2010年上海市黄浦、嘉定区高三下学期高考模拟(数学理含答案)
2010高三数学调研试卷参考答案(1)
嘉定区2009学年度高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题1．i -2；2．1+x （0≥x ）；3．}3,1{<x x ；4．3:1；5．2524-；6．29； 7．21=x ，5log 22=x ；8．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,23；9．2{-<a a 或}2>a ；10．103； 11．10≤k （或11<k ）；12．]2,1[-；13．（理）1；（文）1；14．（理）11；（文）4．二．选择题15．B ； 16．D ； 17．A ； 18．（理）D ；（文）C ．三．解答题19．（理）（1）由题意可得，ati t i bi a 342-+=-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==②43①2t at b ta ，…（3分） 由①得，a t 2=，代入②得a aa b 223-⋅=，所以62=+b a ．…………（6分）（2）由5|2|≤-z 得5|)2(|≤+-bi a ，即5)2(22≤+-b a ，……（8分） 由（1）得a b 26-=，所以25)26()2(22≤-+-a a ， 化简得0152852≤+-a a ，…………（10分） 所以a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,53．…………（12分）19．（文）（1）i t t i t i z z )1()1())(1(21-++=-+=⋅，……（3分） 由已知，21z z ⋅是实数，所以01=-t ，即1=t ．…………（6分）（2）由22||21≤+z z ，得22|2)1(|≤++i t ，即224)1(2≤++t ，……（8分）即84)1(2≤++t ，解得13≤≤-t ．……（11分） 所以t 的取值范围是]1,3[-．…………（12分）20．（1）因为三棱柱的体积33=V ，而3443=⨯=底S ，所以31=A A ……（3分） 所以18323=⨯⨯=侧S ．……（6分） （2）取AC 中点E ，连结DE 、E C 1， 则ED ∥AB ，所以，DE C 1∠（或其补角） 就是异面直线AB 与D C 1所成的角．……（8分） 在△DE C 1中，1011==E C D C ，1=DE ，…………（9分）C 1B 1CBAA 1DE所以20101021cos 1==∠DE C ．…………（12分） 所以，异面直线AB 与D C 1所成角的大小为2010arccos ．…………（14分） （或20390arcsin ，或39arctan ）21．（1）由题意得，S △S ADE 21=△ABC ，即A AC AB A y x sin 41sin 21⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，…（4分）解得x y 3=，……（5分）所以xx f 3)(=，)(x f 的定义域为]2,1[．…………（7分）（2）在△ADE 中，由余弦定理得， A AE AD AE AD DE cos 2222⋅⋅⋅-+=xy y x xy y x DE -+=-+=22022260cos 23922-+=xx ，]2,1[∈x ，…………（10分）令t x =2，则]4,1[∈t ，于是336392=-≥-+=t t DE ，……（12分）当且仅当3=t ，即3=x 时，2DE 取最小值3．……（13分）所以，当D 、E 离点A 的距离均为3m 时（或3==AE AD （m ）时），DE 最短，即所用石料最省．…………（14分）22．（理）（1）当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=--=1,11,11|1|)(22x x x x x x x x x f ，……（1分）所以，当1≥x 时，由x x f =)(得x x x =--12，0122=--x x ，解得21±=x ，因为1≥x ，所以21+=x ．…………（2分）当1<x 时，由x x f =)(得x x x =-+-12，12-=x ，无实数解．……（3分）所以，满足x x f =)(的x 值为21+．…………（4分）（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=ax a ax x ax a ax x x f ,,)(22 ，……（5分）因为0>a ，所以，当a x ≥时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a x x f 42)(22，的单调递增区间是),[+∞a ； 当a x <时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a x x f 42)(22，单调递增区间是]2,(a -∞．…（8分） （注：两个区间写出一个得2分，写出两个得3分，区间不分开闭） 所以，)(x f 的单调递增区间是]2,(a-∞和),[+∞a ．…………（9分）ED CBA（3）由0||<--a a x x ， 当a x ≥时，02<--a ax x ，因为0)(<-=a a f ，所以⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡++∈24,2a a a a x ．……（11分） 当a x <时，02<-+-a ax x ，即04222<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a x ， 当042<-a a ，即40<<a 时，),(a x -∞∈；……（13分） 当042≥-a a ，即4≥a 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-∈a a a a a a a x ,2424,22 ．…（14分） 综上可得，当40<<a 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞-∈24,2a a a x ， 当4≥a 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-∈24,2424,222a a a a a a a a a x ．……（16分）22．（文）（1）⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=--=1,11,11|1|)(22x x x x x x x x x f ，……（1分）所以，当1≥x 时，由x x f =)(得x x x =--12，0122=--x x ，解得21±=x ，因为1≥x ，所以21+=x ．…………（2分）当1<x 时，由x x f =)(得x x x =-+-12，12-=x ，无实数解．……（3分）所以，满足x x f =)(的x 值为21+．…………（4分）（2）由⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=1,11,1)(22x x x x x x x f ， 当1≥x 时，)(x f 的单调递增区间为),1[+∞；……（6分）当1<x 时，)(x f 的单调递增区间为]21,(-∞．……（8分）所以，)(x f 的单调递增区间是]21,(-∞和),1[+∞．…………（9分）（3）当1≥x 时，由012<--x x 得2511+<≤x ，…………（12分）当1<x 时，由012<-+-x x 得012>+-x x ，恒成立．……（15分）所以，不等式0)(<x f 的解集为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-251,．……（16分）23．（理）（1）当121=+x x 时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅-=-+-=+=+2211222211221211212log 12log 12log )()(x x x x x x x x x f x f y y 12log 2log 212212===x x x x ，所以21y y +为定值1．…………（4分）（2）由（1）得，1=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛n k n f n k f （1=k ，2，…，1-n ），……（6分） 所以，⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n f n n f n f n f T n 1221 ，又 ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f n f n n f n n f T n 1221 ，于是1)1(2⨯-=n T n ，所以21-=n T n （*N n ∈，2≥n ）．……（10分）（3）由已知，n a n 2=，*N n ∈．……（11分）由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211111a a …12sin 11+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a n α，得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+21111112a a n …αsin 11<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n a ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=21111112)(a a n n f …⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n a 11，则由题意可得0)(>n f ，于是121132111111121111111132)()1(121121+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++n a n a a a n a a a a n n f n f n n n n1484384)22()12)(32(2212)(32(12221132222<++++=+++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=n n n n n n n n n n n n n ， 所以)()1(n f n f <+，即)(n f 随着n 的增大而减小．…………（15分）所以当*N n ∈时，)(n f 的最大值为23)1(=f ， 若存在角α满足要求，则必须23sin >α．……（16分） 所以角α的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛++322,32ππππk k ，（Z k ∈）…………（18分） （注：说明)(n f 单调性的作差方法如下）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++121132111111)()1(121n a n aa a n f n f n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1222123211111121n n n n aa a n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22)22()12)(32(1211111121n n n n n a a a n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22)22()12)(32(12111111221n n n n n a a a n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22484384121111112221n n n n n n aa a n ， 因为011111121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a a a ，012>+n ，022>+n ， 048438422<++-++n n n n ，所以0)()1(<-+n f n f ，即)()1(n f n f <+．23．（文）（1）由已知，对所有*N n ∈，n n S n -=22，……（1分） 所以当1=n 时，111==S a ，……（2分） 当2≥n 时，341-=-=-n S S a n n n ，……（3分）因为1a 也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为34-=n a n （*N n ∈）．……（4分）（2）由已知pn n n b n +-=22，……（5分）因为{}n b 是等差数列，可设b an b n +=（a 、b 为常数），…（6分） 所以b an pn nn +=+-22，于是bp n b ap an n n +++=-)(222， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012bp b ap a ，……（8分）因为0≠p ，所以0=b ，21-=p ．………（10分） （注：用n n b b -+1为定值也可解，可按学生解答步骤适当给分）（3）⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=14134121)14)(34(2n n n n c n ，……（12分）所以⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=+++=14112114134191515112121n n n c c c T n n……（14分）由20m T n <，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+->141110n m ，因为11411<+-n ，所以10≥m ．……（17分） 所以，所求的最小正整数m 的值为10．……（18分）。
上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)(含答案)word版
2017年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚． 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数12()log (21)f x x =+的定义域为 ．2．若双曲线221xy m -=的一个焦点为F (2,0)，则实数m = ． 3．若2x 3ππ≤≤，则方程2sin 10x +=的解x = ．4．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1(,9)3，则该幂函数的解析式()f x = ．5．一盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至取到正品．已知抽取次数ξ 的概率分布律如下表：．6．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，若在一小时内，甲、乙机床需要维护的概率分别为0.9、0.85，则两台机床都不需要维护的概率为 ．7．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若10110i 0z z z =（i 是虚数单位），则z = ． 8．已知α、0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若5cos()13αβ+=，4sin()5αβ-=-，则cos 2α= ．9．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底 面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面 直线1AC 与BC 所成角的正切值为 ．10．若过圆C ：1,1,x y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（02θ<π≤）上一点(1,0)P -作该圆的切线l ，则切线l 的方程为 ．11．若(12)n x +（*n ∈N ）二项展开式中的各项系数和为n a ，其二项AB1A 1C 1B 第9题式系数和为n b ，则=+-++∞→nn nn n b a a b 11lim．12．设集合{1,}P x =，{1,2,}Q y =，其中,{1,2,3,4,5,6,7,8,9}x y ∈，且P Q ⊆．若将满足上述条件的每一个有序整数对(,)x y 看作一个点，则这样的点的个数为 ． 13．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题：① 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ② 函数()f x 一定存在零点； ③ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；④ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -． 那么所有真命题的序号是 ．14．已知△FAB ，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知空间三条直线a 、b 、m 及平面α，且a 、b ≠⊂α．条件甲：m a ⊥，m b ⊥；条件乙：m α⊥，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的………………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件16．已知a 、0b >，则下列不等式中不一定成立的是……………………………………（ ）A ．2a bb a +≥ B ．11()()4a b a b +⋅+≥C．2ab a b+D．a b ++17．已知△ABC 的三边分别是a b c 、、，且a b c ≤≤（*a b c ∈N 、、），若当b n =（*n ∈N ）时，记满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式…………………（ ） A ．21n a n =- B ．(1)2n n n a +=C ．21n a n =+D ．n a n =18．已知O 、A 、B 、C 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使得1230OA OB OC λλλ++=，则三个角AOB ∠、BOC ∠、COA ∠………………………（ ） A ．