【重点推荐】九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形同步练习
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习8圆内接正多边形知识点1正多边形与圆的有关概念及计算1．若正六边形的边心距是3，则它的边长是()A．1 B．2 C．2 3 D．3 32．下列正多边形中，中心角等于内角的是()A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形3．如图3－8－1，⊙O是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，图3－8－1则下列关系式错误的是()A．R2－r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°图3－8－23－8－38．[2019·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C. 2 D. 3图3－8－49．如图3－8－4，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．10．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．11．如图3－8－5①②③④，M，N分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形ABCDEFG …的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON.图3－8－5(1)求图①中∠MON 的度数；(2)图②中，∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形的边数n 的关系(直接写出答案)．详解1．B [解析] ∵正六边形的边心距为3，∴OB ＝3，AB ＝12OA . ∵OA 2＝AB 2＋OB 2，∴OA 2＝(12OA )2＋(3)2， 解得OA ＝2.故选B.2．C 3.A4．B[解析] 设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360°n，正多边形的一个外角等于360°n，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.5．5 cm[解析] 圆的内接正六边形的边长与它的半径相等．6．D7．解：(1)如图，点O即为所求．(2)如图，八边形ABCDEFGH即为所求．8．A[解析] 如图①，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图②，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图③，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝ 3.则该三角形的三边长分别为1，2， 3.∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝2 2.故选A.9．10 2 cm[解析] 由题意知∠BOC＝90°，BC＝OB2＋OC2＝102＋102＝10 2 (cm)．10．a＝c＝2 2b11．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝360°n.。
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习
8圆内接正多边形知识点1正多边形与圆的有关概念及计算1．若正六边形的边心距是3，则它的边长是()A．1 B．2 C．2 3 D．3 32．下列正多边形中，中心角等于内角的是()A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形3．如图3－8－1，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，图3－8－1则下列关系式错误的是()A．R2－r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°4．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是()A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定5．已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为________．知识点2正多边形的画法6．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是()A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形7．用尺规作图(不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹)．(1)如图3－8－2，已知正五边形ABCDE，求作它的中心O；(2)如图3－8－3，已知⊙O，求作⊙O的内接正八边形．3－8－23－8－38．[2017·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C. 2 D. 3图3－8－49．如图3－8－4，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．10．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．11．如图3－8－5①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图3－8－5(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．详解1．B [解析] ∵正六边形的边心距为3，∴OB ＝3，AB ＝12OA .∵OA 2＝AB 2＋OB 2， ∴OA 2＝(12OA )2＋(3)2，解得OA ＝2.故选B. 2．C 3.A4．B [解析] 设正多边形的边数为n ，则正多边形的中心角为360°n ，正多边形的一个外角等于360°n ，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.5．5 cm [解析] 圆的内接正六边形的边长与它的半径相等． 6．D7．解：(1)如图，点O 即为所求．(2)如图，八边形ABCDEFGH 即为所求．8．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝2×sin30°＝1； 如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2×sin45°＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝2×cos30°＝ 3. 则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.9．10 2 cm[解析] 由题意知∠BOC＝90°，BC＝OB2＋OC2＝102＋102＝10 2 (cm)．10．a＝c＝2 2b11．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90° 72° (3)∠MON ＝360°n.。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步测试题(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作，，若AB ＝1，则阴影部分图形的周长是（）A．π+1B．πC．π+1D．π2．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则∠1的值是（）A．15°B．18°C．20°D．9°4．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD 的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°6．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是（）A．45度B．60度C．72度D．90度7．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（）A．83°B．84°C．85°D．94°8．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°9．边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为（）A．24°B．48°C．60°D．72°10．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10B．9C．8D．7二．填空题（共10小题，满分40分）11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则∠CBF的度数为．12．如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为．（结果保留π）13．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．14．阅读下列材料：问题：如图1，正方形ABCD内有一点P，P A＝，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图2中∠BPC的度数为；（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A＝2，PB＝4，PC＝2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．15．如图，⊙O经过正五边形OABCD的顶点A，D，点E在优弧AD上，则∠E等于度．16．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．17．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．18．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝．19．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD．其中判断正确的是．（填序号）20．如图，正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠BOM的度数是．三．解答题（共4小题，满分40分）21．O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为α的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．（1）若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α＝120°，请你通过观察或测量，填空：①如图1，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为；②如图2，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为；（2）若正多边形为正方形，扇形的圆心角α＝90°时，①如图3，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为；②如图4，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；（3）若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角α为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（4）一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．22．如图，正五边形ABCDE中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．（1）求证：△ABF≌△BCG；（2）求∠AHG的度数．23．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点：相同点：①；②．不同点：①；②．24．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠A＝∠D＝108°，∴的长＝的长＝＝π，∴阴影部分图形的周长＝的长+的长+BC＝π+1．故选：A．2．解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝，∴AO⊥BE，故①正确；∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°，∴∠COD＝72°，∵∠COD＝2∠CAD，∴∠CAD＝36°；连接CD∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝＝＝，∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，∴∠CGD＝108°，∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，∴∠MBA＝∠MAB＝36°，∴AM＝BM，∵∠MAN＝36°，∠ANM＝∠DAE+∠AEB＝72°，∴AM≠MN，∴BM≠MN③错误！则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，∵AB＝AE，∴△ABM≌△AEN（ASA），∴BM＝EN＝AM＝AN，∵∠MAN＝36°，∴AM≠MN，∴③错误．故选：A．3．解：正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，正方形的内角是90°，则∠1＝108°﹣90°＝18°．故选：B．4．解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选：C．5．解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．6．解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，在△AOM和△BON中，，∴△AOM≌△BON（SAS）∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，故选：C．7．解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：B．8．解：设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA、OB、OE′，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108°，∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在圆上E′点，∴AE＝AE′＝3，∵OA＝AB＝OB＝OE′＝3，∴△OAE′、△OAB都为等边三角形，∴∠OAB＝∠OAE′＝60°，∴∠E′AB＝120°，∴∠EAE′＝12°，∴当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为12°．故选：A．9．解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠BOA＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AO＝BO，∴∠ABO＝∠OAB＝＝24°故选：A．10．解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．二．填空题（共10小题，满分40分）11．解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠O＝＝72°，∴∠CBD＝O＝36°，∵F是的中点，∴∠CBF＝∠DBF＝CBD＝18°，故答案为：18°．12．