Strongart数学笔记：浅谈叶状结构的微分几何学
Strongart数学笔记：浅谈局部上同调及其对偶定理
浅谈局部上同调及其对偶定理(2014-06-27 13:51:56)交换代数与同调代数可以说是现代代数学中双塔，他们结合之后就产生了一类非常有意思的代数结构：局部上同调（local cohomology），下面就来介绍一下局部上同调理论的基本内容，暂时不涉及代数几何方面的应用。
约定：本文中的环都是含单位元1的交换环。
首先我们定义I-挠函子的概念，设I是R的理想，M是R-模，令Γ_I（M）={x∈M：I^kx=0对某k≥0}它可以自然诱导在R-模映射M→N上，得到R-模范畴上的函子Γ_I（-）。
下文若无混淆，我们将把I省去。
可以证明函子Γ（-）是左正合的，它有导出函子，就称为局部上同调函子，其中第j阶导出函子记住H^j（-）.把R-模M代入，就得到M的（关于I的）第j阶局部上同调H^j（M），它有如下的基本性质：1）H^0（M）=Γ（M）2）若√I=√J，则Γ_I（M）=Γ_J（M）3）由R-模的短正合列可导出H^*（-）的自然长正合列。
下面我们用这个正合列算一下R=Z对I=（p）的局部上同调，可取Z的内射分解为0→Z→Q→Q/Z→0，容易得到H^j（Z）=0，j≥2，直接计算得H^0（Z）=0，利用长正合列性质，有H^1（Z）=Γ（Q/Z）=Z[1/p]/Z.仔细观察，我们发现H^0（M）=lim Hom（R/I^n,M），由此可以得到局部上同调的计算公式：H^j（M）=lim Ext^j（R/I^n,M），j≥0这里我们遇到了导出函子与正向极限的可交换性，也有作者是通过关于负强连通函子的引理处理的（可以参见[3]、[5]）。
由此可得可以沟通关于I的局部上同调与I-深度之间的关系。
若M是有限生成R-模且IM≠M时，我们有min{j；H^j（M）≠0}=depth（M）这里IM≠M是I-深度的定义的自带条件，当IM=M时，有H^j（M）=0对任何j都成立。
除了Ext函子之外，我们还可以用Koszul复形来计算局部上同调。
Strongart数学笔记：初等数学研究
平面几何是可以替代的吗我们通常会有这样一种看法，一种理论之所以高级，就在于它能够蕴含一些低级的理论，也就是说，低级理论所能达到的地方，高级理论也一样能够达到，而且往往还要更多一些。
但绝大多数情况都没有这样理想，这样的蕴含往往不是完全的，更加准确的称呼应该是局部的专题化。
让我们以平面几何为例子来说明一下这个问题，很多高级的几何脱胎于平面几何，但正如人们一般不会注意在人类进化时灭绝了多少种猿猴一样，很少有人会注意在平面几何发展的同时，我们到底丢失了一些什么东西。
单从字面上看，平面几何似乎应该被立体几何所包含，因为前者只是后者在一个平面上的特殊情况。
然而仔细一看，却可以发现立体几何所推广的内容只是平面几何的一部分，平面几何的基础内容（比如三角形全等与相似）在立体几何中并没有明显的对应，或许我们也可以把它们依葫芦画瓢的推广出来，但这样做似乎比较麻烦，而且缺乏朴素的直观（看三棱锥的全等与相似！），所以价值并不是太大。
其实，立体几何所推广的只是简单的线面关系和几何体计算，前者在于建立一个空间的直观框架，后者更多是出于实际生产的需要，但这些都只是平面几何中最浅层的部分。
可见，立体几何只是平面几何的局部推广而已，它们的关系并不是完全包含的。
解析几何的情形也是类似，其中引入了新的元素——坐标，也给平面几何奠定更严格的数量基础，但其主要研究内容还是由坐标确定的，也就是说它自己带来了自己的问题，并未对早先的平面几何有太多的帮助。
尽管理论上说，用平面几何可以证明的定理都能用解析法证明，可实际上即使再加上平面三角与向量等高级工具，操作起来（特别是遇到角度有关的问题）也还是非常麻烦的，稍微复杂一点的问题还是只能用平面几何定理来推论。
从这个意义上说，坐标的引入反倒是缩小了平面几何研究的深入程度，只是因为方便了曲线的表达，特别是得到了二次曲线的丰富成果，所以才有其存在的价值，但更高级的代数曲线似乎就仅满足于判断一些点的重数与分支的维数。
Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南
Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。
但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。
约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。
首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。
实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。
假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。
给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。
X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。
概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。
环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。
Strongart数学笔记：高中以后学什么数学
高中以后学什么数学如果你喜欢数学，那么上大学就一定要报数学专业，其他专业即使是理工科的，学的高等数学之类也仅仅是一层皮毛。
除非你能够顽强的自学，否则你的数学生涯就GAME OVER了。
当然，即使你报了数学专业，到最后还是要依靠自学。
从这个意义上来说，报什么专业就真的无所谓了，只要负担轻就OK了。
下面的图表简单罗列了高中以后的数学到底可以走到哪里（并未涉及数论、集合论之类的另类领域）,也许你会感到有点恐怖，其实我大学时数学大致就学了这些：因为那时候没有人交流，也不是太懂得节约时间。
可遗憾的是有些不怎么认真数学专业研究生，也无非是在一两个方向入门罢了：高中以后的数学（当然是专业的）课程要大致由三个部分组成，分析、代数和几何，但我认为现行的教育安排是非常失衡的。
大致说来是，数学分析太臃肿，高等代数没前途，解析几何又太狭隘。
下面我就结合自己的经历来谈谈这个问题：先来看分析，很多同学都认为数学分析难学，因为它涉及的东西太多太琐碎了。
既有各种初级计算技巧，甚至包括近似估计；又有深刻的理论推导，有时还一些先进的思想压缩到初步的理论中，却不能充分展开。
我那时就是疲于应付，最后还是不得不退化为微积分，却又往往有所顾及，不像头脑简单的时候可以肆无忌惮的享受着计算的快乐。
其实实数公理部分的不少证明细节得到平面点集拓扑才能充分展开（毕竟圆盘的覆盖要比区间的覆盖更加直观一些），又如像一致收敛这样的概念到函数空间中用确界范数才能自然理解的，而这一切都被压缩到数学分析之中。
