2017年西城初三一模数学试题(WORD版含答案)

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2017年中考数学真题试题与答案(word版)

XX★ 启用前2017 年中考题数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上）1、计算2( 1) 的结果是（）1B、2C、1D、 22、若∠α的余角是30°，则 cosα的值是（）A 、213C、2D、3A 、B 、23223、下列运算正确的是（）A 、2a a 1 B、a a2a2C、a a a2 D 、( a)2a24、下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A、4 个B、3 个5、如图，在平行四边形∠1=（）C、2 个D、1 个ABCD 中，∠ B=80 °， AE平分∠BAD交 BC于点E， CF∥ AE交 AE于点F，则A、 40°B、 50°C、 60°D、80°6、已知二次函数y ax2的图象开口向上，则直线y ax 1 经过的象限是（）A 、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限7、如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（C、第一、二、四象限）D、第一、三、四象限A B C D8、如图，是我市 5 月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（）A 、 28℃， 29℃B 、 28℃， 29.5℃C、 28℃， 30℃D 、 29℃， 29℃9、已知拋物线 y1 x2 2，当 1 x 5 时， y 的最大值是（）2 35 7 A 、 2C 、B 、3D 、3 310、小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为 1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A 、 2B 、 5C 、22D 、311、如图，是反比例函数yk 1x和 yk 2 x（ k 1k 2 ）在第一象限的图象，直线AB ∥ x轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S AOB2 ，则k 2k 1 的值是（）A 、 1B 、 2C 、 4D 、 812、一个容器装有1 升水，按照如下要求把水倒出：第1 次倒出1升水，第2 次倒出的水量是1升的1 ，223第 3 次倒出的水量是1 升的314，第4 次倒出的水量是14升的1 ，⋯按照这种倒水的方法，倒了5 10 次后容器内剩余的水量是（）A 、10 升11B 、1 升9C 、110升D 、111升二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分 .把答案填在答题卡中的横线上）13、 2011的相反数是 __________14、近似数 0.618 有__________个有效数字．15、分解因式：a 3= __________16、如图，是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，则九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为 __________C 'D 17、如图，等边△ ABC 绕点 B 逆时针旋转30°时，点 C 转到 C ′的位置，且 BC ′与 AC 交于点 D ，则CD的值为 __________16 题图17 题图18 题图18、如图， AB 是半圆 O 的直径，以 0A 为直径的半圆O ′与弦 AC 交于点 D ，O ′ E ∥ AC ，并交 OC 于点E ．则下列四个结论：①点 D 为 AC 的中点；② S O 'OE1S AOC ；③ AC 2AD；④四边形 O'DEO 是菱形．其中正确的结2论是 __________．（把所有正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题共 8 小题，满分共 66 分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） .19、计算： (1) 1(5) 034 ．220、假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为 60°，已知风筝线 BC 的长为 10 米，小强的身高 AB 为 1.55 米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到 1 米，参考数据2 ≈ 1.41 ， 3≈ 1.73 ）21、如图， △ OAB 的底边经过⊙ O 上的点 C ，且 OA=OB ，CA=CB ，⊙O 与 OA 、OB 分别交于 D 、E 两点．（ 1）求证： AB 是⊙ O 的切线；（ 2）若 D 为 OA 的中点，阴影部分的面积为33，求⊙ O 的半径 r ．22、一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子 3 个（分别用白 A 、白 B 、白 C 表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为3 ．4（ 1）求纸盒中黑色棋子的个数；（ 2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．23、上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了 2000 元，第二批用了 5500 元，第二批购进水果的重量是第一批的 2.5 倍，且进价比第一批每千克多 1 元．（ 1）求两批水果共购进了多少千克？（ 2）在这两批水果总重量正常损耗 10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于 26%，那么售价至少定为每千克多少元？利润（利润率 =100%）进价AG为边作一个正方形AEFG ，24、如图，点G 是正方形ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段线段 EB 和 GD 相交于点 H．（ 1）求证： EB=GD ；（ 2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；（ 3）若AB=2 ， AG=2，求EB的长．25、已知抛物线y ax22ax 3a ( a 0) 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 D 为抛物线的顶点．（1）求 A 、 B 的坐标；（2）过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H，若 DH=HC ，求 a 的值和直线 CD 的解析式；（3）在第（ 2）小题的条件下，直线 CD 与 x 轴交于点 E，过线段 OB 的中点 N 作 NF 丄 x 轴，并交直线CD 于点 F，则直线 NF 上是否存在点 M ，使得点 M 到直线 CD 的距离等于点 M 到原点 O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学试题答案一、选择题题号123456789101112答案B A C C B D B A C B C D二、填空题13. 201114. 315.a(3 a)(3 a)°17.2318.①③④16. 144三、解答题19. 解：原式 =2-1-3+2 ，=0 ．故答案为： 0 ．20.解：∵一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个实数根是 x1、 x2，∴ x1 +x 2=4 ， x1?x2=1 ，∴（ x1+x 2）2÷（）=4 2÷2=4 ÷421.解：在 Rt △ CEB 中，sin60 °=，∴CE=BC?sin60°=10×≈8.65m，∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.≈210m，答：风筝离地面的高度为 10m ．22.（ 1）证明：连 OC ，如图，∵ OA=OB ， CA=CB ，∴OC ⊥AB，∴AB 是⊙ O 的切线；（2）解：∵ D 为 OA 的中点， OD=OC=r ，∴ OA=2OC=2r ，∴∠ A=30°，∠ AOC=60°， AC=r，∴∠ AOB=120°， AB=2r，∴ S 阴影部分 =S △OAB -S 扇形ODE = ?OC?AB-=-，∴?r?2r- r2=-，∴ r=1 ，即⊙ O 的半径 r 为 1 ．23. 解：（ 1） 3÷-3=1 ．答：黑色棋子有 1 个；（ 2）共12 种情况，有 6 种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为．24. 解：（ 1）设第一批购进水果x 千克，则第二批购进水果 2.5 千克，依据题意得：，解得 x=200 ，经检验 x=200 是原方程的解，∴x+2.5x=700 ，答：这两批水果功够进 700 千克；（ 2）设售价为每千克 a 元，则：，630a≥ 7500× 1.26，∴，∴a≥15，答：售价至少为每千克 15 元．25.（ 1 ）证明：在△ GAD 和△ EAB 中，∠ GAD=90° +∠ EAD ，∠ EAB=90° +∠ EAD ，∴∠ GAD= ∠ EAB ，又∵ AG=AE ， AB=AD ，∴△ GAD ≌△ EAB ，∴EB=GD ；（ 2） EB ⊥ GD ，理由如下：连接BD ，由（ 1 ）得：∠ ADG= ∠ ABE ，则在△ BDH 中，∠DHB=180° - （∠ HDB+ ∠ HBD ）=180°-90 °=90°，∴EB⊥GD ；（ 3）设BD与AC交于点O，∵ AB=AD=2在 Rt △ABD中， DB=，∴ EB=GD=．26. 解：（ 1）由y=0得， ax 2-2ax-3a=0，∵ a≠0，∴ x2 -2x-3=0，解得1=-1，x2=3，∴点 A 的坐标（ -1， 0），点 B 的坐标（ 3，0）；（2）由 y=ax 2 -2ax-3a ，令 x=0 ，得 y=-3a ，∴ C （ 0， -3a ），又∵ y=ax 2 -2ax-3a=a （ x-1 ）2-4a ，得 D （1 ， -4a ），∴ DH=1 ， CH=-4a- （ -3a ） =-a ，∴ -a=1 ，∴ a=-1 ，∴C（0， 3），D（1，4），设直线 CD 的解析式为y=kx+b ，把 C、 D 两点的坐标代入得，，解得，∴直线 CD 的解析式为y=x+3 ；（ 3）存在．由（ 2）得， E（-3，0），N（-，0）∴F（，），EN= ，作 MQ⊥CD 于 Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=-m ，EF==，MQ=OM=由题意得： Rt △ FQM ∽ Rt △ FNE ，∴=，整理得 4m 2+36m-63=0 ，∴m2+9m=，m 2+9m+=+（m+ ）2=m+ =±∴ m1=，m2=-，∴点 M 的坐标为M1（，），M2（，-）．”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个清代“红顶商人”胡雪岩说：“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。

2017北京市西城区初三数学一模试题(卷)与答案(word)