都是钝角 B ．至少有两个钝角 C ．恰有两个钝角D ．至多有两个钝角三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥， 4AB AC ==，5AP =．（1）求二面角P BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）． （2）把△PAB （及其内部）绕PA 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积V ．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数22()cos cos sin 1f x x x x x =⋅+--（x ∈R ） （1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）若5[,]123x ππ∈-，求()f x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）．若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用n a （*n ∈N ）表示A 型车床在第n 年创造的价值．（1）求数列{}n a （*n ∈N ）的通项公式n a ； （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，nn S T n=．企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床．试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？（已知：若正数数列{}n b 是单调递减数列，则数列12n b b b n +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是单调递减数列）．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题ABCP满分6分．已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ PF PQ ⊥+（）．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，求证：111||||2AF BF +=； （3）记OA 与OB的夹角为θ（O 为坐标原点，A 、B 为（2）中的两点），求cos θ的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．对*n ∈N ，定义函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤．（1）求证：()n y f x =图像的右端点与1()n y f x +=图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．（2）若直线n y k x =与函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤（2n ≥，*n ∈N ）的图像有且仅有一个公共点，试将n k 表示成n 的函数．（3）对*n ∈N ，2n ≥，在区间[0,]n 上定义函数()y f x =，使得当1m x m -≤≤（*m ∈N ，且1m =，2，…，n ）时，()()m f x f x =．试研究关于x 的方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数（这里的n k 是（2）中的n k ），并证明你的结论．2017学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）参考答案和评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．1(,)2-+∞ 2．3 3．67π 4．12x- 5．118 6．0.015 7．0或i - 8．6365 910．220x y -+= 11．13- 12．1413．①④ 14．(4,6)二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．C 17．B 18．B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．[解]（1）解法一：设BC 的中点D ，联结AD ，PD ，易知在等腰三角形PBC 、ABC 中，PD BC ⊥，AD BC ⊥，故PDA ∠为二面角P BC A --的平面角． （2分）在等腰Rt △ABC 中，由4AB AC ==及AB AC ⊥，得AD = 由PA ⊥平面ABC ，得PA AD ⊥．在Rt △PAD中，tan PA PDA AD ∠== （6分） 故二面角P BC A --的大小为arc （8分）解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,5)P ．于是(4,0,5)PB =- ，(4,4,0)BC =-． （2分）由PA ⊥平面ABC ，得平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =． 设2(,,)n u v w =是平面PBC 的一个法向量．因为2n PB ⊥ ，2n BC ⊥ ，所以20n PB ⋅= ，20n BC ⋅=， 即450u w -=，440u v -+=，解得45w u =，v u =，取5u =，得2(5,5,4)n =-． （4分）设1n 与2n 的夹角为ϕ，则1212cos n n n n ϕ⋅==（6分） 结合图可判别二面角P BC A --是个锐角，它的大小为． （8分） （2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．该圆锥的体积21805433V π=⨯⨯π⨯=． （12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．[解]（1）由题设()2cos212sin(2)16f x x x x π=+-=+-， （2分）由222262k x k ππππ-+π+≤≤，解得36k x k πππ-π+≤≤，故函数()y f x =的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． （6分）（2）由5123x ππ-≤≤，可得22366x ππ5π-+≤≤． （7分）考察函数sin y x =，易知1sin(2)16x π+-≤≤， （10分）于是32sin(2)116x π+--≤≤．故()y f x =的取值范围为[3,1]-． （12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．[解]（1）由题设，知1a ，2a ，…，6a 构成首项1250a =，公差30d =-的等差数列．故28030n a n =-（6n ≤，*n ∈N ）（万元）． （3分）7a ，8a ，…，n a （7n ≥，*n ∈N ）构成首项761502a a ==，公比12q =的等比数列．故71502n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（7n ≥，*n ∈N ）（万元）． （6分）于是，728030,16150,72n n n n a n --⎧⎪=⎨⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩≤≤≥（*n ∈N ）（万元）． （7分） （2）由（1）知，{}n a 是单调递减数列，于是，数列{}n T 也是单调递减数列．当16n ≤≤时，26515nn S T n n==-，{}n T 单调递减，6175100T =>（万元）．所以100n T >（万元）．当7n ≥时，66110010501001115022n n n n S T n n n--⎡⎤⎛⎫+⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===， （9分） 当11n =时，11104T >（万元）；当12n =时，1296T <（万元）． （13分）所以，当12n ≥，*n ∈N 时，恒有96n T <．故该企业需要在第11年年初更换A 型车床． （14分） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．[解]（1）设点P 的坐标为(,)x y ． （1分）由题意，可得(2,)Q y -，(4,)FQ y =- ，(2,)PF x y =-- ，(2,0)PQ x =--．（3分） 由FQ 与PF PQ + 垂直，得()0FQ PF PQ ⋅+=，即28y x =（0x ≥）． （6分） 因此，所求曲线C 的方程为28y x =（0x ≥）．[证明]（2）因为过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以1l 的斜率不为零，故设直线1l 的方程为2x my =+． （7分）于是A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组28,2,y x x my íï=ïìï=+ïî的实数解． 消x 并整理得28160y my --=． （8分）于是12128,16,y y m y y +=⎧⎨=-⎩进一步得2121284,4.x x m x x ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩ （10分）又因为曲线28y x =（0x ≥）的准线为2x =-，所以12121212411111||||222()42x x FA FB x x x x x x +++=+==+++++，得证． （12分） （3）由（2）可知，11(,)OA x y =u u r ，22(,)OB x y =uu u r．于是cos ||||OA OB OA OB q ?===×uu r uu u ruu r uu u r ， （16分）可求得cos q =3,05轹÷ê-÷÷êøë． （18分） 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．[证明]（1）由()n f n n =得()n y f x =图像右端点的坐标为(,)n n ，由1()n f n n +=得1()n y f x +=图像左端点的坐标为(,)n n ，故两端点重合． （2分） 并且对*n ∈N ，这些点在直线y x =上． （4分） [解]（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程2()n x n n k x --+=在1n x n -≤≤上有两个相等的实数根．整理方程得22(2)0n x k n x n n +-+-=，由22(2)4()0n k n n n ∆=---=，解得2n k n =± （8分） 此时方程的两个实数根1x ，2x 相等，由122n x x n k +=-，得122[2(22nn k x x n n -===-±= 因为121n x x n -=≤≤，所以只能2n k n =-2n ≥，*n ∈N ）．（10分）（3）当2n ≥时，2n k n =-=，可得12n k <<， 且n k 单调递减． （14分）① 当3n ≥时，对于21i n -≤≤，总有1n i k k <<，亦即直线n y k x =与函数()i f x 的图像总有两个不同的公共点（直线n y k x =在直线y x =与直线i y k x =之间）．对于函数1()f x 来说，因为12n k <<，所以方程1()n k x f x =有两个解：10x =，22n x k =-(0,1)∈．此时方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为2(1)121n n -+=-．（16分）② 当2n =时，因为212k <<，所以方程21()k x f x =有两个解．此时方程2()f x k x =（02x ≤≤）的实数解的个数为3． （17分）综上，当2n ≥，*n ∈N 时，方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为21n -． （18分）。
2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编：统计新人教版
2010年上海市各区高三二模数学试题分类汇编
第12部分:统计
一、选择题：
17．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文理科）某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。
现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k 80050
=16，即每16人抽取一个人。
在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33 ~ 48这16个数中应取的数是（B ）
A ． 40．
B ．39．
C ．38．
D ．37．
二、填空题：
11．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）某公司为改善职工的
出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d (单位:
千米)．若样本数据分组为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]， (8,10]， (10,12]，
由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距
离不超过4千米的人数为 24 人．
11、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研文科）已知某企业职工年收
入的频率分布如表所示
试估计该企业职工的平均年收入为__ ____（万元）。
5.1
10．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）有5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124， 则该样本的标
第11题
准差s=_____________.（克）
6．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是 8 .。
上海市十校2010届高三下学期联考(数学理)
上海市十校2010届高三下学期联考数学测试（理科）一、填空题（本大题满分为56分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.已知椭圆方程为22321x y +=，则该椭圆的长轴长为___________. 2.已知)1,(),1,2(λ=--=a，若a与b夹角为钝角，则实数λ取值范围是__________________. 3.设{}{}1),(,0)(),(===-=y y x B x y x y x A ，则B A 用列举法可表示为_________________.4.复数z满足3z +=n z m z ==min max ，，则m n ⋅=__________.5.在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且72=+B A ,则展开式中常数项的值为__________.6.已知函数)0,0(1)(cos )(2>>++=ωϕωA x A x f 的最大值为3,)(x f 的图像与y 轴的交点坐标为)2,0(,其相邻两条对称轴间的距离为2,则++)2()1(f f (2010)f +=____________.７．已知a b ≠，a b c ≠+，则关于x 的方程0xb c a b c xaa b c a b a ca b++-+-=---的解集为________. 8. 函数253x y x -=-（x ∈Ａ）的值域是(][),04,-∞+∞，则集合Ａ＝___________.9.在ABC ∆中，已知2,22==a b ，如果三角形有解，则A ∠的取值范围是___________________.10.甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率为21，乙胜的概率也是21，则在一次五局三胜制的比 赛中，甲队以3:1获胜的概率是_______. 11.设函数1()2f x x =+，点A 表示原点，点(,())n A n f n （n N *∈），n θ是向量a 与向量(1,0)i =的夹角，0112231n n n a A A A A A A A A -=++++，设123tan tan tan n S θθθ=++tan n θ++，则lim _________n n S →∞=.12.已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数，x x ba x g 22)(++=为奇函数，其中b a ,为复数，则20101()kk k ab =+∑的值是_________.13.已知实数x 、y 满足方程()()22111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为__________________. 14.有下列四个命题：（1）一定存在直线l ，使函数1()lg lg2f x x =+的图像与函数2)lg()(+-=x xg 的图像关于直线l 对称；（2）不等式：arcsin arccos x x ≤的解集为2⎤⎥⎣⎦； （3）已知数列{}n a 的前n 项和为1(1)n n S =--，n N *∈，则数列{}n a 一定是等比数列；（4）过抛物线22(0)y px p =>上的任意一点(,)M x y 的切线方程一定可以表示为00()y y p x x =+．则正确命题的序号为_________________．二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.方程22201020101sin(19)cos(19)x y +=所表示的曲线是（ ）. (A ) 双曲线 (B ) 焦点在x 轴上的椭圆 (C ) 焦点在y 轴上的椭圆 (D ) 以上答案都不正确16.长度分别为2x x x x x 、、、、、的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ）.(A) x >B2x << (Cx << (D ) 1>x 17.给定正数,,,,a b c p q ，其中p q ≠，若,,p a q 成等比数列，,,,p b c q 成等差数列，则关于x 的一元二次方程220bx ax c -+=（ ）.