零点，即在(1a，＋∞)上恰有1个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，e)． …………………… 11分②由x 1，x 2是函数f (x )的两个零点(不妨设x 1＜x 2)，得 ⎩⎨⎧12ax 12－1－ln x 1＝0，12ax 22－1－ln x 2＝0，两式相减，得 12a (x 12－x 22)－ln x 1x 2＝0，即12a (x 1＋x 2) (x 1－x 2)－ln x 1x 2＝0，所以a (x 1＋x 2)＝2ln x 1x2x 1－x 2． …………………… 13分f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－1x 1＋ax 2－1x 2＜0，即a (x 1＋x 2)－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x2x 1－x 2－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0． 设h (x )＝2ln x ＋1x －x ，x ∈(0，1)．则h ′(x )＝2x －1x 2－1＝2x －1－x 2x 2＝－(x －1)2x 2＜0， 所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0．因为x 1x 2∈(0，1)，所以2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0，即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立． …………………… 16分20．(本小题满分16分)设M ⊂≠*N ，正项数列{}n a 的前项积为n T ，且k M ∀∈，当n k >时，n k n k n k T T T T +-=都成立． (1)若{1}M =，13a =，233a =，求数列{}n a 的前n 项和；(2)若}4{3M =，，12a =，求数列{}n a 的通项公式． 解：(1)当n ≥2时，因为M ＝{1}，所以T n ＋1T n －1＝T n T 1，可得a n ＋1＝a n a 12，故a n ＋1a n＝a 12＝3(n ≥2)．又a 1＝3，a 2＝33，则{a n }是公比为3的等比数列，…………2分故{a n }的前n 项和为3(1－3n )1－3＝32·3n －32．…………4分(2)当n ＞k 时，因为T n ＋k T n －k ＝T n T k ，所以T n ＋1＋k T n ＋1－k ＝T n ＋1T k ，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T kT n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1，…………6分 因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12； 取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．…………8分 由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………① 由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………② 数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，………③ 数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．…………12分由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列． 因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42， 所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝22．…………14分又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1·2．…………16分21A .选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，210CD =，3AB BC ==，求BD 以及AC 的长．解：由切割线定理得:2DB DA DC ⋅=， ………………………2分2()DB DB BA DC +=， 04032=-+DB DB ，5=DB ． …………6分A B C D ∠=∠，∴ DBC ∆∽DCA ∆， …………………………………8分∴BC DBCA DC = ，得5106=⋅=DB DC BC AC ． ……………………………10分21B .选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵1 1a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l的方程．OABCD解：（1）12211 12a b a A b α+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎡⎤⎢⎦⎣⎥-⎣⎦⎦，1242λλαλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2422a b +=⎧∴⎨-+=⎩ 解得24a b =⎧⎨=⎩ 故12 14A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦…………4分 （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(',')x y则 '122'4 14x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, '2'4x x y y x y =+⎧∴⎨=-+⎩ 2''3''6x y x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩4x y -= ∴''8x y -= ∴直线l 的方程为80x y --=…………10分21C .选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． …………………10分 21D .选修4-5：不等式选讲(本题满分10分) 证明：n n12131211222-<++++ (n ≥2，*n N ∈). 证明：n n n )1(13212111131211222-++⨯+⨯+<++++………5分nn 11131212111--++-+-+= n12-=． ………10分 22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分 （2）猜想：2n n a =． 证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C C C 22222k k k k k k k k kk a ++++=+++++=．则1n k =+时，12311112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k kn nn +++=+得 102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++ 0121112311231C C C C C 222222k k+k k k k k k k+k+k k+-+++++=++++++， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+k k k k k k+k+k k k k a -++++++-=++++++ 121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++． 又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++， 于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。
