考研数学(三)题库--打印版章节题库-概率论与数理统计第四章至第八章【圣才出品】
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(97年)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝，P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是【】A．P(X－Y)＝B．P(X＝Y)＝1C．P(X＋Y＝0)＝D．P(XY＝1)＝正确答案：A解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计2．(98年)设F1(χ)与F2(χ)分别为随机变量X1与X2的分布函数．为使F(χ)＝a1F1(χ)－bF2(χ)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取【】A．B．C．D．正确答案：A解析：∵F1(χ)和F2(χ)均为分布函数，∴F1(＋∞)＝F2(＋∞)＝1 要使F(χ)为分布函数，也有F(＋∞)＝1．对该式令χ→＋∞，即得a－b＝1，只有A符合．知识模块：概率论与数理统计3．(99年)设随机变量Xi～(i＝1，2)，且满足P{X1X2＝0}，则P{X1＝X2}等于【】A．0B．C．D．1正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计4．(04年)设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}＝α，若P{｜X｜＜χ}＝a则χ等于【】A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计5．(06年)设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P{｜X－μ1｜＜1}＞P{｜Y－μ2｜＜1} 则必有【】A．σ1＜σ2．B．σ1＜σ2．C．μ1＜μ2．D．μ1＜μ2．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计6．(08年)设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(χ)，则Z ＝max{X，Y}的分布函数为【】A．F2(χ)B．F(χ)F(y)C．1－[1－F(χ)]2D．[1－F(χ)][1－F(y)]正确答案：A解析：Z的分布函数FZ(χ)＝P{Z≤χ)＝P{max(X，Y)≤χ}＝P{X≤χ，Y ≤χ}＝P{X≤χ}.P{Y≤χ}＝F2(χ)，故选A．知识模块：概率论与数理统计7．(09年)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1}＝．记FZ(z)为随机变量Z＝Xy的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：B解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(XY≤z) ＝P{XY≤z｜Y＝0}P{Y＝0}＋P{XY ≤z｜Y＝1}P{Y＝1} ＝{0≤z}Y＝0}＋P{X≤z｜Y＝1} 而P{0≤z｜Y＝0}＝P{0≤z}＝P{X≤z｜Y＝1}＝P{X≤z}＝故Fz(z)＝在z＜0和z ＞0上，Fz(z)显然连续；在z＝0上，可见Fz(z)只有1个间断点(z＝0处，∵)，故选B．知识模块：概率论与数理统计8．(10年)设随机变量X的分布函数F(χ)＝，则P{X＝1)＝【】A．0．B．．C．－e-1．D．1－e-1．正确答案：C解析：P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝(1－e-1)－－e-1．故选C．知识模块：概率论与数理统计9．(10年) 设f1(χ)为标准正态分布的概率密度，f2(χ)为[－1，3]上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足【】A．2a＋3b＝4．B．3a＋2b＝4．C．a＋b＝1．D．a＋b＝2．正确答案：A解析：由题意知：所以2a＋3b＝4，故选A．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(00年)设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计11．(02年)设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．正确答案：－0．02解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，Ey2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02 知识模块：概率论与数理统计12．(03年)设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y 与Z的相关系数为_______．正确答案：0．9 涉及知识点：概率论与数理统计13．(04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．(08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计15．(11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．正确答案：μ＋μσ2 涉及知识点：概率论与数理统计16．(13年)设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．正确答案：2e2 涉及知识点：概率论与数理统计17．(15年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY －Y＜0}＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(三)题库 概率论与数理统计(第一章 随机事件和概率)打印版【圣才出品】
A．P（A）－P（B）
B．P（A）－P（B）＋P（AB）
C．P（A）－P（AB）
＿
＿
D．P（A）＋P（A）－P（AB）
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【答案】C
＿
＿
【解析】P（A）＝P[A（B∪B）]＝P（AB）＋P（AB）＝P（A－B）＋P（AB），故 P
9．假设事件 A 和 B 满足 P（B|A）＝1，0＜P（A），则（ ）。 A．A 是必然事件 B．P（A|B）＝0 C．A 包含事件 B D．P（A－B）＝0 【答案】D 【解析】因为 P（B|A）＝1 且 P（A）＞0，故 P（AB）＝P（A），P（A－B）＝P（A） －P（AB）＝0。
10．对于任意两事件 A 和 B，P（A－B）＝（ ）。
＿＿
P（A∪B）＝1。
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3．若 A、B 互斥，且 P（A）＞0，P（B）＞0，则下列式子成立的是（ ）。 A．P（A|B）＝P（A） B．P（B|A）＞0 C．P（AB）＝P（A）P（B） D．P（B|A）＝0 【答案】D 【解析】因为 A，B 互斥，故 AB＝∅，P（AB）＝0，P（B|A）＝P（AB）/P（A）＝0。
14．对于事件 A、B、C，如果 A B C ，则（ ）。
