广东专用2013届高三数学理高考冲刺广州二模巩固练习二
广东省汕头市2013届高三第二次模拟数学理试题(WORD解析版)
2013年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．（3分）（2012•安徽）复数z 满足（z﹣i）i=2+i，则z=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘i后，整理即可．解答：解：因为（z﹣i）i=2+i，所以（z﹣i）i•i=2i+i•i，即﹣（z﹣i）=﹣1+2i，所以z=1﹣i．故选B．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（3分）（2013•汕头二模）已知集合M{x|y=}，N={x|﹣3≤x≤1}，且M、N都是全集I的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣≤x≤1} B．{x|﹣3≤x≤1} C．{x|﹣3≤x≤﹣} D．{x|1≤x≤}考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：用集合M，N表示出阴影部分的集合；通过解二次不等式求出集合M；利用交集、补集的定义求出中阴影部分所表示的集合．解答：解：图中阴影部分表示N∩（C U M），∵M={x|3﹣x2＞0}={x|﹣＜x＜}，∴C U M={x|x≤﹣或x}，N={x|﹣3≤x≤1}，∴N∩（C U M）={x|﹣3≤x≤﹣}故选C点评：本题考查利用集合的运算表示韦恩图中的集合、考查利用交集、补集的定义求集合的交集、补集．3．（3分）（2013•汕头二模）执行框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是（）A．B．C．D．考点：选择结构．专题：图表型．分析：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，令y=，利用此分段函数的解析式求出相应的x 的即可．解答：解：分析如图执行框图，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当x＞1时，若y=，则x=当x≤1时，若y=，则x﹣1=，x=不合．故选D．点评：本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．4．（3分）（2013•汕头二模）如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由微积分基本定理的几何意义即可得出．解答：解：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形（阴影部分）的面积S==．故选C．点评：正确理解微积分基本定理的几何意义是解题的关键．5．（3分）（2013•汕头二模）给出平面区域G，如图所示，其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）．若使目标函数P=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．4B．2C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：将目标函数P=ax+y化成斜截式方程后得：y=﹣ax+P，所以目标函数值Z是直线族y=﹣ax+P 的截距，当直线族的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数P=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，由此不难得到a的值．解答：解：∵目标函数P=ax+y，∴y=﹣ax+P．故目标函数值Z是直线族y=﹣ax+P的截距，当直线族y=﹣ax+P的斜率与边界AB的斜率相等时，目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，此时，﹣a==﹣4，即a=4，故选A．点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．6．（3分）（2013•汕头二模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）。
广东省广州市2013年普通高中毕业班综合测试(二)理科数学考试试卷(word版)
试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= ． 两数立方差公式：3322() ()a b a b a ab b -=-++．一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的 l ．已知i 为虚数单位，若复数(1)(1)a a -++i 为实数，则实数a 的值为A ．-1B ．0C ． 1D ．不确定2．已知全集U A B = 中有m 个元素，()()U UA A痧中有n 个元索，若A B 非空，则A B 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ．n m -3．已知向量()sin ,cos a x x =，向量(b =，则a b +的最大值为A ．1BC ．3D ．94．若m ，n 是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若//m n ，//n α，则//m αC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥5．在如图1所示的算法流程图中，若()2x f x =，()3g x x =，则()2h 的值为(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“=”) A ．9 B ．8 C ．6 D ．46．已知点(),p x y 的坐标满足10,30,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点，则PO 的最小值为A．2B．2CD7．已知函数()sin f x x =，若12,[,]22x x ππ∈-且()()12f x f x <，则下列不等式中正确的是A ．12x x >B ．12x x <C ．120x x +<D ．2212x x < 8．一个人以6米／秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同)，汽车在时刻t 的速度为()v t t =米／秒．那么．此人A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 (一) 必做题 (9~13题)9．若函数()cos() cos() (>0)2f x x x πωωω=-的最小正周期为π，则m 的值为 ．10．已知椭圆C的离心率2e =，且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重台，则椭圆C 的方程为 ．11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是． 12．图2是一个有n 层(2)n ≥的六边形点阵．它的中心是一个点，算作 第一层．第2层每边有2个点．第3层每边有3个点，…，第n 层 每边有n 个点，则这个点阵的点数共有 个．13．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中2x 的系数为 ． (二) 选做题 (14~15题．考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为142x ty t =+⎧⎨=-⎩(参数t R ∈)，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (参数[0,2]θπ∈)，则直线l 被圆C 所截得的弦长为 ．15．(几何证明选讲选做题) 如图3，半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P ，OD BC ⊥，P 为AD 的中点，6BC =，则弦AD 的长度为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，1tan 2β=．(1) 求tan α值；(2) 求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值．17．(本小题满分12分)如图4，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=°．30CAB ∠=°，1BC =，AD CD =，把DAC ∆沿对角线AC 折起后如图5所示 (点D 记为点P )．点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ． (1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值．18．(本小题满分14分)一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比．每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足15(1) (04)s t t =+≤≤，每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中，则不再进行第二次射击)．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击．命中的概率为45，当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．(1) 在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率；(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练 (每个飞碟是否被命中互不影响)，求他至少命中两个飞碟的概率19．(本小题满分14分)已知抛物线C ：22 (0)x py p => 的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D ．(1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数()32(,)f x x x ax b a b R =-++∈的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为α，()βαβ<，函数()f x 在区间[,]αβ上是单调的(1) 求a 的值和b 的取值范围；(2) 若1x ，2[,]x αβ∈证明：()()121f x f x -≤．21．(本小题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =，且对任意n N ∈*都有1n n a b +=，211n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式； (2) 证明：31324122341123...1 (1) ...n n n na a aa a a a a n nb b b b b b b b ++++++<+<++++．。
2013广州二模理科数学试题及参考答案