市西城区2017年九年级统一测试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．春节假期，市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9608000人次，将9608000用科学记数法表示为（）．A ．3960810⨯B ．4960.810⨯C ．596.0810⨯D ．69.60810⨯ 2．在数轴上，实数a ，b 对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是（）． b1aA ．0a b +=B ．0a b -=C ．||||a b <D ．0ab >3．如图，AB CD ∥，DA CE ⊥于点A ．若55EAB ∠=︒，则D ∠的度数为（）．A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒4．右图是某几何体的三视图，该几何体是（）．A ．三棱柱B ．长方体C ．圆锥D ．圆柱5．若正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形是（）．A ．正七边形B ．正八边形C ．正九边形D ．正十边形6．用配方法解一元二次方程2650x x --=，此方程可化为（）．A ．2(3)4x -=B ．2(3)14x -=C ．2(9)4x -=D ．2(9)14x -=7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m ，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m ．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m ，则旗杆的高度为（单位：m ）（）．A ．163B ．9C ．12D ．643BAE8．某商店举行促销活动，其促销的方式是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20 元”．若某商品的原价为x 元（100x >），则购买该商品实际付款式的金额（单位：元）是（）． A ．80%20x - B ．80%(20)x -- C ．20%20x - D ．20%(20)x -9．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：A ．平均数、中位数B ．平均数、方差C ．众数、中位数D ．众数、方差10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．右下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是（）．A ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多B ．以低于80km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少C ．以高于80km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油D ．以80km/h 的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升二．填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：22ax ax a -+=__________．12．若函数的图象经过点(1,2)A ，点(2,1)B ，写出一个符合条件的函数表达式__________． 13．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：14．如图，四边形ABCD 是⊙O 接四边形，若30BAC ∠=︒，80CBD ∠=︒，则BCD ∠的度数为_______︒．）15．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为旋转中心，将AOB △顺时针旋转90︒得到A OB ''△，其中点A '与点A 对应，点B '与点B 对应．若点(3,0)A -，(1,2)B -，则点A '的坐标为__________，点B '的坐标为__________．16已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．Pl求作：直线l 的平行直线，使它经过点P ．作法：如图2．m（1）过点P 作直线m 与直线l 交于点O ；（2）在直线m 上取一点()A OA OP <，以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，与直线l 交于点B ；点D ；（4）作直线PD ．所以直线PD 就是所求作的平行线．请回答：该作图的依据是______________．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：(1122sin 6022-⎛⎫---︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组：5234722x x x x <≥-+⎧⎪⎨+⎪⎩．19．已知2x y =，求代数式222112x xy y y x x y ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭的值．20．如图，在ABC △中，BC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 延长线于点E ，连接CE ．求证：BCE A ACB ∠=∠+∠．21．某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植．在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性，以及西瓜的优等品率．为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块实验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下：表1 甲种种植技术种出的西瓜质量统计表ABEDC（1）若将质量为4.5 5.5:（单位：kg ）的西瓜记为优等品，完成下表：（222．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =-与y 轴交于A ，与双曲线ky x-交于点(),2B m ．（1）求点B 的坐标及k 的值；（2）将直线AB 平移，使它与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若ABC V 的面积为6，求直线CD 的表达式．23．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 延长线于点F ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若45ABC ∠=︒，2BC =，求EF 的长．B C FDEA24．汽车保有量是指一个地区拥有车辆的数量，一般是指在当地登记的车辆．进入21世纪以来，我国汽车保有量逐年增长．下图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图．:年全国汽车保有量及增速统计图20072015根据以上信息，回答下列问题：（1）2016年汽车保有量净增2200万辆，为历史最高水平，2016年汽车的保有量为_______________万辆，与2015年相比，2016年的增长率约为______________%；（2）从2008年到2015年，_______________年全国汽车保有量增速最快；（3）预估2020年我国汽车保有量将达到_____________万辆，预估理由是_________________．25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线交于点D ，过点B作BE BA ⊥，交DC 延长线于点E ，连接OE ，交⊙O 于点F ，交BC 于点H ，连接AC ．（1）求证：ECB EBC ∠=∠；（2）连接BF ，CF ，若6CF =，3sin 5FCB ∠=，求AC 的长．26．阅读下列材料：某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y 是时间x 的函数，其中y （单位：℃）表示水箱中水的温度，x （单位：min ）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）下表记录了32min 14个时间点的温控水箱中水有温度y 随时间x 的变化情况（2）①当04x ≤≤时，写出一个符合表中数据的函数解析式______________；当416x <≤时，写出一个符合表中数据的函数解析式_________________；②如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当032x ≤≤时，温度y 随时间x 变化的函数图象；xO HEFCD AB（3）如果水温y 随时间x 的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源___________min ．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(21)5y mx m x m =-++-的图象与x 轴有两个公共点．（1）求m 的取值围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当1n x ≤≤时，函数值y 的取值围是64y n --≤≤，求n 的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O ．设平移后的图象对应的函数表达式为2()y a x h k =-+，当2x <时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值围．28．在ABC △中，AB BC =，BD AC ⊥于点D ．（1）如图1，当90ABC ∠=︒时，若CE 平分ACB ∠，交AB 于点E ，交BD 于点F ．①求证：BEF △是等腰三角形；②求证：1()2BD BC BF =+；（2）点E 在AB 边上，连接CE ．若1()2BD BC BE =+，在图2中补全图形，判断ACE ∠与ABC ∠之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解ACE ∠与ABC ∠关系的思路．图1图2D ABFEAD B29．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点．（1）如图1，点(1,0)A -．①若点B 是点A 关于y 轴，直线1:2l x =的二次对称点，则点B 的坐标为___________________； ②若点(5,0)C -是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的二次对称点，则a 的值为___________________； ③若点(2,1)D 是点A 关于y 轴，直线3l 的二次对称点，则直线3l 的表达式为__________________；（2）如图2，⊙O 的半径为1．若⊙O 上存在点M ，使得点'M 是点M 关于y 轴，直线4:l x b =的二次对称点，且点'M在射线(0)y x =≥上，b 的取值围是_____________________；（3）(,0)E t 是x 轴上的动点，⊙E 的半径为2，若⊙E 上存在点N ，使得点'N 是点N 关于y轴，直线5:1l y =+的二次对称点，且点'N 在y 轴上，求t 的取值围．图2图1xx市西城区2017年九年级统一测试数学试卷答案及评分参考2017．4一、选择题（本题共30分，每小题3分）11．2(1)ax -12．答案不唯一，如：2y x= 13．0.601 14．7015．(0,3)A '，(2,1)B '16．三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相等两直线平行；两点确定一条直线．三．解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：101(22sin 6022-⎛⎫--︒+⎪⎝⎭2122=--3=-18．解：解不等式组为5234722x x x x -+⎧⎪⎨+⎪⎩①②<≥ 解不等式①，得3x <．解不等式②，得73x ≥．∴原不等式组的解集为733x ≤<．19．解：原式22()x y x yxy x y -=⋅-x x y=- 当2x y =时，原式222yy y==- 20．证明：∵DE 垂直平分BC 于点D ． ∴BE CE =． ∴BCE CBE ∠=． ∵CBE ACB A ∠=∠+∠． ∴BCE ACB A ∠=∠+∠．CDEB A21．解：（1）（2出的西瓜，质量更稳定，大小更均匀，科研小组应选择乙种种植技术． 22．解：（1）∵点(,2)B m 在直线1y x =-上， ∴12m -=．解得3m =． ∴点(3,2)B ．又∵点(3,2)B 在双曲线ky x=上． ∴6k =．（2）设平移后的直线的表达式为y x b =+．则它与y 轴交于点(0,)D b ． ∵AB CD ∥． ∴ABD ABC S S =△△∴162ABD B S AD x =⋅=△． ∴4AD =．∴14b +=或14b --=． ∴3b =或5b =-．∴平移后的直线的表达式为3y x =+或5y x =-．23．（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥． ∴ABD BDC ∠=∠． ∵BD 平分ABC ∠， ∴ABD DBC ∠=∠． ∴BDC DBC ∠=∠． ∴BC CD =．∴四边形ABCD 是菱形．（2）解：由（1）可得，AB CD ∥，2CD BC AB ===． ∴45ECF ABC ∠=∠=︒． ∵AE BD ∥．∴四边形ABDE 是平行四边形． ∴2DE AB ==． ∴4CE =．在Rt ECF △中，45ECF ∠=︒，4CE =． ∴22EF =B C FDEA24．（1）19400.13；（2）2010；（3）答案不唯一．如：2020年我国汽车保育量将达到28000万辆，预估理由合理，支撑预估的数据． 25．（1）证明：∵BE BA ⊥于点B ， ∴BE 是⊙O 的切线．∵DE 是⊙O 的切线，C 为切点．∴BE CE =． ∴ECB EBC ∠=∠．（2）解：连接AF ． ∵AB 是⊙O 直径， ∴90AFB ACB ∠=∠=︒．BE 是⊙O 的切线，切点为B ，CE 是⊙O 的切线，切点为C ． ∴BE CE =，EO 平分BED ∠． ∴EO BC ⊥，CH BH =．∴6BF CF ==，»»BFCF =，OH AC ∥． ∴FBC BAF FCB ∠=∠=∠．在Rt ABF △中，3sin 5BAF ∠=，6BF =．∴10AB =，5OF =．在Rt FCH △中，3sin 5FCB ∠=，6CF =．∴185FH =． ∴75OH OF FH =-=． ∴1425AC OH ==． O HEFC D AB26．解：（1）50；（2）①答案不唯一，如：当04x ≤≤时，1520y x =+；当416x <≤时，320y x=；②x（3）56．27．解：（1）∵二次函数2(21)5y mx m x m =-++-的图象与x 轴有两个公共点． ∴[]20(21)4(5)0m m m m ≠⎧⎪⎨-+--⎪⎩> 解得124m ->且0m ≠． ∴m 的取值围是124m ->且0m ≠．（2）①m 取满足条件的最小的整数，由（1）可知1m =．∴二次函数的解析式为234y x x =--． ②图象的对称轴为直线32x =．当时312n x ≤≤<，函数值y 随自变量x 的增大而减小．∵函数值y 的取值围是64y n --≤≤， ∴当1x =时，函数值为6-．当x n =时，函数值为4n -． ∴2346n n --=-．解得2n =-或4n =（不合题意，舍去）． ∴n 的值为2-． ③由①可知，1a =，又函数图象经过原点， ∴2k h =-，∵当2x <时，y 随x 的增大而减小， ∴2h ≥， ∴4k -≤．28．证明：在ABC △中，AB BC =，BD AC ⊥于点D ． ∴ABD CBD ∠=∠，AD BD =．（1）①∵90ABC ∠=︒，FEADCBM∴45ACB ∠=︒． ∵CE 平分ACB ∠∴22.5ECB ACE ∠=∠=︒， ∴67.5BEF CFD BFE ∠=∠=∠=︒， ∴BE BF =．∴BEF △是等腰三角形．②延长AB 至M ，使得BM AB =，连接CM ．∴BD CM ∥，12BD CM =．∴45BCM DBC ABD BMC ∠=∠=∠=∠=︒，BFE MCE ∠=∠．∴BC BM =．由①可得，,BEF BFE BE BF ∠=∠=． ∴BFE MCE BEF ∠=∠=∠． ∴EM MC =．∴1()2BD BC BF =+．（2）14ACE ABC ∠=∠．FPBACDa ．与（1）②同理可证BD PC ∥，12BD PC =，BP BC =； b ．由1()2BD BC BF =+可知PEC △和BEF △分别是等腰三角形；c ．由180BEF BFE EBF ∠+∠+∠=︒，90FCD DFC ∠+∠=︒，可知14ACE ABC ∠=∠．29．解：（1）①点B 的坐标为(3,0)；②a 的值为2-．③直线3l 的表达式为2y x =-+．（2）112b -≤≤；（3）将点N 关于y 轴的对称点记为点P ． ∴点P 和点'N关于直线:1l y =+对称，∵直线1y =+和y轴关于直线:1l y =+对称． ∴点P在直线1y +上，∵直线1y =+和直线1y +关于y 轴对称，∴点N在直线1y =+上， ∴符合题意的点N是直线1y x =+与⊙E 的公共点．（i）当直线1y x =+与⊙E 相离时，则不存在符合题意的点N ．（ii）当直线1y x =+与⊙E 相切时，如图所示．则符合题意的点N是直线1y x =+与⊙E 相切时的切点，记直线1y =+与x轴交于点R ，若点E 在点R 的左侧，由112E N =，可得14RE =，14OE =-∴14t =-+ 若点E 在点R 的右侧，由222E N =，可得24RE =，24OE =∴24t = （iii）当直线1y =+与⊙E 相交时，44t -<综上，t的取值围是：44t -≤。

2017.1 西城初三上数学期末试卷

3.A. B. C. D.如图，在中，，，，则的长度为（）．Rt △ABC ∠C =90∘AC =4tan A =12BC 2843√45√5.A. B. C. D.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段放大后得到线段．若点，，，则点的对应点的坐标是（）．xOy O AB CD A (1,2)B (2,0)D (5,0)A C (2,5)(,5)52(3,5)(3,6)智康6.A. B. C. D.如图，是⊙上的直径，、是⊙上的两点，连接，，，．若，则的度数为（）．AB O C D O AC BC CD AD ∠CAB =55∘∠ADC 55∘45∘35∘25∘7.A. B. C. D.如图，是⊙的一条弦，于点，交⊙于点，连接，若，，则⊙的半径为（）．AB O OD ⊥AB C O D OA AB =4CD =1O 55√35212.如图，在中，点、分别在、上，若，则需要增加一个条件是（写出一个即可）．△ABC E F AB AC △AEF ∽△ABC 13.如图，、是⊙的两条切线，切点分别为、，连接、、、，若，，则的周长为．P A P B O A B OA OB OP AB OA =1∠AP B =60∘△P AB 14.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，，当时，的取值范围是．xOy =kx +m (k ≠0)y 1=a +bx +c (a ≠0)y 2x 2A (0,4)B (3,1)⩽y 1y 2x 15.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，则．△ABC ∠BAC =65∘△ABC A △AB ′C ′C C ′C //AB C ′∠BA =B ′16.（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．（2）写出作图的依据．考古学家发现的一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．O18.（1）求证：．（2）连接，若，求的度数．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．D ABC AD A 60∘AE CD BE ∠AEB =∠ADC DE ∠ADC =105∘∠BED22.（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．（2）现有一辆货车的高度是，货车的宽度是，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．一条单车道的抛物线形隧道如图所示，隧道中公路的宽度，隧道的最高点到公路的距离为．AB =8m C 6m 4.4m 2m 0.5m25.（1）求证：．（2）若，，，求的长．如图，内接于⊙，直径于点，交于点，的延长线与的延长线交于点，连接．△ABC O DE ⊥AB F BC M DE AC N AM AM =BM AM ⊥BM DE =8∠N =15∘BC27.（1）抛物线的对称轴为直线，，求抛物线的表达式．（2）平移（）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点，与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线顶点为，若是等腰直角三角形，求点的坐标．（3）当时抛物线上有两点和，若，，，试判断与的大小，并说明理由．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（在的左侧）．xOy y =−+mx +n x 2x A B A B x =−3AB =41O x C P △OCP P m =4M (,)x 1y 1N (,)x 2y 2<2x 1>2x 2+>4x 1x 2y 1y 2康智（3）将图中的绕点旋转．若，，直接写出的最大值与最小值．1△AEF A AC=a AF=b(b<a)EN智康2圆心在轴正半轴上运动，若直线关于⊙的“视角”大于，直接写出圆心的横坐标的取值范围．C x y =x +3√3√C 120∘C x C。

2016_2017北京西城初三第一学期数学期末试卷(含答案)