(A ) 有两个相等实根 (B ) 有两个相异实根 (C ) 有一个实根和一个虚根 (D ) 有两个共轭虚根18.有n 个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（ ）. (A ) !n (B )()12n n - (C ) ()12n n + (D ) nn 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解题时要写出必要的解题过程.19.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，AB 是圆柱体OO '的一条母线，BC 过底面圆的圆心O ，D 是圆O 上不与点B 、C 重合的任意一点，已知棱5AB =，5BC =，3CD =．（1）求直线AC 与平面ABD 所成的角的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 转动一周，求ACD ∆的三边在旋 转过程中所围成的几何体的体积．20.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设全集U R =，关于x 的不等式220x a ++->（a R ∈）的解集为A ． （1）分别求出当1a =和3a =时的集合A ； （2）设集合)cos()066B x x ππππ⎧⎫=-+-=⎨⎬⎩⎭，若()U C A B 中有且只有三个元素，求实数a 的取值范围．a21.（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转动，分别交边AB 、AC 于点D 、E ；设AD mA B =，AE nAC =，其中01m <≤，01n <≤．（1）求表达式nm 11+的值，并说明理由；（2）求ADE ∆面积的最大和最小值，并指出相应的m 、n的值．22.（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）己知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0），点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m ，0）到直线AP 的距离为1．（1）若直线AP 的斜率为k 且有k ∈⎣,求实数m 的取值范围；（2）当12+=m 时，∆APQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程．23.（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）若数列{}n a 满足：112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数），则称数列{}n a 为二阶线性递推数列，且定义方程2x px q =+为数列{}n a 的特征方程，方程的根称为特征根；数列{}n a 的通项公式n a 均可用特征根求得：①若方程2x px q =+有两相异实根,αβ，则数列通项可以写成12n n n a c c αβ=+，（其中12,c c 是待定常数）；②若方程2x px q =+有两相同实根α，则数列通项可以写成12()n n a c nc α=+，（其中12,c c 是待定常数）；再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ． 根据上述结论求下列问题：（1）当125,13a a ==，2156n n n a a a ++=-（n N *∈）时，求数列{}n a 的通项公式； （2）当121,11a a ==，21234n n n a a a ++=++（n N *∈）时，求数列{}n a 的通项公式； （3）当121,1a a ==，21n n n a a a ++=+（n N *∈）时，记1212nn n n n n S a C a C a C =+++，若n S 能被数8整除，求所有满足条件的正整数n 的取值集合．2010年高三数学十校联考参考答案（理科）一、填空题：（14×4=56分）1；2、()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；3、()()(){}1,1,0,1,0,1-；4、9；5、9；6、40197、{}a b c +-；8、57,33,22⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦；9、⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π；10、316；11、3412、0；13；14、（3）（4） 二、选择题：（4×5=20分） 15—18：B D A C 三、解答题：（满分74分）19、解：因为点D 在以BC 为直径的圆上，所以BD DC ⊥，……………2分 因为AB BDC ⊥平面，DC BDC ⊂平面，所以AB DC ⊥， 从而有CD ABD ⊥平面………………………………4分所以CAD ∠为直线AC 与平面ABD 所成的角，在Rt ADC ∆中，sin CDCAD AC∠=10==，所以CAD ∠=，即直线AC 与平面ABD 所成的角为arcsin10。
最新高三数学题库 2010学高三年级第一次练习数学试卷理参考答案
嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．答案：1．因i a a ai i )1(1)1)(1(-++=-+是实数，所以=a 1． 2．答案：]2,0[．由022≥-x x ，得022≤-x x ，所以]2,0[∈x ． 3．答案：1．112+=a a ，314+=a a ，由已知得4122a a a =，即)3()1(1121+=+a a a ，解得11=a ． 4．答案：257-．由532sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ，得53cos =θ，所以2571cos 22cos 2-=-=θθ．5．答案：2-．解法一：函数x x f -=)(的反函数为21)(x x f =-（0≤x ），由4)(1=-x f 得42=x ，因为0<x ，故2-=x ．解法二：由4)(1=-x f ，得2)4(-==f x ．6．答案：105arccos． 因为AB ∥11B A ，故1BAC ∠就是异面直线1AC 与11B A 所成的角，连结1BC ，在1ABC 中，1=AB ，511==BC AC ，所以10552121cos 11===∠AC ABBAC ．7．答案：0．因)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以0)0(=f ，在等式)()2(x f x f -=+中令2-=x ，得0)2(=-f ． 8．答案：2．9)21(x -展开式的第3项为288)2(2293=-=x C T ，解得23=x ，所以232132132lim 323232lim 111lim 22=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→nn nn n n x x x ．9．答案：1．三阶行列式xa x 1214532+中元素3的余子式为xa x x f 21)(+=，由0)(<x f 得022<-+ax x ，由题意得a b -=+-1，所以1=+b a ．10．答案：16．1=a ，满足3≤a ，于是4211==+b ；2=a ，满足3≤a ，8212==+b ；3=a ，满足3≤a ，则16213==+b ；4=a ，不满足3≤a ，则输出b ，16=b ．11．答案：21．满足条件的选法可分为三类：A 组2人，B 、C 组各1人，有121325C C C 种选法；B 组2人，A 、C 组各1人，有122315C C C 种选法；C 组2人，A 、B 组各1人，有221315C C C 种选法．所以A 、B 、C 三组的学生都有的概率21210105410221315122315121325==++=C C C C C C C C C C P ． 12．答案：65π．由题意，612cos 2>θ且212sin 2>θ，⎩⎨⎧==+22cos 34ab b a θ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+21112sin 211a b a b θ，所以θθ2sin 22cos 32-=，32tan -=θ，因)2,(2ππθ∈，故352πθ=，65πθ=．13．答案：①③④．由y x y f x f ⋅=⋅)()(，得y x a y a y a x a x⋅=⋅⋅-⋅⋅⋅-])(2[])(2[，化简得)()()()(2y a x a a y a x a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，当0 =a 时，等式成立；当0 ≠a 时，有12=a ，即1||=a，所以①、③、④都能使等式成立． 14．答案：4．11+<<t a t ，则t t a a <<-=112，t t a t a t a >+>-+=-+=1222123，t a t t a a <-+=-=1342，1452a a t a =-+=．所以}{n a 是以4为周期的周期数列．（第14题也可取满足条件的t 和1a 的特殊值求解）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．C ．16．A ．17．D ．16．B ．15．由5:4:3::=c b a 可得a ，b ，c 成等差数列；若a ，b ，c 成等差数列，则c a b +=2，由勾股定理，222c b a =+，得2222c c a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++，032522=-+c ac a ，解得53=c a ，令k a 3=（0>k ），则k c 5=，得k b 4=．所以5:4:3::=c b a ．16．①错．不在同一直线上的三点才能确定一个平面；②错．若圆锥的侧面展开图是一个圆面，则可得圆锥底面半径的长等于圆锥母线的长；③错．如果三棱锥的底面是等边三角形，一条侧棱垂直于底面且长度等于底面边长，则三个侧面都是等腰三角形；④错．若这两点是球的直径的两个端点，过这两点可作无数个大圆．17．作出函数xy 2=与2x y =，可发现两函数图像在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点（第一象限的两个交点是)4,2(和)16,4(）．18．若取1x 、2x 为区间]4,2[的两个`端点，则8)()(21=x f x f ．若8>C ，取21=x ，4)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，16)(2≤x f ，于是8)(4)()(221≤=x f x f x f ；若8<C ，取41=x ，16)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，4)(2≥x f ，于是8)(16)()(221≥=x f x f x f ．所以8=C ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分） 解：设半圆的半径为r ，在△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ， 连结OM ，则AB OM ⊥，……（2分） 设r OM =，则r OB 2=，…………（4分） 因为OB OC BC +=，所以r BC 3=，即33=r ．………………（6分）130tan 0=⋅=BC AC ．阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为底面半径1=AC ，高3=BC 的圆锥中间挖掉一个半径33=r 的球．………………（8分） 所以，圆锥V V =球V -πππ27353334313132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅=．…………（12分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）若1=ω，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos ,1πx a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2,2πx b ，由a ∥b 的充要条件知，存在非零实数λ，使得a b ⋅=λ，即⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos 6sin 22πλπλx x ， 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos 6sin ππx x ，16tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，…………（3分）（以下有两种解法：）解法一：46πππ+=-k x ，Z k ∈，125ππ+=k x ，Z k ∈，32333333133164tan 125tan 125tan tan +=-+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππk x ．…（6分） 解法二：323313316tan 6tan 16tan 6tan 66tan tan +=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x ． 所以321313tan +=-+=x ．…………（6分）（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=6cos 6sin 226cos 6sin 22)(πωπωπωπωx x x x x f⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin πωx ，…………（8分） 因为)(x f 的最小正周期为π，所以πωπ=22，1=ω，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin )(πx x f ，…………（10分）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,332πππx ，…………（12分） 所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23．…………（14分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）由已知，当0=x 时，8)(=x C ，即85=k，所以40=k ，……（1分） 所以5340)(+=x x C ，…………（2分）又加装隔热层的费用为x x C 6)(1=．所以5380066534020)()(20)(1++=++⨯=+⋅=x x x x x C x C x f ，…………（5分） )(x f 定义域为]10,0[．…………（6分）（2）10380062103538003563538006538006)(-⨯≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=x x x x x x x f70=，…………（10分）当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+353800356x x ，18800352=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，32035=+x ，即5=x 时取等号．…………（13分） 所以当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用)(x f 最小．最小总费用为70万元．…（14分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．解：（1）1=m 时，1)(2+=x x f ，因为01=a ，所以1)0()(12===f a f a ，2)(23==a f a ，5)(34==a f a ．…………（3分，每求对一项得1分）（2）m x x f +=2)(，则m a =2，m m a +=23，m m m m m m m a +++=++=2342242)(，…………（5分） 如果2a ，3a ，4a 成等比数列，则)2()(23422m m m m m m m +++=+，234523422m m m m m m m +++=++，0345=-+m m m ，…………（6分）因为02≠=m a ，所以012=-+m m ，251+-=m 或251--=m ．……（8分）当251+-=m 时，数列的公比2511223+=+=+==m m m m a a q ．……（9分） 当251--=m ，251-=q ．…………（10分） （3）1)(2-=x x f ，),0[+∞∈x ，所以1)(1+=-x x f （1-≥x ），……（11分）11=b ，121+=+n n b b ，所以1221+=+n n b b ，而121=b ，所以{}2n b 是以1为首项，1为公比的等比数列，n b n =2，…………（13分）所以2)1(21+=+++=n n n S n ，…………（14分） 由2010>n S ，即20102)1(>+n n ，解得63≥n ，所以所求的最小正整数n 的值是63．…………（16分） 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分． 23．解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，…………（2分） 因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a ay ，……（3分） 即x x a a y --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以x x a a x f -⋅+=2)(||（或xx a a x f 2)(||+=）．………………（5分）（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2， 即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．…………（8分）作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，…………（11分）解得322<<m ．所以m 的取值范围是)3,22(．…………（12分） （3）x x a ax g 2)(||+=，),2[∞+-∈x ．当0≥x 时，因为1>a ，所以1≥xa ，),3[3)(∞+∈=xa x g ，所以函数)(x g 不存在最大值．…………（13分）当02<≤-x 时，x xa a x g 12)(+=，令xt 2=，则t t t h x g 12)()(+==，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,12a t ， 当2212>a ，即421<<a 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,12a 上是增函数，存在最小值222a a +，与a 有关，不符合题意．…………（15分）当22102≤<a ，即42≥a 时，)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,12a 上是减函数，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22上是增函数，当22=t 即2log 21a x -=时，)(t h 取最小值22，与a 无关．…………（17分）综上所述，a 的取值范围是),2[4∞+．…………（18分）。