解：连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD＝60°，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD＝108°，∴∠BCF＝48°，∴的长＝＝π，故答案为：π．13．解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故答案为：72°．14．解：（1）如图2．∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，∴∠P′BP＝90°，BP′＝BP＝，P′A＝PC＝1，∠BP′A＝∠BPC，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴PP′＝PB＝2，∠BP′P＝45°，在△APP′中，AP＝，PP′＝2，AP′＝1，∵（）2＝22+12，∴AP2＝PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P＝90°∴∠BP′A＝45°+90°＝135°，∴∠BPC＝∠BP′A＝135°；（2）如图3．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC＝120°，把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，∴∠P′BP＝120°，BP′＝BP＝4，P′A＝PC＝2，∠BP′A＝∠BPC，∴∠BP′P＝∠BPP′＝30°，过B作BH⊥PP′于H，∵BP′＝BP，∴P′H＝PH，在Rt△BP′H中，∠BP′H＝30°，BP′＝4，∴BH＝BP′＝2，P′H＝BH＝2，∴P′P＝2P′H＝4，在△APP′中，AP＝2，PP′＝4，AP′＝2，∵（2）2＝（4）2+22，∴AP2＝PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P＝90°，∴∠BP′A＝30°+90°＝120°，∴∠BPC＝120°，过A作AG⊥BP′于G点，∴∠AP′G＝60°，在Rt△AGP′中，AP′＝2，∠GAP′＝30°，∴GP′＝AP′＝1，AG＝GP′＝，在Rt△AGB中，GB＝GP′+P′B＝1+4＝5，AB＝＝＝2，即正六边形ABCDEF的边长为2．故答案为135°；120°，2．15．解：∵⊙O经过正五边形OABCD的顶点A，D，∴∠AOD＝108°，∴∠E＝AOD＝54°，故答案为：54．16．解：∵AF是⊙O的直径，∴＝，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴＝，∠BAE＝108°，∴＝，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故答案为：54．17．解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，在△AOM和△BON中，∴△AOM≌△BON，∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，故答案为：72．18．解：连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，故答案为：48°．19．解：①∵∠BCD＝180°﹣72°＝108°，∠E＝108°，∴∠ADE＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠ADC＝108°﹣36°＝72°，∴∠BCD+∠ADC＝108°+72°＝180°，∴BC∥AD，故本选项正确；②∵∠BAE＝108°，∠CAD＝×＝36°，∴∠BAE＝3∠CAD，故本选项正确；③在△BAC和△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SSS），故本选项正确；④∵AB+BC＞AC，∴2CD＞AC，故本选项错误．故答案为：①②③．20．解；连接AO，∵正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠AOM＝×360°＝120°，∴∠AOB＝×360°＝72°，∵∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB，∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°故答案为：48°三．解答题（共4小题，满分40分）21．解：（1）①a；（1分）②a；（2分）（2）①a；（3分）②正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a．（4分）理由：证明：连接OA、OD∵四边形ABCD是正方形，点O为中心∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°又∵∠AOD＝∠POQ＝90°∴∠AOM+∠AOQ＝90°∠DON+∠AOQ＝90°∴∠AOM＝∠DON∴△AOM≌△DON∴AM＝DN∴AM+AN＝DN+AN＝AD＝a（8分）（3）∵正五边形的内角为（5﹣2）×180°÷5＝108°∴当扇形纸板的圆心角α为72°时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（10分）（4）∵正多边形的中心角为，∴当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．（12分）22．（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD，（2分）∵F、G分别是BC、CD的中点，∴BF＝CG，（4分）在△ABF和BCG中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，BF＝CG，（5分）∴△ABF≌△BCG；（6分）（2）解：由（1）知∠GBC＝∠F AB，∵∠AHG＝∠F AB+∠ABH＝∠GBC+∠ABH＝∠ABC（，7分）∵正五边形的内角为108°，∴∠AHG＝108°．（9分）（注：本小题直接正确写出∠AHG＝108°不扣分）23．解：相同点不同点①都有相等的边．①边数不同；②都有相等的内角．②内角的度数不同；③都有外接圆和内切圆．③内角和不同；④都是轴对称图形．④对角线条数不同；⑤对称轴都交于一点．⑤对称轴条数不同．24．解：（1）解：由正方形ABCD，可得：AC⊥BD，∴α4＝90°；由正五边形ABCDE，可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，∴∠DBC＝∠ACB＝＝36°，∴α5＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝108°；同理：α6＝120°；（2）．。
九年级数学下册 第3章 圆 3.8 圆内接正多边形同步测试 (新版)北师大版
《圆内接正多边形》分层练习◆基础题1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定2．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（）A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：33）A．1 B．2 C．D．4．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB的面积为（）A．6 B．C．12 D．5．正八边形的中心角等于度．6．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为．7．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为cm2．8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG= °．9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB，求⊙O的半径．10．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH 于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．◆能力题1．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A B．C D．2．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”（用圆内接正多边形的周长代替圆周长），来计算圆周率π的近似值．他从正六边形算起，一直算到正24576边形，将圆周率精确到小数后七位，在世界上领先一千多年．根据这个办法，由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是（）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.144．如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为．（用锐角α的三角比表示）5．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于．6．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．7．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．8．（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，求正六边形的边长．（2）如图2，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求证：AB=AC．◆提升题1．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFDC．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE2．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何（）A．40 B．50 C．60 D．80【答案】A3．小刚在纸上画了一个面积为6分米2的正六边形，然后连接相隔一点的两点得到如图所示的对称图案，他发现中间也出现了一个正六边形，则中间的正六边形的面积是分米2．4．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．已知长宽分别为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，则r的最小值是cm．5．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、A E．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．6．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO= （用含a的式子表示）；（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为三角形；（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．答案和解析◆基础题1．【答案】B解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360n，正多边形的一个外角等于360 n ︒，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．2．【答案】A解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴AD=3OD，∴AD：OA：OD=3：2：1．3．【答案】B，∴OB AB=12OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（12OA）2+2，解得OA=2．4．【答案】C解：如图，连接OA；取AC的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF=12OA，且∠OFA=90°，∴∠OAF=30°，∠AOC=60°，∠AOD=∠COD=30°；∵圆的内接正十二边形的中心角=36012︒=30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB∴AF；在△AOF中，由勾股定理得：2R==；在△ODE中，∵∠EOD=30°，∴DE=12OD=1，112OCDS OC DE∆=⋅=，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．5．【答案】45解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°．6．【答案】cm解：设正多边形的中心是O ，其一边是AB ，∴∠AOB =∠BOC =60°，∴OA =OB =AB =OC =BC ，∴四边形ABCO 是菱形，∵AB =6cm ，∠AOB =60°，∴cos ∠BAC =AMAB，∴AM =6cm ），∵OA =OC ，且∠AOB =∠BOC ，∴AM =MC =12AC ，∴AC =2AM （cm ）．7．【答案】24解：连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：()821808-⨯︒=135°，∴∠HGM =45°，∴MH =MG ，设MH =MG =x ，则HG =AH =AB =GF ，∴BG ×GF =2+1）x 2=12，∴四边形ABGH 面积=12（AH +BG ）×HM =+1）x 2=6，∴正八边形的面积为：6×2+12=24（cm 2）．8．【答案】45°解：设正八边形ABCDEFGH 的外接圆为⊙O ；∵正八边形ABCDEFGH 的各边相等，∴18AH GH ==圆周长，∴AHG 的度数为23608⨯︒=90°，∴圆周角∠ACG =190452⨯︒=︒．9．解：过点O 作OD ⊥BC 于点D ，连接BO ，∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴点O 即是三角形内心也是外心，∴∠OBD =30°，BD =CD =12BC =12AB∴cos 30°=2BD BO BO ==，解得：BO =2，即⊙O 的半径为2cm ．10．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF 中，AB =BC ，∠ABC =∠C =120°，在△ABG 与△BCH 中120AB BCABC C BG CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△BCH ；（2）解：由（1）知：△ABG ≌△BCH ，∴∠BAG =∠HBC ，∴∠BPG =∠ABG =120°，∴∠APH =∠BPG =120°． ◆ 能力题1．【答案】B解：延长AB ，然后作出过点C 与格点所在的直线，一定交于格点E ．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE =4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离则△BCE 的边EC，△ACE 边EC，则S △ABC =S △AEC ﹣S △BEC =12×42．【答案】B解：360°÷n =()2180n n-⨯︒．故这个正多边形的边数为4．3．【答案】B解：由题意n =6时，π≈62l rd r==3． 4．【答案】52tan α解：如图所示：∵正n 边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD =52tan α．5．【答案】12解：连接AO ，BO ，CO ．∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正六边形、内接正方形的一边，∴∠AOB =3606︒=60°，∠AOC =3604︒=90°，∴∠BOC =30°，∴n =36030︒=12．6．【答案】72°解：连接OA 、OB 、OC ，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠AOB =∠BOC =72°，∵OA =OB ，OB =OC ，∴∠OBA =∠OCB =54°，在△OBP 和△OCQ 中，OB OCOBP OCQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBP ≌△OCQ ，∴∠BOP =∠COQ ，∵∠AOB =∠AOP +∠BOP ，∠BOC =∠BOQ +∠QOC ，∴∠BOP =∠QOC ，∵∠POQ =∠BOP +∠BOQ ，∠BOC =∠BOQ +∠QOC ，∴∠POQ =∠BOC =72°．