市西城区2016— 2017学年度第一学期期末试卷九年级数学 2017.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线y ＝ (x -1)2+2的对称轴为（）．A ．直线x = 1B ．直线x =﹣1C ．直线x =2D ．直线x =﹣22．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是．轴对称图形，但不是．．中心对称图形的是（）．A B C D3．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，tan A =21，则BC A ．2 B ．8 C ．34 D ．544．将抛物线y ＝-3x 2平移，得到抛物线y ＝-3 (x -1)2-2，下列平移方式中，正确的是（）． A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为位似中心，把线段 AB 放大后得到线段CD ．若点A （1，2），B （2，0），D （5，0），则点A 的对应点C 的坐标是（）． A.（2，5） B.（52，5） C. （3，5） D.（3，6） 6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是圆上两点，连接AC ，BC ，AD ， CD ．若∠CAB =55°，则∠ADB 的度数为（）．A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°7．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA . 若AB = 4，CD =1，则⊙O 的半径为（）．A ．5B 5C ．3D ．528．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料.右图是一段弯形管道，其中∠O =∠O ’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm ，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（）．A ．9280mmB ．6280mmC ．6140mmD ．457mm9．当太线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m ，树高h （单位：m ）的围是（）． A ．3＜h ＜5 B ．5＜h ＜10 C ．10＜h ＜15 D ．15＜h ＜2010．在平面直角坐标系xOy 中，开口向下的抛物线y = ax 2 +bx +c 的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A (1，0)，与y 轴交于点B (0，3)，则a 的取值围是（）．A ．a ＜0B ．－3＜a ＜0C ．a ＜32-D ．92-＜a ＜32- 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值为． 12．如图，在△ABC 中，点E ，F 分别在AB ， AC 上，若△AEF ∽△ABC ，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）．13．如图，⊙O 的半径为1，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．连接OA ，OB ，AB ，PO ，若∠APB=60°，则△P AB 的周长为．14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)y kx m k =+≠的抛物线22(0)y ax bx c a =++≠交于点A (0，4)，B (3，1)，当 y 1≤y 2时，x的取值围是．15. 如图，在△ABC 中，∠BAC =65°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△AB ＇C ＇，连接C ＇C .若C ＇C ∥AB ，则∠BA B ＇= °．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心. （1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O ；（2）写出作图的依据：．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：4cos303tan60+2sin45cos45 o o o o -．18．如图， D 是等边三角形ABC 一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ， BE ．（1）求证：∠AEB =∠ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC =105°，求∠BED 的度数． 19．已知二次函数y =x 2 + 4x + 3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y = a (x -h )2 + k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质． 20．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠DAC =∠B ．点E 在AD 边上， CD =CE ．（1）求证：△ABD ∽△CAE ；（2）若AE 的长.21．一长为30cm ，宽20cm 的矩形纸片，如图1所示，将这纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积．．．为264cm 2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB =8 m , 隧道的最高点C 到公路的距离为6 m ．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m ，货车的宽度是2 m隧道顶部至少0.5m23．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，经过点C 的直线与AB 的延长线交于点D ，连接AC ，BC ，∠BCD =∠CAB ．E 是⊙O 上一点，弧CB=弧CE ，连接AE 并延长与DC 的延长线交于点F ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，，求线段AF 的长．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．图1图2天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．25．如图，△ABC 接于⊙O ，直径DE ⊥AB 于点F ，交BC 于点 M ，DE 的延长线与AC 的延长线交于点N ，连接AM ．（1）求证：AM =BM ；（2）若AM ⊥BM ，DE =8，∠N =15°，求BC 的长．图4图1图2 图326．阅读下列材料：有这样一个问题：关于x 的一元二次方程a x 2 + bx + c = 0（a >0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a ，b ，c 满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程ax 2 +bx +c = 0（a >0）对应的二次函数为y = ax 2 +bx +c （a >0）；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a ，b ，c 满足的条件，列表如下：方程根的几何意义：请将（2）补充完整（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；（2）若一元二次方程()22340mx m x m -+-=有一个负实根，一个正实根，且负实根大于-1，数m 的取值围．7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = -x2+ mx +n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）.（1）抛物线的对称轴为直线x =-3，AB = 4.求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）当m =4时，抛物线上有两点M（x1，,y1）和N（x2，,y2），若x1< 2，x2>2，x1+ x2 > 4，试判断y1与y2的大小，并说明理由.28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，C D为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF < AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC，求证：CD = MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b<a），直接写出EN的最大值与最小值．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点．P．关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线．．l．关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①点C的坐标为（1，2），直线l: y=kx+b（k > 0）经过点D（31-，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y 3x3C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值围．备用图市西城区2016— 2017学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2017.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）（2）作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式= 4×············································ 4分··········································································· 5分18．（1）证明：∵等边△ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB =∠DAC．∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB =∠ADC． ·······························（2）解：∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB =∠ADC =105°．∴∠BED =45°． ······································································ 5分19．解：（1）y = x 2 + 4x + 3= x 2 + 4x + 22 - 22 + 3= (x +2)2 -1 ········································································· 2分（2）列表：······················································································· 4分（3）答案不唯一，如：当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小，当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大.······················································································· 5分20．（1）证明：∵CE = CD ，∴∠CDE =∠CED . ∴∠ADB =∠CEA . ∵∠DAC =∠B ，∴△ABD ∽△CAE . ··························································· 3分（2）解：由（1）△ABD ∽△CAE ，∴BDAB =. ∵AB =6，AC =92，BD =2， ∴AE =23． ············································································· 5分 21．解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm ． ·············································· 1分由题意，得 (30-2x )(20-2x )=264． ··············································· 3分整理，得 x 2-25x + 84=0．解方程，得 14x =，221x =（不符合题意，舍去）． ····················· 4分答：剪掉的正方形的边长为4cm ． ························································· 5分 22．解：（1）本题答案不唯一，如：以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图所示. ∴A (-4，0), B (4，0), C （0，6）．设这条抛物线的表达式为(4)(4)y a x x =-+ ．∵抛物线经过点C ，x … －4 －3 －2 －1 0 … y…3－13…∴－16a =6． ∴38a =-．∴抛物线的表达式为 2368y x =-+(-4≤x ≤4)． ························ 4分（2）当x =1时，458y =． ∵4.4+0.5=4.9＜458， ∴这辆货车能安全通过这条隧道. ··········································· 5分23．（1）证明：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB = 90°，即∠1+∠3 =90°．∵OA = OC ，∴∠1 =∠2．∵∠DCB =∠BAC =∠1．∴∠DCB +∠3 =90°．∴OC ⊥DF ．∴DF 是⊙O 的切线． ·························································· 2分（2）解：在Rt △OCD 中，OC =3，sinD=35． ∴OD = 5 ，AD =8．∵弧CE=弧CB ，∴∠2 =∠4．∴∠1 =∠4．∴OC ∥AF ．∴△DOC ∽△DAF . ∴OC OD AF AD=． ∴245AF =． ··········································································· 5分 24．本题答案不唯一，如：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺等； ··········（2）设CD 需要测量的几何量如下：① 在点A ，点B 处用测角仪测出仰角α，β；② 测出A ，B 两点之间的距离s ； ··········· 3分（3）求解思路如下：a ．设CD 的高度为x m ．在Rt △DBC 中，由∠DBC =β，可得tan x BC β=；同理，在Rt △DAC 中，由∠DBC =α，可得tan x AC α=； b ．由AB =AC –BC 得tan tan x x s αβ=-，x 可求． ························ 5分 25．（1）证明：∵直径DE ⊥AB 于点F ，∴AF =BF ．∴AM =BM ． ······································································ 2分（2）连接AO ，BO ，如图．由（1）可得 AM =BM ，∵AM ⊥BM ，∴∠MAF =∠MBF =45°．∴∠CMN =∠BMF =45°．∵AO =BO ，DE ⊥AB ，∴∠AOF =∠BOF =12AOB ． ∵∠N =15°，∴∠ACM =∠CMN +∠N = 60°．即∠ACB =60°．∵∠ACB =12AOB ． ∴∠AOF =∠ACB =60°．∵DE =8，∴AO =4．在Rt △AOF 中，由sin AF AOB AO∠=，得AF =23在Rt △AMF 中，AM = BM 2AF =26．在Rt △ACM 中，由tan AM ACM CM∠=，得CM =22 ∴BC = CM + BM =22+26 ····················································· 5分26．解：（1）补全表格如下：方程两根的情况二次函数的大致图象得出的结论方程有一个负实根，一个正实根20,40,0,20.a b ac b a c >⎧⎪∆=->⎪⎪⎨->⎪⎪>⎪⎩······················································································· 3分（2）解：设一元二次方程()22340mx m x m -+-=对应的二次函数为：()2234y x m x m =-+-，∵一元二次方程()22340mx m x +--=有一个负实根，一个正实根，且负实根大于-1，∴240(1)(23)(1)40m m m -<⎧⎨--+⋅-->⎩解得02m <<．∴m 的取值围是02m <<． ················································· 5分27.解：（1）抛物线 y = - x 2 + mx +n 的对称轴为直线x = -3，AB = 4.∴ 点 A （-5，0），点B （-1，0）.∴抛物线的表达式为y = - (x + 5) ( x + 1)∴ y = - x 2 - 6x -5. ································································· 2分（2）依题意，设平移后的抛物线表达式为：y = - x 2 + bx .∴抛物线的对称轴为直线2b x =，抛物线与x 正半轴交于点C （b ，0）. ∴ b > 0.∵△OCP 是等腰直角三角形， ∴点P 的坐标（2b ，2b ）. ∴ 2()()222b b b b =-+. 解得 b = 2.∴点P 的坐标（1，1）. ·························································· 5分（3）当m =4时，抛物线表达式为：y = - x 2 + 4x +n .∴抛物线的对称轴为直线 x = 2.∵点M （x 1，,y 1）和N （x 2，,y 2）在抛物线上，且x 1< 2 ， x 2>2，∴点M 在直线x = 2的左侧，点N 在直线x = 2的右侧.∵x 1+ x 2 > 4，∴2 -x 1< x 2 - 2.∴点P 到直线x = 2的距离比点M 到直线x = 2的距离比点N 到直线x = 2的距离近，如图所示.∴ y 1 > y 2 . ··················································································· 7分28．解：（1）证明：在Rt △ABC 中，∵ CD 是斜边AB 上的中线．∴ CD =21AB ．在△ABF 中，点M ，N 分别是边AF ，BF 的中点，∴ MN =21AB ， ∴CD = MN ． ································································· 2分（2）答：CN 与EN 的数量关系CN = EN ，CN 与EN 的位置关系CN ⊥EN ． ········································ 3分证明：连接EM ，DN ，如图．与（1）同理可得 CD = MN ， EM = DN ．在Rt △ABC 中， CD 是斜边AB 边上的中线，∴ CD ⊥AB ．在△ABF 中，同理可证EM ⊥AF ．∴ ∠EMF =∠CDB = 90 ．∵D ，M ，N 分别为边AB ，AF ，BF 的中点，∴ DN ∥AF ，MN ∥AB ．∴ ∠FMN =∠MND ，∠BDN =∠MND ．∴ ∠FMN = ∠BDN ．∴ ∠EMF +∠FMN =∠CDB +∠BCN ．∴ ∠EMN =∠NDC ．∴ △EMN ≌△DNC ．∴ CN = EN ，∠1 =∠2．∵ ∠1 +∠3 +∠EMN = 10︒，∴ ∠2 +∠3 +∠FMN = 90︒．∴ ∠2 +∠3 +∠DNM = 90︒，即∠CNE = 90︒．∴ CN ⊥EN ． ······························································ 5分（3）EN 的最大值为22b a +，最小值为22b a -. ································ 7分29．解：（1）① 90︒，60︒． ······································································ 2分② 本题答案不唯一，如：B (0，2) . ········································· 3分（2）解：①∵直线l : y =kx + b （k > 0）经过点D （1-，0），∴ (1)0k b -+=.∴ b k =-.∴直线l : y kx k =+-.对于⊙C 外的点P ，点P 关于⊙C 的“视角”为60°，则点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上．又直线l 关于⊙C 的 “视角”为60°，此时，点P 是直线l 上与圆心C 的距离最短的点.∴CP ⊥直线l .则直线l 是以C 为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示．作CH ⊥x 轴于点H ，∴点H 的坐标为（1，0），∴DH =∴∠CDH =30°，∠PDH =60°，可求得点P 的坐标（1，3）．进而求得 k······················································································· 6分（3）圆心C的横坐标x C的取值围是113Cx-+<<．······················································································· 8分。

初三九年级数学上册上册数学压轴题试题(Word版含答案)

