北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案【精编】.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案
2022-2023学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（每题2分，共16分）1. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( ) x 220x x m -+=0m A. 2 B. 1C. 0D.1-【答案】C 【解析】【分析】将代入方程，即可求解．0x =220x x m -+=【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， x 220x x m -+=0∴， 0m =故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键． 0x =2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 正五边形 【答案】A 【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A 、是中心对称图形，本选项正确； B 、不是中心对称图形，本选项错误； C 、不是中心对称图形，本选项错误； D 、不是中心对称图形，本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图形重合．3. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） 22(4)6y x =-+A. 有最大值4 B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6 【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数22(4)6y x =-+有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， 22(4)6y x =-+∴函数有最小值为6． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球【答案】A 【解析】【分析】列出摸出的三个球的颜色的所有可能情况即可．【详解】根据题意可得，摸出的三个球的颜色可能为：两个白球，一个黑球；一个白球，两个黑球；三个黑球，则可知摸出的三个球中，至少有一个黑球， 故必然事件是至少有一个黑球， 故选：A ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A. 180（1﹣x）2=461B. 180（1+x ）2=461C. 368（1﹣x）2=442D. 368（1+x ）2=442【答案】B 【解析】【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x ，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程：180（1+x ）2=461， 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．6. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D 在圆上，且， 则O AB AC 30ADC ∠=︒O 的半径为（ ）A. B. 5C. D.2.57.510【答案】B 【解析】【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解． BC 30ABC ADC ∠=∠=︒Rt ACB 【详解】连接,BC30ABC ADC ∴∠=∠=︒在中，是直径， O AB ，90ACB ∴∠=︒在中，Rt ACB ，，90ACB ∠=︒30ABC ∠=︒5AC =210AB AC ==5OA =故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含30︒直角三角形的性质是解题的关键．30︒7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC ，BD 分别与⊙O 切于点C ，D ，延长AC ，BD 交于点P ．若，⊙O 的半径为6cm ，则图中的120P ∠=︒ CD长为（ ）A. π cmB. 2π cmC. 3π cmD. 4π cm【答案】B 【解析】【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和90OCP ODP ∠=∠=︒求得，再利用弧长公式求得答案． 60COD ∠=︒【详解】连接OC 、OD ，分别与相切于点C ，D ，,AC BD Q O ∴，90OCP ODP ∠=∠=︒，120360P OCP ODP P COD ∠=︒∠+∠+∠+∠=︒， ∴，60COD ∠=︒的长， CD∴6062(cm)180ππ⨯==故选：B【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．8. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为ABCD O 20cm cm x ，阴影部分的面积为．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，cm y 2cm S 则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A. 一次函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，二次函数关系 C .二次函数关系，二次函数关系D. 二次函数关系，一次函数关系【答案】B 【解析】【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据152y x π=-+得到，由此即可得到答案．S S S =-阴影正方形圆2215254S x x πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边ABCD O 20cm cm x 长为， cm y ∴， 4220y x π+=∴， 152y x π=-+∵，S S S =-阴影正方形圆∴，22222211552524S y x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选B ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 二、填空题 (每题2分，共16分）9. 在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为xOy 245y x x =-+_________． 【答案】 (0,5)【解析】【分析】令，代入抛物线，得到点C 的纵坐标，即可得解． 0x =245y x x =-+【详解】解：依题意，令，得到，0x =5y =故抛物线与y 轴交于点C 的坐标为， 245y x x =-+(0,5)故答案为 ：(0,5)【点睛】本题考查了二次函数与y 轴交点问题，令，即可得到抛物线与y 轴交点的纵0x =坐标． 10. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线2112y x =+的解析式为_______． 【答案】 21(1)22y x =+-【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 2112y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 ()211132y x =++-即 ()21122y x =+-故答案为：． ()21122y x =+-【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．11. 请写出一个常数c 的值，使得关于x 的方程有两个不相等的实数根，则220x x c ++=c 的值可以是____________．【答案】0，（答案不唯一，即可）． 1c <【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 220x x c ++=所以 2Δ240c =->解得1c <故答案为：0，（答案不唯一，即可）1c <【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵）87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）【答案】0.9【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，故答案为：0.9．【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．【答案】（2，﹣1）【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．14. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D ，连接CD ．若∠B=50°，则∠OCD 的度数等于___________．【答案】20°##20度 【解析】【分析】连接OA ，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD 的度数．【详解】解：连接OA ，如图，∵AB 切⊙O 于点A ， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， ∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°， ∴∠ADC=∠AOB=20°， 12∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°． 故答案为：20°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所12=围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米120︒．）21.73≈【答案】 8.92【解析】【分析】由题意可知于D ，交圆弧于C ，由题意得米，解得OC AB ⊥4AO =120AOB ∠=︒米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得122OD OA ==CD AD AB 出结果．【详解】解：如图，由题意可知，，，（米），120AOB ∠=︒AB CD ⊥4OA OB ==， 30,90DAO ADO ∴∠=︒∠=︒12AD BD AB ==（米）122OD OA ∴==（米）422CD OC OD ∴=-=-=AD ∴===（米）2AB AD ∴==弧田面积 ∴()212AB CD CD =⨯+()21222=⨯+2=+（平方米）8.92≈故答案为：8.92【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O ，在矩形外有一点P ，，,4,2ABCD AB AD ==3OP =当矩形绕着点O 旋转时，则点P 到矩形的距离d 的取值范围为__________．【答案】 32d ≤≤【解析】【分析】根据题意分别求出当过的中点E 时，此时点P 与矩形上所有点的OP AB ABCD 连线中，；当过顶点A 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，；d PE =OP ABCD d PA =当过顶点边中点F 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，，即OP AD ABCD d PF =可求解．【详解】解：如图，当过的中点E 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，OP AB ABCD ，， d PE =112OE AD ==∴；2d PE OP OE ==-=如图，当过顶点A 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，，OP ABCD d PA =矩形，中心为O ，,4,2ABCD AB AD ==∴，2,90BC AD B ==∠=︒∴， AC ==∴ 12OA AC ==∴；3d AP OP OA ==-=-如图，当过顶点边中点F 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，OP AD ABCD ，， d PF =122OF AB ==∴；1d PF OP OF ==-=综上所述，点P 到矩形的距离d 的取值范围为．32d ≤≤故答案为：32d ≤≤【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d 的值是解题的关键．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在上．O 求作：的切线．O AB作法： ①作射线；OA ②以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C 和点D ；OA ③分别以点C ，D 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B ； 12CD ④作直线．AB 则直线即为所求作的的切线.AB O 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接，．BC BD 由作图可知，， ．AC AD =BC =∴ ．BA OA ∵ 点A 在上，O ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．AB O 【答案】（1）见解析；（2）；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．BD ⊥【解析】【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；（2）结合作图，完成证明过程即可．【小问1详解】补全图形如图所示，【小问2详解】证明：连接，．BC BD由作图可知，，．AC AD =BC BD =∴，BA OA ⊥∵ 点A 在上，O ∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，AB O 故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线BD ⊥【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．18. 如图，是的直径，弦于点E ，，若，求的AB O CD AB ⊥2CD OE =4AB =CD 长.【答案】.CD =【解析】【分析】由垂径定理得到，推出，在中，利用勾股定理即CE DE =CE OE =Rt COE △可求解.【详解】解：如图，连接． OC∵是的直径，弦于点E ，AB O CD AB ⊥∴．CE DE =又∵，2CD OE =∴．CE OE =∵，4AB =∴．2OC =在中，，Rt COE △222CE OE OC +=∴CE =∴．CD =【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．19. 下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，2240x x p --=()0p >解答下面的问题．2240x x p --=解：移项，得：．①224x x p -=二次项系数化为1，得：．② 222p x x -=配方，得．③ 2212p x x -+=即. 2(1)2p x -=∵，0p >∴ 1x -=∴ 11x =+11x =（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．【答案】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（2）不正确，解答从第③步开始出错， 1x =2x =【解析】【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【小问1详解】等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；【小问2详解】不正确，解答从第③步开始出错，正确的步骤为：配方，得．③ 22112p x x -+=+即 22(1)2p x +-=∵，0p >∴．④ 1x -=∴．⑤ 1x =2x =此方程的解为． 1x =2x =【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．20. 如图，已知抛物线L ：y ＝x 2+bx+c 经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．（1）求b ，c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．求点M 的坐标；【答案】（1），；（2）交点M 的坐标为（2，-3）．4b =-5c =-【解析】【分析】（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式，求解方程组即可；（2）设直线AB 的解析式为：，将点A 、点B 坐标代入函数解析式求解确()0y kx b k =+≠定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M 的坐标．【详解】解：（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：， 50255c b c -=⎧⎨=++⎩解得：， 45b c =-⎧⎨=-⎩∴，；4b =-5c =-（2）设直线AB 的解析式为：，()0y kx b k =+≠将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：， 505b k b-=⎧⎨=+⎩解得：， 15k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为：，5y x =-由（1）得二次函数解析式为：，245y x x =--对称轴为：， 22b x a=-=直线与的交点为M ，5y x =-2x =∴当时，，2x ==3y -∴交点M 的坐标为（2，-3）．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点(每A B O 个小正方形的顶点叫做格点)．（1）作点关于点的对称点；A O 1A （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点为，1AB 1A B 1A 90︒11A B B 1B 画出旋转后的线段；11A B （3）连接，，求出的面积（直接写出结果即可）．1AB 1BB 1ABB 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）8【解析】【分析】（1）根据网格的特点作出点关于点的对称点；A O 1A（2）根据题意，画出旋转后的线段，即可求解；11A B （3）根据网格的特点，以及三角形面积公式求得面积即可求解．【小问1详解】解：如图所示，点即为所求；1A 【小问2详解】解：如图所示，线段即为所求；11A B 【小问3详解】解：如图所示，． 118282ABB S =⨯⨯= 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，网格中求三角形面积，数形结合是解题的关键．22. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A ，B ，C ，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率． 【答案】 13【解析】【分析】先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出小明和小亮选择相同模块的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画树状图如下：由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，小明和小亮选择相同模块的结果有3种． 则小明和小亮选择相同模块的概率为， 3193P ==答：小明和小亮选择相同模块的概率为． 13【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．23. 已知关于x 的一元二次方程． ()22120x m x m +++-=（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）见解析 （2），m =122,1x x =-=【解析】【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；（2）求出判别式的值最小时的m 的值，再解一元二次方程即可．【小问1详解】证明：∵，22(21)4(2)49m m m ∆=+-⨯-=+∵，20m ≥∴．2Δ490m =+>∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由题意可知，当时，的值最小．0m =249m ∆=+将代入，得0m =2(21)20x m x m +++-=220x x +-=解得：．122,1x x =-=【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．24. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：y m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两x 2()y a x h k =-+(0)a <次投掷．（1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：x y 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10竖直距离y/m 1.67 2.632.95 2.63 1.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；2()y a x h k =-+(0)a <（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离近似满足函数关系x ．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点20.09( 3.8) 2.97y x =--+1d 的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)．2d 1d 2d 【答案】（1），2.9520.08(4) 2.95y x =--+（2）＞【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 和，然后进行比较即可．1d 2d 【小问1详解】解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为， (42.95)，所以实心球竖直高度的最大值为，2.95设抛物线的解析式为：，2(4) 2.95y a x =-+将点代入，得， (01.67)，1.67162.95a =+解得，0.08a =-∴抛物线的解析式为：；20.08(4) 2.95y x =--+【小问2详解】解：第一次抛物线解析式为，20.08(4) 2.95y x =--+令，得到（负值舍去）， 0y =4x =+第二次抛物线的解析式为，20.09( 3.8) 2.97y x =--+令，得到（负值舍去）0y = 3.8x =+， 4 3.8+>+ ，12d d ∴>故答案为：>【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25. 如图，点在以为直径的上，平分交于点D ，交于点E ，C AB O CD ACB ∠O AB 过点D 作交F ．DF AB CO（1）求证：直线是的切线；DF O（2）若°，DF 的长．30A ∠=AC =【答案】（1）见解析 （2） FD =【解析】【分析】（1）连接，证明可得结论；OD DF OD AB OD ⊥⊥，，（2）再中，，，得到，，再在Rt ACB △30A ∠=︒AC =4AB =2OD =Rt ODF △中，由，继而求得；60F ∠=︒FD 【小问1详解】证明：连接． OD∵ 是的直径，平分，AB O CD ACB ∠ AD DB∴=∴ .90AOD BOD ∠=∠=︒又∵ ，FD AB ∥∴ ．90ODF BOD ∠=∠=︒即 ．OD DF ⊥∴ 直线为的切线．DF O 【小问2详解】解：∵ 是的直径，AB O ∴．90ACB ∠=︒又∵，，30A ∠=︒AC =∴ ．4AB =∴ ．2OD =∵ ，AO CO =30ACO A ∴∠=∠=︒∴ .60COB A ACO ∠=∠+∠=︒∵ ，DF AB ∴ ,60F ∠=︒，30FOD ∴∠=︒设则，,FD x =22OF FD x ==又，2OD =在中，由勾股定理得：，Rt ODF △22224x x +=解得：， x =故 FD =【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．26. 已知二次函数． ()2430y ax ax a =-+≠（1）求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．（2）已知点都在该二次函数图象上，()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）；1y 2y 1y 2y >=<②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．