试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2013.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．=a b a b B ．+=+a b a b C ．()()= a b c a b c D ．2= a a a 2．直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是图1A ．B ．C ．D ．5．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年8．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，A ．34 B ．1 C ．3 D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）． 12．已知函数()22fx x x =-，点集()()(){}M x y f x f y =+，≤2，()()(){}N x y f x f y =-，≥0，则M N 所构成平面区域的面积为 ．图213．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BFFC的值为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||PH <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =（如图 3）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C（如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ； （2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线AB AD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<； （2）证明：1n n <+1232n a a a +++< ．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．9．54 1010 11．216 12．2π 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222co s 2A B A C BCBAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC∠为△ABC的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ， 在△ABC中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以sin A =．所以2R ==，即R =．…………………8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD中，OB R ==703522BC BD ===， 所以2OD ==………………………………………………………11分= 所以点O到直线BC的距离为m ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BOD π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35taBDOD BOD===∠．…………………………………………………………11分所以点O到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分 17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．………………………………………………1分满足||PH <P 构成的平面区域是以H形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个 直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部 构成． ……………………………………………………………2分其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足||PH <的概率为112484π+π=+．………………………………………………………4分 （2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．………………………………………………………5分其中长度为1的线段有8条，的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度8条，长度为2条． 所以ξ所有可能的取值为127分且()821287P ξ===，(41287P ξ===，()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望为21321127714714E ξ=⨯++⨯++=．…………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分） 证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB=12CE EA =， 所以1AD =，2AE =． 在△ADE 中，60DAE ∠=，由余弦定理得DE ==． 因为222AD DE AE +=， 所以AD DE ⊥．折叠后有1A D D E ⊥．……………………………………………………………………………………2分 ……10分因为二面角1A DE B --是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面B C E D． …………………………3分 又平面1A DE 平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥， 所以1A D ⊥平面B． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．………………5分 由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥PH ．…………………………………………………6分 又1A D BD D = ， 所以PH ⊥平面1A B D ．…………………………………………………………………………………7分所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A B D 所成的角． ……………………………………………………8分设PB x=()03x ≤≤，则2xBH =，2PH x =．…………………………………………………9分 在Rt△1PA H中，160PA H ∠=，所以112A H x=．………………………………………………10分 在Rt△1A DH中，11A D =，122DH x =-．………………………………………………………11分 由22211A D DH A H +=，数学资源网得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．…………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分解法2：由（1）的证明，可知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图．设2PB a =()023a ≤≤，则BH a =，PH =，2DH a =-． ……………………6分 所以()10,0,1A ，()2,0P a -，()E ．…………7分所以()12,,1PA a =- ．…………………………………………………8分因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD 的一个法向量为()DE =．………………………………9分因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，所以11sin 60PA DE PA DE=………………………………………………………10分==，………………………………………11分 解得54a =． ………………………………………………………………………12分 即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意． …………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分数学资源网 19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分） 解：要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………………2分即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………………4分112a <≤．数学资源网112a <≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点．…5分下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围： 方法1：因为()()()1,,1,.a xa x ag x a x ax a--⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分②当1a =时，()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………8分③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．…………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．…………………………7分 要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ………………………10分 若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……11分所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或 …………………………………………………12分解得01a <或112a <≤． ……………………………………………13分 故实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤⎥⎦⎝⎦．……………………………………14分20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y1y =+．………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．……………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．………3分 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．……4分 A B CDOxylE因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．…………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．……6分 所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB，可知BAD ∠45= ．