安徽省2018届百校联盟TOP20四月联考(全国I卷)数学理
x y 1 0
9．已知实数
x,
y
满足约束条件
x y 1 2x y
2
0
0
，若
z
mx
y
，
z
的取值范围为集合
A
，且
A
[1 3
,6] ，
则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[1 , 2] 33
B．[ 11 , 2] 93
C．[ 11 , 1] 93
D．[ 2 ,6] 3
且 x 1时， f (x) 2x x2 x 2 ，若 f (log a 2a) 6(a 0 且 a 1) ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. (1 ,1) (1,2) 2
B. (0, 1) (2,) 2
C. (0, 1) (1,2) 2
D. (1 ,1) (2,) 2
C． y 2 5 x 5
D． y 5 x 2
7．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
·1·
A． 8 4 2 8 5
B． 24 4 2
C． 8 20 2
D．28
8．已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (2 x) f (x) ，
（）
A． 5
B．9
C．11
D．13
6．已知点
F1
,
F2
是双曲线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
：
x2 a
1
y2 a
1(a
0) 的左，右焦点，
点 P 是以 F1, F2 为直径的圆与双曲线 C 的一个交点，若 PF1F2 的面 积为 4，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
百校联盟2018届高三TOP20四月联考(全国II卷)文数试题(含精品解析)
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，∴故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为．故选：C．点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：∵，∴，又∴，∴故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻面系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知，点满足，则直线被点的轨迹截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:先设,再代入化简得到点M的轨迹，再联立轨迹与直线x=4得弦长.详解:设,则,整理得,与直线联立得,∴弦长为.故选A.点睛：本题主要考查运用直接法求点的轨迹方程，属于基础题.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先利用抛物线的定义和已知条件求出，再过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,最后解直角三角形AME得的值.详解：由抛物线的定义知，解得，又点点在抛物线上，代入解得.过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,则.故选C.点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. B. C. 4 D.【答案】B【解析】分析：先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其体积为.故选B.点睛：本题的关键是找到几何体的原图，本题利用了模型法. 找三视图对应的几何体的原图，一般有模型法和直接法两种方法，不同的题目可以有不同的方法，大家要理解掌握灵活运用.8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先利用已知条件判断函数在R上的单调性，再解不等式.详解：由于是定义在上的奇函数，∴，且在上为增函数，∴f(x)是R上的增函数，∵f(1)=3,所以,∴2x-1＜1，∴x＜1.故选A.点睛：解抽象的函数不等式，一般先要判断函数的单调性，再把不等式化成的形式，再利用函数的单调性去掉“f”，转化为具体的函数不等式解答.9. 某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在中的学生有1名，若从成绩在和两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先利用已知条件计算出n=20,再计算出成绩在的有4人，再利用古典概型的概率公式求所求的概率.详解：因为在的频率为5×0.01=0.05，所以n=,在的频率为1-5×（0.01+0.02+0.06+0.07）=0.2，所以在中的学生人数为20×0.2=4，所以中有一个人，有4个人，共5个人，从5个人中任意取两个人共有10个基本事件，2名学生成绩都在的事件有6个，所以由古典概型的概率公式得所求概率为.故选C.点睛：本题主要考查频率分布直方图和古典概型，属于基础题.10. 在三棱锥中，和均为边长为3的等边三角形，且，则三棱锥外接球的体枳为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先过△ABC的外心作平面PBC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O,则O为三棱锥P-ABC外接球的球心.再求出,，再解△得到外接球的半径R=OA=，最后求三棱锥P-ABC外接球的体积.详解：取BC的中点D,连接PD,AD,因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AD⊥BC,PD⊥BC,AD∩PD=D,所以BC⊥平面PAD，因为△ABC和△PBC均为边长为3的等边三角形，所以AD=PD=,又因为,所以PD⊥AD,过△ABC的外心作平面PBC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O,则O为三棱锥P-ABC外接球的球心.,,所以,所以外接球的半径R=OA=,所以三棱锥P-ABC外接球的体积.