要解决这个困难，比较方便的办法的把数学分析分成两个部分，初等的部分相当于稍微严格的微积分，还可以把初步的微分方程与曲线曲面理论放入其中，重在对具体问题的解决与计算技术的熟练化（以后就用不着再害怕计算了）。
我想，在彻底严格化之前先做一番计算练习，这应该是非常有趣的。
等有了这样的微积分基础之后，同时严格抽象的思想也已经从代数学中建立起来，这是就可以把它们汇合起来，向分析的主干挺进。
Strongart数学笔记：数学分析与抽象代数为什么难学
Strongart数学笔记：数学分析与抽象代数为什么难学数学分析为什么那么难学好像经常听到有人说数学分析难学，甚至怀疑自己是不是变笨了，其实这主要不是你的责任，而是中国的数学课程设置很不合理。
正如物理学需要先学普通物理再学理论物理一样，数学也应该先完成普通微积分，然后再去研究那些比较严格的理论。
当年我自学数学分析是在初三的暑假里，用的是陈传璋等人编著的教材，可真是苦了自己啊！先是看极限理论，明明可以感觉到就是那个逼近关系，但书上的例题和习题都在讲怎么用ε-δ定义证明，结果被不等式变换弄得晕乎乎的，甚至都开始怀疑自己是不是想错了！后来讲实数系公理的推导，就更是不知所云，那鬼东西得学到点集拓扑才能充分理解啊，直到开始算导数才稍微缓了口气。
后来才知道，普通的微积分教材也就是算算极限，严格定义能够稍微阐释一下就OK 了，还是早点开始愉快的导数运算吧！据说国外一般都是不直接学数学分析的，一般先学初等微积分，然后再学高等微积分或者是比较高级的数学分析，这才是比较自然的道路。
中国的数学专业非要大杂烩般的搞了个数学分析，既有各种初级计算技巧，甚至还包括近似估计；又有深刻的理论推导，把一些先进的思想压缩到初步的理论中，却又没有余力进行充分展开。
据说这还是继承的前苏联的“大头分析”的传统，等到高中数学把微积分彻底剪掉之后，就更是变成一块硬邦邦的石头。
当然，人为制造的难度是能够人为的解决的，为了强撑这样场面，他们会做各种各样的辅助工作。
前苏联就搞了一套吉米多维奇的习题集，至今依然是死而不僵，被一些老派的教授推崇。
各大数学系都把最大的师资力量都放在数学分析上，习题课辅导课之类的上了一大堆，能够让自学者入地无门，也算是体现数学系价值的一座丰碑了。
中国人还特别喜欢磨练人的钢铁意志，吃得苦中苦，方为人上人，学懂了数学分析，剩下来都是小菜一碟，大不了就像当年应付高考一样，大学四年就死磕数学分析了，实在是一副非常讽刺的画卷啊！我想，如果你是致力于自学的话，那就不要跟着大陆的数学系一起犯傻了。
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家(Strongart)
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家（Strongart）你只要在google上搜索一下“自学数学”，就能够一篇非常感人的文章，它讲述了一位网名为Strongart的年轻数学家自学成才的故事，当年华罗庚、陈景润之类的感人事迹，又一次在我们身边出现了。
Strongart，真名不详，江苏苏州人，曾在一所比较破旧的学校上小学，得到了全国奥数竞赛二等奖，初中时他自学完高中数学，开始自学数学系的分析课程，但迫于升学压力，高中时只是断断续续学了点数分高代。
正如很多天才都不能适应机械化的考试那样，他第一次高考也没考上如意的大学，此后一年他主要还是自学数学，最后带着一点泛函分析与抽象代数的基础进入了一所二流大学。
大学时他学得是哲学专业，这是他的另一个兴趣所在，但很快就发现课堂上教授的东西太落后了，根本就不是他所希望的，因此基本上都是自己借图书馆的书学习。
四年下来他已经能够阅读一些英文原版文献，可是现实又一次对他开了个玩笑，最终他因为学分不够，就这样默默的离开了学校。
对于这一段经历，或许他在某个视频中的一段话颇能说明问题：当同学们还处在惊讶之中，还没来得及以崇拜的目光注视我的时候，我便已经离开了他们的视线。
离开学校后，他靠网购一些图书学习，逐渐也有了一些自己的成就。
他把自己的研学心得写进自己的新浪博客，目前点击已经超过两百万，同时还制作成PDF电子书供学友们下载，深受一些专业人士的好评。
在他小结的那些数学笔记中，抽象代数、微分几何、泛函分析只能算是基础部分，此外还包括调和分析、Banach空间结构、多复变函数论、纤维丛几何、环与模的Morita理论、代数K理论等高端内容。
一般的数学系研究生只要能够掌握其中的一部分，就已经算是比较优秀的了。
从2010年起，他开始录制数学视频讲座，目前第一期交换代数视频1-30已经完成，现在又开始教授泛函分析新课，其不看讲稿的脱口秀风格颇具大家风范。
他的视频不仅思路清晰内容丰富，还非常具有自己的个性特征，在讲述投射模时联系了代数K理论，在讲述内射模时联系了一般环论中的半单环，讲述张量积的时候则是对比了微分流形上的张量场，几乎每一讲都有这样的亮点出现。
Strongart数学笔记：Differential Forms in Algebraic Topology读后感
Differential Forms in Algebraic Topology读后感最近我读完了Raoul Bott的Differential Forms in Algebraic Topology（代数拓扑中的微分形式），开头还算是比较轻松愉快，后来遇到spectral sequences就开始发晕，到homotopy的时候就有点像放弃了，好在那是一个相对独立的章节，熬到最后的characteristic classes稍微总算好转一点。
下面主要就比较熟悉前半部分，谈一点阅读体会。
书中一开始是介绍de Rham cohomology，一个特色就是并列了带有compactly supports的情形，这样可以处理noncompact的情形。
然而，compact cohomology的很多性质是普通的cohomology相反的，这可以从Mayer-Vietoris sequence开始讨论。
就Ω*函子而言，普通的cohomology是反变的，但compact cohomology却有两种选择，书中主要还是取的共变形式，这就使得关于compact cohomology的Mayer-Vietoris sequence中箭头的方向与通常的cohomology相反。
接着我们看Poincare lemma，普通的cohomology中可以把×R 直接收缩掉，但对于compact cohomology而言，直接pullback会破坏compactly supports条件，最后只能得到一个降维的形式。
当然，具体的证明需要对微分形式做细致的讨论，尽管两种cohomology的讨论有点类似，但似乎都比较繁琐。
我们容易把Poincare lemma推广到向量丛M→E上，分别得到H^*(E)≌H^*(M)与H^*_c(E)≌H^(*-n)_c(M)，请注意对于compactly supports的情形，需要使用Poincare duality，因此要假定流形是有限型可定向的。
Strongart数学笔记：评述Artin环的基本性质
注：半局部性的这个定义仅在交换环中成立，对非交换环 R 定 义为 R/rad(R)是左（或右）Artin ring.