7．（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB =BC =CD =DE =EF =FA ，∠A =∠ABC =∠C =∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中，AB DE A D AP DQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．8．（1）解：连接OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，∴∠O=3606︒=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=4，即正六边形的边长为4；（2）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=12BC=5，∵AB=13，AD=12，∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AB=AC．◆提升题1．【答案】B解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A选项正确；∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，∴AC2+BF2=4CD2．故C选项正确；由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴C E D ED E E F，∴DE2=EF•CE，故D选项正确．2．【答案】A解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．3．【答案】2解：设O是原正六边形的中心，连接AO，FO，MO，设FO与AE交于点Q，AO与BE交于P，∵一个面积为6分米2的正六边形，连接相隔一点的两顶点得到如图所示的对称图案，∴∠AOF=16×360°=60°，S△AOF=16×6=1（分米2），∴△OAF是等边三角形，∵AB=AF，∴OA⊥BF，∴AP=OP，∴AM=OM，同理：OF⊥AE，OQ=FQ，∴OM=FM，∴点M是△AOF的外心，∴S△OAM=13S△AOF=13（分米2），∴S△OPM=12S△OAM=16（分米2），∴中间的正六边形的面积是：12×S△OPM=2（分米2）．4．【答案】2解：如图：矩形ABCD 中AB =1，BC =2，则覆盖ABCD 的两个圆与矩形交于E 、F 两点，由对称性知E 、F 分别是AD 和BC 的中点，则四边形ABFE 、EFCD 是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r =2，两圆心距=1． 5．解：（1）如图1中，连接OA 、OD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOD =90°，∴∠AED =12∠AOD =45°． （2）如图2中，连接CF 、CE 、CA ，作DH ⊥AE 于H ．∵BF ∥DE ，AB ∥CD ，∴∠ABF =∠CDE ，∵∠CFA =∠AEC =90°，∴∠DEC =∠AFB =135°，∵CD =AB ，∴△CDE ≌△ABF ，∴AF =CE =1，∴AC =AD AC ，∵∠DHE =90°，∴∠HDE =∠HED =45°，∴DH =HE ，设DH =EH =x ，在Rt △ADH 中，∵AD 2=AH 2+DH 2，∴344=（4﹣x ）2+x 2，解得x =32或52，∴DE DH =2或2． 6．解：（1）∵正三角形ABC 的边长为a ，由折叠的性质可知，点O 是三角形的重心，∴CO ； （2）△CDE 为等边三角形；（3）由（2）知△CDE 为等边三角形，∴CD =CE =DE =12CO ÷cos 30°=13a ，∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=13a，BG=BF=GF=13a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=13a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．。
北师大九年级下《3.8圆内接正多边形》课时练习含答案解析
北师大版数学九年级下册第3章第8节圆内接正多边形同步检测一、选择题1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D．5答案：A解析：解答：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴360°n =36°，解得n=10．故选A．分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．2.下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形答案：B解析：解答：设正边形的边数是n．根据题意得：180-360360n n，解得：n=4．故选B．分析：设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值3.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A．8√3cm B．4√3cm C．8cm D．4cm答案：A解析：解答：如图所示：∵半径为8cm的圆的内接正三角形，∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，∴BD=cos30°×OB= √32×8=4√3（cm），∵BD=CD，∴BC=2BD=8√3cm．故它的内接正三角形的边长为8√3cm．故选：A．分析：欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．4.圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（）A．a=2rsin36° B．a=2rcos36° C．a=rsin36° D．a=2rsin72°答案：A解析：解答：作OF⊥BC．∵∠COF=72°÷2=36°，∴CF=r•sin36°，∴CB=2rsin36°．故选A．分析：作OF⊥BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长．5.正八边形的中心角是（）A．45° B．135° C．360° D．1080°答案：A解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故选A．分析：根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．6.顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（）A．△ACE是等边三角形B．既是轴对称图形也是中心对称图形C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDCD．图中一共能画出3条对称轴答案：B解析：解答： A.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．故选B．分析：根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．7.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°答案：B解析：解答：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为360 ÷60 =6，其中心角为360° ÷6 =60°．故选B．分析：根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A．3 B．2√2 C．3√2 D．6答案：C解析：解答：如图所示：⊙O的半径为3，∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC=2×3=6，AB BC AC，AB=BC，∵222∴22AB BC=36，解得：AB=3√2，即⊙O的内接正方形的边长等于3√2，故选C．分析：根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可．9.如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm，AB的长度是（）A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm答案：B解析：解答：连接OB、OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6 =60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OB=AB=24cm，∴60248 180ππ故选B分析：连接OA、OB，得出等边三角形AOB，求出OB长和∠AOB度数，根据弧长公式求出即可．A．2 B．1 C．√3 D．2√3答案：C解析：解答：已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，如图：连接OA，作OM⊥AB于点M，得到∠AOM=30°，则OM=OA•cos30°=√3．则正六边形的边心距是√3．故选C．分析：根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．11.已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3√3 B．9√3 C．18√3 D．36√3答案：C解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2√3，高为3，因而等边三角形的面积是3√3，∴正六边形的面积=18√3，故选C．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．12.已知某个正多边形的内切圆的半径是√3，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（）A．八 B．六 C．四 D．三答案：B解析：解答：根据勾股定理得：22−(√3)2=1，∴正多边形的边长为2，∴正多边形的中心角为60°，∴此正多边形是正六边形，故选B．分析：根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．13.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（）A．1：2 B．1：√ 3 C．√3：1 D．2：12答案：D解析：解答：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴OA：OD=2：1．故选D．分析：先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．14、已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．23 B．33 C．43 D．63答案：B解析：解答：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30°，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD3∴BC3，∴△ABC的面积=12BC•AD=12×23×3=33；故选：B．分析：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=12BC•AD，即可得出结果．15.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°答案：B解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=12×（180°-150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED=(180°−120°)÷ 2 =30°，∴∠BED=15°+30°=45°．故选B分析：根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA，∠AED，据此即可解答．二、填空题16.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是 .答案：正七边形解析：解答：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是无法利用圆规与直尺7等分圆，故无法得到正七边形．故答案为：正七边形．分析：利用直尺和圆规可以将圆等分为6份、4份，这样即可得出正三角形、正方形、正六边形等，但是无法得到正七边形．17.一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，则边心距是 .答案：8cm解析：解答：∵一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，∴设边心距是hcm，则12×60×h=240，解得：h=8（cm），即边心距为8cm.分析：根据正n边形的面积=12周长×边心距，进而得出答案．18.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 . 答案：√3：2．解析：解答：∵一个正多边形的一个外角为60°，∴360°÷60°=6，∴这个正多边形是正六边形，设这个正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，∴内切圆的半径是正六边形的边心距，即是32r，∴它的内切圆半径与外接圆半径之比是：3：2．分析：由一个正多边形的一个外角为60°，可得是正六边形，然后从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的三边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．19.如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为答案：33 2解析：解答：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，∵∠C=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB是等边三角形，∴AO=BO=AB=1，∴EO=sin60°×1=3 2，∴S△AOB=12×EO×AB=34，∴⊙O的内接六边形的面积为：6×34=332．分析：利用圆周角定理以及等边三角形的判定与性质得出△AOB的面积，进而得出答案．20.人民币1993年版的一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果设这个正九边形的半径为R，那么它的周长是 .答案：18Rsin20°解析：解答：连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，则OA=OB=R，∵九边形ABCDEFGHI是正九边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI，∠AOB=360°÷9 =40°，在△AOM中，sin∠AOM=AM OA，AM=OAsin20°=Rsin20°，∵OA=OB，OM⊥AB，∴AB=2AM=2Rsin20°，即正九边形的周长是9×2Rsin20°=18Rsin20°.分析：连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，根据正九边形得出AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI,∠AOB=40，在△AOM中求出AM=OAsin20°=Rsin20°，根据三线合一定理得出AB=2AM=2Rsin20°，即可求出正九边形的周长．三、证明、计算题21.