太原市高考数学一模试卷(理科)A卷
2022届山西省太原市高三模拟考试(一)理科数学试卷
太原市2022年高三年级模拟考试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AADACBCBDBBC二、填空题13. 4− 14. 2213y x −= 15.12 16. ①②④三、简答题17. 解：（1）由23n n S a +=，得1123(2)n n S a n −−+=≥， 两式相减得：120n n n a a a −+−=，即113n n a a −=，………………………………………………..…………….3分 令1n =得11a =，故{}n a 是首项为1公比为13的等比数列，113n n a −=；………………………………….4分（2）当1n =时，114b a =， 14b =，…………………………………………………………………………….5分 当2n ≥时，31212313(21)n n nb b b b n a a a a ++++=+− ， 又13112123113(23)n n n b b b b n a a a a −−−++++=+− ， 两式相减，得113(21)3(23)34n n n nnb n n n a −−=−−−=⋅， 所以4n b n =, 当1n =时14b =也适合，因此4n b n =. …………………………………………………………………….8分（3）22(1)16(1)n n nn c b n =−−， ……………………………………………………………………………….9分 设212n n n d c c −=+2216[(2)(21)]16(41)n n n =−−=−，则212316(21)n n T d d d d n n =++++=+ . …………………………………………………………….12分18. 解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率2232439432C p C =⋅=（）. ………………………4分 （2）设甲班能正确回答题目的人数为X ，X 的取值分别为1，2，P （X=1）= 132412C C =， P （X=2）=232412C C =，………………………………………………………………6分则E （X ）=11312222×+×= ， D （X ）=2231311(1)(2)22224−×+−×=, …………………………………………………………………8分 乙班能正确回答题目的人数为Y ，Y 的取值分别为0，1，2， ∵Y ～B （2，34），∴E （Y ）=33242×=， D （Y ）=3132448××=, ……………………………………..11分 由E （X ）=E （Y ），D （X ）＜D （Y ）知，由甲班代表学校参加大赛更好. ……………………………..12分 19.解：（1）因为//AB 平面PCD ，AB ⊂平面OPD ，平面OPD 平面PCD PD =，所以AB PD ， …………………………………………………………………………………….. 2分 又6AOD π∠=，所以23POD π∠=，……………………………………………………………………. 3分又1OD OP ==，所以PD =. ……………………………………………………………………… 5分（2）由题意知OC ⊥平面POD ，而1sin 2DOP S OD OP DOP =⋅⋅⋅∠△， 所以当OD OP ⊥时，三棱锥P COD −的体积最大. ………………..6分 解法一 易知,,OC OD OP 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OC OD OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O xyz −， 则(1,0,0)C ，(0,0,1)D ，(0,1,0)P ，(1,1,0)PC =− ，(0,1,1)DP =−. ………………………………7分 设平面PDC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,PC DP ⋅=⋅=n n取1y =，得平面DPC 的一个法向量为1(1,1,1)=n . ……………………………………9分zyx易知平面POD 的一个法向量为2(1,0,0)=n ， …………………………………………10分设二面角O PC D −−的平面角为θ，则1212cos θ⋅==n n n n ， 由题图知，二面角O PD C −−的平面角为锐角， 所以二面角O PC D −−. …………………………………………………………………12分 解法二 如图所示，取PD 的中点M ，连接,OM CM . 因为OD OP =，CD CP =，所以OM PD ⊥，CM PD ⊥， 即OMC ∠为所求二面角的平面角. 在等腰Rt OPD △中可得OM =，而1OC =，tan OMC ∴∠，cos OMC ∠，故二面角O PD C −−.20. 解：（1）设直线AB 的方程为4x my =+，它与抛物线的两个交点为A ()11,x y 和B ()22,x y ， 联立直线与抛物线方程24,2,x my y px =+= 消去x 得：2280y pmy p −−=，122y y pm ∴+= ，① 128y y p =− ， ② ……………………………………………2分 OA OB ⊥ ，1OA OB k k =− ，12120x x y y +=即， 212122()04y y y y p∴+=， 1680p −=，2p ∴=， ………………………………………………………..5分 抛物线方程为24y x =. ……………………………………………………………………………….…..6分 （2）设点,,,A B C D 的纵坐标依次为1234,,,y y y y ，设直线AF 的方程为1x ny =+， 联立方程21,4,x ny y x =+ = 消去x 得：2440y ny −−=，134y y ∴=− ， …………………………………………………………………………8分同理244y y =−， …………………………………………………………………………9分M由（1）中②可知：1216y y =−， 341y y ∴=−，…………………………………………………...............10分 121||||sin ||||21sin 2AF BF AFB S AF BF S CF DF CF DF CFD ∠∠∴=1243y y y y =16=，即12S S 为定值16. …………………...............12分 21．解:（1）函数()1x f x xe x =−−的定义域是R ，()(1)1x f x x e +′=−，…………………..………1分 令()(1)1xg x x e =+−， []1,1x ∈− ，则()(2)0x g x x e +′=>．∴()f x ′在[]1,1−上单调递增．又0x =时，()0f x ′=， ∴在[)1,0−上，()0f x ′<，()f x 单调递减；在[]0,1上，()0,()f x f x >′单调递增，…………………3分又1(1)f e−=−，(1)2f e =−，(0)1f =−， ∴函数()f x 在区间[]1,1−上的最小值为1−，最大值为2e −． …………………………………………5分（2）解法一：由()ln 2f x x m =+−，得ln 1x xe x x m −−+=，0x >，令()ln 1x g x xe x x =−−+，则1(1)(1)()1x x xx x xe g x e xe x +−′−−=+=，……………………………6分 令()1,()(1)0x x m x xe m x x e ′=−=+>则，则()m x 在(0,)+∞上单调递增， ………………7分 且110,(1)102m m e =−<=−> ， ∴存在01,12x∈ ，使得()00m x =，即001x e x =，从而00ln x x =−， ∴当()00,x x ∈时，()0m x <，即()0g x ′<，则()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时．()0m x >，即()0g x ′>，则()g x 单调递增．∴()0min 000000001()ln 112x g x g x x e x x x x x x −−+⋅−++， ………………9分 又易知，当0x +→时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞.∴当2m <时，方程()ln 2f x x m =+−没有实根；当2m =时，方程()ln 2f x x m =+−有1个实根；当2m >时，方程()ln 2f x x m =+−有2个实根． …………………………………………………..12分22.解：（1）因为P的极坐标为3)4π，所以324x π==−，324y π=， 所以P 的直角坐标为(2,2)−； ……………………………………………………..2分由2cos 24sin 30ρθρθ+−=，得2222cos sin 4sin 30ρθρθρθ−+−=， 所以22430x y y −+−=， 即22(2)1y x −−=. ……………………………………………………..5分 （2）将325x t =−+，425y t =+代入22(2)1y x −−=，得 271250255t t +−=， ……………………………………………………..7分 12607t t +=−， ……………………………………………………..8分 P 坐标为(2,2)−，点M 对应参数值为123027t t +=− , ∴点P 到线段AB 中点M 距离为307. ……………………………………………………..10分23.解： (1) 由()1f x ≥−，得(1)(21)1,(1)(21)1,(1)(21)1,111,,1,22x x x x x x x x x −−+−≥−−−−−≥− −−−≥− ≥<≤<或或 解得 1111,122x x x −≤<≤<=,或或， ……………………………………………………..…………………………………………..3分 即11x −≤≤， …………………………………………………………………………………..…………………………………………..4分 故满足不等式()1f x ≥−的最大整数1a = . ……………………………………………………..5分(2)由(1)知,1,()x y ∈+∞,又因为4x y +=，设1m x =−，1n y =−，因此,m n R +∈且2m n +=, 2211x y z x y =+−−22(1)(1)n m m n+++22(3)(3)m n m n −−+9966m n m n =−++−+ 119()10m n=+−8≥， ………………………………….9分 当且仅当m n =即当且仅当x y =时等号成立，所以z 的最小值为8. ………………………………….10分（注：其他正确解法相应付分）。
山西省太原市2022届高三第一次模拟数学(理)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）A．B．C．D． 2. “”是“直线与圆相切”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A．B．C．D．4. 已知，，，，，则的最大值是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．325. 如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6. 已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形7. 已知双曲线的上焦点为，上、下顶点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，的中点为，连接交轴于点，若，，三点共线，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C．D．8. 已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D 与最低点E ，F 为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（）A ．0.125HzB ．0.25HzC ．0.4HzD ．0.5Hz9. （多选）定义：表示的解集中整数的个数.若，，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，=0B．当时，不等式的解集是山西省太原市2022届高三第一次模拟数学（理）试题(高频考点版)山西省太原市2022届高三第一次模拟数学（理）试题(高频考点版)三、填空题四、解答题C ．当时，=3D ．当时，若，则实数的取值范围是10. 已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）A ．曲线可表示为焦点在轴的椭圆B．曲线可表示为焦距是4的双曲线C ．曲线可表示为离心率是的椭圆D ．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线11. 已知函数（a为常数，）的图像关于直线对称，函数，则下面说法正确的是（ ）A．将的图像向左平移个单位可以得到的图像B．的图像关于点对称C ．在上单调递减D．的最大值为112. 若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a 可能是（ ）A．B ．0C．D ．113. 已知，，则__，___．14. 已知集合，若则的值是________15.已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为______.16. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数（）的值域为，求b 的值；（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n 是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．17. 已知椭圆E ：的离心率为，且经过点(-1，).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设椭圆E 的右顶点为A ，点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左､右顶点的动点，直线l ：交x 轴于点P ，直线PB 交椭圆E 于另一点C ，直线BA 和CA 分别交直线l 于点M 和N ，若O ､A ､M ､N 四点共圆，求t 的值.18. 在斜三角形中，内角所对的边分别为，已知．(1)证明：；(2)若的面积，求的最小值．19. 已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）．（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围．20. 已知函数，.（1）设时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，.21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最小值.。
2022年山西省太原市高考数学模拟试卷(理科)(一)(一模)(附答案详解)