故选C.点睛：类似这种几何体的外接球的问题，一般先找到截面圆的圆心和球心O,再计算出和(A 为截面圆周上一点)，最后解直角△求出外接球半径R.这基本上是一个规律，大家要理解掌握并灵活运用.11. 下列关函数的命题正确的个数为（）①的图象关于对称；②的周期为；③若，则；④在区间上单调递减.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】分析：逐一研究函数的对称性、周期性和单调性等，再作出判断.详解：因为，所以①错误；由，得②错误；令，则，但是，所以③错误；当x∈时，f(x)=sinxcosx=在上单调递减，所以④正确.综上所述，只有一个正确，故选A.点睛：本题主要是考查函数的图像的对称性、周期性和单调性等，属于基础题,一般研究函数的图像的对称性、周期性和单调性等，再作出判断.12. 已知数列中，，定义，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先通过已知求出，再利用裂项相消求和.详解：∵，∴，所以，因为=(n+1)n,所以，所以故选C.点睛：本题主要考查累乘法求数列的通项和裂项相消求和，属于基础题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知满足不等式则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先作出不等式组对应的可行域，再利用斜率的几何意义求出的最大值.详解：不等式组表示的可行域如图所示，表示可行域内一点与点（5,0）连线的斜率，由图可知，在的交点A(1，3)处取得最大值，.点睛：差之比表示点（c,a）和点(d,b)连线的斜率，利用斜率的几何意义解答在本题中优化了解题，提高了解题效率.14. 已知若，则__________．【答案】或【解析】分析：先计算出=，再对分类讨论求m的值.详解：=，当＜1时，即m＜时，=-2（）+m=1-m=2,得m=-1.当≥1，即m≥时，=.所以m=或.故填或.点睛：解答此题要注意分类讨论思想的运用，因为不知道它在分段函数的哪一段，所以要分类讨论.15. 已知双曲线的左焦点，直线与双曲线的渐近线分别交于两点，其中点在第二象限，若，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】分析：先求出再利用相似三角形得到，再化简得到离心率的方程，即得离心率的值.详解：因为双曲线的渐近线方程为y=,所以由得，由得，由得.由三角形相似可知,即.故填.点睛：在圆锥曲线里求离心率，一般方法是找关于离心率的方程再解方程，本题是根据相似三角形找到的方程,所以解这种题目的关键是善于从已知里找到方程.16. 已知的内角的对边分別为，，角最大，则的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：先化简已知得到,再代入,利用基本不等式求取值范围.详解：∵,,∴=，即c-2bcosA=2bsinA,由正弦定理得sinC-2sinBcosA=2sinBsinA,即sin(A+B)- 2sinBcosA=2sinBsinA,即sinAcosB-cosAsinB=2sinBsinA,∴tanA-tanB=2 tanAtanB∴,因为角C是最大角，所以tanA>0,所以2tanA+1>0，∴=当且仅当即时等号成立.∴的取值范围为，故填点睛：处理取值范围的问题常用函数的方法，一般先求出函数的解析式，再求函数的定义域，最后决定用什么方法求函数的值域. 本题就是先求出=，再求A的范围，再利用基本不等式求函数的最小值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和，且，等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】分析:（1）利用项和公式求数列的通项公式,再求出，再写出等差数列的通项公式. （2）利用错位相减求数列的前项和.详解：（1）当时，，解得，所以，当时，，当时，，所以，设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.（2）由（1）得，所以，，两式相减得，即，整理得.点睛：本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，属于基础题.18. 如图，四棱锥中，侧面底面，为等腰直角三角形，，为直角梯形，.（1）若为的中点，上一点满足，求证:平面；（2）若，求四棱锥的表面积.【答案】(1)见解析；（2）四棱锥的表面积为.【解析】分析：（1）过点作，连接，证明，即证平面. （2）先求出四棱锥的各个面的面积，再求四棱锥的表面积.详解：（1）过点作，连接，因为，所以，，即，因为，所以，所以，又因为，所以为平行四边形，故,因为平面,平面.所以平面.（2）因为平面平面.平面平面,平面，且,所以平面.又因为平面,所以,所以,连接,同理，由平面平面,,可得平面.过点作交于点,连接.则由,得.因为,所以.则.过点作,连接,易得.由平面几何知识得,所以,,所以,又因为,,所以四棱锥的表面积为.点睛：本题主要考查空间线面关系的证明和面积的计算，属于基础题.19. 某地区农产品近几年的产量统计如下表：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表:（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该农产品每万吨的价格 (万元)与年产量(万吨）满足，且每年该农产品都能售完，当年产量为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分別为:.【答案】(1) ;(2) 年产量为7万吨时，销售额最大.【解析】分析：（1）利用最小二乘法求关于的线性回归方程. （2）先写出销售额的函数表达式，再求其最大值.详解：（1）由题意知，，，，，所以，又，所以关于的线性回归方程为.由，得，即.（2）当年产量为时，销售额，当时，函数取得最大值，即年产量为7万吨时，销售额最大.点睛：本题主要考查线性回归方程的求法，属于基础题.20. 已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）直线与曲线交于两点，的中点在直线上，求（为坐标原点）面积的取值范围. 【答案】(1) 点的轨迹方程为;(2) 面积的取值范围为.【解析】分析：（1）利用待定系数法（定义法）求点M的轨迹方程. （2）先求出面积的表达式，再求函数的取值范围.详解：（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，因为，所以点在以为焦点的椭圆上，因为，所以，所以点的轨迹方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设,，由得，，，，设的中点为，则，由题意知，所以，由，得，因为，原点到直线的距离，所以，即，故面积的取值范围为.点睛：本题的难点在第（2）问，求面积的取值范围，一般利用函数的方法处理. 