3）根的幂零性：这里我们要先区分 nil ideal 与 nilpotent ideal 的 概念（nil ideal 在中文里直译为零理想，这非常容易与 0 混淆，有些 书中生造了个“诣零理想”，以此来与幂零理想区别对照），前者指元 素幂零，后者则是指理想本身幂零，也就是对交叉项依然有要求。显 然，nilpotent ideal 一定是 nil ideal，但在 R=k[x1,x2,…]/(x1^2,x2^2,…) 中由取模后的未定元 x1，x2，…生成理想即为显然是 nil ideal，却不 是 nilpotent ideal。
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1）零维性：就是说 Artin ring 中素理想都是极大理想。通过取商 它又等价于命题：Artin 整环是域，后者是非常容易证明的。既然素 理想与极大理想等价，那么素根就是等价与 Jacobson 根等同，也就是 说在 Artin ring 中可以笼统的称为根。
Strongart数学笔记：浅谈叶状结构的微分几何学
浅谈叶状结构的微分几何学(2014-08-30 13:56:24)约定：本文中提到的流形都是光滑的。
简单来说，流形上余维q的叶状结构（foliation）就是把n维流形分解成若干（n-q）维局部平凡的浸没子流形。
这样的叶状结构一般被视为非交换几何的研究对象，它在微分几何中沟通了很多领域，本文就对它的几何性质做一个小结。
下面看流形上叶状结构的技术性定义，在n维流形M的余维q的叶状卡（foliation atlas）（0≤q≤n）指M的卡f_i：U_i→R^n=R^（n-q）×R^q，其卡替换同胚局部形如：f_ij（x，y）=（g_ij（x，y），h_ij（y））M的余维q的叶状结构就是指M上的最大n-q维叶状卡。
各叶状卡内f_i^（-1）（R^（n-q）×{y}），y∈R^q的连通分支称为板（plaque），在流形上连成整体的板称为叶（leaf），所有的叶给出了M上也叶状结构F，带叶状结构F 的流形M称为叶状流形（foliated manifold），记作（M，F）.实际上，M内的叶定义出一个等价关系：x～y iff x与y 位于同一个叶。
由此可以作商得到叶空间M/F，称为叶状结构（M，F）的叶空间。
一般来说，叶空间可以不是Hausdorff 的。
下面看叶状结构几个典型例子：1）纤维束（fibre bundle，大陆的数学工作者一般称它为纤维丛），其纤维就是天然的叶，由此可见叶状结构就是纤维束的推广。
2）淹没（submersion），流形上的淹没映射f：M→N自然定义出叶状结构，其各叶是f^(-1)(y)，y∈N的连通分支，这样的叶状结构称为简单叶状结构（simple foliation）.假若各纤维f^(-1)(y)，y∈N都是连通的，那么得到的叶状结构称为严格简单叶状结构（strictly simple foliation）.简单叶状结构是严格简单的iff其叶空间是Hausdroff的。
Strongart数学笔记：微分几何部分的学习小结
微分几何部分的学习小结最近我在网上看了梁灿彬教授的微分几何与广义相对论视频讲座，感觉不错就顺便买了本教材，前几天正好把前面的微分几何学完了。
尽管他主要是对物理系的学生讲的，像单位分解之类的大定理都没有证明，但很多地方还是颇有心得，下面我就简单小结一下。
书中比较注重微分几何理论与经典分析理论之间联系，即作者所说的“天地连通”。
先是对dx做了微分形式的解释，避免了很多无聊的哲学争论，然后用微分形式的积分定义流形上函数的积分，这就对经典积分做了全新的解释，还把经典的积分公式推广为Stokes theory与Gauss law，特别对沿边界积分做了一个沿切向分量的细致解释。
最让人欣慰还是用微分几何的语言重述R^3中的场论，如何借助对偶与*算子解释了R^3中为什么没有出现微分形式，比如矢量的叉积其实就是先作用Hodge*再作用外积：×=∧·*，最后用外微分做了刻画grad、curl与div，借助于Poincare lemma可以轻松的证明了“无旋场必可表梯度”、“无散场必可表旋度”。
既然讲述微分几何，对张量语言想必是非常关注的。
作者先给出了一个“张量面面观”，清楚的解释了张量作为函数、作为向量空间之间的映射与对偶空间之间的映射这三种观点的转化与联系，避免了只把张量当成满足相应关系的一堆数初级见解。
在此观点的影响下，作者特别讨论的张量的抽象指标记法，借助此记法给出了几个常用运算关系，这对后面的计算化简是非常有帮助的。
作者特别讨论了Christoffel symbol是不是张量的问题。
很多书中是直接通过坐标基协变导数的展开系数来引入Christoffel symbol，然后发现它不满足张量变换律，就说它不是一个张量，有些书为了防止惯性思维还要特强调一下。
但作者却是先讨论了协变导数差的局部不变性，给出一个一般的张量C，然后把其中一个协变导数取为普通导数，得到的Christoffel symbol也就自然成为张量了。
微分几何前五章知识点总结
微分几何前五章知识点总结微分几何是数学的一个分支，它研究了曲线、曲面等几何对象上的微分和积分运算。
微分几何在数学中有着非常广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
在微分几何的学习过程中，我们首先需要了解一些基本的知识点，然后逐步深入学习更加复杂的内容。
在微分几何的前五章中，我们学习了一些基本的概念和定理，下面就让我们来对这些知识点进行总结。
第一章：Euclidean Space R^n在微分几何中，我们首先要了解的是欧几里德空间R^n，它是n维空间中所有点的集合。
在R^n空间中，我们可以定义点之间的距离，以及点和点之间的向量。
我们还可以定义点的坐标，并且可以进行向量的加法和数乘操作。
欧几里德空间R^n在微分几何中有着非常重要的作用，我们可以在其上定义一些基本的几何对象，比如球面、圆柱面等，然后进行微分几何的相关研究。
第二章：Curve在微分几何中，曲线是一种最基本的几何对象。
曲线是一种一维的几何对象，在欧几里德空间R^n中可以通过参数方程或者参数化函数来描述。
在这一章中，我们学习了曲线的弧长、切向量、曲率以及曲线的导数等概念。