……………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…………………………………10分 所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得02AC =+．……………11分所以△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．……………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………14分 方法2：由点D 到ABAD ，可知BAD ∠45= ．…………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩………10分因为02AB ==-，同理02AC =+． ………………………………………………………11分 以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．…………………………………………………1分 因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．……………………………………………………2分所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内． 而n a 是函数()f x 的零点， 所以01n a <<．…………………………………………………………………………………3分（2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=， 由（1）知01n a <<，所以3n n a a <．…………………………………………………………………………4分 即231n n n n a a a -=<．所以211n a n >+．………………………………………………………………………5分 所以1222211111211n a a a n +++>++++++ ．……………………………6分 以下证明222111112111nn n +++≥++++ ． ① 方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，……………………7分 所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++．……………………………………………9分 方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立． 2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即222111112111kk k +++≥++++ ． 那么()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++． 以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ② 即证()()()21111111k kk k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++． 由于上式显然成立，所以不等式②成立． 即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立． 所以121n na a a n +++>+ ．………………………………………………………9分 再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11324a <<．…………………………………………………………………10分 由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a n n-=<． …………11分 因为当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，……………………………………12分 所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122n =+-<． 所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++< ． 综上所述，1n n <+1232n a a a +++< ．…………………………………………14分。
广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题(WORD解析版)
2013年广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2013•东莞二模）设z=1﹣i（是虚数单位），则=（）A．2B．2+i C．2﹣i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z=1﹣i，∴，==．∴==1+i+1+i=2+2i．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数的定义是解题的关键．2．（5分）（2013•东莞二模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1考点：V enn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．专题：规律型．分析：全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．解答：解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜1．故选C．点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．3．（5分）（2013•湛江一模）若，则a0=（）A．1B．32 C．﹣1 D．﹣32考点：二项式定理的应用．专题：概率与统计．分析：根据（x+1）5=[2+（x﹣1）]5=•25+•24（x﹣1）+•23•（x﹣1）2+•22（x﹣1）3+•2•（X﹣1）4+•（x﹣1）5，结合所给的条件求得a0的值．解答：解：∵（x+1）5=[2+（x﹣1）]5=•25+•24（x﹣1）+•23•（x﹣1）2+•22（x﹣1）3+•2•（X﹣1）4+•（x﹣1）5，而且，故a0=•25=32，故选B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4．（5分）（2013•梅州一模）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图画出几何体的直观图，理清其中的线面关系和数量关系，再由柱体的体积计算公式代入数据计算即可．解答：解：由三视图可知此几何体为一个三棱柱，其直观图如图：底面三角形ABC为底边AB边长为2的三角形，AB边上的高为AM=a，侧棱AD⊥底面ABC，AD=3，∴三棱柱ABC﹣DEF的体积V=S△ABC×AD=×2×a×3=3，∴a=．故选C．点评：本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力5．（5分）（2013•东莞二模）已知函数y=sinx+cosx，则下列结论正确的是（）B．此函数的最大值为1；A．此函数的图象关于直线对称D．此函数的最小正周期为π．C．此函数在区间上是增函数．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，解答：解：因为函数y=sinx+cosx=sin（x+），当时函数值为：0，函数不能取得最值，所以A不正确；函数y=sinx+cosx=sin（x+），当x=时函数取得最大值为，B不正确；因为函数x+∈（），即x在上函数是增函数，所以函数在区间上是增函数，正确．函数的周期是2π，D不正确；故选C．点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的周期与最值、单调性与对称性，考查基本知识的应用．6．（5分）（2013•湛江一模）已知函数f（x）=lg（x2﹣a n x+b n），其中a n，b n的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：程序框图．专题：计算题．分析：要使函数f（x）=lg（x2﹣an x+b n）定义域为R，则必须满足△=＜0，成立．由循环结构输出的数值a i，及b i（i=1，2，3，4，5）进行判定即可．。
广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学理试题
广东省潮州市2013年第二次模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。
第一部分 选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =，则m =A. 0B. 3C. 4D. 3或4 3．已知向量(1,3)a =，(1,0)b =-，则|2|a b +=A ．1 B. C. 2 D. 4 4、函数f （x ）＝｜x －2｜－lnx 在定义域内的零点个数为A 、0B 、1C 、2D 、35．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．6 6.已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=VA ．π12B ．π16C ．π18D ．π647.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶图3数”，事件B =“取到的2个数 均为偶数”，则(|)P B A = （ ）. (A)18 (B) 14 (C) 25 (D)128．设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗= , 已知1(,2)2m =，11(,sin )n x x =。
广东省某重点中学2013届高三数学理高考冲刺之广州二模巩固练习二 含答案
2013届高三冲刺复习 二模后巩固练习二 2013—4-25现在的你:上知天体运行原理，下知有机无机反应，前有椭圆双曲线，后有杂交生物圈，外可说英语，内可修古文，求得了数列,写得了文章，溯源中华上下五千年……现在的你，想必是最强大的。
请珍惜你人生中最强大最全面的最后一个月。
相信自己，加油，fighting !！！ 1、如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1D ．22、若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k有关的数值3、若R b a ∈,，为虚数单位,且5()2a i i b i+=+-,则a b +=（ ）A .2-.B .0C 。
1D 。
24、执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←"或“﹕="） 5、某校高三（1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表：BB 26 A 与C 12 C26B 与C13则三个模块都选择的学生人数是ks5uA ．7B ．6C ．5D ．46、已知01a <<，01x y <<≤,且loglog 1aa x y =，那么xy 的取值范围是A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，7、如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2,分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧， 三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）． 若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 ．8、（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ． 若3AD AE =，则:AF FC = ．9、在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验,过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二第15题图FA BC D EM l实验区，且两个实验区是互通的。