1y 2y 3y 4y 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为，对称轴()0,32x =（2）①； ② =3154a -≤<-【解析】【分析】（1），可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可0x =求解；（2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点()()12,3,1,y y 2x =在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：()()()2341,,,1,2,y y y --()13,y 当时，当时，即可求解．0a >a<0【小问1详解】解：令，则，0x =3y =∴抛物线与y 轴交点的坐标为 ．()0,3对称轴． 422a x a-=-=【小问2详解】解：① ∵函数图象的对称轴为直线，2x =∴点关于直线对称，()()12,3,1,y y 2x =∴，12y y =故答案为：；=②∵函数图象的对称轴为直线，，2x =3112>>->-∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧．()()()2341,,,1,2,y y y --()13,y 当时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，0a >∴，不合题意．1234y y y y =<<当时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，则，a<01234y y y y =>>，，，四个函数值可以满足，1y 2y 3y 4y 12340y y y y >=≥>∴，340,0y y ≥<即当时，，当时，．=1x -3430y a a =++≥2x =-44830y a a =++<解得 ． 3154a -≤<-【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．27.如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，ABC 90ACB AC BC ∠=︒=，D AC 连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，BD BD D 90︒DE E EFAC ⊥F 连接． AE（1）依题意补全图形；（2）比较与的大小，并证明；AF CD （3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量BE G BE CG CD CG BC ，，关系，并证明．【答案】（1）见解析 （2），见解析AF CD =（3），见解析BC CD =【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；（2）根据旋转的性质以及等腰直角三角形可以得到全等三角形，再根据全等三角形的性质即可求出结论；（3）根据题意画出已知图形，再根据图形得到全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结论．【小问1详解】解：补全图形如图所示【小问2详解】解：，理由如下：AF CD =∵EF AD ⊥∴90EFD ∠=︒∵90ACB ∠=︒∴EFD BCD ∠=∠∵90ACB ∠=︒∴90CBD CDB ∠∠=︒＋由题意可知，90BDE ∠=︒∴90EDF BDC ∠∠=︒＋∴EDF CBD ∠=∠在和中EFD △DCB △EDF CBD EFD DCB ED BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌EFD △()AAS DCB ∴EF CD DF BC ==，∵BC AC =∴AC DF =∴AF CD =【小问3详解】解： 理由如下：BC CD =连接，DGFG∵ ，为的中点，DE BD =G BE 90BDE ∠=︒∴EG BG DG ==，90DGB ∠=︒∵90EFD DGE ∠=∠=︒∴GEF CDG ∠=∠在和中EFG DCG △EF DC GEF CDG EG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌ EFG SAS DCG （）∴，FG CG =EGF DGC ∠=∠∴90EGF EGC DGC EGC ∠+∠=∠+∠=︒即90CGF ∠=︒∴为等腰直角三角形CGF △∴CF =∵ ，BC AC AF CF ==+AF CD ＝∴BC CD =+【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等相关知识点，掌握全等三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M 绕直线上某一点P 顺时xOy 3x =针旋转，再关于直线对称，得到图形N ，我们称图形N 为图形M 关于点P 的二次90︒3x =关联图形．已知点．()0,1A （1）若点P 的坐标是，直接写出点A 关于点P 的二次关联图形的坐标________；()3,0（2）若点A 关于点P 的二次关联图形与点A 重合，求点P 的坐标（直接写出结果即可）；（3）已知的半径为1，点A 关于点P 的二次关联图形在上且不与点A 重合． O O 若线段，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时 P 点1AB =O 坐标及点B 的纵坐标的取值范围．B y 【答案】（1）()2,3（2）()3,2-（3），， ()3,3-12102B y ≤≤【解析】【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D ，可A 'A ''A 'A D x '⊥证得，从而得到，即可求解；AOP PDA ' ≌1,3OA PD OP A D '====（2）根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，过点P 作轴于点PE y ⊥E ，过点作轴交延长线于点F ，坐标为m ，表达点的坐标，可得出结论；A 'A F x '⊥EP A '（3）由（2）可知，点的坐标，由A 关于点P 的二次关联图形在上且不与点A 重合A ''O 可得出点的坐标，由线段，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及A ''1AB =O 其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B 的坐标，即可得出的取值B ''B ''B y 范围．【小问1详解】如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D ，A 'A ''A 'A D x '⊥∴90A DP AOP '∠=∠=︒由旋转可知，，90,APA AP A P ''∠=︒=∴，90APO A PD A PD PA D '''∠+∠=∠+=︒∴，APO PA D '∠=∠∴，()AAS AOP PDA ' ≌∴，1,3OA PD OP A D '====∴，()4,3A '∵点和关于直线对称，A 'A ''3x =∴点，()2,3A ''即点A 关于点P 的二次关联图形的坐标为；()2,3故答案为：()2,3【小问2详解】解：根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，如图，过点P 作轴于点E ，过点作轴交延长线于点F ，PE y ⊥A 'A F x '⊥EP由（1）得： ，AEP PFA ' ≌∴，1,3AE PF m EP A F '==-==∴，()4,3A m m '-+根据题意得：点A 和点关于直线对称，A '3x =∴，46m -=解得：，2m =-∴点P 的坐标为，()3,2-【小问3详解】解：设点P 的纵坐标为n ，由（2）得：，()4,3A n n '-+∴，()2,3A n n ''++∵在上，A ''O ∴，()()22231n n +++=解得：（舍去）或，2n =-3-∴点P 的坐标为，()3,3-∵，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，1AB =AB O 此时点是一个临界点，连接，如图， B ''OB∵，1OA A B OB ''''''''===∴是等边三角形，OA B '''' 过点作轴于点M ，则， B ''B M x ''⊥12A M OM ''==∴ B M ''=∴， 1,2B ⎛''- ⎝∴， 13,2B ⎛' ⎝∴， 12B ⎫⎪⎭由对称性得：另一个点的坐标为， 12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴的取值范围为． B y 102B y ≤≤【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．。
初中数学东城区初三上期末数学考试卷.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:已知，则锐角A的度数是（）A．B． C． D．试题2:已知△ABC∽△DEF，且AB:DE = 1:2，则△ABC的周长与△DEF的周长之比为（）A．2:1B．1:2 C．1:4 D． 4:1试题3:二次函数的对称轴为（）A．-2 B． 2 C． 1 D．-1 试题4:下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（）评卷人得分如图，内接于，若，则的大小为（）A．B．C．D．试题6:若点B（，0）在以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，则的取值范围为（）A． B． C．D．或试题7:抛物线：与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（）A. B. C. D.试题8:汽车匀加速行驶路程为，匀减速行驶路程为，其中、为常数. 一汽车经过启动、匀加速行驶、匀速行驶、匀减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（）试题9:圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为．如右图，是由四个直角边分别是6和8的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，如果某人随机地往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率为 .试题11:如图，∠DAB＝∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是（注：只需写出一个正确答案即可）．试题12:在数学研究性学习中，佳佳为了求的值，设计了如图所示的几何图形，请你利用这个几何图形，计算= （用含的式子表示）.试题13:计算：.试题14:以直线为对称轴的抛物线过点（3，0）,(0，3)，求此抛物线的解析式.试题15:如图，在中，DE // BC，EF // AB，AD:AB=3:5，BC=25，求FC的长.试题16:如图，，，，．（1）求的长；（2）求的值.试题17:如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且于点M，CF⊥AB于点F交BD 于点E ，,.（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE = BE.试题18:如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，在观测点C 测得其仰角是，火箭又上升了到达点时，测得其仰角为，求观测点C到发射点O的距离.(结果精确到.参考数据：，，）.如图，正方形ABCO的边长为4，D为AB上一点，且BD= 3，以点C为中心，把顺时针旋转，得到．（1）直接写出点的坐标；（2）求点旋转到点所经过的路线长．试题20:某园艺公司计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润（万元）与投入资金（万元）成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润（万元）与投入资金（万元）成二次函数关系，如图2所示．（1）分别求出利润（万元）与（万元）关于投入资金（万元）的函数关系式；（2）如果该园艺公司以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？试题21:小明购买了4瓶酸奶，其中3瓶原味，1瓶草莓味，他从中随机拿2瓶酸奶．（1）用列表法（或树状图）列出所有可能的情况；（2）求其中有1瓶是草莓味酸奶的概率．试题22:对于二次函数，如果当取任意整数时，函数值都是整数，此时称该点（，）为整点，该函数的图象为整点抛物线（例如：）．（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式．（不必证明）；（2）请直接写出整点抛物线与直线围成的阴影图形中（不包括边界）所含的整点个数．试题23:已知抛物线C1：的顶点A到轴的距离为3，与轴交于C、D两点.（1）求顶点A的坐标；（2）若点B在抛物线C1上，且，求点B的坐标.试题24:如图，直线经过⊙O上的点，并且，，直线交⊙O于点，连接．（1）试判断直线与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）求证：；（3）若，⊙O的半径为3，求的长．试题25:在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点 A、C的坐标分别为（-8，0）和（0，6）．将矩形OABC绕点O 顺时针旋转度，得到四边形，使得边与y轴交于点D ，此时边、分别与BC边所在的直线相交于点P、Q．（1）如图1，当点D与点重合时，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，求的值；（3）如图2，若点D 与点不重合，则的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由．试题1答案:A试题2答案:B试题3答案:C试题4答案:B试题5答案:C试题6答案:A试题7答案:D试题8答案:A试题9答案:，试题10答案:，试题11答案:或或，试题12答案:.试题13答案:.试题14答案:解：设抛物线的解析式为，抛物线过点（3，0）,(0，3). ∴解得∴抛物线的解析式为.试题15答案:解：在中，DE//BC，∴.∴.又BC=25，∴ DE=15.DE//BC，EF//AB，∴四边形DEFB是平行四边形. ∴DE=BF=15. ∴FC=25-15=10. 试题16答案:解：（1）在Rt△BDC中，，.∴.（2）在Rt△BDC中，，.∴.，∴. ∴AB=BC=10.∴在Rt△CAD中，试题17答案:解：(1) OC为⊙O的半径，，∴. DB = 8，∴MB = 4设⊙O的半径为，，∴ OM=-2，在中，根据勾股定理得，解得=5. （2）方法一：连接AC、CB，AB是直径，∴. ∴.∴.OC为⊙O的半径，，∴C是的中点，∴.∴. ∴方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G.∴=.OC为⊙O的半径，，∴ C是的中点，∴=.∴=.∴. ∴……5分试题18答案:解：设，在中，，∴.. 又.在中，，∴.解得.答：观测点C到发射点O的距离为.试题19答案:解（1）（-3，0）.（2）正方形ABCD的边长为4，D为AB上一点，且BD=3，根据勾股定理可求得CD = 5.∴点旋转到点所经过的路线长为.试题20答案:解：（1）设，直线过点（1，2），∴. ∴.设，抛物线过点（2，2），∴. ∴.（2）设该园艺公司投入资金万元种植花卉，则投入资金万元种植树木，则获取的利润，整理得.根据图象得，当=2时，有最小值为14，当=8时，有最大值为32.答：该园艺公司投入资金2万元种植花卉和6万元种植树木时，获得最少14万元利润；投入资金8万元种植花卉时，能获取最大利润，且最大利润是32万元.试题21答案:解：记原味酸奶为A、B、C，草莓味酸奶为D.(1) 方法一：表格A B C DA／AB AC ADB BA／BC BDC CA CB／CDD DA DB DC／方法二：树状图 (略)：（2）小明随机拿2瓶酸奶的所有可能为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种. 随机拿2瓶酸奶中有一瓶是草莓味的所有结果为：AD、BD、CD，共3种.∴小明随机拿2瓶酸奶中有一瓶是草莓味的概率为：.解：（1）或或等.（2）4．试题23答案:解：(1)==∴抛物线顶点A的坐标为.由于顶点A到轴的距离为3，∴. ∴或.抛物线与轴交于C、D两点，∴舍去. ∴.∴抛物线顶点A的坐标为（3，－18）.（2）抛物线的解析式为.∴抛物线与轴交C、D两点的坐标为(，0)，(，0).∴CD=.B点在抛物线C1上，，设B（），则.把代入到抛物线的解析式为解得或. 把代入到抛物线的解析式为解得或.∴B点坐标为.解：（1）证明：如图，连接．，，．∴是的切线．（2）是直径，．∴．又，，∴．又，∴．．∴．（3），∴．，∴．设，则．又，∴．解得，．，∴．．试题25答案:解：（1）解：∵将矩形OABC绕点O 顺时针旋转度，得到四边形，且A、C的坐标分别为（-8，0）和（0，6）, ∴,.∴.∴点D的坐标为.（2）解：∵,,∴.∵,且，∴. 同理.∴. ∴.（或：∵.∴.）……………5分（3）解：如图2所示，作∥交于点，∵∥，且∥，∴四边形PEC，Q是平行四边形. ∴.∵，∴.∴. 又∵,∴∽.∴.∴的值不会发生改变.。
初三第一学期数学期末试卷及答案(1)
2021-2022学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（每题2分，共16分）1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） 2250x x +-=A. 2，1，5 B. 2，1，－5C. 2，0，－5D. 2，0，5 【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+x-5=0，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5， 故选：B ．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0）．2. 下列四个图形中，为中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项A 、C 、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：B ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心． 3. 将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A.B.C. D.23y x =+23y x =-23y x =+（）2-3)y x =（【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度得到的抛物线是 23y x =+故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A. （2，－3） B. （－2，3）C. （3，2）D. （－2，－3） 【答案】D 【解析】【分析】根据“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”即可求得． 【详解】解：点A （2，3）关于原点对称的点的坐标是 ()2,3--故选D【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．5. 用配方法解方程x 2＋4x ＝1，变形后结果正确的是（ ） A. (x ＋2)2＝5 B. (x ＋2)2＝2C. (x －2)2＝5D. (x －2)2＝2 【答案】A 【解析】【分析】方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．【详解】解：x 2＋4x ＝124414x x ++=+即 ()225x +=故选A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 6. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ）A.B.C.D.18161412【答案】C 【解析】【分析】用“---”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案． 【详解】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处， 位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是， 2184故选：C ．【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=． m n7. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 为⊙O 上一点，若∠ACB＝70°，则∠P 的度数为（ ）A. 70°B. 50°C. 20°D. 40°【答案】D 【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由PA ，PB 为⊙O 的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB 的度数，继而可求得答案． 【详解】解：连接OA ，OB ，∵PA，PB 为⊙O 的切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵∠ACB=70°， ∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°． 故选：D ．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．8. 如图，线段AB ＝5，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以点A 为圆心，线段AP 长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，⊙A 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A .正比例函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，正比例函数关系C. 一次函数关系， 二次函数关系D. 正比例函数关系，二次函数关系【答案】C 【解析】【分析】根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，， AP t =5PB AB AP t =-=-即，是一次函数；5y t =-()05t ≤≤⊙A 的面积为，即，是二次函数 S =22AP t ππ⨯=2S t π=()05t ≤≤故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．二、填空题 (每题2分，共16分）9. 抛物线的顶点坐标是_________．23(1)2y x =--+【答案】（1，2） 【解析】【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案． 【详解】∵是抛物线的顶点式， 23(1)2y x =--+∴顶点坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点．10. 若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个根为1，则m 的值为_______． 【答案】 1【解析】【分析】根据关于x 的方程x 2-2x+m=0的一个根是1，将x=1代入可以得到m 的值，本题得以解决．【详解】解：∵关于x 的方程x 2-2x+m=0的一个根是1， ∴1-2+m=0， 解得m=1， 故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11. 写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．【答案】（答案不唯一） 22y x =+【解析】【分析】根据题意，写出一个的解析式即可 0,2a c >=【详解】解：根据题意， 0,2a c >=故符合题意22y x =+故答案为：（答案不唯一）22y x =+【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．12. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．【答案】 0.2【解析】【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2， 故答案为：0.2．【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．13. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为________． 【答案】 210(1)12.1x +=【解析】【分析】根据题意可得4月份的参观人数为人，则5月份的人数为，10(1)x +210(1)x +根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可．【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为 210(1)12.1x +=故答案为：210(1)12.1x +=【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．14. 如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C 的度数为________．【答案】 30︒【解析】【分析】先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可． CAB ∠【详解】解：将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE，∠DAE=110°， 110BAC DAE ∴∠=∠=︒，40B ∠=︒ ．1801804011030C B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案是：30°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．15. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．【答案】 2【解析】【分析】如图，根据四边形CDEF 为正方形，可得∠D=90°，CD=DE ，从而得到CE 是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形CDEF 为正方形， ∴∠D=90°，CD=DE ， ∴CE 是直径，∠ECD=45°， 根据题意得：AB=2.5， ，2.50.2522CE=-⨯=∴ ， 22222CE CD DE CD =+=∴ ，2CD =即此斛底面的正方形的边长为 尺． 2故答案为：2【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是边DC ，CB 上的动点，且始终满足DE ＝CF ，AE ，DF 交于点 P ，则∠APD 的度数为______ ；连接CP ，线段CP 长的最小值为_______．【答案】 ①. ②. 90︒51-【解析】【分析】利用“边角边”证明△ADE 和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE ＝∠CDF，然后求出∠APD＝90°，从而得出点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，连接AD的中点和C 的连线交弧于点P ，此时CP 的长度最小，然后根据勾股定理求得QC ，即可求得CP 的长．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AD ＝CD ，∠ADE＝∠BCD＝90°，∴在△ADE 和△DCF 中，，90AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADE≌△DCF（SAS ） ∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF＋∠ADF＝∠ADC＝90°， ∴∠ADF＋∠DAE＝90°， ∴∠APD＝90°，由于点P 在运动中保持∠APD＝90°， ∴点P 的路径是一段以AD 为直径的弧， 取AD 的中点Q ，连接QC ，此时CP 的长度最小，则DQ ＝AD ＝×2＝1， 1212在Rt△CQD 中，根据勾股定理得，CQ ＝＝＝， 22CD QD +2221+5所以，CP ＝CO −QP ＝−1． 5故答案为：；−1．90︒5【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17. 解方程：． 2280x x --=【答案】． 1224x x =-=，【解析】【分析】利用配方法变形为，再根据平方差公式变形为2(1)90x --=(2)(4)0x x +-=即可求解．【详解】，2280x x --= ，2(1)90x ∴--=∴（x-1+3）(x-1-3)=0，(2)(4)0x x ∴+-=则或， 20x +=40x -=解得．1224x x =-=，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种方法．18. 如图，AB 为⊙O 的弦，OC⊥AB 于点M ，交⊙O 于点C ．若⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2，求AB 的长．【答案】 16AB =【解析】【分析】连接OA ，根据⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2可求出OM 的长，由勾股定理求出AM 的长，再由垂径定理求出AB 的长即可． 【详解】解：如图，连接OA ．∵OM：MC ＝3：2，OC ＝10， ∴OM＝=6． 331055OC =⨯∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB ＝2AM ．在Rt△AOM 中，AO ＝10，OM ＝6， ∴AM ＝8．2222106AO OM =-=-∴AB＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 19. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O.求作：⊙O 的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB ；②分别以点A, B 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点； 12AB ③作直线MO 交⊙O 于点C ，D ； ④连接AC ，BC ．所以△ABC 就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接MA ，MB ． ∵MA=MB，OA=OB ， ∴MO 是AB 的垂直平分线． ∴AC= ． ∵AB 是直径,∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ． ∴△ABC 是等腰直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）BC ，90°，直径所对的圆周角是直角 【解析】【分析】（1）过点O 任作直线交圆于AB 两点，再作AB 的垂直平分线OM ，直线MO 交⊙O 于点C ，D ；连结AC 、BC 即可；（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC ，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．【详解】（1）①作直径AB ； ②分别以点A, B 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点； 12AB ③作直线MO 交⊙O 于点C ，D ； ④连接AC ，BC ．所以△ABC 就是所求的等腰直角三角形.（2）证明：连接MA ，MB ． ∵MA=MB，OA=OB ， ∴MO 是AB 的垂直平分线． ∴AC=BC． ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ． ∴△ABC 是等腰直角三角形．故答案为：BC ，90°，直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+2x ＋c 的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出y ＜0时，x 的取值范围．【答案】（1）；（2） 223y x x =+-31x -<<【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出解方320c a c =-⎧⎨++=⎩程组即可；（2）先求抛物线与x 轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y ＜0，函2230x x +-=数图像位于x 轴下方，在两根之间即可．【详解】解：(1) 抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得：22y ax x c =++， 320c a c =-⎧⎨++=⎩解得，31c a =-⎧⎨=⎩所求抛物线的解析式是． 223y x x =+-(2) 当y=0时，， 2230x x +-=因式分解得：， ()()310x x +-=∴， 3010x x +=-=，∴，12=-3=1x x ，当y ＜0时，函数图像在x 轴下方， ∴y＜0时，x 的取值范围为-3＜x ＜1．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点坐标分别为O （0，0），A （5，0）， B （4，－3），将△OAB 绕点O 顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A 旋转后的对应点为A´．（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′ 的坐标；（2）求点B 经过的路径的长（结果保留π）. A 'BB【答案】（1）见解析，的坐标为；（2） 'A (0,5)-A '52BB l π=【解析】【分析】（1）将点A 、B 分别绕点O 顺时针旋转90°得到其对应点，再与点O 首尾顺次连接即可；（2）根据弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图，△OA´B´即为所求．点的坐标为 'A (0,5)-（2）由题意可求OB=5 ∴ A '90551802BB l ππ⨯==【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式． 22. 2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A 志愿者被选中”是______ 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）； （2）用画树状图或列表的方法求出A ，B 两名志愿者同时被选中的概率． 【答案】(1)随机；（2）见解析 16【解析】【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）画树状图，得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．【详解】(1)根据随机事件的概念，A 志愿者被选中是随机事件上， 故答案为：随机．(2)由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种,并且每一个结果出现的可能性相同．其中A ，B 两名志愿者同时被选中的有2种. ∴P（A ，B 两名志愿者同时被选中）=21=126【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23. 已知关于的一元二次方程． x 2(4)40x k x k -++=（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围． k 【答案】（1）证明见解析；（2）． 2k <【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k −4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1＝4，x 2＝k ，根据方程有一根小于2，即可得出k 的取值范围．【详解】（1）∵，2(4)40x k x k -++=∴△=，222[(4)]44816(4)0k k k k k -+-⨯=-+=-≥∴方程总有两个实数根． （2）∵， 2(4)40x k x k -++=∴， (4)()0x x k --=解得：，， 14x =2x k =∵该方程有一个根小于2， ∴．2k <【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键． 24. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD ，小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB 边的长为m ，面积为ym 2． x （1）求与之间的函数关系式；y x （2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？x【答案】（1）（1）.（）；（2）当x 为时，小花园的面2240y x x =-+7.520x ≤<10m 积最大，最大面积是 2200m 【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB 边长为x m ，可得BC=(40-2x)m ，然后根据矩形面积即可求得y 与x 之间的函数关系式，又由墙长25m ，即可求得自变量的x 的范围；（2）用配方法求最大值解答问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=CD，AD=BC ， ∵AB=x m ， ∴BC=(40-2x)m，∴花园的面积为：y=AB•BC=x•(40-2x)=-2x 2+40x ， ∵40-2x≤25，x+x<40，∴x 7.5，x<20， ≥∴7.5≤x<20，∴y 与x 之间的函数关系式为：y=-2x 2+40x （7.5≤x<20）； （2）∵ ，() 22(10)200y x =--+7.520x ≤<∴ 当时，．10x =max 200y =答：当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是200m 2．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．25. 如图，AC 是⊙O 的弦，过点O 作OP⊥OC 交AC 于点P ，在OP 的延长线上取点B ，使得BA ＝BP ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为4，PC ＝，求线段AB 的长．25【答案】（1）见解析；（2）． 3AB =【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB＝90°，即可证明结论；（2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB ＝x ，则OB ＝x ＋2．在Rt△AOB 中运用勾股定理列方程解答即可．【详解】解：（1）证明：∵BA＝BP ， ∴∠BPA＝∠BAP． ∵OA＝OC ， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°． ∴∠OPC＋∠OCP＝90°． ∵∠APB＝∠OPC，∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB．∵OA 为半径， ∴AB 为⊙O 的切线；（2）在Rt△OPC 中，OC ＝4，PC ＝， 25∴OP＝2． 22PC OC -=设AB ＝x ，则OB ＝x ＋2．在Rt△AOB 中，， 2224(2)x x +=+∴x＝3,即AB ＝3．【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和（2，n ）在抛物线上． 2y x bx =-+（1）若m ＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn ＜0，设抛物线的对称轴为直线， x t =①直接写出的取值范围； t ②已知点（－1，y 1），（，y 2），（3，y 3）在该抛物线上．比较y 1，y 2，y 3的大小，并说32明理由． 【答案】（1）；（2）①；②，见解析12x =112t <<312y y y <<【解析】【分析】（1）把点（1，m ），m ＝0，代入抛物线，利用待定系数法求解解析2y x bx =-+式，再利用公式求解抛物线的对称轴方程；（2）①先判断异号，求解抛物线的对称轴为：,m n 2y x bx =-+()1,212b x b t =-==´-抛物线与轴的交点坐标为：根据点（1，m ）和（2，n ）在抛物线x ()()0,0,,0,b 上，则 可得 从而可得答案；②设点（－1，y 1）关于抛2y x bx =-+0,0,m n ><12,b <<物线的对称轴的对称点为，再判断．结合抛物线开口向下，当x t =01(,)x y 023x <<时，y 随x 的增大而减小，从而可得答案.x t >【详解】解：（1）∵点（1，m ）在抛物线上，m ＝0， 2y x bx =-+∴． 10b -+=∴．1b =所以抛物线为：2,y x x =-+∴该抛物线的对称轴为．()11212x =-=⨯-（2）① 则异号， 0,mn <Q ,m n 而抛物线的对称轴为：2y x bx =-+()1,212b x b t =-==´-令 则 0,y =20,x bx -+=解得：120,,x x b ==所以抛物线与轴的交点坐标为：x ()()0,0,,0,b 点（1，m ）和（2，n ）在抛物线上，2y x bx =-+ 0,0,m n \>< 12,b \<< 即111,22b \<<11.2t <<②．理由如下： 312y y y <<由题意可知，抛物线过原点．设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为x´． ∵抛物线经过点(1，m)，(2，n)，mn ＜0 ∴1＜x ＜2． ∴． 112t <<设点（－1，y 1）关于抛物线的对称轴的对称点为． x t =01(,)x y ∵点（－1，y 1）在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 01(,)x y 由 得． 0(1)x t t -=--021x t =+∵， 112t <<∴1＜2t ＜2． ∴2＜2t ＋1＜3． ∴．023x <<由题意可知，抛物线开口向下． ∴当时，y 随x 的增大而减小.x t >∵点（，y 2），，（3，y 3）在抛物线上，且，3201(,)x y 0332t x <<<∴312y y y <<【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的对称性与增减性，掌握“利用抛物线的增减性判断二次函数值的大小”是解本题的关键.27. 如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ． 'AP PP BP ''，（1）用等式表示 与CP 的数量关系，并证明； BP '（2）当∠BPC＝120°时，①直接写出 的度数为 ；P BP '∠②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．【答案】（1），理由见解析；（2）①60°；②PM＝，见解析 BP CP '=12AP 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB ＝AC ，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到，可证得，即可求60AP AP PAP ''=∠=︒，，BAP CAP '∠=∠ABP ACP '≌A A 解 ；（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC ＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得 ，即可求解；ABP ACP '≌A A ABP ACP '∠=∠②延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得，可证得，从BN BP '=60P BP '∠︒＝PNB PP B '≌A A 而得到 ．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到PN PP '=PAP 'A P P AP '=PN AP = ，即可求解．【详解】解：（1） ．理由如下： BP CP '=在等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝60°， 由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴ PAP BAP BAC BAP '∠-∠=∠-∠即 BAP CAP '∠=∠在和△ACP 中ABP '△ AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩∴ ． ABP ACP SAS '≌（）A A ∴ ．BP CP '=（2）①∵∠BPC＝120°， ∴∠PBC＋∠PCB＝60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠ABP＋∠ACP＝60°． ∵ ． ABP ACP '≌A A ∴ ， ABP ACP '∠=∠∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°． 即 ； 60P BP '∠︒＝②PM＝．理由如下： 12AP 如图，延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点， ∴BM＝CM ． 在△PCM 和△NBM 中PM NM PMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCM≌△NBM（SAS ）．∴CP＝BN ，∠PCM＝∠NBM． ∴ ． BN BP '=∵∠BPC＝120°， ∴∠PBC＋∠PCB＝60°． ∴∠PBC＋∠NBM＝60°． 即∠NBP＝60°． ∵∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠ABP＋∠ACP＝60°． ∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°． 即 ． 60P BP '∠︒＝∴ ． P BP NBP '∠∠＝在△PNB 和 中P B P 'A BN BP NBP P BP BP BP ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ （SAS ）． PNB PP B '≌A A ∴ ．PN PP '=∵ 60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴ 为等边三角形， PAP 'A ∴ ． P P AP '=∴ ， PN AP =∴PM＝． 12AP 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：xOy 若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到⊙O 的弦A´B´（A´，B´分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是⊙O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O 的关AB 于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，的横、纵坐标都是整数．11,2233,,,,A B A B A B ①在线段中，⊙O 的关于直线y ＝x ＋2对称的“关联线段”是_______； 11,2233,A B A B A B ②若线段中，存在⊙O 的关于直线y ＝－x ＋m 对称的“关联线段”，则 11,2233,A B A B A B m ＝ ；（2）已知直线交x 轴于点C ，在△ABC 中，AC=3，AB=1，若线段AB 3+(03y x b b =-＞）是⊙O 的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小3+(03y x b b =-＞）值，以及相应的BC 长．【答案】（1）① A 1B 1；②2或3；（2）b 的最大值为，此时BC ＝；b 的最小值为43313，此时BC ＝ 2337【解析】【分析】（1）①根据题意作出图象即可解答；②根据“关联线段”的定义，可确定线段A 2B 2存在“关联线段”，再分情况解答即可；（2）设与AB 对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b 最大，当点A’（-1，0）时，b 最小；然后分别画出图形求解即可；【详解】解：（1）①作出各点关于直线y=x+2的对称点，如图所示，只有A 1B 1符合题意；故答案为：A 1B 1；②由于直线A 1B 1与直线y=-x+m 垂直，故A 1B 1不是⊙O 的关于直线y ＝-x ＋m 对称的“关联线段”；由于线段A 3B 3=，而圆O 的最大弦长直径=2，故A 3B 3也不是⊙O 的关于直线y ＝-x ＋m 对5称的“关联线段”；直线A 2B 2的解析式是y=-x+5，且，故A 2B 2是⊙O 的关于直线y ＝x ＋2对称的222A B “关联线段”；当A 2B 2是⊙O 的关于直线y ＝-x ＋m 对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，1）与（1,0）时，m=3，当A 2B 2是⊙O 的关于直线y ＝-x ＋m 对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，-1）与（-1,0）时，m=2， 故答案为：2或3．（2）设与AB 对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b 最大，当点A’（-1，0）时，b 最小；当点A’（1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x 轴于点M ，∴CA’=CA=3， ∴点C 坐标为（4，0）， 代入直线，得b=；3+3y x b =-433∵A’B’=OA’=OB’=1， ∴△OA’B’是等边三角形， ∴OM=，， 123'2B M =在直角三角形CB’M 中，CB'=，即； 22371322⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13BC =当点A’（-1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x 轴于点M ， ∴CA’=CA=3， ∴点C 坐标为（2，0）， 代入直线，得b=； 3+3y x b =-233∵A’B’=OA’=OB’=1， ∴△OA’B’是等边三角形， ∴OM=，， 123'2B M =在直角三角形CB’M 中，CB'=；即 2235722⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7BC =综上，b 的最大值为，此时BC ＝； b 的最小值为，此时BC ＝． 433132337【点睛】本题是新定义综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，正确理解新定义的含义、灵活应用数形结合思想是解题的关键．。
2019-2020年北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案[精编]
![2019-2020年北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案[精编]](https://img.taocdn.com/s3/m/3ecd23b971fe910ef12df8e4.png)
