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八年级上册政治时政点评题

八年级上册政治时政点评题
例题：《中学生时事报》需要聘请特约评论员对下面这段时事资料进行分析和点评。

请你来试一试。

党的十六大以来，我国经济保持平稳快速发展，连续六年达到10%以上的增长速度。

2007年，国内生产总值达到24.66万亿元，比2002年增长65.5%，从世界第六位上升到第四位。

人均国内生产总值超过2000美元，成为世界第一大外汇储备国。

根据国际经验，人均国内生产总值从1000美元到3000美元，是一个国家发展的关键阶段。

在这个阶段存在两种可能性，既可能因为举措得当而促进经济快速发展和社会平稳进步，也可能因为应对失误而导致经济徘徊不前和社会长期动荡。

答：党的十六大以来，我国经济保持平稳快速发展，连续六年达到10%以上的增长速度。

强调了经济增长之快，可以用党的基本路线：以经济建设为中心。

或者社会主义的根本任务。

再或是”三个代表“中的始终代表中国先进生产力的发展要求。

还强调了，在党的16大以后，中国取得的成就。

说明在党的领导下，中国有了很大的发展，可以用“党的作用”。

2007年，国内生产总值达到24.66万亿元，比2002年增长65.5%，从世界第六位上升到第四位。

人均国内生产总值超过2000美元，成为世界第一大外汇储备国。

这说明，中国的综合国力在日益增强。

用“背后支撑者一切的是日益增强的综合国力”。

绝对值--点评

准确把握内容，有效进行教学——评“绝对值（第一课时）”一、抓住教学核心，逐步实现过渡本节是一节概念课，教师注重概念形成的过程。

从不同的实际问题中，抽象出绝对值的概念，并且教师对绝对值概念的内涵与外延的联系与区别认识的非常到位。

在教学中，借助数轴，得到了绝对值的定义。

再通过引导学生，概括出绝对值的性质，并从几何、代数两个角度，求具体数的绝对值，又上升为符号|a|，加强学生对概念的理解，之后对概念进行辨析。

通过三种数学语言及其转化，渗透数形相依、分类讨论的思想方法。

二、设计有效活动，突出学生主体在抽象出绝对值概念的过程中，教师设计的很有层次，通过三个实际情境引入概念，从情境一、情境二中的教师举例，教师建系，到情境三中的教师举例，教师建系，再到学生举例，学生建系，学生在教师层层递进的引导下，体验了将实际问题数学化的过程。

在探索绝对值的性质的活动中，教师利用例题1中7个绝对值的计算结果，引导学生进行观察，猜想，发现规律。

学生先独立思考，再相互交流，师生共同总结得出绝对值的性质。

在此活动中充分体现了学生的主体和教师的主导作用，而且渗透了由特殊到一般和分类讨论的思想方法，让学生经历了如何发现性质的活动过程，培养了学生基本的活动经验。

这一系列活动，让学生去思考、去表达、去展示。

这些活动是冷静的思考，不是表面上的热闹非凡；这种活动是真实自然的，不是为了活动而活动，活动成为学生表达思想的需要；同时这些活动又深藏着热烈，这种热烈来源于问题的不断深入，伴随着活动逐个完成，学生的主体地位得到了体现，思维得到锤炼，在这种锤炼中，每个人都收获了成长。

三、合理使用技术，实现课堂高效在教学中，对于实际问题的抽象，教师通过PPT的动画功能，给予学生直观的认识，这有益于提高学生的抽象思维能力。

同时，引导学生将实际问题数学化，提高了学生的数学建模的意识。

四、选择适当情境，渗透爱国主义教育教学中，通过情境一的问题，在教学中渗透了爱国主义教育。

高考数学复数典型例题附答案

1, 已知复数求k的值。

的值。

解：解：，∴由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评：点评：(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小，均为实数。

均为实数。

比较大小，更无正负之分，因此，（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z，且R；且R。

2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。

的值，并求出此实根。

解：设为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得，消去m得，故得当时得，原方程的实根为；当时得，原方程的实根为。

点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。

充要条件求解。

3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。

的取值范围。

解：设，。

由得①对应点在第二象限，故有对应点在第二象限，故有②又由①得③由③得，即，∴，∴④于是由②，④得，即于是由②，④得再注意到a<0，故得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。

此外，这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。

4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）；的实部与虚部都是整数。

（2）z的实部与虚部都是整数。

，则解：设，则由题意，∴∴y=0或（Ⅰ）当y=0时，，，∴由得①∴由注意到当x<0时，；当x>0时，，此时①式无解。

此时①式无解。

（Ⅱ）当时，由得∴又这里x，y均为整数均为整数∴x=1，或x=3，，∴或于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。

的值。

（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。

特征。

解：解：（1）解法一：解法一：由于∴由解：由题意得1z的两个方程R∴=122ab2|=2∴4=4=1=41515i151zz z=02z，下同解法一这些都是解决复数问题的常用方法2的最小值|=11)i133=1时，上式取等号zz 2200220001452225x x x x x æö+++++ç÷èø455225+222z 224(4)4z a -+132(4)413a -+222AC ABz z w ()(03313333z z yi y x x - 33333x )33设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()3,3Q x y x y +-仍然在该直线上仍然在该直线上 ()()()33313x y k x y b k y k x b Þ-=++Þ-+=-+当0b ¹时，方程组()3113k k kì-+=ïíï-=î无解无解当0b =时，()231333230313或k k k k k k-+-=Þ+-=Þ=-Þ存在这样的直线，其方程为333或y x y x ==-16, 判断下列命题是否正确 (1) (1)若若C z Î, , 则则02³z (2) (2)若若,,21C z z Î且021>-z z，则21z z > (3) (3)若若b a >，则i b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（的点的轨迹是（））A.A.椭圆椭圆椭圆B. B. B.直线直线直线C. C. C.线段线段线段D. D. D.圆圆 18,.211<<-+=w w 是实数，且是虚数，设z z z.的实部的取值范围的值及求z z 解析解析是虚数z yix yi x z z +++=+=\1)(1w 可设 i yx y y y x x x y x yi x yix)()(222222+-+++=+-++=,0¹y 是实数，且w 1,0112222=+=+-\y x y x 即 ,1=\zx 2=w 此时22121<<-<<-x 得由w)1,21(,121-<<-\的实部的范围是即z x圆锥曲线圆锥曲线一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．数学思想的掌握情况．例1．从集合{1,2,3,,11,11}} 中任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||1111,,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（内的椭圆的个数是（）A 、43B 43 B、、72C 72 C、、86D 、90解：解：根据题意，根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．的正整数．但是当但是当m n =时22221x y m n +=是圆而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆有8972´=个．本题答案选B ．例2．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=______________．．解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++== 例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；的最大值；（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．的方程．解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214x b +=，解得21221xb =±-，，所以1212S b x x =- 2222111b b b b =-£+-= ．当且仅当22b =时，S 取到最大值1．（Ⅱ）由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî，得2221()2104k x kbx b +++-=，2241k b D =-+① 2121AB k x x =+- 2222411214k b k k -+=+=+．②．②AyxOB例3图设O 到AB 的距离为d ，则21Sd AB ==，又因为21b d k=+，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=，解得212k =，232b =，代入①式检验，0D >，故直线AB 的方程是的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．方法和综合解题能力．二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．的基本技能和基本方法进行考查．例4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAFD 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（，则两条渐近线的夹角为（）A ．30º．30ºB ．45º．45ºC ．60º．60ºD ．90º．90º解：解：D D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x abc-=>>=的焦点右准线方程，x ab y =渐近线，则),(2c ab c a A ，所以2212a c ab c S OAF =´´=D ，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90°，故选D ．点评：本题考查双曲线中焦距，本题考查双曲线中焦距，准线方程，准线方程，准线方程，渐近线方程，渐近线方程，渐近线方程，三角形面积，三角形面积，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．渐近线夹角等知识的综合运用．例5． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（的最大值为（））A. 6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时三点共线时所求的值最大，此时12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．例例6．已知双曲线222x y -=的左、的左、右焦点分别为右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．点．（Ⅰ）若动点M 满足1111F M F A F B FO=++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；的轨迹方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．明理由．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（Ⅰ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，，由1111F M F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++ìí=+î，即12124x x x y y y +=-ìí+=î，，于是AB 的中点坐标为422x y -æöç÷èø，．当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y yxx x x-==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB为常数．为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-¹±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k mm m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．为常数．三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．例例7．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-；由抛物线上的点00(,)M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y，即M 点的纵坐标为1516，故选B ．例8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)l >．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM AB为定值；为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f l =的表达式，并求S 的最小值．的最小值．解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0l >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →，即得1122(,1)(,1)x y x y l --=-，îïíïì－x 1＝λx 2 ①①1－y 1＝λ(y 2－1) 1) ②② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2y 2 ③③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－＝－44λy 2＝－＝－44，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x (x－－x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x (x－－x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为的坐标为((x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－，－1)1)1)．．所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－，－2)2)2)··(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，其值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM ABM 中，中，FM FM FM⊥⊥AB AB，因而，因而S ＝12|AB||FM||AB||FM|．．|FM||FM|＝＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)4)＋＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．＋＋λ＋λ)＝|AB||FM||AB||FM|＝(λ＋λ)λ＋1λ≥2m ÷ø，m+=m +=2my -，2my -，211-+122y y +-24m - Oyx1 1- l FP B QMFO Axyyy P BOA 1d 2d2q解：（Ⅰ）在P AB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．方程为：2211x y l l -=-．（Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即21115110112l l ll l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l l ì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k l l l =--=--．因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l l l -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î．由①②知，51223l -£<．。