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O 于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．答案：见解析解析：解答：连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，̂=AF̂=BÊ=BĈ=FĈ，∴AE∴AE=AF=BE=BC=FC，∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．∴五边形AEBCD为正五边形．分析：要求证五边形AEBCD是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可．22.如图，正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆，试求AB：EF的值．答案：√2解析：解答：如图，设大正方形的边长为1，则HF=1，则S正方形ABCD=1，S正方形EFGH=2S△HGF=2×1×（1÷2）÷2=0.5，∵正方形ABCD∽正方形EFGH，∴AB：EF=√2:1=√2．分析：设大正方形的边长为1，那么圆的直径为1，根据“正方形的面积=边长×边长”求出大正方形的面积，从而得出△HGF的面积：1×（1÷2）÷2=0.25，即可得出正方形EFGH的面积：0.25×2=0.5，再根据相似得出边之比．23.如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH 于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．答案：(1)略；(2)120°解析：解答：（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，BG＝CH，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．分析：（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；（2）由△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．24.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？答案：63cm解析：解答：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=AM :AB，∴AM=6×33（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=12 AC，∴AC=2AM3cm）．扳手张开的开口b至少为3.分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．25.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．答案：(1)45°；(2)8√2解析：解答：：（1）连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，ssssss∴∠P=12∠BOC=45°；（2）过点O作OE⊥BC于点E，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE23242 2OB∴BC=2BE=2×4282分析：（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出；（2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．。
北师大版九年级下册数学 3.8 圆内接正多边形 同步习题
3.8 圆内接正多边形同步习题一．选择题1．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．B．C．D．2．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，CE相交于点F，则∠BFC的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．90°3．如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（）A．2B．1C．D．4．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．155．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（）A．4B．C．D．6．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°7．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（）A．πB．C．3πD．8．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°9．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB ＝，则EG的长为（）A．2B．2C．3D．2二．填空题11．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）．12．用两条宽均为2cm的纸条（假设纸条的长度足够长），折叠穿插，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正六边形ABCDEF，则折出的正六边形的边长为cm．13．同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为．。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步练习题(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步练习题（附答案）1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（）A．72°B．54°C．36°D．64°2．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（）A．30°或150°B．60°或120°C．30°D．60°3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．2π﹣4B．4π﹣4C．8π﹣4D．16π﹣44．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（）A．0.5B．C．1D．6．半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）A．2B．1C．D．7．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（）A．B．C．D．8．如图，在边长为4cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．9．若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的边长是．10．如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF ＝°．11．如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为．12．如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠AFO的度数为．13．如图，在边长为6cm的正六边形中，点P在边AB上，连接PD、PE．则△PDE的面积为cm2．14．如图，若正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，连接对角线BG，则线段BG的长为．15．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG ＝．16．如图，正六边形ABCDEF中，AB＝1，连接AD，则AD的长为．17．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．19．如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP、DP与BC分别交于M、N．（1）∠BAM＝°；（2）若AB＝4，求MN的长．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论）20．如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．（1）求∠CDF的度数；（2）求证：AF＝BF．参考答案1．解：连接OC，OD．在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，故选：B．2．解：连接OA，OB，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝＝60°，当点P不在上时，∠APB＝∠AOB＝30°，当点P在上时，∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，故选：A．3．解：连接OC、OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠COB＝90°，∠OCB＝45°，∴OC＝CB cos45°＝4×＝2．所以阴影部分的面积＝（S⊙O﹣S正方形ABCD）÷4＝π×（2）2﹣4×4]÷4＝2π﹣4．故选：A．4．解：连接OC、OD，如图，∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴∠COD＝60°，当P点在弧CAD上时，∠CPD＝∠COD＝30°，当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．故选：B．5．解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，∵正方形的边长为2+，∴x+x+x＝2+，解得x＝＝，∴正八边形的边长为，故选：D．6．解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，而正多边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，∴正六多边形的边心距等于2×sin60°＝，故选：C．7．解：连接OA，OB，OE，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，∵∠CBE＝15°，∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，∴△OBE是等边三角形，∴OB＝BE＝3，∴OA＝3，∴AB＝＝3，∴BC＝3，故选：D．8．解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BF，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°＝2（cm），∴BF＝2BT＝4（cm），∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF＝•EF•BF＝×4×4＝8（cm2），故答案为8．9．解：连接OF、OA，作OG⊥AF于点G，如图正六边形中心角∠AOB＝＝60°，∴∠BOF＝60°×2＝120°，∠OFE＝∠OBA＝60°，OF＝AF＝OA，∴∠MON﹣∠MOF＝∠BOF﹣∠MOF，即∠FON＝∠BOM，在△FON和△BOM中，∴△FON≌△BOM（AAS），∴S△FON＝S△BOM，∴S多边形AMONF＝S四边形ABOF＝2S△OAF，在Rt△OFG中，∠OFG＝60°，sin60°＝，∴OG＝OF＝AF，∴S△OAF＝AF•OG＝AF2，即2×AF2＝2，解得AF＝2，故答案为2．10．解：连接BE，BD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，∴∠DCE＝∠DEC＝36°，∵BE＝BD，DF＝EF，∴BF⊥DE，∴∠BFE＝90°，∴∠CGF＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，故答案为：126．11．解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，∴∠DCE＝∠DEC＝30°，∵AD⊥CE，∴OC＝OE＝CD•cos30°＝2，∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，∴OB＝＝＝2，故答案为：2．12．解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆O．连接OA、OB，∵八边形ABCDEFGH是OO内接正八边形，∴∠AOB＝＝45°，由圆周角定理得，∠AFO＝∠AOB＝＝22.5°，故选答案为22.5°．13．解：如图所示，连接OD、OE，此正六边形中DE＝6，则∠DOE＝60°；∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形，∵OG⊥DE，∴∠DOG＝30°，∴OG＝OD•cos30°＝6×＝3（cm），∴△PDE边DE上的高为2OG＝6（cm），∴S△PDE＝×6×6＝18（cm2），故答案为18．14．解：连接BE，过A作AM⊥BE于M，过F作FN⊥BE于N，过G作GH⊥BE于H，则AF∥BE，∴四边形AMNF是矩形，∴MN＝AF＝2，∠F AM＝90°，∵∠BAF＝＝120°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，同理：EN＝1，∴BE＝4，EH＝，GH＝，∴BH＝BE﹣EH＝4﹣＝，∴BG＝＝＝，方法二：连接BD，∵正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，∴BC＝CD＝2，DG＝DE＝1，∠C＝∠CDG＝120°，∴∠CDB＝30°，∴∠BDG＝90°，过C作CH⊥BD于H，∴∠CHD＝90°，∴DH＝CD＝，∴BD＝2，∴BG＝＝，故答案为：．15．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝108°，∵四边形ABFG是矩形，∴∠BAG＝90°，∴∠EAG＝∠EAB﹣∠GAB＝108°﹣90°＝18°，故答案为：18°．16．解：连接AC，∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝∠BAF＝120°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∵∠BAD＝∠F AD＝60°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2AB＝2，故答案为：2．17．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝∠BAF﹣∠F AE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．18．解：（1）连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为BC的中点，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．19．解：（1）在正六边形ABCDEF中，∠DAB＝60°，在正方形AQDP中，∠DAP＝45°，∴∠BAM＝∠DAB﹣∠DAP＝60°﹣45°＝15°，故答案为：15．（2）连接BE交AD于点O，连接OP交BC于H．在正六边形ABCDEF中，CD＝BC＝AB＝4，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，AO、BO平分∠BAF、∠ABC，OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝∠CBO＝×120°＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴BC∥AD，AO＝BO＝AB＝4，∴AD＝2AO＝8，在正方形APDQ中，AP＝DP，∠APD＝90°，∵AO＝DO，∴PO＝AD＝4，PO⊥AD，∠APO＝∠DPO＝∠APD＝45°，∵AD∥BC，∴∠MHP＝∠AOP＝90°，∴∠BHO＝90°，∴sin∠OBH＝，∵∠OBH＝60°，BO＝4，∴OH＝4×sin60°＝2，∵PH＝MH＝OP﹣OH＝4﹣2，∴MN＝2MH＝8﹣4≈1.1．20．（1）解：在正五边形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，在四边形BCDF中，∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；（2）证明：如图，连接DB、AD，∵ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，在△AED和△BCD中，，∴△AED≌△BCD（SAS），∴AD＝BD，∵DF⊥AB，∴∠DF A＝∠DFB＝90°，Rt△DAF和Rt△DFB，，∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），∴AF＝BF．。