＿ ＿＿
A．A∪B⊂C
＿＿ ＿
B．AB⊃C
＿
C．A∪B⊂C
D．AB⊂C
【答案】C
＿
【解析】∵ A B C ∴ A B C ，即 A∪B⊂C。
15．对于事件 A、B，如果 A⊃B，P（B）＞0，则（ ）。
A．P（B|A）＝P（B）
魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)(章节题库 方差分析及回归分析)【圣才出品】
第8章 方差分析及回归分析1．今有某种型号的电池三批，它们分别是A、B、C三个工厂所生产的，为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（h）如表8－1所示：表8－1试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异，若差异是显著的，试求均值差和的置信水平为95％的置信区间。
解：以依次表示工厂A、B、C生产的电池的平均寿命。
提出假设：；：不全相等。
由已知得S T，S A，S E的自由度分别为n－1＝15－1＝14，s－1＝2，n－s＝15－3＝12，从而得方差分析如表8－2所示：表8－2因＝17.07＞3.89＝（2，14），故在显著性水平0.05下拒绝，认为平均寿命的差异是显著的。
由已知得，极限误差E为从而分别得和的一个置信水平为95％的置信区间为（±5.85）＝（6.75，18.45），（±5.85）＝（－7.65，4.05），（±5.85）＝（－20.25，－8.55）。
2．为了寻找飞机控制板上仪器表的最佳布置，试验了三个方案，观察领航员在紧急情况的反应时间（以秒计），随机地选择28名领航员，得到他们对于不同的布置方案的反应时间如表8－3所示：表8－3试在显著性水平0.05下检验各个方案的反应时间有无显著差异，若有差异，试求的置信水平为0.95的置信区间。
解：提出假设：：不全相等已知得又的自由度分别为n －1＝28－1＝27，s －1＝3－1＝2，n －s ＝28－3＝25，从而得方差分析如表8－4所示：表8－4因＝11.3＞3.39＝（2，14），故在显著性水平＝0.05下拒绝，认为差异是显著的。
以下来求置信水平为1－＝0.95的置信区间，今2.0595，则从而分别得的一个置信水平为0.95的置信区间为（±1.78）＝（0.72，4.28），（±1.95）＝（2.55，6.45），（±1.78）＝（0.22，3.78）。
考研数学(三)题库 概率论与数理统计(第二章 随机变量及其分布)打印版【圣才出品】
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第二章 随机变量及其分布
一、选择题 1．设函数 φ（x）＝（sinx）/2 可以作为随机变量 X 的概率密度函数，则 X 可以充满 的区间为（ ）。 A．[0，π/2] B．[－π/2，π/2] C．[0，π] D．[0，2π] 【答案】C
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0 x 0
A． F x 0.8 0 x 1
1 x 1
0 x 0
B． F x 0.2 0 x 1
1 x 1
C．
F
x
0 1
x0 x0
D．
F
x
0 0.2
x0 x0
【答案】B
0 1
【解析】可写出
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6．设 X～N（3，22），则 P{1＜X＜5}＝（
x
）。（ x
1
x2
e 2 dx ）
2π
A．Φ（5）－Φ（1）
B．2Φ（1）－1
C．[Φ（1/2）]/2－1
D．Φ（5/4）－Φ（1/4）
【答案】B
8．设 X～N（2，22），其概率密度函数为 f（x），分布函数 F（x），则（ ）。 A．P{X≤0}＝P{X≥0}＝0.5 B．f（－x）＝1－f（x） C．F（x）＝－F（－x） D．P{X≥2}＝P{X＜2}＝0.5
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【答案】D
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0
C． F x sin x
1
x0 0 x 3π
2 x 3π
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第版)-章节题库-第4~8章【圣才出品】
A．有相同的数学期望
B．服从同一离散型分布
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C．服从同一泊松分布
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D．服从同一连续型分布
【答案】C
【解析】直接应用辛钦大数定律的条件进行判断，C 项正确。事实上，应用辛钦大数定
律，随机变量序列{Xn，n≥l}必须是“独立同分布且数学期望存在”，A 项缺少同分布条件，
ε＝1，有
lim
P
n
n i 1
Xi
＜n
＝1，又
n i 1
Xi
＜n
n i1
X
i＜n
，
所以
lim
n
P
n i 1
X
i＜n
＝1。
3．设 Xn 表示将一硬币随意投掷 n 次“正面”出现的次数，则（ ）。
A． lim P{ Xn n x} (x)
n
n
B． lim P{ Xn 2n x} (x)
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解：设同时使用紫外线的分机数为 ， 设此单定安装的外线共有 条，则应用中心极限定理 又查表知
【答案】
【解析】题目要求我们计算
为此我们需要应用大数定律或依概率收
敛的定义与性质来计算。由题设知 X1，…，Xn 独立同分布：
且
，根据辛钦大数定律
4．设随机变量列 X1，X2，…，Xn…相互独立且同分布，则 X1，X2，…，Xn，…服从辛 钦大数定律，只要随机变量 X1______。
【答案】期望存在 【解析】辛钦大数定律的条件是 Xi 独立同分布，且期望存在，而切比雪夫大数定律的 条件是 不相关且方差有界。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(方差分析与回归分析)【圣才出品】
（4）各平方和的计算
Ti
=
mi j =1
yij，yi =
Ti mi
r
， T=
i =1
mi j =1
yij
=
r i =1
Ti，y
=
T n
r mi
则 ST
i1 j1
yij－y
2
r i 1
mi j 1
yij2－
T2 n
，fT＝n－1；
r
SA mi
i 1
yi－y
2
r
Ti
2
－
T
2
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n＝mr＝12。每个水平下的数据和以及总数据和为：
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茆诗松《概率论与数理统计教程》第 3 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 8 章 方差分析与回归分析
8.1 复习笔记
一、方差分析
1．单因子方差分析的统计模型
yij
=
+ai
+
ij
,i
=1,2,,r
r
ai =0,
i =1
之，无明显差别，这一方法称为 T 法。
3．重复数不等场合的 S 法
cij
r－1 F1- (r－1,
fe
)
1 mi
1 mj
ˆ 2
三、方差齐性检验（见表 8-1-2）
表 8-1-2 方差齐性检验