山东省高中信息技术学业水平考试试题点评及反思

信息技术教学*********************39JUL. 2020 NO.13-14山东省高中信息技术学业水平考试试题点评及反思张波山东省枣庄市教育科学研究院刘敬国山东省滕州市第五中学《普通高中信息技术课程标准（2017年版2020年修订）》明确要求要构建基于学科核心素养的评价体系，推动数字化时代的学习创新。

高中信息技术学业水平等级考试一方面作为衡量高中学生学科学业标准的依据，另一方面为高校选拔学生提供支撑，考试具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度，在考查知识和技能的同时，注重考查能力。

目前，山东省已经实施信息技术学业水平合格考试，考试题目指向明确，测评效果充分显现。

● 高中信息技术学业水平测试的试题特点信息技术学业水平测试是检验学校教学效果，考查学生知识水平、实践操作能力、解决问题能力的一种手段，是促进教学质量的提高、促进学生信息技术学科核心素养的提升的有效途径。

因此，学业水平测试试题的编制、试题的覆盖范围、考查维度、区分度等，就显得尤为重要。

通过对多次考试的试题的分析和研究，笔者发现学业水平测试试题具有如下特点。

1.强化价值引领，落实立德树人“立德树人”是教育的根本任务，也是课程设计的指导思想，它在具体的题目设计中引导学生认识健康的技术价值追求，提高学生在信息社会中生存、发展与创新的能力。

例题：下列行为符合网络道德规范的是（）。

A.聊天时对网友不礼貌地用语言反唇相讥，任意谩骂B.帮助网友解密正版杀毒软件，延长使用期C.在论坛上，对别人发布的“计算机故障”求助，给予帮助D.将自己购买的正版软件复制给他人使用该题主要考查学生合理利用网络技术、遵守网络文明公约、正确对待知识产权问题。

这类题目的考查目的是要让学生在网络世界中认识到自己的信息社会责任，要能够自觉遵守相关法律法规与伦理道德规范。

该题属于提升学生信息意识、强化学生信息社会责任的内容，对学生以上两方面的素养养成，具有方向引领的作用。

组合典型例题解析

组合典型例题解析【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能？（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A210=90（种）.（2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.组合数为C210=45（种）.（3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.组合数为C210=45（种）.（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.排列数为A210=90（种）.（5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C310=120（种）.（6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A310=720（种）.点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.【例2】写出从五个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数.解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑.a b bc c cd ddc d e d de ee e e根据树形图，所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.组合数为C35=10（个）.点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.【例3】已知n 5C 1－n 6C 1＝n 710C 7，求C n8的值. 解：由组合数公式可得!7)!7(!107!6)!6(!!5)!5(!n n n n n n -⋅=---. 化简得n 2－23n ＋42＝0. ∴n ＝21或n =2. ∵n ≤5，∴n ＝2.∴C n 8＝C 28＝28.点评：本题先求n 值，再求组合数.化简时常用公式C m n =)!(!!m n m n -，计算时常用C m n =m mm n A A .【例4】计算（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2100；（2）A 23+A 24+A 25+…+A 2100. 解：（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2100 =（C 33+C 23）+C 24+C 25+…+C 2100－C 33 =（C 34+C 24）+C 25+…+C 2100－C 33 =C 3101－C 33=166649. （2）A 23+A 24+A 25+…+A 2100 =A 22（C 23+C 24+…+C 2100）=2×166649=333298.点评：注意题中对公式C m n +C 1-m n=C mn 1+及A m n =C m n ·A mm 的应用.若逆用公式C m n +C 1-m n =C m n 1+也可解决（1）.即将公式变形，C 1-m n =C m n 1+－C m n ，则有C 23+C 24+C 25+…+C 2100=（C 34－C 33）+（C 35－C 34）+（C 36－C 35）+…+（C 3101－C 3100）=C 3101－C 33=166649.【例5】解下列方程：（1）C 2n =66；（2）C n10=210；（3）C n 18=C 6318-n .解：（1）由原方程，得2)1(-n n =66，即n 2－n －132=0. 解得n =12或n =－11. ∵n ≥2，∴n =－11舍去. 经检验n =12是原方程的解.（2）根据性质C m n =C m n n-知，只需将n =1，2，3，4，5代入C n10=210中一一验证，解得C 410=210，又C 610=C 610，∴n =4或n =6.经检验，n =4，n =6都是原方程的解.（3）由原方程得n =3n －6或18－n =3n －6， ∴得n =3或n =6.经检验，n =3，n =6都是原方程的解.点评：（1）解C m n =a 型的方程有两类：一类已知m 求n ；另一类已知n 求m .对于前者，只需利用组合数公式转化为关于n 的m 次方程；对于后者，一般可将未知数的值用1，2，…依次代入验证求解.但在解这类方程时，必须注意检验，不仅要注意0≤m ≤n ，n ＞0，m ，n∈Z ，而且要注意组合数性质C m n =C mn n-的运用，以防止失根. （2）解C x n =C yn 型的方程，要注意两种情形，即x =y 或x =n －y ，同时要注意n ≥x ≥0，n ≥y ≥0，n ＞0，x ，y ，n ∈Z .【例6】解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.1C 3111C ,2C C x n x nx n x n解：∵C x n =C x n n -=C xn 2，∴n －x =2x .∴n =3x .又由C 1+x n =311C 1-x n 得 )!1()!1(!--+x n x n=311·)!1()!1(!+--x n x n .∴3（x －1）!（n －x +1）!=11（x +1）!（n －x －1）!. ∴3（n －x +1）（n －x ）=11（x +1）x . 将n =3x 代入得6（2x +1）=11（x +1）. ∴x =5，n =3x =15.经检验，⎩⎨⎧==15,5n x 是原方程组的解.点评：本题也可利用组合数公式的变形式，将C 1+x n ，C 1-x n 都用C xn 来表示，即C 1+x n =1+-x xn C xn ，C 1-x n =1+-x n x C x n ，从而方程C 1+x n =311C 1-x n 可化为1+-x x n C x n =311×1+-x n x C xn ，约去C xn ，可得解.代入组合数公式，展开成阶乘形式直接求解，是解方程的基本方法，读者要好好掌握.而利用组合数的变形式，直接消去相同的非零公因式，则可以避免不必要的烦琐计算，可使计算简化，同时体现了数学中整体消元的思想方法.【例7】高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中取出3名同学参加活动.（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？解：（1）从余下的34名学生中，选取2名有C 234=561（种）.答：不同的取法有561种.（2）从34名可选学生中，选取3名，有C 334种.或者C 335－C 234=C 334=5984（种）.答：不同的取法有5984种.（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C 120C 215=2100（种）.答：不同的取法有2100种.（4）选取2名女生有C 120C 215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式 N = C 120C 215 +C 315=2100+455=2555（种）.答：不同的取法有2555种.（5）选取3名的总数有C 335，因此选取方式共有N =C 335－C 315=6545－455=6090（种）. 答：不同的取法有6090种. 点评：（1）一般地说，从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的组合，其中某一元素必须在内的取法有C 11--m n 组合.（2）从n 个不同元素里，每次取出m 个元素的组合，其中某一元素不能在内的取法有C m n 1-种.（3）从n 个元素里选m 个不同元素的组合，限定必须包含（或不包含）某个元素（或p个元素）.解这种类型的题目，一般是将所给出的集合分成两个子集，一个是特殊元素的子集，另一类是一个非特殊元素组成的子集.在解题时，就把问题分解成两步：先在特殊元子集中组合，再从非特殊元子集中组合，最后根据乘法原理得整个问题的组合数.（4）正确理解“至少”“至多”“恰有”等词语的含义，要根据题设条件仔细研究，恰当分类，运用直接法或者运用间接法来求解.【例8】在一个圆周上有n个点（n≥4），用线段将它们彼此相连，若这些线段中的任意3条在圆内都不共点，那么这些线段在圆内共有多少个交点？解：虽然可以算出共有C2n条线段，但这些线段在圆内不一定有交点，所以必须考虑怎样的两条线段在圆内有交点？如图，交于圆内点P的两条线段AB与CD的端点必不重合，即每个圆内的交点取决于圆周上的四个点；反之，圆周上的每4个点，虽然可连成C24=6条线段，但它们在圆内的交点有且只有一个，这样，每个圆内的交点与圆周上每4个点之间建立了一一对应关系，所以这些线段在圆内共有交点个数为C4n个.【例9】10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双.解：（1）从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法.根据乘法原理，选取种数为N=C410·24=3360（种）.答：有3360种不同取法.（2）从10双鞋子中选取2双有C210种取法，即45种不同取法.答：有45种不同取法.（3）解法一：先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法.根据乘法原理，不同取法为N=C110C29·22=1140（种）.解法二：先选取一双鞋子有C110种选法，再从18只鞋子中选取2只鞋有C218种，而其中成双的可能性有9种.根据乘法原理，不同取法为N=C110（C218－9）=1140（种）.答：有1140种不同取法.点评：本题解决的办法是将“事件”进行等价处理，如第一问“4只鞋子没有成双的”相当于这四只鞋子来自于4双.因此分两步完成，第一步取四双鞋，第二步从每双鞋中各取一只.希望同学们好好地体会这种思想方法.【例10】某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？A B524解：设A=｛排版｝，B=｛印刷｝，如图.对B∩A中的四人进行分类.（1）4人全部选出，此时完成这件事还需从其余7人中选出2人排版.这相当于从4人中选出4人印刷，从7人中选出4人制版，故有C44C47=35种选法.（2）4人中选出3人，此时还需从A∩B中选出一人去印刷，然后再从剩下的6人中选出4人制版，故有C34·C12·C46=120种取法.（3）4人中选出2人，此时还需从A∩B中选出两人去印刷，然后再从A∩B中选出4人制版，故有C24·C22·C45=30种取法.根据分类计数原理，共有35+120+30=185种不同的选法.点评：（1）本题属于交叉问题（A∩B有2个元素），此类问题要借助集合知识按块进行分类讨论.（2）也可按A∩__B分成三类，C45·C46+C35·C12·C45+C25·C22·C44=185.（3）还可按A∩B分类，但较麻烦，同学们不妨试一试.【例11】有6本不同的书.（1）分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法？（2）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（3）分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，一人得3本，有多少种分法？（4）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？（5）平均分成三堆，有多少种分法？（6）分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？（7）分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？解：（1）甲先取2本有C26种方法，乙再从余下的4本书中取2本有C24种方法，丙取最后2本书有C22种方法，因此总共有C26·C24·C22=90种方法.（2）同（1）有C16·C25·C33=60种分法.（3）三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人中谁是甲、乙、丙可有A33种方法，所以共有C 16·C 25·C 33·A 33=360种分法.（4）同（2）有C 16·C 25·C 33=60种分法.（5）同（2）有C 26·C 24·C 22种分法，下面对其正确性进行研究：设a ，b ，c ，d ，e ，f 六本书，则C 26中有可能为a 、b ，C 24可能为c 、d ，C 22可能为e 、f ，即有一分堆方法：a 、b ，c 、d ，e 、f ；同时C 26中也有可能为c 、d ，C 24中可能为e 、f ，C 22可能为a 、b ，显然这种分组方法同上，故C 26·C 24·C 22种方法中有重复，应剔除.注意到a 、b ，c 、d ，e 、f 的所有排列只对应一种分堆方法，故分堆方法应为33222426A C C C ⋅⋅=15种方法. 本题还可用下面的方法处理：设每堆2本的分法为x .分给甲、乙、丙每人两本，则可分步进行，先平均分成3堆，有x 种方法，再将3堆不同的书送给3位同学，有A 33种方法.所以x ·A 33=C 26·C 24·C 22，∴x =15.（6）同（5），有222222241516A A C C C C ⋅⋅⋅⋅=45种方法. （7）同（5）（6）有222222241516A A C C C C ⋅⋅⋅⋅·A 44=1080种方法. 点评：（1）以“书”为主元素比以“人”为主元素考虑要方便. （2）平均分组应防止重复.（3）平均（部分均匀）分成m 组，则需除以A m m ，若有序，则再乘以全排列. （4）复杂问题（如（7））可先组合（分组）后排序. 【例12】（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“|”看作隔板，则如图00|0000|0000|00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C 311=165种.答：每盒至少有一个小球，有165种不同放法.（2）因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型.将三块隔板与12个球排成一排，则如图000||00000|0000中隔板将这一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法.排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有C315个选法即排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有C315种，即球的放法有C315=455（种）.答：允许空盒，有455种不同的放法.（3）解法一：用（1）的处理问题的方法.将1个，2个，3个小球分别放在编号为2，3，4的盒子中，将余下的6个小球分别放在四个盒子中，每个盒子至少一个小球，就确定了一种放法.将三块隔板放在6个小球的间隔中，有C35=10种插法，所以不同的放法总数等于余下的6个小球分别放入四个盒子（每盒至少1个）的不同放法总数为10种.解法二：用（2）的处理问题的方法.将1个，2个，3个，4个小球分别放在编号为1，2，3，4的盒子中，将余下的2个小球分别放在四个盒子中，每盒允许空盒，就确定了一种放法.将三块隔板加上2个小球排成一列，有C25种排列，即有C25种放法.所以不同的放法总数等于余下的2个小球分别放入四个盒子（允许空盒）的不同放法总数为10种.答：放球数不小于编号数的放法总数为10种.点评：这是一道有限制条件的“相异元素允许重复的组合”问题，上一道例题是一个有限制条件的“相异元素允许重复的排列”问题，它们的相同之处是“相异元素允许重复地选取”，不同之处是选取后一个是无序的组合，一个是有序的排列.尽管它们有着本质的区别，但类比于上述例题的数学模型，本例我们也可以建立相应的数学模型来处理.【例13】在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有多少种?解法一：首先考虑A、B两种作物的间隔不少于6垄的可能情况，间隔可以有6垄、7垄、8垄.间隔6垄时有3种位置，间隔7垄时有2种位置，间隔8垄时有1种位置，而对每一种位置有A22种种植方法，因而共有（3＋2＋1）A22＝12种不同的选垄方法.解法二：把6垄看作一个整体，从其余4垄中任取2垄种植A、B两作物，有A24种选种方法，然后把那6垄插入A、B之间即可，因而不同的选种方法为A24＝12种.【例14】用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?解法一：考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有C35C25A55种，其中0居首位的有C35C14A44种，故符合条件的五位数共有C35C25A55－C35C14A44＝11040个.解法二：按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有C 35C 24A 55个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有A 14种排法，再选三个奇数数字与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有C 35C 1A 44A 14种排法.综合①和②，由分类计数原理得符合条件的五位数共有C 35C 24A 55＋C 35C 14A 44A 14＝11040个.【例15】今有3个成人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船可乘3人，2号船可乘2人，3号船可乘1人（注“可乘”是最大容量），他们可从中任选两只或三只船乘坐，但小孩不能单独乘坐一只船，问有多少种分乘的方法？由表可知，共有27种坐法.点评：一些较复杂的问题，可以通过列表使其直观化. 【例16】如图，某区有7条南北向街道，5条东西向街道.（1）图中共有多少个矩形？（2）从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：（1）在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有C 27·C 25=210（个）.（2）每条东西向的街道被分成六段，每条南北向的街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向相同，每种最短走法，即是从10段中选出6段走东向的，选出4段走北向的（如东东东东东东北北北北或东北东北东北东北东东……），共有C 610C 44=C 410C 66=210（种）走法.点评：1°（2）题不易使用计数法直接确定.2°（2）题中为确保行程最短，只能单向走，即“事件”与顺序无关.。