北京市东城区第一学期期末统一测试初三数学学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．关于的一元二次方程2+4+=0有两个相等的实数根，则的值为 A ．=4 B ．=﹣4 C ．≥﹣4 D ．≥4 2．抛物线y =2+2+3的对称轴是A ．直线=1B ．直线=﹣1C ．直线=﹣2D ．直线=23．剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是A B C D4．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是 A ．甲组 B ．乙组 C ．丙组 D ．丁组5．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =--先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是A ．2(1)1y x =++ B ．2(3)1y x =-+ C ．2(3)5y x =-- D ．2(1)2y x =++ 6．已知点A （2，y 1），B （4，y 2）都在反比例函数ky x=（＜0）的图象上，则y 1，y 2的大小关系为 A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1=y 2D ．无法确定7．如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6. 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是y8. 如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的 侧面积为A ．30πcm 2B ．48πcm2 C ．60πcm 2D ．80πcm 29. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB =90°，∠A =25°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是 A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用. 名为“数据包络分析”（简称DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资配置.为了解出租车资的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA 值进行调查，调查发现， DEA 值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且0a ≠），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是 A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是 ．12．已知m 是关于的方程2﹣2﹣3=0的一个根，则2m 2﹣4m = ． 13. 二次函数242y x x =--的最小值为 ．14. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为 米．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC =以点C 为圆心，CB 的长为半 径画弧，与AB 边交于点D ,将BD 绕点D 旋转°180后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 .16．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0,0），B （2,2），菱形的对角线的交点D 的坐标为 ；菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D 的坐标为 .三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程： 22410x x --=.18. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，∠B =∠DAC ，若BC =8，求AC 的长.E F DB CABC19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB =8，CD =6，求BE 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， Rt △ABO 的边AB 垂直于轴，垂足为点B ，反比例函数11k y x=（＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ， OB =4，AB =3． （1）求反比例函数11k y x=（＞0）的解析式； （2）设经过C ，D 两点的一次函数解析式为22y k x b =+，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当21y y ＞时， 的取值范围．21．列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为20m 2，求原正方形空地的边长．1m22． 按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A ，B ，C 的对应点为点A 1，B 1，C 1．画出旋转后的△A 1B 1C 1；（2）下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张． （1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24.在平面直角坐标系Oy 中，对称轴为直线=1的抛物线y = -2+b +c 与轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 的坐标为（0，1），点P 是抛物线上的动点，若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，求点P 的坐标．25. 如图，AB 是⊙O 的直径， AC 是弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接BD ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若BD DE =AD =，求CE 的长．图2CBA图3CBAD图1CBA26. 问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC=．（1）如图1，若AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是△ABC 的一条等积线段，求AD 的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27． 在平面直角坐标系O y 中，抛物线224y mx mx m =-+-（0m ≠）与 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，-3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最 小，求点P 的坐标；（3）将抛物线在B ，C 之间的部分记为图象G （包含B ，C 两点），若直线y=5+b 与图象G 有公共点，请直接写出b 的取值范围．28. 点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF =30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．在平面直角坐标系Oy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离不小于定值，则称直线l 与图形W 成“相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为.（1）若图形W 是由()12--，A ，()1,2-B ，()12，C ，()12-，D 顺次连线而成的矩形： ○1l 1：y =+2，l 2：y =+1，l 3：y = --3这三条直线中，与图形W 成“2相关”的直线有________; ○2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W 成“5相关”；○3若存在直线与图形W 成“2相关”，且该直线与直线y =平行，与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标Qy 的取值范围；（2）若图形W 为一个半径为2的圆，其圆心位于轴上.若直线333+=x y 与图形 W 成“3相关”，请直接写出圆心的横坐标K x 的取值范围.备用图北京市东城区第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题8分） 17．解方程：22410x x --=解： 2122x x -=. …………1分 212112x x -+=+ . …………2分 23(1)2x -=. …………3分1x =±∴1211x x =+=- …………5分 18. 解：∵ ∠B =∠DAC ，∠C =∠C ，∴ △ABC ∽△DAC . …………2分 ∴AC BCCD AC=. ∴ 2AC CD BC =⋅． …………3分 ∵ AD 是中线， BC =8，∴ 4CD =. …………4分 ∴AC = …………5分 19. 解：连接OC . …………1分∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴ 点E 是CD 的中点. …………2分 在Rt △OCE 中，222OE CE OC +=， ∵ AB =8，CD =6， ∴可求OE =…………4分∴4BE = …………5分20.（1）由题意可求点C 的坐标为（2，32）. …………1分 ∴ 反比例函数的解析式为13y x=（＞0）. …………2分（2）可求出点D 的坐标为（4，34）. …………3分 ∴ 可求直线CD 的解析式 239-84y x =+. …………4分 当2＜＜4时， 21y y ＞. …………5分.BC21．解：设原正方形空地的边长为m．…………1分根据题意，得()()1220x x--=．…………2分解方程，得126,3(x x==-舍）…………4分答：原正方形空地的边长为6m．…………5分22．解：（1）旋转后的△A1B1C1如下图：C1B1A1…………3分（2）根据题意画图如下：符合其中的两种即可．…………5分23．解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；………3分（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13．∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．…………5分24. 解：（1）由题意可求点A 的坐标为（3,0）．将点A （3,0）和点B （-1,0）代入y = -2+b +c ， 得 0=-9+3,01.b c b c +⎧⎨=--+⎩解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩∴ 抛物线的解析式223y x x =-++． …………3分 （2）可求出点C 的坐标为（0,3）．由题意可知 满足条件的点P 的纵坐标为2． ∴ 223=2x x -++．解得 1211x x ==∴ 点P 的坐标为(12)+或(12)． …………5分25.（1）证明：连接OD ．∵ OA =OD ，∴ ∠BAD =∠ODA ． ∵ AD 平分∠BAC ， ∴ ∠BAD =∠DAC ． ∴ ∠ODA =∠DAC ．∴ OD ∥AE ． ∵ DE ⊥AE ， ∴ OD ⊥DE ．∴ DE 是⊙O 的切线． …………2分（2）解：∵ OB 是直径，∴ ∠ADB =90°． ∴ ∠ADB =∠E ．又∵ ∠BAD =∠DAC ，ECBAHG CBA∴ △ABD ∽△ADE ． ∴AB BD AD DE ==∴ 10AB =．由勾股定理可知BD =连接DC ，∴BD DC == ∵ A ,C ,D ,B 四点共圆. ∴ ∠DCE =∠B. ∴ △DCE ∽△ABD ． ∴AB BDDC CE=. ∴ CE =2.…………5分26. 解：（1）在Rt △ADC 中，∵AC ==45C ∠°，∴ 2AD =． …………1分（2）符合题意的图形如下所示：为AC中点，BE =EGH ∥BC，GH =.…………5分意可得，43m -=- .27.解：（1）由题1.m ∴=∴ 抛物线的解析式为：223y x x =--.…………2分（2）点A 关于抛物线的对称轴对称的点是B ，连接BC 交对称轴于点P ，则点P 就是使得PA+PC 的值最小的点. 可求直线BC 的解析式为3y x =-.∴ 点P 的坐标为（1,-2）. …………5分 （3）符合题意的b的取值范围是-15≤b ≤-3. …………7分 28.解：（1）OE =OF . …………1分（2）补全图形如右图. …………2分OE =OF 仍然成立. …………3分 证明：延长EO 交CF 于点G . ∵ AE ⊥BP ， CF ⊥BP ，∴ AE ∥CF . ∴ ∠EAO =∠GCO.又∵ 点O 为AC 的中点，∴ AO =CO. ∵ ∠AOE=∠COG ， ∴ △AOE ≌△COG.∴ OE =OF.…………5分（3）CF OE AE =+或CF OE AE =-. …………7分 29.解：（1）① 1l 和2l . …………2分② 符合题意的直线如下图所示. …………4分夹在直线a 和b 或c 和d 之间的（含直线a ，b ，c ，d ）都是符合题意的.○3设符合题意的直线的解析式为 .y b =+ 由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.分别代入可求出1211b b ==-.∴ 11Q y -≤≤ …………6分（2）33K x -≤≤- …………8分。
2024年北京东城区初三上学期期末考数学试卷和答案
东城区2023—2024学年第一学期期末统一检测初三数学2024.1一、选择题(每题2分，共16分)1．下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是2．若3x =是关于x 的方程22=0x x m --的一个根，则m 的值是A ．-15B ．-3C ．3D ．153．关于二次函数22(1)2y x =-+，下列说法正确的是A ．当x =1时，有最小值为2B ．当x =1时，有最大值为2C ．当x =-1时，有最小值为2D ．当x =-1时，有最大值为24．在下列事件中，随机事件是A ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B ．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C ．通常情况下，自来水在10℃结冰D ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为25．如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点A ,B ,C ,D 都在⊙O 上，则⊙O 的半径为A.3B.6C.32D.626．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地雪场游客人数的周平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是A ．27000(1)8470x +=B ．270008470x =C ．7000(1+2)8470x =D ．37000(1)8470x +=7．如图，某汽车车门的底边长为1m ，车门侧开后的最大角度为72°.若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是A ．2πm 10B ．2πm5C ．22πm5D ．24πm58.⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ,BC ,AC 分别相切于点D ,E ,F .若⊙O 的半径为2，△ABC 的周长为26，则△ABC 的面积为A.3B.24C.26D.52二、填空题(每题2分，共16分)9.把抛物线22y x =向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为．10.若一元二次方程261=0x x +-经过配方，变形为()23x n +=的形式，则n 的值为．11．为了解某小麦品种的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n 550100200500100020003000发芽种子个数m 4449218947695118982851发芽种子频率m n0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950(1)估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为(结果保留两位小数)；(2)若在相同条件下播种该品种小麦种子10000个，则约有个能发芽．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(1，2)，点B 与点A 关于原点对称，则点B 的坐标为_____________．13.已知二次函数2+8+3y x x =-，当x >m 时，y 随x 的增大而减小，则m 的值可以是____________(写出一个即可)．14.如图，A ,B ,C 是⊙O 上的三个点，若∠ACB=40°，则∠OBA 的大小是_____________°．15.如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为35m，当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m.铅球的行进高度y （单位：m）与水平距离x （单位：m）之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为2121x y -=.若以过出手点且与地面垂直的直线为y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为.16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序．施工要求如下：①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ；工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ；工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/天11152817163125(1)在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少_____________天完成．(2)现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是_____________万元.三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17.解方程：()()3121x x x +=+．18.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°．求作：⊙O ，使得△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB 于点O ;②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则⊙O 为所求作的圆．(1)利用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OC .由作图可知，OB =OA=12AB .∴点B 在⊙O 上．在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∴OC =12________()(填推理依据)．∴OC =OA ．∴点C 在⊙O 上．∴△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.19．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx =+的图象过点A (3，3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)用描点法画出该二次函数的图象；(3)当0x ＜＜3时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx +＞，直接写出k 的取值范围．20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.21.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C .若AB =16，CD =2，求⊙O 的半径的长．22．已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围;(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ,B 为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)，OA =3，OB =4，且∠AOB=150°．线段OA 关于直线OB 对称的线段为O A '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．(1)画出线段O A '，OB '；(2)将线段OB 绕点O 逆时针旋转角()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C ''．若=5A C ''，求∠B OC ''的度数．24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，22BC =，求CD 的长．25.食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留.某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为y1%，部分实验数据记录如下：方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为y2%，部分实验数据记录如下：结合实验数据和结果，解决下列问题:（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率y1(%)与浸泡时间t(分)之间的关系，方式二中农药的去除率y2(%)与食用碱溶液的浓度x(%)之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象:(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为__________分钟．(3)方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x %中，x 的取值范围可以是_____________．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(2，c )在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =.(1)求t 的值；(2)已知11()M x y ，，22()N x y ，是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <,求m 的取值范围．27.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE ⊥BC ；（2）当BD ≠CD 时(图2中BD ＜CD ，图3中BD >CD )，F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE 的大小，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y +6的“和距离”d 的取值范围．东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2024.1一、选择题（每题2分，共16分）题号12345678答案BCADCABC二、填空题(每题2分，共16分）9．223y x =-10．1011．0.95950012.（-1，-2）13．答案不唯一，m ≥4即可14．5015.21251233y x x =-++16．86，38三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17．解：移项，得()()31210.x x x +-+=因式分解，得()()1320.x x +-=……………………………..1分于是得10x +=，或320.x -=……………………………..3分所以方程的两个根分别为1=-1x ，22.3x =……………………………..5分18．解：(1)作图如下，------------------------3分(2)AB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.------------------------5分19.解：（1）∵点A (3，3)在抛物线二次函数2y x bx =+的图象上，∴2333b =+.解得2b =-.∴二次函数的解析式为22y x x =-.------------------------2分(2)列表：x …-10123…y…3-13…描点，连线------------------------4分（3）当k ≥1.------------------------5分20．解：（1）所有可能出现的结果共6种：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .…………3分（2）记抽到的2张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M ,M 包含的结果有3种，即AC ，BC ，CD ，且6种可能的结果出现的可能性相等，所以()31==62P M …………5分21．解：连接OA .∵半径OD ⊥AB 于点C ，AB =16，∴∠ACO =90°，AC =12AB =8，………2分设OA =r ，则OC =2r -．在Rt △AOC 中，根据勾股定理，得222OA AC OC =+，即2228(2)r r =+-．………4分解得17r =．∴⊙O 的半径的长17．………5分22．解：(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m -++-=有两个不相等的实数根，∴[]()2222=(21)4244148490m m m m m m ∆-+--=++-+=+＞ (2)分解得94m ＞-.∴m 的取值范围是94m ＞-.………..3分(2)由（1）可知，49m ∆=+.由求根公式，得()1212m x +=，()2212m x +=.………..5分∵该方程的两个实数根互为相反数，∴12+0x x =.∴()()2121+21022m m m +++=+=.解得1=2m -，符合题意.∴当方程的两个实数根互为相反数时，1=2m -.………..6分23.解：（1）如图．……………….2分（2）如图，在△A OC ''中，==3OA OA '，==4OC OB '，=5A C '',∴222=A C OA OC ''''+.∴△A OC ''是直角三角形.∴=90.A OC ''︒∠………………..3分∵∠AOB =150°，OA OA OB '与关于直线对称，∴=150.A OB '︒∠………………..4分∴=60C OB '︒∠，即=60α︒.∴=604515B OC C OB B OB '''''-=︒-︒=︒∠∠∠.………………..5分24．(1)证明：如图1，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD=45°.---------------1分∴∠ABD =∠ACD=45°.∵OD =OB ,∴∠ODB =∠OBD =45°.--------------2分∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠OBD =45°.∴∠ODE =∠ODB+∠BDE=90°.∴OD ⊥DE .∵OD 为⊙O 的半径，∴直线DE 是⊙O 的切线.------------------3分（3）如图2，过点B 作BF ⊥CD 于点F .∴∠BFC =∠BFD =90°.∵∠BCD =45°.∴∠CBF =45°.图1∴BF CF =.------------------4分在Rt △BFC 中，BC =根据勾股定理，得=2BF CF =.∵ BCBC =，∴∠CDB =∠BAC =30°.------------------5分∴2=4.BD BF =在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得DF∴CD CF DF =+------------------6分25.解：（1）画图如下，---------------------------------------------------------------------2分（2）10-------------------------------------------4分（3）答案不唯一，如7x ≤≤12.---------------------------6分26．解：(1)由题意可知，42a b c c ++=，∴2b a =-.∴12bt a=-=.---------------------------2分(2)∵0a >，1t =，∴当1x ＞时，y 随x 的增大而增大，当1x ＜，时y 随x 的增大而减小.---------------------------3分①当1m ≥时，∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴121x x <<.∴12y y <，符合题意.---------------------------4分②当112m <≤时，有3122m +<，(i )当111x m <+≤时，∵212m x m +<<+，∴121x x <≤.∴12y y <.(ii )当11m x <<时，设11()M x y ，关于抛物线对称轴1x =的对称点为01()M 'x y ，，则01x >，011=1x x --.∴012x x =-.∵112m <≤，∴0312x <<.∵3122m +≤＜，212m x m ++＜＜∴232x ＞.∴02312x x <<＜.∴12y y <.∴当112m <≤时，符合题意.---------------------------5分③当102m <≤时，3112m +<≤，令11=2x ，23=2x ，则12=y y ，不符合题意.④当102m -<≤时，有1112m +<≤，令1=0x ，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑤当112m -<-≤时，1012m +<≤，令11=2x -，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑥当1m <-时，1221x x m <<+<，∴.12>y y ，不符合题意.综上所述，m的取值范围是12m ≥.---------------------------6分27．（1）证明：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠C =30°.将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，∴DE =DA ，∠ADE =60°.∴△ADE 是等边三角形.∴∠BAE =60°.∴∠AHB =90°.∴BC ⊥AE.………..3分（2）解：选择图2：①补全图形如图所示：………..4分②猜想∠AFE =90°.………..5分证明：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接AE .则∠AHB =∠AHC =90°.∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠CAH =12∠BAC =60°，∠C =30°.∴AH =12AC .∵F 为线段AC 中点，∴AF =12AC .∴AH =AF .由（1）可知△ADE 是等边三角形.∴∠DAE =60°=∠CAH ，AD=AE.∴∠DAH =∠EAF.在△ADH 和△AEF 中，.DAH EA AD AE AH AF F ∠==⎧∠⎪⎨⎪=⎩，，∴△ADH ≌△AEF （SAS ）.∴∠AFE =∠AHD =90°.………7分选择图3：①补全图形如图所示：②（选择图3的答案与选择图2的答案一致）28．解：(1)P 1，P 2.………2分(2)3.………4分(3)71122d ≤≤．………7分。
北京市东城区九年级上期末考试数学试题(有答案)(精)
九年级数学期末试题一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．2.边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC=．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3.若要得到函数y=（x+1）2+2的图象，只需将函数y=x2的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0【分析】由k=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．解：∵k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是（）A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．6.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．解：∵点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，∴=，∴△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S △ABC =8，故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7. 已知函数y=﹣x 2+bx +c ，其中b ＞0，c ＜0，此函数的图象可以是（）A .B ．C ．D ．【分析】根据已知条件“a ＜0、b ＞0、c ＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b ＞0，c ＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax 2+bx +c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数．8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．故选：C．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2 ．【分析】根据抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，能根据已知得出关于c 的不等式是解此题的关键．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B 点位置即可．解：∵A（﹣2，1），点B 与点A 关于点O 中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC 的长，由勾股定理可得出OA 的长．解：连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA﹣1）2+22，解得，OA=，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN 的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，∴MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤ ．①AB=AD；②BC=CD；③ ；④∠BCA=∠DCA；⑤ ．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误；②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB 与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15.已知函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1 ．【分析】结合函数y=x2﹣2x﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤x≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数a 的取值范围．解：函数y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以x=1 为对称轴的抛物线，当且仅当x=1 时，函数取最小值﹣4，∵函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a 时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y= 的图象上运动，k的值为12 ，OM长的最小值为．【分析】先根据P（4，3），求得k=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，O M最短，即当x=y时，x=，解得x=±2，进而得到OM的最小值．解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y=可得，k=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，当x=y时，x=，解得x=±2，又∵x＞0，∴x=2，∴M（2，2），∴OM==2 ，故答案为：12，2．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题（本题共68 分，第17-24 题，每小题5 分，第25 题6 分，第26-27，每小题5 分，第28 题8 分）17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，=﹣+3+﹣1，=4﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（5 分）已知等腰△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC 的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．解：（1）圆心O 在△ABC 外部，在优弧BC 上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE 的长度，结合AB=AE+BE 即可求出AB 的长度．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴BE=，∴AB=AE+BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．20．（5分）在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【分析】（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（5 分）北京2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C 的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得，∴△A′B′C′≌△ABC，∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A=60°，∴∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°．【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．（5 分）如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得t 的取值．解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，∴当t=2 时，h 取得最大值20 米；答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；（2）由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2x+4的解集．【分析】（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2x+4的解集．解：（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得a=﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得k=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y=2x+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2x+4的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与边BC，AC 分别交于点D，E．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tanA．【分析】（1）连接OD，作OG⊥AC 于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；（2）过O 作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；（2）过O作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG 垂直平分AE，∴∠AGO=90°，AG=2，由（1）可知：四边形ODFG 为矩形，∴OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y=x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l1：y=x+a 和l2：y=﹣x+b 组成图形G．当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n 的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时b 的值，进而可得出点P 的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G 与线段BC 有公共点时，点P的纵坐标t 的取值范围．解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y=mx2﹣2mx+n，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B 关于直线x=1 对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y=mx2﹣2mx+n过点B，直线y=x﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x2+x+4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l2：y=﹣x+b1过点B 时，0=﹣4+b1，解得：b1=4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣x+4，当x=1 时，y=﹣x+4=3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y=﹣x+b2过点C时，﹣=3+b2，解得：b2=﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣x﹣，当x=1时，y=﹣x﹣=﹣，∴点P2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x 轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时点P 的坐标．27．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2 中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；（3）先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：（1）①在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC= =，∴∠BAC=60°；②∵∴，==，，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1 所示；②如图2，由（1）知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P 在AB 上，∴BP=，∴AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= =；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴∴AP'=1 是定值，∴点P'是在以点A 为圆心，半径为AP'=1 的圆上，①如图3，点P'在BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB 上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．28．（8 分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G，若在图形G 上存在一点N，使M，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标x A的取值范围．【分析】（1）分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点，则P 是，⊙O 的和睦点；（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P 为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r 的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：（1）如图1 中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则P 是，⊙O 的和睦点，观察图象可知，⊙O 的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．（3）①如图3中，当点O到C′D′的距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，∴﹣5≤x A≤﹣3时，满足条件；②）①如图3 中，当点O 到A′B′的距离OM=1 时，此时点A′的横坐标为1当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标为﹣1，∴﹣1≤x A≤1时，满足条件；综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤x A≤﹣3或﹣1 ≤x A≤1．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
北京市东城区九年级(上)期末数学试卷
北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k=4B．k=﹣4C．k≥﹣4D．k≥42．（3分）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=﹣2D．直线x=2 3．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（）A．y=（x+1）2+1B．y=（x﹣3）2+1C．y=（x﹣3）2﹣5D．y=（x+1）2+2 6．（3分）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定7．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2 9．（3分）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°10．（3分）城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（）A．4.8B．5C．5.2D．5.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是．12．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=．13．（3分）二次函数y=x2﹣4x﹣2的最小值为．14．（3分）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为米．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为．16．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点D的坐标为；菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）18．（5分）如图，在△ABC中，AD是中线，∠B=∠DAC，若BC=8，求AC的长．19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，求BE 的长．20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y1=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AB=3．（1）求反比例函数y1=（x＞0）的解析式；（2）设经过C，D两点的一次函数解析式为y2=k2x+b，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当y2＞y1时，x的取值范围．21．（5分）列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，求原正方形空地的边长．22．（5分）按照要求画图：（1）如图甲，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点为点A1，B1，C1．画出旋转后的△A1B1C1；（2）如图乙，下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．（5分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若=，AD=4，求CE的长．26．（5分）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）将抛物线在B，C之间的部分记为图象G（包含B，C两点），若直线y=5x+b 与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．28．（7分）点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC 的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF=30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k．（1）若图形W是由A（﹣2，﹣1），B（﹣2，1），C（2，1），D（2，﹣1）顺次连线而成的矩形：①l1：y=x+2，l2：y=x+1，l3：y=﹣x﹣3这三条直线中，与图形W成“相关”的直线有；②画出一条经过（0，1）的直线，使得这条直线与W成“相关”；③若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y=x平行，与y 轴交于点Q，求点Q纵坐标y Q的取值范围；（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于x轴上．若直线y=x+与图形W成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标x K的取值范围．北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．A；2．B；3．A；4．D；5．A；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．y=﹣（答案不唯一）；12．6；13．﹣6；14．38；15．；16．（1，1）；（﹣1，﹣1）；三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．l1和l2；。