先求出面积的表达式，再求函数的取值范围.这是高中数学处理取值范围问题常用方法.21. 已知.（1）求在处的切线方程；（2）证明：.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】分析：（1）先求出，再求切点坐标和切线的斜率，再写出切线方程. （2）先求函数f(x)的最小值，再证明f(x)的最小值大于-1.详解：（1）由题意得，，令，得，解得，所以，因为，所以，又因为，所以切线方程为，即.（2）由（1）得，令，所以，故在上单调递增，又，所以存在，使得，即，所以，所以随的变化情况如下：所以，由式得，代入上式得，令，所以，所以在上单调递减，，又，所以，即，所以.点睛：本题难点在第（2）问，第一个难点，一次求导后，不能求单调区间，还需要二次求导.第二个难点，函数的零点不能确定具体的值，只能确定它的范围.第三个难点，求出函数f(x)的最小值后，还要再次求导.22. 已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），直线，直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)把曲线的参数方程化为普通方程，将代入上式得曲线的极坐标方程，同理易得直线的极坐标方程；（2）设两点对应的极径分别为，.详解：（1）依题意，曲线，即，将代入上式得，因为直线，直线，故直线的极坐标方程为.（2）设两点对应的极径分别为，在中，令得，，令得，，因为，所以.点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23. 已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）解集为；（2）的取值范围是.【解析】分析：(1)可利用绝对值的定义去掉不等式中绝对值符号，从而分段求解；(2) 不等式，即为，利用绝对值三角不等式求左侧函数的最小值即可.详解：（1）当时，由，得，当时，由，得；当时，由，得；当时，由，得；综上所述，的解集为.（2）不等式，即为，即关于的不等式恒成立，而，当且仅当时等号成立，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
百校联盟2018版高三TOP20四月联考(全国II卷)数学(理)试题 Word版含答案
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）理数试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}25,30A x x B x x x =<<=-<，则A B ⋃=（ ） A ．()0,5 B ．()2,3 C.()3,5 D ．()0,32.已知复数12iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．35- B ．35i C.15- D ．15i -3.已知()(),1,2,4a x b ==- ，若()a b b +⊥，则x =（ ）A ．8B ．10 C.11 D ．124.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC =图片中任投一点，落在正方形DEFG 中的概率为（ ）A D 5.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．5B ．11 C. 14 D ．196.过双曲线2222:10,0()x y E a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线E 交于,A B 两点，与双曲线E 的渐近线交于,C D 两点，若AB =，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C.2y x =± D．y =±7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．212．10+212++8.已知()()()211f x x x =++，则不等式()()lg 1f x f <的解集为（ ）A ．()1,10,10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()0,10 D ．1,10100⎛⎫⎪⎝⎭9.已知数列{}n a中，117,1n n a a a +=-=+，则30a =（ ） A ．1028 B ．1026 C. 1024 D ．102210.已知()10,00x y D x y x t y t ⎧-+>⎫⎧⎪⎪⎪=-<⎨⎨⎬⎪⎪⎪+>⎩⎩⎭，若存在点()00,x y D ∈，使得0033x y -=，则t 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11.已知函数()22cos sin 22f x x x x π=+--，则函数()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为（ ）A ．3πB ．4π C. 2π D ．32π12.在三棱锥P ABC -中，1,120AB BC CP ABC BCP ===∠=∠=︒，平面PBC 和平面ABC 所成角为120︒，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） ABD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数()221,1,log ,1,x x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩则()f f= ．14.已知()22nx x --的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含2x 项的系数为 ．(用数字 作答).15.抛物线24y x =的焦点为F ，其准线为直线l ，过点(5,M 作直线l 的垂线，垂足为H ，则FMH ∠的 角平分线所在的直线斜率是 ．16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin ,02a b bc A A π=+<<，则tan 4tan A B -的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N ∈满足123n n S a a =-，且22a +是13,a a 的等差中项，{}n b 是等差数列，2283,b a b a ==.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.如图所示，在三棱台111ABC A B C -中，ABC ∆和111A B C ∆均为等边三角形，四边形11BCC B 为直角梯形，1CC ⊥平面ABC ，111112B C CC BC ===，,D E 分别为11,AA CB 的中点.（1）求证://DE 平面ABC ； （2）求二面角11A A E C --的余弦值.19.