哈工大天线原理-马汉炎习题答案

第一章1-1 试用对偶原理，由电基本振子场强式（1-5）和式（1-7），写出磁基本振子的场表示式。

对偶原理的对应关系为：E e ——H mH e ——-E mJ ——J mρ——ρmμ——εε——μ 另外，由于ωεω=k ，所以有k ——k式（1-5）为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-jkr r e jkr r Idl j H H H 11sin 200θλϕθ式（1-7）为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--0111sin 211cos 22200002ϕθθεμλθεμπE e r k jkr r Idl j E e jkr r Idl E jkr jkr r 因此，式（1-5）的对偶式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=-=--jkr m r e jkr r dl I j E E E 11sin 200θλϕθ式（1-7）的对偶式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--0111sin 211cos 22200002ϕθθμελθμεπH e r k jkr r dl I j H e jkr r dl I H jkr m jkr m r结合I m dl =jωμ0IS有磁基本振子的场表示式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-jkr r e jkr r IS E E E 11sin 2000θλωμϕθ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--0111sin 211cos 2220000020ϕθθμελωμθμεπωμH e r k jkr r IS H e jkr r IS j H jkr jkr r 可以就此结束，也可以继续整理为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-jkr r e jkr r ISE E E 11sin 00002θεμλπϕθ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--0111sin 11cos 2222ϕθθλπθλH e r k jkr r IS H e jkr r IS j H jkr jkr r1-3 若已知电基本振子辐射电场强度大小θηλθsin 20rIl E =，天线辐射功率可按穿过以源为球心处于远区的封闭球面的功率密度的总和计算，即s S d r P S⋅=⎰∑),,(ϕθ，ϕθθd d r ds sin 2=为面积元。

试计算该电基本振子的辐射功率和辐射电阻。

【解】首先求辐射功率22222000240sin 2sin 24012401⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∑λπϕθθλθηππππθIl d d r r Il dsE P S 辐射电阻为 222802⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑λπl I P R注意：此题应用到了34sin 03=⎰θθπd1-5 若已知电基本振子辐射场公式θηλθsin 20rIl E =，试利用方向性系数的定义求其方向性系数。

【解】方向性系数的定义为：在相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度S max （或场强E max 的平方），与无方向性天线在该方向上的功率密度S 0（或场强E 0的平方）之比。

首先求辐射功率22222000240sin 2sin 24012401⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∑λπϕθθλθηππππθIl d d r r Il dsE P S 令该辐射功率为604240220220r E r E P =⨯=∑ππ 其中E 0是无方向性天线的辐射场强。

因此，可以求得22202400⎪⎭⎫ ⎝⎛=r Il E λπ 所以方向性系数5.1202max ==E E D1-6 设小电流环电流为I ，环面积S 。

求小电流环天线的辐射功率和辐射电阻表示式。

若1m 长导线绕成小圆环，波源频率为1MHz ，求其辐射电阻值。

电小环的辐射场幅度为：θηλπϕsin 2rIS E = 首先求辐射功率 2242220022160sin sin 24012401⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∑λπϕθθλθηπππππϕIS d d r r IS dsE P S 辐射电阻为42423202λπS I P R ==∑ 当圆环周长为1m 时，其面积为2m 41π=S ，波源频率为1MHz 时，波长为λ=300m 。

所以，辐射电阻为R Σ=2.4×10-8 Ω。

1-7 试证明电基本振子远区辐射场幅值E θ与辐射功率P Σ之间的关系为rP E θθsin 49.9∑≈ 【证明】电基本振子远区辐射场幅值θλπθηλθsin 60sin 20rIl r Il E == 根据题目1-3可知电基本振子辐射功率为2240⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑λπIl P ， 所以πλ40∑=P Il代入到E θ表达式中可以得到：r P r Il E θππθλπθsin 4060sin 60⨯⨯==∑ 所以有：rP E θθsin 49.9∑≈1-9 试求证方向性系数的另一种定义：在最大辐射方向上远区同一点具有相同电场强度的条件下，无方向天线的辐射功率比有方向性天线辐射功率增大的倍数，记为max 0E E P P D =∑∑= 【证明】方向性系数的定义为：相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度S max （或场强E max 的平方），与无方向性天线在该方向上的功率密度S 0（或场强E 0的平方）之比。

假设有方向性天线的辐射功率为P Σ，最大辐射方向的辐射场为E max ，无方向性天线的辐射功率为P Σ0，辐射场大小为E 0，则有如下关系：22004240r E P ππ⨯=∑=>202060rP E ∑= 如果有方向性天线的方向性系数为D ，则根据定义，当其辐射功率为P Σ时，有 22max 60r D P E ∑= 所以，当有E max =E 0时，则有0max 0E E P P D =∑∑=1-11 一个电基本振子和一个小电流环同时放置在坐标原点，如图示，若S I l I 212λπ=，试证明远区任意点的辐射场均是圆极化的。