上海市嘉定区高考模拟考数学试卷理科
上海市嘉定区2010年高考模拟考数学试卷(理科)(2010年4月22日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知直线1l ：023=+-y x ，2l ：0533=-+y x ，则直线1l 与2l 的夹角是 ． 2．已知全集R U =，若集合{}R x x x x A ∈>--=,022，{}R x x x B ∈≤+=,2|1|，则=B A C U )( ．3．已知随机事件A 、B 是互斥事件，若()0.25()0.78P A P A B =⋃=，，则()P B = ． 4．幂函数()y f x =的图像过点(42)A ，，则函数()y f x =的反函数1()f x -= （要求写明定义域）． 5．已知i z -=1（i 是虚数单位），计算=++i z zi||231_____（其中z 是z 的共轭复数）． 6．函数222cos y x x =+的最小正周期=T ．7．161()2x x-的二项展开式中第4项是 ． 8．若1250120131x x=，则实数x = ．9．如右图所示，角α的终边与单位圆（圆心在原点， 半径为1的圆）交于第二象限的点)53,(cos αA ， 则=-ααsin cos ．10．已知123(1,3),(1,1),()e e e x ===，-1，且3122()e e e R =+λλ∈，则实数x 的值是 ．11．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ． 12．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和*1()3n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和等于 (用数值作答)．13．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x 的数学期望=Ex ．14．已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），第9题图函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个 实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．已知a b c 、、是直线，α是平面，b 、c ≠⊂α，则“⊥a 平面α”是“b a ⊥且c a ⊥” 的………………………………………………………………………………………………（ ）A ．充要条件．B ．充分非必要条件．C ．必要非充分条件．D ．非充分非必要条件． 16．在极坐标系中，圆心坐标是),(πa （0>a ），半径为a 的圆的极坐标方程是…（ ）A ．θρcos 2a -=（232πθπ<≤）． B ．θρcos a =（πθ<≤0）．C ．θρsin 2a -=（232πθπ<≤）． D ．θρsin a =（πθ<≤0）．17．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。
上海市黄浦、嘉定区2010年高三下学期高考模拟(数学理)
上海市嘉定区2010年高考模拟考数学试卷(理科) (2010年4月22日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知直线1l ：023=+-y x ，2l ：0533=-+y x ，则直线1l 与2l 的夹角是 ． 2．已知全集R U =，若集合{}R x x x x A ∈>--=,022，{}R x x x B ∈≤+=,2|1|，则=B A C U )( ．3．已知随机事件A 、B 是互斥事件，若()0.25()0.78P A P A B =⋃=，，则()P B = ． 4．幂函数()y f x =的图像过点(42)A ，，则函数()y f x =的反函数1()f x -= （要求写明定义域）．5．已知i z -=1（i 是虚数单位），计算=++i z zi||231_____（其中z 是z 的共轭复数）． 6．函数222cos y x x =+的最小正周期=T ．7．161()2x x-的二项展开式中第4项是 ． 8．若1250120131xx =，则实数x = ． 9．如右图所示，角α的终边与单位圆（圆心在原点， 半径为1的圆）交于第二象限的点)53,(cos αA ，则=-ααsin cos ．第9题图10．已知123(1,3),(1,1),()e e e x ===，-1，且3122()e e e R =+λλ∈，则实数x 的值是 ．11．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ． 12．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和*1()3n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和等于 (用数值作答)．13．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x 的数学期望=Ex ．14．已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知a b c 、、是直线，α是平面，b 、c ≠⊂α，则“⊥a 平面α”是“b a ⊥且c a ⊥” 的………………………………………………………………………………………………（ ）A ．充要条件．B ．充分非必要条件．C ．必要非充分条件．D ．非充分非必要条件． 16．在极坐标系中，圆心坐标是),(πa （0>a ），半径为a 的圆的极坐标方程是…（ ）A ．θρcos 2a -=（232πθπ<≤）． B ．θρcos a =（πθ<≤0）．C ．θρsin 2a -=（232πθπ<≤）． D ．θρsin a =（πθ<≤0）．17．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。
2010年上海各区高三二模数学试题分类汇编第4部分三角函数
2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第4部分:三角函数一、选择题：16．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)将函数1002cos 11sin 3)(x x x f -=的图像向右平移)0(>a a 个单位，所得图像的函数为偶函数，则a 的最小值为 ( D )A ．65πB ．32πC ．3πD ． 6π13．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）已知mx =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x【 C 】 A ．m2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±二、填空题：2．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）函数arcsin y x =（01x ≤≤）的值域为 ．[0,]2π 3．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文理科）若tan 34απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 ．12 5．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文理科）函数sin cos 3y x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期T = ．π 5．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文科）函数2sin cos 3cos2y x x x =-的最小正周期T = ．π2、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）函数x x y cos sin =的最小正周期是_________。
π6．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）函数222cos y x x =+的最小正周期=T ．p9．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）如右图所示，角α的 终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的第9题图点)53,(cos αA ，则=-ααsin cos ．75-7．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科）函数sin(2)cos(2)36y x x ππ=+++的最小正周期T= ．p7、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）函数3cos 6sin 2)(2++=x x x f 的最大值为_______98、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）在ABC ∆中，060=∠A ，,5=AB 且35=∆S ，则BC的长为._______214. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)已知3c o s 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则t a n 2x = . 24713. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)如图，在ABC △中，2AB =，BC =，34ABC π∠=. 以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的半圆分别交AB 所在直线于点E 、F ，交线段AC 于点D ，则弧CD 的长约为 .（精确到0.01）3.138. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试文科)敲击一次音叉A 所发出的声波可用函数()11sin 4001000y t π=⋅描述，敲击一次音叉B 所发出的声波可用函数()23sin 3601250y t π=⋅描述，则两个音叉所发出的音量较大的是 .(填入A 或B) B2．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）已知△ABC 中，3c o t 4A =-，则第13题图FAEBcos A =_______________.35-9．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）ABC ∆中，已知2AB =，AC =ACB∠的最大值为_______________.4π4. （上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）函数])2,0[(2cos 2sin π∈+=x x x y 的值域为 . ]2,1[-1. （上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）若33cos =α，则=α2cos 31-.2．（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）函数sin cos y x x =+的最小正周期为 . π=T4．（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .43πα=8．（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）[理科]在ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径长为 . 1515814．（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）[文科] 已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=⋅+⋅+⋅，则ABCS ∆=. 65（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）[理科]已知O 是∆ABC 的外心，2=AB ，3=AC ，21+=x y ，若=⋅+⋅AO x AB y AC ，(0)xy ≠，则cos ∠=BAC . 34三、解答题20．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=．（1）求边长a 的值； （2）若3sin ABC S A ∆=，求角A 的大小（结果用反三角函数值表示）．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解 (1)根据正弦定理，sin sin B C +=可化为b c +=． ………3分联立方程组1)a b c b c ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，解得4a =． …………………6分所以，边长4a =． …………………………7分 (2)3sin ABC S A∆=，∴1sin 3sin 62bc A A bc ==，． ………………………………10分又由(1)可知，b c +=∴22222()21cos 223b c a b c bc a A bc bc +-+--===． ……………………13分 因此，所求角A 的大小是1arccos3． ………………………14分21、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）（1）已知)2,0(,πβα∈，且1tan tan <⋅βα，比较βα+与2π的大小；（2）试确定一个区间D ，)2,2(ππ-⊆D ，对任意的α、D ∈β，当2πβα<+时，恒有βαcos sin <；并说明理由。
上海黄浦嘉定区2010年高考模拟考试
上海市黄浦、嘉定区2010年高考模拟考试物理试卷2010年4月21日考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等填写清楚。
2．本试卷共9页，满分150分。
考试时间120分钟。
考生应用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上。
3．第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案，而未写出主要演算过程的不能得分。
有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。
第I卷（共56分）一、单项选择题（40分）Ⅰ单项选择题。
（16分。
本题共8小题，每小题2分，每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的。
把正确答案选出来，并将正确答案前面的字母填涂在答题卷相应的位置上。
）1．用某单色光照射金属表面，金属表面有光电子飞出。
如果照射光的频率增大，强度减弱。
则光子的能量和单位时间内飞出金属表面的光电子数的变化是（）。
A．光子的能量增大，光电子数减小B．光子的能量增大，光电子数增多C．光子的能量减小，光电子数减少D．光子的能量减小，光电子数增多2．在α粒子散射实验中，不考虑电子和α粒子的碰撞影响，这是因为（）。
A．α粒子和电子根本无相互作用B．α粒子碰撞不到电子,是因为电子体积极小C．α粒子和电子碰撞损失能量极少，可忽略不计D．α粒子受电子作用的合力为零，是因为电子是均匀分布的3．用比值法定义物理量是物理学中一种常用的方法，下面四个物理量都是用比值法定义的，其中是用定义式表示的是（）。
A．电流强度I=U/R B．电势U=ε/qC．电场强度E=kQ/r2D．磁感应强度B=Φ/S4．如图所示为一质点运动的位移时间图像，曲线为一段圆弧，则下列说法中正确的是（）。
A．质点不一定做直线运动B．质点可能做匀速圆周运动t时刻离开出发点最远C．质点运动的速率先减小后增大D．质点在15．关于气体与内能，下列说法正确的是（）。
A．气体的体积是所有气体分子的体积之和B．热量能够自发地在高温物体和低温物体之间相互传递C．气体的内能是分子热运动的动能和分子间的势能之和D．气体的温度变化时，其分子平均动能和分子间势能也随之改变6．关于电磁波和机械波，下列说法正确的是（）。
数学_2010年上海市某校高考数学模拟试卷_(含答案)