初三九年级数学上册上册数学压轴题试题（Word 版含答案）一、压轴题1．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．2．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．（1）求证: AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ， ①求证: CA CF =；②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长．3．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.（1）求证：AEF BCE∽；（2）若23AC ，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求出ABC的外接圆圆心与CEF△的外接圆圆心之间的距离？4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=34，CF=83．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AC是⊙O的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．5．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣3），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．6．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A的水平距离为x米，与地面的距离为y米，运行时间为t秒，经过多次测试，得到如下部分数据：t秒0 1.5 2.54 6.57.59…x米04810121620…y米2 4.56 5.846 5.84 4.562…（1）当t 为何值时，网球高度达到最大值？（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？（3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()256y a x k =-+①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．7．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，连GD ．是否存在点P ，使2GDGO=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.8．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）9．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值． 10．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．（1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．11．如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin∠AOC＝45，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）．请解答下列问题：（1）当CP⊥OA 时，求t 的值；（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t 的值．12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ，（1）如图①，当点F 与点B 重合时，DEDC等于多少；（2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DEDC的值；（3）如图③，若DE CF ，求DEDC的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【解析】【分析】（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12AH BH AB ==，求得CD 、FD ；（2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论；（3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．【详解】解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x = ∴4AB x =∴在Rt ABQ △中，5BQ x ==∵OD m ⊥，m l ⊥ ∴//OD l ∵OB OQ = ∴122AH BH AB x === ∴2CD x = ∴332FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q ∴3AP AQ x == ∵4PC = ∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：∵90BAQ ∠=︒ ∴//OM AB ∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形 ∴13x =，25x =-（不合题意，舍去） ∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF = ①点P 在A 点的右侧时，如图：∴243x x += ∴4x = ∴312AP x == ②点P 在A 点的左侧时 I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时，如图：∵47DE x =-，3DF x = ∴473x x -= ∴25x =∴635AP x x == ii.当4273x ≤<时，如图：∵74DE x =-，3DF x = ∴743x x -=∴1x =（不合题意，舍去） II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：∵74DE x =-，3DF x = ∴743x x -= ∴1x = ∴33AP x ==∴综上所述，当12AP =或65AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形．故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题． 2．（1）详见解析；（2）①详见解析；②8 【解析】【分析】（1）先得到90ADB ∠=︒，利用圆周角定理得到DBA DAC ∠=∠，即可证明AC 是切线；（2）①利用等弧所对的圆周角相等，得到BAE DAE ∠=∠，然后得到CFA CAF ∠=∠，即可得到结论成立；②设AC CF x ==，利用勾股定理，即可求出AC 的长度. 【详解】（1）证明： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB ∠=︒，∴90DBA DAB ∠+∠=︒，∵DEA DBA ∠=∠,DAC DEA ∠=∠， ∴DBA DAC ∠=∠，∴90DAC DAB ∠+∠=︒， ∴90CAB ∠=︒， ∴AC 是⊙O 的切线；（2）① ∵点E 是弧BD 的中点，∴BAE DAE ∠=∠，∵CFA DBA BAE ∠=∠+∠，CAF CAD DAE ∠=∠+∠， ∴CFA CAF ∠=∠ ∴CA CF =； ② 设CA CF x ==，在Rt ABC ∆中，2BC x =+，CA x =，6AB =，由勾股定理可得222(2)6x x +=+，解得：8x =， ∴8AC =. 【点睛】本题考查了切线的判定，等角对等边，以及勾股定理，要证直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．3．（1）详见解析；（2）3）12【解析】【分析】（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等，得到AFE BEC =∠∠，即可证明相似；（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求出AB 的长度；（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度. 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=︒， ∴90AEF AFE ∠+∠=︒， ∵EC EF ⊥， ∴90FEC ∠=︒， ∴90AEF BEC ∠+∠=︒， ∴AFE BEC =∠∠， ∴AEF BCE ∽；（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴22,2AB AE BE AD AF ===； ∵AEF BCE ∽， ∴AE AFBC BE=，∴222AB BC =，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，222AB BC AC +=，∴221122AB AB +=，解得：22AB =；（3）如图：∵△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处，同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处， ∴线段MN 为△ACF 的中位线， ∴1124MN AF AD ==，由（2）知，22222AB BC AD ==， ∴2AD AB =， ∴22122882MN AB ===. 【点睛】本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解. 4．（1）OD=4, （2）证明过程见详解（3）5043π- 【解析】【分析】（1）根据AB 与圆O 相切,在Rt △OBD 中运用tan ∠BOD=34,即可求出OD 的长, （2）作辅助线证明四边形ADOG 是矩形,得DO ∥AC,sin ∠OCG=35,在Rt△OCG 中,求出OG 的长等于半径即可解题,（3）利用S 阴影=S Rt △BAC -S 正方形ADOG -14S 圆O ,求出AC 长度即可解题.【详解】解：（1）∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB,在R t△OBD中,BD=3,tan∠BOD=BDOD=34,∴OD=4,（2）过点O作OG垂直AC于点G,∵∠A=90°，AB与圆O相切,∴四边形ADOG是矩形,∴DO∥AC,∴∠BOD=∠OCG,∵tan∠BOD=BDOD=34,∴sin∠OCG=3 5 ,∵CF=83,OF=4,∴OG=OGsin∠OCG=4=r,∴AC是⊙O的切线（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,在R t△ABC中,tan∠C=34,AB=4+3=7,∴AC=ABtan C∠=734=283,∴S阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-14S圆O=212817444234π⨯⨯-⨯-=5043π-【点睛】本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.5．（1）菱形的周长为8；（2）t=65，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣35或t=1+315时，圆M与AC相切．【解析】试题分析：（1）过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．由点A 和点B 的坐标可知：BE=3，AE=1，依据勾股定理可求得AB 的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M 与x 轴的切线为F ，AD 的中点为E ．先求得EF 的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接MF ，F 为 M 与AD 的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM 是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF 的度数，故此可求得∠MAC 的度数；（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE 的长，然后依据3t+2t=5-AE 可求得t 的值；如图5所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=33，最后依据3t+2t=5+AE ．列方程求解即可．试题解析：（1）如图1所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，∵()B 1,3-，()A 2,0， ∴BE 3=，AE 1=， ∴22AB AE BE 2=+=，∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB BC CD AD ===， ∴菱形的周长248=⨯=．（2）如图2所示，⊙M 与x 轴的切线为F ，AD 中点为E ，∵()M 3,1-， ∴()F 3,0-，∵AD 2=，且E 为AD 中点，∴()E 30，，EF 6=， ∴2t 3t 6+=，解得6t 5=．平移的图形如图3所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，连接MF ，F 为⊙M 与AD 切点， ∵由（1）可知，AE 1=，BE 3=， ∴tan EAB 3∠=， ∴EAB 60∠=︒， ∴FAB 120∠=︒， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴11FAC FAB 1206022∠∠==⨯︒=︒， ∵AD 为M 切线， ∴MF AD ⊥， ∵F 为AD 的中点， ∴AF MF 1==，∴AFM 是等腰直角三角形， ∴MAF 45∠=︒，∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=︒+︒=︒．（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒， ∴DAC 60∠=︒． ∵AC 、AD 是圆M 的切线 ∴MAE 30∠=︒， ∵ME MN 1==． ∴EA 3=， ∴3t 2t 53+=-， ∴3t 1=-．如图5所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒， ∴DAC 60∠=︒， ∴NAE 120∠=︒，∵AC 、AD 是圆M 的切线， ∴MAE 60∠=︒， ∵ME MN 1==， ∴3EA =∴33t 2t 53+=+， ∴3t 115=+．综上所述，当3t 1=-3t 1=+时，圆M 与AC 相切．点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.6．（1）10；（2）10+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离；（3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可； ②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110y x =，若要击杀则有(2110010a x a x --=，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得．【详解】（1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)，可设2(10)6y m x =-+，将（0，2）代入，可得：125m =-， ∴21(10)625y x =--+，当0y =，得10x =±(负值舍去)，∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为10+米；（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(10+，0)代入(2y a x k =-+，得100k a =-；②不存在．∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点，∴扣杀路线在直线110y x =上，令(2110010a x a x --=，整理得：2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当0=时符合条件，221106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得126400a -=，226a --=．开口向下，0a ＜， ∴1a ，2a 都可以，将1a ，2a 分别代入()215610010a x a x --=，得到得解都是负数，不符合实际．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． 7．（1）y ＝x 2－4x ＋3 ；(2) P(36626--，);(3) 992m -+= 【解析】【分析】 (1)把,,代入,解方程组即可.(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,则点G 在线段BC 上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,由,推出,,M 、N 关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.【详解】 (1),,,代入,得,解得,∴抛物线的解析式为(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K.由题意,,,,,,,将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,,,,是等腰直角三角形,,∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,∴直线OD的解析式为,,∴直线OG的解析式为,由解得或, 点P在对称轴左侧,点P坐标为(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到,,,,,,,,,,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,,,∴M、N关于直线对称,,设,则,,(负根已经舍弃),,,【点睛】本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组及根与系数的关系，构建方程解决问题，本题难度较大.8．（1）21322y x x =-++；（2）92；（3）点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-）．【解析】【分析】（1）由图可知点B 、点D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（2）过点M 作ME ⊥AB 于点E ，由二次函数的性质，分别求出点A 、C 、M 的坐标，然后得到OE 、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；（3）由点Q 在y 轴上，设Q （0，y ），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB 为对角线时；②当BQ 2为对角线时；③当AQ 3为对角线时；分别求出三种情况的点P 的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，点D 为（2-，52-），点B 为（3，0），则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得：132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =-++；（2）∵22131(1)2222y x x x =-++=--+，∴点M 的坐标为（1，2）令213022x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点A 为（1-，0）；令0x =，则32y =， ∴点C 为（0，32）； ∴OA=1，OC=32，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，如图：∴2ME =，1OE =，2BE =，∴111()222ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =•++•+•四边形， ∴131313791(2)122222222442ABMC S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形；（3）根据题意，点Q 在y 轴上，则设点Q 为（0，y ），∵点P 在抛物线上，且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，可分为三种情况进行分析：①AB 为对角线时，则11PQ 为对角线；由平行四边形的性质，∴点E 为AB 和11PQ 的中点，∵E 为（1，0），∵点Q 1为（0，y ），∴点P 1的横坐标为2；当2x =时，代入21322y x x =-++， ∴32y =，∴点13(2,)2P ；②当BQ 2是对角线时，AP 也是对角线，∵点B （3，0），点Q 2（0，y ），∴BQ 2中点的横坐标为32，∵点A 为（1-，0），∴点P 2的横坐标为4，当4x =时，代入21322y x x =-++， ∴52y =-， ∴点P 2的坐标为（4，52-）； ③当AQ 3为对角线时，BP 3也是对角线；∵点A 为（1-，0），点Q 3（0，y ），∴AQ 3的中点的横坐标为12-， ∵点B （3，0），∴点P 3的横坐标为4-，当4x =-时，代入21322y x x =-++， ∴212y =-， ∴点P 3的坐标为（4-，212-）；综合上述，点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．9．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或2或2x <<【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．此时OM 22=，综上所述，当2x 22<<3个P 点．∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（1）35，5784y x =+ ；（21722r ≤. 【解析】【分析】（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；②由定义可知，t=-3或6，即点C 坐标为（-3，-2）或（6，-2），设AC 表达式为y=kx+b ，代入即可求出结果；（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙P的半径最小r=2，当点E的纵坐标为1时，⊙P的半径最大r=17，即可得出结果．【详解】（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，∴最优覆盖矩形的长为：2+5＝7，宽为3+2＝5，∴最优覆盖矩形的面积为：7×5＝35；②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，∴由定义可知，t＝﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），设AC表达式为y＝kx+b，∴3223k bk b=-+⎧⎨-=-+⎩或3226k bk b=-+⎧⎨-=+⎩∴513kb=⎧⎨=⎩或5874kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y＝5x+13或5784y x=-+；（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：∵点D（1，1），∴OD所在的直线表达式为y＝x，∴点E的坐标为（2，2），∴OE222+2=22∴⊙P的半径最小r2②当DE∥x轴时，即：点E的纵坐标为1，如图2所示：∵点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x （x ＞0）的图象上一点 ∴1＝4x ，解得x ＝4， ∴OE ═224+117， ∴⊙P 的半径最大r 17， 172r ≤．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．11．（1）t ＝3；（2）P （35t +2，45t ﹣4）；（3）t 的值为209秒或4秒或16秒或1609秒【解析】【分析】（1）如图1，过点C 作CP ⊥OA ，交x 轴于点P ．就可以求出OP 的值，由勾股定理就可以求出的OP 值，进而求出结论；（2）t ＜10时，P 在OA 或AB 上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P 在OA 上，OP=t ，可得P 的坐标；②当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P 的坐标；（3）设切点为G ，连接PG ，分⊙P 与四边相切，其中P 在AB 和BC 时，与各边都不相切，所以分两种情况：①当P 在OA 上时，根据三角函数列式可得t 的值；②当P 在OC 上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，当CP ⊥OA 时，sin ∠AO 45CP C OC＝＝， 4455CP CP 即＝，＝，在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3，∴331t ＝＝（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，∴P （t ，0）；当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，则∠AOC ＝∠PAH ，∴sin ∠PAH ＝sin ∠AO 45C ＝， 44 4555PH PH t t ∴=-即＝﹣， ∴333255HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝，∴34P t+2t 455（，﹣）；（3）设切点为G ，连接PG ，分两种情况：①当P 在OA 上时，如图3，⊙P与直线AB相切，∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAG，∴sin∠AOC＝sin∠OA45PGGAP＝＝，t45-t5 ＝，∴209t＝；⊙P与BC相切时，如图4，则PG＝t＝OP＝4；②当点P在OC上时，⊙P与AB相切时，如图5，∴OP＝PG＝4，∴4×5﹣t＝4，t＝16，⊙P与直线BC相切时，如图6，∴PG ⊥BC ，∵BC ∥AO ，∴∠AOC ＝∠GCP ，∴sin ∠AOC ＝sin ∠GC 45PG P PC ＝＝， ∵OP ＝PG ＝20﹣t ， ∴42051t t -=-， ∴1609t ＝，综上所述，t 的值2016041699为秒或秒或秒或秒【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．12．（1）12；（2）tan EAD ∠=13；（3）51DE CD -= 【解析】【分析】（1）先证明△ADP ≌△CDP ，得到∠DAP=∠DCP ，再证明△ADE ≌△CDO ，得到DE=DO ，根据O 是AD 的中点，AD=CD ，即可得到答案；（2）先证明△AFD ≌△DOC ，得到∠AFD=∠DOC ，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD ∽△FAD ，根据对应边成比例得到DP OD AD DF =,设AF=OD=x ，则AD=2x ，5x ，得到25x ，求出35x ，再证明△DEP ∽△FAP ，得到23DE AF =，根据AF=12CD ，即可得到答案；（3）先证明△FCD ≌△EDA ，得到∠EAD=∠FDC ，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=12AD ，设OD=OP=x ，则CD=2x ，5x ，可得PC=OC-5x x -，根据△DPO ∽△FPC ，得到51OD FC +=，进而得到51251CF CD ==+，即可得到结论.【详解】（1）如图①中，∵四边形ABCD 是正方形，PDA PDC ∴∠=∠，DP DP =，DA DC =，PDA ∴≌()PDC SAS ，DAE DCO ∴∠=∠，90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =，ADE ∴≌()CDO ASA ，OD DE ∴=，AO OD ∴=，CE DE ∴=，12DE DC ∴=．（2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．AF FB =，OA OD =，AB AD =，AF OD ∴=，AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒，FAD ∴≌()ODC SAS ，FDA OCD ∴∠=∠，90FDA CDP ∠=∠=︒，∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，90CPD ∴∠=︒，90FAO FPO ∠=∠=︒，∴A ，F ，P ，O 四点共圆，PAO PFO ∴∠=∠，1tan 2OP OPD PD∠==， 5OP a ∴=，25PD a =， 5DF a =，35PF a ∴=， 1tan tan 3OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13DE DE AD CD ==．（3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，∴ FCD ≌EDA ()SAS ，CDF EAD ∴∠=∠，90CDF ADP ∠=∠=︒，∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，∴ 90APD ∠=︒，OA OD =，∴ OP OA OD ==，∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，90ECF EPF ∠=∠=︒，∴E ，C ，F ，P 四点共圆，∴ CFE EPC ∠=∠，∴ CFE DCF ∠=∠，ECF DCF ∠=∠，∴ FCE ∽DCF ，∴ 2·CF CE CD =，∴ ()2y x x y =+，∴ 220y xy x --=，∴ y x =x （舍弃），∴ 12y x +=，∴ DE y CD x y ===+．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

数学初三九年级上册压轴解答题试题(WORD版含答案)

