高中数学综合训练系列试题(12)

高中数学综合训练系列试题(12)说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1 设全集U ＝R ，集合2|{2-==x x x M ，R}∈x ，21|{≤+=x x N ，R}∈x 则N M C U )(等于（ ）A {2}B }31|{≤≤-x xC {x |x ＜2，或2＜x ＜3}D 21|{<≤-x x 或}32≤<x2 （理）ii ii +---+1)2(1)21(22等于（ ）A -3＋4iB -3-4iC 3＋4iD 3-4i （文）若1222133lim→=+++x x ax x ，则a 等于（ ）A 1B 2C 3D 4 3 函数x+-111的图像是（ ）A B C D4 设三棱柱ABC -111C B A 的体积为V ，P 为其侧棱1BB 上的任意一点，则四棱锥P -11A ACC 的体积等于（ ）AV 32B V 31C V 43D V 215 不等式组2142x a x a⎧->⎨-<⎩，有解，则实数a 的取值范围是（ ）A （-1，3）B （-3，1）C （-∞，1） （3，＋∞）D （-∞，-3） （1，＋∞）6 直线1l 2l 分别过点P （-2，3） Q （3，-2），它们分别绕点P Q 旋转但保持平行，那么它们之间的距离d 的取值范围是（ ）A （0，＋∞）B （0，25]C （25，＋∞）D [25，＋∞） 7 已知f （2x ＋1）是偶函数，则函数f （2x ）图像的对称轴为（ ） A x ＝1 B 21=x C 21-=x D 1-=x8 将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是（ ） A6π7 B2π C6π D3π9 各项都是正数的等比数列{n a }的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++的值为（ ） A215+ B215- C251- D215+或215-10 如图，正三棱锥A -BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上 并且λ==FDCF EBAE （0＜λ＜＋∞），设θ为异面直线EF 与AC 所成的角，ϕ为异面直线EF 与BD 所成的角，则θ＋ϕ的值是（ ） A6π B4π C2π D 与λ有关的变量11 以三角形的三个顶点和它内部的三个点共6个点为顶点，能把原三角形分割成的小三角形的个数是（ ）A 9B 8C 7D 612 已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2]; ②f （x ）的极值点有且仅有一个;③f （x ）的最大值与最小值之和等于零. 其中正确的命题个数为（ ）A 0个B 1个C 2个D 3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上 13 已知nnx )1(+展开式中3x 项的系数是161，则正整数n ＝________14 如图，空间有两个正方形ABCD 和ADEF ，M N 分别在BD AE 上，有BM ＝AN ，那么 ①MN AD ⊥；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN CE 是异面直线以上四个结论中，不正确的是________15 设向量a ＝（cos23°，cos67°），b ＝（cos68°，cos22°），u ＝a＋t b （R ∈t ）则|u|的最小值是________ 16 连结双曲线12222=-by ax 与12222=-ax by （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S 的最大值是________三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12分）已知86)1(2+-=-x x x f ，-∞∈(x ，3]（1）求f （x ）； （2）求)(1x f-；（3）在f （x ）与)(1x f -的公共定义域上，解不等式f （x ）＞)(1x f-＋2x18 （12分）在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0 4，乙胜丙的概率为0 5，丙胜甲的概率为0 6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率注意：考生在（19甲） （19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分19甲 （12分）已知长方体ABCD -1111D C B A 中，棱AB ＝BC ＝3，1BB ＝4，连结C B 1，过B 点作C B 1的垂线交1CC 于E ，交C B 1于F （1）求证：C A 1⊥平面EBD ；（2）求ED 与平面C B A 11所成角的大小； （3）求二面角E -BD -C 的大小19乙 （12分）如图，在正方体ABCD -1111D C B A 中，EF 分别是1BB ，CD 的中点（1）证明：AD ⊥F D 1； （2）求AE 与F D 1所成的角； （3）证明：面AED ⊥面11FD A ；（4）设1AA ＝2，求三棱锥F -11ED A 的体积11ED A F V20 （12分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元B DB 1A 1（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船 问哪种方案合算21 （12分）已知椭圆2222by ax +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C D 两点 问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由22 （14分）（理）已知函数2)1()(-=x x f ，数列{n a }是公差为d 的等差数列，数列{n b }是公比为q 的等比数列（q ≠1，R ∈q ），若)1(1+=d f a ，)1(1+=q b ，)1(3-=q f b（1）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（2）设数列{n c }的前n 项和为n S ，对+∈N n 都有+++2121b b c c …1+=+n nn a b c .求∞→+n nn S S 212lim（文）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且11=a ，N)2(41∈+=+n a S n n（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{n b }是等比数列；（2）设nn n a c 2=，求证：数列{n c }是等差数列；（3）求∞→-⋅n n n n S 12lim高中数学综合训练系列试题(12)参考答案1 D2 （理）A （文）D3 A4 A5 A6 B7 B8 C9 B 10 C 11 C 12 C 13 4 14 ③ 1522 162117 解析：（1）设t ＝x -1，得1+=t x ，2](，-∞∈t将上式代入得348)1(6)1()(22+-=++-+=t t t t t f ，（2](，-∞∈t ） ∴ 34)(2+-=x x x f ，（2≤x ）（2）令342+-=x x y ，得122)3(4164+±=--±=y y x由于2≤x ，∴ 12+-=y x )1(-≥y∴ 12)(1+-=-x x f，)1(-≥x（3）f （x ）与)(1x f -的公共定义域为[-1，2]原不等式等价于⎩⎨⎧≤≤-++->+-21123422x x x x x ，∴ ⎩⎨⎧≤≤-->+21141x x x ， ∴ 1691<≤-x∴ 