2010年上海市某校高考数学模拟试卷一、填空题（每小题4分，满分48分）1. 若sin(π+α)=−35，α∈(π2，π)，则tan α2的值是________． 2. 函数y =2cos 2(x +π3)−1的最小正周期是________．3. 已知数列{a n }，a n ={1n，1≤n ≤100n+12n−3，n >101，limn →∞a n=________． 4. 如果复数2−bi 3+i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b ＝________．5. 函数f(x)=21x的值域为________．6. 函数y =lg(x 2−2x)的单调递增区间是________．7. 把函数y =sin2x 的图象向左、向上分别分别平移1个单位后，得到函数f(x)的图象，则f(x)=________．8. 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人．为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为________．9. 在△ABC 中，已知sinAsinBcosC =sinAsinCcosB +sinBsinCcosA ，若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，则abc 2的最大值为________．10. 已知数列{a n }，a n+1=2a n +1，且a 1=1，则a 5=________． 11. 已知a →=(4,−3)，|b →|=5，且a →⋅b →=0，则向量b →=________．12. 对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23{35，33{7911，43{13151719…．仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．二、选择题（每小题4分，共16分）13. 在下列函数中，既是(0,π2)上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是（ ）A y =sin2xB y =cos2xC y =|sinx|D y =|sin2x| 14. 下列不等式中，解集为实数集R 的是（ ）A x 2+4x +4>0B √x 2>0C 1x −1<1x D cos(sinx)>0 15. 函数y =sin(x +π3)的图象（ ）A 关于原点对称B 关于直线x =π6对称C 关于y 轴对称D 关于直线x =−π3对称 16. 下列命题中，真命题是（ ）A 若a →与b →互为反向量，则a → // b ¯B 若k 为实数，且ka →=0→，则k =0，或a →=0 C 若a →⋅b →=0，则a →=0或b →=0 D 若a →与b →为互相垂直的向量，则|a →||b →|=0三、解答题（本大题共有5题，满分68分）17. 设集合A 为函数y =ln(−x 2−2x +8)的定义域，集合B 为函数y =x +1x+1的值域，集合C 为不等式(ax −1a )(x +4)≤0的解集．（1）求A ∩B ；（2）若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=2sin(x +π6)−2cosx ，x ∈[π2,π]，求：（1）若sinx =35，求f(x)的值；（2）函数f(x)的值域．19.如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=√2，AB =1，E 是DD 1的中点．（1）求直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成角的大小； （2）求证：B 1D ⊥AE ；（3）求二面角C −AE −D 的大小．20. 数列a n 中，a 1=−3，a n =2a n−1+2n +3(n ≥2且n ∈N ∗)． （1）求a 2，a 3的值； （2）设b n =a n +32，证明{b n }是等差数列；（3）求数列{a n }的前n 项和S n ．21. 已知抛物线y 2=4x ，椭圆经过点M(0,√3)，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴．（1）求椭圆的方程；（2）若P 是椭圆上的点，设T 的坐标为(t, 0)（t 是已知正实数），求P 与T 之间的最短距离．2010年上海市某校高考数学模拟试卷答案1. 32. π3. 124. −45. (0, 1)∪(1, +∞)6. (2, +∞)7. sin(2x+2)+18. 509. 3210. 3111. {3, 4}或{−3, −4}12. 813. C14. D15. B16. A17. 解：（1）∵ −x2−2x+8>0，∴ 解得A=(−4, 2)．∵ y=x+1x+1，∴ B=(−∞, −3]∪[1, +∞)；所以A∩B=(−4, −3]∪[1, 2)；（2）∵ C R A=(−∞, −4]∪[2, +∞)，C⊆C R A，若a<0，则不等式(ax−1a )(x+4)≤0的解集只能是(−∞, −4]∪[1a, +∞)，故定有1a≥2得a2≤12解得−√22≤a<0若a>0，则不等式(ax−1a )(x+4)≤0的解集[−4, 1a2]，但C⊆C R A，故a∈⌀．∴ a的范围为−√22≤a<0．18. 解：(1)sinx=35，x∈[π2,π]，cosx=−45，f(x)=√3sinx−cosx=3√3+45．…（2）因为f(x)=√3sinx−cosx，所以f(x)=2sin(x−π6)，x−π6∈[π3,5π6]，f(x)∈[1, 2]…19. 解：（1）连接A1D．∵ ABCD−A1B1C1D1是正四棱柱，∴ A1B1⊥平面A1ADD1，∴ A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，∴ ∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角在Rt△B1A1D中，tanA1DB1=A1B1A1D =√33，∴ ∠A1DB1=30∘，即直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30∘（2）证明：在Rt△A1AD和Rt△ADE中，∵ A1AAD =ADDE=√2，∴ △A1AD∼△ADE，∴ ∠A1DA=∠AED．∴ ∠A1DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90∘，∴ A1D⊥AE由（1）知，A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，根据三垂线定理得，B1D⊥AE（3）设A1D∩AE=F，连接CF．∵ CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF，根据三垂线定理得，AE⊥CF，∴ ∠DFC是二面角C−AE−D的平面角在Rt△ADE中，由AD⋅DE=AE⋅DF⇒DF=AD⋅DEAE =√33．在Rt△FDC中，tanDFC=CDDF=√3，∴ ∠DFC=60∘，即二面角C−AE−D的大小是60∘20. 解：（1）a2=2a1+2+3=1，a3=2a22+23+3=13（2）b n+1−b n=a n+1+32n+1−a n+32n=12n+1(a n+1−2a n−3)=2n+12n+1=1．∴ 数列{b n}是公差为1的等差数列．（3）由（2）得b n=a n+32n=n−1，∴ a n=(n−1)⋅2n−3(n∈N∗)∴ s n=0×21+1×22+...+(n−1)2n−3n令T n=0×21+1×22+...+(n−1)2n则2T n=0×22+1×23+...+(n−2)2n+(n−1)2n+1两式相减得：−T n=22+23+...+2n−(n−1)⋅2n+1=4(1−2n−1)1−2−(n−1)2n+1=(2−n)⋅2n+1−4∴ T n =(n −2)⋅2n+1+4∴ s n =(n −2)2n+1−3n +4． 21. 解：（1）抛物线的焦点为(1, 0)… 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则a 2−b 2=1，b =√3…∴ a 2=4，b 2=3 ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1…（2）设P(x, y)，则|PT|=√(x −t)2+y 2=√(x −t)2+3(1−x 24)=√(x−4t)2+12−12t 24(−2≤x ≤2)…①当0<t ≤12时，x =4t ，即P(4t,±√3−3t 2)时，|PT|min =√3−3t 2； ②当t >12时，x =2，即P(2, 0)9时，|PT|min =|t −2|10；综上，|PT|min={√3−3t 2，0<t ≤12|t −2|,t >12… （注：也可设P(2cosθ,√3sinθ)(0<θ≤2π)解答，参照以上解答相应评分）。
2010年上海市普陀区高三下学期模拟考试(数学理含答案)
上海市普陀区高三质量调研数学试卷 （理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 已知2110100x x C C +-=，则x = .2. 设函数()f x 的图像关于原点对称，且存在反函数1()fx -. 若已知(4)2f =，则1(2)f --= .3. 函数y =的定义域是 .4. 已知3cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 2x = . 5. 已知椭圆的参数方程为4cos ,5sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（R θ∈），则该椭圆的焦距为 .6. 设2111()1111f x xx =-()x R ∈，则方程()0f x =的解集为 . 7. 不等式0)1)(2|(|≥--x x 的解集为 .8. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .9. 在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足3z i z i +=--，则直线l 的倾斜角为 .（结果反三角函数值表示）10. 将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_________. 11. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点. 若2AB =， 1AD =，且60BAD ∠=︒，则A P C P ⋅= .12. 平面直角坐标系中，已知点()01,0P ，()12,1P ，且1112n n n n P P P P +-=-（*N n ∈）.当n →+∞时，点n P 无限趋近于点M ，则点M 的坐标为 .13.如图，在ABC △中，2AB=，BC =34ABC π∠=. 以点B 为第11题图第13题图圆心，线段BC 的长为半径的半圆分别交AB 所在直线于点E 、F ，交线段AC 于点D ，则弧CD 的长约为 .（精确到0.01）14. 在9(1)x +的二项展开式中任取2项，i p 表示取出的2项中有i 项系数为奇数的概率. 若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15. 已知条件:1p x >，条件1:1q x<，则p 是q 成立的 （ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.16. 已知抛物线20x my +=上的点到定点(0,4)和到定直线4y =-的距离相等， 则m = （ ） A.116 ； B. 116- ； C. 16 ； D. 16-. 17. 四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是 （ ）18. 若函数3()f x x ax =-（0a >）的零点都在区间[-10,10]上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值个数为 （ ） A. 1; B. 2; C. 3； D. 4.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.AB CDC.AB CDA.AB CDB.ABDD.第17题图A19. （本题满分14分）已知a R ∈，命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数； 命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=.试判断：命题p 和命题q 之间是否存在推出关系？请说明你的理由.20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足13n n a S +=，*N n ∈．数列{}n b 满足4log n n b a =.（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 当*N n ∈时，试比较12n b b b +++与()2112n -的大小，并说明理由.21. （本题满分14分，其中第1小题8分，第2小题6分）一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S （件）与电视广告每天的播放量n （次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.（1）试写出该产品每天的销售量S （件）关于电视广告每天的播放量n （次）的函数关系式；（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？22.（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公第21题图式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标； （2）当3arctan4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.23. （本题满分18分，其中第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(),a b ，点B 的坐标为()cos ,sinx x ωω，其中220a b +≠且0ω>.设()f x OA OB =⋅.（1）若a =1b =，2ω=，求方程()1f x =在区间[]0,2π内的解集；（2）若点A 是过点()1,1-且法向量为()1,1n =-的直线l 上的动点.当x R ∈时，设函数()f x 的值域为集合M ，不等式20x mx +<的解集为集合P . 若P M ⊆恒成立，求实数m 的最大值；（3）根据本题条件我们可以知道，函数()f x 的性质取决于变量a 、b 和ω的值. 当x R ∈时，试写出一个条件，使得函数()f x 满足“图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在6x π=处()f x 取得最小值”.【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准(PT04)一、填空题（每小题4分，满分56分）： 1. 1或3； 2. -4； 3. 理：2,13⎛⎤⎥⎝⎦；文：2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 4. 247；5. 理：6；文：1；6. {1,1}-；7. ),2[]1,2[+∞- ；8.B ；9. 3arctan2π-； 10. 60°； 11. 2516-； 12. 52,33⎛⎫ ⎪⎝⎭； 13. 理：3.13；文：10； 14. 理：45；文：215. 二、选择题（每题4分，满分16分）：三、解答题： []1,3，a 的取值范围是)1,22⎡⎣)282a ∆=-<;[]1,3,，集合[]1,3B =，可知集合之间不存在推出关系5BC BDBC BD ⋅=-⋅，即3arccos DBC ∠.arccos CD π⎛=-2n+⎪⎭（件）与电视广告播放量()()()411log 3212n n n =-+-- >题续）又当1n =时，=()21n ->]3(2)n+-)不可能是直线221=（a>=+ x x ()sin2。
上海市2010年高三数学下学期教学质量抽样分析测试(理含答案)沪教版新课标
2010年上海市高三教学质量抽样分析试卷（数学理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知x tan ＝2，那么)4tan(π+x ＝ ．2．若复数z ＝(m ＋1)－(m －3i )在复平面内对应的点在第 一或第三象限，则实数m 的取值范围是 ． 3．有一计算程序，其框图如图所示，则执行该程序后输出的结 果s ＝ ．4．若从A 、B 、C 、D 、E 、F 等6名选手中选出4人参加比赛， 则甲参加比赛的概率是 ．5．如图所示：在△ABC 中，→--CA ＝→a ，→--CB ＝→b ，延长AB 到D ， 使BD ＝AB ，连接CD ，则用→a ，→b 表示→--CD ＝ ．6．与椭圆2x ＋42y ＝16有相同的焦点，且一条渐近线为x ＋y 3＝0的双曲线的方程是： ．7．若将函数y ＝x cos 3－x sin 的图像向左平移m (m ＞0)个单位，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 ．8．函数y ＝)12lg(2--x x 的单调递减区间为 ．9．设ξ为投掷一枚均匀骰子所得点数，则ξ的数学期望E ξ＝ ． 10．在5)1(x -＋6)1(x -＋7)1(x -＋8)1(x -的展开式中，含3x 的项的系数是 （用数值表示）．11．设正圆锥的母线长为10，母线与旋转轴的夹角是30，则正圆锥的侧面积为 ． 12．已知数列{n a }是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，并有n m S +＝m S ＋n S ＋mnd ；那么，对于公比为q 的等比数列{n b }，设其前n 项积为n T ，则n m T +，m T ，n T 及q 满足的一个关系式是 ．A B DC13．若曲线y ＝|4|2-x 与直线y ＝x ＋m 恰好有两个交点，则实数m 的取值范围 是 ．14．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，点列(n ，n S )在函数)(x f ＝2)2(+x 的图像上．数列{n b }满足：对任意的正整数n 都有0＜n b ＜n a ，且nnn b a ∞→lim ＝2成立，则数列{n b }可能的一个通项公式是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．设点A 为圆2)1(-x ＋2y ＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为（ ）（A ）2)1(-x ＋2y ＝4； （B ）2y ＝2x ； （C ）2)1(-x ＋2y ＝2； （D ）2y ＝－2x ． 16．“|x －1|＜2成立”是“)3(-x x ＜0成立”的（ ） （A ）充要条件； （B ）必要不充分条件； （C ）充分不必要条件； （D ）既不充分也不必要条件． 17．已知函数)(x f 存在反函数)(1x f-，方程)(x f －x ＝0的解集是P ，方程)(x f －)(1x f-＝0的解集是Q ，则一定有（ ）（A ）P ⊆Q ； （B ）Q ⊆P ； （C ）P ＝Q ； （D ）P ∩Q ＝Φ． 18．若函数)(x f 满足|)(|x f ＝|)(x f |，则称)(x f 为对等函数， （1）存在幂函数是对等函数； （2）存在指数函数是对等函数； （3）对等函数的积是对等函数．