九年级数学下册第3章圆3.8圆内接正多边形同步练习新版北师大版_
3.8圆内接正多边形一、夯实基础1．方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．2．正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．3．正多边形都是对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是，又是对称图形。
4．如图，将若干全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要五边形（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个5．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A正三角形 B正五边形 C正六边形 D正七边形．二、能力提升6．用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片半径最小应为__ cm7．正方形ABCD的内切圆⊙O的面积是81π，正方形ABCD的周长是______．8．要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____________cm．9．如图，有一个边长为3cm的正六边形，如果要在正六边形纸片中剪出一个最大的圆，则这个圆的半径是___________cm．10．如图，五个相同的圆的圆心连成一个边长为10cm的正五边形，五边形内阴影部分的面积为_____.11．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．三、课外拓展12．求出半径为R的圆内接正三角形的边长，边心距和面积.13．足球面是由若干个正五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形的块数是多少？14．将固定宽度的纸条打一个简单的结，然后系紧，使它成为一个平面的结，如图所示，求证：这个五边形是正五边形.15．图①是“口子窖”酒的一个由铁片制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图②），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边长是3cm，每个内角都是120，六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图③的平面展开图．（1）制作这种底盒时，可以按图④中虚线裁剪出如图③的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁片，请问能否按图④的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请说明理由；（2）如果用一块正三角形铁皮按图⑤中虚线剪出如图③的模片，那么这个正三角形的边长至少应为________________cm．（说明：以上裁剪不计接缝处损耗）四、中考链接1．（2016·山东省德州市·4分）正六边形的每个外角是度．2．（2016·广西桂林·3分）正六边形的每个外角是度．6．（2016广西南宁3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）。
2020九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形同步练习
课时作业(二十八)[第三章 8 圆内接正多边形]一、选择题1．2017·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形2．2017·滨州若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为链接听课例1归纳总结( ) A. 2 B ．2 2 C.22D ．1 3．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A.22 B.32C. 2D. 3 4．若正六边形的两条平行边相距12 cm ，则它的边长为() A ．6 cm B ．12 3 cm C ．4 3 cm D.5 32cm5．2017·慈溪市期末如图K －28－1，A ，B ，C 三点在⊙O 上，AB 是⊙O 内接正六边形的一边，BC 是⊙O 内接正十边形的一边，若AC 是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 等于( )图K －28－1A ．12B ．15C ．18D ．206．如图K －28－2，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，那么下列说法错误的是( )链接听课例1归纳总结图K －28－2A ．∠BAC ＝30° B.AC ︵＝BC ︵C ．线段OB 的长等于圆内接正六边形的半径D ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 二、填空题7．2017·邗江区一模如图K －28－3，正六边形螺帽的边长是2 cm ，这个扳手的开口a 应是________.链接听课例2归纳总结图K－28－38．正六边形的面积是18 3，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为________．9．如图K－28－4，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON的度数为________．图K－28－410．2017·广东模拟为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图K－28－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为________．图K－28－5三、解答题11．已知：如图K－28－6，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．图K－28－612．2018·平房区二模如图K－28－7，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N.(1)求证：AE＝BF；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△ABM全等的三角形．图K－28－713．用一个长60米的篱笆围成一个羊圈，分别计算所围羊圈是正三角形、正方形、正六边形、圆时的面积(结果精确到1平方米)．(1)比较这些面积的大小；(2)归纳出周长相等的正多边形、圆面积大小的规律(不需证明)．探究题(1)如图K－28－8①所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，求∠MON的度数；(2)如图②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，则图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________，MON的度数是________．图K －28－8详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析] A ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.2．[解析] A 如图所示，E为切点，连接OA，OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE＝22OA＝ 2.故选A.3．[解析] A 如图①，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；图①如图②，图②∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图③，图③∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝3，则该三角形的三边长分别为1，2， 3.∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形，故选A.4．[解析] C 两条平行边相距12 cm ，即可得边心距为6 cm ，从而可得正六边形的边长为4 3 cm.5．[解析] B 连接OC ，OA ，OB ，∵AB 是⊙O 内接正六边形的一边， ∴∠AOB ＝360°÷6＝60°.∵BC 是⊙O 内接正十边形的一边， ∴∠BOC ＝360°÷10＝36°，∴∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝60°－36°＝24°， ∴n ＝360°÷24°＝15. 故选B.6．[解析] A ∵OA ＝OB ，OA ＝AB ，∴OA ＝AB ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°.显然∠BAC ＝12∠BOC ＝14∠AOB ＝14×60°＝15°.故选项A 说法错误．∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵，故选项B 说法正确．易知△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，以AB 为一边正好可以构成正六边形，故选项C 说法正确．∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝30°，360°30°＝12，∴弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长，故选项D 说法正确．故选A.7．[答案] 2 3 cm[解析] 过正六边形的中心O 作一边的垂线，垂足为B ，连接OA . 则∠O ＝30°，AB ＝1 cm ， ∴OB ＝ABtan30°＝ 3 cm ，∴a ＝2OB ＝2 3 cm. 故答案为2 3 cm.8．[答案] 3π[解析] 如图所示，设正六边形的边长为a ， ∵正六边形的面积是18 3， ∴△OAB 的面积是3 3，∴a ＝2 3，∴OD ＝OA ·sin60°＝2 3×32＝3， ∴S 圆环＝S 外接圆－S 内切圆＝π×(2 3)2－π×32＝12π－9π＝3π. 9．[答案] 45°[解析] 连接OA ，OB ，OC .∵正八边形是中心对称图形， ∴中心角为360°÷8＝45°，∴∠OAM ＝∠OBN ＝180°－45°2＝67.5°.∵OA ＝OB, ∠OAM ＝∠OBN ，AM ＝BN ， ∴△OAM ≌△OBN ， ∴∠AOM ＝∠BON ， ∴∠MOB ＝∠NOC .∵∠AOC ＝∠AOM ＋∠MOB ＋∠BON ＋∠NOC ＝90°，∴∠MON ＝∠MOB ＋∠BON ＝12(∠AOM ＋∠MOB ＋∠BON ＋∠NOC )＝12∠AOC ＝45°.10．[答案] 2a 2[解析] △ABC 是等腰直角三角形，且AB ＝a ，则AC ＝BC ＝22a ， 则S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×2a 2·2a 2＝a 24，中间的正方形的面积是a 2，则阴影部分的面积是4×a 24＋a 2＝2a 2.11．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ACE ＝∠ECB ＝∠BAC ＝36°， ∴AE ︵＝EB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵，即点A ，E ，B ，C ，D 把⊙O 五等分， ∴五边形AEBCD 是正五边形．12．解：(1)证明：∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴AF ＝FE ＝BA ，∠AFE ＝∠BAF .在△AFE 与△BAF 中，∵AF ＝BA ，∠AFE ＝∠BAF ，FE ＝AF ， ∴△AFE ≌△BAF ，∴AE ＝BF .(2)与△ABM 全等的三角形有△DEN ，△FEM ，△CBN . ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝FE ，∠BAF ＝∠AFE ＝120°， ∴∠ABM ＝∠FAE ＝30°， ∴∠BAM ＝90°.同理可得∠DEN ＝30°，∠EDN ＝90°， ∴∠ABM ＝∠DEN ，∠BAM ＝∠EDN .在△ABM 和△DEN 中，∵∠BAM ＝∠EDN ，AB ＝DE ，∠ABM ＝∠DEN ， ∴△ABM ≌△DEN .同理可证明△FEM ≌△ABM ，△CBN ≌△ABM .13．解：①当所围羊圈是正三角形时，其边长为20米，S 正三角形＝12×20×10 3＝100 3≈173(米2)；②当所围羊圈是正方形时，其边长为15米， S 正方形＝152＝225(米2)；③当所围羊圈是正六边形时，其边长为10米，S 正六边形＝6×12×10×10 32＝150 3≈260(米2)； ④当所围羊圈是圆形时，其半径为30π米，S 圆＝π·(30π)2＝900π≈286(米2)． (1)S 正三角形<S 正方形<S 正六边形<S 圆．(2)周长相等的正多边形中，边数越多，其面积越大，圆可以近似看成是边数无穷多的正n 边形，因而圆的面积最大．[素养提升]解：(1)连接OB ，OC .∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝120°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠OBA ＝30°.又∵BM ＝CN ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠MOB ＝∠NOC ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°.(2)90° 72° 360°n。
北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》同步练习
北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》同步练习
1．[2014·天津]正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是( )
图52－5
A.3B．2
C．3 D．2 3
2．如图52－6，正五边形ABCDE中，连接AC，AD，CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是( )
图52－6
A．△CDF的周长等于AD＋CD
B．FC平分∠BFD
C．AC2＋BF2＝4CD2
D．DE2＝EF·CE
3．已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n＝______．4．[2014·曲靖]如图52－7，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是________．
图52－7
5．[2014·河北]如图52－8，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则
S 阴影S 空白
＝ ( )
图52－8
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．如图52－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于点O .