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四、一元线性回归
0 t1/2 n 2ˆ
1 x0 x 2
考研数学(三)题库 微积分(第八章 常微分方程)打印版【圣才出品】
7．方程 dy/dx＝y/x＋tan（y/x）的通解为（ ）。 A．sin（x/y）＝Cx B．sin（y/x）＝Cx C．sin（y/x）＝C/x D．sin（y/x）＝x＋C 【答案】B 【解析】原微分方程为 dy/dx＝y/x＋tan（y/x）。令 y/x＝u，则可变形为 u＋xdu/dx ＝u＋tanu，解得方程通解为 sinu＝sin（y/x）＝Cx。
4．如果二阶常系数非齐次线性微分方程 y″＋ay′＋by＝e－xcosx 有一个特解 y*＝e－x （xcosx＋xsinx），则（ ）。
A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1 C．a＝2，b＝1 D．a＝2，b＝2 【答案】D
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10．微分方程 y″－4y′＋5y＝0 的通解为（ ）。 A．ex（C1cos2x＋C2sin2x） B．C1e－x＋C2e5x C．e2x（C1cosx＋C2sinx） D．C1ex＋Ce－5x 【答案】C 【解析】原微分方程为齐次方程，其对应的特征方程为 r2－4r＋5＝0，解得 r＝2±i。 故方程通解为 y＝e2x（C1cosx＋C2sinx）。
8．一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得 y2/2＝－x2＋c，即曲线为椭 圆。
9．微分方程 xdy－ydx＝y2eydy 的通解为（ ）。
考研数学(三)题库 线性代数(第一章 行列式)打印版【圣才出品】
2．设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。 A．|A|＝|B| B．|A|≠|B| C．若|A|＝0，则一定有|B|＝0 D．若|A|＞0，则一定有|B|＞0 【答案】C 【解析】矩阵 A 经过若干次初等变换后得到矩阵 B，则存在可逆矩阵 P，Q 使得 B＝PAQ， 因此|B|＝|PAQ|＝|P|·|A|·|Q|，若|A|＝0，则必有|B|＝|P|·|A|·|Q|＝0 成立。
1
1
1 ，则|A|＝____。
0
【解析】行列式每列所含元素相同，可将其余各列均加到第一列上，提出公因子（n－
1）后，再计算。
n 1 1 1
1
2,3, ,n列加到第一列上 n 1 0 1
1
原式
n 1 1 0
1
n 1 1 1
0
11 1
1
101
1
n 1 1 1 0
1
11 1
0
11 1
1
2,3, ,n行＋1行1
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据题设条件可知
AB
2
2
2
22
2 2
2
1 2
1 3
2 2
2 B
1 3
A 2 B
2
2 3 2 3 2 3 3 3
3 3
二、填空题
2x 1 1
1．在函数 f x x x x 中，x2 的系数是____。
12x
【答案】－3
【解析】根据行列式的定义，能出现 x2 的只有以下两项：（－1）r（132）a11a23a32＋
0 1 0
0
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)章节题库(假设检验)【圣才出品】
第7章假设检验一、选择题1．在假设检验中，如果待检验的原假设为H0，那么犯第二类错误是指（）。
A．H0成立，接受H0B．H0不成立，接受H0C．H0成立，拒绝H0D．H0不成立，拒绝H0【答案】B【解析】直接应用“犯第二类错误”＝“取伪”＝“H0不成立，接受H0的定义，B项正确。
2．关于总体X的统计假设H0属于简单假设的是（）。
A．X服从正态分布，H0：EX＝0B．X服从指数分布，H0：EX≥1C．X服从二项分布，H0：DX＝5D．X服从泊松分布，H0：DX＝3【答案】D【解析】A、B、C三项的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而D项的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设。
3．设X 1，X 2， …，X 16为正态总体X ～N （μ，4）的简单随机样本，设H 0：μ＝0，H 1：μ≠0的拒绝域为{|X ＿|≥1/2}，则犯第一类错误的概率为（ ）。
A ．2Ф（1）－1B ．2－2Ф（1）C ．2－2Ф（1/2） D ．2Ф（1/2）－1 【答案】B【解析】由题设可知，X —～N （μ，1/4）()0,1N ，当u ＝0时，2X —～N （0，1）。
犯第一类错误的概率为P{|X —|≥1/2|μ＝0}＝P{|2X —|≥1}＝1－P{|2X —|＜1}＝1－P{－1＜2X —＜1}＝1－Ф（1）＋Ф（－1）＝2－2Ф（1），故选B 。
二、填空题1．设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N （μ，σ2）的简单随机样本，其中参数σ2未知，1ni i X X ==∑，2211()ni i Q X μ==-∑，2221()nii Q X X ==-∑，对假设H 0：σ2＝σ02，在μ已知时用χ2检验统计量为______；在μ未知时使用χ2检验统计量为______。
【答案】22122200Q Q σσ；【解析】这是一个关于正态总体方差σ2的假设检验问题。
在μ已知时选用χ2检验统计量为()()222221122100ni ni i i X X Q n μμχχσσσ==-⎛⎫-===⎪⎝⎭∑∑～在μ未知时选用χ2检验统计量为()()22222122210001ni ni i i X X X X Q n χχσσσ==-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭∑∑～2．假设X 1，X 2，…，X 36是取自正态总体 N （μ，0.04）的简单随机样本，其中μ为未知参数。
考研数学三经济ch8各章复习题目及答案
考研数学三经济ch8各章复习题目及答案第八章无穷级数一. 填空题(1) 设有级数∑∞=??? ??+121n nn x a , 若31lim 1=+∞→n n n a a , 则该级数的收敛半径为______. 解. 收敛半径R =3222||lim 11=++∞→n n n n n a . 答案为32.(2) 幂级数∑∞=--+112)3(2n n nn x n 的收敛半径为______. 解. 13||)3(2)3(21lim 2121211<=-+-++-+++∞→x xn x n n nn n n n n , 所以3||<="">(3) 幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛区间为______. 解. 11121limlim1=++=∞→+∞→n n a a n nn n , 所以收敛半径为1. 当x = 1时, 得级数∑∞=+111n n 发散, 当x = －1时, 得级数∑∞=+-11)1(n nn 收敛. 于是收敛区域为[－1, 1).(4) 幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为______.解. 21212)1(1lim lim11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a , 所以收敛半径为2. 