那么，在上述命题中，真命题的个数是（ ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知锐角△ABC 中，三个内角为A 、B 、C ，向量→p ＝(2－2A sin ，A cos ＋A sin )，→q ＝(A sin －A cos ，1＋A sin )，→p ∥→q ．（1）求∠A 的大小；（2）求函数y ＝2B 2sin ＋23cos BC -取得最大值时，∠B 的大小． 解：20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成的角为60 ，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90 ，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）求异面直线PA 与BC 所成的角． 解：21．（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）ABCDP某团体计划于2011年年初划拨一笔款项用于设立一项基金，这笔基金由投资公司运作，每年可有3％的受益．（1）该笔资金中的A （万元）要作为保障资金，每年年末将本金A 及A 的当年受益一并作为来年的投资继续运作，直到2020年年末达到250（万元），求A 的值；（2）该笔资金中的B （万元）作为奖励资金，每年年末要从本金B 及B 的当年受益中支取250（万元），余额来年继续运作，并计划在2020年年末支取后该部分资金余额为0，求B 的值．（A 和B 的结果以万元为单位，精确到万元） 解：22．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）对于两个定义域相同的函数)(x f 、)(x g ，如果存在实数m 、n 使得)(x h ＝)(x f m ⋅＋)(x g n ⋅，则称函数)(x h 是由“基函数)(x f 、)(x g ”生成的．（1）若)(x f ＝2x ＋x 和)(x g ＝x ＋2生成一个偶函数)(x h ，求)2(h 的值；（2）若)(x h ＝22x ＋3x －1由函数)(x f ＝2x ＋ax ，)(x g ＝x ＋b (a ，b ∈R 且ab ≠0)生成，求a ＋2b 的取值范围；（3）如果给定实系数基函数)(x f ＝x k 1＋1b ，)(x g ＝x k 2＋2b (21k k ≠0)，问：任意一个一次函数)(x h 是否都可以由它们生成？请给出你的结论并说明理由． 解：23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）已知直线1l ：y ＝kx ＋b (b ＞0)交抛物线C ：2x ＝2py (p段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（1）若直线1l 过抛物线C 的焦点，且垂直于抛物线C 的对称轴， 试用p 表示|AB|；（2）证明：过点N 且与AB 平行的直线2l 和抛物线C 有且仅有一 个公共点；（3）是否存在实数k ，使→--→--⋅NB NA ＝0．若存在，求出k 的所有值； 若不存在，说明理由． 解：2010年上海市高三数学教学质量抽样分析试卷（理科）时间120分钟 满分150分 （2010．4．8）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知x tan ＝2，那么)4tan(π+x ＝ －3 ．2．若复数z ＝(m ＋1)－(m －3i )在复平面内对应的点在第 一或第三象限，则实数m 的取值范围是 (－1，3) ． 3．有一计算程序，其框图如图所示，则执行该程序后输出的结 果s ＝ 15 ．4．若从A 、B 、C 、D 、E 、F 等6名选手中选出4人参加比赛， 则甲参加比赛的概率是32． 5．如图所示：在△ABC 中，→--CA ＝→a ，→--CB ＝→b ，延长AB 到D ， 使BD ＝AB ，连接CD ，则用→a ，→b 表示→--CD ＝ －→a ＋2→b ．6．与椭圆2x ＋42y ＝16有相同的焦点，且一条渐近线为x ＋y 3＝0的双曲线的方程是： 92x －32y ＝1 ．7．若将函数y ＝x cos 3－x sin 的图像向左平移m (m ＞0)个单位，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是65π． 8．函数y ＝)12lg(2--x x 的单调递减区间为 (－∞，1－2) ． 9．设ξ为投掷一枚均匀骰子所得点数，则ξ的数学期望E ξ＝ 3.5 ．10．在5)1(x -＋6)1(x -＋7)1(x -＋8)1(x -的展开式中，含3x 的项的系数是 －121 （用数值表示）．A B DC11．设正圆锥的母线长为10，母线与旋转轴的夹角是30 ，则正圆锥的侧面积为 50π ． 12．已知数列{n a }是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，并有n m S +＝m S ＋n S ＋mnd ；那么，对于公比为q 的等比数列{n b }，设其前n 项积为n T ，则n m T +，m T ，n T 及q 满足的一个关系式是 n m T +＝mnn m q T T ⋅⋅ ．13．若曲线y ＝|4|2-x 与直线y ＝x ＋m 恰好有两个交点，则实数m 的取值范围 是 (－2，0)∪{2}∪{22} ．14．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，点列(n ，n S )在函数)(x f ＝2)2(+x 的图像上．数列{n b }满足：对任意的正整数n 都有0＜n b ＜n a ，且nnn b a ∞→lim＝2成立，则数列{n b }可能的一个通项公式是 n b ＝n ＋k ，(－1＜k ＜5)均可 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．设点A 为圆2)1(-x ＋2y ＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为（ C ）（A ）2)1(-x ＋2y ＝4； （B ）2y ＝2x ； （C ）2)1(-x ＋2y ＝2； （D ）2y ＝－2x ． 16．“|x －1|＜2成立”是“)3(-x x ＜0成立”的（ B ） （A ）充要条件； （B ）必要不充分条件； （C ）充分不必要条件； （D ）既不充分也不必要条件． 17．已知函数)(x f 存在反函数)(1x f-，方程)(x f －x ＝0的解集是P ，方程)(x f －)(1x f-＝0的解集是Q ，则一定有（ A ）（A ）P ⊆Q ； （B ）Q ⊆P ； （C ）P ＝Q ； （D ）P ∩Q ＝Φ． 18．若函数)(x f 满足|)(|x f ＝|)(x f |，则称)(x f 为对等函数，（1）存在幂函数是对等函数； （2）存在指数函数是对等函数； （3）对等函数的积是对等函数．那么，在上述命题中，真命题的个数是（ C ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知锐角△ABC 中，三个内角为A 、B 、C ，向量→p ＝(2－2A sin ，A cos ＋A sin )，→q ＝(A sin －A cos ，1＋A sin )，→p ∥→q ．（1）求∠A 的大小；（2）求函数y ＝2B 2sin ＋23cos BC -取得最大值时，∠B 的大小． 解：（1）∵→p ∥→q ，∴(2－2A sin )(1＋A sin )－(A cos ＋A sin )(A sin －A cos )＝0；（2分）又A 是锐角，则A sin ＝23，（4分） ∴A ＝60 ．（5分） （2）y ＝2B 2sin ＋23cosB C -＝2B 2sin ＋)602cos( -B ＝1－B 2cos ＋)602cos(-B ＝1＋)302sin(-B ，（10分）当B ＝60时，函数y ＝2B 2sin ＋23cosBC -取得最大值．（12分） 20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成的角为60，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）求异面直线PA 与BC 所成的角． 解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，ABCDP∴∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角，PD ＝23．（2分） 在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90 ，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2，∴ABCD S ＝5，则ABCD P V -＝32531⋅⋅＝3310．（6分） （2）以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），B （2，4，0），C （0，1，0），则P （0，0，23），→--PA ＝（2，0，－23），→--BC ＝（－2，－3，0）． （10分） 〉〈→--→--PB PA ，cos ＝－1313，即异面直线PA 与BC 所成的角大小为1313arccos ．（14分）21．（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）某团体计划于2011年年初划拨一笔款项用于设立一项基金，这笔基金由投资公司运作，每年可有3％的受益．（1）该笔资金中的A （万元）要作为保障资金，每年年末将本金A 及A 的当年受益一并作为来年的投资继续运作，直到2020年年末达到250（万元），求A 的值；（2）该笔资金中的B （万元）作为奖励资金，每年年末要从本金B 及B 的当年受益中支取250（万元），余额来年继续运作，并计划在2020年年末支取后该部分资金余额为0，求B 的值．（A 和B 的结果以万元为单位，精确到万元） 解：（1）A (1＋100310)＝250，⇒A ≈186（万元）．（6分） （2）250101025003.1))25003.1)25003.1(((个-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯B ＝0，（11分）即1003.1⨯B －250(903.1＋803.1＋┅＋1.03＋1)＝0B ＝101003.103.1103.11250--⨯≈2133（万元）．（16分）22．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）对于两个定义域相同的函数)(x f 、)(x g ，如果存在实数m 、n 使得)(x h ＝)(x f m ⋅＋)(x g n ⋅，则称函数)(x h 是由“基函数)(x f 、)(x g ”生成的．（1）若)(x f ＝2x ＋x 和)(x g ＝x ＋2生成一个偶函数)(x h ，求)2(h 的值；（2）若)(x h ＝22x ＋3x －1由函数)(x f ＝2x ＋ax ，)(x g ＝x ＋b (a ，b ∈R 且ab ≠0)生成，求a ＋2b 的取值范围；（3）如果给定实系数基函数)(x f ＝x k 1＋1b ，)(x g ＝x k 2＋2b (21k k ≠0)，问：任意一个一次函数)(x h 是否都可以由它们生成？请给出你的结论并说明理由． 解：（1）由)(x f ＝2x ＋x ，)(x g ＝x ＋2⇒)(x h ＝2mx ＋x n m )(+＋2n ，∵)(x h 是偶函数，∴m ＋n ＝0，⇒n ＝－m ．∴)(x h ＝)2(2-x m ，故)2(h ＝0；（4分）（2）)(x h ＝22x ＋3x －1＝)(2ax x m +⋅＋)(b x n +⋅＝2mx ＋x n am )(+＋nb ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==+=132nb n am m ，⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=n b n a 123，由a ≠0，得n ≠3，（7分）∴a ＋2b ＝23n -－n 2＝23－(2n ＋n 2)∈(－∞，－21]∪[27，＋∞)．（11分） （3）若一次函数)(x h ＝kx ＋b (k ≠0)可由基函数)(x f 、)(x g 生成， 则存在实数m 、n 使得)(x h ＝)(x f m ⋅＋)(x g n ⋅，于是⎩⎨⎧=+=+bnb mb knk mk 2121．（13分）若二元一次方程组的系数行列式2121b b k k ，，＝0，即21b k －12b k ＝0，则一定存在一次函数不能由基函数)(x f ＝x k 1＋1b ，)(x g ＝x k 2＋2b (21k k ≠0)生成．（16分）若21b k －12b k ≠0，则对任意的k 和b ，方程组⎩⎨⎧=+=+bnb mb k nk mk 2121必有唯一解，此时，任意一个一次函数可由基函数)(x f ＝x k 1＋1b ，)(x g ＝x k 2＋2b (21k k ≠0)生成．（18分）23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知直线1l ：y ＝kx ＋b (b ＞0)交抛物线C ：2x ＝2py (p段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（1）若直线1l 过抛物线C 的焦点，且垂直于抛物线C 的对称轴，试用p 表示|AB|；（2）证明：过点N 且与AB 平行的直线2l 和抛物线C 有且仅有一个公共点；（3）是否存在实数k ，使→--→--⋅NB NA ＝0．若存在，求出k 的所有值；若不存在，说明理由．解：（1）抛物线的焦点是F (0，2p )，∴1l ：y ＝2p ， 则可得A 、B 两点坐标为(±p ，2p )，所以|AB|＝2p ．（4分） （2）将y ＝kx ＋b 代入2x ＝2py 得：2x －2pkx －2pb ＝0， ∴N x ＝M x ＝2B A x x +＝pk ，代入2x ＝2py ，得：N y ＝22pk ， ∴N (pk ，22pk )．（7分） 则2l ：y －22pk ＝)(pk x k -，代入2x ＝2py 得：2x －2pkx ＋22k p ＝0，由△＝0得直线2l 和抛物线C 只有一个公共点．（10分）（3）→--NA ＝(A x －pk ，A y －22pk )，→--NB ＝(B x －pk ，B y －22pk )， 由→--→--⋅NB NA ＝0得(A x －pk )(B x －pk )＋(A y －22pk )(B y －22pk )＝0，（12分） 即(A x －pk )(B x －pk )＋(A kx ＋b －22pk )(B kx ＋b －22pk )＝0， 即B A x x k )1(2+＋))(2(3B A x x pk kb pk +-+-＋22k p ＋2b －2bpk ＋442k p ＝0， 由（2）可得A x ＋B x ＝2pk ，A x B x ＝－2pb ，代入整理得：342k p ＋422)(k bp p +＋8pb －42b ＝0，即)2)](2(23[22b pk b p pk +-+＝0，（16分） 由于p ＞0，b ＞0，∴当b ≥2p 时，存在实数k ＝±p p b 342-；当b ＜2p 时，不存在实数k ．（18分）。
上海市松江区2010年高三数学高考模拟考试(理) 沪教版 新课标
上海市松江区2010年高考模拟数学（理科）试卷（完成时间120分钟，满分150分） 2010.4一、填空题 (每小题4分,满分56分)1．设集合{}{}221,,,A y y x x R B y y x x R ==+∈==-∈，则集合A B = ▲ ．2．方程)3lg(lg ++x x =1的解是=x ▲ ．3．设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -= ▲ ．4．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为π，则球的表面积为 ▲ ． 5．设复数122,34z a i z i =+=-，若12z R z ∈，则实数a = ▲ ． 6．在极坐标系中，若直线l 的方程是1)6sin(=+πθρ，点P 的坐标为(2,)π，则点P 到直线l 的距离=d ▲ ．7．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为 ▲ ． 8．右图是计算111112233420092010++++⨯⨯⨯⨯的程序框图，为了得到正确的结果，在判断框中应该填 入的条件是 ▲ ． 9．已知9)222(-x展开式的第7项为421， 则23lim()n n x x x x →∞++++= ▲ ．10．已知圆C 过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，且圆心C 在此双曲线上，则圆心C 到双曲线中心的距离是 ▲ ．11．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为 ▲ ．12．汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费+年均维修费）．设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x 年的总维修费y 满足2y ax bx =+，已知第一年的维修费为1000元，前二年总维修费为3000元．则这种汽车的最佳使用年限为 ▲ ．13．设函数()F x 和()f x 都在区间D 上有定义，若对D 的任意子区间[,]u v ，总有[,]u v 上的实数p 和q ，使得不等式()()()()F u F v f p f q u v-≤≤-成立，则称()F x 是()f x 在区间D 上的甲函数，()f x 是()F x 在区间D 上的乙函数．已知2()3,F x x x x R =-∈，那么()F x 的乙函数()f x = ▲ ．14．已知数列{}n a 满足：m a =1（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。
嘉定区2010学年高三年级第一次练习数学试卷理