某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线 生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值t ，得到如图所示的频率分布直方图，若20t <，亦则该产品为示合格产品，若2050t ≤<，则该产品为二等品，若50t ≥，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值t 在[)0,20的产品中随机选出3件，记X 为指标值t 在[)10,20中的件数，求X 的分布列和数学期望•20.已知N 为圆()221:224C x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点,M P 分别是线段12,C N C N 上的点，且2220,2MP C N C N C P ⋅== . （1）求点M 的轨迹方程；（2）直线:l y kx m =+与点M 的轨迹Γ只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与l 垂直的直线l '与圆228x y +=相交于,A B 两点，求PAB ∆面积的取值范围.21.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()1ln f x f e e x x ef e e '=+--++⎡⎤⎣⎦，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的最大值； （2）证明 ：()221x xf x e x x <-+-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为12x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数），直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴(取相同的长度单位）建立极坐标系. （1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲 已知()22f x x a x =+--.（1）当2a =-时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()2332f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACDCB 6-10: BDBDC 11、12：CA 二、填空题13. 0 14. 8- 16.12- 三、解答题17.（1）由题意知，当2n ≥时，11123n n S a a --=-， 又因为123n n S a a =-，且1n n n a S S -=-， 则()132n n a a n -=≥， 所以213213,39a a a a a ===， 又123,2,a a a +成等差数列，则()21822a a a +=+，所以()1112329a a a +=+， 解得19a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，故13n n a -=. 设{}n b 的公差为d ，则113,79b d b d +=+=， 解得11,2d b ==，所以()2111n b n n =+-⨯=+.（2）由（1）得()113n n n n c a b n -==+⋅， 所以()2121334313n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，()2313233343313n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ， 两式相减得()23122333313n n n T n --=+++++-+⨯ ，整理得113424n n n T ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.18.（1）取1BB 的中点F ，连接,EF DF ， 则//EF BC ，因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC ，因为三棱台111ABC A B C -中，11//AB A B ， 所以//DF AB ，因为DF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以//DF 平面ABC ，因为D F EF F ⋂=，所以平面//DEF 平面ABC ， 因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面ABC .（2）取BC 的中点O ，连接1,AO OB ， 因为1CC ⊥平面ABC ，AO ⊂平面ABC ， 所以1CC AO ⊥，因为1,CB AO CB CC C ⊥⋂=，所以AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO OB ⊥， 因为11BCC B 为直角梯形，11112B C CO BC ===， 所以11OCC B 为正方形，所以1OB BC ⊥，所以1,,OB OB OA 两两互相垂直，分别以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 因为111112B C CC BC ===，所以(()()()()1111,1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,,,022A B B C C E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，由1112B A BA =，得112A ⎛- ⎝⎭，所以11111110,,,,,,022222EA EA EC ⎛⎛⎛⎫==-=- ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭， 设平面1AA 的一个法向量为()111,,m x y z =， 由10,0,m EA m EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,0,y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =(9,m =--，设平面11C A E 的一个法向量为()222,,n x y z =， 由110,0,n EA n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220,0,y x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩令2x)1n =-，所以cos ,m n m n m n⋅==⋅由图观察可知，平面1AA E 与平面11C A E所成二面角为钝角，所以其余弦值为.19.（1）由频率分布直方图可知，甲生产线中二等品的概率为()100.0300.0200.0150.65⨯++=， —等品的概率为100.0050.05⨯=，乙生产线中二等品的概率为()100.0200.0350.0250.80⨯++=， 一等品的概率为100.0150.15⨯=，所以两件产品中一件为二等品，一件为一等品的概率为0.650.150.050.80=0.1375⨯+⨯. （2）设两条生产线样本的平均值分别为,x x 甲乙，则50.1150.2250.3350.2450.15550.0527.