精选题库北京市东城区九年级上学期数学期末试卷【答案版】
4．（2 分）点 A（x1， y1）， B（ x2，y2）都在反比例函数
的图象上，若 x1＜ x2
＜ 0，则（ ） A．y2＞ y1＞0 B．y1＞y2＞0 C． y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜ 0 【解答】 解：∵ k=2＞ 0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、 三象限， 且在每一象限内 y 随 x 的增大而 减小， ∵ x1＜x2＜0， ∴点 A（x1， y1）， B（ x2，y2）位于第三象限， ∴ y2＜y1＜0， 故选： C．
则点 B 的坐标为
．
12．（ 2 分）如图， AB 是⊙ O 的弦， C 是 AB 的中点，连接 OC并延长交⊙ O 于点
D．若 CD=1，AB=4，则⊙ O 的半径是
．
13．（2 分）某校九年级的 4 位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度． 为
了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高 1m 的桌子上，且
（m/n ）
（n）
（ m/n ）
50
47
0.940
1500
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1335
0.890
270
235
0.870
3500
3203
0.915
400
369
0.923
7000
6335
0.905
750
662
0.883
14000
12628
0.902
下面有四个推断：
①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概
27．（ 7 分）如图 1，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=2，BC=2 ，以点 B 为圆心， 为半径作圆．点 P 为⊙ B 上的动点，连接 PC，作 P'C⊥ PC，使点 P'落在直线
北京市东城区九年级上学期期末考试数学试题(WORD版)
北京市东城区2015—2016学年第一学期期末统一测试初三数学2016.1学校班级姓名考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．若关于的方程有一个根为-1，则的值为A．B．C．D．2．二次函数的最大值为A．3 B．4 C．5 D．63．下列图形中，是中心对称图形的为A. 1个B．2个C．3个D．4个4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则cos A的值为A．B．C．D．26．若二次函数y=x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx =5的解为AO第10题A ． B ． C ． D ．7．如图，在△ABC 中，，，，则的值为A ．B ．C ．D ．8. 如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上的一OP ，若OP =4， ∠P =30°，则弦AB 的长为 A ． B ． C ． D ．29. 如图，点A , B , C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A =50°，∠B =30°，则∠ADC 的度数为A ．70°B ． 90°C ．110°D ．120° 10. 如图1， 在中，，.点O 是BC 的中点，点D 沿B →A →C 方向从B 设点D 经过的路径长为，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的A. B ． C ． D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：○1二次项系数是1；○2方程有两个相等的实数根. 此方程可以是 ．12．将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ．13. 已知，AB 是⊙O 的一条直径 ，延长AB 至C 点，使AC =3BC ，CD 与⊙O 相切于D 点，若CD =,则⊙O 半径的长为 . 14. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米，则旗杆的高度为米． 15．如图，已知A （，2），B （，1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转90°，得到△A ′O B ′，则图中阴影部分的面积为 ．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小涵的主要作法如下：老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：24cos 45tan 60(1)︒+︒-.18. 解方程：.19．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD =∠C ，AB =6，BD =4，求CD 的长.20．已知：抛物线y = x 2+(2m －1)x + m 2－1经过坐标原点，且当x < 0时，y 随x 的增大而减小.(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象写出y < 0时，对应的x的取值范围；另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长．21．列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22．如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．（1）画△A′B′C′，使它和△ABC关于点O成中心对称；（2）请在方格网中标出所有的D 点，使以点A，O，C′，D为顶点的四边形是平行四边形．23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．24. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若，半径OA=3，求AE的长．DAC25. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度.你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路.26. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.已知：如图，△ABC中，AD是角平分线.求证：.证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E.∴. ……………………………○1AD是角平分线，∴... .……………………………○2又，. ……………………………○3.（1）上述证明过程中，步骤○1○2○3处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；E DC B AC B A C B A （3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD 和△ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理．27．在平面直角坐标系中，抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与x 轴的交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）．（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点；（2）若AB =2，求此抛物线的解析式；（3）已知x 轴上两点C （2,0），D （5,0），若抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与线段CD 有交点，请写出m 的取值范围.28. 已知：在等边△ABC 中， AB =， D ，E 分别是AB ，BC 的中点（如图1）．若将△BDE 绕点B 逆时针旋转，得到△BD 1E 1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE 1与AD 1的交点为P ．（1）判断△BDE 的形状；（2）在图2中补全图形， 图1①猜想在旋转过程中，线段CE 1与AD 1的数量关系并证明；②求∠APC 的度数； （3）点P 到BC 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）图2 备用图29. 已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为y 1，y 2，都有点（x ，y 1）、（x ，y 2）关于点（x ，x ）对称，则称这两个函数为关于y =x 的对称函数.例如，和为关于y =x 的对称函数.（1）判断：①和；②和；③和，其中为关于y =x 的对称函数的是__________（填序号）.（2）若和（）为关于y =x 的对称函数.①求k 、b 的值.②对于任意的实数x ，满足x >m 时，恒成立，则m 满足的条件为______.（3）若和为关于y =x 的对称函数，且对于任意的实数x ，都有，请结合函数的图象，求n 的取值范围.。
北京市东城区名校2022-2023学年九年级数学第一学期期末统考试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列方程中，是一元二次方程的是()A．2ax bx c++B．2111 22x x+--=C．211x x-+=D．310x x++=2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )A．15元B．400元C．800元D．1250元4．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．对书中某一问题改编如下：意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，大和尚共分得（）个馒头A．25 B．72 C．75 D．905．正五边形的每个内角度数为（）A．36°B．72°C．108°D．120°6．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了( )A．50m B．100m C．120m D．130m7．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A ．310B ．925C ．920D ．358．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB ，则AB 的展直长度为（ ）A ．3πB ．6πC ．9πD ．12π9．如图，函数2(1)y x c =--+的图象与轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣110．反比例函数y=kx的图象经过点（2，5），若点（1，n ）在此反比例函数的图象上，则n 等于（ ） A ．10B ．5C ．2D ．11．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2312．如图，矩形ABCD 中，3AB =，8BC =，点P 为矩形内一动点，且满足PBC PCD ∠=∠，则线段PD 的最小值为（ ）A ．5B ．1C ．2D ．3二、填空题（每题4分，共24分）13．已知抛物线y ＝（1﹣3m ）x 2﹣2x ﹣1的开口向上，设关于x 的一元二次方程（1﹣3m ）x 2﹣2x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2，若﹣1＜x 1＜0，x 2＞2，则m 的取值范围为_____． 14．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简()211a a --+=__________．15．如图，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为3cm 的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为____．16．如图，O 的弦8AB =，半径ON 交AB 于点M ，M 是AB 的中点，且3OM =，则MN 的长为__________．17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是边AD 的中点，将△ABE 折叠后得到△A′BE ，延长BA′交CD 于点F ，则DF 的长为______．18．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．三、解答题（共78分）19．（8分）重庆八中建校80周年，在体育、艺术、科技等方面各具特色，其中排球选修课是体育特色项目之一．体育组老师为了了解初一年级学生的训练情况，随机抽取了初一年级部分学生进行1分钟垫球测试，并将这些学生的测试成绩（即1分钟的垫球个数，且这些测试成绩都在60～180范围内）分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在60～90范围内的记为D 级（不包括90），90～120范围内的记为C 级（不包括120），120～150范围内的记为B 级（不包括150），150～180范围内的记为A 级．现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中在扇形统计图中A 级对应的圆心角为90°，请根据图中的信息解答下列问题：（1）在这次测试中，一共抽取了 名学生，并补全频数分布直方图：在扇形统计图中，D 级对应的圆心角的度数为 度．（2）王攀同学在这次测试中1分钟垫球140个．他为了了解自己垫球个数在年级排名的大致情况，他把成绩为B 等的全部同学1分钟垫球人数做了统计，其统计结果如表： 成绩（个） 120 125 130 135 140 145 人数（频数）2831098（垫球个数计数原则：120＜垫球个数≤125记为125，125＜垫球个数≤130记为130，依此类推）请你估计王攀同学的1分钟垫球个数在年级排名的大致情况．20．（8分）为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元. （1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴，y 轴的交点分别为(10)，和(03)-，．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当3y >-时，x 的取值范围． 22．（10分）抛物线23yax bx a =+-经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D (m,-m-1) 在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D’的坐标;（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使PCB CBD ∠=∠，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.23．（10分）为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B 相距8米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2米，观察者目高CD ＝1.5米，则树AB 的高度．24．（10分）如图,在口ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F,DE= 12CD (1)求证:△ABF ∽△CEB(2)若△DEF 的面积为2,求△CEB 的面积25．（12分）如图，DEF 是ABC 经过某种变换得到的图形，点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：()1分别写出点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；() 2若点()P a 3,4b +-与点()Q 2a,2b 3-也是通过上述变换得到的对应点，求a 、b 的值．26．如图，已知A （-1,0），一次函数122y x =-+的图像交坐标轴于点B 、C ，二次函数22y ax bx =++的图像经过点A 、C 、B ．点Q 是二次函数图像上一动点。
北京市东城区九年级上册期末考试数学试题(有答案)【精编】.docx
北京市东城区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．2.边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC=．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3.若要得到函数y=（+1）2+2的图象，只需将函数y=2的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=（+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y=2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y=（+1）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.点A（1，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，若1＜2＜0，则（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0【分析】由=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．解：∵=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随的增大而减小，∵1＜2＜0，∴点A（1，y1），B（2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是（）A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．6.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．解：∵点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，∴=，∴△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S △ABC =8，故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7. 已知函数y=﹣2+b +c ，其中b ＞0，c ＜0，此函数的图象可以是（）A .B ．C ．D ．【分析】根据已知条件“a ＜0、b ＞0、c ＜0”判断出该函数图象的开口方向、与和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b ＞0，c ＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=a 2+b +c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与 轴交点的个数．8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．故选：C．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.若抛物线y=2+2+c与轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2 ．【分析】根据抛物线y=2+2+c 与轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=2+2+c 与轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，能根据已知得出关于c 的不等式是解此题的关键．11.如图，在平面直角坐标系Oy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B 点位置即可．解：∵A（﹣2，1），点B 与点A 关于点O 中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC 的长，由勾股定理可得出OA 的长．解：连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA﹣1）2+22，解得，OA=，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN 的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，∴MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤ ．①AB=AD；②BC=CD；③ ；④∠BCA=∠DCA；⑤ ．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误；②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB 与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15.已知函数y=2﹣2﹣3，当﹣1≤≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1．【分析】结合函数y=2﹣2﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数a 的取值范围．解：函数y=2﹣2﹣3=（﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以=1 为对称轴的抛物线，当且仅当=1 时，函数取最小值﹣4，∵函数y=2﹣2﹣3，当﹣1≤≤a 时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.如图，在平面直角坐标系Oy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y= 的图象上运动，的值为12 ，OM长的最小值为．【分析】先根据P（4，3），求得=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，O M最短，即当=y时，=，解得=±2，进而得到OM的最小值．解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y=可得，=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，当=y时，=，解得=±2，又∵＞0，∴=2，∴M（2，2），∴OM==2 ，故答案为：12，2．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题（本题共68 分，第17-24 题，每小题5 分，第25 题6 分，第26-27，每小题5 分，第28 题8 分）17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，=﹣+3+﹣1，=4﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（5 分）已知等腰△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC 的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．解：（1）圆心O 在△ABC 外部，在优弧BC 上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE 的长度，结合AB=AE+BE 即可求出AB的长度．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴BE=，∴AB=AE+BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．