这些概念对于我们研究曲线的性质和特征非常重要，比如曲线的弧长可以帮助我们计算曲线的长度，切向量和曲率可以帮助我们研究曲线的走向和弯曲程度。
第三章：Surfaces在微分几何中，曲面是一种二维的几何对象。
曲面可以被参数化为一个映射函数，这个映射函数把一个二维的参数空间映射到欧几里德空间R^n中。
在这一章中，我们学习了曲面的第一和第二基本形式，以及曲面上的曲线、曲率等概念。
这些概念对于研究曲面的局部性质非常重要，比如曲面的第一和第二基本形式可以帮助我们计算曲面上的切向量、法向量和曲率等，这些信息对于我们研究曲面的局部形状非常有帮助。
第四章：Gaussian Curvature高斯曲率是一个非常重要的曲面特征，它描述了曲面在一个点处的弯曲程度。
在这一章中，我们学习了高斯曲率的定义、计算方法以及它和曲面的几何意义。
微分几何学
公式
另一方面，克莱因的《埃尔朗根纲领》与狭义相对论完美地相配合，狭义相对论中的一个原理是洛伦茨群下 场方程的不变性，这导致了克莱因成为狭义相对论的最早支持者之一。洛伦茨结构在相对论中起了基本的作用。
广义相对论
闵科夫斯基
巨大影响
齐维塔
公式黎曼几何的建立对近代物理学产生了巨大的影响。黎曼对引力论很有兴趣，曾对牛顿的引力论发生怀疑， 牛顿的引力是一种超距作用，而黎曼认为引力作用应通过接触来传递，但他并没有把黎曼几何用于引力论。50年 后，爱因斯坦创立了新的引力理论──广义相对论，黎曼几何（严格地说是洛伦茨几何，这时(2)中所定义的ds2 是非正定的二次微分形式）及其运算方法（里奇计算法）成为广义相对论有效的数学工具。爱因斯坦引进了约定 求和这一很有用的符号。广义相对论的产生对微分几何的影响是令人震动的。当时黎曼几何成为研究的中心课题， 斯考顿、列维－齐维塔、É.嘉当及艾森哈特等人的关于黎曼几何的权威著作几乎都出现在1924～1926年 期间。 爱因斯坦在狭义相对论中，把时间与空间作为相关的量一起来考虑,构成了一个四重广延量,这显示了 时空概念的一个根本性变化。这时，时空中两点(xi),(xi+dxi)(i=1,2,3,4)的距离由非正定的二次形式 (6)
公式《埃尔朗根纲领》对微分几何的影响比克里斯托费尔、李普希茨解决二次微分形式的相互转换问题稍迟 一些，1872年（C.）F.克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，这就是把几何学定 义为研究变换群所作用的空间，例如欧氏空间具有刚体运动群，所研究的对象是在刚体运动群下不变的性质。射 影空间具有射影变换群，仿射空间与共形空间分别具有仿射变换群与共形变换群等等。这样就用变换群对已有的 几何学进行了分类。这些几何学中所研究的对象是在相应变换群下不变的性质。这种用群论统一几何学的思想把 几何学与李群结合起来了。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学 的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方 的学位论文，后来1906年起为E.J.威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起为以G.富比尼为首的意大利学 派所发展。20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼科夫等进一步发展了射影微分几何。
数学中的微分拓扑与微分几何
数学中的微分拓扑与微分几何微分拓扑和微分几何是数学中两个重要的分支学科，它们研究了空间的性质和形变。
本文将介绍微分拓扑和微分几何的基本概念、方法和应用。
一、微分拓扑1.1 概念微分拓扑是研究空间的连续性和可微性质的学科。
在微分拓扑中，我们关注的是拓扑空间中的连续映射和流形，通过对空间的变形和连续变换，研究其性质和结构。
1.2 流形流形是微分拓扑研究的核心概念之一。
在微分拓扑中，流形是指局部与欧几里得空间同胚的空间。
流形可以是一维曲线、二维曲面，或者更高维的对象。
通过定义在流形上的切空间和切向量场，我们可以研究流形的微分结构。
1.3 同伦同伦是微分拓扑中的一个重要概念，它研究了空间中的连续变形。
同伦理论可以用来描述空间中的连续映射是否可以连续变形为另一个映射。
同伦理论的重要结果是同伦等价的空间具有相同的拓扑不变量，这为研究空间的性质提供了便利。
二、微分几何2.1 概念微分几何是研究流形上的微分结构和度量性质的学科。
在微分几何中，我们关注的是流形上的切空间、切向量场、度量和曲率等概念。
通过研究流形上的曲线、曲面以及更高维的子流形，我们可以研究其性质和几何结构。
2.2 流形上的切空间和切向量场切空间是流形上一个点处切向量的集合。
切向量可以看作是在该点处的切线的推广。
切向量场是切空间上的一个向量场，它在每个点处给出了一个切向量。
通过切空间和切向量场，我们可以研究流形上的切换和变化。
2.3 度量和曲率度量是刻画流形上的距离和角度的工具。
通过定义在流形上的度量张量，我们可以计算流形上曲线的长度和曲率。
曲率描述了流形上的弯曲程度，它在微分几何中起着重要的作用。
三、应用微分拓扑和微分几何在数学和其他学科中有广泛的应用。
在物理学中，微分几何可以用来研究时空的几何结构和引力场的性质。
在计算机图形学中，微分几何可以用来生成曲面和进行形状分析。
在统计学中，微分拓扑可以用来研究数据的拓扑结构和分类问题。
总结：微分拓扑和微分几何是数学中重要的分支学科，它们研究了空间的连续性、可微性质和几何结构。
《微分几何及其应用》知识点总结
《微分几何及其应用》知识点总结微分几何及其应用知识点总结微分几何是现代数学的一个分支，主要研究的是几何对象的微分学性质，以及它们之间的关系。
同时，微分几何也是理论物理和工程学的重要基础学科。
以下是微分几何及其应用的一些重要知识点：1. 流形流形是微分几何中最为重要的概念之一，是指一个局部类似欧几里得空间的拓扑空间。
流形不仅在微分几何中有广泛的应用，还可以用来刻画物理学中的时空结构。
2. 流形上的曲线和切向量在流形上，存在着曲线和切向量的概念，它们与欧几里得空间中的类似。
流形上的曲线也可以用来描述物体在空间中的运动状态，切向量则可以用来描述曲线运动的方向。
3. 流形上的度量度量是衡量空间中距离和角度的量，对于流形上的点来说，也存在着度量的概念。