2022年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（一）（一模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(1+i)z=2+i，则z−=()A. 32+12i B. 32−12i C. 12+12i D. 12−12i2.已知全集为U，集合A={−2,0,1,2}，B={x|−2≤x≤0}，集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为()A. (−2,0)B. [−1,0]C. {−1,0}D. {−2,1,2}3.设a⃗，b⃗ 为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是()A. 若a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=0，则a⃗=b⃗B. 若b⃗ =λa⃗，则|a⃗|+|b⃗ |=|a⃗+b⃗ |C. 若λa⃗+μb⃗ =0⃗，则λ=μ=0D. 若|a⃗|>|b⃗ |，则(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )>04.南北朝时期数学家，天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：幂势既同，则积不容异，其中“幂”指截面积，“势”指几何体的高．意思是说：两个等高几何体，若在每一等高处截面积都相等，则两个几何体体积相等．已知某不规则几何体与一个由正方体和三棱锥组成的几何体满足“幂势同”，组合体的三视图如图所示，则该不规则几何体的体积为()A. 263B. 10 C. 12 D. 3235. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b =6，a =2c ，B =π3，则△ABC 的面积为( )A. 2√3B. 3√3C. 6√3D. 66. 为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有( )A. 18种B. 36种C. 68种D. 84种7. 下列函数图象中，函数f(x)=x αe |x|(α∈Z)的图象不可能的是( )A.B.C.D.8. 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1斜率为√33的直线交椭圆于点P ，若2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，则椭圆E 的离心率是( )A. √3+1B. √3−1C. √33 D. √229. 已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10°)=1，则α的值为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 70°10. 在平面直角坐标系中，从x 轴上点P(t,0)向圆(x −2)2+(y −3)2=5作一条切线，设切线长为m ，点P 到直线x −2y −6=0的距离为n ，当m +n 取最小值时，t 的值为( )A. 2B. 3C. 72D. 411. 已知实数x 、y 满足x ⋅2x =7，y(log 2y −2)=28，则xy =( )A. 112B. 28C. 7D. 412. 已知函数f(x)={−ln(x +1),x >0x 3+3x 2+3x,x ≤0，若函数y =f(x)−ax 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,34)B. (34,+∞)C. (34,3)D. (−1,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (1−2x 2)(1+x)4的展开式中x 3的系数为______． 14. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为______．15. 已知在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =2，若三棱锥的外接球体积为4√3π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为______． 16. 设函数f(x)=√3|sinx|−|cosx|，给出下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π； ②f(x)的值域为[−1,√3]； ③f(x)在(−π2,π2)上单调递增； ④f(x)在[−π,π]上有4个零点． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n +a n =3，数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+b 3a 3+⋯+bna n=1+3n (2n −1)，n ∈N ∗． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)设数列c n =(−1)n b n 2，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．18. 某校计划从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“中学数学建模”比赛，经过层层选拔，甲、乙两个班级最后进入决赛．规定通过回答1道题目做为最后参赛的依据．现每个班级出4名选手，再从4名选手中各随机抽取2人回答这个题目．已知甲班的4人中有3人可以正确回答这道题目，乙班的4人能正确回答这道题目的概率均，甲、乙两班每个人对题目的回答都是相互独立、互不影响的．为34(1)求从甲、乙两个班级的选手中抽取的4人都能正确回答的概率；(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y)，并由此分析由哪个班级代表学校参加比赛更好．19.已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB=2，圆周上有C、D两点．如图，OC⊥AB，∠AOB=π，点P是BD⏜上的动点．沿AB将纸片折为直二面角，并连结PO，PD，PC，6CD．(1)当AB//平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥P−COD的体积最大时，求二面角O−PD−C的余弦值．20. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点O 为坐标原点，一条直线过定点M(4,0)与抛物线相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ． (1)求抛物线方程；(2)连接AF ，BF 并延长交抛物线于C 、D 两点，设△FAB 和△FCD 的面积分别为S 1和S 2，则S 1S 2是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．21. 已知函数f(x)=xe x −x −1．(1)求函数f(x)在区间[−1,1]上的最值； (2)讨论方程f(x)=lnx +m −2的实根个数．22. 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{x =−2+35ty =2+45t(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsinθ−3=0，点P 的极坐标为(2√2,3π4)．(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求点P 到线段AB 中点M 的距离．23.已知函数f(x)=|x−1|−|2x−1|．(1)求满足不等式f(x)≥−1的最大整数a；(2)在(1)的条件下，对任意x，y∈(a,+∞)，若x+y=4，求z=y2x−1+x2y−1的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵(1+i)z=2+i，∴z=2+i1+i =(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=32−12i，∴z−=32+12i．故选：A．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：全集为U，集合A={−2,0,1,2}，B={x|−2≤x≤0}，图中阴影部分表示的集合是：B∩(∁U A)=(−2,0)．∴由韦恩图得图中阴影部分可表示为(−2,0)．故选：A．图中阴影部分表示的集合是B∩(∁U A)，由此能求出结果．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：A.若a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=0，则a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则无法判断a⃗=b⃗ 成立，故A错误，B.当λ≥0时，b⃗ 与a⃗方向相同，则|a⃗|+|b⃗ |=|a⃗+b⃗ |成立，当λ<0时，b⃗ 与a⃗方向相反，则|a⃗|+|b⃗ |=|a⃗+b⃗ |不成立，故B错误，C.当a⃗，b⃗ 不共线时，得λ=μ=0成立，当当a⃗，b⃗ 共线时，得λ=μ=0不一定成立，故C错误，D.若|a⃗|>|b⃗ |，则(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=|a⃗|2−|b⃗ |2>0成立，故D正确，根据平面向量的基本定理以及向量数量积的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，根据向量数量积的运算法则以及平面向量基本定理是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个棱长为2的正方体和一个底面为直角三角形高为1的三棱锥体组成的组合体；如图所示：故：V=2×2×2+13×12×2×2=8+23=263．故选：A．直接利用转换关系，把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为b=6，a=2c，B=π3，所以由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得62=(2c)2+c2−2×c×2c×cosπ3，解得c=2√3，所以a=4√3，所以S△ABC=12acsinB=12×4√3×2√3×√32=6√3．由已知利用余弦定理可求c，进而可求a的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵2名女教师分派到同一个学校，∴若只有2位女老师分在一个学校，则3名男教师分成两组，有C32，然后3组再进行排列即可，此时C32A33=18种，若还有1名男老师和2位女老师分子一个学校，则有C31，然后3组再进行排列即可，此时C31A33=18种，则共有18+18=36种，故选：B．将5位老师分成3组，讨论2位女老师所在学校有2人和3人两种情况进行计算即可．本题主要考查排列组合的计数问题，将5人分成3组，讨论女老师一组的人数是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】C【解析】解：A图象中函数的定义域为R，函数是偶函数，则α为正偶数时，满足对应图象，B图象中函数的定义域为{x|x≠0}，函数是偶函数，则α为负偶数时，满足对应图象，C图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故C不满足条件．D图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故D满足条件．故选：C．结合函数定义域，奇偶性以及幂函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断．结合函数的定义域，奇偶性，得到α是奇偶数是解决本题的关键．难度中等．【解析】解：因过点F1斜率为√33的直线交椭圆于点P，则有∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，因此，在△PF1F2中，∠F1PF2=90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|=|F1F2|cos30°=√3c，|PF2|=|F1F2|sin30°=c，由椭圆定义得：2a=|PF1|+|PF2|=(√3+1)c，ca =√3+1=√3−1，所以椭圆E的离心率是e=√3−1．故选：B．根据给定条件求出∠PF1F2，由椭圆半焦距为c表示|PF1|，|PF2|，然后利用椭圆定义列式计算作答．本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆的离心率的求解等知识，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：cosα(1+√3tan10°)=1整理得：cosα(1+√3sin10°cos10∘)=1，转换为cosα(cos10°+√3sin10°cos10°)=1，即cosα⋅2sin(10°+30°)cos10∘=1，则：cosα⋅2sin40°cos10∘=1．当α=40°时，两边相等．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：圆(x−2)2+(y−3)2=5的圆心坐标C(2,3)，半径r=√5，过点P作圆的切线PA，A为切点，连接PC，AC，如图，则有AC⊥PA，m=|PA|=√|PC|2−r2=√(t−2)2+32−5=√(t−2)2+22，m表示动点P到定点M(2,2)的距离，令直线x−2y−6=0为l，过P作PR⊥l于点R，则n=|PR|，过M作MN⊥l于N，交x轴于点Q，连PM，MR，则m+n=|PM|+|PR|≥|MN|=|MQ|+|QN|，当且仅当P，Q重合时取等号，直线MN的斜率为−2，其方程为y−2=−2(x−2)，令y=0，得x=3，则t=3，当m+n取最小值时，t的值为3．故选：B．根据切线长定理求出m的表达式，结合几何意义将问题转化为点P到定点距离与到定直线l距离的和最小，再求解即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合图象转化为点到直线的距离最短是解决本题的关键，属中档题．11.【答案】B【解析】解：不等式y(log2y−2)=28可转化，y4log2y4=7，即log2y4⋅2log2y4=7，显然log2y4>0，令f(x)=x⋅2x，x>0，则f′(x)=2x+x⋅2x ln2=2x(1+xln2)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，依题意，x⋅2x=(log2y4)⋅2log2y4=7，所以f(x)=f(log2y4)，则x=log2y4，又log2y4=28y，则x=28y，解得xy=28，所以xy=28，故选：B．将不等式y(log 2y −2)=28转化为log 2y4⋅2log 2y 4=7，构造函数并讨论其单调性，求得x ，y 的关系，即可求得xy =28．本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，导数与不等式，同构法思想的应用，考查函数思想，构造法的应用，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：令y =f(x)−ax =0， 当x =0时，成立， 当x ≠0时，可化为a =f(x)x，令g(x)=f(x)x={−ln(x+1)x,x >0x 2+3x +3,x <0，当x >0时，g(x)=−ln(x+1)x，则g′(x)=−x−(x+1)ln(x+1)(x+1)x 2，令ℎ(x)=x −(x +1)ln(x +1)，则ℎ′(x)=−ln(x +1)<0， 所以ℎ(x)递减，则ℎ(x)<ℎ(0)=0，即g′(x)>0， 所以g(x)在(0,+∞)上递增， 作出函数g(x)的图象，如图所示：因为函数y =f(x)−ax 恰有三个零点，且0是其中一个零点， 所以y =g(x)，y =a 有两个不同的交点， 由图象知：a ∈(34,3)． 