2013届广东省潮州市高三第二次模拟考试理科数学试题及答案
广东省潮州市2013年第二次模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。
第一部分 选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B = ，则m = A. 0 B. 3 C. 4 D. 3或43．已知向量(1a = ，(1,0)b =- ，则|2|a b +=A ．1 C. 2 D. 4 4、函数f （x ）＝｜x －2｜－lnx 在定义域内的零点个数为 A 、0B 、1C 、2D 、35．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．66.已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=VA ．π12B ．π16C ．π18D ．π647.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数 均为偶数”，则(|)P B A = （ ）.(A) 18 (B) 14(C) 25 (D)128．设向量12(,)a a a = ，12(,)b b b = ，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m = ，11(,sin )n x x = 。
2013年广州二模数学理科试题
2013年广州二模数学理科试题考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷有三个大题，26个小题．满分为130分，考试时间为120分钟．2．请用蓝、黑圆珠笔或水笔答题，并按要求将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．3．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．4．抛物线的顶点坐标为．试题卷Ⅰ一．选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 的值等于（▲）A．4 B． C． D．22．据媒体报道，我国因环境问题造成的经济损失每年高达680 000 000元，这个数用科学记数法可表示为( ▲).A. B. C. D.3．计算的结果是（▲）A．B．C．D．4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是………………………（▲）A． B． C． D．5．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米, CA=1米, 则树的高度为（▲）A. 4.5米B. 6米C. 3米D. 4米6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（▲）A．r B．22 r C．10 r D．3r7．小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（▲）A．x=1B．x=2 C．x=3 D．x=48．从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作边，能组成三角形的概率为（▲）A．B．C．D．9．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（▲）．A．B．若MN与⊙O相切，则C．l1和l2的距离为2 D．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切10. 如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b 的值为( ▲)A．3 B．C．D．11．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线（a ＜0）的图象上，则a的值为（▲）A．B．C．D．12. 如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上（）A．1 B．2 C．3 D．5试题卷Ⅱ二、填空题（每小题3分，共18分）13．在函数y= 1 x－2 中，自变量x的取值范围是▲.14．已知关于x的方程的一个根是1，则k= ▲．15. 如图，在长为8 ，宽为4 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是▲.16．抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是▲17．如图，在中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是▲18. 如图,已知点A（0,2）、B（,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是▲；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是▲.三．解答题（第19题6分，第20-22题各8分，第23-24题10分，第25题12分，第26题14分，共76分）19. （本题6分）计算:20.先化简再求值：，其中．21．（本题8分）某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；（3）2012年宁波市区初二学生约为2万人，按此调查，可以估计2012年宁波市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？（4）请根据以上结论谈谈你的看法.22. （本题8分）如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB=10cm，求阴影部分面积．23．宁波滨海水产城一养殖专业户陈某承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：(1) 2011年，陈某养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩．求陈某这一年共收益多少万元？（收益＝销售额－成本）(2) 2011年，陈某继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3) 已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求陈某原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?24. (1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么的度数为。
广东省汕头市2013届高三第二次模拟考试试题(理科数学Word版)
汕头市2013年普通高中高三教学质量测评试题(二)理 科 数 学一、选择题1. 算数z 满足()2z i i i -=+，则z =A ．1i --B ．1i -C ．13i -+D ．12i -2．已知集合{{}|,|31M x y N x x ===-≤≤，且,M N 都是全集U 的子集，则右边韦恩图中阴影部分表示的集合为A ．{}|1x x ≤≤ B ．{}|31x x -≤≤ C ．{|3x x -≤≤D ．{|1x x ≤≤3. 执行右边的框图，若输出的结果为12，则输入的实数x 的值是A ．14 B ．32 C 4．如图所示，图中曲线方程为21y x =-，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是5．给出平面区域G ，如图所示，其中(5,3),(2,1),(1,5)A B C ，若使目标函数(0)z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个，则a 的值为A ．12 B ．23 C ．2 D ．4 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是A ．403 B C ．503 D7．已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1,a b 且*1111125,,,a b a b a b N +=>∈，则数列{}n b 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．100 8．关于二项式2013(1)x -有下列命题：（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为620072013C x ；（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；（4）当2014x =时，2013(1)x -除以2014的余数是2013。
其中正确命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（一）必做题（9-13题）9．某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如下图，据此可以了解分数在[50,60)的频率为 ，并且推算全班人数为 。
2013广州二模文科数学答案