在微分几何中，度量不仅可以用来衡量流形上点之间的距离，还可以用来定义流形上的曲率和其他几何量。
4. 流形上的曲率曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于流形中的曲线，依然存在着曲率的概念。
在微分几何中，曲率不仅可以用来描述曲线的性质，还可以用来描述流形的拓扑结构和几何形态。
5. 黎曼流形和黎曼曲率张量黎曼流形是指存在度量的流形，黎曼曲率张量则是描述流形曲率的重要工具。
在黎曼流形中，黎曼曲率张量可以用来计算流形的曲率，从而可以揭示流形的几何性质。
6. 应用微分几何在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在广义相对论中，它被用来描述时空的几何形态；在计算机图形学中，它被用来描述物体的形态和在空间中的位置关系；在机器研究中，它被用来对高维数据进行降维等。
以上是微分几何及其应用的一些重要知识点的总结。
《微分几何》知识点总结
《微分几何》知识点总结微分几何是数学中的一个分支，研究的是空间中曲线和曲面的性质和变化规律。
在微分几何中，我们使用微积分的方法研究曲线和曲面上的切线、法线、曲率等概念，以及它们的几何性质。
下面是微分几何的一些重要知识点总结。
1.曲线的参数表示曲线是一些点的集合，我们可以用参数表示曲线上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
曲线的切向量是曲线上一点的导数。
2.曲线的切线和弧长曲线的切线是曲线在其中一点的切向量所确定的直线。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离。
我们可以通过弧长参数化来表示曲线。
3.曲线的速度和加速度曲线的速度是表示曲线上一点运动快慢和方向的向量，它的大小是曲线在这一点的切线向量的模，方向是切线的方向。
曲线的加速度是速度的导数。
4.曲线的曲率和挠率曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度，它是曲线的切线向量随曲长的变化率。
曲线的挠率描述了曲线的曲率随曲长的变化率，它是曲线的法向量随曲长的变化率。
5.曲率圆和曲率半径曲线的曲率圆是一条与曲线在其中一点相切且切向量方向相同的圆，曲率半径是曲率圆的半径。
6.空间曲线的切线、法线、副法线三向量空间曲线的切线是曲线上一点的速度向量，法线是曲线上一点的加速度向量的单位向量，副法线是切线和法线的叉积向量的单位向量。
7.曲面的参数表示曲面是三维空间中的二维平面，我们可以用参数表示曲面上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
8.曲面的切平面和法线曲面的切平面是曲面在其中一点的切向量所确定的平面，法线是切平面的法线向量。
9.曲面的曲率和高斯曲率曲面的曲率描述了曲面特定点附近的曲率变化，高斯曲率描述了曲面在其中一点附近的整体几何性质。
10.高斯曲率和平均曲率的关系高斯曲率和平均曲率是曲面上两个重要的曲率指标，它们之间存在一定的关系。
11.第一基本形式和第二基本形式第一基本形式是描述曲面上两个切向量的内积，第二基本形式是描述曲面上一个切向量和一个法向量的内积。
叶子中的数学知识小报
叶子中的数学知识小报以下是一份关于“叶子中的数学知识”的小报，供您参考：叶子中的数学知识一、引言数学是一门研究数量、结构、空间和变化等概念的学科。
虽然许多人认为数学是一门高度抽象的学科，但实际上，数学在自然界中无处不在。
在这份小报中，我们将探讨叶子中的数学知识，以揭示自然界中的数学之美。
二、叶子的形状和曲线叶子的形状：叶子的形状是多种多样的，但它们通常可以被归为几种基本类型，如椭圆形、长椭圆形、心形等。
这些形状可以通过数学公式来描述，例如椭圆的公式为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b 是椭圆的半轴长度。
叶子的曲线：叶子的边缘通常呈现出优美的曲线形状，这种曲线被称为叶形线。
叶形线可以通过极坐标方程ρ(θ) = r(θ) (θ) 来描述，其中ρ是极坐标中的径向距离，θ是角度，r是叶形线的极径。
三、叶子的对称性许多叶子的形状具有对称性，这种对称性可以通过数学中的对称群来描述。
例如，如果一个叶子可以通过旋转或翻转等操作与自身重合，那么它就是对称的。
叶子的对称性可以通过点群或更复杂的对称群来描述。
四、叶子的分形结构分形是一种具有自相似性的几何形状，它在自然界中广泛存在。
许多叶子的结构具有分形的特征，例如，叶子上的脉络呈现出复杂的分形结构。
这种分形结构可以通过分形几何来描述，分形几何是数学中一门专门研究具有自相似性的形状的学科。
五、总结叶子中的数学知识是丰富多彩的。
从叶子的形状、曲线、对称性和分形结构中，我们可以看到数学在自然界中的应用。
这些数学知识不仅帮助我们更好地理解自然界的规律，同时也让我们感受到自然界中的数学之美。
让我们继续探索自然界中的其他数学奥秘吧！。
叶子中的数学
叶子中的数学数学作为一门学科，可以让人们更好地理解和描述世界的运作方式。
我们可以在生活的方方面面看到数学的存在，甚至在我们不经意间，叶子中也蕴含着数学的神秘。
先让我们来观察一片叶子的形状吧。
叶子的形状通常是呈现对称性的，这是因为对称性在数学中具有重要的地位。
数学中的对称性包括平移对称、旋转对称和反射对称等。
叶子的形状通常可以用这些对称性来描述。
我们可以进一步观察叶子的网状结构。
在叶子的表面上，存在着一条条的血管网络，这条网络被称为叶脉。
研究表明，叶脉的分布遵循花瓣、果实、树木、花朵等自然界中的分形规律。
分形是数学中的一个重要概念，它指的是无论如何放大或缩小，都会保持自身形态的物体或图形。
分形的研究对于了解自然界中的形态和规律具有重要意义。
除了形状上的数学特征外，叶子中还蕴含着数学中的统计学概念。
例如我们可以对一片区域内的叶子进行测量，记录叶子的长度、宽度、形状等信息，然后利用这些数据进行统计分析。
通过统计分析，我们可以得出叶子的平均长度、宽度，以及它们的方差、标准差等指标。
这些统计指标可以帮助我们更好地了解叶子的形态变化和分布规律。
叶子中的数学还可以延伸到数学模型的应用。