(1)写出图中所有的等腰三角形；
(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．
图52－9
7．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图52－10)，求证：五边形ABCDE是正五边形．
图52－10
参考答案
1．B 2.B 3.8 4.2 3 5.C
6．(1)△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD；
(2)四边形AODE是菱形．理由略．
7．略。
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形课时同步练习题.doc
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】 3.8 圆内接正多边形 1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4) 2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:14.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 5． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．第5题图 第6题图6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．OB C D A E F E D C BA O8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ． 9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。
2020-2021学年北师大版九年级数学下册：3.8圆内接正多边形-同步测试
北师大版九年级数学下册第三章 3.8 圆内接正多边形同步测试(原卷版)一．选择题1.下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形2．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD3.正八边形的中心角是（）A．45° B．135° C．360° D．1080°4.已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3√3 B．9√3 C．18√3 D．36√35．下列说法错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆内接四边形的对角互补C．任意三角形都有一个外接圆 D．正n边形的中心角等于6．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π7.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A．3 B．2√2 C．3√2 D．69．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（）A．83°B．84°C．85°D．94°10．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连结AC，AE，则的值是（）A．B．C．D．二．填空题11.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 .12．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝．13．如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S 1，平行四边形的面积记为S2，则的值为．14.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为_______cm2.15．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是16．如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE＝CD，DB的延长线交AE于点F，则图1中∠AFB的度数为；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为．（用n 的代数式表示，其中，n≥3，且n为整数）三.解答题17.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．18．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF，若⊙O的半径为2，求：阴影部分（弓形）的面积．（结果保留π）19．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P 和面积S．20.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？21．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．22．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D 两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t＝s时，四边形PBQE为菱形；②当t＝s时，四边形PBQE为矩形．23．如图1，2，3，…，n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON. (1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是_______；图3中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．北师大版九年级数学下册第三章 3.8 圆内接正多边形同步测试(解析版) 一．选择题360360，n2．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴点O是△ACD的外心，故选：D．3.正八边形的中心角是（）A．45° B．135° C．360° D．1080°解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故选A．4.已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3√3 B．9√3 C．18√3 D．36√3解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2√3，高为3，因而等边三角形的面积是3√3，∴正六边形的面积=18√3，故选C．5．下列说法错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆内接四边形的对角互补C．任意三角形都有一个外接圆 D．正n边形的中心角等于解：A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，∴选项A符合题意；B、∵圆内接四边形的对角互补，∴选项B不符合题意；C、∵任意三角形都有一个外接圆，∴选项C不符合题意；D、∵正n边形的中心角等于，∴选项D不符合题意；故选：A．6．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB ＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．7.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°解：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=12×（180°-150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED=(180°−120°)÷ 2 =30°，∴∠BED=15°+30°=45°．故选B8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A．3 B．2√2 C．3√2 D．6解：如图所示：⊙O的半径为3，∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC=2×3=6，∵222AB BC AC，AB=BC，∴22AB BC=36，解得：AB=3√2，即⊙O的内接正方形的边长等于3√2，故选C．9．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（）A．83°B．84°C．85°D．94°解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：B．10．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连结AC，AE，则的值是（）A．B．C．D．解：连接AG、GE、EC，如图所示：在正八边形ABCDEFGH中，AB＝BC＝AH＝HG，∠B＝∠H＝135°，∴△ABC≌△AHG（SAS），∴AC＝AG，同法可得AC＝CE＝EG，∴AC＝CE＝EG＝AG，∴四边形ACEG是菱形，∵∠BAC＝∠GAH＝22.5°，∠BAH＝135°，∴∠CAG＝135°﹣22.5°﹣22.5°＝90°，∴四边形ACEG为正方形，∴∠CAE＝45°，∴＝sin45°＝，故选：A．二．填空题11.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 .解：∵一个正多边形的一个外角为60°，∴360°÷60°=6，∴这个正多边形是正六边形，设这个正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，r，∴内切圆的半径是正六边形的边心距，即是2：2．12．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝．解：∵S正六边形＝6וa2＝a2，S空白＝2ו•a••a＝a2，∴S阴＝a2，∴．故答案为13．如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S 1，平行四边形的面积记为S2，则的值为．解：如图，则S阴影＝2（S△BEF+S四边形FGMN），设正六边形的边长为a，由于正六边形的存在，所以∠BEF＝60°，则可得BE＝EF＝2a，BC＝4a，AB＝3a，则在Rt△BEF中可得其高EP＝a，同理可得FQ＝a，∴S1＝2（S△BEF+SFGMN）＝2（•BF•EP+FG•FQ）＝2（•2a•a+a•a）＝3a2，而S2＝BC•h＝4a•a＝6a2，∴＝，故答案为：．14.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为_______cm2.解：连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：，∴∠HGM=45°.∴MH=MG.设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=2x，∴BG×GF=2（2+1）x2=20，四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（2+1）x2=10，∴正八边形的面积为：10×2+20=40（cm2）.15．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是解：设正六边形的边长为a，如图所示，则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为．如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；∵△ABC是等边三角形，BC=2a，∴BD=a，由勾股定理得，AD===a，∴S3=S△ABC=BC•AD=×2a×a=a2≈1.73a2．如图（2），∵四边形ABCD是正方形，∴AB=，∴S4=S□ABCD=AB2=×=a2≈2.25a2．如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴∠BOG=30°，OG===a．∴S△BOC=×a×a=a2，∴S6=6S△BOC=6×a=a2≈2.59a2．∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．∴S6＞S4＞S3．16．如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE＝CD，DB的延长线交AE于点F，则图1中∠AFB的度数为60°；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为．（用n的代数式表示，其中，n≥3，且n为整数）解：（1）在正△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°∴∠ABE＝∠BCD＝120°，又∵BE＝CD，∴△ABE≌△BCD，∴∠E＝∠D又∵∠FBE＝∠CBD，∴∠AFB＝∠E+∠FBE＝∠D+∠CBD＝∠ACB＝60°（2）由以上不难得：△AEB≌△BDC进一步证出，△BEF∽△BDC，得出，∠AFB的度数等于∠DCB＝90°，同理可得：∠AFB度数为108°（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为．