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 23 4 56 7 8 9 10答案 C D D A C B B C A B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12．210 13．36；3981 14．1415．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ……………………10分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以3sin 2A =． 所以7014032332R ==，即7033R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===， 所以2222703353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分 3533=． 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BOD π∠=．…………………………………………………………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， ABCODABCOD所以35353tan tan 603BD OD BOD ===∠．…………………………………………………………11分 所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为ABAC A =，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分 因为PACA A =，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分 所以2222224AC AB BC x x =-=-=-．…………9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 2146x x =-………………………………………………………………………………10分()22146x x =- ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当224x x =-，即2x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………………………………………………………………7分 因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，……………………………………………………8分 PABC则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分 所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13． …………………………………………………………………12分 此时2cos24BC π==．………………………………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………………3分所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n n n n S a a a a a a a a a a -+=+++++ 1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分 所以224361m n m m =-++． 因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<． 因为1m >，所以231133m <<+<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分 所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分 且2()2af x x x'=-．………………………………………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分 由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………………………………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于()()2222()x a x ax a f x x x+--'==， 所以函数()f x 在区间()0,a 上为减函数，在区间(),a +∞上为增函数．………………………7分（ⅰ）若1a ≤，即01a <≤时，()[1,2],a ⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分 （ⅱ）若12a <≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间()1,a 为减函数，在(),2a 上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为()ln f a a a a =-．……………………………………11分（ⅲ）若2a >，即4a >时，()[1,2]0,a ⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为()ln fa a a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分 且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．………………………………………………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分 由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分 所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．………………………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分 所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．………………………………11分 所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， A B CDOxylE直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分 方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．…………………………………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥． 由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为()2222202001122244AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，同理0222AC x =+． ………………………………………………………………………………11分 以下同方法1．。
2013年广东汕头高考二模数学(理)试题Word版(含答案)
汕头市2013年普通高中高三教学质量测评试题(二) 理 科 数 学 一、选择题1. 算数z 满足()2z i i i -=+，则z =A ．1i --B ．1i -C ．13i -+D ．12i -2．已知集合{{}|,|31M x y N x x ===-≤≤，且,M N 都是全集U 的子集，则右边韦恩图中阴影部分表示的集合为 A．{}|1x x ≤B ．{}|31x x -≤≤ C．{|3x x -≤≤D．{|1x x ≤≤3. 执行右边的框图，若输出的结果为12，则输入的实数x 的值是A ．14B ．32 C．2 D4．如图所示，图中曲线方程为21y x =-，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是5．给出平面区域G ，如图所示，其中(5,3),(2,1),(1,5)A B C ，若使目标函数(0)z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个，则a 的值为A ．12B ．23 C ．2 D ．46．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是A ．403 B．3 C ．503 D．67．已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1,a b 且*1111125,,,a b a b a b N +=>∈，则数列{}n b 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．1008．关于二项式2013(1)x -有下列命题：（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；（2）该二项展开式中第六项为620072013C x ；（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；（4）当2014x =时，2013(1)x -除以2014的余数是2013。
其中正确命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（一）必做题（9-13题） 9．某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如下图，据此可以了解分数在[50,60)的频率为 ，并且推算全班人数为 。
广东省2013届高三数学广州二模热身考试试题理新人教A版
E
Bx
n AF (x，ｙ，ｚ) (0 ,2 5,-2) 2 5y - 2z 0 n BF (x ，ｙ，ｚ) (-4 ,2 5,0) 2 5y - 4x 0
令 y 1 ，则 x
5 ,z 2
5,即 n （ 5 ， 1， 5 ） 2
,, 11 分
6
设直线 EF 与平面 ABF 所成角的大小为 ，则
sin COS n, EF
如图，圆柱的高为 2，底面半径为 3,AE、 DF 是圆柱的两条母线，
的两点 , 已知四边形 ABCD是正方形。
（Ⅰ）求证： BC BE ；
（Ⅱ）求直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值。
D
B、 C 是下底面圆周上
A F C
E
B
19．（本小题满分 14 分） 如图，抛物线 C1 : y2
x2 8x 与双曲线 C2 : 2
y=x 4
y=8 x
x >2？
输出 y
13．已知 AD 是 ABC 的中线， AD AB AC ( , R) ，
结束
那么
；若 A 120 ， AB AC 2 ，则 AD 的最小值是
（二）选做题（ 14 - 15 题，考生只能从中选做一题）
是
y=6
．
14 ．（ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 在 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
A． 1-
8
B ． 1-
C ． 1-
4
2
8、用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数，定义 A B
D
．1- 3
4
C( A) C( B),当 C( A) C (B) ，若
广东省广州市高三数学二轮复习 二模综合练习二 理