第10题图嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研数学试卷（理）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设i 是虚数单位，a 是实数，若)1)(1(ai i -+是实数，则=a ________．2．函数22)(x x x f -=的定义域是______________．3．等差数列}{n a 中，公差1=d ，2a 是1a 与4a 的等比中项，则=1a ____________．4．若532sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ，则=θ2cos ____________． 5．设函数x x f -=)(的反函数为)(1x f -，则方程4)(1=-x f 的解是_____________．6．已知正三棱柱111C B A ABC -的底边长1=AB ，高21=AA ，则异面直线1AC 与11B A 所成角的大小为_____________________（结果用反三角函数值表示）．7．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=-)2(f ___________．8．若9)21(x -展开式的第3项为288，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n x x x 111lim 2 __________． 9．设a 、R b ∈，把三阶行列式xa x 1214532+中元素3的余子式记为)(x f ，若关于x 的不等式0)(<x f 的解集为),1(b -，则=+b a ________．10．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________．11．有三个学习小组，A 组有学生5人，B 组有学生3人，C 组有学生2人，从中任意选出4人参加知识竞赛，则A 、B 、C 三组每组都至少有1人的概率是_________． 12．如果关于x 的不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为),(b a 和⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1,1，那么称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式022cos 342<+⋅-θx x 与不等式012sin 422<+⋅+θx x 为对偶不等式，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππθ,2，那么=θ______________． 13．设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈ ，定义a x a x x f ⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ．那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a 的序号是____________（写出满足条件的所有向量a 的序号）．14．已知数列}{n a （*N n ∈）满足⎩⎨⎧<-+≥-=+t a a t t a t a a n n n n n .,2,,1 且11+<<t a t ，其中2>t ．若n k n a a =+（*N k ∈），则k 的最小值为________________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设直角三角形的三边长分别为a ，b ，c （c b a <<），则“5:4:3::=c b a ”是“a ，b ，c 成等差数列”（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件16．有下列四个命题：①三个点可以确定一个平面；②圆锥的侧面展开图可以是一个圆面；③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个．其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（ ）A ．0B ．1C ．2D ．317．方程22x x =的实数解的个数是………………………………………………………（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．对于函数)(x f y =，D x ∈，若存在常数C ，对任意D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =)()(21，则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知2)(x x f =，]4,2[=D ，则函数)(x f 在D 上的几何平均数为…（ ）A ．9B ．8C ．4D ．2三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2已知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos ,1πωx a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2,2πωx b （1）若1=ω，且a ∥b ，求x tan 的值； （2）设函数2)(-⋅=b a x f ，若)(x f 的最小正周期为π，求f 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：厘米）满足关系：53)(+=x k x C ．若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设)(x f 为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及)(x f 的表达式，并写出)(x f 的定义域；（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用)(x f 最小？并求出最小总费用．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知函数m x x f +=2)(，其中R m ∈，定义数列{}n a 如下：01=a ，)(1n n a f a =+，*N n ∈．（1）当1=m 时，求2a ，3a ，4a 的值；（2）是否存在实数m ，使2a ，3a ，4a 成等比数列？若存在，请求出实数m 的值，并求出等比数列的公比；若不存在，请说明理由．（3）设1-=m ，)(1x f -为)(x f 在),0[+∞∈x 的反函数，数列{}n b 满足：11=b ，)(211n n b f b -+=（*N n ∈），记22221n n b b b S +++= ，求使2010>n S 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（3）设函数)()(x f x g -=，),2[∞+-∈x ，)(x g 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关．试求a 的取值范围．。
上海市八校2010届高三下学期联考(数学理)缺答案
2010届高三联合调研考试数学（理）试卷一、填空题：（每小题4分，满分56分）1、若复数z 满足(1)2(z i i i -=是虚数单位），则||z =＿＿＿；2、不等式23001021xxx x <的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；3、已知等差数列{}n a 的前3项的和为6，前5项的和为5，则4a =＿＿＿＿；4、已知集合{|21},{|},{|}A x x B x x a C x x b =-<≤=>=<，若()AB C R =且B C =∅，则实数,a b 满足的条件为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；5、由下列程序框图，所打印数列的最后一项是＿＿＿＿＿＿；（第5题图） （第6题图）6、如图：一质点从空间坐标系的原点D 出发，沿棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱运动，每秒钟前进一个单位。
运动方向是1D A B B →→→→，从开始在DA 上称为第1棱动，AB 上称为第2棱动，BB 1上称为第3棱动，，且第2n +棱动所在棱与第n 棱动所在的棱是异面线段。
经过2010秒运动后，质点所在的空间坐标是＿＿＿＿＿＿＿；7、函数(cos )cos2([0,]),f x x x π=∈则13(sin)12f π=＿＿＿＿＿＿； 8、从正方体的8个顶点中取出四个不同的顶点，这四个顶点能作为三棱锥的顶点的概率等于＿＿＿＿＿＿＿（用最简分数作答）；9、在120的二面角的棱上有A 、B 两点，AC 、BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段。
已知4,6,8AB AC BD ===，则CD =＿＿＿＿＿＿；10、已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴两个交点间的距离为2，若将此图像沿y 轴方向向上平移3个单位，则图像恰好经过坐标原点，且与x 轴两交点之间的距离为4。
则此二次函数的值域为＿＿＿＿＿＿＿＿；11、过直线:3450l x y +-=上的一点P 向圆：22(3)(4)4x y -+-=作两条切线12,l l 。
数学_2010年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科)_(含答案)
2010年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知函数f(x)=a−x x−a−1的反函数是y =f −1(x)，且点(2,1)在y =f −1(x)的图象上，则实数a =________．2. 已知a 、b ∈R ，非零向量α→=(2a +1,a +b)与β→=(−2,0)平行，则a 、b 满足的条件是________．3. 已知随机事件A 、B 是互斥事件，若P(A)=0.25，P(B)=0.18，则P(A ∪B)=________．4. 不等式|x+1x−1|≥1的解集是________．5. 方程log 3(9x −4)=x +1的解x =________．6. 已知角α(0<α<π)的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P(−4, 3)是角α终边上一点，则cos α2=________．7. 方程cosx +√3sinx =1的解集是________．8. 若f(n)=1+2+3+...+n(n ∈N ∗)，则lim n →+∞f(n 2)[f(n)]2=________．9. 下面是用行列式解二元一次方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的程序框图，请在图中(1)、(2)、(3)处分别填上合适的指令．10. 如图所示，点A 、B 是单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）上两点，OA 、OB 与x 轴正半轴所成的角分别为α和−β．记OA →=(cosα,sinα)，OB →=(cos(−β)，sin(−β))，用两种方法计算OA →⋅OB →后，利用等量代换可以得到的等式是________． 11. 在△ABC 中，AC =3cm ，BC =4cm ，AB =5cm ，现以BC 边所在的直线为轴把△ABC （及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是________cm 2．12. 掷一枚质地均匀的硬币可能出现图案向上，也可能出现文字向上．现将一枚质地均匀的硬币连续掷3次，若用随机变量ξ表示3次中出现图案向上的次数，则数学期望Eξ=________．13. 给出下列4个命题，其中正确命题的序号是________．（1）在大量的试验中，事件A 出现的频率可作为事件A 出现的概率的估计值； （2）样本标准差S =√(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+⋯+(x n −x ¯)2n−1(n ≥2)可作为总体标准差的点估计值；（3）随机抽样就是使得总体中每一个个体都有同样的可能性被选入样本的一种抽样方法； （4）分层抽样就是把总体分成若干部分，然后在每个部分指定某些个体作为样本的一种抽样方法．14. 已知数列{a n }满足a 1=m(m 是正整数)，a n+1={a n 2(a n 的值是偶数)3a n −1(a n 的值是奇数)，若a 4=2，则m 的所有可能的值是________．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15. 已知a 、x ∈R ，且a ≠0，则“x ∈{−a, a}”是“|x|=a”成立的（ ）A 充要条件B 充分非必要条件C 必要非充分条件D 非充分非必要条件 16. 定义两种运算a ⊕b =√a 2−b 2，a ⊗b =|a −b|，则函数f(x)=x⊗2−22⊕x的解析式是（ ） A f(x)=√4−x2，x ∈(−2, 2) B f(x)=√4−x2，x ∈(−2, 2) C f(x)=√x 2−4，x ∈(−∞, −2)∪(2, +∞) D f(x)=√x 2−4，x ∈(−∞, −2)∪(2, +∞)17. 在空间中，给出下列4个命题（其中a 、b 、c 表示直线，β表示平面），则正确命题的序号是（ ）(1)三个点确定一个平面；(2)若a // c ，b // c ，则a // b ；(3)在空间中，若角θ1与角θ2的两边分别平行，则θ1=θ2； (4)若a ⊥b ，a ⊥c ，b 、c ⊂β，则α⊥β．A (1)、(2)、(4)B (2)C (2)、(3)D (2)、(3)、(4)18. 已知函数f(x)={1|x−1|(x ≠1)1(x =1)，若关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0有且仅有3个实数根x 1、x 2、x 3，则x 12+x 22+x 32=( )A 5 B2b 2+2b 2C 3 D2c 2+2c 2三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19. 如图所示，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=3，AB=AA1=4，M是A1B1的中点．（1）求BM与平面ACD1所成的角；（2）求点M到平面ACD1的距离．20. 在△ABC中，A>B>C，且A=2C，b=4，a2−c2=645，求a、c的值．21. 已知a、b是正整数，函数f(x)=ax+2x+b(x≠−b)的图象经过点(1, 3)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断函数f(x)在(−1, 0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．22. 某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3−x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入-生产成本-促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？23. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+2n(n∈N∗)．（1）证明数列{a n2n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式a n；（2）求等差数列{b n}(n∈N∗)，使b1C n0+b2C n1+b3C n2+...+b n+1C n n=a n+1对n∈N∗都成立；（3）令c n=nb n(n∈N∗)，是否存在正常数M，使c1a1+c2a2+c3a3+⋯+c na n<M对n∈N∗恒成立，并证明你的结论．2010年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）答案1. 132. b=−a且a≠−12(a∈R)3. 0.434. [0, 1)∪(1, +∞)5. log 346.√10107. {x|x =2kπ或x =2kπ+2π3，k ∈Z}8. 29. (1){x =D xDy =D y D(2)方程组无解、(3)方程组有无穷多解．10. cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ 11. 24π 12. 1.5 13. （1）（2）（3）．14. 1、3、4、16 15. C 16. B 17. B 18. A19. 解 （1）按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D(0, 0, 0)、A(3, 0, 0)、B(3, 4, 0)，C(0, 4, 0)，A 1(3, 0, 4)，B 1(3, 4, 4)，D 1(0, 0, 4)，M(3, 2, 4)，进一步有BM →=(0,−2,4)，AC →=(−3,4,0)，AD 1→=(−3,0,4)．设平面ACD 1的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅AD 1→=0˙，即{−3x +4y =0−3x +4z =0．取z =3，得x =4，y =3．所以平面ACD 1的一个法向量为n →=(4,3,3)． 记n →与BM →的夹角为ϕ，BM 与平面ACD 1所成角为θ， 于是，sinθ=|cosϕ|=||n →|⋅|BM →|˙|=√170，θ=arcsin 3√170170．所以，直线BM 与平面ACD 1所成角为θ=arcsin 3√170170． （2）记点M 到平面ACD 1的距离为d ．由（1）知，平面ACD 1的一个法向量为n →=(4,3,3)，AM →=(0,2,4)，于是，d =|n →|˙=√34=9√3417．所以点M 到平面ACD 1的距离为d =9√3417．20. 解：∵ A =2C,b =4,a 2−c 2=645，∴ asinA =csinC ，a2sinCcosC =csinC ，2cosC =ac．又cosC =a 2+b 2−c 22ab，∴ a 2=365c ，365c −c 2=645，解得c =165或c =4．由A >B >C ，知a >b >c ，于是，c =165(c =4舍去)．∴ a 2=c 2+645，a =245，所以a =245、c =165．21. 解：（1）由函数f(x)=ax +2x+b (x ≠−b)的图象过点(1,3)，知3=a +21+b ，(3−a)(b +1)=2．…又a 、b 均为正整数，故3−a >0，b +1≥2．于是，必有{3−a =1b +1=2，即{a =2b =1．…所以f(x)=2x +2x+1(x ≠−1)．…（2）结论：f(x)=2x +2x+1(x ≠−1)在(−1,0]上是减函数．… 证明 设x 1、x 2是(−1, 0]内的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2．