故填：60°；．三.解答题17.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．解：连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，∴AÊ=AF̂=BÊ=BĈ=FĈ，∴AE=AF=BE=BC=FC，∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．∴五边形AEBCD为正五边形．18．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF，若⊙O的半径为2，求：阴影部分（弓形）的面积．（结果保留π）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的面积为π×22＝4π，∵空白正六边形为六个边长为2的正三角形，∴每个三角形面积为×2×2×sin60°＝，∴正六边形面积为6，∴阴影面积为（4π﹣6）×＝π﹣，19．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA＝OB，∴AM＝AB＝a，∵边心距为r，∴正n边形的半径R＝＝＝；∴周长P＝na；∴面积S＝nS＝n×a×r＝nar．△OAB20.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=AM :AB ，∴AM=6（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=12 AC，∴cm）．扳手张开的开口b至少为cm.21．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OF，AO，∵AB＝AF＝EF，∴＝＝，∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，∴FG是⊙O的切线；（2）解：∵＝＝，∴∠AOF＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°，∵FG＝2，∴AF＝4，∴AO＝4，∵AF∥BE，∴S△ABF ＝S△AOF，∴图中阴影部分的面积＝＝．22．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D 两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t＝ 2 s时，四边形PBQE为菱形；②当t＝0或4 s时，四边形PBQE为矩形．（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t＝2s．②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°，∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形．故答案为2s，0s或4s．23．如图1，2，3，…，n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是_______；图3中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．解：(1)连接OB、OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°，又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°(2)90°72°(3)∠MON＝360°n。
北师大版九年级数学下《3.8圆内接正多边形》同步习题含答案
北师大版九年级数学下册第三章圆 3.8 圆内接正多边形同步习题一、选择题 (9 分×3＝27 分 )1．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()6 3 6 4A. 2B. 4C. 3D.32．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是 ()A．S3＞S4＞S6B．S6＞S4＞S3C．S6＞S3＞S4D．S4＞S6＞S33．如图，△ PQR 是⊙ O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙ O 的内接正方形， BC∥QR，则∠ AOQ 的度数为 ()A．60° B．65°C．72° D．75°二、填空题 (9 分×2＝18 分 )4．点 M 、N 分别是正八边形相邻的边 AB 、BC 上的点，且 AM ＝BN，点O 是正八边形中心，则∠MON ＝____________．,第 4 题图),第 5 题图)5．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形 BCFG 的面积为 20cm2，则正八边形的面积为 _______cm2.三、解答题 (17 分＋ 18 分＋ 20 分＝ 55 分)6．学习完正多边形和圆后，在师生共同小结与概括时，下边有几位同学谈了自己的想法．针对以上三位同学的建议，说说自己的想法．7．如图，已知 l 是⊙ O 的切线，切点为 A，点 B 在⊙ O 上，BC 交⊙ O 于 E，交直线 l 于 C，OC 交⊙ O 于 F，且 AB ＝AO＝AC.一起学经过丈量猜想，EF 为⊙ O 的内接正二十四边形的一边，你以为他的猜想正确，请你证明；若你以为他的猜想不正确，请说明原因．8．如图 1，2，3，，n，M 、N 分别是⊙ O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形 ABCDE ，，正 n 边形 ABCDE的边AB、BC上的点，且 BM ＝CN，连结 OM 、ON.(1)求图 1 中∠ MON 的度数；(2)图 2 中∠MON 的度数是 _______；图 3 中∠ MON 的度数是 ________；(3)尝试究∠ MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系 (直接写出答案 )．答案：1. A2. B3. D4.45°5.406.解：矩形不必定是正多边形，由于其各边不必定都相等，菱形不必定是正多边形，由于其各角不必定相等，正方形是正多边形；圆内接菱形是正方形，由于菱形各边相等，且各边所对的弧也相等，可推出其各内角也都相等；正多边形是轴对称图形，但不必定是中心对称图形．7.解：猜想正确．证明：连结 OE.∵AB ＝AO ＝AC ，又 OB＝OA ，∴△ OAB 为等边三角形，∴∠ OAB ＝60°，由 l 切⊙O 于 A 得 OA⊥l ，∴∠ ABC ＝∠ACB ＝15°，∴∠ AOE＝30°，由 OA ＝CA，OA⊥AC 得∠A OC＝45°，360°∴∠ EOF＝15°，而＝24，15°故 EF 为⊙O 的内接正二十四边形的一边．8.解：(1)连结 OB、OC.∵正△ ABC 内接于⊙ O，∴∠ OBM ＝∠ OCN＝30°，∠BOC＝120°，又∵ BM ＝CN，OB ＝OC，∴△ OBM ≌△ OCN，∴∠ BOM＝∠ CON，∴∠ MON ＝∠ BOC＝120°(2)90 ° 72°360°(3)∠MON ＝n。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步练习题(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步练习题（附答案）1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（）A．45°B．38°C．36°D．30°2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．2π﹣4B．4π﹣4C．8π﹣4D．16π﹣43．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°4．正六边形的半径与边心距之比为（）A．B．C．D．5．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°6．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（）A．3B．4C．5D．67．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CDB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．下列判断中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．正八边形的每个内角都是145°C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形10．正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为（）A．1B．2C．3D．611．有一边长为的正三角形，则它的外接圆的面积为（）A．B．C．4πD．12π12．有一个一底面为正六边形的油缸，若要剪一张圆形的纸板完全盖住油缸的上口，已知正六边形边长为2cm，这个圆形纸板的最小半径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．都不对13．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．14．若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是．15．正六边形的半径为3，它的边长是，它的中心角是，它的面积是．16．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为cm2．17．两个边长相等的正五边形如图所示放置，则∠α的度数为．18．某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝除、无重叠的铺满整个客厅，如图所示，已知点A周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为．19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交于E点，连接BE，求∠ABE的度数．20．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧BC上（不与B、C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若正方形ABCD的边长为2cm，求⊙O的半径及阴影部分的面积．21．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半径．参考答案1．解：在正五边形ABCDE中，∠B＝×（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣108°）＝36°．故选：C．2．解：连接OC、OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠COB＝90°，∠OCB＝45°，∴OC＝CB cos45°＝4×＝2．所以阴影部分的面积＝（S⊙O﹣S正方形ABCD）÷4＝π×（2）2﹣4×4]÷4＝2π﹣4．故选：A．3．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．4．解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故选：D．5．解：连接AC、GE、EC，如图所示：则四边形ACEG为正方形，∴∠EAG＝45°，故选：C．6．解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，∴这个多边形的中心角＝60°，∴＝60°，∴n＝6，故选：D．7．解：由题意可得：边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选：C．8．解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BOC＝＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°，故选：D．9．解：A、矩形的对角线互相平分且相等；故错误；B、正八边形的每个外角是360°÷8＝45°，内角180°﹣45°＝135°，故错误；C、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故错误；D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；故选：D．10．解：∵正六边形的周长是6，∴其边长＝＝1．∵正六边形的边长与其外接圆半径恰好组成等边三角形，∴它的外接圆半径是1．故选：A．11．解：∵正三角形的边长为3，∴其外接圆的半径为2÷cos30°×＝2，∴其面积为4π．故选：C．12．解：边长是2cm的正六边形，则正六边形的半径是2cm，因而这个圆形纸片的最小半径是2cm．所以这个圆形纸板的最小半径是2cm，故选：B．13．