我们可以用数学模型来描述和解释叶子的生长和发展过程。
例如斐波那契数列在叶子的排列中有着显著的存在。
斐波那契数列是一个无限数列，其前两项是1，之后的每一项都是前两项的和。
这个数列的前几个数字是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...。
如果我们观察一片叶子上的排列方式，会发现叶子的主脉和侧脉的位置和数目正好符合斐波那契数列的规律。
在数学的世界里，有着许多和叶子相关的数学问题可以探究。
例如叶子的自相似性、叶子的曲率和面积问题等等。
这些问题的研究不仅可以深化我们对叶子形态的理解，还能够推广到其他自然界中的物体和形态的研究。
总之，叶子中蕴含着丰富的数学特征和规律。
通过对叶子的观察和研究，我们可以发现数学的美和神秘之处。
微分几何解析
微分几何解析微分几何是数学中的一个分支，它研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。
它以微积分为基础，通过利用微分和积分的工具来描述和研究曲线的形状、曲面的曲率等问题。
微分几何的核心概念是切空间、曲率和测地线等，这些概念在物理学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
一、微分几何的基本概念微分几何研究的对象可以是曲线，可以是曲面，也可以是更高维的空间。
对于曲线来说，我们可以通过参数方程给出曲线的表达式，并利用导数的概念来描述曲线上各点的切线方向和曲率等几何性质。
对于曲面来说，我们可以通过参数化来给出曲面的表达式，并通过偏导数和法向量等来描述曲面的切平面、曲率和法曲率等特性。
而对于更高维的空间，我们可以通过类似的方式来描述其几何性质。
二、微分几何的基本工具微分几何的基本工具是微分和积分。
微分几何通过对曲线、曲面等几何对象上的函数进行微分和积分运算，从而研究其性质和变化规律。
在微分几何中，切向量和法向量是非常重要的概念。
切向量代表曲线或曲面上某一点的切线方向，而法向量则代表曲面上某一点的垂直于切平面的方向。
通过切向量和法向量，可以定义曲率、法曲率和挠率等几何性质。
三、微分几何的应用领域微分几何在物理学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
在物理学中，微分几何可以用来描述时空的几何性质，比如引力场的曲率等问题。
在计算机图形学中，微分几何可以用来进行三维模型的建模和变形，以及光线追踪等操作。
微分几何还在经济学、生物学等其他学科中得到了应用，通过研究不同对象间的几何性质，可以揭示它们之间的内在联系和规律。
四、微分几何的发展历程微分几何作为一门独立的数学分支，起源于18世纪的欧洲。
在18世纪末19世纪初，高斯、黎曼等数学家对微分几何做出了重要的贡献，建立了微分几何的基本理论体系。
20世纪以来，微分几何在变分原理、流形、李群等领域得到了进一步的发展，形成了现代微分几何的框架和方法。
综上所述，微分几何是一门研究曲线、曲面以及高维空间中几何性质的数学分支。
Strongart数学笔记：漫谈纤维丛的直观形象
漫谈纤维丛的直观形象纤维丛（fibre bundle）是微分几何中的一个重要概念，但它却是非常抽象的，传说要真正理解纤维丛至少需要四年。
一般数学书上尽管也举一些标准例子，但只是介绍其中代数与微分的构造，很少对它们的直观图像进行分析。
下面我结合自己对纤维丛的一点认识，写一篇小文章算是填补一下其中的空白。
简单的说，纤维丛就是一簇在基底流形上参数化的局部平凡的拓扑空间，而这里的拓扑空间多半是以流形的面目出现的，视其为基底流形上面的参数化流形也未尝不可。
它有一个重要的特例是向量丛（vector bundle），那是一簇在流形上参数化的局部平凡的向量空间。
然而，人类对的直观只能达到三维，而基底流形至少要占掉一维，因此所能见到直观例子主要也就纤维为一维的情形了。
一维纤维的直观形象就是“毛”，如果是一维向量丛（又称线丛），那就笔直的“硬毛”，一般的纤维丛则可能是“软毛”。
然而，“毛”的形象却是有缺陷的，它暗示着纤维似乎是从基底流形发出的，但实际上纤维是穿透基底流形的。
这里的误解还有另一个源头，那就是很多中文书上把基底流形称为底流形，结果就自然被误认为是位于底部的流形（记得我去国外（网站）讨论数学时，翻译回去就是bottom manifold。
结果有些老外就搞不明白了，后来发现它的英文是base，翻译成“基底”或者简称“基”才更加准确）。
就直线上的线丛而言，它的形象不应该类似于“梳子”，而应该更接近于“蜈蚣”，这里“蜈蚣的腿”就相当于上面的“毛”，但它既是无限条，也是无限长的。
然而，对“蜈蚣”形象还有个疑问，这里“蜈蚣”的（无限条无限长的）腿是不是一定要垂直于身体，也就是说纤维丛里的纤维是不是一定正交于基底流形呢？有趣的是，在我所见到的书籍当中，没有一本书中的纤维丛定义要求它正交，但同样没有一本书中画出来的示意图（假若有图的话）不是正交的，后者大概是出于美观的考虑，但却容易使人产生误解。
实际上。
把各纤维转到同样的角度，得到的“歪腿蜈蚣”一样也是纤维丛。
Strongart数学笔记：与陶哲轩谈谈什么是好数学(送数学论文写作指导)
与陶哲轩谈谈什么是好数学(最近看到一篇评论好数学的文章，感觉说得相当有道理，可见作者也是一位有素养的数学牛人。
后来查了一下，原来文章就是数学家陶哲轩写的，也真是大家所见略同了啊！下面我就对陶哲轩的好数学补充一下实例，而且尽量都选用与自己有关的例子，毕竟Strongart 教授的很多数学思想正是属于这样的好数学啊！好的数学题解(比如在一个重要数学问题上的重大突破)答：这一点我还没有明确的结果，只不过偶尔能回答一些网友的问题。
好的数学技巧(比如对现有方法的精湛运用，或发展新的工具)答：这一点我也没有明确结果，对技巧之类的并不在行。
好的数学理论(比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择)答：Strongart教授独立提出Noether算子与Artin算子的概念，它与Fredholm一样可以作为I-T紧算子的推广，假若你没有学过标准的泛函分析理论，很可能以为这两个概念在泛函分析中本来就有的呢！好的数学洞察(比如一个重要的概念简化，或对一个统一的原理、启示、类比或主题的实现)答：比如Fredholm算子中闭值域的条件可以省略，这个尽管不是我先发现的，但我立刻就领会到它的意义，并且把它解释为忽略了有限维空间的同构，引入到自己的泛函分析视频当中。