当x = 2时, 得级数∑∞=121n n 发散, 当x = －2时, 得级数∑∞=--112)1(n n n 收敛. 于是收敛区域为[－2, 2).(5) 幂级数∑∞=-1)1(n nxn 的和函数为______.解.∑∑∑∞=∞=--∞=-=??? ??-=??=-=-222'2'212221)1(1)1()1(n n n n n nx x x x x x x xn xxn . 该等式在(－1, 1)中成立. 当x = ±1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以221)1()1(x x x n n n-=-∑∞=, (－1, 1).二. 单项选择题(1) 设∑∞==>1),2,1(0n n n a n a ，且收敛, 常数)2,0(πλ∈, 则级数∑∞=-12)tan ()1(n n n a n n λ(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关解. 因为∑∞=1n na收敛, 所以∑∞=12n na收敛. λλ=∞→n n n a a n n 22)(tan lim. 所以∑∞=12)t an (n n a n n λ和∑∞=12n na有相同的敛散性. 所以原级数绝对收敛.(2) 设)11ln()1(nu n-=, 则 (A) ∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛. (B) ∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散. (C) ∑∞=1n nu收敛, 而∑∞=12n nu(D)∑∞=1n nu发散,∑∞=12n nu收敛.解. 由莱布尼兹判别法∑∞=1n nu收敛,∑∑∞=∞=+=1212)11(ln n n nnu. 因为1)11(ln lim2=+∞n n ,∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=12n n u 发散. ( C)是答案. (3) 下列各选项正确的是 (A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛, 则∑∞=+12)(n n nv u收敛(B) 若||1nn n vu ∑∞=收敛, 则∑∞=12n n u 与∑∞=12n nv 都收敛 (C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥(D) 若级数∑∞=1n nu收敛, 且),2,1( =≥n v u n n , 则级数∑∞=1n nv收敛.解. )(22)(2222n n n n n n n n n v u v v u u v u +≤++=+. 所以(A)是答案.(4) 设α为常数, 则级数∑∞=-121sin n n n n α(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与α取值有关. 解. ∑∞=12sin n n n α绝对收敛, ∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=-121sin n n nn α发散. (B)是答案三. 判断下列级数的敛散性: (1)∑∞=+11sin )2ln(1n n n 解. 因为1ln 11sin )2ln(1lim =+∞→n n nn n , 所以∑∞=+11sin )2ln(1n n n 和∑∞=1ln 1n n n 有相同的敛散性. 又因为∞+2ln 1dx x x 发散, 由积分判别法知∑∞=1ln 1n n n 发散. 所以原级数发散. (2))0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n解. 因为11)1)()(1(1lim 3=+++-+∞→n n a n a n a n , 所以)0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n 和∑∞=131n n 有相同的敛散性. ∑∞=131n n 收敛, 所以原级数收敛. (3) ∑∞=1!3n n n nn解. 13!3)1()!1(3lim lim111>=++=++∞→+∞→en n n n u u nn n n n nn n , 所以级数发散. (4) ∑∞=+12)/1(n nn n n 解. 10/1)(lim )/1(lim 22<=+=+∞→∞→n n n n n n n n n n n , 所以级数收敛. (5) ∑∞=12)!2()!(n n n解. 141)12)(22()1(lim )!22()!1()!1(lim lim21<=+++=+++=∞→∞→+∞→n n n n n n n n n u u n n nn n ，所以级数收敛. (6)∑∞=-1)ln 1(n nnn 解. 考察极限yy y n y nn n y y nn 10)ln 1(lim 11)ln 1(lim+=-+→∞→令令yy y u y1)ln 1(+=, y y y y y u ln )ln 1ln(ln -+=11ln ln 11ln lim ln )ln 1ln(lim lim ln ln lim 0000--++=-+==++++→→→→y yy y y y y y y u u y y y y =0ln 1ln 1ln ln 1ln lim 20=+----++→y y y y y y y y y所以1lim 0==+→e u y , 即原极限为1. 原级数和∑∞1n n 有相同的敛散性. 原级数发散.四. 判断下列级数的敛散性(1) ∑∞=++-11312)1(n nnn n解. 因为321312lim =??? ??++∞→n n n n n , 所以∑∞=??++11312n nn n 收敛, 原级数绝对收敛. (2)∑∞=-+++-111)1(1)1(n nn n n解. 011)1(1lim=-+++∞→n n n n , 令11)1(1)(-+++=x x x x f 当x > 0时, 0]11)1[(1121)1()('22<-++-++-=x x x x x f , 所以数列?-+++11)1(1n n n 单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛. 因为1111)1(1lim =-+++∞→nn n n n , 而∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=-+++111)1(1n n n n 发散. 原级数条件收敛. (3)∑∞=+1)sin(n nn ππ解.∑∑∞=∞=-=+11sin)1()sin(n nn nn n πππ.因为ππ=∞→nn n 1sin, 又因为∑∞=-11)1(n n n , 条件收敛, 所以原级数条件收敛.(4)∑∞=--111tan)1(n n nn解. ∞→n limnn n n 11tan=1, ∑∞=11n nn收敛, 原级数绝对收敛.五. 求下列级数的收敛域:(1) ∑∞=+++12)1()1(n nn n x x解. 11)1(|1|lim 22<++=+++∞→x x n n x x n n n , 01<<-x当x =－1, 0时, 都得数项级数∑∞)1(1n n n , 收敛, 所以原级数的收敛域为[－1, 0]. (2) ∑∞=++-11212)1(n n nn x解. 1||12||lim 212<=++∞→x n x n n n , 于是1||<="" bdsfid="493" p=""> 当1=x 时, 得∑∞=+-1121)1(n nn , 收敛;当1-=x 时, 得∑∞=++-11121)1(n n n , 收敛. 