故选：C ．令y =f(x)−ax =0，易知0是其中一个零点，当x ≠0时，转化为a =f(x)x，令(x)=f(x)x，作出函数g(x)的图象，由y =g(x)，y =a 有两个不同的交点求解．本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，难点在于将问题转化为y =g(x)，y =a 有两个不同的交点，属于中档题．13.【答案】−4【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x3的系数．【解答】解：(1−2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43−2C41=4−8=−4，故答案为：−4．14.【答案】x2−y23=1【解析】解：∵点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，∴c=2，−ba =−√3，即b2a2=c2−a2a2=3，又∵c2=a2+b2，∴a2=1，b2=3，故双曲线的方程为x2−y23=1．故答案为：x2−y23=1．由已知条件可得，c=2，渐近线的倾斜角为2π3，即可求得a，b的关系，再结合双曲线的性质，即可求解．本题主要考查了双曲线的性质，方程，考查计算能力，属于基础题．15.【答案】12【解析】解：在三棱锥P−ABC中，因PA⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，则PA⊥AC，PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，因此，BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，则BC⊥PB，取PC中点O，连接BO，AO，如图，于是得OB =OC =OP =OA ，即有O 是三棱锥P −ABC 的外接球球心， 由V =4π3⋅OA 3=4√3π得：OA =√3,PC =2√3，而PA =AB =2，则有AC =2√2,∠BAC =45°， 而PB =2√2,PB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2√2cos45°=4， 从而有cos〈PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×2√2=12， 所以异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为12． 故答案为：12根据给定条件，确定出三棱锥外接球球心并求出球半径，再借助空间向量计算作答． 本题考查了三棱锥的外接球问题以及异面直线所成的角的求解计算，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：当x ∈[2kπ,2kπ+π2)，(k ∈Z)时，f(x)=√3|sinx|−|cosx|=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)，当x ∈[2kπ+π2,2kπ+π)，(k ∈Z)时，f(x)=√3|sinx|−|cosx|=√3sinx +cosx =2sin(x +π6)， 当x ∈[2kπ+π,2kπ+3π2)，(k ∈Z)时，f(x)=√3|sinx|−|cosx|=−√3sinx +cosx =−2sin(x −π6)，当x ∈[2kπ+3π2,2kπ+2π)，(k ∈Z)时，f(x)=√3|sinx|−|cosx|=−√3sinx −cosx =−2sin(x +π6)，所以f(x)={2sin(x −π6),x ∈[2kπ,2kπ+π2)2sin(x +π6),x ∈[2kπ+π2,2kπ+π)−2sin(x −π6),x ∈[2kπ+π,2kπ+3π2)−2sin(x +π6),x ∈[2kπ+3π2,2kπ+2π)(k ∈Z),f(x)的图象如下所以f(x)的最小正周期为π，①正确； f(x)的值域为[−1,√3]，②正确； f(x)在(−π2,π2)上有增有减，③错误； f(x)在[−π,π]上有4个零点，④正确． 故答案为：①②④．讨论x 的范围去掉绝对值可得到f(x)，结合图象逐项分析可得答案．本题考查了三角函数的图象和性质，关键点是通过去绝对值求出f(x)的解析式，难点是作出图象，属于中档题．17.【答案】解：(1)由2S n +a n =3⇒2S 1+a 1=3⇒2a 1+a 1=3⇒a 1=1，因为2S n +a n =3①，所以当n ≥2，n ∈N ∗时，2S n−1+a n−1=3②， ①−②得：2a n +a n −a n−1=0⇒a nan−1=13，所以a n =(13)n−1，当n =1时，也适合，因此a n =(13)n−1；(2)因为b 1a 1+b 2a 2+b 3a 3+⋯+bna n=1+3n (2n −1)，所以当n ≥2，n ∈N ∗时，b 1a 1+b 2a 2+b 3a 3+⋯+bn−1a n−1=1+3n−1(2n −3)，两式相减得：bna n=3n (2n −1)−3n−1(2n −3)=4n ⋅3n−1，由(1)可知：a n =(13)n−1，所以b n =4n ，当n =1时，b1a 1=4⇒b 1=4，也适合上式，故b n =4n ； (3)因为b n =4n ，所以c n =(−1)n b n 2=(−1)n ⋅(4n)2=16⋅(−1)n ⋅n 2，因此T 2n =16[−12+22−32+42+⋯+(2n −2)2−(2n −1)2+(2n)2]， ⇒T 2n =16[(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+(2n +2n −1)(2n −2n +1)]， ⇒T 2n =16(1+2+3+4+⋯+2n −1+2n)=16×(1+2n)⋅2n2=32n 2+16n ．【解析】(1)根据递推公式，结合数列前n 项和与第n 项之间的关系、等比数列的定义进行求解即可；(2)根据递推公式，结合(1)中的结论进行求解即可； (3)根据平方差公式，结合等差数列前n 项和公式进行即可． 本题考查了数列的递推式和等差数列的求和，属于中档题．18.【答案】解：(1)从甲、乙两个班级的选手中抽取的4人都能正确回答的概率P =C 32C 42×(34)2=932； (2)甲班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X ，X =1，2， 则P(X =1)=C 31C 11C 42=12，P(X =2)=C 32C 42=12，E(X)=1×12+2×12=32，D(X)=(1−32)2×12+(2−32)2×12=14．乙班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为Y ，Y =0，1，2． 则Y ～B(2,34)， E(Y)=2×34=32，D(Y)=2×34×(1−14)=38．由E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，可知：由甲班级代表学校参加比赛更好．【解析】(1)利用古典概率计算公式、相互独立概率计算公式即可得出从甲、乙两个班级的选手中抽取的4人都能正确回答的概率；(2)甲班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X ，X =1，2，利用“超几何分布列”的概率计算公式可得P(X =1)，P(X =2)，及其E(X)，D(X)．乙班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为Y ，Y =0，1，2.可得Y ～B(2,34)，二项分布列的概率计算公式可得E(Y)，D(Y).经过比较E(X)与E(Y)，D(X)与D(Y)大小关系即可得出结论．本题考查了“超几何分布列”与二项分布列的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵AB//平面PCD ，AB ⊂平面POD 内，平面PCD ∩平面POD =PD ， ∴AB//PD ，∴∠PDO =∠AOD =π6，∵OD =OP =1，∴PD =2ODcos∠PDO =2cos π6=√3， ∴PD 的长为√3．(2)∵OC ⊥AB ，平面ABC ⊥平面POD ，平面ABC ∩平面POD =AB ，OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面POD ，∴V P−COD =13S △POD ⋅OC =13×12×OD ×OPsin∠POD ⋅OC =16sin∠POD ，∴当且仅当sin∠POD =1，即OP ⊥OD 时，三棱锥P −COD 的体积最大， 取PD 中点M ，连接OM ，CM ，由OD =OP =1，⊥OD ，OC ⊥OP ，得CD =CP ，如图，∴OM ⊥PD ，CM ⊥PD ，即∠CMO 是二面角O −PD −C 的平面角， ∵OM =√22，∴在Rt △CMO 中，OC =1，则CM =√OM 2+OC 2=√62，cos∠CMO =OMCM =√33，∴二面角O −PD −C 的余弦值为√33．【解析】(1)利用线面平行可得AB//PD ，进而求出等腰△POD 的底面角，即可求出结果． (2)由已知证明OC ⊥平面POD ，再由体积的最大值能求出OP ⊥OD ，然后作出二面角O −PD −C 的平面角，借助直角三角形能求出二面角O −PD −C 的余弦值．本题考查线段长、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设直线AB 的方程为：x =my +4，与抛物线方程联立为：{y 2=2pxx =my +4⇒y 2−2pmy −8p =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 所以y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=−8p ，因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒(my 1+4)(my 2+4)+y 1y 2=0， 化简得：(m 2+1)y 1v 2+4m(y 1+y 2)+16=0，把y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=−8p 代入得： (m 2+1)(−8p)+4m(2pm)+16=0⇒p =2， 所以抛物线的方程为y 2=4x ； (2)抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)， 设直线AC 的方程为：x =ny +1，与抛物线方程联立为：{y 2=4xx =ny +1⇒y 2−4ny −4=0，设C(x 3,y 3)， 所以y 1y 3=−4，即y 3=−4y 1，设D(x 4,y 4)，同理可得：y 2y 4=−4，即y 4=−4y 2，S 1S 2=12⋅AF⋅BF⋅sin∠AFB 12⋅CF⋅DF⋅sin∠DFC ，因为∠AFB =∠DFC ，所以sin∠AFB =sin∠DFC ，因为AF CF =|y 1y 3|,BFDF =|y2y 4|，所以S1S 2=|y1y 3|⋅|y2y 4|=|y 1y2y 3y 4|，而y 3=−4y 1,y 4=−4y 2,y 1y 2=−8p =−16，所以S 1S 2=|y 1y 2y 3V 4|=|y 1y2−4y 1⋅−4y 2|=|(y 1y 2)216|=(−16)216=16，因此S 1S 2为定值，定值为16．【解析】(1)根据题意设出直线方程，利用平面向量互相垂直的性质，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可；(2)根据三角形面积公式，结合(1)中的方法进行求解即可．本题考查直线与抛物线的综合，考查学生的综合能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=xe x −x −1的定义域是R ，f′(x)=(x +1)e x −1，(1分)令g(x)=f′(x)=(x +1)e x −1， 则g′(x)=(x +2)e x >0． ∴f′(x)在[−1,1]上单调递增． 又x =0时，f′(x)=0，∴当x <0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故函数f(x)在[−1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增．(2分) 又f(−1)=−1e ，f(1)=e −2，f(0)=−1， 且显然e −2>−1e ，(3分)∴函数f(x)在区间[−1,1]上的最小值为−1，最大值为e −2.(4分)(2)解法一：f(x)=lnx +m −2，即为xe x −x −1=lnx +m −2，得xe x −x −lnx +1=m ，构造函数ℎ(x)=xe x −x −lnx +1(x >0)， 则ℎ′(x)=(x +1)e x−1−1x=(x+1)(xe x −1)x(5分)令m(x)=xe x −1，m′(x)=(x +1)e x >0，则m(x)在(0,+∞)上单调递增， 且m(12)=√e2−1<0,m(1)=e −1>0．∴存在x 0∈(12,1)，使得m(x 0)=0，即e x 0=1x 0，从而lnx 0=−x 0，(7分)∴当x ∈(0,x 0)时，m(x)<0，即ℎ′(x)<0， 则ℎ(x)单调递减；当x ∈(x 0,+∞)时．m(x)>0，即ℎ′(x)>0， 则ℎ(x)单调递增．(8分)∴ℎ(x)min =ℎ(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0+1=x 0⋅1x 0−x 0+x 0+1=2，(9分)又易知，当x →0+时，ℎ(x)→+∞；当x →+∞时，ℎ(x)→+∞， 故ℎ(x)的大致图象如下图所示：∴当m<2时，方程f(x)=lnx+m−2没有实根；当m=2时，方程f(x)=lnx+m−2有1个实根；当m>2时，方程f(x)=lnx+m−2有2个实根．(12分)解法二：f(x)=lnx+m−2，即为xe x−x−1=lnx+m−2，得xe x−x−lnx+1=m，∴xe x−ln(xe x)+1=m，令t=xe x，x>0，∵t′=(x+1)e x>0，∴原式等价于t−lnt+1=m，令g(t)=t−lnt+1，t>0，∴g′(t)=1−1t =t−1t，∴当0<t<1时，g(t)为减函数，当t>1时，g(t)为增函数，∴g(t)min=g(1)=2，又易知，当t→0+时，g(t)→+∞；当t→+∞时，g(t)→+∞，∴m<2时．方程g(t)=m无实数根t：m=2时，方程g(t)=m有1个实数根t0；当m>2时，方程g(t)=m有2个实数根t1，t2，又t=xe x单调，∴m<2时，方程f(x)=lnx+m−2无实数根；m=2时，方程f(x)= lnx+m−2有1个实数根；当m>2时，方程f(x)=lnx+m−2有2个实数根．【解析】(1)求解导函数判断函数的单调性，然后求解函数的极值以及端点值，即可推出结果．(2)解法一：构造函数ℎ(x)=xe x−x−lnx+1(x>0)，利用函数的导数，构造函数，再求解函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最小值，利用数形结合，通过m的范围，判断函数的零点个数．解法二：推出xe x−ln(xe x)+1=m，令t=xe x，x>0，求出t′=(x+1)e x>0，推出原式等价于t−lnt+1=m，令g(t)=t−lnt+1，t>0利用函数的导数，求解函数的最小值，通过m的范围，判断函数的零点个数即可．第21页，共22页 本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数判断函数的单调性求解函数的最值的方法，构造法的应用，考查分类讨论思想的应用，是难题．22.【答案】解：(1)点P 的极坐标为(2√2,3π4)，根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为直角坐标为P(−2,2)．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsinθ−3=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2−y 2+4y −3=0；(2)将直线l 的参数方程为{x =−2+35t y =2+45t(t 为参数)，代入x 2−y 2+4y −3=0； 得到725t 2+125t −5=0；所以|PM|=|t 1+t 22|=307．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)因为f(x)=|x −1|−|2x −1|={x,x ≤12−3x +2,12<x <1−x,x ≥1，所以f(x)≥−1，即：①{x ≤12x ≥−1，解得−1≤x ≤12； ②{12<x <1−3x +2≥−1，解得12<x <1； ③{x ≥1−x ≥−1，解得x =1， 故不等式f(x)≥−1的解集为[−1,1]，所以满足不等式f(x)≥−1的最大整数a 为1；(2)由(1)得x ，y ∈(1,+∞)，因为x +y =4，所以z =y 2x−1+x 2y−1=12[(x −1)+(y −1)](y 2x−1+x 2y−1)=12(x2+y2+y2(y−1)x−1+x2(x−1)y−1)≥12(x2+y2+2xy)=12(x+y)2=8，当且仅当y 2(y−1)x−1=x2(x−1)y−1，即x=y=2时等号成立，故z=y 2x−1+x2y−1的最小值为8．【解析】(1)根据零点分段法解不等式，即可求出a的值；(2)由x+y=4，结合基本不等式，利用乘“1”法即可求得z的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．第22页，共22页。