20．（5分）在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【分析】（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（5 分）北京2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C 的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得，∴△A′B′C′≌△ABC，∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A=60°，∴∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°．【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．（5 分）如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得t 的取值．解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，∴当t=2 时，h 取得最大值20 米；答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；（2）由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线y=2+4与反比例函数y=（≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2+4的解集．【分析】（1）把A（﹣3，a）代入y=2+4，可得A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2+4的解集．解：（1）把A（﹣3，a）代入y=2+4，可得a=﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y=2+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2+4的解集为﹣3＜＜0或＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与边BC，AC 分别交于点D，E．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tanA．【分析】（1）连接OD，作OG⊥AC 于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；（2）过O 作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；（2）过O作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG 垂直平分AE，∴∠AGO=90°，AG=2，由（1）可知：四边形ODFG 为矩形，∴OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=m2﹣2m+n（m≠0）与轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y=﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l1：y=+a 和l2：y=﹣+b 组成图形G．当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n 的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时b 的值，进而可得出点P 的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G 与线段BC 有公共点时，点P的纵坐标t 的取值范围．解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y=m2﹣2m+n，∴抛物线的对称轴为直线=﹣=1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B 关于直线=1 对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y=m2﹣2m+n过点B，直线y=﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣2++4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l2：y=﹣+b1过点B 时，0=﹣4+b1，解得：b1=4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣+4，当=1 时，y=﹣+4=3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y=﹣+b2过点C时，﹣=3+b2，解得：b2=﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣﹣，当=1时，y=﹣﹣=﹣，∴点P2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n 的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时点P 的坐标．27．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2 中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；（3）先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：（1）①在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC= =，∴∠BAC=60°；②∵∴，==，，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1 所示；②如图2，由（1）知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P 在AB 上，∴BP=，∴AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= =；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴∴AP'=1 是定值，∴点P'是在以点A 为圆心，半径为AP'=1 的圆上，①如图3，点P'在BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB 上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．28．（8 分）对于平面直角坐标系Oy 中的点M 和图形G，若在图形G 上存在一点N，使M，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A的横坐标A的取值范围．【分析】（1）分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点，则P 是，⊙O 的和睦点；（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r 的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：（1）如图1 中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则P 是，⊙O 的和睦点，观察图象可知，⊙O 的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．（3）①如图3中，当点O到C′D′的距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，∴﹣5≤A≤﹣3时，满足条件；②）①如图3 中，当点O 到A′B′的距离OM=1 时，此时点A′的横坐标为1当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标为﹣1，∴﹣1≤A≤1时，满足条件；综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤A≤﹣3或﹣1≤A≤1．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2022北京东城初三(上)期末数学(解析版)
2022北京东城初三（上）期末数学一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）一元二次方程2250x x+-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A．2，1，5B．2，1，5-C．2，0，5-D．2，0，52．（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．（2分）将抛物线2y x=向上平移3个单位后所得的解析式为()A．23y x=+B．23y x=-C．2(3)y x=+D．2(3)y x=-4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点(2,3)A关于原点对称的点的坐标是()A．(2,3)-B．(2,3)-C．(3,2)D．(2,3)--5．（2分）用配方法解方程241x x+=，变形后结果正确的是()A．2(2)5x+=B．2(2)2x+=C．2(2)5x-=D．2(2)2x-=6．（2分）中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“⋯””（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“⋅”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“⋯”上方的概率是()A．18B．16C．14D．127．（2分）如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，点C为O上一点，若70ACB∠=︒，则P∠的度数为( )A ．70︒B ．50︒C ．20︒D ．40︒8．（2分）如图，线段5AB =，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ．以点A 为圆心，线段AP 的长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，A 的面积为S ．则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是( )A ．正比例函数关系、一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．一次函数关系，二次函数关系D ．正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是 ．10．（2分）若关于x 的一元二次方程220x x m ++=的一根为1-，则m 的值是 ” ．11．（2分）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式： ” ．12．（2分）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为” ．13．（2分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为” ．14．（2分）如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆，若110DAE ∠=︒，40B ∠=︒，则C ∠的度数为” ．15．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(”u án )其外，旁有庣(”i āo )焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为”尺．16．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE CF=，AE，DF交于点P，则APD∠的度数为”；连接CP，线段CP的最小值为”．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：2280x x--=．18．（5分）如图，AB为O的弦，OC ABOM MC=，求⊥于点M，交O于点C．若O的半径为10，:3:2AB的长．19．（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：O（如图1)．求作：O的内接等腰直角三角形ABC．作法：如图2．①作直径AB；①分别以点A，B为圆心，大于1AB的长为半径作弧，两弧交于点M；2①作直线MO交O于C，D两点；①连接AC，BC．所以ABC∆就是所求作的等腰直角三角形．根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线． 又直线MO 交O 于点C ，AC ∴= ． AB 是直径，ACB ∴∠= ( )（填写推理依据）． ABC ∴∆是等腰直角三角形．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++的部分图象经过点(0,3)A -，(1,0)B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出0y <时，x 的取值范围．21．（5分）如图．在平面直角坐标系xOy 中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(5,0)A ，(4,3)B -．将OAB ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到①OA B ''，点A 旋转后的对应点为A '．（1）画出旋转后的图形①OA B ''，并写出点A '的坐标；（2）求点B 经过的路径BB '的长（结果保留)π．22．（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A 志愿者被选中”是” 事件（填“随机”、“不可能”或“必然””)；（2）用画树状图或列表的方法求出A ，B 两名志愿者同时被选中的概率．23．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k -++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．24．（6分）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25)m 的空地上修建一个矩形小花园ABCD ．小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为y 2m ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？25．（6分）如图，AC 是O 的弦，过点O 作OP OC ⊥交AC 于点P ，在OP 的延长线上取点B ，使得BA BP =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若O 的半径为4，PC =，求线段AB 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)m 和(2,)n 在抛物线2y x bx =-+上．（1）若0m =，求该抛物线的对称轴；（2）若0mn <，设抛物线的对称轴为直线x t =．①直接写出t 的取值范围；①已知点1(1,)y -，3(2，2)y ，3(3,)y 在该抛物线上，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由． 27．（7分）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC ∆内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接PP '，BP '．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为” ；①若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是” ；①若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m = ；（2）已知直线(0)y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线(0)y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可．【解答】解：一元二次方程2250x x +-=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，5-， 故选：B ．【点评】本题考查了单项式的系数定义，多项式的项的定义和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．是中心对称图形，故本选项符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C ．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式． 【解答】解：抛物线2y x =向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：23y x =+．故选：A ．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．4．【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A 关于原点对称的点的坐标． 【解答】解：点(2,3)A ，A ∴点关于原点对称的点为(2,3)--，故选：D ．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．5．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：241x x +=，则24414x x ++=+，即2(2)5x +=，故选：A ．【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本题的关键．6．【分析】用“---”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．【解答】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是2184=，故选：C ．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=，难度适中． 7．【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理求出AOB ∠，根据切线的性质得到OA PA ⊥，OB PB ⊥，根据四边形内角和等于360︒计算，得到答案．【解答】解：连接OA 、OB ，70ACB ∠=︒，2140AOB ACB ∴∠=∠=︒， PA ，PB 是O 的切线，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909014040P ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，故选：D ．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．【解答】解：5y t =-，属于一次函数关系，2S t π=，属于二次函数关系，故选：C ．【点评】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【解答】解：23(1)2y x =--+是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,2)．故答案为(1,2)．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+中，对称轴为x h =，顶点坐标为(,)h k ．10．【分析】先把1x =-代入方程，可得关于m 的一元一次方程，解即可．【解答】解：把1x =-代入方程，得2(1)2(1)0m -+⨯-+=，解得1m =．故答案是：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入后正确的计算，难度不大．11．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a 是正数，2c =即可．【解答】解：开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式为22y x =+，故答案为：22y x =+（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．12．【分析】根据频率估计概率即可得出“摸出黑球”的概率．【解答】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在0.2左右，所以，“摸出黑球”的概率为0.2，故答案为：0.2．【点评】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．13．【分析】利用5月份的参观人数3=月份的参观人数(1⨯+月平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：210(1)12.1x +=．故答案为：210(1)12.1x +=．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．【分析】由旋转的性质可得DAE BAC ∠=∠，由三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆，110DAE BAC ∴∠=∠=︒，40B ∠=︒，1801804011030C B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：30︒．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．15．【分析】根据正方形性质确定CDE ∆为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解．【解答】解：如图，四边形CDEF 为正方形，90D ∴∠=︒，CD DE =，CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =，2.50.2522CE ∴=-⨯=，CD ∴==【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．16．【分析】根据“边角边”证明ADE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得DAE CDF ∠=∠，然后求出90APD ∠=︒，取AD 的中点O ，连接OP ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P 到AD 的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C 、P 、O 三点共线时线段CP 的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO ，再求解即可． 【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADE DCF ∠=∠=︒，在ADE ∆和DCF ∆中，AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE DCF SAS ∴∆≅∆，DAE CDF ∴∠=∠，90CDF ADF ADC ∠+∠=∠=︒，90ADF DAE ∴∠+∠=︒，90APD ∴∠=︒，取AD 的中点O ，连接OP ，则112122OP AD ==⨯=（不变）， 根据两点之间线段最短得C 、P 、O 三点共线时线段CP 的值最小，在Rt COD ∆中，根据勾股定理得，CO =所以，1CP CO OP =-=．故答案为：90︒1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P 到AD 的中点的距离是定值是解题的关键．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：(4)(2)0x x -+=，40x -=或20x +=，所以14x =，22x =-．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18．【分析】先求出OM 的值，再根据垂径定理求出AM BM =，再根据勾股定理求出AM 即可． 【解答】解：设3OM x =，2MC x =，O 的半径为10， 3210x x ∴+=，解得：2x =， 即6OM =， 连接OA ，OC AB ⊥，OC 过圆心O ，AM BM ∴=，90AMO ∠=︒，由勾股定理得：8BM AM ===， 8816AB ∴=+=．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 19．【分析】（1）根据题干要求的步骤依次求解即可； （2）根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线．又直线MO 交O 于点C ， AC BC ∴=．AB 是直径，90ACB ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ABC ∴∆是等腰直角三角形．故答案为：BC 、90︒，直径所对的圆周角是直角．【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和圆周角定理． 