第9讲 电磁场基本规律(5) [兼容模式]

=
r B
r (C
×
r A)
=
r C
(
Ar ×
r B)
（2）电磁场量的切向边界条件
在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则由
∫ ∫ r H
⋅
r dl
=
C
r Δl
=
r N
×
ernΔl
S
r (J
+
r ∂D ) ⋅ ∂t r
(H1
r dS
r − H2
)
⋅
r (H1
−
r H2
)
⋅
r Δl
=
r JS
上（z = 0）不存在面电流。
例
如图所示，1区的媒质参数为 ε1 = 5ε0 , μ1 = μ0 ,σ1 = 0, 2
区强试度问的为 关媒于质Er1参2区=数中er为x 2的yε+E2rer1=和y 5εz0D、r+1能eμrz2求(3=得+μz0出、) 吗σV？2/m=
0。若已知自由空间的电场
2区
⋅
r N
Δl
Δlr
=
r (H1
−
r H2
)
⋅
r (N
×
ern
)Δl
媒质1
Δlr ern
r H1
⊗Nr
Δh
=
[ern
×
r (H1
−
r H2
)]
⋅
r N
Δl
故得
ern
×
r (H1
−
r H
2
)
=
r JS
媒质2
r H2
或 同理得
H1t − H2t = JS
ern
×
(
r E1
−
r E2
)
=
0
或
E1t = E2t
性，使得沿闭合线的磁场相等，故
∫c
r H
⋅
r dl
=
2π
rHφ
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ic = CωUm cosωt ，故得
2π rHφ = CωUm cosωt
r H
= erφ Hφ
= erφ
CωU m 2π r
cos ωt
例 场强度矢量
在Er无=源erx
r (J
=
0、ρ
=
0)
的电介质 (σ
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
3. 媒质的本构关系
各向同性线性媒质的本构关系为
r D
=
εEr
r B
=
μHr
r J
=
σEr
代入麦克斯韦方程组中，有：
限定形式的麦克斯韦方程
⎪⎧∇ ⎪ ⎪⎨∇ ⎪ ⎪∇ ⎪⎩∇
×
r H
= σEr +
∂
(εEr )
o
z＝0由解处的ern根×Er据1(和E边r1 界−DrE1条r。2件) =，0只，能有求得边界面
x 1区 y
z
电介质与自由空间的 分界面
= ereryz(×E{1xerx−E21xy+) −eryerEx 1(yE+1yer−z E51xz)−=[er0x 2 y + ery 5x + erz (3 + z)]}z=0
2.边界条件一般表达式
⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩∫∫∫∫CCSSBrHEDrrr⋅ ⋅d⋅⋅ddSdrlrSlrr====0−∫∫VS∫S(ρJ∂r∂dBtr+V⋅∂d∂DtSrr
)
⋅
r dS
ern
媒质1
媒质2
⎧⎪⎪⎨⎪eeerrrnnn ⎪⎩ern
×
r (Hr 1
−
r H r
2
)
=
r JS
×⋅⋅ (((DBrrE111−−−BDrEr222)))===0ρ0S
=
0)
中，若已知电
E0 cos(ωt − kz) V/m，式中的E0为振幅、ω为角
频相率应Er、的k其为它r相场位矢常量数。。试确定k与ω 之间所满足的关系，并求出与 用麦克解斯：E韦是方电程磁组场可的以场确矢定量k，与应ω满之足间麦所克满斯足韦的方关程系组，。以因及此与，利Er
相应的其∂B它r =场−矢∇量× E。r = ∂t
第9讲
电磁场基本规律
——Maxwell方程组与边界条件
目录
一、电磁场的边界条件 二、静态场的应用
3.麦克斯韦方程组
z是对宏观电磁现象的实验总结； z揭示了电场与磁场之间的关系； z揭示了电磁场与电荷、电流之间的相互关系； z是一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律； z是电磁运动最简单的数学语言描述； z是电磁场的基本方程； z是分析研究电磁问题的基本出发点。
−(erx
∂ ∂x
+
ery
∂ ∂y
+
erz
∂ )× ∂z
erx Ex
=
−ery
∂Ex ∂z
=
−ery
∂ ∂z
[
E0
cos(ωt − kz)] = −erykE0 sin(ωt − kz)
对时间 t 积分，得
r B
=
ery
kEm
ω
cos(ωt
−
kz)
r B
=
μ
r H
r D
=
ε
r E
r H
=
ery
kEm
界面上，通常没有电荷
和电流分布，即JS＝0、 ρS＝0，故
Er、Hr的切向分量连续
Dr、Br的法向分量连续
((( ⎪⎧⎪⎪⎨eeerrrnnn ( ⎪⎩ern
rr ⋅ (Dr1 − Dr 2 ) = 0 ⋅ (Br1 − Br2 ) = 0 × (Er1 − Er2 ) = 0 × (H1 − H2 ) = 0
分 界 面 上 的 电
分界面上的电荷面密度
流
⎧ ⎪
r H r
t1
−
r
H r
t
2
=
r JS
⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
Ert1 Brn1 Dn1
= = −
Ert 2 Brn 2 Dn 2
=
ρS
面 密 度
3.两种常见的情况
ern
（1）两种理想介质分 媒质1
界面上的边界条件
ern
媒质1
在两种理想介质分 媒质2
媒质2
时变电磁场的电场和磁场不再 相互独立，而是相互关联，构 成一个整体 —— 电磁场。电 场和磁场分别是电磁场的两个 分量。
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度 矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电 磁振荡并传播，这就是电磁波。
在无源空间中，两个旋度方程分别为
z
Emω
sin(ωt − kz)
k 2 = ω 2με
∂t
2.电磁场的边界条件
什么是电磁场的边界条件
ern
媒质1
? 为什么要研究边界条件 媒质2
间内? 实如发际生何电的磁讨，场该论问空题边间都中界是可条在能一是件定由?的多物种理不空同
媒物质理：组由成数的于学。在：边分麦界界克条面斯件两韦就侧方是介程不质组同的是媒特微质性分的参方分程组，其 界面上的数电发磁生场突解矢变是量，不满场确足在定的界的关面，系两边，侧界是也条在发件不起定解的 同媒质分生作界突用面变。上。电麦磁克场斯的韦基方本程属组性的。微分
r H1 (0, t )
=
ery
1
μ0
[2 ×10−7
cos(15 ×108 t )
−
2 3
×10−7
cos(15 ×108 t )]
=
ery
4
3μ0
×10−7
cos(15 ×108 t )
A/m
r H2 (0, t)
=
ery
4
3μ0
×10−7
cos(15 ×108 t )
A/m
可见，在z = 0处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面
∂t
×
r E
=
−
∂
(μHr )
⋅
(μHr
)
∂t =0
⋅ (εEr) = ρ
（均匀媒质）
⎧ ⎪∇ ×
r H
=σ
r E
+ε
⎪ ⎪⎪⎨∇ ⎪ ⎪∇
×
r E
⋅
r H
= =
−μ
0
∂Hr ∂t
⎪ ⎪⎩∇
⋅
r E
=
ρ
/
ε
∂Er ∂t
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁 场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场 互为激发源，相互激发。
∇×
r H
=
∂Dr
∂t
,
∇×
r E
=
−
∂Br
∂t
可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得
电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，
电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，
磁场增大反过来又使电场减小。
例
正弦交流电压源 u = Um sin ωt 连接到平行板电容器的
媒质1
S P Δh
媒质2 r D2
∫
S
r D
⋅
r dS
=
∫V
ρdV
即
ern
⋅
r (D1
−
r D2