点评顾宪聪老师的《求比一个数多(少)几分之几的数是多少》

点评顾宪聪老师的《求比一个数多（少）几分之几的数是多少》今日，我有幸观摩了顾宪聪老师的精彩课堂——《求比一个数多（少）几分之几的数是多少》。

顾老师以其独到的教学艺术和深入浅出的讲解技巧，为学生们呈现了一堂既生动又高效的数学课。

课程围绕求比一个数多（少）几分之几的数是多少的核心概念展开，通过多样化的案例和精心策划的练习，使学生对求比一个数多（少）几分之几的数是多少有了深入的理解和掌握。

以下是我对本节课的点评。

一、教学目标明确，层次分明本节课的教学目标明确且层次分明，旨在使学生掌握分数乘法应用题的数量关系，学会应用一个数乘分数的意义来解答分数乘法的两步应用题。

这一目标设定合理，既符合学生当前的知识水平，又能引导学生向更高层次的学习迈进。

在教学过程中，教师不仅注重知识的传授，更强调学生能力的培养，如思维发展、问题分析等，这些都是数学学习中至关重要的方面。

二、教学内容丰富，逻辑性强本节课的教学内容丰富多彩，紧扣“比一个数多少几分之几的数是多少”这一主题，通过多个例题和练习题，逐步引导学生理解并掌握这一知识点。

教师精心设计了多个教学环节，从简单的分数乘法问题入手，逐步过渡到复杂的分数乘法应用题，使学生在逐步深入的学习中不断巩固和加深对知识的理解。

同时，教师还注重了知识的逻辑性和连贯性，使得整个教学过程条理清晰、层次分明。

三、教学方法多样，注重实效在教学过程中，教师采用了多种教学方法，如情境导入、问题探究、小组讨论等，以激发学生的学习兴趣和积极性。

特别是在讲解复杂应用题时，教师巧妙地运用了线段图这一工具，帮助学生直观地理解题目中的数量关系。

这种数形结合的教学方法不仅降低了题目的难度，还提高了学生的解题能力。

此外，教师还注重了学生的自主学习和合作学习，通过小组讨论和合作交流，让学生在互动中发现问题、解决问题，从而培养了学生的自主学习能力和团队协作精神。

四、教学过程流畅，师生互动良好整个教学过程流畅自然，教师讲解清晰明了，能够准确把握学生的学习节奏和思维动态。

高一物理典型例题分析

象对市爱好阳光实验学校典型例题：1、过河问题例1．小船在200m 的横渡，水流速度为2m/s ，船在静水中的航速是4m/s ，求：1．小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？2．小船怎样过河位移最小，最小位移为多少？解：如右图所示，假设用v 1表示水速，v 2表示船速，那么：①过河时间仅由v 2的垂直于岸的分量v ⊥决，即⊥=v dt ，与v 1无关，所以当v 2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为2v d t =也与v 1无关。

②过河路程由实际运动轨迹的方向决，当v1＜v2时，最短路程为d ； 2、连带运动问题指物拉绳〔杆〕或绳〔杆〕拉物问题。

由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原那么是：把物体的实际速度分解为垂直于绳〔杆〕行于绳〔杆〕两个分量，根据沿绳〔杆〕方向的分速度大小相同求解。

例2 如下图，甲以速度v 1拉乙，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2解析：甲、乙沿绳的速度分别为v 1和v 2cos α，两者该相，所以有v 1∶v 2=cos α∶13、平抛运动例3平抛小球的闪光照片如图。

方格边长a 和闪光照相的频闪间隔T ，求：v 0、g 、v c解析：水平方向：Tav 20=竖直方向：22,T ag gT s =∴=∆ 先求C 点的水平分速度v x 和竖直分速度v y ，再求合速度v C ：〔2〕临界问题典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触、又不出界，扣球速度的取值范围是多少？例4 高H ，半场长L ，扣球点高h ，扣球点离水平距离s 、求：水平扣球速度v 的取值范围。