好的数学发现(比如对一个出人意料、引人入胜的新的数学现象、关联或反例的揭示)答：大约十年前我找到一个很初等的反例，就是三维欧式空间中异面直线的距离不满足度量空间的公理，这是因为度量空间是对点之间距离的抽象，并不是适合集合之间的距离。
好的数学应用(比如应用于物理、工程、计算机科学、统计等领域的重要问题，或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域)答：对物理工程的应用我不太关心，但Strongart教授提出S-divisor，把代数几何中的除子推广了集合上，并且给出了模糊数学的解释。
好的数学展示(比如对新近数学课题的详尽而广博的概览，或一个清晰而动机合理的论证)答：我的数学视频A Story of Limit就是典型，它小结了微积分中极限概念是如何一部部发展到范畴理论的。
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浅谈叶状结构的微分几何学(2014-08-30 13:56:24)约定：本文中提到的流形都是光滑的。
简单来说，流形上余维q的叶状结构（foliation）就是把n维流形分解成若干（n-q）维局部平凡的浸没子流形。
这样的叶状结构一般被视为非交换几何的研究对象，它在微分几何中沟通了很多领域，本文就对它的几何性质做一个小结。
下面看流形上叶状结构的技术性定义，在n维流形M的余维q的叶状卡（foliation atlas）（0≤q≤n）指M的卡f_i：U_i→R^n=R^（n-q）×R^q，其卡替换同胚局部形如：f_ij（x，y）=（g_ij（x，y），h_ij（y））M的余维q的叶状结构就是指M上的最大n-q维叶状卡。
各叶状卡内f_i^（-1）（R^（n-q）×{y}），y∈R^q的连通分支称为板（plaque），在流形上连成整体的板称为叶（leaf），所有的叶给出了M上也叶状结构F，带叶状结构F 的流形M称为叶状流形（foliated manifold），记作（M，F）.实际上，M内的叶定义出一个等价关系：x～y iff x与y 位于同一个叶。
由此可以作商得到叶空间M/F，称为叶状结构（M，F）的叶空间。
一般来说，叶空间可以不是Hausdorff 的。
下面看叶状结构几个典型例子：1）纤维束（fibre bundle，大陆的数学工作者一般称它为纤维丛），其纤维就是天然的叶，由此可见叶状结构就是纤维束的推广。
2）淹没（submersion），流形上的淹没映射f：M→N自然定义出叶状结构，其各叶是f^(-1)(y)，y∈N的连通分支，这样的叶状结构称为简单叶状结构（simple foliation）.假若各纤维f^(-1)(y)，y∈N都是连通的，那么得到的叶状结构称为严格简单叶状结构（strictly simple foliation）.简单叶状结构是严格简单的iff其叶空间是Hausdroff的。
实际上，纤维束结构就是简单叶状结构的特例，但并不是所有的简单叶状结构都是纤维束，比如下面的Reeb叶状结构。
3）Reeb叶状结构：考虑淹没f：R^2→R，f（x，y）=（x^2-1）e^y，由它给出的叶状结构在x=±1时有奇异性，因此就不是纤维束。
类似的结构可以被推广到的高维，其图示参见[4]的Part II.1.4）环面上的Kronecker叶状结构：取定某个无理数θ，在环面S^1×S^1上，其叶可以由f_a：R→S^1×S^1，f_a（t）=（e^2πit，ae^2πiθt）给出。
这个叶状结构中的每个叶都是环面上的一条稠密轨道，它不是简单叶状结构。
对于n维流形M上的q维叶状结构F，我们还有其他的等价定义：1）Haefliger上环定义：对M上的开覆盖{U_i}，有淹没s_i：U_i→R^q，使得同胚r_ij：s_j（U_i∩U_j）→s_i（U_i ∩U_j），满足r_ij·s_j=s_i.这里的r_ij满足上环恒等式，称为表示F的Haefliger上环.2）可积子束定义：通过TM的秩为n-q的可积子束E 定义。
这里的可积性就是说E在李括号的作用下封闭。
3）外微分理想定义：通过外微分分次代数Ω（M）内秩为q的局部平凡微分分次理想J来定义。
这里局部平凡性是在任何点都有局部开邻域U，使得J|U由q个线性无关1-形式生成，而理想J是微分的指dJ∈J.假若我们把最先的叶状结构定义记作0），那么0）与1）的等价实际上是平行于纤维束的，2）中的可积子束E实际上就是各叶的切束，而2）与3）的等价则是微分流形上的Frobenius定理。
直观的看，叶状流形（M，F）可以分成“横向”的叶与“纵向”的截面。
这是类比于纤维束来理解的，只不过在通常的示意图中，纤维束的纤维是竖直的，而叶状结构的叶却是水平的。
叶状结构的一般性质就是保持其叶不变的截面性质，对于可定向性，则就有叶的可定向性与截面的可定向性的区别。
设x，y是在M的同一叶L上，α是L内从x到y的道路，若存在一个叶状卡U包含α，取T与S分别为过x与y 的截面，定义hol（α）为内从x到y的微分同胚芽，称为α在L内关于横截T与S的完整群（holonomy group）.一般若是x与y不在一个叶状卡内，则可以通过叶状卡的“接力”与完整群的复合实现。
可以证明，同伦的道路诱导相同的完整群。
对x点的截面T，我们有L的完整同态hol：π（L，x）→Diff_x（T）=Diff_0（R^q），其像Hol（L，x）称为L的完整群。
L内从x到y的两个道路α与β有相同的完整结构，若hol（αβ^（-1））=1，这是定义在同伦道路上的等价类，称为完整等价类。
我们还可以定义叶状流形（M，F）的完整群胚（holonomy groupoid）为：G（F）={（x，hol（α），y）；存在叶L包含x，y与道路α从x到y}其对象G^0=M，复合由完整群的复合自然诱导。
对于简单叶状结构而言，其完整群是平凡的。
可以认为，完整群在一定程度上刻画了叶状结构偏离简单的程度。
对所有叶都是紧致的且有有限完整群的叶状流形（M，F），其叶空间M/F有轨形（orbifold）结构，其完整群就是轨形M/F的迷向群。