数学初三九年级上册压轴解答题试题（WORD版含答案）一、压轴题1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.2．如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=100，D是BC的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．3．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．（1）求B、C坐标；（2）求证：BA⊥AC；（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．4．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？5．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A ，B 重合）的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由；（2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点E ）；（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为3AP 的长．6．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，0是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与BC 边交于点E 、F ，连接OD ，已知BD=3，tan ∠BOD=34，CF=83．（1）求⊙O 的半径OD ；（2）求证：AC 是⊙O 的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．7．如图，B 是O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交O 于点C ，D ，连接OD ，E 是O 上一点，CE CA =，过点C 作O 的切线l ，连接OE 并延长交直线l 于点F.（1）①依题意补全图形.②求证：∠OFC=∠ODC ．（2）连接FB ，若B 是OA 的中点，O 的半径是4，求FB 的长. 8．MN 是O 上的一条不经过圆心的弦，4MN =，在劣弧MN 和优弧MN 上分别有点A,B （不与M,N 重合），且AN BN =，连接,AM BM .（1）如图1，AB 是直径，AB 交MN 于点C ，30ABM ︒∠=，求CMO ∠的度数；（2）如图2，连接,OM AB ，过点O 作//OD AB 交MN 于点D ，求证：290MOD DMO ︒∠+∠=；（3）如图3，连接,AN BN ，试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与直线y ＝x +3交于点A （m ，0）和点B （2，n ），与y 轴交于点C ．（1）求m ，n 的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC 平移，始终保持点A 的对应点P 在抛物线上，点C ，O 的对应点分别为M ，N ，连接OP ，若点M 恰好在直线y ＝x +3上，求线段OP 的长度；（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q （不与点C 重合），使△QAB 和△ABC 的面积相等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，连GD ．是否存在点P ，使2GD GO=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.11．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．12．如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角为90°，点B 是上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）当点B 移动到使AB ：OA=：3时，求的长；（2）当点B 移动到使四边形EPGQ 为矩形时，求AM 的长．（3）连接PQ ，试说明3PQ 2+OA 2是定值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) ☉O 的半径是32；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】【分析】(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可．(2) 连接OA , OB , OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证.【详解】解：(1)连接AB ，在☉0中，o APQ BPQ 45∠=∠=，o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明：连接OA , OB , OQ ,在☉0中, AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .AB//ON ∴【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．2．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=12∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解；（3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解.【详解】（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F∴BE EF =，80BEF ∠=∴180502BEF EBF BFE -∠∠=∠== ，即50BFD ∠= ∵AB=AC=4，D 是BC 的中点∴BD DC =,AD BC ⊥∴BF CF =，ABD ACD △≌△∴FBD FCD △≌△，1005022BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠=∴50CFD BAD ∠=∠=∴//CF AB（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF由（1）可知：EB=EF=EC∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心∴∠BCF=12∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥∴9040ABC BAD ∠=-∠=∴ABC BCF ∠=∠∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立（3）由（1）和（2）知，//CF AB∴点F 的运动路径在CF 上如图，作AM ⊥CF 于点M∵8090BEF ∠=<∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4．【点睛】本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．3．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．【解析】【分析】（1）由中心对称的性质可得OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；（2）由两点距离公式可求AB ，AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理可求解；（3）由旋转的性质可得DO ＝BO ＝CO ，可得△BCD 是直角三角形，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解．【详解】解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ，∴OA ＝OC ＝5，∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0），∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），∴5＝()()220+10a a -+-，∴a ＝3，∴点B （3，4），∴点C （﹣3，﹣4）；（2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0），∴BC ＝10，AB ＝45 ，AC ＝25，∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100，∴BC 2＝AB 2+AC 2，∴∠BAC ＝90°，∴AB ⊥AC ；（3）过定点，理由如下：∵将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，∴CO ＝DO ，又∵CO ＝BO ，∴DO ＝BO ＝CO ，∴△BCD 是直角三角形，∴∠BDC ＝90°，如图②，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，∵DE 平分∠BDC ，∴∠BDE ＝∠CDE ＝45°，∴∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，∴CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，∵BC ＝10，∴BH ＝CH ＝52，OH ＝OB ＝OC ＝5，设点H （x ，y ），∵点H 在第四象限，∴x ＜0，y ＞0，∴x 2+y 2＝25，（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝50，∴x ＝4，y ＝3，∴点H （4，﹣3），∴∠BDC 的角平分线DE 过定点H （4，3）．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．4．（1）见解析；（2）DB DF =【解析】【分析】（1）①直接利用三角形的外角性质，即可得到；②过D 作DG BC 交AB 于点G ，由等腰三角形的性质，平行线的性质和等边对等角，得到BG DC =，DGB FCD ∠=∠，然后证明三角形全等，即可得到结论成立；（2）连接BF ，根据题意，可证得BCF BDF A ∠=∠=∠，则B 、C 、D 、F 四点共圆，即可证明结论成立.【详解】解：（1）①∵BDC A ABD ∠=∠+∠，即BDF FDC A ABD ∠+∠=∠+∠，∵BDF A ∠=∠，∴FDC ADB ∠=∠；②过D 作DG BC 交AB 于点G ，∴ADG ACB ∠=∠，AGD ABC ∠=∠，又AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴AGD ADG ∠=∠，∴AD AG=，∴AB AG AC AD-=-，∴BG DC=，又ECF ACB AGD∠=∠=∠，∴DGB FCD∠=∠，在GDB△与CFD△中，,,DGB FCDGB CDGBD FDC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()GDB CFD ASA△≌△∴DB DF=；（2）证明：如图：连接BF，由（1）可知，AABC CB=∠∠，∵ECF ACB∠=∠，∴ABC ECF∠=∠，∵BCA CA BCF E F=∠+∠∠+∠，∴A BCF∠=∠，∴BDF A BCF∠=∠=∠，∴B、C、D、F四点共圆，∴180DCB DFB∠+∠=︒，DBF ECF∠=∠，∴ACB DFB∠=∠，∵BC EC ACA F B=∠=∠∠，∴DBF DFB∠=∠，∴DB DF=.【点睛】本题考查了四点共圆的知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而得到角的关系，再进行证明.5．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23．【解析】【分析】（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数；（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝12∠COD＝60°，结合圆的直径为26可得出CD＝133，由△PCD的周长为24+133，可得出DF＝24，过点O作OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．【详解】（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠APD＝∠BPC，∴∠DPC是直径AB的回旋角．（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下：如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE．∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，∴∠APE＝∠APD．∵圆是轴对称图形，∴∠E＝∠D．∵OE＝OC，∴∠E＝∠C，∴∠D＝∠C．由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数．（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC．同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上．∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PFC是等边三角形，∴∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，∴CD＝2DG，∠DOG＝12∠COD＝60°，∵AB=26，∴OC=13，∴1332 CG=∴CD＝2×1332＝133.∵△PCD的周长为24+133，∴PD+PC+CD＝24+133，∴PD+PC＝DF＝24．过点O作OH⊥DF于点H，则DH＝FH＝12DF＝12．在Rt△OHD中，OH＝222213125OD DH-=-=,在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝2OH＝10，∴AP＝OA﹣OP＝13﹣10＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法，可得：BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝26﹣3＝23．综上所述，AP的长为：3或23．【点睛】此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP的长度由点P所在的位置决定，因此必须分情况讨论. 6．（1）OD=4,（2）证明过程见详解（3）504 3π-【解析】【分析】（1）根据AB与圆O相切,在Rt△OBD中运用tan∠BOD=34,即可求出OD的长,（2）作辅助线证明四边形ADOG是矩形,得DO∥AC,sin∠OCG=35,在Rt△OCG中,求出OG的长等于半径即可解题,（3）利用S阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-14S圆O,求出AC长度即可解题.【详解】解：（1）∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB,在R t△OBD中,BD=3,tan∠BOD=BDOD=34,∴OD=4,（2）过点O作OG垂直AC于点G,∵∠A=90°，AB与圆O相切,∴四边形ADOG是矩形,∴DO∥AC,∴∠BOD=∠OCG,∵tan∠BOD=BDOD=34,∴sin∠OCG=3 5 ,∵CF=83,OF=4,∴OG=OGsin∠OCG=4=r,∴AC是⊙O的切线（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,在R t△ABC中,tan∠C=34,AB=4+3=7,∴AC=ABtan C∠=734=283,∴S阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-14S圆O=212817444234π⨯⨯-⨯-=5043π-【点睛】本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.7．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=221.【解析】【分析】（1）①根据题意，补全图形即可；②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC=，利用等量代换可得AD CE=，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=12OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB 的长即可.【详解】（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，∴AD AC=，∵CE CA=，∴AD CE=，∴∠EOC=∠AOD，∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥FC，∴∠OFC+∠FOC=90°， ∴∠OFC=∠ODC. （2）连接BF ，作BG ⊥l 于G ，∵B 是OA 的中点，⊙O 半径为4，∴OB=12OA=12OC=2， ∵OA ⊥CD ， ∴∠OCD=30°，BC=22OC OB -=2242-=23，∴CD=2BC=43，由（1）可知∠OFC=∠ODC ，∴FC=CD=43，∵BG ⊥l ，OC ⊥l ，∴OC//BG ，∴∠CBG=∠OCD=30°，∴CG=12BC=3，BG=22BC CG -=3， ∴FG=FC+CG=53，∴BF=22FG BG +=221.【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.8．（1）15°；（2）见解析；（3）16【解析】【分析】（1）先求得45AMN BMN ︒∠=∠=，再由OM OB =得到30OMB OBM ︒∠=∠=，于是可解；（2）连接,,OA OB ON .可证AON BON ∠=∠，ON AB ⊥，由//OD AB 可知90DON ︒∠=，在MON ∆中用内角和定理可证明；（3）延长MB 至点M '，使BM AM '=，连接NM '，作NE MM '⊥于点E.证明AMN BM N '≅，得到'MM N ∆是等腰三角形，然后在MNE ∆中用勾股定理即可求出16AM MB AN NB ⋅+⋅=.【详解】（1）AB 是O 的直径，90AMB ︒∴∠=AN BN =45AMN BMN ︒∴∠=∠=OM OB =30OMB OBM ︒∴∠=∠=453015CMO ︒︒︒∴∠=-=（2）连接,,OA OB ON .AN BN =AON BON ∴∠=∠，ON AB ⊥//OD AB90DON ︒∴∠=OM ON =OMN ONM ∴∠=∠180OMN ONM MOD DON ︒∠+∠+∠+∠=290MOD DMO ︒∴∠+∠=（3）延长MB 至点M '，使BM AM '=，连接NM '，作NE MM '⊥于点E.设AM a =，BM b =.四边形AMBN 是圆内接四边形180A MBN ︒∴∠+∠=180NBM MBN '︒∠+∠=A NBM '∴∠=∠AN BN =AN BN ∴=(SAS)AMN BM N '∴≅MN NM '∴=，BM AM a '==，NE MM '⊥于点E.11()22ME EM MM a b ''∴===+， ()2222ME BN BE MN +-=22211()()1622a b BN b a ⎡⎤⎡⎤∴++--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化简得216ab NB +=， 16AM MB AN NB ∴⋅+⋅=【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有圆周角定理和垂径定理以及圆内接四边形的性质，综合性质较强，能够做出相应的辅助线是解题的关键.9．（1）y ＝x 2+2x ﹣3，m ＝﹣3，n ＝5；（2）3）存在；Q 点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5），理由见解析【解析】【分析】（1）把点A （m ，0）和点B （2，n ）代入直线y ＝x +3，解得：m ＝﹣3，n ＝5，A （﹣3，0）、B （2，5），把A 、B 坐标代入抛物线解析式即可求解；（2）由平移得：PN ＝OA ＝3，NM ＝OC ＝3，设：平移后点P （t ，t 2+2t ﹣3），则N （t +3，t 2+2t ﹣3），M （t +3，t 2+2t ﹣6），根据点M 在直线y ＝x +3上，即可求解；（3）存在．设：直线AB 交y 轴于D （0，3），点C 关于点D 的对称点为C ′（0，9）按照△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同即可求解．【详解】解：（1）把点A （m ，0）和点B （2，n ）代入直线y ＝x +3，解得：m ＝﹣3，n ＝5， ∴A （﹣3，0）、B （2，5），把A 、B 坐标代入抛物线解析式，解得：a ＝1，b ＝2， ∴抛物线解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3…①，则C （0，﹣3）；（2）由平移得：PN ＝OA ＝3，NM ＝OC ＝3，设：平移后点P （t ，t 2+2t ﹣3），则N （t +3，t 2+2t ﹣3），∴M （t +3，t 2+2t ﹣6），∵点M 在直线y ＝x +3上，∴t 2+2t ﹣6＝t +3+3，解得：t ＝3或﹣4，∴P 点坐标为（3，12）或（﹣4，5），则线段OP 的长度为：317或41；（3）存在．设：直线AB 交y 轴于D （0，3），点C 关于点D 的对称点为C ′（0，9）过点C 和C ′分别做AB 的平行线，交抛物线于点Q 、Q ′，则：△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同，直线QC 和Q ′C 的方程分别为：y ＝x ﹣3和y ＝x +9…②，将①、②联立，解得：x ＝﹣1或x ＝3或x ＝﹣4， ∴Q 点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．（1）y ＝x 2－4x ＋3 ；(2) P(36626--，);(3) 9922m -+=【解析】【分析】(1)把,,代入,解方程组即可.(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,则点G 在线段BC 上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,由,推出,,M 、N 关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及MN的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.【详解】(1), ,,代入,得,解得,∴抛物线的解析式为(2)如图1中,连接OD、BD,对称轴交x轴于K.由题意,,,,,,,将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,,,,是等腰直角三角形,,∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,∴直线OD的解析式为,,∴直线OG的解析式为,由解得或, 点P在对称轴左侧,点P坐标为(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到,,,,,,,,,,设,,则, 设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,,,∴M、N关于直线对称,,设,则,,(负根已经舍弃),,,【点睛】本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组及根与系数的关系，构建方程解决问题，本题难度较大.11．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222-或222x <<.【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．此时OM22=，综上所述，当2x22<<时，有3个P点．∴满足条件的x的值为0或222<<．-或2x22【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（1）证明见解析（2）当AM的长为（1﹣）时，四边形EPGQ是矩形（3）定值【解析】【分析】（1）先利用三角函数求出∠AOB=30°，再用弧长公式即可得出结论；（2）易得△AED∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得OA的长，即可得出结论；（3）连接GE交PQ于O′，易得O′P=O′Q，O′G=O'E，然后过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′，由△PCF∽△PEG，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得3PQ2+OA2的值．【详解】解：（1）证明：连接OB，如图①，∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC=∠OAB=90°，在Rt△AOB中，tan∠AOB==，∴∠AOB=30°，∴==；（2）如图②，∵▱EPGQ是矩形．∴∠CED=90°∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE，∴．设OA=x，AB=y，则=，得y2=2x2，又 OA2+AB2=OB2，即x2+y2=12．∴x2+2x2=1，解得：x=．∴AM=OM﹣OA=1﹣当AM的长为（1﹣）时，四边形EPGQ是矩形；（3）如图③，连接GE交PQ于O′，∵四边形EPGQ是平行四边形，∴O′P=O′Q，O′G=O′E．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′．由△PCF∽△PEG得， =2，∴PA′=A′B′=AB，GA′=GE=OA，∴A′O′=GE﹣GA′=OA．在Rt△PA′O′中，PO′2=PA′2+A′O′2，即=+，又 AB2+OA2=1，∴3PQ2=AB2+，∴OA2+3PQ2=OA2+（AB2+）=是定值．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，锐角三角函数，弧长公式等知识，解题的关键是注意准确作出辅助线，注意数形结合思想与方程思想的应用．。

2017年北京市西城区中考一模数学试卷(word版含答案)