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲， 150.05250.2350.35450.25550.1537.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好. （3）甲生产线样本质量指标值t 在[)0,10的件数为400.01104⨯⨯=， 质量指标值t 在[)10,20的件数为400.02108⨯⨯=， 由题意可知X 的取值为0，1，2，3；所以()304831241022055C C P X C ====，()21483124812122055C C P X C ====，()124831211228222055C C P X C ====，()03483125614322055C C P X C ====.所以X 的分布列为：X 的数学期望()11228140123255555555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.（1）因为222C N C P = ，所以P 为2C N 的中点，因为20MP C N ⋅= ，所以2MP C N ⊥，所以点M 在2C N 的垂直平分线上，所以2MN MC =，因为1214MN MC MC MC +=+=>，所以点M 在以12,C C 为焦点的椭圆上，因为2a c ==，所以22b =，所以点M 的轨迹方程为22162x y +=.（2）由22162x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得，()222316360k x kmx m +++-=，因为直线:l y kx m =+与椭圆Γ相切于点P ，所以()()()()2222264313612620km k m k m ∆=-+-=+-=，即2262m k =+，解得223,3131km mx y k k -==++， 即点P 的坐标为223,3131kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为点P 在第二象限，所以0,0k m >>，所以m所以点P的坐标为， 设直线l '与l 垂直交于点Q ，则PQ 是点P 到直线l '的距离，设直线l '的方程为1y x k =-，则PQ ==≤==当且仅当2213k k =，即2k =时，PQ，所以142PAB S PQ ∆=⨯≤，即PAB ∆面积的取值范围为(0,4⎤⎦.21.（1）因为()()()1ln f x f e e x x ef e e '=+--++⎡⎤⎣⎦，所以 ()()11f e e f x x +-'=-， ()()()()()1,11,f e f e e e ef e e f e e f e e '=+--++⎧⎪⎨+-'=-⎪⎩解得()()1,2,e f e e f e e -⎧'=⎪⎨⎪=-⎩则()ln 1f x x x =-+， 所以()1x f x x-'=， 令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<得1x >，所以当1x =时，()()max 10f x f ==.（2）由（1）得()f x 的最大值为0，所以ln 10x x -+≤，即ln 1x x ≤-，从而()ln 1x x x x ≤-，要证22ln 21x x x x x e x x -+<-+-，即2ln 1x x x e x <--，故只需证()211x e x x x -->-，即证()22100x e x x x -+->>成立；令()()2210x h x e x x x =-+-≥则()41x h x e x '=-+，令()()F x h x '=，则()4x F x e '=-，令()0F x '=，得2ln 2x =，因为()F x '单调递增，所以当[]0,2ln 2x ∈时，()0F x '≤，()F x 单调递减，即()h x '单调递减. 当()2ln 2,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 即()h x '单调递增， 因为()2ln 258ln 20h '=-<，()()2020,2810h h e ''=>=-+>，由零点存在定理可知，[)()120,2ln 2,2ln 2,2x x ∃∈∃∈，使得()()120h x h x ''==， 故当10x x <<或2x x >时，()()0,h x h x '>单调递增；当12x x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()h x 的最小值是()00h =或()2h x .由()20h x '=，得2241x e x =-，()()()222222222221252221x h x e x x x x x x =-+-=-+-=---，因为()22ln 2,2x ∈，所以()20h x >，故当0x >时，()0h x >，所以原不等式成立.22.（1）依题意，曲线()()22:125C x y -+-=，即22240x x y y -+-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得，2cos 4sin ρθθ=+ 因为直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，故直线12,l l 的极坐标方程为()()12:,:24l R l R ππθρθρ=∈=∈. （2）设,A B 两点对应的极径分别为12,ρρ， 在2cos 4sin ρθθ=+中， 令2πθ=得，12cos 4sin 4ρθθ=+=，令4πθ=得，22cos 4sin ρθθ=+= 因为244πππ-=，所以AB =23.（1）当2a =-时，由()4f x ≤， 得2124x x ---≤，当1x ≤时，由()()2124x x ---≤，得41x -≤≤； 当12x <<时，由()()2124x x ---≤，得12x <<； 当2x ≥时，由()()2124x x ---≤，得24x ≤≤；综上所述，()4f x≤的解集为[]4,4-.（2）不等式()2332f x a x≥--，即为22423x a x a++-≥，即关于x的不等式22243x a x a++-≥恒成立，而()()2242244x a x x a x a++-≥+--=+，当且仅当()()2240x a x+-≤时等号成立，所以243a a+≥，解得243a a+≥或243a a+≤-，解得413a-≤≤或a∈∅.所以a的取值范围是41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2018年高考全国卷2理科数学真题附含答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±D.y=±6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=A.4B.C.D.27.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A. B.10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是A. B. C. D. π11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。