下面看几个特殊叶状结构，先是Riemann叶状结构。
流形M上的余维q叶状结构F是Riemann的，若（M，F）带有横截度量，即向量场空间V(M）上的正C^∞（M）-双线性形式g，使得1）ker（g_x）=T_x（F），对任何x∈M2）L_X（g）=0，对任何M上切于F的向量场X其中条件1）使得g是法束N（F）的Riemann结构沿着标准投影T（M）→N（F）的拉回，而条件2）则是在局部坐标卡f_i：U_i→R^n=R^（n-q）×R^q内决定了形式g如下：g_ij=g（d/dy_i，d/dy_j）并且dg_ij/dx_k=0，对任何i，j，k成立由此可见，Riemann叶状结构主要就是在法束上面定义的，其横截面有自然的Riemann结构。
这样的Riemann结构决定一个横截度量iff它是完整不变的。
实际上，Riemann 流形上的完整群就是叶状结构完整群的特别，具体来说就是流形上的切束关于Levi-Civita联络的完整群。
Riemann叶状流形有一个非常良好的性质：假若它的所有叶都是紧的，那么它就一定有有限完整群，进而可以满足下面的局部Reeb稳定性定理的条件。
下面我们看另一类重要的叶状结构，叫做李叶状结构（Lie foliation）。
对此我们要流形M关于李代数g的Maurer-Cartan形式出发，它是指M上的g-值1-形式ω，满足平凡曲率条件：dω+[ω，ω]/2=0ω称为非奇异的，若对任何x∈M，ω_x：T_x（M）→g是满射。
流形M上的叶状结构F，若存在李代数g及其上的非奇异的Maurer-Cartan形式ω，使得codim F=dim g且T（F）=kerω，则它称为是李叶状结构。
直观来看，李叶状结构的横截部分对应李群，其叶的部分则对应李群的切束。
正如李群的具有可平行化性质，李叶状结构也是横截可平行化的。
为此我们要先介绍一下概念，首先定义叶向量场的李子代数V（F）的李理想：L（M，F）={Y∈V（M）;[V（F），Y]≤V（F）}由此可定义商李子代数：l（M，F）=L（M，F）/V（F）余维q的叶状流形（M，F）是横截可平行化的，就是指在l （M，F）存在q个横截向量场生成法束。
横截可平行化的叶状流形有一系列良好的性质，其完整群是平凡的，同时存在截面度量，因此可以被赋予Riemann 叶状结构。
假若是紧连通流形上的横截可平行化叶状结构，那么它还是齐性的（homogenous），这里（M，F）是齐性叶状流形，是指保持叶的自同构群Aut（M，F）在M上的作用是可迁的。
由叶的紧致性与完整群的有限性，可以得到叶状流形的几何结构，这一系列结论被称为Reeb稳定性定理。
下面我们简述若干Reeb稳定性定理，其详细证明参见[1]的第二章。
先看局部Reeb稳定性定理：对带有限完整群的紧叶L，存在L在M内的饱和开邻域V与同胚L'×_H T→V，使得叶状结构F限制在V上对应L'×_H T上平坦纤维束的叶状结构。
这里开邻域的饱和的，指它又若干叶的并构成，而L'×_H T=L''×_π（L，x_0）T，其中L''是L的万有复叠且π（L，x_0）通过完整同态π（L，x_0）→H作用在T上。
我们可以L'视为基点x_o到L内点x的完整等价类。
H在L上的作用就是自然右作用：[α][η]=[αη]，其中η是x_0处表示hol（η）∈H的圈。
这个定理就是说，满足相应条件的叶状结构在局部可以表示为平坦纤维束的形式。
事实上，当我们选定好截面T之后，这个局部的纤维束可以由L'×T→M，（[α]，y）→hol（α）（y）自然诱导，最后取V=∪（y∈T）L_y.对于整体稳定性定理，我们这里只讨论余维1的情形：若F是紧连通流形M上的余维1横截可定向叶状结构，并且带有有限基本群的紧叶L_0，则F是由纤维束投影φ：M→S^1的纤维给定的叶状结构。
特别，F的所有叶都是同胚于L_0，因此都是紧的。
在这个定理中，紧叶L_0的基本群有限条件，可以改为其一次de Rham上同调群平凡，这就是整体Reeb-Thurston 稳定性定理。
对于一般叶非紧的叶状结构，其结构是比较复杂的。
最后看两个关于三维流形上关于余维1叶状结构的经典定理，详细证明见[1]的第三章。
Haefliger定理：S^3上没有余维1的解析叶状结构。
Novikov定理：若F是基本群有限的三维紧流形上余维1的横截定向叶状结构，则F有紧叶。
叶状结构的内容相当丰富，还包括其特征类理论的Godbillon-Vey类，上同调理论的Gelfand-Fuks上同调，还可以建立关于叶状结构的指标定理，有兴趣的读者可以参阅文献[2]与[4].扩展阅读：[1]Moerdijk I,Mrcun J.Introduction to foliations and Lie groupoids[M].Cambridge:Cambridge University Press,2003.（关于叶状结构与李群胚理论的简明教材，本文的主要参考书）[2]Candel A,Conlon L.Foliations I and II,Graduate studies in Mathematics60[J].American Math.Society,2003.（详细介绍叶状结构各方面理论的专著，内容相当的丰富）[3]Author unknown，General theory of foliations theory，INDIAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY BOMBAY Department of Mathematics，2008. www.isical.ac.in/~foliation/fol.pdf（关于叶状结构的短篇入门讲义）[4]Piotr M.Hajac（Editor），Lecture notes on noncommutative geometry and quantum groups2008 .pl/~pwit/toknotes/toknotes.pdf（非交换几何套装，其中Part II Foliations,C*-algebras and index theory by Paul F.Baum and Henri Moscovici涉及到叶状结构的指标定理）本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。