2017年北京市西城区中考一模数学试卷(word版含答案)2017年北京市西城区中考一模数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是．符合题意的．1．春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 000人次，将9 608 000用科学记数法表示为（A）3960810⨯（B）4960.810⨯（C）596.0810⨯（D）69.60810⨯2．在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是（A）0a b+=（B）0a b-=（C 3．如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A．若∠EAB=55°，则∠D的度数为（A）25°（B）35°（C）45°（D）55°A BE4．右图是某几何体的三视图，该几何体是（A）三棱柱（B）长方体（C）圆锥（D）圆柱5．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是（A）正七边形（B）正八边形（C）正九边形（D）正十边形6．用配方法解一元二次方程2650x x--=，此方程可化为（A）()234x-=（B）()2314x-=（C）()294x-=（D）()2914x-=7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2 m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16 m．若小明的眼睛与地面距离为1.5 m，则旗杆的高度为（单位：m）（A）163（B）9 （C）12 （D）6438．某商店举行促销活动，其促销的方式是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元” ．若某商品的原价为x 元（x ＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（A ）80%20x - （B ）()80%20x -（C ）20%20x - （D ）()20%20x -9．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：年龄（单位：岁）13 14 15 16频数（单位：名） 5 15 x 10-x 对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（A ）平均数、中位数（B ）平均数、方差（C ）众数、中位数（D ）众数、方差10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．右下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是（A）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多（B）以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少（C）以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油（D）以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ax2 2ax+a=________．12．若函数的图像经过点A（1，2），点B（2，1），写出一个符合条件的函数表达式_________．13．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数n100 150 300 500 800 1000 投中次数m 58 96 174 302 484 601投中频率m n0．580 0．640 0．580 0．604 0．605 0．601 这名球员投篮一次，投中的概率约是．14．如图，四边形ABCD 是⊙O 内接四边形，若∠BAC =30°，∠CBD =80°，则∠BCD 的度数为_________________．15．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为旋转中心，将△AOB 顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A 对应，点B'与点B 对应．若点A （-3，0），B （-1，2），则点A'的坐标为_______________，点B'的坐标为________________.16．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．DB OAxy –4–3–2–11234–4–3–2–11234O B A已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．求作：直线l 的平行直线，使它经过点P ．作法：如图2．（1）过点P 作直线m 与直线l 交于点O ;（2）在直线m 上取一点A （OA ＜OP ），以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，与直线l 交于点B ；（3）以点P 为圆心，OA 长为半径画弧，交直线m 于点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ；（4）作直线PD ．所以直线PD 就是所求作的平行线．请回答：该作图的依据是．l图1Plm图2DC B P O A三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算： (10O 1232sin60322-⎛⎫-- ⎪⎝⎭18．解不等式组： 52<3+4722x x x x -⎧⎪⎨+≥⎪⎩19．已知x=2y ，求代数式222112x xy y y x x y ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭的值.20．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 延长线于点E ，连接CE .求证：∠BCE =∠A +∠ACB .D21．某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植.在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性，以及西瓜的优等品率. 为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块实验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下：表1 甲种种植技术种出的西瓜质量统计表编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1西瓜质量.（单位：kg）3.54.85.44.94.25.4.94.85.84.8编号11 12131415161718192西瓜质量.（单位：kg）5.4.85.24.95.15.4.86.5.75.表2 乙种种植技术种出的西瓜质量统计表编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1西瓜质量.（单位：kg）4.44.94.84.15.25.15.4.54.74.9编号11 12131415161718192西瓜质量.（单位：kg）5.45.54.5.34.85.65.25.75.5.3回答下列问题：（1）若将质量为4.5~5.5（单位：kg）的西瓜记为优等品，完成下表：优等品西瓜个数平均数方差甲种种植技术种出的西瓜质量4.98 0.27 乙种种植技术种15 4.97 0.21出的西瓜质量（2）根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术，并请说明理由.22．在平面直角坐标系x O y，直线y=x-1与y轴交于点交于点B（m，2）.A，与双曲线=k yx（1）求点B的坐标及k的值;（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式.23．如图，在□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE//BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF ⊥BC，交BC延长线于点F.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC=45°，BC=2，求EF的长.ADB24. 汽车保有量是指一个地区拥有车辆的数量，一般是指在当地登记的车辆．进入21世纪以来，我国汽车保有量逐年增长．下图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图．2007—2015年全国汽车保有量及增速统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）2016年汽车保有量净增2200万辆，为历史最高水平，2016年汽车的保有量为万辆，与2015年相比，2016年的增长率约为%；（2）从2008年到2015年，年全国汽车保有量增速最快；（3）预估2020年我国汽车保有量将达到万辆，预估理由是25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE ⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．（1）求证：∠ECB=∠EBC；（2）连接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB=3，求AC的5长．26．阅读下列材料：某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y(单位：℃)表示水箱中水的温度．x(单位：min)表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况接通电源后的时间x （单位：min）0 1 2 3 4 5 8116182212432…水箱中水的温度y （单位：℃）2355658644322m86442…m的值为；（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式；当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式；②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：x y10080604020246810121416182022242628303234O（3）如果水温y 随时间x 的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min ．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2 -(2m +1)x + m -5的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n ，求n 的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O .设平移后的图象对应的函数表达式为y =a (x -h )2 + k ，当x < 2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.28．在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D .（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F .①求证：△BEF 是等腰三角形；②求证：BD =12（BC + BF ）；（2）点E 在AB 边上，连接CE .若BD =12（BC + BE ），在图2中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路.图2图1FEC A A29．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于y 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点．（1）如图1，点A （-1 , 0）．①若点B 是点A 关于y 轴，直线l 1: x =2的二次对称点，则点B 的坐标为；②若点C （-5 , 0）是点A 关于y 轴，直线l 2:x =a 的二次对称点，则a 的值为；③若点D （2 , 1）是点A 关于y 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为；（2）如图2，⊙O 的半径为1．若⊙O 上存在点M ，使得点M ＇是点M 关于y 轴，直线l 4:x =b 的二次对称点，且点M ＇在射线3(0)y x x =≥上，b 的取值范围是；（3）E （t ，0）是x 轴上的动点，⊙E 的半径为2，若⊙E 上存在点N ，使得点N ＇是点N 关于y 轴，直线l 5:31y x =+的二次对称点，且点N ＇在y 轴上，求t 的取值范围．x x y y 图1图2–5–4–3–2–112345–3–2–11234–5–4–3–2–112345–3–2–11234O O A。

(word完整版)九年级数学总复习试卷及参考答案

九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．38．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．129．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=．12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=度．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是米．14．若tanα=5，则=．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为m．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为米．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos25422．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，进而表示出AC，BC，AB的长，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵cosA=，∴设AC=7x，AB=25x，则BC=24x，则tanB=．故选：C．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义可得cosB=，然后根据题目所给3a=4b 可求解．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 对边，如果3a=4b，令b=3x，则a=4x，所以c=5x，所以cosB=故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握cosB=，3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cos B B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA=，tanB=，cosB=，stnB=；因而b=c•sinB=a•tanB，a=b•tanA，错误的是b=c•cosB．故选：A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】坡度=坡角的正切值，依此求出坡角的度数．【解答】解：设坡角为α，由题意知：tanα==，∴∠α=30°．即斜坡的坡角为30°．故选：B．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵∠A为锐角，cosA=，∴∠A=60°．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，BC=8，∴在Rt△ABC中，sinA===，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦是解题的关键．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：sinA===，∴tanA==，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．12【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵tanA=，∴sinA=，∴=，∴AB=10，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，∴BC=AB•cos∠B=5cos25°．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，牢记直角三角形中边角之间的关系是解题的关键．10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x，结合BC=10（1+）即可求出x的值，进而即可得出A和C之间的距离．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x．∵BC=BD+CD=（+1）x=10（1+），∴x=10，∴AC=10．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解一元一次方程求出AD的长度是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=45°．【分析】根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答．【解答】解：∵sinα=cos（90°﹣α），∴α=90°﹣α，解得，α=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于这个角的余角的余弦是解题的关键，12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=65度．【分析】依据α是锐角，且cotα=tan25°，即可得出α=65°．【解答】解：∵α是锐角，且cotα=tan25°，∴α=65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是50米．【分析】由斜坡的坡度i=1：=，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sinα，那么它垂直上升的高度可利用正弦函数求得．【解答】解：∵斜坡的坡度i=1：=，∴坡角α=60°，∴斜坡的正弦值sinα=，∴小明上升的高度是100×sinα=50（米）．故答案为50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．14．若tanα=5，则=．【分析】根据同角的三角函数的关系即可求出答案．【解答】解：原式=∵tanα=5，∴原式=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题的关键熟练运用同角三角函数的关系，本题属于基础题型．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为2m．【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，可求出坡面的铅直高度，此题得解．【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，∴AC=6m，∴BC=×6=2m．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，牢记坡度的定义是解题的关键．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为150米．【分析】根据坡度算出坡角的度数，利用坡角的正弦值即可求解．【解答】解：∵坡度tanα==1：=，∴α=30°．∴上升的垂直高度=坡长×sin30°=300×=150（米）．故答案为150．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．掌握坡度、坡角的定义是解答本题的关键．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）【分析】判断渔船有无危险只要求出点A到BC的距离，与8海里比较大小就可以．【解答】解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D．由题意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．设AD=x海里．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD=AD=x海里．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CD=AD=x海里．∵BD+DC=30，∴x+x=30，解得x=15（﹣1），17（﹣1）≈10.5＞8，即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）【分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG=EF﹣GE=100，构造关系式求解．【解答】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．∴∠CEF=90°．设CE=x米，∵在Rt△CEF中，tan∠CFE=，∴EF===x，∵在Rt△CEG中，tan∠CGE=，∴GE===x．∵FG=EF﹣GE=100，∴x﹣x=100，解得x=50．∴CD=CE+ED=50+1.5（米）．答：古塔CD的高度是（50+1.5）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，此类题目要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．【分析】根据∠A的正切值用BC表示出AC，再利用勾股定理列式求解即可得到BC的长，然后求出AB的长，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A==，∴AC=12，∴AB===6，∴sin∠B===．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，用BC表示出AC是解题的关键．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【解答】解：原式=﹣（﹣）=﹣==【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）原式=（）2﹣×+1=﹣+1=，（2）原式=（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）=1+1=2【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．22．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）【分析】（1）作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH=15°，∠BCH=22°，然后计算它们的和即可得到∠BCD的度数；（2）利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH=30tan15°=8.04，在Rt△BCH 中计算出BH=30tan22°=12.12，然后计算BH+DH即可得到教工宿舍楼的高BD．【解答】解：（1）作CH⊥BD于H，如图，根据题意得∠DCH=15°，∠BCH=22°，∴∠BCD=∠DCH+∠BCH=15°+22°=37°；（2）易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，在Rt△DCH中，tan∠DCH=，∴DH=30tan15°=30×0.268=8.04，在Rt△BCH中，tan∠BCH=，∴BH=30tan22°=30×0.404=12.12，∴BD=12.12+8.04=20.16≈20.1（m）．答：教工宿舍楼的高BD为20.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．计算：sin45°+cos45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=+=．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．【分析】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC=4，在Rt△ABC中求得AB=4，再根据三角函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD=3、BD=5，∴BC===4，又AC=AD+CD=8，∴AB===4，则sinA===，cosA===，tanA===．【点评】本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．【分析】（1）根据正弦函数的定义解答；（2）设AC=x，则BC=x，利用方程解答；（3）由锐角三角函数定义求得AB=4，然后由勾股定理解答．【解答】解：（1）sinA=；（2）在Rt△ABC中，∠A=45°，设AC=x，则BC=x，AB=，则sinB=；（3）sinB=，则AB=4，由勾股定理得：BC2=AB2﹣AC2=16﹣12=4，∴BC=2．【点评】考查了锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）【分析】（1）作CH⊥AB于H，如图，利用坡度的定义得到tan∠CAH===，然后根据特殊角的三角函数值求出∠CAH即；（2）另一条坡度定义得到tan∠CBH==，所以BH=CH=6，再利用=得到AH=6，接着计算出AB≈4.392，然后根据3+4.392＞7可判断文化墙需要拆除．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH===，∴∠CAH=30°，即新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH==，∴BH=CH=6，∵=，∴AH=CH=6≈10.392，∴AB=AH﹣BH=6﹣6=4.392，∵3+4.392＞7，∴文化墙需要拆除．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．【分析】（1）根据公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．【解答】解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=，故答案为：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A=sin75°==∴BC=AB×=4×=∵∠B=90﹣∠A∴∠B=15°∵sin∠B=sin15°==∴AC=AB×=【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．。

2017年北京市西城区初三数学二模试卷及答案

2017年北京市西城区初三数学二模试卷及答案北京市西城区2017年初三统一测试数学试卷2017.4一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．据报道，到2020年北京地铁规划线网将由19条线路组成，总长度达到561 500米．将561 500用科学记数法表示为(A) .05615×106(B) 5.615×105(C)56.15×104(D) 5 61.5×1032．下列运算正确的是(A)3362aa a +=(B)532aa a -=(C)2242a a a = (D)5210()a a =3. 不等式x -1>0的解集在数轴上表示正确的是(A) (B)(C) (D)4．在一个不透明的袋子里装有5个完全相同的乒乓球，把它们标号分别记为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，标号为奇数的概率为(A)15(B)25(C)35 (D)455．实数5 (A)0与1(B)1与2(C) 2与3 (D)3与46．右图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4=225°，ED ∥AB ，则∠1的度数为 (A)55° (B)45° (C)35° (D)25°7．已知反比例函数6y x =，当1＜x ＜2时，y 的取值范围是(A) 1＜y ＜3(B) 2＜y ＜3 (C) 1＜y ＜6 (D)3＜y ＜68.如图，以点O 为圆心，AB 为直径的半圆经过点C ，若C 为弧AB 的中点，若AB =2，则图中阴影部分的面积是（）(A)2π(B)122π+(C)4π(D)124π+9.如图，点A 在观测点的北偏东方向30 °，且与观测点的距离为8千米，将点A 的位置记作A （8，30°），用同样的方法将点B ，点C 的位置分别记作B （8，60°），C （4，60°），则观测点的位置应在(A)O 1 (B)O 2 (C)O 3 (D)O 410.某大型文体活动需要招募一批学生作为志愿者参与服务.已知报名的男生有420人，女生有400人，他们身高在155≤x＜175，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知该校共有女生400人，男生420人，抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下统计图表：根据统计图表提供的信息，下列说法中①估计报名者中男生的身高的众数在D组；②估计报名者中女生的身高的中位数在B 组；③抽取的样本中，抽取女生的样本容量是38；④估计报名者中身高在160≤x＜170之间的学生约有400人其中合理的是(A)①②(B))①④(C)②④(D) ③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如图, 在长方体中，所有与棱AB 平行的棱是 .12．关于x 的方程240xx k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为 .13．如图，正方形ABCD ，AC 为对角线，点E 在AC 上，且AE =AB ，则∠BED 的度数为 °．14.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 半径是5，点A 为⊙O 上一点，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，若四边形ABOC 面积为12，写出一个符合条件的点A 坐标 .CEMHFD B15.右图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式 .16．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.例如在计算“当8=x 时，多项式8354323+--x x x 的值”，按照秦九昭算法，可先将多项式8354323+--x x x一步地进行改写：()8354383543223+--=+--x x x x x x ()[]83543+--=x x x按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法次数，使计算量减少.计算当8x =时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式3221xx x ++-改写为：，当8x =时，多项式的值为．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：11182()4sin 453π-----o． 18．方程组为1328y x x y =-⎧⎨+=⎩19．已知2340x x --=，求代数式22(1)(1)(3)2x x x x +--++的值．20．列方程（组）解应用题某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，但每件进价比第一批的每件进价少了10元，且进货量是第一批进货量的一半，求第一批购进这种衬衫每件进价是多少元．21．如图，在Rt △ABC中，∠ABC =90 °，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，BF ∥DE 交CD 于点F ．求证：DE=BF．22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ACB=90 °.对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE.（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）CD=2，∠COD=60 °.求△BED的面积.23．直线24=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B，y x直线y kx b=+（k，b是常数，k≠0）经过点A，与y轴交于点C，且OC=OA．（1）求点A的坐标及k的值；（2）点C在x轴上方，上点P在第一象限，且在直线24=-+上，若PC=PB，求点Py x的坐标．24．阅读下列材料：社会消费品零售总额是指批发和零售业，住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品零售额．在各类与消费有关的统计数据中，社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．2012年，北京市全年实现社会消费品零售额7702.8.5亿元，比上一年增长11.6%。