于是原级数的收敛区域为[－1, 1]. (3)∑∞=--112212n n nx n解. 2||12||||212lim 212<<=--∞→x x x n n n n n ，. 当2±=x 时, 得数项级数∑∞=-1212n n 及∑∞=--1212n n , 通项都不趋于0, 发散. 该级数的收敛区域为)2,2(-. (4) ∑∞=?-129)1(n nnn x 解. 19|1|9|1|lim 22<-=?-∞→x n x n n n n . 当31±=-x 时得数项级数∑∞=11n n, 发散. 该级数的收敛区域为(－2, 4).六. 求下列级数的和: (1)∑∞=----112112)1(n n n n x 解. 1||12||lim 212<=--∞→x n x n n n 级数收敛, 所以收敛半径为1. 当1±=x 时都得到交错级数. 由莱布尼兹判别法知收敛. 所以收敛区域为[－1, 1].令 =)(x s ∑∞=----112112)1(n n n n x .=)('x s 2122111)1(x x n n n +=-∑∞所以x dx x dx x s x s xxarctan 11)(')(02=+==, [－1, 1]. (2)∑∞=+1)1(n n x n n 解. 1||||)1(lim <=+∞→x x n n n nn 收敛. 当1±=x 得∑∞=+1)1(n n n 及∑∞=+-1)1()1(n nn n 都发散.所以收敛区域为(－1, 1).∑∞==+1)1(n nx x n n 3''21''111)1(21)1(x x x x x x x x n n n n n n += +=??? ??+∑∑∞=∞=+-积分二次,(－1, 1)(3) ∑∞2)1(n nnn x 解. 12|1|2|1|lim <+=+∞→x n x n n n n , 所以当13<<-x 时收敛. 当1=x 时得数项级数∑∞=11n n , 发散; 当3-=x 时得数项级数∑∞=-11)1(n n n , 收敛. 于是收敛区域为[－3, 1).∑?∑∑--∞=--∞=∞=-=+=???? ??+=+x x n n x n n nn n n dx xdx x dx n x n x 1111'111122121212)1(2)1(=xx -=--12ln )1ln(2ln , [－3, 1).七. 把下列级数展成x 的幂级数: (1) x x x x f arctan 2111ln 21)(+-+=解. 由第六题第3小题知∑∞=----=112112)1(a r c t a n n n n n x x 所以 x x x x x x x f arctan 21)]1ln()1[ln(41arctan 2111ln 21)(+--+=+-+==∑∑∑∑∞=-∞=--∞=∞=--=--++-134********412)1(21)1(41n n n n n n n n n n n x n x n x n x , (－1, 1) (2) ? +=xdx xx x f 0)1ln()( 解. x x )1ln(+=∑∑∞=--∞=--=-11111)1()1(1n n n n n n nx n x x , (－1, 1] ∑?∑?∞=-∞=---=-=+=12101110)1()1()1ln()(n n n x n n n xn x dx n x dx x x x f由于∑∞=121n n收敛, 所以当1±=x 时上述级数都收敛. 所以∑?∞=--=+=1210)1()1ln()(n n n xn x dx x x x f , [－1, 1]。
概率论与数理统计(第三版)第四章课后答案
第四章数字待征4・1 解：£(X) = Vx p ；=iE (门=2＞少产09I•.甲机床生产的零件茨品数多于乙机床生产蹒件次融，又•.•两硼床的^的产量相同 ••.乙机床生产的豹的质量较好.4・2解；X 的所有可能取值为：3, 4, 5E(X) = Vxp. =3x0・l + 4x0.3 + 5x0.6 =4.5P{X= 5}=fl0.6尸心3}=P{X = 4} =00$T =0001*OOS-粹(000—畔1-了 +呻i =ooor z OOH护(x)/J =(y)jL l = £Oxt = ^ = CY)y (LO £)&-/!«审伽里必坊叱也範銮黔砲OK申站尋卄d .[(d_DT】= 二Y = — = ^-i)^Z= d^Z = Cr)j……£ = [ = “¥«_【対={—汕4.10裁见课本后面231页参考答秦心腿抿題1泊: 4.11解：设i酒为“，方差为(J：，则X~N( UP(A F>96)=1-P(X<96)= 1-P( )所以酸在60到84的抚率为P(60 S X S 84) = P(竺丄 < 丄上12 a4151)=20(1)-1-2x0.8413 ・1=0.68264.!2E(X 2) = OxO4+l :xO.3 + 22xO2+3:xO 1 = 2£(5X 2 + 4) = 4x0.4+(5xl 2 + 4)x0.3 + (5x22 + 4)x0 2+(5x3:+ 4)x0.1 = 14EQ ・)=£(2X) = F 2xe^dx =£( V) = H V |： + 不呦4.13 H ：=2(-厂)|； = 24 15聲看课本后面231页答案E(T) = E(<?4) = {「Q-3x4.14 H： r = —3设球的肓径为x 则：/(x) = ^-a■a<x<b其它4^Xi够胡_子)胡尹兄◎挣牛在 夕卜吕(》如4.16 解:仁(x)=匸/(〔>)4 = f. 12yd> = 4xf (v)=匸fg)e=j l lydx=12y -12y3£W =匸/「(X)•曲叮 4.X逐 WE(T)=匸/ (x) ydy = [ 12y -12y*d> = |E(AT)= [f f(x,y)xydxdy = [f 12xy dxdy = ' 12xtic =0<><xS 03 0 2E(X、心(环讼諒4.&=|£(丫)=匚/())y0 = fl2y°-12ydy =；4"解•.X与Y相互独立，■• •EQT) = E(X)E(D = f 疋还f〉/迪.二(扌斗：)J； "(4)°JO= jx(一“i|；+J；/•⑥)=亍［5 + (r 灯)卩彳x(5+l) = 44.18, 4.19, 4・20势看课本后面231, 232页答秦• 9•4上设X表示10颗骰子皈的点数之和，X （心1丄…10）表示第:颗般子出现的点«，则X^X:，且X\,X“・X*是*1独立同分布的，又E(A；)=1X1+2X1+...+6X1=A1o o 6 610 10 九^£(A^ = £(yXJ = X£W = 1Ox^ = 35MI Z64.22爹看课本后面232页答案4.23 E(X\ = OxO4 + l2xO.3 + 22xO2+35xO 1 = 2D(X)= £(X:)-[£(X)]2 =2-l2=l£(F2)=O X O.3+12X O5+22X O.2+32X O=1.3z)(y)=£(r2)-[£(r)j2=1.3-0.^ =0.49 4.24E（X：）叮斗皿+胆毎存*卜护+护|；十¥ = ¥DW = E(X:) - [E(X)f =y-4 = |Var(X) = E(X:)-[E(X)f =[我[[加r]，0 其它-1 < > < 1 其它4.25Zr(x) = {呼—0 其它二扌-1<X<10其它w •计 m 吏支ue >n ¥x =p > “轻H£5>^V 3«20)P A#・0Z —X GUNbl -%十»・x )4+・：+(E 4.+c r )4MKs s(T )Q +(电Q «(W+...+W +WQ »§(小)2•士小 N+示)3 Hf …咅麗&。