2022年山西省高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年山西省高考数学一模试卷（理科）1.已知集合，，则( )A.B. C.D.2.设复数z 满足，则( )A. B.C. 0或D. 0或3.设，，则的最大值是( )A. 1B. C.D. 24.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体各个表面中面积的最大值是( )A.B.C.D.5.已知命题p ：，；命题q ：，在定义域上是增函数．则下列命题中的真命题是( )A. B.C.D.6.展开式中的常数项是( )A. B. C.D.7.设，，，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.B.C.D.8.“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，合称“五音”．已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是( )A. 徵、商、羽、角 B. 徵、羽、商、角C. 商、角、徵、羽D. 角、羽、商、徵9.已知数列的前n 项和，将该数列排成一个数阵如右图，其中第n 行有个数，则该数阵第9行从左向右第8个数是( )A. 263B. 1052C. 528D. 105110.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若，则C的离心率是( )A. B. C. D.11.如图①，在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将沿DE 折起到的位置，使，如图②．若F是的中点，则四面体FCDE的外接球体积是( )A. B. C. D.12.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.13.曲线在处的切线方程是______.14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，则关于x的方程有实根的概率是______.15.已知数列中，，，，数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______.16.已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是______.17.如图，圆内接四边形ABCD中，，，求AC；求面积的最大值．18.在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，证明：平面MBC；设，求二面角的余弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A、B分别是C的左、右顶点．求C的方程；已知过点的直线交C于M，N两点异于点试证直线MA与直线NB交点在定直线上．20.已知函数当时，证明：在定义域上是增函数；记是的导函数，，若在内没有极值点，求a的取值范围．参考数据：，21.甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立．求甲夺得冠军的概率；比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．22.在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点．求圆C的极坐标方程；若，求23.已知函数当时，求不等式的解集；若恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，故选：可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：设，，，即，即，解得或，故或故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为，，所以，，当时，取得最大值为，所以的最大值是故选：根据平面向量的坐标运算和三角函数求值运算，即可求出答案．本题考查了平面向量的坐标运算和三角函数求值运算问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；如图所示：所以，，，；故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个面的面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的各个面的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：构造函数，则，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以命题p为真命题；因为，所以在定义域上是增函数．所以命题q为真命题．所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故选：构造函数，运用函数单调性可证明成立；根据对数函数单调性可判断命题本题考查命题真假判断及导数应用，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为，故选：求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，因为，所以，，可得，所以因为，所以，即，所以故选：利用函数在上的单调性可得b、c的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a、b的大小关系，以此可得结论．本题考查导数应用及函数单调性应用，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．8.【答案】A【解析】解：由题设，若宫的弦长为a，则其它四音对应弦长依次为，，，，因为音高与弦长是成反比，所以四音的音高关系为，又音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，所以五音生成顺序为宫、徵、商、羽、角．故选：设宫的弦长为a，根据生律法按顺序写出后续四音的弦长，再由题设音高与弦长的反比关系判断五音生成顺序，即可得到答案．本题考查简单的合情推理，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：数列的前n项和为，，时，，时，上式成立，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，如图，由该数阵前7行有：…项，该数阵第9行从左向右第8个数字为故选：求出，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，由该数阵前7行有：…项，得到该数阵第9行从左向右第8个数字为，由此能求出结果．本题考查数阵第9行从左向右第8个数字的求法，考查等差数列和等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意可知，渐近线方程，，直线BF的方程为，令得，点，联立方程，解得，，，，，，故选：根据题意求出直线BF的方程，进而求出点A，B的坐标，根据可求出的值，从而用表示出离心率．本题主要考查了双曲线的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设球的坐标为，由，，可得：，解得：，从而球的半径，球的体积故选：由题意首先求得球的半径，然后利用体积公式计算其体积即可．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．12.【答案】C【解析】解：函数在上恰有3个零点，由，且，可得，所以，且，或，且，解得，或，故选：由x的范围求得的范围，结合正弦函数的图象和零点，可得，且，或，且，解不等式可得所求取值范围．本题考查三角函数的零点个数，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由，得，又，曲线在处的切线方程为，即故答案为：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14.【答案】【解析】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，基本事件总数，关于x的方程有实根，，时，不成立，时，成立，时，b可以取1，2，3，时，b可以取1，2，3，4，时，b可以取1，2，3，4，5，6，时，b可以取1，2，3，4，5，6，满足条件的基本事件个数，关于x的方程有实根的概率是故答案为：根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及列举法，即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，考查列举法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由得，则有，化简得，即，所以，所以，所以不等式恒成立，则有故答案为：先根据累积法求得，再用裂项相消法求得，最后根据不等式恒成立可求解．本题考查了累积法求通项和裂项相消求和，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图所示，延长交于点N，连接因为的外角平分线是PQ，且，所以，因为，所以，因为，，，所以点Q的轨迹为以点O为圆心2为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为由题得抛物线的焦点坐标为，准线方程为所以，所以，因为所以所以的最小值是故答案为：延长交于点N，连接OQ，求出点Q的轨迹方程为，证明，即得解．本题考查了椭圆、抛物线的定义及性质，也考查了转化思想和数形结合思想，难点在于确定Q点的轨迹，属于中档题．17.【答案】解：在中，由正弦定理得，即，所以因为四边形ABCD内接于圆，故，设，，在中，由余弦定理得：，因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，所以面积的最大值是【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由题意在中由正弦定理即可求解AC的值．设，，在中，由余弦定理，基本不等式可求，进而根据三角形的面积公式即可求解．18.【答案】证明：取CD中点E，连接AE，NE，则，，四边形ABCE为平行四边形，所以又平面MBC，平面MBC，所以平面由，，则四边形ABED为平行四边形，所以，又，，所以，所以四边形MBEN为平行四边形．所以又平面MBC，平面MBC，所以平面因为，平面ANE，平面所以平面平面因为平面ANE，所以平面MBC因为平面平面ABCD，，所以平面因为，，，所以以D为原点，分别以DB，DC，DN所在真线为x，y，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系则，，，所以，平面BCD的一个法向量为，设平面MBC的法向量为则，令，得，所以二面角的余弦值为【解析】取CD中点E，连接AE，NE，推出得到平面推出，，然后证明推出平面得到平面平面证明平面以D为原点，分别以DB，DC，DN所在真线为x，y，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系求出平面MBC的法向量，平面BCD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，是中档题．19.【答案】解：且，；证明：设过点G的直线为：，，，联立，消元整理得，，，，，因为，，所以直线AM的斜率为，故直线AM的方程为，①同理可得直线NB的方程为，②整理得，，即，由，即，所以，即，解得，所以直线MA与直线NB交点在定直线上．【解析】根据条件列出关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，从而求得椭圆的方程；设过点G的直线为：，，，联立直线与椭圆可得韦达定理，分别表示出直线AM，NB的方程，由两个方程可得，结合M，N在直线上以及韦达定理可得两直线交点所在直线．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合，属于中档题．20.【答案】解：证明：由题设，且定义域为，因为，则，当且仅当时等号成立，而，所以时有，故在上是增函数．由题设，，则且定义域为，因为在内没有极值点，即或，所以或在上恒成立，令，则，当时；当时，令，则，，所以在上递增，而，所以在上，故在上递增，而，综上，在上，即，所以，在上，即单调递增，则，故或，即a的取值范围为【解析】对函数求导得且，再应用基本不等式求，结合，可确定的符号，即证结论．对求导得且，将问题转化为或在上恒成立，构造，利用导数研究的单调性，进而求区间值域，即可求a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了函数思想和转化思想，属中档题．21.【答案】解：记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，事件“甲在第i局比赛中未胜”．显然，，记事件“甲夺得冠军”，则设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或则，故记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”．由题意知、比赛前盒内有6颗新球，比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，，若发生，则比赛2局后，盒内有4 颗新球，2颗旧球，此时若，发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，故下次必取得新球．即于是，故X的分布列为：X 3 4 5P故X的数学期望【解析】记事件：“甲在第i局比赛中获胜”，，事件：“甲在第i局比赛中末胜”．，记事件A：“甲夺得冠军“，分析事件A包含的情况，直接求概率；的可能取值：3，4，分析比赛过程，分别求概率，写出分布列，计算数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点，的直角坐标为，的直角坐标为，圆的半径为，圆的直角方程为，将，代入，得：，圆C的极坐标方程为将代入中，得，设，分别为A，B对应的极径，则，，，则，即，结合，解得，【解析】写出点C，M的直角坐标，求出圆的直角坐标方程，化为极坐标方程，可求出答案．将代入圆的极坐标方程，利用根与系数的关系求出，，再结合，求出，的值，由此能求出结果．本题考查圆的极坐标方程、正弦函数值、余弦函数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：当时，，所以不等式等价于或，解得：或所以不等式的解集为或因为，由恒成立，得所以或，解得或所以a的取值范围为【解析】当时，去绝对值符号，化为分段函数，再分段解不等式可得其解集；依题意，得恒成立，解之即可．本题考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。