解析：假设运发动用速度v max 扣球时，球刚好不会出界，用速度v min 扣球时，球刚好不触，从图中数量关系可得：()hg s L g h s L v 2)(2/max +=+=；实际扣球速度在这两个值之间。

4、圆周运动例5如下图装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

《平凡的世界》微写作例题评析

《平凡的世界》微写作例题评析“能用精练的语言描述事物、表达观点、抒发情感；能写简短的应用性语段。

”———高考语文北京卷《考试说明》有关“微写作”的要求【写法指导】先回忆《平凡的世界》中的主要人物及反映其命运变化的主要情节，然后选定某个或某几个典型情节简要叙述，并对人物的人生追求或选择做出评析。

显然，孙少安、孙少平两兄弟是“从原有的生活方式走向了新生活”的典型。

例如，孙少安起初一直在家劳动，在贫困与痛苦中挣扎，十一届三中全会后，孙少安领导生产队率先实行责任制，他又进城拉砖，用赚的钱建窑烧砖，成了公社的“冒尖户”。

孙少安让我们看到了敢于抓住机遇的新型农民形象，他吃苦耐劳，又头脑灵活。

又如，孙少平高中毕业回到家乡做了一名教师，但青春的梦想和追求激励着他到外面去闯荡，他从漂泊的揽工汉成为正式的建筑工人，最后又获得了当煤矿工人的好机遇。

孙少平让我们看到了一个积极进取、敢于拼搏的青年形象。

他生在农村，学习条件相当艰苦，经常忍饥挨冻，但始终不放弃对理想、前途的追求。

一、典型例题（2020·徐州市第一中学）微写作（10分）从下面三个题目中任选一题，按要求作答。

150字左右。

①大凡成功的文学著作，他们的书名往往具有一定寓意和艺术性。

请对《平凡的世界》的书名进行赏析。

要求：结合作品内容。

②在文学作品中，次要人物的作用也常常是举足轻重的：或揭示社会背景，或推动情节发展，或作为主要人物的有力衬托。

请从《平凡的世界》中选一位次要人物，就其中一方面的作用谈谈你的理解。

要求：符合原著内容。

③《根河之恋》里，鄂温克人从原有的生活方式走向了新生活，《平凡的世界》里也有类似的故事。

请你从中选取一个例子，叙述情节，并作简要点评。

要求：符合原著内容，条理清楚。

我选：【写作指导】：徐州市2019～2020学年度第二学期高二年级语文名著整本书阅读为《平凡的世界》，预计期末考试可能以微写作/语言文字运用/现代文阅读等形式进行考查。

列方程解决实际问题典型例题解析

列方程解决实际问题典型例题解析一、本周主要内容：列方程解决实际问题二、本周学习目标：1、在解决实际问题的过程中,理解并掌握形如ax ±b=c 、ax ÷b=c 、ax ±bx=c 等方程的解法,会列上述方程解决需要两、三步计算的实际问题。

2、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中,提高分析数量关系的能力,培养学生思维的灵活性3、在积极参与数学活动的过程中,树立学好数学的信心。

三、考点分析：掌握形如ax ±b=c 、ax ÷b=c 、ax ±bx=c 等方程的解法以及列方程解应用题的基本方法, 在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。

四、典型例题例1. 看图列方程,并求出方程的解。

x 棵松树：15棵杉树： x 棵 x 棵 x 棵75棵科技书： x 本x 本 x 本 186 本文艺书：例2.解方程：４+ 6x = 40 ４x + 6x = 40分析与解：４+ 6x = 40这是一道“a+bx=c”的方程,解答时先根据等式的性质在方程的两边同时减去a,再同时除以b,求出x的值。

４x + 6x = 40这是一道“ax+bx=c”的方程,解答时先根据乘法分配律把方程左边的ax +bx进行化简,再根据等式的性质在方程的两边同时除以（a+b）的和,求出x的值。

４+ 6x = 40 ４x + 6x = 406x + 4 - 4 = 40 - 4 （4 + 6）x = 406x = 36 10x = 406x ÷ 6 = 36 ÷ 6 10x ÷ 10 = 40 ÷ 10x = 6 x = 4点评：这两题同学们容易产生混肴,产生错误解法的原因是很典型”的学新知忘旧知“,这也是同学们学习时经常犯的错误。