不等式的解集为{}1691|≤≤-x x18 解析：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜所求概率为1P ＝20.4)(1-×20.5＝20.3＝0 09 ∴ 乙连胜四局的概率为0 09 （2）丙连胜三局的对阵情况如下： 第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜 第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜 当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜 故丙三连胜的概率2P ＝0 4×20.6×0 5＋（1-0 4）×20.5×0 6＝0 162 19 解析：（甲）（1）连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD 又 ∵ A A 1⊥平面AC ， ∴ C A 1⊥BD∵ C B 1⊥BE 而11B A ⊥平面C B 1， ∴ C A 1⊥BE∵ BD BE ＝B ， ∴ C A 1⊥平面BED（2）连结D A 1，由B A 1∥CD 知D 在平面C B A 11内，由（1）是C A 1⊥E B 又∵ 11B A ⊥BE ，∴ BE ⊥平面C B A 11，即得F 为垂足连结DF ，则∠EDF 为ED 与平面C B A 11所成的角 由已知AB ＝BC ＝3，B B 1＝4，可求是C B 1＝5，512=BF∴ 59=CF ，5161=F B ，则2027=EF ，49=EC∴ 415=ED在Rt △EDF 中，259sin =∠EDF ，∴ ED 与平面C B A 11所成的角为259arcsin（3）连结EO ，由EC ⊥平面BDC 且AC ⊥BD 知EO ⊥BD ∴ ∠EOC 为所求二面角E -BD -C 的平面角 ∵ 49=EC ，223=OC ，∴ 在Rt △EOC 中，423tan ==∠OCEC EOC∴ 二面角E -BD -C 的大小为423arctan（乙）如图所示，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则D （0，0，0），A （2，0，0），F （0，1，0），1D （0，0，2），1A （2，0，2），E （2，2，1） （1）∵ AD =（-2，0，0），1D F = （0，1，-2）， 且12AD D F =-⋅×0＋0×1＋0×（-2）＝0∴ F D AD 1⊥（2）AE =（0，2，1），1D F =（0，1，-2）设AE与1D F 的夹角为 ，DB 1则11cos ||||0A E D F A E D F θ===⋅⋅ ，∴ θ＝90°，即AE 与F D 1所成的角为直角（3）由（1）知AD ⊥1D F ，由（2）知AE ⊥ 1D F ，∴ F D 1⊥平面AED又F D 1⊂面11FD A ，∴ 面AED ⊥面11FD A （4）设AB 的中点为G ，连结GE ，1GD ∵ FG ∥11D A ，∴ FG ∥面11ED A ∴ GEA DED A G ED A F V V V 111111---==，∵ 21=AA ， ∴=∆GE A S12321=--∆∆BEG AG A S S ，∴ 123231311111111-⨯⨯=⨯⨯==∆--GE A GEA DED A F S D A V V20 解析：（1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+<<n∴ 2 1＜n ＜17 1 而n ∈N ，故n ＝3，4，5，…，17 ∴ 当n ＝3时，即第3年开始获利 （2）方案一：年平均收入)49(240)(n n nn f +-==由于1449249=≥+nn nn ，当且仅当n ＝7时取“＝”号∴1214240)(=⨯-≤nn f （万元）即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元） 方案二：f （n ）＝22n -＋40n -98＝-22)10(-n ＋102当n ＝10时，f （n ）取最大值102，总收益为102＋8＝110（万元）比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n ＝7，故选方案一 21 解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab ＝0 依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622b a ab ac ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为1322=+y x（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ① 设1(x C ，)1y 2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x kk x x ， ②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y 要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ③ 将②式代入③整理解得67=k经验证，67=k ，使①成立综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E22 解析：（1）数列{n a }为等比数列，∴ d a a 213=- 为等比数列，又∵ 2213)2()1()1(--=--+=-d d d f d f a a ，∴ d d d 2)2(22=--，解得d ＝2，0)1(1==f a ∴ )1(2-=n a n 又∵ }{n b 为等比数列，∴213q b b =而2213)2()1()1(qq q f q f b b -=+-=，∴222)2(q qq =-∵ 1≠q ，R ∈q ，∴ 2-=q ，41=b ∴ 11)2()2(4+--=-=n n n b （2）由++2211b c b c …1+=+n nn a b c ①++2211b c b c …n n n a b c =+--11 ②①-②得21=-=+n n nn a a b c ∴ 11)2(8)2(22-+-=-==⋅n n n n b c对于}{n c ，21-=-n n c c ，81=c ，知其为等比数列∴ ])2(1[38)2(1])2(1[8nnn S --=----=，])2(1[381212++--=n n S ，])2(1[3822nn S --=∴ =+∞→nn nS S 212lim ∞→n lim2)2(1)2(1212-=----+nn（文）（1）∵ 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ∴ )2(2211-+-=-n n n n a a a a ，∴ )2(21≥=-n b b n n 且3232112121=+=-=-=a a S a a b ∴ }{n b 是首项为3，公比为2的等比数列（2）∵ 123-⋅=n n b ，∴ 11232-+⋅=-n n n a a ，∴ 432321)2(21221111111==-=-=--++++++⋅⋅n n n n n nn n n n n a a a a c c ，且 21211==a c∴ {n c }是以21为首项，公差为43的等差数列（3）∵ 4143-=n c n ，∴ )13(222-==-⋅n c a n n n n∴ 2≥n 时，2)43(22]1)1(3[2424131+-=+--=+=---⋅n n a S n n n n ，且n ＝1时，1S ＝1，∴ 2)43(21+-=-n S n n故∞→n lim =-⋅12n n n S ∞→n lim322)43(211=+---⋅n n n n。