… 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1+2x 1+1−(2x 2+2x 2+1)…=2(x 1−x 2)+2(x 2−x 1)(x 1+1)(x 2+1)=2(x 1−x 2)⋅x 2+x 1(1+x 2)(x 1+1)(x 2+1)．…又−1<x 1≤0，−1<x 2≤0，x 1<x 2，故x 1−x 2<0，1+x 2>0，x 2+x 1(1+x 2)<0． 于是，2(x 1−x 2)⋅x 2+x 1(1+x 2)(x 1+1)(x 2+1)>0，即f(x 1)−f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)．…所以，函数f(x)=2x +2x+1(x ≠−1)在(−1,0]上是减函数． 22. 解 （1）设比例系数为k(k ≠0)．由题知，有3−x =k t+1．…又t =0时，x =1．∴ 3−1=k0+1，k =2．…∴ x 与t 的关系是x =3−2t+1(t ≥0)．… （2）依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为(3+32x)万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(3+32x x ⋅150%+t2x )元/件．…于是，y =x ⋅(3+32x x⋅150%+t2x )−(3+32x)−t ，进一步化简，得y =992−32t+1−t2(t ≥0)．…因此，工厂2010年的年利润y =992−32t+1−t2(t ≥0)万元．（3）由（2）知，y =992−32t+1−t2(t ≥0)=50−(32t+1+t+12)≤50−2√32t+1⋅t+12=42(当t+12=32t+1，即t =7时，等号成立)…所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…23. 解：（1）∵ a 1=1，a n+1=2a n +2n (n ∈N ∗)，∴ a n+12n+1=a n 2n +12，a n+12n+1−a n2n =12．… ∴ 数列{a n 2n }是以a 12为首项，公差为12的等差数列，且a n 2n=a 12+12(n −1)．…∴ a n =n ⋅2n−1(n ∈N ∗)．…（2）设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，则b n =b 1+(n −1)d(n ∈N ∗)．… 考察等差数列，易知：b 1+b n+1=b 2+b n =b 3+b n−1=...=b n+1+b 1．又 b 1C n 0+b 2C n 1+b 3C n 2+...+b n+1C n n =a n+1，利用加法交换律把此等式变为b n+1C n n+b n C n n−1+b n−1C n n−2+...+b 1C n 0=a n+1，两式相加，利用组合数的性质C n m =C n n−m 化简，得(b 1+b n+1)(C n 0+C n 1+...+C n n)=2a n+1，即b 1+b n+1=2n +2．…再分别令n =1，n =2，得{b 1+b 2=4b 1+b 3=6，进一步可得{b 1=1d =2．…因此，满足题设的等差数列{b n }的通项公式为b n =2n −1(n ∈N ∗)．…（3）结论：存在正常数M （只要M >6即可）使得c 1a 1+c 2a 2+c 3a 3+⋯+cn a n<M 对n ∈N ∗恒成立．证明 由（2）知，b n =2n −1，于是，c n =n(2n −1)，c n a n=n(2n−1)n⋅2n−1=2n−12n−1．…记A =c 1a 1+c 2a 2+⋯+c n a n，则A =120+321+522+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1，12A =121+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n ．此两式相差，得12A =120+221+222+223+⋯+22n−1−2n−12n．进一步有A =6−12n−3−2n−12n−1<6．…所以，当且仅当正常数M >6时，c1a 1+c2a 2+c3a 3+⋯+cn a n<M 对n ∈N ∗恒成立．。
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上海市嘉定区2010年高考模拟考试卷(理科) (2010年4月22日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知直线1l ：023=+-y x ，2l ：0533=-+y x ，则直线1l 与2l 的夹角是 ． 2．已知全集R U =，若集合{}R x x x x A ∈>--=,022，{}R x x x B ∈≤+=,2|1|，则=B A C U )( ．3．已知随机事件A 、B 是互斥事件，若()0.25()0.78P A P A B =⋃=，，则()P B = ． 4．幂函数()y f x =的图像过点(42)A ，，则函数()y f x =的反函数1()f x -= （要求写明定义域）．5．已知i z -=1（i 是虚数单位），计算=++i z zi||231_____（其中z 是z 的共轭复数）． 6．函数222cos y x x =+的最小正周期=T ．7．161()2x x-的二项展开式中第4项是 ． 8．若1250120131xx =，则实数x = ． 9．如右图所示，角α的终边与单位圆（圆心在原点， 半径为1的圆）交于第二象限的点)53,(cos αA ，则=-ααsin cos ．第9题图10．已知123(1,3),(1,1),()e e e x ===，-1，且3122()e e e R =+λλ∈，则实数x 的值是 ．11．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ． 12．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和*1()3n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和等于 (用数值作答)．13．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x 的数学期望=Ex ．14．已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知a b c 、、是直线，α是平面，b 、c ≠⊂α，则“⊥a 平面α”是“b a ⊥且c a ⊥” 的………………………………………………………………………………………………（ ）A ．充要条件．B ．充分非必要条件．C ．必要非充分条件．D ．非充分非必要条件． 16．在极坐标系中，圆心坐标是),(πa （0>a ），半径为a 的圆的极坐标方程是…（ ）A ．θρcos 2a -=（232πθπ<≤）． B ．θρcos a =（πθ<≤0）．C ．θρsin 2a -=（232πθπ<≤）． D ．θρsin a =（πθ<≤0）．17．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。
现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k 80050==16，即每16人抽取一个人。
在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33 ~ 48这16个数中应取的数是（ ）A ．40．B ．39．C ．38．D ．37．18．在直角坐标平面内，点(5,0)A 对于某个正实数k ，总存在函数2(0)y ax a =>，使POA QOA ∠=∠2，这里))1(,1(f P 、))(,(k f k Q ，则k 的取值范围是………………（ ）A ．),2(∞+．B ．),3(∞+．C ．),4[∞+．D ．),8[∞+．三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知长方体中1111D C B A ABCD -，1244AB BC AA ===，，，点M 是棱11D C 的中点．（1）试用反证法证明直线11AB BC 与是异面直线；（2）求直线11AB DA M 与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=．（1）求边长a 的值；（2）若3sin ABC S A ∆=，求角A 的大小（结果用反三角函数值表示）．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数ax bx x f +-=5)(（a x -≠，a 、b 是常数，且5-≠ab ），对定义域内任意x （a x -≠、3--≠a x 且3+≠a x ），恒有(3)(3)4f x f x ++-=成立．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数的定义域； （2）求x 的取值范围，使得]4,2()2,0[)( ∈x f ．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足a a =1，22=a ，n S 是数列的前n 项和，且2)3(1a a n S n n +=（*N n ∈）．（1）求实数a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）对于数列{}n b ，若存在常数M ，使M b n <（*N n ∈），且M b n n =∞→lim ，则M 叫做数列{}n b 的“上渐近值”． 设22112-+=++++n n n n n S S S S t （*N n ∈），n T 为数列}{n t 的前n 项和，求数列{}n T 的上渐近值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆122=+ny m x ，常数m 、+∈R n ，且n m >． （1）当2521m n ==，时，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于点P ，与y 轴交于点Q ，若2QF FP =，求直线PQ 的斜率；（2）过原点且斜率分别为k 和k -（1≥k ）的两条直线与椭圆221x y m n+=的交点为A B C D 、、、（按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内），试用k 表示四边形ABCD 的面积S ；（3）求S 的最大值．嘉定区2010年高考模拟考数学试卷(理科)(2010年4月22日)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一、填空题1、3p8、22、[3]-，29、75-3、0.53 10、5-4、2(0)y x x =? 115、23i +12、1-6、p13、927、10470T x =-14、8二、选择题： 15、B 16、A 17、B 18、A 三、解答题19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 证明 (1)(反证法)假设直线1AB 与1BC 不是异面直线. ……………………………1分设直线1AB 与1BC 都在平面α上，则11A B B C ∈α、、、.………………………3分 因此，1111ABB A BCC B α平面、平面都与平面有不共线的三个公共点，即1111ABB A BCC B α平面和平面重合(都与平面重合).又长方体的相邻两个面不重合，这是矛盾，于是，假设不成立. …………………………………………………………6分 所以直线1AB 与1BC 是异面直线. …………………7分 解 (2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D(0，0，0)、A(4，0，0)、B(4，2，0)，C(0，2，0)，1A (4，0，4)，1B (4，2，4)，1C (0，2，4)，1D (0，0，4)．于是，M (0，1，4)，11(014)(404)(024)DM DA AB ===，，，，，，，，．……9分设平面1DA M 的法向量为)(z y x n ，，=，则100n DM n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40440y z x z +=⎧⎨+=⎩．取114z x y =-==，得，． … 11分 所以平面1DA M 的一个法向量为(14-1)n =，，．记直线11AB DA M 与平面所成角为θ，于是，1110sin ||||||n AB n AB ⋅θ==⋅θ= ………………………13分所以，直线11AB DA M 与平面所成角为θ＝arcsin．…………………14分 20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解 (1)根据正弦定理，sin sin B C +=可化为b c +=． ………3分联立方程组1)a b c b c ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，解得4a =． …………………6分所以，边长4a =． …………………………7分 (2)3sin ABC S A ∆=，∴1sin 3sin 62bc A A bc ==，． ………………………………10分 又由(1)可知，b c +=∴22222()21cos 223b c a b c bc a A bc bc +-+--===． ……………………13分 因此，所求角A 的大小是1arccos3． ………………………14分 21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 解 (1) ∵55()(5)(3)(3)4bx ab f x b ab f x f x x a x a-+==-≠-++-=++，， ∴55433ab ab b b a x a x ++-+-=+++-，即26(24)(5)0(3)(3)a b ab a x a x +--+=+++-对使等式有意义的任意x 恒成立． ………………………………4分 ∴26032402a ab b +==-⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩，． …………………………………6分 于是，所求函数为25()3x f x x -=-，定义域为(,3)(3,)-∞⋃+∞． ………8分 (2) ∵251()2(3)33x f x x x x -==+≠--，()[02)(24]f x 稳，，， ∴0()22()4f x f x ≤<<≤或，即110222433x x ?<<+?--或2．……10分解不等式1502232x x ?<?-，得；解不等式1722432xx <+３-，得．……14分 ∴当57(,][,)22x ?ト+?时，()[02)(24]f x 稳，，． ………16分 (说明：也可以借助函数单调性、图像求解)22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．解 (1)*112(3),2,()2n n n a a a a a S n N +===?Q ，1111113202a a S a a a +\===，，即． ………………………2分 0a \=． ………………………3分 (2)由(1)可知，*,2()2nn n n na S S na n N ==?． 11112(1)2()(1)n n n n n n S n a n S S na n a ----\=-砛-=--(2)．，112(1),(2)(1)n n n n n a na n a n a n a --=---=-． …………5分*1(3,)12n n a an n N n n -\=澄--． …………………………6分 因此，12,2(1)(2)121n n n a a aa n n n n -====-?--L ． …………8分又10a =，{}*2(1)()n n a a n n N \=-?数列的通项公式． ………………10分(3)由(2)有，*(1)()2nn na S n n n N ==-?．于是， 21122n n n n n S S t S S ++++=+- ＝(2)(1)(1)2(1)(2)(1)n n n nn n n n ++++-+++＝*22()2n N n n -?+． ……………………………………12分12n n T t t t \=+++L＝22222222()()()()1324352n n -+-+-++-+L＝*2233()12n N n n --<?++． ……………14分又22lim lim(3)312n nnT n n =--=++，{}n T \数列的上渐近值是3． ……16分23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解 (1) 2521m n ==Q ，，221(2)2521x y F \+=-的左焦点为，0． ……………………2分 设满足题意的点为00(,)(0)P x y Q t 、，．2QF FP =uu u r uu r又，∴00(2)2(2)t x y --=+，，，0032x t y ì=-ïïíï=-ïî即． ……………4分20000y 9()1y 2521P x y +==?由点，在椭圆上，得，于是． ………5分025PQ QF t k k y \===-=?． ……………6分 (2)12k k k l y =kx l y =-kx x y ³Q 过原点且斜率分别为和-(1)的直线:，:关于轴和轴对称，ABCD \四边形是矩形. ……………8分设点A 00()x y ，．联立方程组22221.x y mn x m n n mk y kxìïï+=ï=íï+ï=ïî，得于是0x 是此方程的解，故202.mnx n mk=+ ………10分 20002444(1)m n kS x y k x k n m k\===?+． ……………………12分(3) 244(2)mnk mnS n n mk mk k==++由可知，． 设()(1)ng k mk k k=+?，则()[1)g k +?在，上是单增函数． ………13分 理由：对任意两个实数12[112k k k <k 违、，+)，且，则 121212()()()n n g k g k mk mk k k -=+-+ ＝121211()()m k k n k k -+-121212()mk k nk k k k -=-． …………14分211212120110.0m n k k k k mk k n k k >>>砛>->-<Q ，，，又，12121212()0()()0mk k n k k g k g k k k -\-<-<，即． ∴()[1)g k +?在，上是单增函数，于是min ()(1)g k g m n ==+． ……16分 44(1)mn mn S k n m nmkk \=?++当且仅当时，等号成立． max 4mnS m n \=+． ………………18分。