如果能认真分析题目,并仔细思考,正确解答这类题目并不是难事。

例3. （1）甲、乙两地相距1000米,小华从甲地、小明从乙地同时相向而行,小华每分钟走60米,小明每分钟走65米。

因式分解新题型含答案点评

因式分解新题型一．填空题（共4小题）1．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”．（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”；（2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为．2．当k=时，有k2+k﹣1=0，则k3=．3．已知a2+a﹣1=0，则a3+2a2+2018=．4．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．二．解答题（共36小题）5．定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0．6．分解因式：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2；（2）16（a+b）2﹣25（a﹣b）2．7．阅读下列文字与例题，并解答：将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．a2+2ab+b2+ac+bc原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）（1）试用“分组分解法”因式分解：x2﹣y2+xz﹣yz（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2+ac=12k，b2+bc=12k，c2+ac=24k，d2+ad=24k，同时成立．①当k=1时，求a+c的值；②当k≠0时，用含a的代数式分别表示b、c、d（直接写出答案即可）．8．（1）填空：a2+6a+=（a+）2；（2）阅读，并解决问题：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1解：设a+b=x，则原式=x2+2x+1=（x+1）2=（a+b+1）2这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：①（m+n）2﹣14（m+n）+49②（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+49．（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；（2）利用（1）题的结论，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．10．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）52和200这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么．11．（1）已知2x﹣y=8，求代数式[x2+y2﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y的值．（2）阅读下列材料：常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x ﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0请判断△ABC的形状，并说明理由．12．如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．如46379，由379﹣7×46=57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．13．如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2（1）则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张；（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．14．如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5=32﹣22，16=52﹣32，则5，16都是奇妙数．（1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．15．发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由．16．先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如x2+2xa+a2，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2=（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣8a+15；（2）若a2+b2﹣14a﹣8b+65+|m﹣c|=0①当a，b，m满足条件：2a×4b=8m时，求m的值；②若△ABC的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求△ABC的周长．17．如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的（kg）倍，求a的值（3）利用（2）中所求的a的值，分解因式x2﹣ax﹣108=．18．已知：a、b、c是△ABC的三边，且满足a4﹣b4=a2c2﹣b2c2．（1）试判断该三角形的形状．（2）若a=6，b=8，试求△ABC的面积．19．仔细阅读下面例题，解答问题例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得：n=﹣7，m=﹣21．∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x ﹣5），求另一个因式以及k的值．20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？21．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．22．阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2．（2）当a为何值时，二次三项式a2+4a+5有最小值？（3）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．23．先化简，再求值（1）[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷xy，其中x=10，y=﹣．（2）已知a﹣b=2，b﹣c=3，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．24．已知△ABC的三边abc满足等式a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2，试判断△ABC的形状．25．阅读并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣8a+12；（2）若a+b=7，ab=11，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣6x+11与﹣x2+6x﹣10的大小，说明理由．26．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题；（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：．（2）请模仿上面的方法尝试对多项式（m2﹣2m）（m2﹣2m+2）+1进行因式分解．27．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）．展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．28．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可将多项式2a2+5ab+2b2因式分解，并写出分解结果．29．解下列各题：（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．30．在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K 的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264=3060，3060÷17=180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．31．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以f（12）=3．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为．②计算：f（23）=，f（10m+n）=．（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）=11，请求出“迥异数”b．（3）如果一个“迥异数”m的十位数字是x，个位数字是x﹣4，另一个“迥异数”n的十位数字是x﹣5，个位数字是2，且满足f（m）﹣f（n）＜8，请直接写出满足条件的x的值．32．对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（m，n）．例如：当m=36，n=10时，将m十位上的3放置n中1与0之间，将m个位上的6位置于n中0的右边，得到1306．将n十位上的1放置于m 中3和6之间，将n个位上的0放置于m中6的右边，得到3160．这两个新四位数的和为1306+3160=4466，4466÷11=406，所以F（36，10）=406．（1）计算：F（20，18）（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．当150F（a，36）+F（b，49）=62767时，求F（5a，b）的最大值．33．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22﹣12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知m=10b+3c+817（0≤b≤7，1≤c≤4，且b，c均为整数）是一个“和数”，请求出所有m．34．一个各位数字都不为0的三位正整数N，现从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成两位数若所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这个三位数为本原数”例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31；选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21；选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“本原数”（1）判断123是不是“本原数”？请说明理由；（2）一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数学的和，则称这样的三位数为“和中数”．若一个各位数字都不为0的“和中数”是“本原数”，求z与x的函数关系．35．我们来定义下面两种数（1）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数=（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数：例如：对于整数251．它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数，又例如：对于整数3254，它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，∵32+42=25∴3254是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；（2）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数=2×最左边数×最右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，∵2×3×5=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母b表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：①若一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为；若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为；②若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则a，b应满足什么数量关系？请说明理由．③若（即这是个最左边数为a，中间数为625，最右边数为b的整数，以下类同）是一个平方和数，是一个双倍积数，a+b的值为，a﹣b 的值为，a2﹣b2的值为．36．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．37．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：2635，x=2+6，y=3+5，因为x=y，所以2635是“和平数”．（1）请判断：3562（填“是”或“不是”）“和平数”．（2）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14，求满足条件的所有“和平数”．38．对任意一个二位以上的自然数n，如果能被13整除，且各个数位上的数字只能从1，3，5，6，9五个数字中选取组成，那么称这个自然数为“转运数”．例如自然数13或39能被13整除，则13或39称为“转运数”；26能被13整除，但其十位上的数字2不是从1，3，5，6，9五个数字中选取的，所以26不能称为“转运数”．（1）请你直接写出不同于题中所给的2个二位“转运数”；（2）在（1）的条件下，记“转运数”为s．已知四位“转运数”t=（1≤c，d≤3且c，d互异），满足为整数，求t的值，并说明理由．39．若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=+1．（1）最大的四位“言唯一数”是，最小的三位“言唯一数”是；（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．40．（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．（2）若x2﹣2x﹣5=0，求2x3﹣8x2﹣2x+2018的值．因式分解新题型参考答案与试题解析一．填空题（共4小题）1．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”．（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”13；（2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为36．【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将M配成完美数，可求k的值【解答】解：（1）∵13=22+32∴13是完美数故答案为：13；（2）∵M=x2+4xy+5y2﹣12y+k=（x+2y）2+（y﹣6）2+k﹣36∴k=36时，M是完美数，故答案为：36．【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．2．当k=时，有k2+k﹣1=0，则k3=﹣2．【分析】由k2+k﹣1=0知k2=﹣k+1，将其代入到k3=k2•k得原式=﹣k2+k，再次代入可得原式=2k﹣1，继而将k的值代入可得答案．【解答】解：∵k2+k﹣1=0，∴k2=﹣k+1，则k3=k2•k=（﹣k+1）k=﹣k2+k=﹣（﹣k+1）+k=k﹣1+k=2k﹣1，∵k=，∴k3=2k﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握整体代入思想与因式分解的应用．3．已知a2+a﹣1=0，则a3+2a2+2018=2019．【分析】将已知条件变形为a2=1﹣a、a2+a=1，然后将代数式a3+2a2+2018进一步变形进行求解．【解答】解：∵a2+a﹣1=0，∴a2=1﹣a、a2+a=1，∴a3+2a2+3，=a•a2+2（1﹣a）+2018，=a（1﹣a）+2﹣2a+2020，=a﹣a2﹣2a+2020，=﹣a2﹣a+2020，=﹣（a2+a）+2020，=﹣1+2020，=2019．故答案为：2019．【点评】本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．4．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．【分析】根据平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2=，故答案为：，【点评】本题考查了实数范围内怎样分解因式，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式是关键．二．解答题（共36小题）5．定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0．【分析】（1）c=ab+a+b=++1=2+1；（2）c=ab+a+b=（m﹣4）（﹣m）+m ﹣4+（﹣m）=4m﹣m2﹣4=﹣（m﹣2）2≤0．【解答】解：（1）c=ab+a+b=++1=2+1；（2）c=ab+a+b=（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）=4m﹣m2﹣4，=﹣（m﹣2）2≤0，即：c≤0．【点评】本题考查了完全平方法分解因式，这是一道基本题．6．分解因式：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2；（2）16（a+b）2﹣25（a﹣b）2．【分析】（1）直接提取公因式﹣3，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2；（2）原式=[4（a﹣b）+5（a+b）][4（a﹣b）﹣5（a+b）]=﹣（9a+b）（a+9b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．7．阅读下列文字与例题，并解答：将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．a2+2ab+b2+ac+bc原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）（1）试用“分组分解法”因式分解：x2﹣y2+xz﹣yz（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2+ac=12k，b2+bc=12k，c2+ac=24k，d2+ad=24k，同时成立．①当k=1时，求a+c的值；②当k≠0时，用含a的代数式分别表示b、c、d（直接写出答案即可）．【分析】（1）根据因式分解﹣分组分解法分解即可；（2）根据因式分解﹣分组分解法和提公因式法分解即可．【解答】解：（1）x2﹣y2+xz﹣yz=（x+y）（x﹣y）+z（x﹣y）=（x﹣y）（x+y+z）；（2）①当k=1 时，得a2+ac=12，c2+ac=24，（a2+ac）+（c2+ac）=a（a+c）+c（a+c）=（a+c）（a+c）=（a+c）2=12+24=36，∴a+c=±6；②∵当k≠0时，∵a2+ac=12k，b2+bc=12k，c2+ac=24k，d2+ad=24k，∴（a2+ac）﹣（b2+bc）=0，即a2﹣b2+ac﹣bc=0，∴（a﹣b）（a+b+c）=0，∵a≠b，∴a+b+c=0，∴b=﹣a﹣c，∴由得c2+ac=24k，d2+ad=24k得，（c2+ac）﹣（d2+ad）=0，c2﹣d2+ac﹣ad=0，即（c﹣d）（c+d+a）=0，∵c≠d，∴c+d+a=0，∴d=﹣a﹣c，∴b=d=﹣a﹣c，又由a2+ac=12k，c2+ac=24k，得（a2+ac）﹣2=c2+ac，即2a（a+c）=c（c+a），∴2a（a+c）﹣c（c+a）=0，即（a+c）（2a﹣c）=0，∴a+c=0或2a﹣c=0，∴c=﹣a，或c=2a，又k≠0，则c=2a，∴c=2，b=d=﹣3a．【点评】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．8．（1）填空：a2+6a+9=（a+3）2；（2）阅读，并解决问题：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1解：设a+b=x，则原式=x2+2x+1=（x+1）2=（a+b+1）2这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：①（m+n）2﹣14（m+n）+49②（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4【分析】（1）根据完全平方公式可得结论；（2）①根据换元法设m+n=x，根据完全平方公式可得结论；②先将原式x2﹣4x看作整体，去括号，化简，设x2﹣4x=a，换元后根据完全平方公式可得结论．【解答】解：（1）a2+6a+9=（a+3）2，故答案为：9，3；（2）①（m+n）2﹣14（m+n）+49，设m+n=x，则原式=x2﹣14x+49=（x﹣7）2=（m+n﹣7）2；②（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4，=（x2﹣4x）2+6（x2﹣4x）+2（x2﹣4x）+12+4，=（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16，设x2﹣4x=a，则原式=a2+8a+16=（a+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．【点评】本题考查了运用公式法和换元法分解因式，掌握数学中的换元思想，正确应用公式是解题关键．9．（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；（2）利用（1）题的结论，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．【分析】（1）根据整式的混合运算的法则化简后，代入求值即可；（2）原式变形后，利用完全平方公式配方后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】（1）解：原式=a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；（2）解：原式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c ﹣a）2]当a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，∴原式=×[（﹣1）2+（﹣1）2+22]=3．【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）52和200这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么．【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）∵52=142﹣122=196﹣144∴52是神秘数∵200不能表示成两个连续偶数的平方差，∴200不是神秘数（2）是理由如下：∵（2n）2﹣（2n﹣2）2=2×（4n﹣2）=4（2n﹣1）∴这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数（3）设这两个连续奇数为：2n﹣1，2n+1 （x为正整数）∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．11．（1）已知2x﹣y=8，求代数式[x2+y2﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y的值．（2）阅读下列材料：常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x ﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0请判断△ABC 的形状，并说明理由．【分析】（1）根据整式的运算法则进行化简求值；（2）运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．【解答】解：（1）[x2+y2﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y原式=（4xy﹣2y2）÷4y=x﹣y=（2x﹣y）=4（2）等边三角形∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC是等边三角形【点评】本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．12．如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．如46379，由379﹣7×46=57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．【分析】（1）根据题意可以判断52478和9115是否能被19整除，从而判断是否为灵异数；（2）根据题意．写出相应的式子，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵478﹣7×52=114，114÷19=6，∴52478能被19整除，是“灵异数”；∵115﹣7×9=52，52÷19=2…14，∴9115不能被19整除，不是“灵异数”；（2）设这个五位数的千位为a，则个位为2a，十位为b，则百位为8﹣b，∵[100（8﹣b）+10b+2a]﹣7×（10×1+a）=730﹣90b﹣5a，这个数恰好是灵异数，即能被19整除，a为正整数、b为非负整数，∴730﹣90b﹣5a能被19整除，解得，，，∴这个数为：11172或12084．【点评】本题考查整式的加减、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2（1）则需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张；（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．【分析】（1）直接由题意可得；（2）由图形可得；（3）由图形面积的两种表达形式可把多项式2a2+3ab+b2分解因式．【解答】解：（1）∵面积等于2a2+3ab+b2∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张；故答案为：2，3，1（2）如图：图形的面积=（2a+b）（a+b）（3）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）【点评】本题考查了因式分解的应用，从几何的图形来解释分解因式的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．14．如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5=32﹣22，16=52﹣32，则5，16都是奇妙数．（1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．【分析】（1）根据题意可判断；（2）利用平方差公式可证；。

行测：工程问题典型例题详解.doc

行测：工程问题典型例题详解
【例1】某计算机厂要在规定的时间内生产一批计算机，如果每天生产140台，可以提前3天完成;如果每天生产120台，就要再生产3天才能完成，问规定完成的时间是多少天?()
A.30
B.33
C.36
D.39
【解析】本题正确答案为D。

解法如下：
设规定完成时间为x天，则有
140(x-3)=120(x+3)，解得x=39，故应选D。

【点评】本题是一个工程问题，可用整除法。

注意数字140，这说明x+3可以被7整除，而四个选项中，只有39符合条件，故应选D。

【点分析】整除法便于计算，但思考过程相对复杂，也容易出错。

建议考生根据自己的实际情况选用。

【例2】一个浴缸放满水需要30分钟，排光水需要50分钟，假如忘记关上出水口，将这个浴缸放满水需要多少分钟?()
A.65
B.75
C.85
D.95
【解析】本题正确答案为B。

设浴缸的容积为“x”，
则放满水需要30分钟，每分钟流进x÷30=x/30体积;
排光水需要50分钟，每分钟流出x÷50=x/50体积;
因此每分钟浴缸内的水，净增加x/30-x/50=x/75体积。