2013届高三二轮复习二模综合练习二不等式+充要条件1、设集合{}24A x x =<，2213x B x x ⎧⎫+=<⎨⎬+⎩⎭． （1）A B I =_______（2）若不等式220x ax b ++<的解集为A B U ，则a =__________，b =_______ 2、写出命题:p 2,6(8)0x R kx kx k ∃∈-++≤的否定______________若p 是假命题，则实数k 的取值范围为______________3、（1）若不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为∅,则a 的取值范围为_____________. （2）若不等式|x-2|—|x+3|<a 的解集为∅,则a 的取值范围为____________ （3）若不等式|x-2|—|x+3|<a 恒成立,则a 的取值范围为_____________. （4）若不等式|x-2|—|x+3|<a 有解,则a 的取值范围为_____________.4、满足方程1414=+-x x 的x 的解集为___________________5、（1）若13x <，则43131y x x =++-存在最________值（填大、小）为________ （2）242x x y -=存在最____值（填大、小）为____________，此时x =________6、若函数51-=+x a y 恒过定点A ，且点A 在直线()0,001>>=++n m ny mx 上，则nm 21+存在最________值（填大、小）为______________ 7、我市某旅行社组团参加香山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额y （元）之间近似地满足关系：224010000y x x =-+-．那么游客的人均消费额最高为 元． 8、已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为 ．9、已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ， 则实数a 的取值范围为 ．10、设x ，y ∈R ，则“x ＝0”是“复数x+yi 为纯虚数”的（ ） A 充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11、设,,,,a b R ∈则“1a ≥且1b ≥”是“2a b +≥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12、已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13、“a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的 （ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14、“1,1a b <<” 是“2a b +<”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15、条件p ：21<-x ，条件q ：3212++-=x x y ，则p ⌝是q ⌝成立的 （ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件16、已知ABC ∆的角A 、B 、C ，所对的边分别是a 、b 、c ，且3π=C ，设向量m (a,b),n (sin B,sin A),p=b-2,a-2)==u u r r r（.（1）若m //n u u r r ，求B ； （2）若ABC m p,S ∆⊥=u u r rc 。
广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题(含答案)
揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|A x y ==，则=A C UA.[0,)+∞B.(,0)-∞C. (0,)+∞D. (,0]-∞ 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi +=A ．12i + BC．2D ．543．已知点A (1,5)-和向量a =（2,3），若3AB a =，则点B 的坐标为 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5，14) 4．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若129m a a a a =+++，则m 的值为A ．37B ．36C ．20D ．19 5．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示，则该几何体的体积为A.7B.223C.476D.233图（1）6．已知函数1()ln(1)f x x x =-+,则()y f x =的图象大致为侧视图正视图7．某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为A.18B.24C.30D.36 8.设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑= A.1()2f B.1()3f C. 1()4f D. 1()5f 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．若点(,1)a -在函数13log y x =的图象上，则4tanaπ的值为 ． 10．过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .11．某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个 图（2）元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．元件2元件112．已知函数()4||21f x a x a =-+．若命题：“0(0,1)x ∃∈，使0()0f x =”是真命题，则实数a 的取值范围为 ． 13．已知点(,)P x y 满足01,0 2.x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线l 过圆C：)4πρθ=-的圆心C ，且与直线OC 垂直，则直线l 的极坐标方程为 ．15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）所示，,C D 是半圆周上的两个三等分点，直径4AB =，CE AB ⊥，垂足为E ，BD 与CE 相交于点F ，则BF 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （1）求函数()f x 的定义域；（2）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值．17. （本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望． 18．（本小题满分14分）数列{}n a 中，13a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （1）求c 的值； （2）求{}n a 的通项公式；（3）求最小的自然数n ，使2013n a ≥．图3BA o19．（本小题满分14分）在图（4）所示的长方形ABCD 中， AD=2AB=2，E 、F 分别为AD 、BC 的中点， M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动，且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C ，如图（5）所示，其中(0,]2πθ∈图（5）图（4）MN FDC B AE（1）当045θ=时，求三棱柱BCF-ADE 的体积；（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN 总与平面BCF 平行；（3）当090θ=且2a =时，求异面直线MN 与AC 所成角余弦值．20. （本小题满分14分）如图（6）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点作倾斜角为3π的直线t ，交l 于点A ，交圆M 于点B,且||||2AO OB ==．（1）求圆M 和抛物线C 的方程；（2）设,G H 是抛物线C 上异于原点O 的两个不同点，且0OG OH ⋅=,求GOH ∆面积的最小值；（3）在抛物线C 上是否存在两点Q P ,关于直线()():10m y k x k =-≠对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a （1,2,n =）．（1）求12,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立．数学(理科)参考答案及评分说明一．选择题：解析：1．由210x-≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ．2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+=选C ． 3．设(,)B x y ，由3AB a =得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111xg x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C .8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故81i i a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-，故选C.二．填空题：9．依题意得3a =，则4tana π=4tan3π= 10．双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43y x =±，所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=．11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12p =，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：2131(1)4P p =--=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >. 13．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-15.依题意知30DBA ∠=,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以3BF =三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠，解得,2x k k Z ππ≠+∈，------------2分即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵1)4()cos x f x xπ-=122)22cos x x x =1cos 2sin 2cos x xx +-=--------6分22cos 2sin cos cos x x xx -= 2(cos sin )x x =--------------------------------------------------8分由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+= ∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=----------------------10分∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-----------------------------------------------------------12分17. 解：（1）设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，------------------------------2分故2232336()()55125P A C =⨯=. ------------------------------------------5分 (2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23C 25＝18100＝950， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13·C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝1550， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 22C 25＝125．