2024届山西省高考一模数学试题(解析版)
数学姓名__________准考证号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,1,1,1a m b m =+=-，且a b ⊥，则m =（）A.1B.1- C. D.0【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意知()()21110a b m m m ⋅=+⨯-+== ，所以0m =.故选：D2.已知集合{}{}1,1,0,1,2,4A B =≤=-，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}1 B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】C 【解析】【分析】先求得集合A ,根据图示计算出A B ⋂即可.【详解】结合题意图中阴影部分表示的集合为A B ⋂，因为{}1A x=≤，根据幂函数的性质：y =为增函数，且0x ≥，1≤，所以有：01x ≤≤，所以{}|01A x x =≤≤，又{}1,0,1,2,4B =-，所以{}0,1A B = .故选：C3.设命题:R,x p x a kx ∃∈>，则p ⌝为（）A.R,x x a kx ∀∈>B.R,x x a kx ∃∈≤C.R,x x a kx ∀∈≤D.R,x x a kx∃∈=【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式判定即可.【详解】由题意可知:R,x p x a kx ⌝∀∈≤.故选：C4.某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第85百分位数定为“优秀”分数线.某次考试后，张老师将自己所带100名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为（）A.120B.123C.126D.129【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出张老师将自己所带100名学生的数学成绩第85百分位数，以样本估计总体，即可求解.【详解】样本中[)120,135，[)135,150两个小组的频率分别为1150.2075´=，7150.071500´=，由于0.200.070.270.15+=>，故第85百分位数位于[)120,135内，设其为x ，则()10.071350.1575x +-=，解得129x =，由样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为129.故选：D5.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，经过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若223,4,5AF AB BF ===，则椭圆C 的离心率为（）A.22B.33C.12D.55【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义求出2a ，根据2ABF △边长确定290BAF ∠=︒，进而求出2c ，即可求解椭圆离心率.【详解】由题意结合椭圆定义可知：2ABF △的周长为124a =，26a =，又因为2222291625AF AB BF +=+==，所以290BAF ∠=︒，又由23AF =，知1223AF a AF =-=，故1212c F F ===，因此椭圆C 的离心率为2262c e a ===.故选：A6.已知数列{}n a 满足1121n n n n a a a a ++=--，且13a =，则2024a =（）A.15B.4- C.54D.23【答案】B 【解析】【分析】由递推公式列举数列的若干项，观察规律，利用数列的周期性计算即可.【详解】由题意可知22232314a a a =--⇒=-，同理312a =-，45678125,,,3,4534a a a a a =====- ，即{}n a 是以6为周期的数列，所以20246337224a a a ⨯+===-.故选：B7.已知函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，若()()()22f x f y f xy yx=+，则（）A.()11f =B.()11f -=C.()f x 为偶函数 D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】根据题意，令x 、y 取特殊值逐一验证四个选项即可.【详解】令1x y ==，则()()121f f =，故()10f =，A 选项错误；令1x y ==-，则()()121f f =-，故()10f -=，B 选项错误；令1y =-，则()()()()21f f x f x f x x--=+=，故()f x 为偶函数，C 选项正确；因为()f x 为偶函数，又函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，D 选项错误.故选：C8.如图，在体积为1的三棱锥A BCD -的侧棱,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ，使::1:1,:2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为平面BCG ､平面CDE ､平面DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（）A.14B.15C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】先画出图形确定O 的位置，将三棱锥O BCD -的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推导，求出比例即可．【详解】如图所示，假设,ED BG J CG DF I == ，连接,BI CJ ，易知BI CJ O = ，在ABD △中，设,GJ GB EJ ED λμ==，所以()2221333AJ AG GJ AD AB AD AB AD λλλ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，()1111222AJ AE ED AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()()1112421132λμλλμμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，即14GJ GB =，同理14GI GC =，则1445JI BO BC BI =⇒=，设,,,O I G A 到底面的距离分别为,,,O I G A h h h h ，则4311,,5435O G O I I G A A h h h h h h h h ===⇒=，所以15O BCD O A BCD A V h V h --==.故选：B【点睛】思路点睛：先根据平面性质确定交点位置，再由平面向量的线性运算计算线段比例关系得出棱锥高的比例关系即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数13i,z z =-+是z 的共轭复数，则（）A.32i z +-=B.z 的虚部是3iC.z 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 是方程2280x x ++=的一个根【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知32i 2i z +-=+，所以32i z +-=，故A 正确；易知z 的虚部是3，故B 错误；z 在复平面内对应的点为()1,3-，位于第二象限，故C 正确；对于2228012x x x -±++=⇒==-±，显然13i z =--不符合题意，故D 错误.故选：AC10.已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则（）A.当12ω=时，函数()f x 的周期为4πB.函数()f x 图象的对称轴是ππ,6k x k ωω=+∈Z C.当12ω=时，5π3x =是函数()f x 的一个最大值点D.函数()f x 在区间()0,1内不单调，则5π6ω>【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦函数的周期，对称性及最大值判断ABC ，由导函数等于0有解判断D.【详解】对A ，当12ω=时，函数()f x 的周期为2π4πω=，故A 正确；对B ，令πππ32x k ω-=+，得5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故函数()f x 图象的对称轴是5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故B 错误；对C ，当12ω=时，()1π5πsin ,1233f x x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故5π3x =是函数()f x 的一个最大值点，故C 正确；对D ，函数()f x 在区间()0,1内不单调，则()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'在()0,1有解，且左右函数值异号，令πππ,333t x ωω⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，则2ππ3ω->，解得5π6ω>，故D 正确.故选：ACD.11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“ ”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“ ”构成一个群：（1）封闭性，即若,a b G ∈，则存在唯一确定的c G ∈，使得c a b = ；（2）结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有()()a b c a b c = ；（3）单位元存在，即存在e G ∈，对任意a G ∈，满足a e e a a == ，则e 称为单位元；（4）逆元存在，即任意a G ∈，存在b G ∈，使得a b b a e == ，则称a 与b 互为逆元，b 记作1a -.一般地，a b 可简记作,ab a a 可简记作22,a a a 可简记作3a ，以此类推.正八边形ABCDEFGH 的中心为O .以e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以r 表示以点O 为中心，将正八边形逆时针旋转π4的旋转变换；以m 表示以OA 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“ ”表示复合变换，即f g 表示将正八边形先进行g 变换再进行f 变换的变换.以形如(,pqr m p q ∈N ，并规定)00r m e ==的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作8D .则以下关于8D 及其元素的说法中，正确的有（）A.28mr D ∈，且22mr r m =B.3r m 与5r m 互为逆元C.8D 中有无穷多个元素D.8D 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，对选项逐一运算可得结果.【详解】我们有：1 由于两次轴对称等价与不变换，故2m e =；由于旋转45 施行8次等价于旋转360 也就是不变，故8r e =；由于先旋转再关于OA 对称和先关于OA 对称再旋转等效，故rm mr =.2 8D 一共是16个元素，变换后ABCDEFGH 逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个.这就说明：22mr r m =，A 正确；()()353528r m r m r r mr e ===，B 正确；8D 一共是16个元素，C 错误；8D 中，()()()22484428,,m e r r e mr mr m r e =====，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个底面半径为1，高为2的圆柱的两个底面的圆周都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________．【答案】8π【解析】【分析】画出组合体的轴截面图，根据轴截面图可知，利用勾股定理可计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】画出组合体的轴截面图如下图所示，其中BC 是球的半径，AB 是圆柱底面半径，AC 是圆柱高的一半，故222112BC AC AB =+=+=，所以球的表面积为24π8πBC ⋅=.【点睛】本小题主要考查球的表面积计算，考查圆柱和球的组合体问题的求解方法，属于基础题.13.甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学中考语文､数学､外语的成绩如下表：甲乙丙丁戊己语文108110115110118107数学110120112111100118外语110100112114110113将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语.现从这六位同学中选出三人分别担任语文､数学､外语三个科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有__________种.【答案】10【解析】【分析】由表格先确定六人各自擅长科目，再分类讨论即可.【详解】由表格可知：甲最擅长科目为数学和外语，乙为数学，丙为语文，丁为外语，戊为语文，己为数学.则语文可从丙、戊两位同学选，数学可从甲乙己三位同学选，外语可从甲丁两位同学选，C C4=种选法；若甲不为课代表，则只需选语文、数学科目代表即可，有1122C2=选法；若甲为课代表，则①甲为数学课代表，只需选语文课代表即可，有12C C4=种选法；②甲为外语课代表，只需选语文、数学课代表即可，有有1122综上所述，共有10种方案.故答案为：1014.已知()()1122,,,A x y B x y 为抛物线28y x =上两个不同的动点，且满足1216y y =-，则112222x y x y +++++的最小值为__________.