根据x÷x/75=75，这个浴缸放满水要75分钟。

【点评】本题也可以用设“1”法。

1÷(1/30-1/50)=75。

(归一问题)卢建梅点评

三年级上册《归一问题》尊敬的各位评委、老师:大家下午好！我是来自小学数学名师三团B组的卢建梅。

很高兴能和大家一起来赏析我们小组周招娣老师执教的精彩一课。

回顾研课过程，我们都经历着“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”的磨炼，但也因此，我们邂逅了“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的别样风景。

为了更好地完成本次研课活动，我们研课团队对这节课的教材进行了深入研讨，将本节课的教学重点定为：掌握用两步乘、除法计算解决含有“归一”数量关系的实际问题的方法。

教学难点定为：找到解决问题的中间问题，确定先求什么，建立归一问题的数学模型。

如何突破我们的难点，凸显数学本质，带着“如何培养学生核心素养”的思考，我们开启了研课之旅：在试教中我们发现，学生的课堂参与面很小，大多数学生处于被动状态，找不到解决问题的关键点，对“归一”问题模型中的“一份数”不清楚。

在导学环节中，大部分的学生操作欠实效，也不会画图。

究其原因，发现我们在设计导学单时没有考虑到学生的已有经验。

如何更好地实施“变教为学”，从而最大化的发挥学生的主体性？我们结合学情，又进行了这样大胆的设计：一、找准知识的起点，初识（感知）模型开课前，周老师出示一道缺少条件的问题：老师买6盒橡皮，共花了多少元。

看着学生疑惑的神情，老师追问：怎么了？让学生意识到要求6盒橡皮的价钱，必须知道每盒橡皮的价钱，接着第二个问题：56元可以买几支同样的钢笔。

周老师同样提出质疑，让学生明白要解决这个问题：必须要知道一支钢笔的价钱。

安排这样的复习题，为学生应用归一的方法解决问题做好充分的铺垫。

二、注重方法的渗透，理解（探究）模型在新授环节，周老师先和孩子们一起学会画图，借助图形理解题意，学生也较好地列出了算式，体会数形结合的思想，经历把生活问题抽象成数学问题的过程。

如在要求买8个同样的碗需要多少钱时，学生因为有课前的复习铺垫，自热而然的知道要先求出1个碗的价钱。

为了让学生更好地理解“买8个同样的碗需要多少钱”的解题方法，周老师让学生经历了独立学、小组学、全班学的过程，教学中紧紧地抓住解决问题的核心点：先求出一份数（也就是单位数量）。

一元一次不等式组教学案例点评

《一元一次不等式组》教学案例点评背景介绍本学期，我们二中八年级的数学老师在渤海大学范文贵老师的指导下进行了一些教学上的改革尝试。

范老师现正在华东师大攻读博士学位，他研读的课题是探究式教学。

本节课是在范老师初次介绍了探究式教学的意义等理论知识的基础上上的一堂课，我的这堂课得到了范老师的肯定，他鼓励我就这节课写一篇教学案例，既是对自己授课思想的整理，也是对于学生思维火花的收集。

案例描述一、创设问题情境引入新课师：同学们，我们在前面利用两节课的时间探究了一元一次不等式组的解法，那么如何利用这部分知识解决实际问题呢？这节课让我们一起来研究这个问题。

[ 点评：引课开门见山，简单明了，问题与前两节课学过的知识有关，学生的兴趣立刻被调动起来。

]二、探究例题的解法师：小黑板出示例题：例 4 一群女生住若干间宿舍，每间住 4 人，剩 19 人无房住；每间住 6 人，有一间宿舍不满，问可能有多少间宿舍、多少名学生？同学们，这道题给出了几组条件？关键句是哪句？把两个问中的哪一个设为未知数？生：这道题给出了两组条件，“ 有一间宿舍住不满” 是关键句。

生：设有 x 间宿舍。

师：为什么要设宿舍的间数，而不是学生的人数？生：便于用 x 表示学生人数。

师：对于关键句的分析理解，同学们可以独立探究，也可以与他人合作探讨，然后列出不等式组。

生：进行多种形式的探究活动。

师：同学们，能把你们得到的结果展示给大家吗？生：写出解题全过程并讲解。

列法二： 6(x-1) ＜ 4x+19 ＜ 6x 。

师：同学们对于这道题还有什么问题吗？生：对于列出的不等式组还是不太理解。

师：那么对于此题还有其它的列法吗？师：孙倩你能给大家讲讲吗？生：设的未知数不变，不等式组可以列为0 ＜(4x+19)-6(x-1) ＜ 6 ，或其中 4x+19 表示学生总数， 6(x-1) 表示住满 (x-1) 间的学生数， 4x+19-6(x-1) 表示住不满的那个房间的人数，因此有 0 ＜ (4x+19)-6(x-1) ＜ 6 。