-----------------------------10分ξ的分布列为分数学期望为E ξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分 ∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， --------------------------------2分 解得0c =或3c =． --------------------------------3分 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．-------------------------------4分 （2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-，G EBCD FN MN 1M 1EBC DFNM得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．--------------------------------6分 又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=，，．-------------------------8分当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．--------------------------------9分 （3）由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥，即213400n n --≥--------------------------10分 ∵n N ∈*,∴n ≥141813622+⨯>=--------------------------------11分令37n =，得3720012013a =<，令38n =得3821122013a =>----------------------13分 ∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =．--------------------------------14分19．解：（1）依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ，DEA ∠=θ-------2分由45θ=得，12sin 4524ADE S DE EA ∆=⋅=, ∴4BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=----------------------------------------------------------------------4分（2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF=== ∴11MM NN =--------------------------------7分 ∴四边形11MNN M 为平行四边形，--------------------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面--------------------10分【法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FGNE MA GE== //NG CF ∴--------------------------------------------------------------6分,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，------------7分同理可证得//MG BCF 面，又MGNG G =, ∴平面MNG//平面BCF-------------9分QEABC DFNM∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面．----------------------------------------------------10分】 （3）法一：取CF 的中点为Q ，连结MQ 、NQ ，则MQ//AC ， ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角，--------11分∵090θ=且a =∴12NQ =,MQ ==MN ∴=---------------------------------------------------------------------12分222cos 2QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC所成角的余弦值为3--------------------------------14分 【法二：∵090θ=且2a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. --------------11分 则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得----12分cos ,3AC MN ∴<>==，……………………………………………13分 所以与AC…………………………………………………14分】 20. 解：(1)∵1cos 602122p OA ==⨯=，即2p =， ∴所求抛物线的方程为24y x = --------------------------------2分 ∴设圆的半径为r ，则122cos60OB r =⋅=，∴圆的方程为22(2)4x y -+=.--------------4分(2) 设()()1122,,,G x y H x y ，由0OG OH ⋅=得02121=+y y x x∵2211224,4y x y x ==，∴1216x x =， --------------------------------6分 ∵12GOH S OG OH ∆=,∴()()222222*********GOHS OG OH x y x y ∆==++=()()2211221444x x x x ++ =()()21212121214164x x x x x x x x ⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x ⎡⎤+⋅⎣⎦=256∴16GOH S ∆≥,当且仅当122x x ==时取等号，∴GOH ∆面积最小值为16.-------------------------------------------9分 (3) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上，∴2233444,4y x y x ==两式相减得：()()()3434344y y y y x x -+=---------------------------------11分∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--，∴02y k =-∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上∴010x =-<，点()00,y x D 在抛物线外--------------------------------13分∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. --------------------------14分 21．解：（1）解法1：∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=----------1分当1n =时，1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴1111()28a f ==， --------------------------------------------------3分 当2n =时，2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴2211()216a f ==---------------------------------------------------5分 【解法2：当1n =时，21()(1)f x x x =-，则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x=---=--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减，∴1111()28a f ==， 当2n =时，222()(1)f x x x =-，则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减，∴2211()216a f ==】（2）令'()0n f x =得1x =或2n x n =+，∵当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >，当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <，-----------------------7分 故()n f x 在2nx n =+处取得最大值，即当3n ≥时，22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)nn n n +=+,------（*）------------------9分 当2n =时（*）仍然成立，综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩ -------------------------------------10分（3）当2n ≥时，要证2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n +≥-------------------11分∵01222(1)()()n n nn n n C C C nn n +=+++2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=∴对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立.--------------------------------14分。
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2013届高三冲刺复习 二模后巩固练习二 2013-4-25
现在的你：上知天体运行原理，下知有机无机反应，前有椭圆双曲线，后有杂交生物圈，外可说英语，内可修古文，求得了数列，写得了文章，溯源中华上下五千年……现在的你，想必是最强大的。
请珍惜你人生中最强大最全面的最后一个月。
相信自己，加油，fighting ！！！ 1、如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 2、若直线()1y k x =+与圆()2
211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为
A ．2
B ．1
C ．
1
2 D ．与k 有关的数值 3、若R b a ∈,，为虚数单位，且5
()2a i i b i
+=+-，则a b +=（ ）
A .2-.