考研数学(三)题库 概率论与数理统计(第八章 假设检验)打印版【圣才出品】
第八章 假设检验一、选择题1．设总体X ～N （μ0，σ2），μ0未知，X 1，X 2，…，X n 为来自正态总体X 的样本，记X ＿为样本均值，S 2为样本方差，对假设检验H 0：σ≥2；H 1：σ＜2，应取检验统计量χ2为（ ）。
A ．（n －1）S 2/8B ．（n －1）S 2/6C ．（n －1）S 2/4D ．（n －1）S 2/2【答案】C【解析】χ2＝（n －1）S 2/σ2，，σ＝2。
2．在假设检验中，H 0表示原假设，H 1表示备择假设，则犯第一类错误的情况为（）。
A ．H 1真，接受H 1B ．H 1不真，接受H 1C ．H 1真，拒绝H 1D ．H 1不真，拒绝H 1【答案】B【解析】第一类错误：H 0为真，H 1非真，但是接受了H 1否定了H 0。
二、填空题()22111ni i S X X n ==--∑1．设X 1，X 2，…X 16是来自正态总体N （μ，22）的样本，样本均值为X ＿，则在显著性水平α＝0.05下检验假设H 0：μ＝5；H 1：μ≠5的拒绝域为____。
【答案】{|X ＿－5|≥0.98}【解析】已知σ2＝σ02＝22，设检验H 0：μ＝μ0；H 1：μ≠μ0，取检验统计量为，|u|≥u 1－α/2为拒绝域，其中，又u 1－α/2＝1.96，所以拒绝域为{|X ＿－5|≥0.98}。
2．设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N （μ，σ2）的样本，其中参数μ和σ2未知，记，，则假设H 0：μ＝0的t 检验使用的统计量T ＝____。
【解析】，其中又μ＝0，S 2＝Q 2/（n －1），所以3．设总体X ～N （μ0，σ2），μ0为已知常数，（X 1，X 2，…，X n ）为来自正态总体X 的样本，则检验假设H 0：σ2＝σ02；H 1：σ2≠σ02的统计量是____；当H 0成立时，服从____分()0X U μσ-=)52X u -=11ni i X X n ==∑()221n i i Q X X ==-∑X ()1X T t n Sμ-=-()22111n i i S X X n ==--∑X T =布。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)考研真题精选(统计量及其分布)【圣才出品】
根据抽样定理得：
n 1 S 2
2
:
2 n 1
＿
又X与 S2 相互独立，所以
n(X )
(n
1)S 2 2
/
(n
1)
n X : t n 1 S
X 1n X 2．设 X1，X2，…，X（n n≥2）为来自总体 N（μ，1）的简单随机样本，记
n
i， i 1
则下列结论中不正确的是（ ）。[数一 2017 研]
则（ ）。[数三 2018 研]
A． n X : t n S
B． n X : t n 1 S
C．
nX
S:t n NhomakorabeaD．
nX
S
:
t n 1
【答案】B
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【解析】因为
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X
:
N
,
2
n
所以
X : N 1,0
＿
＿
D 项，（X－μ）～N（0，1/n），则 n (X ) : N (0,1) ，所以 n（X－μ）2～
χ2（1）。
3．设 X1，X2，X3 为来自正态总体 N（0，σ2）的简单随机样本，则统计量 S
X1 X2 2 X3
服从的分布是（ ）。[数三 2014 研]
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2
且 X1 X 2 与 X3/σ 相互独立，故 2
X1 X2
2 X1 X 2 ~ t 1
X
2 3
2
X
2 3
2
二、填空题
＿
设 x1，x2，…，xn 为来自总体 N（μ，σ2）的简单随机样本，样本均值x＝9.5，参数 μ
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)章节题库(大数定律与中心极限定理)【圣才出品】
E
1 n
n
Yi
i 1
1 n
n i 1
EX 2i EX 2i1
0
D
1 n
n i 1
Yi
1 n2
n
DYi
i 1
1 n2
n i 1
DX 2i DX 2i1
2n 2 n2
2 2 n
2 2
根据切比雪夫大数定律得：
lim
n
P
1 n
n i 1
Yi
E
1 n
n
Yi
i1
lim
n i 1
Xi n n
x
＝______。
x
【答案】
1 et2 dt 2
【解析】因为 X1，X2，…，Xn 是相互独立的随机变量，且 Xi（i＝1，2，...，n）服从
参数为 λ 的泊松分布，所以 EXi＝λ，DXi＝λ 则由列维一林德伯格中心极限定理可得
lim
P
n i 1
Xi
n
x =
5．设随机变量 X1，…，Xn，…相互独立记 Yn＝X2n－X2n－1（n≥1），概括大数定律，
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1 n
当 n→∞时，
n
Yi
i 1
依概率收敛到零，只要{Xn，n≥l}满足（
）。
A．数学期望存在
B．有相同的数学期望与方差
i1
n n
3
lim
P
n
n i1
Xi
n 3
x
x
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取 x
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)考研真题精选(大数定律与中心极限定理)【圣才出品】
第 4 章 大数定律与中心极限定理
一、选择题
设 X1，X2，…，Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P（X＝0）＝P（X＝1）＝1/2，
Φ（x）表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得
P
100 再由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，
n
2 i
，EXi2＝θ。
i 1
故存在常数 a＝θ，使得对任意的 ε＞0，都有
lim
n
P{
ˆn
a
} 0
4/4
的近似值为
i1
（ ）。[数一 2020 研]
A．1－Φ（1）
B．Φ（1）
C．1－Φ（2）
D．Φ（2）
【答案】B
【解析】E（X）＝1/2，D（X）＝1/4，
E
100 i 1
Xi
50
，
D
100 i 1
Xi
25 ，
100
100
100
Xi 50
Xi 50
5 将 X i 标准化可得 i1 i 1
i 1
，由中心极限定理可知
5
近似服从标准正
态分布，
P
100 i 1
Xi
55
P
100 i 1
Xi 50 5
55 50 5
(1)
，故选 B 项。
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二、解答题
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设总体 X 的分布函数为
x2
F (x, ) 1 e x 0
n 2
i i 1
（Ⅲ）由于 X1，X2，…，Xn 独立同分布，显然对应的 X12，X22，…，Xn2 也独立同分布。
概率与数理统计历年考研试题及解答(数一、数三、数四).