20．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）求出抛物线与x 轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．【解答】解：（1）将(0,3)A -，(1,0)B 代入22y ax x c =++得302c a c -=⎧⎨=++⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩，223y x x ∴=+-． （2）令2230x x +-=， 解得3x =-或1x =，∴抛物线经过(3,0)-，(1,0)，抛物线开口向上， 0y ∴<时，31x -<<．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．21．【分析】（1）将点A 、B 分别绕点O 顺时针旋转90︒得到其对应点，再与点O 首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可．【解答】解：（1）如图所示，①OA B ''即为所求．点A '的坐标为(0,4)-；（2）由图知，90AOA ∠'=︒，5OB =，∴点B 在旋转过程中所走过的路径长90551802BB ππ⨯'==． 【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． 22．【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机； （2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，A ∴，B 两名志愿者同时被选中的概率为21126=． 【点评】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）根据根的判别式：①222[(4)]16816(4)0k k k k k =-+-=-+=-，即可得到结论；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出14x =、2x k =，根据方程有一根小于2，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【解答】（1）证明：①222[(4)]16816(4)0k k k k k =-+-=-+=-，∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：2(4)40x k x k -++=，(4)()0x x k ∴--=， 14x ∴=，2x k =．方程有一根小于2， 2k ∴<，k ∴的取值范围为2k <．【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当①0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于2，找出关于k 的一元一次不等式．24．【分析】（1）根据矩形的面积公式写出函数解析即可； （2）根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：2(402)240y x x x x =-=-+，040225x <-，∴15202x <， y ∴与x 之间的函数关系式为215240(20)2y x x x =-+<；（2）由（1）知，222402(10)200y x x x =-+=--+， 20-<，15202x <，∴当10x =时，y 有最大值，最大值为200，答：当10x =时，小花园的面积最大，最大面积是2200m ．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据函数的性质求最值．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到C OAC ∠=∠，BPA BAP ∠=∠，求得CPO BAP ∠=∠，推出90BAO ∠=︒，根据切线判定定理得到AB 是O 的切线；（2）根据勾股定理得到2OP ==，设BA BP x ==，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：OA OC =， C OAC ∴∠=∠，PB BA =， BPA BAP ∴∠=∠，CPO BPA ∠=∠， CPO BAP ∴∠=∠， OP OC ⊥， 90COP ∴∠=︒， 90C CPO ∴∠+∠=︒， 90CAO BAP ∴∠+∠=︒，即90BAO ∠=︒， OA 是O 的半径，AB ∴是O 的切线；（2）解：90COP ∠=︒，4OC =，PC =2OP ∴==， 设BA BP x ==， 90BAO ∠=︒，222AB AO OB ∴+=，2224(2)x x ∴+=+， 3x ∴=，∴线段AB 的长为3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 26．【分析】（1）把点(1,0)代入2y x bx =-+求得b 的值，即可根据对称轴公式求得答案； （2）①分类讨论b 的正负情况，根据0mn <可得对称轴在12x =与直线1x =之间；①根据各点到对称轴的距离判断【解答】解：（1）若0m =，则点(1,0)在抛物线2y x bx =-+上， 01b ∴=-+，解得1b =，∴抛物线的对称轴为直线112(1)22b x =-=-=⨯--；（2）①2y x bx =-+，∴抛物线开口向下且经过原点，当0b =时，抛物线顶点为原点，0x >时y 随x 增大而减小，0m n >>不满足题意， 当0b <时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，0n m >>不满足题意， 当0b >时，抛物线对称轴在y 轴右侧，1x =时0m >，2x =时0n <， 即抛物线和x 轴的2个交点，一个为(0,0)，另外一个在1和2之间，∴抛物线对称轴在直线12x =与直线1x =之间， 即112t <<； ①点1(1,)y -与对称轴距离3(1)22t <--<， 点3(2，2)y 与对称轴距离13122t <-<，点3(3,)y 与对称轴距离5232t <-< 312y y y ∴<<．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．27．【分析】（1）利用SAS 证明ABP ACP '∆≅∆，即可得出答案；（2）①由三角形内角和定理知8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒，再利用角度之间的转化对P BP '∠进行转化，475608606608P BP '∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠+︒-∠，从而解决问题；①延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，得出四边形PBNC 为平行四边形，则//BN CP 且BN CP =，再利用SAS 证明①P BP NBP '≅∆，得2PP PN PM '==． 【解答】解：（1）BP CP '=， 证明：ABC ∆是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒， 2360∴∠+∠=︒将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，AP AP '∴=，60PAP '∠=︒，1260∴∠+∠=︒， 13∴∠=∠，()ABP ACP SAS '∴∆≅∆，（2）①当120BPC ∠=︒时， 则8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒， ABP ACP '∆≅∆， 45∴∠=∠， 47P BP '∴∠=∠+∠ 5608=∠+︒-∠ 606608=︒-∠+︒-∠120(68)=︒-∠+∠ 12060=︒-︒ 60=︒，故答案为：60︒； ①2AP PM =，理由如下：延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，M 为BC 的中点，BM CM ∴=，∴四边形PBNC 为平行四边形，//BN CP ∴且BN CP =， BN BP '∴=，96∠=∠，又8660∠+∠=︒， 8960∴∠+∠=︒， 60PBN P BP '∴∠=︒=∠，又BP BP =，P B BN '=，∴①()P BP NBP SAS '≅∆，2PP PN PM '∴==，又APP '∆为正三角形，PP AP '∴=， 2AP PM ∴=．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．28．【分析】（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图，即可求解；①从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，而线段11A B ⊥直线y x m =-+，线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；线段33A B =O 的最长的弦为2，得线段33A B的对称线段不可能是O 的弦，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B =，∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=O 上，有两种可能，画出对应图形即可求解；（2）先表示出OC =，b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是CO 长最小，根据线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上，得3AC AC ''==，再由三角形三边关系得AC OA OC AC OA '-''+'，得当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)；当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，分两种情形分别求解．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图， 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；①从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段33A B =O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B =∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能， 第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)， 此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-， 此时2m =， 故答案为：3或2；（2）直线(0)y b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x =，OC ∴=，b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上， 3AC AC ∴''==，在①A CO '中，AC OA OC AC OA '-''+'，∴当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线y b =+中，20b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=，15322CD ∴=-=，在Rt ①B DC '中，B C '==∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线y b =+中，40b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=，17322CD ∴=+=，在Rt ①B DC '中，B C '==b ∴BC BC【点评】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．。
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北京市东城区第一学期期末统一测试初三数学学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．关于的一元二次方程2+4+=0有两个相等的实数根，则的值为 A ．=4 B ．=﹣4 C ．≥﹣4 D ．≥4 2．抛物线y =2+2+3的对称轴是A ．直线=1B ．直线=﹣1C ．直线=﹣2D ．直线=23．剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是A B C D4．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是 A ．甲组 B ．乙组 C ．丙组 D ．丁组5．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =--先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是A ．2(1)1y x =++ B ．2(3)1y x =-+ C ．2(3)5y x =-- D ．2(1)2y x =++ 6．已知点A （2，y 1），B （4，y 2）都在反比例函数ky x=（＜0）的图象上，则y 1，y 2的大小关系为 A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1=y 2D ．无法确定7．如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6. 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是y8. 如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的 侧面积为 A ．30πcm 2 B ．48πcm2 C ．60πcm 2D ．80πcm 29. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB =90°，∠A =25°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是 A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用. 名为“数据包络分析”（简称DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资配置.为了解出租车资的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA 值进行调查，调查发现， DEA 值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且0a ≠），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是 A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是 ．12．已知m 是关于的方程2﹣2﹣3=0的一个根，则2m 2﹣4m = ．13. 二次函数242y x x =--的最小值为 ．14. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为 米．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC =以点C 为圆心，CB 的长为半 径画弧，与AB 边交于点D ,将BD 绕点D 旋转°180后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 .16．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0,0），B （2,2），菱形的对角线的交点D 的坐标为 ；菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D 的坐标为 .三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程： 22410x x --=.E F DB CA18. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，∠B =∠DAC ，若BC =8，求AC 的长.19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB =8，CD =6，求BE 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， Rt △ABO 的边AB 垂直于轴，垂足为点B ，反比例函数11k y x=（＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ， OB =4，AB =3． （1）求反比例函数11k y x=（＞0）的解析式； （2）设经过C ，D 两点的一次函数解析式为22y k x b =+，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当21y y ＞时， 的取值范围．21．列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为20m 2，求原正方形空地的边长．22． 按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A ，B ，C 的对应点为点A 1，B 1，C 1．画出旋转后的△A 1B 1C 1；BC（2）下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24.在平面直角坐标系Oy中，对称轴为直线=1的抛物线y= -2+b+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD 为底的等腰三角形，求点P的坐标．25. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；图2CBA图3CBAD 图1CBA（2）若BD DE =AD =，求CE 的长．26. 问题探究： 新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）． 解决问题：已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC=．（1）如图1，若AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是△ABC 的一条等积线段，求AD 的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27． 在平面直角坐标系O y 中，抛物线224y mx mx m =-+-（0m ≠）与 轴交于A ，B 两点（点A在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，-3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最 小，求点P 的坐标；（3）将抛物线在B ，C 之间的部分记为图象G （包含B ，C 两点），若直线y=5+b 与图象G 有公共点，请直接写出b 的取值范围．28. 点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点． （1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF =30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．在平面直角坐标系Oy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离不小于定值，则称直线l 与图形W 成“相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为.（1）若图形W 是由()12--，A ，()1,2-B ，()12，C ，()12-，D 顺次连线而成的矩形： ○1l 1：y =+2，l 2：y =+1，l 3：y = --3这三条直线中，与图形W 成“2相关”的直线有________; ○2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W 成“5相关”；○3若存在直线与图形W 成“2相关”，且该直线与直线y =平行，与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标Q y 的取值范围；（2）若图形W 为一个半径为2的圆，其圆心位于轴上.若直线333+=x y 与图形 W 成“3相关”，请直接写出圆心的横坐标K x 的取值范围.备用图北京市东城区第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题8分） 17．解方程：22410x x --=解： 2122x x -=. …………1分 212112x x -+=+ .…………2分 23(1)2x -=. …………3分 1x =. ∴ 1211x x =+=- …………5分 18. 解：∵ ∠B =∠DAC ，∠C =∠C ，∴ △ABC ∽△DAC . …………2分∴AC BCCD AC=. ∴ 2AC CD BC =⋅． …………3分 ∵ AD 是中线， BC =8，∴ 4CD =. …………4分 ∴ AC = …………5分19. 解：连接OC . …………1分∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴ 点E 是CD 的中点. …………2分 在Rt △OCE 中，222OE CE OC +=， ∵ AB =8，CD =6， ∴ 可求OE =…………4分∴ 4BE = …………5分20.（1）由题意可求点C 的坐标为（2，32）. …………1分 ∴ 反比例函数的解析式为13y x=（＞0）. …………2分（2）可求BC出点D的坐标为（4，34）. …………3分∴可求直线CD的解析式239-84y x=+. …………4分当2＜＜4时，21y y＞. …………5分.21．解：设原正方形空地的边长为m．…………1分根据题意，得()()1220x x--=．…………2分解方程，得126,3(x x==-舍）…………4分答：原正方形空地的边长为6m．…………5分22．解：（1）旋转后的△A1B1C1如下图：C1B1A1…………3分（2）根据题意画图如下：符合其中的两种即可．…………5分23．解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；………3分（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13．∵ 59＞13，∴ 甲获胜的概率大，游戏不公平．…………5分24. 解：（1）由题意可求点A 的坐标为（3,0）．将点A （3,0）和点B （-1,0）代入y = -2+b +c ，得 0=-9+3,01.b c b c +⎧⎨=--+⎩解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩∴ 抛物线的解析式223y x x =-++． …………3分（2）可求出点C 的坐标为（0,3）．由题意可知 满足条件的点P 的纵坐标为2．∴ 223=2x x -++．解得 1211x x ==∴ 点P 的坐标为(12)+或(12)-． …………5分25. （1）证明：连接OD ．∵ OA =OD ，∴ ∠BAD =∠ODA ． ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAD =∠DAC ．∴ ∠ODA =∠DAC ．∴ OD ∥AE ．∵ DE ⊥AE ，∴ OD ⊥DE ．EC B AH G C BA ∴ DE 是⊙O 的切线． …………2分（2）解：∵ OB 是直径，∴ ∠ADB =90°．∴ ∠ADB =∠E ．又∵ ∠BAD =∠DAC ，∴ △ABD ∽△ADE ．∴2AB BD AD DE ==．∴ 10AB =．由勾股定理可知BD =连接DC ，∴BD DC ==∵ A ,C ,D ,B 四点共圆.∴ ∠DCE =∠B.∴ △DCE ∽△ABD ．∴ AB BDDC CE =.∴ CE =2. …………5分26. 解：（1）在Rt △ADC 中，∵AC ==45C ∠°，∴ 2AD =． …………1分（2）符合题意的图形如下所示：为AC中点，BE =EGH ∥BC，GH =.…………5分意可得，43m -=- .27.解：（1）由题 1.m ∴=∴ 抛物线的解析式为：223y x x =--.…………2分（2）点A 关于抛物线的对称轴对称的点是B ，连接BC 交对称轴于点P ，则点P 就是使得PA+PC 的值最小的点.可求直线BC 的解析式为3y x =-.∴ 点P 的坐标为（1,-2）. …………5分（3）符合题意的b 的取值范围是-15≤b ≤-3. …………7分28.解：（1）OE =OF . …………1分（2）补全图形如右图. …………2分OE =OF 仍然成立. …………3分证明：延长EO 交CF 于点G .∵ AE ⊥BP ， CF ⊥BP ，∴ AE ∥CF .∴ ∠EAO =∠GCO.又∵ 点O 为AC 的中点，∴ AO =CO.∵ ∠AOE=∠COG ，∴ △AOE ≌△COG.∴ OE =OF. …………5分（3）CF OE AE =+或CF OE AE =-. …………7分29.解：（1）① 1l 和2l . …………2分② 符合题意的直线如下图所示. …………4分夹在直线a 和b 或c 和d 之间的（含直线a ，b ，c ，d ）都是符合题意的.○3设符合题意的直线的解析式为 .y b =+ 由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.分别代入可求出1211b b ==-∴ 11Q y -≤≤ …………6分（2）33K x -≤- …………8分。