若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A..B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
百校联盟2018届高三TOP20四月联考(全国II卷)理数试题(解析版)
百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，∴故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为．故选：C．3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：∵，∴，又∴，∴故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，分别计算正方形与正八边形的面积，即可得到所求.详解：设，则，根据对称性可知，落在正方形中的概率为.故选：C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.详解：双曲线的渐近线方程为，令，得，所以，又因为，所以由，得，整理得，，所以双曲线E的渐近线方程为.故选：B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由三视图可还原出该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥，进而求其表面积即可.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为.故选：D点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．9. 已知数列中，，则（）A. 1028B. 1026C. 1024D. 1022【答案】D【解析】分析：由递推关系可得，即，从而得到的通项公式，进而求即可.详解：因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以1022故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．10. 已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围.详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由图象可知所有零点之和为.故选：C点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象具有良好的对称性，从而问题得以简化.12. 在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题.详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．【答案】0【解析】由分段函数的定义可得，则，应填答案。
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百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，∴故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为．故选：C．3. 已知，若，则（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：∵，∴，又∴，∴故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，分别计算正方形与正八边形的面积，即可得到所求.详解：设，则，根据对称性可知，落在正方形中的概率为.故选：C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 11C. 14D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.详解：双曲线的渐近线方程为，令，得，所以，又因为，所以由，得，整理得，，所以双曲线E的渐近线方程为.故选：B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由三视图可还原出该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥，进而求其表面积即可.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为.故选：D点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．9. 已知数列中，，则（）A. 1028B. 1026C. 1024D. 1022【答案】D【解析】分析：由递推关系可得，即，从而得到的通项公式，进而求即可.详解：因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以1022故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．10. 已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围.详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由图象可知所有零点之和为.故选：C点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象具有良好的对称性，从而问题得以简化.12. 在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题.详解：如图，过△ABC的外心作平面ABC的垂线，过△PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC⊥平面，BC⊥平面，所以四点共面，所以BC⊥,由BC⊥，BC⊥，所以∠为平面PBC和平面ABC所成角，即∠，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则__________．【答案】0【解析】由分段函数的定义可得，则，应填答案。