西城区初三一模数学试题及答案.doc

参考答案一、选择题ACAB CCDB二、填空题 9.2(3)y x - 10.8 11.①③ 12.5；5n三、解答题13.12-14.－3＜x ≤1；3x =不是其解 15.2y x =-+；1AOP S =16.略17.由根的判别式得22b a =，代入原式化简得2 18.（1）300；60；99；132；9 （2）72°19.抢险车20km/时，吉普车30km/时。

注意分式方程要检验20.（1）BN=5；（2）163(25)922S =+⨯=21.（1）连接BO ，证明略；（2）易证△ABO 为正三角形，于是∠E=∠C=30°，所以△BFE ∽△AFC由cos ∠BFA=23BF AF =设△AOC 面积为S ，因此有239()824S ==，解得S=18 22.（1）1:2；121 （2）正三角形、正六边形（3）如图A 3A 2A 1A23.略24.（1）30°；60°(2)2182y x =-+；（3）5个；222(3,)33；222(3,)33-；416(3,)33- 25.（1）如图，PEFC ABD过点E 作EF ⊥AE ，使EF=BD ，构造全等三角形，易证△DCA ≌△AEF （SAS ）从而△AFD 是等腰直角三角形再利用四边形EFDB 是平行四边形得EB ∥FD ，于是∠APE=∠ADF=45° （2）如图FPEDCAB方法同（1），构造相似，判断含30°的直角三角形，从而得∠APE 是30°注：本试卷答案仅为参考答案，系本人仓促间所作，错漏之处请批评指正。

另外本人对23题存有异议，故答案暂略。

2017北京西城中考数学一模试卷含答案解析

．
x−5
答案： x ≠ 5
12.
半径为
4 cm，圆心角为
∘ 60
的扇形的面积为
答案： 8
π
3
． 2
cm
13. 分解因式：12m2 − 3 =
．
答案： 3 (2m + 1) (2m − 1)
14. 如图，△ABC 中，AB = AC ，点， D E 在 BC 边上，当加一个适当的条件即可）．
时，△ABD ≅ △AC E．（添
A．
B．
C．
D．答案： A
7. 如图，线段 AB 是 ⊙O 的直径，弦 C D ⊥ AB，如果，那么 ∠BOC = 70∘ ∠BAD 等于 (
)
A．20∘ 答案： C
B．30∘
C．35∘
D．70∘
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P 在反比例函数图象上，如果点 P 的纵坐标是 3， OP = 5，那么该函数的表达式为 ( )
单位长度至 A1 ，第 2 次点 A1 向右移动 6 个单位长度至 A2 ，第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单
位长度至 A3 ，⋯，按照这种移动方式进行下去，点 A4 表示的数是
，如果点 An 与原点
的距离不小于 20，那么 n 的最小值是
．
答案：； 7 13
解析： A 表示的数为：1；
A1 表示的数为：1 − 3 × 1 = ； −2
A． 12 y= x
答案： A
B． 12 y=− x
C． 15 y= x
D． 15 y=− x
解析：
过点 P 作 P Q ⊥ y轴于点 Q，则 OQ = 3．
−−−−−−−−−−

北京西城区2020届初三第一学期期末数学试题(Word版含答案)

西城区2020届初三第一学期期末2020.1考生须知1 .本试卷共8页，共三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2 .在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3 .试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4 .在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5 .考试结束时，将本试卷、答题—并交回。

、选择题(本题共 16分，每小题2分)第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个(A) ( ) (B) ( ) (C)()(D)()3 .圆心角是90。

，半径为20的扇形的弧长为(A)(B)(C)4 .如图，在中，以为中心，将顺时针旋转35°得到5 .如图，AB 是的直径，弦于，若/30一，则长为(A) 3 (B) 一 (C)—(D) 26.下列关于抛物线的说法正确的是(A)抛物线的开口方向向下 (B)抛物线与轴交点的坐标为(，) (C)当时，抛物线的对称轴在轴右侧(D)对于任意的实数，抛物线与轴总有两个公共点1 .如图，四边形内接于(A) 40° (C) 100°2.在直角坐标系中，将抛物线，若/ ，则/ 的度数是(B) 80° (D)向右平移2个单位长度，向上平移一个单位长度，得到抛物线边，相交于点 ,若/,则/的度数为(A) 60°(B) 65°(C) 72.5 ° (D) 115°(D)7.( -，)，(，)，,, 的大小关系为(A)(C)8.如图，，是的中点，重合)，连接，过作函数关系的图像大致是二二二、填空题(本题共16分，每小题(,)三点都在二次函数的图像上，则(B)(D)是以为圆心，为直径的半圆上的一个动点(点与点可以于点.设，，则下列图像中，能表示与的斗斗叫1 2 , 2rS x flf 3 T 4(A) (B) (C) (D)2分)的图象如图所示，则该函数的最小值是U z第9且图第10110.如图，在中，点，分别在边，条件是_____________________ .11.如图，三个顶点的坐标分别为A(,心，画出一个三角形，使它与的相似比为12.如图，，两点的坐标分别为(，)，.若点恰好落在轴的负半轴上，则旋转角为1 二C S4国第11期图上，添加一个条件使得，添加的一个),B ( , ),0(,),以原点为位似中.(,一)，将线段绕点顺时针旋转得到线段° .13 .在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示.若1米， =10米，？ 1.5米，则这个学校教学楼的高度为米.14 .我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14.刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算一；圆内接正十二边形的周长，计算一；请写出圆内接正二十四边形的周长，计算 . （参考数据：，）15 .在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值：12 34 5 6 7 8-3.19-3.10 -2.17 -2.05 -1.10 0.14 1.47 3.4816 .如图，矩形中，，，是边的中点,点在边上，设，若以点为圆心，为半径的与线段只有一个公共点，则所有满足条件的的取值范围是.第12通用第B 第图根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于三、解答题(本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27题，第28 题，每小题7分)17.计算：^18.已知二次函数(1)写出该二次函数图像的对称轴及顶点坐标，再描点画图；(2)利用图像回答：当取什么值时， ^19.如图，在中，平分/ , 是上一点,且^(1)求证：；(2)若，，求一的值.20.如图，在正方形中，点在边上，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在边的延长线上，连接. ..(1)判断的形状，并说明理由；(2)若一，则的面积为.21.某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)(1)如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛;(2)如果全校一共进行 36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？22 .如图，AB 是的直径，切点分别为，.连接角点，连接 .(1)求证： -； (2)若的半径为5,是常数， )，图2记录了与的相关数据(1)求关于的函数关系式;是的两条切线, 于点，交于，求的长.23.图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面，斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为距离)，水珠与喷头的水平距离为(单位：米) -.斜坡顶端与地面的距离为3米.为了对这个,喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以 (单位：米)(水珠的竖直高度是指水珠与地面的 , 与之间近似满足函数关系(2)斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头的水平距离为2米，通过计算判断从喷出的水珠能否越过这棵树.24.如图，四边形内接于，/ .是对角线，点在的延长线上，且(1)判断与的位置关系，并说明理由;(2)与的延长线交于点，若 , ，求的长.25.下面给出六个函数解析式:小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象性质下面是小明的分析研究过程，请补充完整：(1)观察上面这些函数解析式，它们都有共同的特点，可以表示为形如，其中为自变量；(2)如图，在平面直角坐标系个函数的图像补充完整；(3)对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③ 存在某个函数，当(为正数)时，随的增大而增大，当时，随的增大而小④函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；(4)结合函数图象，解决问题：若关于的方程有一个实数根为3,则该方程其它的实数根为26.在平面直角坐标系中，抛物线^(1)若该抛物线与直线交于，两点，点在轴上.求该抛物线的表达式及点的坐标；(2)横坐标为整数的点称为横整点 .①将(1)中的抛物线在，两点之间的部分记作(不含，两点)，直接写出上的横整点的坐标；中，画出了函数的部分图像，用描点法将这与直线交于，两点，将抛物线在，两点之间两点)，若上恰有两个横整点，结合函数的图象，求的取值27 . 是等边三角形，点在的延长线上，以为中心，将线段逆时针旋转 ()得线段，连接，. (1)如图1,若，画出当时的图形，并写出此时的值；(2)为线段的中点，连接 .写出一个的值，使得对于延长线上任意一点，总有-，并说明理由.②抛物线的部分记作 (不含范围.28.对于给定的,我们给出如下定义:若点是边上的一个定点，且以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上，则称这样的圆为边上的点关于的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点关于的最大内半圆.若点是边上的一个动点（不与，重合），则在所有的点关于的最大内半圆中, 将半径最大的内半圆称为关于的内半圆.（1）在中，/ , ,①如图1,点在边上，且，直接写出点关于的最大内半圆的半径长；② 如图2,画出关于的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），点在直线一上运动（不与重合），将OE关于的内半圆半径记为，当- 时，求点的横坐标的取值范围.2020北京西城初三（上）期末数学参考答案选择题（本题共 16分，每小题2分）题号 1 23 4 5 6 7 8 答案C ABBCDBA填空题（本题共分，每小题分）9 101112 -1答案不唯一，如：/ AED= / B答案不唯一，如：1203L■ d1 । '2 4113 145 161548Rsin7.5 ° , 3.12 答案不唯一，如：5.924— …x =—或 5 <x< 6.5解答题（本题共分，第题，每小题分，第题，每小题分，第题, 每小题7分）解：3 tan 30 ° + 4 cos45 ° - 2 sin 60= 3-3 4-2-2-332 2= 2J2 ................................................. 5 分・ ./ BED = / BDE• .Z AEB = Z ADC17. 18. 解：（1）对称轴是直线 x =2,顶点是（2, -1 ）y=x 2— 4x+3的图象，如图.(2)当 1 vxv 3 时，y v 0.19. （1）证明：: AD 平分/ BAC/ BAD = / CAD B 百BD(2)解：△ABK△ACDAE BEAD =C DBE =BD =1, CD = 2 ,AEAD20. ( 1) △ DEF是等腰直角三角形.证明：在正方形ABC珅，DA=DC Z AD(=Z DAB=Z DCB90F落在边BC的延长线上,/ DCF/ DAB90将点E绕点D逆时针旋转得到点F,Rt AADE^ Rt ACDFZADE=ZCDFZ ADC=Z ADEZ EDC=90/CDF+/EDG90 ,即/ EDF=90 △ DE班等腰直角三角形.(2) △ DEF勺面积为8 .21 .解：(1) 6;(2)设如果全校一共进行36场比赛，那么有x支球队参加比赛.依题意，得x(x二9=36 .2解得X1 = 9 , X2 = -8 (不合题意，舍去)答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛. ................ 5分22.证明：(1) ••• PB PC是。