概率与数理统计历届真题第一章 随机事件和概率数学一：1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。
2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
3（88，2分）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为。
4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为。
5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。
6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。
7（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）=。
8（91，3分）随机地向半圆0<y <22x ax -(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。
则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 。
9（92，3分）已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=161)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 。
10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。
近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案
7． （03）对于任意二事件 A 和 B ，（
）
1
（A）若 AB ≠ ∅，则 A, B 一定独立．
（B）若 AB ≠ ∅，则 A, B 有可能独立．
（C）若 AB = ∅，则 A, B 一定独立．
（D）若 AB = ∅，则 A, B 一定不独立．
解：设 AB = ∅，有 P( AB) = 0 ；设 A, B 独立，则 P( AB) = P( A)P(B) ，二者之间没有推导关系．
（D） A2 , A3 , A4 两两独立．
解：因 A3 A4 = ∅，且显然 P( A3 ) > 0, P( A4 ) > 0 ，有 P( A3 A4 ) = 0 ≠ P( A3 )P( A4 ) ，可知 A3 , A4 不独立，
故（B）、（D）是错误的；
又因为
P( A1)
=
1 2
=
P( A2 )
解：因 A ⊂ B ，有 P( A | B) = P( AB) = P( A) ≥ P( A) ， P(B) P(B)
选择：（B）．
3． （98）设 A, B, C 是三个相互独立的随机事件，且 0 < P(C) < 1 ，则在下列给定的四对事件中不相互独
立的是（
）
（A） A + B 与 C ． （B） AC 与 C ．
选择：（D）．
注：此题有误，不能由 P( A − B) = 0 推出 A − B = ∅．
2． （96）设 A, B 为任意两个事件且 A ⊂ B ， P(B) > 0 ，则下列选项必然成立的是（
）
（A） P( A) < P( A | B) ． （B） P( A) ≤ P( A | B) ． （C） P( A) > P( A | B) ． （D） P( A) ≥ P( A | B) ．
考研数学(三)题库 微积分(第四章 向量代数和空间解析几何)打印版【圣才出品】
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1 2 1
sin r r l gn
0 0 63
9．方程 x2/2＋y2/2－z2/3＝0 表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）。 A．x 轴 B．y 轴 C．z 轴 D．直线 x＝y＝z 【答案】C 【解析】由于选项中有三项均为坐标轴，可先考虑旋转轴是否为坐标轴，观察曲面方程 x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等， 则应选 D 项）
A．|a＋b|＝|a|＋|b|
→→
→
→
B．|a＋b|＝|a|－|b|
→→
→→
C．|a＋b|＝|a－b|
→→→→
D．a＋b＝a－b
【答案】C
→→
→→
【解析】由向量与平面几何图形之间的关系可知，a⊥b时，以a，b为边的四边形为矩
→→
→→
→→
→→
形，且|a＋b|与|a－b|均是该矩形的对角线长，则必有|a＋b|＝|a－b|。
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→→→
→ →→
→→
3．设三向量a，b，c满足关系a＋b＋c＝0，则a×b＝（ ）。
→→A．c×b→→源自B．b×c→→C．a×c
→→
D．b×a
【答案】B
→ →→
→ →→
→
→→ →→
→→
→→ →→
【解析】a＋b＋c＝0⇒（a＋b＋c）×b＝0⇒a×b＋c×b＝0⇒a×b＝－c×b＝b×c。
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（ ）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面 【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲 面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)配套题库-章节题库-第1~3章【圣才出品】
与 C 不独立。
B 项，又 P（A|BC）＝P（ABC）/P（BC）＝（1/8）/P（BC），而 P（BC）＝P（ABC）
—
＋P（ABC）＝1/8＋1/4＝3/8，所以，P（A|BC）＝（1/8）/（3/8）＝1/3≠P（A），故 A
与 BC 不独立。
C 项，P（B|AC）＝1≠P（B），故 B 与 AC 不独立。
【答案】D
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【解析】D 项，
P( A)
P(B)
1 2
, P(C)
C30
(
1 2
)0
(
1 2
)3
C31
(
1)( 2
1 2
)2
1 2 23
1 2
P（C|AB）＝1/2＝P（C），故 C 与 AB 独立。
A 项，P（A|C）＝P（AC）/P（C）＝[（1/2）·（1/4）]/（1/2）＝1/4≠P（A），故 A
【解析】由于 A 与 B 不相容，故 B A，于是 P（A－B）＝P（AB）＝P（A）。
2．设事件 A 与事件 B 互不相容，则（ ）。
——
A．P（AB）＝0
B．P（AB）＝P（A）P（B）
C．P（A）＝1－P（B）
——
D．p（A∪B）＝1
【答案】D
——
——
【解析】由题意可知ห้องสมุดไป่ตู้P（AB）＝0⇒P（AB）＝l，即 p（A∪B）＝1。
6．将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件 A 表示“第一次出现偶数点”，事件 B 表示“第 二次出现奇数点”，事件 C 表示“偶数点最多出现一次”，则（ ）。