小学数学练习题点评语

小学数学练习题点评语数学是一门重要且基础的学科，对小学生的学习和发展具有重要作用。

通过练习题，我们可以检验学生对数学知识的掌握情况，同时也可以指导他们在数学学习中的不足之处。

以下是对小学数学练习题的点评和建议，希望能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。

1. 四则运算练习题在四则运算练习题中，同学们需要通过加减乘除的操作来计算结果。

在解题过程中，有些同学容易出错或者漏掉一些步骤。

建议同学们在做这类题目时，仔细阅读题目要求，留意题目中的关键信息，按照运算优先级执行计算步骤，切记不要忽略任何细节。

2. 简单方程求解题在简单方程求解题中，同学们需要通过代入法或者逆向思维来找到未知数的具体值。

在解题过程中，有些同学容易忽略负号、漏写等情况。

鼓励同学们在解题时，将未知数设定为合适的变量，并逐步代入求解，注意每个步骤的正确性和逻辑性。

3. 几何形状分类题几何形状分类题要求同学们根据图形的属性进行分类。

在解题过程中，有些同学容易将图形的属性混淆，或者将同一类型的图形归为不同的类别。

鼓励同学们在解题时，先观察图形的特征，再根据特征相似性进行分类，同时要注重细节和准确性。

4. 数据统计与分析题数据统计与分析题需要同学们根据给定的数据进行分析和计算。

在解题过程中，有些同学可能忽略数据的关联性，或者在计算过程中出现计算错误。

鼓励同学们在解题时，先理清数据的关系和统计要求，合理运用图表和算式，注意计算过程的准确性。

5. 难度递增题目部分练习题难度逐步递增，旨在培养同学们的思维能力和解决问题的能力。

在解题过程中，有些同学可能因为问题难度较大而放弃或者随意选择答案。

建议同学们在解题时，要根据题目要求和自身的能力，克服困难，逐步掌握解题方法，勇于挑战。

总之，通过小学数学练习题的点评和建议，希望同学们能够更好地理解和应用数学知识。

在做练习题时，要注意细节、准确性和逻辑性，勤于思考和总结，相信同学们能够在数学学习中取得更好的成绩和进步。

盈亏问题例题解析

一、填空题（共 10 小题，每小题 3分，满分 30分）1.（3 分）一辆汽车从甲地到乙地，若以每小时 10千米的速度，则提前 2 小时到达 ;若以每小时 8千米的速度，则迟到 3小时，甲地和乙地相距___________________ 千米 .2.（3 分）把一包糖果分给小朋友们，如果每人分10粒，正好分完 ; 如果每人分 16粒，则 3 人分不到，这包糖有____________ 粒 .3.（3 分）暑期前借图书，如果每人借 4 本，则最后少 2 本; 如果前 2人借 8本，余下每人借 3 本，这些图书恰好借完 .问共有书______________ 本.4._________________________________________________________________________ （3 分）农民锄草，其中 5 人各锄 4 亩，余下的各锄 3亩，这样分配最后余下 26亩; 如果其中 3人每人各锄 3亩，余下的人各锄 5亩，最后余下 3亩. 锄草面积是____________________________ .5.___________________________________（3 分）四年级学生搬砖，有 12 人每人各搬 7块，有 20人每人各搬 6块，其余的每人搬 5 块，这样最后余下 148 块 ; 如果有 30 人各搬 8 块，有 8 人各搬 9 块，其余的每人搬 10 块，这样分配最后余下 20 块. 共有块砖 .6.__________________________________________ （3 分）有一班同学去划6人;如船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐果减少一条船，每条船正好坐 9人.这班有______________________________________________ 人.7.___________________________________（3 分）一些桔子分给若干人，每人 5个余 10个桔子.如果人数增加到 3倍还少 5人，那么每人分 2 个还缺 8 个，有桔子个 .8.（3 分）有一些苹果和梨，苹果的数量是梨的4倍少 2 个，如果每次吃掉 5 个苹果和 2个梨，当梨吃完还剩下 40 个苹果.有_____________ 个苹果 .9._____________________________________________________ （3 分）小明花 19元买了 10本练习本和 10支铅笔，他还有余钱 . 如果要买 1 支铅笔，就多 0.3 元; 如果再买一本练习本就少 0.2 元. 小明原有_________________________________________ 元.10. _________________________ （3 分）小明从家到校，如果每分钟 120米，则早到 3分钟;如果每分钟 90 米，则迟到 2 分钟，小明家到学校米 .二、解答题（共 4小题，满分 0分）11.学校园林科有一批树苗，交给若干名学生去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵，不够分了 .如果再拿来 8 棵，那么每个学生正好栽 10棵.求参加栽树的学生有多少人，这批树苗共多少棵 ?12. 小春读一本小说，若每天读 35页，则读完全书比规定时间迟一天；若每天读 40页，则最后一天要少读 5页，如果他每天读 39 页，最后一天应读多少页才按规定时间读完 ?13.一只青蛙从井底往井口跳，若每天跳 3米，则比原定时间迟 2天，若每天跳 5米，则比原定时间早 2 天. 井口到井底有多少米 ? 14. 王师傅加工一批零件，若每天加工 250 个，则比原定计划迟 2 天；若平均每天加工 300个零件，正好按原定时间完成 . 求这批零件的总个数 ?参考答案与试题解析、填空题 (共10 小题，每小题 3分，满分 30分)1.(3 分)一辆汽车从甲地到乙地，若以每小时 10千米的速度，则提前 2小时到达；若以每小时 8 千米的速度，则迟到 3小时，甲地和乙地相距 200 千米.分析：根据“若以每小时 10千米的速度，则提前 2小时到达 ;若以每小时 8千米的速度，则迟到3小时”，速度差为(10 - 8)=2千米，路程差为(10 X 2+8X 3)=44千米；则按时到的时间是44十2=22时，然后根据“每小时 10千米的速度，则提前 2小时到达”，用10X (22 - 2) 进行解答即可 .解答：解：正点时间：(10 X 2+8 X 3)十(10 - 8)=44十2=22(小时)，(22 - 2) X 10=200(千米);2.(3 分)把一包糖果分给小朋友们，如果每人分 10粒，正好分完；如果每人分 16粒，则 3 人分不到，这包糖有 80 粒 .分析： “如果前 2 人借 8 本，余下每人借 3本，这些图书恰好借完” ，这个已知条件可以这样理解：“如果每个人借 3 本，则多 8- 3X 2=2 本”，这样原题可变成“每人借 4分析：出小朋友的人数量.由题意可知：每一人少分 ; 然后根据“如果每人分 10粒， 16 - 10=6粒，则少16X 3=48粒糖果；用48- 6得正好分完，用人数乘 1 0即可求出糖果的数解答：解： (16 X 3)十(16 - 10)=8(人), 8X 10=80(粒);3.(3 分 ) 暑期前借图书，如果每人借 4 本，人借 3 本，这些图书恰好借完 .问共有书 14则最后少 2 本; 如果前 2 人借 8 本，余下每本.本，则最后少 2本;每人借 3本，则最后余 2本; ”比较两个条件，书的总数的变化差 2+2=4（本），每人借书的变化差是 4- 3=1（本）; 这两个差是相对应的，相除可以求出借书的人数 .(8 - 2X 3+2) - (4 - 3)=(8 - 6+2)) - 1=4(人)4X 4 -2=14(本).4.（3 分）农民锄草，其中 5 人各锄 4 亩，余下的各锄果其中 3 人每人各锄 3 亩，余下的人各锄 5 亩，最后余下分析：由“其中 5 人各锄 4 亩，余下各锄 3 亩，若其中 5 人各锄 5 亩，余下各锄 3 亩，则余下 21 亩; 由下的各锄 5 亩最后余下 3 亩. ”可得，如果第人都锄 24 亩，据此可列式计算 .则共有人数： 12+5=17（人）;面积：5 X 4+12X 3+26=82(亩).5.（3 分）四年级学生搬砖，有 12 人每人各搬人搬 5 块，这样最后余下 148 块 ; 如果有 30 人各搬 10 块，这样分配最后余下 20块. 共有 432 块砖.分析：根据题意，第一次分配的形式与第二次分配的形式虽然不一样，但是砖的总数一样，所以第一次搬砖的总数等于第二次搬砖的总数，那么可设四年级的人数为 x 人，根据题意可列出等式，计算出学生人数后再代入算式进行计算即可得到答案 .解答：解：设四年级共有学生 x 人，12X 7+20X 6+5(x - 12 - 20)+148=30 X 8+8X 9+10(x - 30 - 8)+20 ,192+5x=10x- 485x=240，x=48;30X 8+8X 9+10X (48 - 30 - 8)+20=432;3 亩，这样分配最后余下 26 亩; 如 3 亩 . 锄草面积是 82 亩 .这样分配最后余下 26 亩“可得，如果其中 3 人每人各锄 3 亩，余则田还不够 3 亩. 上面两种情况差 5 亩，解答：解：上述第一种情况锄 3 亩的人数为：24 十(5 - 3)=12(人),解答： 7 块，有 20 人每人各搬 6 块，其余的每 8 块，有 8 人各搬 9 块，其余的每人搬点评：解答此题的关键是无论如何分组、如何搬砖，最后砖的总块数不变，因此找到等量关系列式进行解答就比较简单了 .6.（3 分）有一班同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐果减少一条船，每条船正好坐 9人.这班有 36 人.分析：增加一条船，正好每条船坐 6人，不增加，则有 6X 1=6人坐不下；减少一条船, 正好每船坐9人.不减少，则空余座位 9 X 1=9个；则船有：（9+6）十（9 - 6）=5（条），人共有: 6X 5+6=36（人）.解答：解：（6+9） - （9 - 6） X 6+6=5X 6+6=36（人）.7. （3 分）一些桔子分给若干人，每人 5个余10个桔子.如果人数增加到 3倍还少 5人，那么每人分 2 个还缺 8 个，有桔子 150 个.分析：人数增加到三倍而每人 2个桔子，那么多需要的桔子数 =人数（因为2X 3 - 5=1）; 少 5个人，就少需要 10个;这时还缺 8个; 那么，少需要的 10个+缺的 8个+原来的 10个= 增加的需求量，为 28个;所以原来是 28人， 150个桔子.解答：解：（10+10+8）十（6 - 5） X 5+10=28十 1 X 5+10=150（个）;8.（3 分）有一些苹果和梨，苹果的数量是梨的4倍少 2个，如果每次吃掉 5个苹果和 2个梨，当梨吃完还剩下 40 个苹果 . 有 110 个苹果 . 分析：若设梨为 x 个，则苹果有 4x- 2 个；每次吃梨 2个，次吃完，那么次可以吃掉 5X 个苹果，依据“苹果总数-吃掉的苹果数 =40”就可以列式计算 .解答：解：设梨为 x 个，则苹果有 4x- 2 个，每次吃梨 2 个，次吃完，那么次可以吃掉 5X 个苹果，4x- 2=4X 28- 2=110（个）;答：有苹果 110个.点评：此题主要属典型的盈亏问题，关键是找出数量关系“总量-吃掉的从而可用方程解决 .9. （3 分）小明花 19元买了 1 0本练习本和 10支铅笔，他还有余钱 .如果要买 1支铅笔，就多 0.3 元; 如果再买一本练习本就少 0.2 元. 小明原有 20 元.6人;如故有 4x- 2- =40 ，x=28;=剩余的”，分析：一本练习本比一支铅笔贵 0.3+0.2=0.5 元，则 10 本练习本比 10 支铅笔贵 10X0.5=5 元，从而可求出买练习本和买铅笔分别花的钱数，从而可求得小明的总钱数 .解答：解：一本练习本比一支铅笔贵 0.3+0.2=0.5 元，则10本练习本比10支铅笔贵10X 0.5=5元,11. 学校园林科有一批树苗，交给若干名学生去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下 12 棵，不够分了 . 如果再拿来 8 棵，那么每个学生正好栽 10 棵. 求参加栽树的学生有多少人，这批树苗共多少棵 ?分析：最后剩下 1 2棵，不够分了，可知，学生数应大于 12，再拿来 8 棵正好平均分完（每人 10 棵）由于 8<12，所以可知学生数应为： 12+8=20（人）; 又再拿来 8 棵，那么每个学生正好栽 10棵，由此可得树苗应为 10X 20- 8=192（棵）.解答：解：人数为： 12+8=20（人）;树苗的棵数为： 10X 20- 8=192（棵）.答：参加栽树的学生有 20 人，这批树苗共 192 棵.买铅笔的钱数： (19 - 5) - 2=7 元，每支铅笔的价格： 7- 10=0.7(元); 余下的钱数为： 0.7+0.3=1( 元);总钱数： 19+1=20（元）.点评：解决此题的关键是先求出一本练习本比一支铅笔贵多少元，再求买铅笔花的钱，进而问题得解 .10.（3 分）小明从家到校，如果每分钟 120 米，则早到 3 分钟 ; 如果每分钟 90 米，则迟到 2 分钟，小明家到学校 1800 米 .早到 3 分钟即盈： 3X 120=360米，迟到2分钟即亏：2X 90=180米,(360+180) -( 120-90 ) =18(分) (18-3) X 120=1800 米二、解答题（共 4 小题，满分 0 分）=16-2,点评：这是一个盈余问题，主要是先根据余下的树苗及需要补进的树苗求出人数是多少就好解答了 .12. 小春读一本小说，若每天读 35 页，则读完全书比规定时间迟一天 ; 若每天读 40 页，则最后一天要少读 5 页，如果他每天读 39 页，最后一天应读多少页才按规定时间读完 ?分析：因为书的总页数不变，若设规定 x 天读完，书的页数为 35X (x+1)和40X — 5;据此可列式计算 .解答：解：设规定 x 天读完，35 X (x+1)=40x - 5,=315— 273=42( 页);答：最后一天应读 42 页才按规定时间读完 .点评：此题依据书的页数不变，列方程即可解决13. 一只青蛙从井底往井口跳，若每天跳 3 米，则比原定时间早 2天.井口到井底有多少米 ?分析：两种情况每天跳的米数相差 5— 3=2 米，得出原定时间为：16十2=8天，进而根据“若每天跳(8+2) 计算即可井口到井底的深度 .解答：解：(3 X 2+5X 2)十(5 — 3),35x+35=40x — 5，5x=40，x=8;书的总页数为： 40x — 5=40X 8— 5=315( 页 );最后一天应读： 315— (8— 1)X 39则比原定时间迟 2 天，若每天跳 5 米，跳的距离相差 (3X 2+5X 2)=16 米，进而 3米，则比原定时间迟 2天”，用 3X=8(天)，（8+2） X 3=30（米）;答：井口到井底有 30 米.点评：解答此题应根据盈亏问题解法求出原定时间，进而根据题意，进行解答得出结论 .14. 王师傅加工一批零件，若每天加工250 个，则比原定计划迟 2 天; 若平均每天加工300 个零件，正好按原定时间完成 . 求这批零件的总个数 ?分析：由题意得：若每天加工 250 个，则比原定计划迟 2 天，即还有件没有做 ;每天多做 (300- 250)=50 个，正好按原定时间完成，则原定计划用进而根据“工效X工作时间 =工作总量”进行解答即可. 250X 2=500 个零500 - 50=10 天;解答：解：（250 X 2） - （300 - 250）=10（天）,10X 300=3000（个）;或 250X （10+2）=3000（个）;答：求这批零件共有 3000 个 .点评：解答此题应认真分析题中的数量间的关系，进而根据工作总量、时间的关系进行解答即可 .工作效率和工作。