14. 已知的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含项的系数为__________．(用数字作答).【答案】【解析】分析：通过因式分解“三项问题”可转化为“二项问题”进而分类讨论即可求出展开式中含项的系数.详解：令，得，得，因为，所以展开式中含项的系数为故答案为：点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 抛物线的焦点为，其准线为直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的角平分线所在的直线斜率是__________．【答案】【解析】分析：由抛物线定义可知，进而可推断出∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，利用斜率的两点式即可得到结论.详解：连接HF，因为点M在抛物线上，所以由抛物线的定义可知，所以△MHF为等腰三角形，所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F，，所以HF的中点为，所以∠FMH的角平分线的斜率为.故答案为：点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。
抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．16. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：由余弦定理结合可得，从而把两元问题转化为一元问题，然后利用均值不等式即可求出的最小值.详解：由余弦定理及，得即，再由正弦定理，得即，即所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是等差数列，. （1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】分析：（1）利用与的关系求得的通项公式，利用等差数列基本量关系得到的通项公式；（2）由（1）得，利用错位相减法求出数列的前项和.详解：（1）由题意知，当时，，又因为，且，则，所以，又成等差数列，则，所以，解得，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故.设的公差为，则，解得，所以.（2）由（1）得，所以，，两式相减得，整理得.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 如图所示，在三棱台中，和均为等边三角形，四边形为直角梯形，平面，，分别为的中点.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）取的中点，连接，要证平面，可转证平面平面，即证平面，平面；（2）先证明两两互相垂直，以为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用公式即可求出二面角的余弦值.详解：（1）取的中点，连接，则，因为平面，平面，所以平面，因为三棱台中，，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）取的中点，连接，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，所以，因为为直角梯形，，所以为正方形，所以，所以两两互相垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，由，得，所以，设平面的一个法向量为，由得，令，得，设平面的一个法向量为，由得令，得，所以由图观察可知，平面与平面所成二面角为钝角，所以其余弦值为.点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19. 某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•【答案】（1）（2）乙生产线更好（3）见解析【解析】分析：（1）由频率分布直方图可知，甲、乙生产线一、二等品的概率，利用独立事件乘法公式可得结果；（2）求出两条生产线样本的平均值，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，从而作出判断；（3）由题意可知的取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，即可求出的分布列和数学期望.详解：（1）由频率分布直方图可知，甲生产线中二等品的概率为，—等品的概率为，乙生产线中二等品的概率为，一等品的概率为，所以两件产品中一件为二等品，一件为一等品的概率为.（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列为：的数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20. 已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹方程；（2）由直线与椭圆相切可知，点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，利用均值不等式求最值，从而得到面积的取值范围.详解：（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，因为，所以点在以为焦点的椭圆上，因为，所以，所以点的轨迹方程为.（2）由得，，因为直线与椭圆相切于点，所以，即，解得，即点的坐标为，因为点在第二象限，所以，所以，所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，，当且仅当，即时，有最大值，所以，即面积的取值范围为.点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21. 已知函数的导函数为，且，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最大值；（2）证明：.【答案】（1）0（2）见解析【解析】分析：(1)由题意可得，明确函数的单调性，从而得到函数的最大值；（2）由（1）得，即，要证，即，故只需证，故只需证，即证成立.详解：（1）因为，所以，，解得则，所以，令，得，令得，所以当时，.（2）由（1）得的最大值为0，所以，即，从而，要证，即，故只需证，即证成立；令则，令，则，令，得，因为单调递增，所以当时，，单调递减，即单调递减. 当时，，单调递增，即单调递增，因为，，由零点存在定理可知，，使得，故当或时，单调递增；当时，单调递减，所以的最小值是或.由，得，，因为，所以，故当时，，所以原不等式成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），直线，直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)把曲线的参数方程化为普通方程，将代入上式得曲线的极坐标方程，同理易得直线的极坐标方程；（2）设两点对应的极径分别为，.详解：（1）依题意，曲线，即，将代入上式得，因为直线，直线，故直线的极坐标方程为.（2）设两点对应的极径分别为，在中，令得，，令得，，因为，所以.点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23. 已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）解集为；（2）的取值范围是.详解：（1）当时，由，得，当时，由，得；当时，由，得；当时，由，得；综上所述，的解集为.（2）不等式，即为，即关于的不等式恒成立，而，当且仅当时等号成立，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。