【答案】6【解析】【分析】根据点A 、B 在抛物线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，设出直线AB 方程，利用韦达定理化简22121248y y y y ++++得到一元二次函数，即可求出最小值.【详解】由()11,A x y 在抛物线28y x =上可知：2118y x =，所以()2211111422088y y x y y +++=++=≥；同理可得：222222208y x y y ++=++≥，故22121122122248y y x y x y y y ++++++=+++①，设直线AB 方程为x my n =+，直线与抛物线联立，有：28x my ny x=+⎧⎨=⎩消去x 整理有：2880y my n --=，由韦达定理有：128y y m +=，又1216y y =-，故①式化为：221888862m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，故：112222x y x y +++++的最小值为6.故答案为：6【点睛】关键点点睛：要求112222x y x y +++++的最小值，关键在于结合点在曲线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，再利用韦达定理进一步化简成一元二次函数求最值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为S ，且2224S b c a =+-.（1）求A ；（2）已知a =S 的取值范围.【答案】（1）π4A =（2）02S <≤+【解析】【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解tan 1A =，进而可求解π4A =，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【小问1详解】因为三角形的面积为222441sin 2bc A S b c a ==+-⨯，则222sin cos 2b c a A A bc+-==，所以tan 1A =，又(0,π)A ∈，则π4A =；【小问2详解】由于2222cos 22b c a A bc +-==，所以22828b c bc +-=≥-，即(288bc bc -≤⇒≤+b c =取等号，故(11212sin 8222222S bc A ==⨯≤⨯+=，故02S <≤+16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面11111π,,4,2,2AB C BB AB AB AA AB BAC ∠⊥====.（1）证明：AC ⊥平面11ABB A ；（2）若直线BC 与11B C 距离为3，求平面11ABB A 与平面11BCC B 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，进而可求，（2）根据线面垂直的性质，结合平面夹角的几何法，即可求解1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，根据三角形的边角关系求解长度即可求解.【小问1详解】由于平面11ABB A ⊥平面1,AB C 且交线为1AB ,又111,BB AB BB ⊥⊂平面11ABB A ，所以1BB ⊥平面1,AB C AC ⊂平面1,AB C 故1BB AC ⊥，又11,,,AB AC AB BB B AB BB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,故AC ⊥平面11ABB A 【小问2详解】由（1）知1BB ⊥平面1,AB C 1CB ⊂平面1,AB C 故1BB ⊥1CB ，又11,BB AB ⊥1AB ⊂平面11ABB A ,1CB ⊂平面11BCC B ,所以1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，过1B 作1B D BC ⊥于D ,由于直线BC 与11B C 距离为3，故13B D =，由于111,4,2BB AB AB AB ⊥==，故1BB ==在直角三角形1BB D中，111sin 2B D DBB BB ∠==,故1π3DBB ∠=，故在直角三角形1BB C中，111tan 6B C BB DBB =∠==，（1）知AC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A 故1AB AC ⊥，所以1Rt AB C △中，11121cos 63B A ABC CB ∠===17.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分，比赛没有平局；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为12.（1）求甲乙决出冠军时比赛局数X 的分布列与数学期望()E X ；（2）求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率P .【答案】（1）分布列见解析；()238E X =（2）18【解析】【分析】（1）根据比赛规则，分析比赛可能出现的各种情况，确定X 的取值，进而求出X 的分布列与数学期望；（2）根据条件概率公式求出()()()()()P BC P BC P BC P BC P BC +++即可.【小问1详解】由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛次数不会超过5；由比赛规则可知，若比赛共进行了n 局，()25n ≤≤，则前n 1-局不可能出现某人连胜2次（否则2连胜后比赛结束），故前n 1-局必定甲乙二人胜负交替，综上可知：比赛决出冠军时，二人比赛过程中的胜负情况有以下三种可能：第一，比赛进行n 局()24n ≤≤，前n 1-局二人胜负交替，第n 局与第n 1-局胜者相同，此人达成2连胜并获得冠军（其积分不超过33110⨯+=，故未达11分）；第二，比赛进行了5局，二人始终胜负交替，其中第5局获胜者获得11分，另一方9分，此时获胜者仅积分率先达到11分并获得冠军；第三，比赛进行了5局，前4局二人胜负交替，但第4局的获胜者在第5局连续获胜，则他同时完成2连胜且积分率先达到11分并获得冠军.即随机事件=i A “第i 局比赛中甲获胜”{}1,2,3,4,5i ∈，B =“甲达成2连胜”，C =“甲先获得11积分”；根据题意，X 的可能取值为2,3,4,5()()()2212121112222P X P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()331231231113224P X P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()44123412341114228P X P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11115123412488P X P X P X P X ==-=-=-==---=.于是X 的分布列为：X2345P12141818故()111123234524888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】根据以上分析可知：()()()()234121231234111722216P BC P A A P A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故()()()()()()()()()1113232|7118163232P BC P BC P C P P C B C P B C P BC P BC P BC ++=⋃===⋃++++.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，其右焦点为F ，且直线2y x =是C 的一条渐近线.（1）求C 的标准方程；（2）设(),M m n 是C 上任意一点，直线22:1mx nyl a b -=.证明：l 与双曲线C 相切于点M ；（3）设直线PT 与C 相切于点T ，且0FP FT ⋅=，证明：点P 在定直线上.【答案】（1）221832x y -=（2）证明过程见解析（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）由题意得229412a bb a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出,a b 的值即可；（2）一方面(),M m n 是C 上任意一点，从而可得出它也在直线22:1mx nyl a b -=上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可；（3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得432nq mp =-，由向量数量积公式化简得-=-0-≠即可得证.【小问1详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，且直线2y x =是C 的一条渐近线，所以229412a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得228,32a b ==，所以C 的标准方程为221832x y -=；【小问2详解】首先设(),M m n 是C 上任意一点，所以有222222221832m n m n m n m n a b a b ⋅-⋅=-=-=，这表明了点(),M m n 也在直线l 上，也可以得到22432m n -=，联立直线l 的方程与椭圆C 的方程有2218321832x y mx ny ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简并整理得()222246425680n mxmx n -+--=，而224320n m -=-≠，且()()()()2222222Δ6444832643240m n mnm m =+-⨯+=-⨯=，这也就是说l 与双曲线C 相切于点M ；【小问3详解】不妨设()(),,,T m n P p q ，由（2）可知过点T 的直线PT 的方程为1832mx ny -=，因为点(),P p q 在直线1832mx ny -=上，所以1832mp nq-=，即有432nq mp =-，又2240a b +=，从而()F ，所以()(),FP p q FT m n =-=-，若0FP FT ⋅=，则()40432FP FT p m qn pm p m pm ⋅=--+=-+++-)580pm p m =-++=，-=-，因为m a ≥=2105m ≠=0-≠，从而5p ==，所以点P 在定直线上2105x =上.19.已知0a >，且1a ≠，函数()()ln 11xf x a x =++-.（1）记()()ln 1,n n a f n n n S =-++为数列{}n a 的前n 项和.证明：当89a =时，642024S <；（2）若1ea =，证明：()0xf x ≥；（3）若()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可；（2）利用导数研究()e 1xx -+的单调性与最值判定()f x 的单调性即可证明；（3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可.【小问1详解】由题意可知89a =时，()()88ln 11ln 1199n nn a n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--++=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()64126644881998880126412016899919S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 6484202920428⎛⎫=⎪⎭<-⨯ ⎝；【小问2详解】易知1e a =时，()()()()()()e 1111ln 111e 1e e 1xx x x x f x x f x x x x +'=++-⇒=--=>-++，令()()()()1e 1e 1xxg g x x x x '=->⇒=+--，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,g x x '<∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()()000g x g f x '≥=⇒≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，所以()1,0x ∈-时，()()0,0,f x x <∈+∞时，()0f x >，故()0xf x ≥；【小问3详解】①若1a >，易知()f x 定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；②若1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()1,0x ∈-时，1e x x a <，x ∈()0,∞+时，1exx a >，由（2）可知：()1,0x ∈-时，()()1ln 110e xf x x <++-<，()0,x ∈+∞时，()()1ln 110ex f x x >++->，且()00f =，则函数()f x 只有一个零点，不符题意；③由（2）知，1ea =时，()f x 在()1,-+∞上单调递增，也不符题意；④若10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()1111ln 111ln 11xxx x a a a f x x x x a a -⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=+=>-+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()(),l 1111111e 1n ,ln x xh x x x a a a a a h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+>>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭'-⇒⎭⎝-⎝⎝⎭=，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,h x x ∞<∈+'时，()0h x '>，即()h x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，注意到()()10,01ln 0h a h a -=>=+<，(),0x h x →+∞>，所以()()121,0,0,x x ∃∈-∈+∞使得()()120h x h x ==，即()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，又1x →-时，()f x →-∞，()()()1200f x f f x >=>，(),0x f x →+∞>，所以在区间()()121,,,x x -+∞各存在一个零点，及0x =也是一个零点，符合题意；综上10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：对于第三问，先讨论1a >，此时函数单调递增，排除；结合（2）再讨论1,ea 的大小关系，首先注意到1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由1,ex x a 的大小关系及（2）的结论放缩下从而确定不符题意，再利用隐零点及零点存在性定理、极限思想来确定10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时符合题意即可.。