A．A，B，C 两两独立 B．A 与 BC 独立 C．B 与 AC 独立 D．C 与 AB 独立
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2
C． N 8, 13
2
D． N 1, 5
【答案】C 【解析】因为 X，Y 服从正态分布，且相互独立，则二者的线性组合服从正态分布，又 E（Z）＝E（3X－2Y）＝3E（X）－2E（Y）＝8 D（Z）＝D（3X－2Y）＝9D（X）＋4D（Y）＝13 故 Z～N（8，13）。
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第四章 随机变量的数字特征
一、选择题
1．若离散型随机变量 X 的分布列维持 P{X＝（－1）n·2n}＝1/2n（n＝1，2，…），则 E
（X）＝（ ）。
A．2
B．0
C．ln2
D．不存在
【答案】D
【解析】 E
X
n1
1
n
2n
1 2n
n1
n
1 ，该级数发散，故 X 的数学期
望不存在。
2．设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从于 N（0，1）和 N（1，1），则（ ）。 A．P{X＋Y≤0}＝1/2 B．P{X＋Y≤1}＝1/2 C．P{X－Y≤0}＝1/2 D．P{X－Y≤1}＝1/2 【答案】B 【解析】令 Z＝X＋Y，则 Z～N（1，2），则 P{Z≤1}＝1/2。
D X Y D X DY 2 D X DY XY
且 D（X）≠0，D（Y）≠0。故 D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）⇔ρXY＝0（X，Y 不相 关）。
11．对于任意两随机变量 X 和 Y，若 D（X）及 D（Y）均存在且大于 0，则与命题“X 和 Y 不相关”不等价的是（ ）。
A．E（XY）＝E（X）E（Y）
8．设随机变量 X、Y 有正的方差，若ρXY＝0，则（ ）。 A．X，Y 相互独立 B．E（XY）＝E（X）E（Y） C．X，Y 互不相容 D．以上结论都不成立 【答案】B 【解析】因为ρXY＝0，故 Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝0，即 E（XY） ＝E（X）E（Y）。
9．设随机变量 X1，X2，…，Xn（n＞1）独立同分布，且其方差σ2＞1。令 Y
7．设 X，Y 是两个随机变量，其相关系数存在，则下列命题正确的是（ ）。 A．X，Y 不相关⇒X，Y 不相互独立 B．X，Y 相互独立⇒X，Y 不相关
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C．X，Y 不相关⇒X，Y 相互独立 D．X，Y 相关⇒X，Y 相互独立 【答案】B 【解析】若 X，Y 相互独立，则 Cov（X，Y）＝0，ρXY＝0，即 X，Y 不相关。
解得 a＝±0.2， b 10a 2 。
6．设随机变量 X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρXY＝1，则（ ）。 A．P{Y＝－2X－1}＝1 B．P{Y＝2X－1}＝1 C．P{Y＝－2X＋1}＝1 D．P{Y＝2X＋1}＝1 【答案】D 【解析】令 Y＝aX＋b，因为 X～N（0，1），Y～N（1，4），则 E（Y）＝aE（X）＋b ＝1，得 b＝1，D（Y）＝a2D（X）＝4，则 a＝±2。 又ρXY＝1，则 a＞0，故 a＝2。故应选 D。
Cov
X
1
,
1 n
n i 1
Xi
1 n
Cov
n
X1,
i 1
Xi
1 n
Cov
X1,
X1
Cov
X1,
X
2
Cov
X1,
Xn
1 n
D
X1
0
0
0
2 n
10．设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）是 X 和 Y（ ）。
A．不相关的充分条件，但不是必要条件 B．独立的充分条件，但不是必要条件 C．不相关的充分必要条件 D．独立的充分必要条件 【答案】C 【解析】因为
而 D（X）＞0，D（Y）＞0，Cov（X，Y）＝0⇔“X 和 Y 不相关”，
故选项 A、B、D 均与 X，Y 不相关等价。
12．随机变量 X、Y 都服从正态分布且不相关，则它们（ ）。 A．一定独立 B．（X，Y）一定服从二维正态分布 C．未必独立 D．X＋Y 服从一维正态分布 【答案】C 【解析】只有当随机变量 X，Y 的联合分布是二维正态分布时，才能保证它们“不相关” 与“独立”等价。当 X，Y 都服从正态分布且不相关时，它们的联合分布未必是二维正态分 布，X＋Y 也未必服从一维正态分布。
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B．Cov（X，Y）＝0
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C．DY）＝D（X）＋D（Y）
【答案】C
【解析】设对于任意两个随机变量 X，Y，则
D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）＋2Cov（X，Y）
Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）
1 n
n i 1
Xi
则（ ）。
A．Cov（X1，Y）＝σ2/n
B．Cov（X1，Y）＝σ2
C．Cov（X1，Y）＝（n＋2）σ2/n
D．Cov（X1，Y）＝（n＋1）σ2/n
【答案】A
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【解析】
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Cov X1,Y
5．随机变量 X 的数学期望为 10，方差为 25，而 Y＝aX＋b 满足 E（Y）＝0，D（Y） ＝1，则常数 a，b 的取值为（ ）。
A．a＝0.2，b＝2 或 a＝0.2，b＝－2
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B．a＝－0.2，b＝－2 或 a＝－0.2，b＝2 C．a＝0.2，b＝2 或 a＝－0.2，b＝－2 D．a＝－0.2，b＝2 或 a＝0.2，b＝－2 【答案】D 【解析】∵E（X）＝10，D（X）＝25，Y＝aX＋b ∴E（Y）＝E（aX＋b）＝aE（X）＋b＝10a＋b＝0 D（Y）＝D（aX＋b）＝a2D（X）＝25a2＝1
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3．若随机变量 X 和 Y 的协方差 Cov（X，Y）＝0，则以下结论正确的是（ ）。 A．X 与 Y 相互独立 B．D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y） C．D（X－Y）＝D（X）－D（Y） D．D（XY）＝D（X）D（Y） 【答案】B 【解析】D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）＋2Cov（X，Y）＝D（X）＋D（Y）＋0。