北京市西城区初三一模数学试卷含答案

北京市西城区初三一模数学试卷含答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm北京市西城区2011年初三一模试卷数学 2011. 5一、选择题本题共32分;每小题4分下面各题均有四个选项;其中只有一个．．是符合题意的．1．－2的相反数为 .A ．2B ．－2C ．12 D ．－122．上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自2010年5月1日开幕至 5月31日;累计参观人数约为8 030 000人．将8 030 000用科学记数法表示应为 .A . 480310⨯B ．580.310⨯C ．68.0310⨯ D. 70.80310⨯3．以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在 .A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4. 右图是正方体的展开图;原正方体相对两个面上的数字和最小是 . A. 4 B. 6 C. 7 D. 85．有四张形状、大小和质地完全相同的卡片;每张卡片的正面写有一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀;从中随机抽取一张不放回;接着再随机抽取一张．则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是 .A ．12B ．14C ．18D ． 166．某射击小组有20人;的统计图．则这组数据的众数和中位数分别是 . A ．7;7 B ． 8;7.5 C ．7;7.5 D ． 8;67．如图;在梯形ABCD 中;AB ∥CD ;∠A =60°;∠B =30°; 若AD =CD =6;则AB 的长等于． A ．9B ．12C ．6+8．如图;点A 在半径为3的⊙O 内;;P 为⊙O 上一点; 当∠OPA 取最大值时;PA 的长等于 .1 42 5 36A ．32B ． D ．二、填空题本题共16分;每小题4分 9．分解因式：y xy y x 962+-= ．10．如图;甲、乙两盏路灯相距20米. 一天晚上;当小明从路灯甲走到距路灯乙底部4米处时;发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为1.6米;那么路灯甲的高为米．11. 定义,,a b c 为函数2y ax bx c =++的特征数;下面给出特征数为2m ;14m -;21m - 的函数的一些结论：①当12m =时;函数图象的顶点坐标是11()24-，；②当1-=m 时;函数在1x >时;y 随x 的增大而减小；③无论m 取何值;函数图象都经过同一个点. 其中所有的正确结论有 .填写正确结论的序号12. 如图1;小正方形ABCD 的面积为1;把它的各边延长一倍得到新正方形1111D C B A ;正方形1111D C B A 的面积为；再把正方形1111D C B A 的各边延长一倍得到正方形2222D C B A 如图2;如此进行下去;正方形n n n n D C B A 的面积为．用含有n 的式子表示;n 为正整数图1 图2三、解答题本题共30分;每小题5分 13．计算：12- ． 14．解不等式组 32(x x +⎧⎨⎩15. 如图;中; 与y 轴相交于点(0,2)B ;与正比例函数相交于点(1,1)P ．1求直线l 的解析式；2求△AOP 的面积．16. 如图;在四边形ABCD 中;AB =BC ;BF 平分∠ABC ;AF ∥DC ; 连接AC ;CF . 求证：1AF =CF ；2CA 平分∠DCF . 17. 已知关于x 的一元二次方程)0(0212≠=++a bx ax 有两个相等的实数根;求()()()11122-++-b b a ab 的值．18．某中学就到校的方式问题对初三年级的所有学生进行了一次调查;并将调查结果制成了表格和扇形统计图;请你根据图表信息完成下列各题： 1补全下表： 2在扇形统计图中;“步行”对应的圆心角19．在2011年春运期间;我国南方发生大范围冻雨灾害;导致某地电路出现故障;该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米;抢修车装载着所需材料先从供电局出发;15分钟后;电工乘吉普车从同一地点出发;结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍;求这两种车每小时分别行驶多少千米． 20．如图;四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片;B '为CD边上的点;C B '=3．将纸片沿某条直线折叠;使点B 落在点B '处;点A 的对应点为A ';折痕分别与AD ;BC 边交于点M ;N ． 1求BN 的长；2求四边形ABNM 的面积.21．如图;D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点;点 B 在⊙O 上; 且AB ＝AD ＝AO ．1求证：BD 是⊙O 的切线；2若E 是劣弧BC 上一点;AE 与BC 相交于点F ;△BEF 的面积为8;且cos ∠BFA ＝32;求△ACF 的面积．22．我们约定;若一个三角形记为△A 1是由另一个三角形记为△A 通过一次平移;或绕其任一边的中点旋转180°得到的;则称△A 1是由△A 复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次;复制过程可以一直进行下去．如图1;由△A 复制出△A 1;又由△A 1复制出△A 2;再由△A 2复制出△A 3;形成了一个大三角形;记作△B ．以下各题中的复制均是由△A 开始的;通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形指与△A 全等的三角形之间既无缝隙也无重叠．1图1中标出的是一种可能的复制结果;小明发现△A ∽△B ;其相似比为_________．在图1的基础上继续复制下去得到△C ;若△C 的一条边上恰有11个小三角形指有一条边在该边上的小三角形;则△C 中含有______个小三角形；2若△A 是正三角形;你认为通过复制能形成的正多边形是________；3请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形;在图2的方框内画出草图;并仿照图1作出标记．题7分;第2423c ＜0;23a b +12抛物线经过点1(,)2P m ;Q (1,)n ． ① 判断mn 的符号；② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A1(,0)x ;点B 2(,0)x 点A 在点B 左侧;请说明116x <;2112x <<． 24．如图1;平面直角坐标系xOy 中;A ;B (4,0)．将△OAB 绕点O 顺时针旋转角0°＜＜90°得到△OCDO ;A ;B 的对应点分别为O ;C ;D ;将△OAB沿x 轴负方向．．．平移m 个单位得到△EFGm ＞0;O ;A ;B 的对应点分别为E ;F ;G ; ;m 的值恰使点C ;D ;F 落在同一反比例函数ky x=k ≠0的图象上． 1∠AOB= °; = °；2求经过点A ;B ;F 的抛物线的解析式；3若2中抛物线的顶点为M ;抛物线与直线EF 的另一个交点为H ;抛物线上的点P 满足以P ;M ;F ;A 为顶点的四边形的面积与四边形MFAH 的面积相等点P 不与点H 重合;请直接写出满足条件的点P 的个数;并求位于直线EF 25的交点为P . 1的度数； 2 图1 图2北京市西城区2011年初三一模试卷数学答案及评分标准2011. 5 一、选择题本题共32分;每小题4分二、填空题本题共16分;每小题4分11题阅卷说明：全对得4分;仅填①或③得2分;其余情况均不得分.三、解答题本题共30分;每小题5分13.解：原式=1412+-………………………………………………………4分=12-．…………………………………………………………………………5分14.解：302(1)33.xx x+>⎧⎨-+⎩，≥由①得3x>-1分由②得x≤1．…………………………………………………………………………3分∴原不等式组的解集是3-＜x≤1．………………………………………………4分∵1>;∴x= 5分15.解：1如图1.设直线l的解析式为y kx b=+k;b为常数且k≠∵直线l经过点(0,2)B;点(1,1)P;∴2,1.bk b=⎧⎨+=⎩解得1,2.kb=-⎧⎨=⎩∴直线l的解析式为2y x=-+．……………………………………………2分2∵直线l的解析式为2y x=-+;∴点A的坐标为(2,0)．………………………………………………………3分∵ 点P 的坐标为(1,1);∴ 12AOP P S OA y ∆=⨯⨯＝12112⨯⨯=．………………………………………5分 16. 证明：如图2.1∵ BF 平分ABC ∠;∴ ABF CBF ∠=∠．………………1分在△ABF 与△CBF 中;∴ △ABF ≌△CBF ． ………………………………………………………2分 ∴ AF CF =．………………………………………………………………3分2∵ AF CF =; ∴ FCA FAC ∠=∠．……………………………………………………… 4分 ∵ AF ∥DC ;∴ FAC DCA ∠=∠．∴ FCA DCA ∠=∠;即CA 平分DCF ∠． ………………………………5分 17. 解：由题意;2214202b a b a ∆=-⨯=-=．…………………………………………1分 ∴ 22b a =． ………………………………………………………………………2分∴ 原式222211ab a a b =-++- ……………………………………………………3分 2222222a a a a a a a ⋅==+-．…………………………………………………4分 ∵ 0a ≠;∴ 原式2222a a==．………………………………………………………………5分18. 解：1………………………………………………………………………………4分阅卷说明：每空1分．272．………………………………………………………………………………5分四、解答题本题共20分;每小题5分19．解：设抢修车每小时行驶x 千米;则吉普车每小时行驶x 5.1千米．151154 1.5x x-=．………………………………………………………………………2分解得20x =． ………………………………………………………………………3分经检验;20x =是原方程的解;并且符合题意． ………………………………4分 ∴ 1.530x =.答：抢修车每小时行驶20千米;吉普车每小时行驶30千米．………………………5分 20．解：如图3．1由题意;点A 与点A ';点B 与点B '分别关于直线MN 对称;∴AM A M '=;BN B N '=． ………………………………………………1分初三学生人数步行人数骑车人数乘公交车人数其它方式人数300991329图2设BN B N x '==;则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ; ∴ o 90C ∠=．∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '=3; ∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴ 5BN =．……………………………………………………………………2分 2∵ 正方形ABCD ;∴ AD ∥BC ;o 90A ∠=．∵ 点M ;N 分别在AD ;BC 边上; ∴ 四边形ABNM 是直角梯形． ∵ '5BN B N ==;9BC =;∴ 4NC =．∴ 4sin 15∠=;4tan 13∠=．∵ 1290∠+∠=︒;2390∠+∠=︒;∴ 31∠=∠．∴ 4sin 3sin 15∠=∠=．在Rt △ DB P '中;∵90 D ∠=︒;6DB DC B C ''=-=;4sin 35DB PB '∠=='; ∴ 152PB '=． ∵ 9A B AB ''==;∴ 32A P AB PB ''''=-=． ∵ 43∠=∠;∴ 4tan 4tan 33∠=∠=．在Rt △ A MP '中;∵ 90 A A '∠=∠=︒;32A P '=;4tan 43A M A P '∠=='; ∴ 2A M '=．…………………………………………………………………4分 ∴ 1163()(25)9222ABNM S AM BN AB =+⨯=⨯+⨯=梯形．…………………5分 21．1证明：连接BO ．如图4∵ AB ＝AD ;∴ ∠D ＝∠ABD ．∵ AB ＝AO ;∴ ∠ABO ＝∠AOB ．又∵ 在△OBD 中;∠D +∠DOB +∠ABO +∠ABD ＝180°;∴ ∠OBD ＝90°．∴ BD ⊥BO ．…………………………………………………………………1分∵ 点B 在⊙O 上;∴ BD 是⊙O 的切线． ……………………………………………………2分 2解：∵ ∠C ＝∠E ;∠CAF ＝∠EBF ;∴ △ACF ∽△BEF ． ………………………………………………………3分 ∵ AC 是⊙O 的直径;点B 在⊙O 上;∴ ∠ABC ＝90°．∵ 在Rt △BFA 中;∠ABF ＝90°;cos ∠BFA ＝32=AF BF ; ∴ 24()9BEF ACF S BF S AF ∆∆==．………………………………………………………4分又∵ BEF S ∆＝8 ;∴ ACF S ∆＝18 ． ……………………………………………………………5分22．解：11∶2;121 ．……………………………………………………………………2分 24分 3如图5．分;其余情况均不得分；第3五、解答题本题共22分;第23题7分;第24题7分;第25题8分23．1证明：∵ 2360a b c ++=;∴12362366b a b c c a a a a++==-=-． ………………………………………1分 ∵ a ＞0;c ＜0;∴ 0c a <;0c a ->．∴ 1023b a +>． ……………………………………………………………2分2解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ;点Q (1,)n ;∴11,42.a b c ma b c n⎧++=⎪⎨⎪++=⎩①∵2360a b c++=;a＞0;c＜0;∴223ab c+=-;223ab c=--．∴1112111()42424312b cm a b c a a a a+=++=+=+-=-＜0．………3分2(2)33a an a b c a c c c=++=+--+=-＞0．………………………4分∴0mn<．…………………………………………………………………5分②由a＞0知抛物线2y ax bx c=++开口向上．∵0m<;0n>;∴点P1(,)2m和点Q(1,)n分别位于x轴下方和x轴上方．∵点A;B的坐标分别为A1(,0)x;B2(,0)x点A在点B左侧;∴由抛物线2y ax bx c=++的示意图可知;对称轴右侧的点B的横坐标2x满足2112x<<．如图6所示………………………………………6分∵抛物线的对称轴为直线2bxa=-;由抛物线的对称性可1222x x ba+=-;由1知123ba-<;∴12123x x+<．∴12221332x x<-<-;即116x<．…………………………………… 7分24．解：1∠AOB= 30 °; = 60 °．…………………………………………………2分2∵A;B(4,0);△OAB绕点O顺时针旋转角得到△OCD;如图7∴OA=OB=OC=OD=4．由1得30BOC AOB∠=︒=∠．∴点C与点A关于x轴对称;点C的坐标为2)-．∵点C;D;F落在同一反比例函数kyx=k≠0的图象上;∴C Ck x y=⋅=-∵点F是由点A沿x轴负方向平移m个单位得到;∴2Fy=;Fx==-点F的坐标为(-．……………3分∴ 点F 与点A 关于y 轴对称;可设经过点A ;B ;F 的抛物线的解析式为2y ax c =+．∴22, 160.a c a c ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得1 ,2 8.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴ 所求抛物线的解析式为2182y x =-+． …………………………………4分3满足条件的点P 的个数为 5 ．………………………………………………5分抛物线2182y x =-+的顶点为(0,8)M ．∵ △EFG 是由△OAB 沿x 轴负方向平移m 个单位得到;∴m FA ==;E O x x m =-=-;∠FEG=∠AOB=30°．∴ 点E的坐标为(-．可得直线EF的解析式为43y x =+． ∵ 点H21482x x +=-+的解; 整理;得23240x +-=．解得12x x ==- ∴ 点H的坐标为16)3．由抛物线的对称性知符合题意的1P点的坐标为16()33-．……………6分可知△AFM 是等边三角形;∠MAF= 60°．由A ;M 两点的坐标分别为A ;(0,8)M ;可得直线AM的解析式为8y =+．过点H 作直线AM 的平行线l ;设其解析式为y b =+b ≠8．将点H 的坐标代入上式;得163b =．解得283b =;直线l的解析式为283y =+． ∵ 直线l 与抛物线的交点的横坐标是方程2281832x +=-+的解．整理;得2380x -+=．解得1233x x ==．∴ 点2P 22)3满足HAM AM P S S ∆∆=2;四边形2P MFA 的面积与四边形MFAH 的面积相等．如图8……………………………………………7分点2P 关于y 轴的对称点3P 也符合题意;其坐标为3P 22()3．………8分综上所述;位于直线EF 上方的点P 的坐标分别为1P 16()3; 2P 22()33;3P 22()33-． 25．解：1如图9;∠APE= 45 °. ……………………2分2解法一：如图10;将AE 平移到DF ;连接BF ;EF ．……………………3分则四边形AEFD 是平行四边形．∴ AD ∥EF ;AD=EF ．∵ AC ;CD =;∴3=BD AC ;3==DF CD AE CD ． ∴ AC CD BD DF=．……………………………………………………4分 ∵ ∠C =90°;∴ 18090BDF C ∠=︒-∠=︒．∴ ∠C=∠BDF ．∴ △ACD ∽△BDF ∴ AD AC BF BD==∠1=∠2． ∴ EF AD BF BF ==． ∵ ∠1+∠3=90°;∴ ∠2+∠3=90°．∴ BF ⊥AD ．∴ BF ⊥EF ．…………………………………………………………6分∴ 在Rt △BEF 中;tan BF BEF EF ∠==． ∴ ∠APE =∠BEF =30°．…………………………………………7分解法二：如图11;将CA 平移到DF ;连接AF ;BF ;EF ．………………3分则四边形ACDF 是平行四边形．∵ ∠C =90°;∴ 四边形ACDF 是矩形;∠AFD =∠CAF = 90°;∠1+∠2=90°．∵ 在Rt △AEF 中;tan 3AE AF ∠=在Rt △BDF 中;tan 1BD DF ∠=∴ 3130∠=∠=︒．∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°;即∠EFB =90°．∴ ∠AFD =∠EFB ． …………………4分又∵ 2DF AF BF EF ==; ∴ △ADF ∽△EBF ． ………………………………………………5分 ∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5;∴ ∠APE =∠3=30°．………………………………………………7分。