太原市高考数学模拟试卷(理科)(2月份)A卷
太原市高考数学模拟试卷（理科）（2月份）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2018·广元模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·成都模拟) 若复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面内所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2015高二上·安徽期末) 在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·孝感期中) 双曲线和椭圆有相同的焦点F1 ， F2 ， M为两曲线的交点，则|MF1|•|MF2|等于（）A . a+mB . b+mC . a﹣mD . b﹣m5. （2分）设数列是由正数组成的等比数列，为其前n项和，已知，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·鹤壁期末) 设某几何体的三视图如图（长度单位为cm），则该几何体的最长的棱为（）cmA . 4cmB . cmC . cmD . cm7. （2分）(2020·重庆模拟) 已知非零实数a ， b满足，则下列不等关系不一定成立的是（）A .B .C .D .8. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A . -7B . -5C . 2D . 99. （2分） (2017高一上·延安期末) 如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“2”所对的面是（）A . 1B . 7C . 快D . 乐10. （2分） (2019高三上·和平月考) 已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·西城期末) 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（）A .B . 1C .D . 212. （2分） (2017高二下·保定期末) 已知函数f（x）= 若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A . 3B . 4C . 5D . 6二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2018·长安模拟) 在的展开式中，所有项系数的和为，则的系数等于________.14. （1分） (2017高一上·无锡期末) 已知向量、满足，它们的夹角为60°，那么=________．15. （1分）若变量x，y满足，则z=的取值范围是________16. （1分）对任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log2512]=________三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．（1）求cosA，sinA的值；（2）若cosB+cosC= ，求cosC+ sinC的值．18. （10分）(2016·太原模拟) 如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1 ．（1）求证：A1B⊥AD；（2）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．19. （15分）根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：频数（天）频率组别PM2.5（微克/立方米）第一组（0，15]40.1第二组（15，30]120.3第三组（30，45]80.2第四组（45，60]80.2第五组（60，75]40.1第六组（75，90 ）40.1（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．20. （10分）已知椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合，左端点为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆C1的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C1截得的弦AB，试求它的长度．21. （5分） (2017高二下·雅安期末) 已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）= （e为自然对数底数），若在[1，e]上至少存在一点x0 ，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．22. （5分）(2017·绵阳模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2 sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（Ⅱ）若P（3，），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．23. （10分） (2016高三上·重庆期中) 设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、22-1、23-1、23-2、。
山西省太原市2022届高三第一次模拟数学(理)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知；，则下列说法中正确的是（ ）A．真真B．假假C．真假D．假真2. 在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以A 为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（）A．B．C．D．3. 已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）A．B．C ．D．4. 已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且，，则点O ，P 依次是△ABC 的（ ）A ．重心，垂心B ．重心，内心C ．外心，垂心D ．外心，内心5. 已知，则的值为（ ）A ．10B．C ．30D．6. 已知向量的夹角为，且是函数的两个零点.若，则（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67. 已知集合，，若，则（ ）A ．0B．C．D．8. 已知集合，，则A．B．C．D．9.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕.国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙所示，下列说法正确的是（ ）山西省太原市2022届高三第一次模拟数学（理）试题(1)山西省太原市2022届高三第一次模拟数学（理）试题(1)三、填空题A ．2022年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额B ．2022年城镇居民收入增长率快于农村居民C ．从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕D ．2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过10. 在平行六面体中，已知，，若，，，则（ ）A ．的最小值为B ．的最大值为C ．的最大值为D ．的最大值为11. 已知复数z 的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）A．B ．一定是实数C．若复数，满足．则D ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等或者互为相反数12. 已知数列为为等差数列，，，前项和为.数列满足，则下列结论正确的是（ ）A ．数列的通项公式为B ．数列是递减数列C ．数列是等差数列D ．数列中任意三项不能构成等比数列13. 如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于_______．四、解答题14. 已知向量，，若，则__________.15. 已知曲线，过点的直线交曲线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，则的面积的取值范围为________．16. 已知函数.(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，求实数的取值范围.17. 已知，且是第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．18.已知数列满足（n ≥2，），．(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n 项和．19. 已知，函数．(1)讨论的单调性；(2)设表示不超过x 的最大整数，证明：，．20.如图，四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）点在棱上，且二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正弦值.21.设分别是△ABC 的内角A ，B ，C的对边，已知．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC的面积为，且，求的值．。
山西省太原市2022届高三第一次模拟数学(理)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知、，设函数，若对于任意的非零实数，存在唯一的实数，满足，则的最小值为（ ）A．B．C．D．2. 已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是（ ）A．B．C ．2D ．33. 下列说法正确的个数是( )①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A ．1B ．2C ．3D ．44. 在中，，若，则的值为（ ）A．B．C．D．5.已知函数有3个不同的零点，则满足条件的实数的最小整数值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.已知随机变量，且，则的值为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.87.已知函数，则关于函数的结论，正确的是（ ）A．最小正周期为B ．在上单调递减C．最小值为D ．关于直线对称8. 如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上的任意一点，下列四个说法正确的为（）A．到四点的距离之和为定值B．曲线关于直线均对称C ．曲线所围区域面积必小于36D ．曲线总长度不大于9. 某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示：月收入[1000，1500）[1500，2000）[2000，2500）[2500，3000）概率0.12AB 0.14已知月收入在[1000，3000）内的概率为0.67，则月收入在[1500，3000）内的概率为__________.山西省太原市2022届高三第一次模拟数学（理）试题(高频考点版)山西省太原市2022届高三第一次模拟数学（理）试题(高频考点版)四、解答题10. 数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数也可以表示成，则_________.11. 将边长为4正三角形薄片，用平行于底边的两条直线剪成三块（如图所示），这两条平行线间的距离为，其中间一块是梯形记为，记，则的最小值为___________．12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段交双曲线于点P ，且，则该双曲线的渐近线方程为__________．13. 利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：（1）取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势；（2）取正实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势.14. 已知函数（其中）.(1)解关于的不等式；(2)若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.15. 已知函数，，且.（1）判断的奇偶性；（2）讨论的单调性.16. 某市为进一步改善市内交通状况，准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站配置方案的满意度，现对居民按年龄(单位：岁)进行问卷调查，从某小区年龄在内的居民中随机抽取人，将获得的数据按照年龄区间，，，，分成组，同时对这人的意见情况进行统计得到频率分布表.经统计，在这人中，共有人赞同目前的地铁站配置方案.分组持赞同意见的人数占本组的比例（1）求和的值；（2）在这人中，按分层抽样的方法从年龄在区间，内的居民(包括持反对意见者)中随机抽取人进一步征询意见，再从这人中随机抽取人参加市里的座谈，记抽取参加座谈的人中年龄在的人数为，求的分布列和数学期望.。
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…9月9日。
山西省太原市高考数学一模试卷(理科)