高中数学典型例题解析

任意角三角函数三、经典例题导讲[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos < A ．1 B.2 C.3 D.4错解：C A < ∴ C A sin sin <，C A tan tan <故选B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误正解：法1C A < 在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A . [例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 错解：∵βα,角的终边关于y 轴对称，∴22πβα=++πk 2，（)z k ∈错因：把关于y 轴对称片认为关于y 轴的正半轴对称. 正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴)(,22Z k k ∈+=+ππβα即)(,2z k k ∈+=+ππβα说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα （3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ[例3] 已知542cos ,532sin-==θθ，试确定θ的象限. 错解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，即.,222z k k k ∈+<<ππθπ从而.,244z k k k ∈+<<ππθπ故θ是第三象限角或第四象限角或是终边在y 轴负半轴上的角.错因：导出2θ是第二象限角是正确的，由0542cos ,0532sin <-=>=θθ即可确定，而题中542cos ,532sin -==θθ不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2θ的大小，即可进一步缩小2θ所在区间.正解：∵0542cos ,0532sin<-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，又由43sin 22532sinπθ=<=知z k k k ∈+<<+,22432ππθππ z k k k ∈+<<+,24234ππθππ，故θ是第四象限角. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 错解：a y x r a y a x 5,3,422=+=∴=-=3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα错因：在求得r 的过程中误认为a >0正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα 若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论. [例5] （1）已知α为第三象限角，则2α是第象限角，α2是第象限角；（2）若4-=α，则α是第象限角. 解：（1）α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππZ k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ当k 为偶数时，2α为第二象限角当k 为奇数时，2α为第四象限角而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上.（2）因为ππ-<-<-423，所以α为第二象限角. 点评：α为第一、二象限角时，2α为第一、三象限角，α为第三、四象限角时，2α为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.[例6]一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm ，则扇形的弧长cm r l )220(-=扇形的面积25)5()220(212+--=⋅-=r r r S 所以当cm r 5=时，即2,10===rl cm l α时2max 25cm S =.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.[例7]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。

三角函数的最值问题(高三复习)课例评析

三角函数的最值问题（高三复习）课例评析江苏省南菁高级中学祁平南京师范大学谭顶良一、教学目的1．使学生能熟练运用三角函数的单调性及有界性，研究三角函数的最值问题。

2．能运用化归思想、数形结合等思想将一些较复杂的三角函数的最值问题转化为熟悉的易于解决的问题。

3．培养学生在“变化中创新”，在“比较中创新”，在“批判中创新”的能力，努力拓展学生的思维空间。

二、教学过程1．导言从近几年来的高考试卷中可以－看到，三角函数的最值问题是高考中一个重要内容（如2000年的高考第17题），在以后的复习中，我们还将看到：一些较为复杂的综合问题化归为三角函数的最值问题较为简便，下面我们一起来研究“三角函数的最值问题”（揭示课题）。

[点评] “研究”一词，摆脱了传统教育中教师是知识的“传授者”这一角色，而将教师自己置于与学生平等的地位，为学生主体性、创造性的发挥创设了良好的师生关系；同时，“研究”一词的运用，还暗含着教学不是简单的“传”与“授”过程，而是不断探索、不断创新的过程这一“创造性基本思想”。

2．例题选讲例1 ，求函数的最值。

教师审题，请学生谈思路。

学生甲：运用和差化积公式，（以下略）。

教师：有其他解法吗？学生乙：运用公式，将函数变形为(以下略)。

学生丙：观察发现函数中角与角的差恰好为，故将看成基本量，将函数化归为同一角的函数式，即为：（以下略）。

教师肯定了学生能从不同角度出发，积极探索。

[点评] 首先引导学生从多角度思考问题，寻找不同的解题思路，在此基础上启发学生比较不同的解题思路，找出最佳答案。

这种做法，既训练了学生的思维创新，又训练了学生高效的解题策略。

教师：把例1稍加改变一下，情况如何？问题1 ：，求函数的最值。

学生：把看成一角，变形为（以下略）。

（说明：例1中最好的方法“解法一”在这里失效了，指出要辩证对待“巧法”。

）[点评] 通过“解法一”在例1变式问题1中的失效，使学生深刻理解并掌握“一把钥匙开一把锁，具体问题具体分析”的思维方法。

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《投资控制》P182例题7-7
（1）背景：某工程项目施工合同于2002年12月签订，约定的合同工期为20个月，2003年1月开始正式施工，施工单位按合同工期要求编制了混凝土结构工程施工进度时标网络计划(如图所示)，该项目的各项工作均按最早开始时间安排，且各工作每月所完成的工程量相等。

各月工作的计划工程量和实际工程量如表所示。

工作D 、E 、F 的实际工作持续时间与计划工作持续时间相同。

各工作的计划工程量和实际工程量
合同约定，混凝土结构工程综合单价为1000元／立方米，按月结算。

结算价按项目所在地混凝土结构工程价格指数进行调整，项目实施期间各月的混凝土结构工程价格指数如表所示。

项目实施期间各月的混凝土结构工程价格指数
施工期间，由于建设单位原因使工作H 的开始时间比计划的开始时间推迟1个月，并由于工作H 工程量的增加使该工作的工作持续时间延长了1个月。

（2）问题：
1)按施工进度计划编制资金使用计划(即计算每月和累计拟完工程计划投资)，简要写出其步骤，计算结果填人表中。

2)计算工作H 各月的已完工程计划投资和已完工程实际投资。

3)计算混凝土结构工程已完工程计划费用和已完工程实际投资，计算结果填人表中。

4)列式计算8月末的投资偏差和进度偏差(用投资额表示)
《投资控制》P182例题7-7详解
（3）分析与解答
1）将各工作计划工程量与单价相乘后，除以该工作持续时间，得到各工作每月拟完工程计划投资额，再将时标网络计划中各工作分别按月纵向汇总得到每月拟完工程计划投资额，然后逐月累加得到各月累计拟完工程计划投资额。

拟完工程计划投资
该工作计划工程量*计划单价
拟完工程计划投资=
（单位时间，如，每月）该工作计划持续时间
1月份：A拟完计划投资8600×1000/2=430万元
B拟完计划投资9000×1000/2=450万元
共430+450=880元
2月份：A+B=880元
3月份：C拟完计划投资5400×1000/3=180万元
D拟完计划投资10000×1000/4=250万元
E拟完计划投资5200×1000/2=260万元
C+D+E=690万元
4月份：C+D+E=690万元
5月份：C=180万元D=250万元H=3600×1000/3=120万元
C+D+H=550万元
6月份：D+H=250+120=370万元
7月份：F=6200×1000/2=310万元G=1000×1000=100万元
F+G+H=310+100+120=530万元
8月份：F=310万元
已完工程计划投资
该工作实际工程量*计划单价
已完工程计划投资=
（单位时间，如，每月）该工作实际持续时间
D=9200×1000/4=230 E=5000×1000/2=250 F=5800×1000/2=290
G=1000×1000=100 H=5000×1000/4=125（已知条件H实际延长1个月）
3月份：C+D+E=180+230+250=660
4月份同3月份
5月份：C+D=180+230=410（已知条件H实际推迟1个月）
6月份：D+H=230+125=355
7月份：F+G+H=290+100+125=515
8月份：F+H=290+125=415（H实际延长到9月）
9月份：H=125 （H实际延长到9月）
根据上述步骤，在时标网络图上按时间编制投资计划如图，计算结果见表。

某混凝土结构施工计划与结果 (单位：万元)
2) H工作6至9月每月实际完成工程量为：5000/4=1250（立方米/月）
①H工作6至9月已完工程计划投资均为：1250×1000=125（万元）
②H工作已完工程实际费用
6月份：125×110%=137.5万元
7月份：125×120%=150.5万元
8月份：125×110%=137.5万元
9月份：125×110%=137.5万元
3)计算结果填入表中
4）投资偏差=已完工程实际投资—已完工程计划投资
=实际工程量×实际单价—实际工程量×计划单价
=5337-4775=562万元，超支562万元
进度偏差=拟完工程计划投资-已完工程计划投资
=计划工程量×计划单价—实际工程量×计划单价
=4900-4775=125万元，拖后125万元
已完工程实际投资=实际工程量×实际单价
拟完工程计划投资=计划工程量×计划单价
已完工程计划投资=实际工程量×计划单价
该工作计划工程量*计划单价
拟完工程计划投资=
（单位时间，如，每月）该工作计划持续时间
该工作实际工程量*计划单价
已完工程计划投资=
（单位时间，如，每月）该工作实际持续时间。