【证明】如图示的电基本振子和小电流环的辐射场分别为： jkr e rl I j E -=θηλθsin 201 jkr e rS I E -=θηλπϕsin 022 令A S I l I ==212λπ 则远区任一点辐射场为：jkr e r A a r A j a E -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θηλθηλϕθsin 2sin 200 这是一个右旋圆极化的电磁波。

1-13 设收发两天线相距r ，处于极化匹配和阻抗匹配的最佳状态，且最大方向对准。

若工作波长为λ，发射天线输入功率P tin ，发射和接收天线增益系数分别为G t 、G r ，试证明接收功率为r t tin r G G P r P 2max 4⎪⎭⎫ ⎝⎛=πλ 【证明】满足题设三条件的情况下，根据天线增益的定义，可以得到发射天线在接收天线处产生的辐射场的最大功率密度为 t tin G r P S 2max 4π= 接收天线的有效面积为r e G S πλ42= 因此接收天线得到的最大接收功率为r t tin e r G G P r S S P 2max max 4⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=πλ1-15 若干扰均匀分布于空间并从所有方向传到接收点，利用定向接收天线可以增大有用信号功率和外部干扰功率之比，试证明这一比值和天线的方向性系数成正比。

【证明】设定向接收天线的方向性函数为F(θ,φ)，方向性系数为D ，则有如下关系：⎰⎰=ππϕθθϕθπ2002sin ),(4d d F D设干扰的平均功率流密度大小S n 为常数，一个以接收点为中心的，半径为r 的球面Σ包围了接收点，则接收点处天线接收到的功率P n 为不同方向面积微元通过的被接收的干扰的积分：Dr S d d F r S d d r F S dsF S P n n n n n 2200222200224sin ),(sin ),(),(πϕθθϕθϕθθϕθϕθππππ====⎰⎰⎰⎰⎰∑设天线接收到的有用功率为P s ，则有用功率与干扰功率之比为s=P s /P n ∝D 。

第二章2-1 设对称振子臂长l分别为λ/2，λ/4，λ/8，若电流为正弦分布，试简绘对称振子上的电流分布。

2-2 用尝试法确定半波振子、全波振子E 面主瓣宽度。

半波振子的方向性函数为θθπθsin cos 2cos )(⎪⎭⎫ ⎝⎛=F 可以看出，该函数关于θ=0和θ=π/2对称，并且当θ=π/2时，F （θ）有最大值1，因此计算θ=π/4~π/2之间的值即可。

经过计算，当θ=51°时，F （θ）=0.708，因此，可以得到主瓣宽度为HPBW=2×（90-51）=78°全波振子的方向性函数为θθπθsin cos 2cos )(2⎪⎭⎫⎝⎛=F 可以看出，该函数关于θ=0和θ=π/2对称，并且当θ=π/2时，F （θ）有最大值1，因此计算θ=π/4~π/2之间的值即可。

经过计算，当θ=66.1°时，F （θ）=0.707，因此，可以得到主瓣宽度为HPBW=2×（90-66.1）=47.8°2-3 试利用公式（1-51），求半波振子、全波振子的方向性系数。

【解】公式（1-51）为∑=R f D 2max120 对于对称振子，f max =1-cos kl2-4试利用公式（1-85），分别求解半波振子和全波振子的有效面积。

【解】有效面积的公式为G S e πλ42=2-5 试利用公式（2-24）或（2-25），求半波振子、全波振子的有效长度。

【解】公式（2-24）是采取以归算电流为输入电流计算的有效长度2tan kll e πλ= 公式（2-25）是采用了归算电流为波腹电流计算的有效长度302∑=DR l e πλ2-6 已知对称振子臂长l=35cm，振子臂导线半径a=8.625mm，若工作波长λ=1.5m，试计算该对称振子的输入阻抗的近似值。

已知对称振子臂长l=35cm，a=8.625mm，λ=1.5m，则有：①利用公式（2-29）求得Z0A=120×（ln2l/a-1）=120×[ln（2×350/8.625）-1]=408Ω，刚好介于图2-9的340和460之间。

②l/λ=0.233，根据图2-9的（a）和（b）可以分别查得：Z in=70+j0Ω，需要注意：这里的数字读取得很粗略。

还有一种方法：利用公式（2-32）进行计算。

首先计算l/（2a）=20.3，l/λ=0.233，并利用公式（2-29）求得Z0A=120（ln2l/a-1）=120×（ln2×350/8.625-1）=408Ω；查图2-8，得n=1.05查图2-5，RΣm=70Ωβ=n2π/λ=2.1×π/λ利用公式（2-31）求得αA=0.753/λ,然后代入公式（2-32），最终求得Z in=69.4-21.4Ω。