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·金华期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·平顶山期末) 若函数f（x）=sin2x﹣（x∈R），则f（x）是（）A . 最小正周期为的奇函数B . 最小正周期为π的奇函数C . 最小正周期为2π的偶函数D . 最小正周期为π的偶函数4. （2分） (2017高三上·赣州开学考) △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形5. （2分）设抛物线上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分） (2016高二下·绵阳期中) 已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A . ﹣1B . ﹣2C . ﹣5D . 17. （2分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A . 必要但不充分条件B . 充分但不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2016高三上·北京期中) 将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A .B . y=2cos2xC . y=2sin2xD . y=cosx9. （2分）运行如图所示的程序框图，当输入m=-4时输出的结果为n，设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为（）A . －3B . 4C . 5D . 210. （2分）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A . 432B . 288C . 216D . 14411. （2分）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·赣州开学考) 不等式x﹣＜1的解集是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B . （﹣1，1）∪（3，+∞）C . （﹣∞，﹣1）∪（1，3）D . （﹣1，3）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2020·桂林模拟) 点在双曲线（，）的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的离心率为________.14. （1分）若（1﹣2x）2013=a0+a1x+…+a2013x2013（x∈R），则 + +…+ =________．15. （1分）(2014·江苏理) 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1 ， S2 ，体积分别为V1 ， V2 ，若它们的侧面积相等，且 = ，则的值是________．16. （1分） (2017高一下·黄冈期末) 若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于________．三、解答题： (共7题；共50分)17. （5分） (2016高一下·唐山期末) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S4=8，S8=20，求此等差数列的首项a1和公差d．18. （10分）(2018·永州模拟) 某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：已知三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.19. （5分）(2017·武威模拟) 如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB= ．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE= ，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20. （10分）已知椭圆E：中，a= b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1 ， l2（l1 ， l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．21. （5分）己知函数f（x）=，实数a＞0，b＞0．若函数f（x）在x=0处的切线斜率为﹣3，（1）试确定a的值；（2）若b=0，求f（x）的极大值和极小值；（3）若当x∈[b，3b]时，f（x）＞4b恒成立．求b的取值范围．22. （10分） (2016高三上·成都期中) 在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+ ）= ，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．23. （5分）(2020·南昌模拟) 已知函数 .（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证： .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。
太原市高考数学一模试卷(理科)A卷(模拟)
太原市高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·佛山期中) 设全集U={﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={﹣1，2，3}，则∁UA∩B=（）A . {﹣1}B . {2，3}C . {0，1}D . B2. （2分）(2013·辽宁理) 复数的模长为（）A .B .C .D . 23. （2分）下列命题中正确的是（）A . 如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B . 过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C . 平面a不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD . 若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线4. （2分）已知空间两条不同的直线m，n和平面α，则下列命题中正确的是（）A . 若m⊥α，n∥α，则m⊥nB . 若m⊥α，n⊥α，则m⊥nC . 若m∥α，n∥α，则m∥nD . 若m⊂α，n∥α，则m∥n5. （2分）已知tan（﹣α）=，则tan（+α）=（）A .B . -C .D . -6. （2分）阅读程序框图(如图），如果输出的函数值在区间[， 1]上，则输入的实数x的取值范围是（）A .B . ［－2,0］C . ［0,2］D .7. （2分）(2017·日照模拟) 已知变量x，y满足：，则z=（）2x+y的最大值为（）A .B . 2C . 2D . 48. （2分） (2017高一下·晋中期末) 已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）=2x ，则f（2017）+f（2016）=（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）(2015·河北模拟) 函数f（x）=sinωx（ϖ＞0）的图象向右平移个单位得到函数y=g（x）的图象，并且函数g（x）在区间[ ， ]上单调递增，在区间[ ]上单调递减，则实数ω的值为（）A .B .C . 2D .10. （2分） (2017高二下·河南期中) 已知双曲线的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C的离心率是（）A . 2B .C .D .11. （2分）(2017·湖北模拟) 如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A .B .C . 16πD . 21π12. （2分） (2017高一上·吉林月考) 已知函数，若，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知| |=4，| |=5，＜，＞= ，（ + ）• =________14. （1分） (2015高二下·淮安期中) 若（x2﹣3x+1）8•（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+…+a20x20 ，则a2=________．15. （1分） (2016高二上·马山期中) 在△ABC中，B=45°，c=2 ，b= ，那么A=________．16. （1分）(2016·山东模拟) 椭圆C：的右焦点为F，双曲线的一条渐近线与椭圆C交于A，B两点，且AF⊥BF，则椭圆C的离心率为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中有n个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式．18. （15分） (2015高三上·舟山期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明PA∥平面BDE；（2）证明：DE⊥面PBC；（3）求直线AB与平面PBC所成角的大小．19. （10分） (2018高二下·中山月考) 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.（1）大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050问有多大的把握认为是否患心肺疾病与性别有关?（2）空气质量指数PM2.5（单位：μg/ ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重. 某市在2016年年初着手治理环境污染，改善空气质量，检测到2016年1～5月的日平均PM2.5指数如下表：月份x12345PM2.5指数y7976757372试根据上表数据，求月份x与PM2.5指数y的线性回归直线方程，并预测2016年8月份的日平均PM2.5指数 (保留小数点后一位).20. （5分）(2018·浙江) 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M ，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．21. （10分） (2016高二上·黄陵期中) 已知函数y=xlnx（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程．22. （10分） (2018高二下·西宁期末) 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为，的极坐标方程为．（1）求直线l和的普通方程；（2）直线l与有两个公共点A、B，定点P ，求的值．23. （10分） (2018·株洲模拟) 已知函数，（1）若 ,求不等式的解集；（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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太原市高考数学一模试卷（理科）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·中山模拟) 设集合，，，则
（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）复数z=cos +isin 在复平面内对应的点在（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3. （2分）在中，“”是“”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
5. （2分） (2018高二上·长安期末) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A . 月接待游客逐月增加
B . 年接待游客量逐年增加
C . 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D . 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
7. （2分）执行如图的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（）
A . -2或2
B . 2
C . -2或4
D . 2或－4
8. （2分）(2017·泉州模拟) 已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B，PO=2，
．若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（）
A . （﹣1，1）
B .
C .
D . （0，1）
9. （2分）若对任意x∈A，y∈B，（A、B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，称f（x，y）为关于x、y 的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”：（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y=0时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
今给出四个二元函数：①f（x，y）=x2+y2；②f（x，y）=（x﹣y）2；③f（x，y）=；④f（x，y）=sin （x﹣y）．
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的所有序号是（）
A . ①
B . ②
C . ③
D . ④
10. （2分）(2017·陆川模拟) （3﹣2x﹣x2）（2x﹣1）6的展开式中，含x3项的系数为（）
A . 600
B . 360
C . ﹣588
D . ﹣360
11. （2分） (2017·成都模拟) 已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=ex+1﹣1也相切，则tln 的值为（）
A . 4e2
B . 8e
C . 2
D . 8
12. （2分） (2017高二下·陕西期末) 已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2 ，则a＜b，下列命题为真命题的是（）
A . p∧q
B . p∧￢q
C . ￢p∧q
D . ￢p∧￢q
二、填空题 (共4题；共4分)
15. （1分）(2017·菏泽模拟) a1= ‘
a2= （1﹣a1）= ；
a3= （1﹣a1﹣a2）= ；
a4= （1﹣a1﹣a2﹣a3）= ；
…
照此规律，当n∈N*时，an=________．
16. （1分）(2018·河北模拟) 若双曲线的渐近线与圆相交，则此双曲线的离心率的取值范围是________．
三、解答题 (共7题；共60分)
17. （5分）(2017·日照模拟) 已知函数f（x）= sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c= ，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．
18. （10分）(2017·聊城模拟) 某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19. （5分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅱ）若AC=BC，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
20. （5分）已知焦点在x轴上的椭圆（a＞b＞0），焦距为2，长轴长为4．求椭圆的标准方程；
21. （10分） (2019高三上·平遥月考) 已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，证明:．
22. （10分）已知曲线C1的参数方程为，曲线C2的极坐标方程ρcos（θ﹣）= ．（1）将曲线C1和C2化为普通方程；
（2）设C1和C2的交点分别为A，B，求线段AB的中垂线的参数方程．
23. （15分） (2019高一上·荆州期中) 已知函数且（1）若方程的一个实数根为2，求的值;
（2）当且时，求不等式的解集;
（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围。
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
5-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共60分)
17-1、18-1、
18-2、
19-1、20-1、
21-1、
21-2、22-1、
22-2、
23-1、23-2、
23-3、。