解：∵正方形的边长为2，∴圆的半径为，∴阴影部分的面积：＝＝，故选：B．14．解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC，∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝8，AB＝BC＝AC＝4，故答案为：4．15．解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝×360°＝60°，∴中心角是：60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，∴它的边长是3；在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝3×＝，∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××3×＝．故答案为：3，60°，．16．解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，∴OA＝OB＝AB＝2cm，∴OH＝OA•cos30°＝2×＝3（cm），∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××＝18（cm）2．故答案为：18．17．解：正五边形的内角的度数为：＝108°，∴∠ABC＝∠BCD＝∠GBE＝∠BEF＝108°，∴∠BCE＝∠BEC＝180°﹣108°＝72°，∴∠CBE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠α＝360°﹣108°﹣108°﹣36°＝108°，故答案为：108°．18．解：正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，因此第三块地砖的每一个内角为：360°﹣120°﹣90°＝150°，设第三快地砖的边数为n，则有，＝150°，解得，n＝12，故答案为：12．19．解：如图，连接OA、OD，∵四边形ABCD是圆内接正方形，∴∠AOD＝＝90°，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠AOE＝∠AOD＝×90°＝45°，∴∠ABE＝∠AOE＝×45°＝22.5°．20．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC+∠BAC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣45°＝135°；（2）连接OC、OD，则OC＝OD，∵正方形ABCD为⊙O的内接四边形，∠COD＝90°，在Rt△COD中，OC＝CD＝，阴影部分的面积＝﹣××＝﹣1．21．解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝，∴cos30°＝＝＝，解得：BO＝2，即⊙O的半径为2cm．。
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课时作业(二十八)[第三章 8 圆内接正多边形]一、选择题1．2017·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形2．2017·滨州若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为链接听课例1归纳总结( )A. 2 B ．2 2 C.22D ．1 3．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A.22 B.32C. 2D. 3 4．若正六边形的两条平行边相距12 cm ，则它的边长为() A ．6 cm B ．12 3 cmC ．4 3 cm D.5 32cm5．2017·慈溪市期末如图K －28－1，A ，B ，C 三点在⊙O 上，AB 是⊙O 内接正六边形的一边，BC 是⊙O 内接正十边形的一边，若AC 是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 等于( )图K －28－1A ．12B ．15C ．18D ．206．如图K －28－2，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，那么下列说法错误的是( )链接听课例1归纳总结图K －28－2A ．∠BAC ＝30° B.AC ︵＝BC ︵C．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长二、填空题7．2017·邗江区一模如图K－28－3，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a 应是________.链接听课例2归纳总结图K－28－38．正六边形的面积是18 3，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为________．9．如图K－28－4，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON的度数为________．图K－28－410．2017·广东模拟为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图K－28－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为________．图K－28－5三、解答题11．已知：如图K－28－6，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．图K－28－612．2018·平房区二模如图K－28－7，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N.(1)求证：AE＝BF；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△ABM全等的三角形．图K－28－713．用一个长60米的篱笆围成一个羊圈，分别计算所围羊圈是正三角形、正方形、正六边形、圆时的面积(结果精确到1平方米)．(1)比较这些面积的大小；(2)归纳出周长相等的正多边形、圆面积大小的规律(不需证明)．探究题(1)如图K－28－8①所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，求∠MON的度数；(2)M，N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，则图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________MON的度数是________．图K－28－8详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析] A ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.2．[解析] A 如图所示，E为切点，连接OA，OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE＝22OA＝ 2.故选A.3．[解析] A 如图①，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；图①如图②，图②∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图③，图③∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝3，则该三角形的三边长分别为1，2， 3.∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.4．[解析] C 两条平行边相距12 cm ，即可得边心距为6 cm ，从而可得正六边形的边长为4 3 cm.5．[解析] B 连接OC ，OA ，OB ， ∵AB 是⊙O 内接正六边形的一边， ∴∠AOB ＝360°÷6＝60°.∵BC 是⊙O 内接正十边形的一边， ∴∠BOC ＝360°÷10＝36°，∴∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝60°－36°＝24°， ∴n ＝360°÷24°＝15. 故选B.6．[解析] A ∵OA ＝OB ，OA ＝AB ，∴OA ＝AB ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°.显然∠BAC ＝12∠BOC ＝14∠AOB ＝14×60°＝15°.故选项A 说法错误．∵OC ⊥AB ，∴AC︵＝BC ︵，故选项B 说法正确．易知△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，以AB 为一边正好可以构成正六边形，故选项C 说法正确．∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝30°，360°30°＝12，∴弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长，故选项D 说法正确．故选A.7．[答案] 2 3 cm[解析] 过正六边形的中心O 作一边的垂线，垂足为B ，连接OA . 则∠O ＝30°，AB ＝1 cm ， ∴OB ＝ABtan30°＝ 3 cm ，∴a ＝2OB ＝2 3 cm. 故答案为2 3 cm.8．[答案] 3π[解析] 如图所示，设正六边形的边长为a ， ∵正六边形的面积是18 3， ∴△OAB 的面积是3 3，即12AB ·OA ·sin60°＝3 3，12a 2·32＝3 3， ∴a ＝2 3，∴OD ＝OA ·sin60°＝2 3×32＝3， ∴S 圆环＝S 外接圆－S 内切圆＝π×(2 3)2－π×32＝12π－9π＝3π. 9．[答案] 45°[解析] 连接OA ，OB ，OC .∵正八边形是中心对称图形， ∴中心角为360°÷8＝45°，∴∠OAM ＝∠OBN ＝180°－45°2＝67.5°.∵OA ＝OB, ∠OAM ＝∠OBN ，AM ＝BN ， ∴△OAM ≌△OBN ， ∴∠AOM ＝∠BON ， ∴∠MOB ＝∠NOC .∵∠AOC ＝∠AOM ＋∠MOB ＋∠BON ＋∠NOC ＝90°，∴∠MON ＝∠MOB ＋∠BON ＝12(∠AOM ＋∠MOB ＋∠BON ＋∠NOC )＝12∠AOC ＝45°.10．[答案] 2a 2[解析] △ABC 是等腰直角三角形，且AB ＝a ，则AC ＝BC ＝22a ，则S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×2a 2·2a 2＝a 24，中间的正方形的面积是a 2，则阴影部分的面积是4×a 24＋a 2＝2a 2.11．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ACE ＝∠ECB ＝∠BAC ＝36°， ∴AE ︵＝EB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵，即点A ，E ，B ，C ，D 把⊙O 五等分， ∴五边形AEBCD 是正五边形．12．解：(1)证明：∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴AF ＝FE ＝BA ，∠AFE ＝∠BAF .在△AFE 与△BAF 中，∵AF ＝BA ，∠AFE ＝∠BAF ，FE ＝AF ， ∴△AFE ≌△BAF ，∴AE ＝BF .(2)与△ABM 全等的三角形有△DEN ，△FEM ，△CBN . ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝FE ，∠BAF ＝∠AFE ＝120°， ∴∠ABM ＝∠FAE ＝30°， ∴∠BAM ＝90°.同理可得∠DEN ＝30°，∠EDN ＝90°， ∴∠ABM ＝∠DEN ，∠BAM ＝∠EDN .在△ABM 和△DEN 中，∵∠BAM ＝∠EDN ，AB ＝DE ，∠ABM ＝∠DEN ， ∴△ABM ≌△DEN .同理可证明△FEM ≌△ABM ，△CBN ≌△ABM .13．解：①当所围羊圈是正三角形时，其边长为20米，S 正三角形＝12×20×10 3＝100 3≈173(米2)；②当所围羊圈是正方形时，其边长为15米， S 正方形＝152＝225(米2)；③当所围羊圈是正六边形时，其边长为10米，S 正六边形＝6×12×10×10 32＝150 3≈260(米2)； ④当所围羊圈是圆形时，其半径为30π米，S 圆＝π·(30π)2＝900π≈286(米2)． (1)S 正三角形<S 正方形<S 正六边形<S 圆．(2)周长相等的正多边形中，边数越多，其面积越大，圆可以近似看成是边数无穷多的正n 边形，因而圆的面积最大．[素养提升]解：(1)连接OB ，OC .∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝120°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠OBA ＝30°.又∵BM ＝CN ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠MOB ＝∠NOC ，∴∠MON＝∠。