B .0
C . 1
D . 2 4、执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为
A ．225
B ．196
C ．169
D ．144
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“﹕
”）
5、某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，则三个模块都选择的学生人数是学优高考网
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4 6、已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y =，那么xy 的取值范围是 A ．(
20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛
⎤ ⎥⎝
⎦
，
D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
7、如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别
以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧， 三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）． 若在此三角形内随机取一点P ，
则点P 落在区域M 内的概率为 ．
8、（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的
中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．
第15题图
F A
B
C
D E
M
l
若3AD AE =，则:AF FC = ．
9、在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。
假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率； （3）记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望EX 。
10、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求点C 到平面PBD 的距离.
（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为
9
6
2， P
若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由。
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（附加题）
1、对于附加题，如果小测有时间就小测时候做，没有时间课后一定得完成。
2、对于附加题，必须是小测时在其他题做完的前提下才可以做。
11、如图所示，角A 为钝角，且5
4
cos -
=A ，点P 、Q 分别在角A 的两边上.
（1）已知AP =5，AQ =2，求PQ 的长；
（2）设)2sin(,13
12
cos ,,βααβα+==∠=∠求且AQP APQ 的值.
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2013届高三冲刺复习 二模后巩固练习二 2013-4-25 9、在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。
假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；学优高考网
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；
（3）记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望EX 。
解：（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A , “蜜蜂落入第二实验区”为事件B .…1分
依题意，()111
1
342183
S h V P A V S h ⋅⋅⋅===⋅圆锥底面圆锥小椎体圆椎体圆锥底面圆锥 …………3分
∴ ()7()18P B P A =-= ∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为7
8。
……………4分
（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C ，则 ………………5分
30109
1
102
708708187)(==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=C C P
∴ 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率
30
70
2. …………………8分 （3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影
响的，所以变量X 满足二项分布，即X ～140,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
………………………10分 ∴随机变量X 的数学期望EX =40×
1
8
=5 ………………………12分
10、 如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求点C 到平面PBD 的距离.
（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为
96
2，
若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由。
4.解：（Ⅰ）在R t △BAD 中，AD =2，BD =22，
∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ………1分 ∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ………2分 设C 到面PBD 的距离为d ，由PBD C BCD P V V --=，
D
P A
C
B
有11
3
3
BCD PBD S PA S d ∆∆⋅⋅=
⋅⋅，
即201111
222sin 603232
d ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅，…4分 得33
2=d ………5分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系 因为Q 在DP 上，所以可设()10<<=λλ
又()2,2,0-=DP ,
()()λλλ2,2,00,2,0=-+=+=+=∴DP AD DQ AD AQ
()λλ2,22,0-∴Q ,()()λλλλ,,122,2,2--=--=∴.………8分
易求平面PBD 的法向量为()1,1,1=，………10分（应有过程） 所以设CQ 与平面PBD 所成的角为θ，则有：
2
2131cos sin λ
θ+=
=
=………12分
所以有
69221312
=
+λ，1612=λ，10<<λ ， 4
1
=∴λ………13分 所以存在且DP DQ 4
1
=………14分
11、如图所示，角A 为钝角，且5
4
cos -
=A ，点P 、Q 分别在角A 的两边上.
（1）已知AP =5，AQ =2，求PQ 的长； （2）设)2sin(,13
12
cos ,,βααβα+==∠=∠求且AQP APQ 的值.
解：（1）A ∠ 是钝角，3sin 5A =
，4cos 5
A ∴=- ………………1分
在APQ ∆中，由余弦定理得：222
2cos PQ AP AQ AP AQ A =+-⋅ 所以2
8200AQ AQ +-=
………………4分
解得2AQ = 或10-（舍去负值），所以2AQ = …………………6分 （2）由13
5
sin ,1312cos ==
αα得 …………………7分
在三角形APQ 中，A αβπ++=
又3sin()sin()sin ,5
A A αβπ+=-==
…………………8分
4cos()cos 5
A αβ+=-=
………………9分 sin(2)sin[()]αβααβ∴+=++sin cos()cos sin()ααβααβ=+++……11分
6556
53131254135=
⋅+⋅= (12)。