2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.5指数函数
2014届高考数学总复习 第2章 第5讲 指数及指数函数
1 2
，这时g(x)＝(1－4m)
x ＝－
x 在[0，＋∞)
上为[答减案函]数，14 不合题意，舍去，所以a＝14.
【备考·角度说】 No.1 角度关键词：易错分析 指数函数的单调性与底数a有关，当底数a与1的大小关系 不确定时，要注意分类讨论．然后对讨论结果进行整合，有些 同学往往忽视这一点而导致错解．
[ 变 式 探 究 ] [2013· 天 津 模 拟 ] 如 果 函 数 y ＝ a2x ＋ 2ax － 1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a的值．
解：设t＝ax，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.其对称轴为直线t ＝－1，
当a>1时，t∈[a－1，a]，ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或 a＝－5(舍)；
(2) 有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝________(a>0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝________(a>0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)． 上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适 用．
下列根式和分数指数幂的互化是否正确
①(－ x)＝(－x)12(x≠0)( )
1. 分数指数幂与根式的关系：根式与分数指数幂的实质是 相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数 指数幂进行根式的化简运算．
2. 函数y＝ax、y＝a|x|的关系：函数y＝ax与y＝|ax|是同一个 函数的不同表现形式，函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶 函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．
[规范解答] 当0<a<1时，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值
为a－1＝4，即a＝
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：2.4 指数与指数函数
第4讲 指数与指数函数【2014年高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算和幂的比较大小． 4．考查指数函数与函数、方程、不等式等内容结合的综合问题.考点梳理1．根式 (1)根式的概念根式符号表示备注 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 n >1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数n a零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根①n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a <0)，n 为偶数.②⎝⎛⎭⎫n a n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． 2．分数指数幂(1)正分数指数幂是：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)； (2)负分数指数幂是：a －m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)；(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．3．有理指数幂的运算性质(1)a r·a s＝a r ＋s (a>0，r、s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质a>10<a<1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1x<0时，y>1在(－∞，＋∞)上递增在(－∞，＋∞)上递减一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 考点自测1．若log 2a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >1，则( )．A ．a >1，b >0B ．a >1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析 由log 2a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >1，得0<a <1，b <0.答案 D2．(2011·四川)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )．解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象如图，作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A3．若lg a ＋lg b ＝0(其中a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝b x 的图象( )． A ．关于直线y ＝x 对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于原点对称解析 由lg a ＋lg b ＝0得lg ab ＝0，∴ab ＝1.∴b ＝1a ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x，∴f (x )＝a x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x的图象关于y 轴对称．答案 C4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )．A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由x 2≥0，得0<1x 2＋1≤1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫121≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫120，即12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1<1.故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案 C5．(人教A 版教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________． 解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.答案 7考向一 指数幂的化简与求值【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23·b －1－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键． 解 先化为分数指数幂，再进行运算．(1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab4ab 2.在解决分数指数幂的运算时，应注意如下几点：(1)尽量将根式、小数指数幂统一为分数指数幂；(2)尽量运用乘法公式；(3)对于有些指数式的问题，有时应转化为对数；(4)注意整体代换思想在指数式运算中的应用． 【训练1】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________； (2)a 35b 2·35b 34a 3＝________； (3)a 43－8a 13ba 23＋23ab ＋4b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a ＝________. 解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214＋(213×312)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋4×27＝110.(2)a 35b 2·35b 34a 3＝a 32－312·b 315－210＝a 54＝a 4a . (3)令a 13＝m ，b 13＝n ，则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n ＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a . 答案 (1)110 (2)a 4a (3)a考向二 指数函数的图象及应用【例2】►(2012·四川)函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )．[审题视点] 对a 分a >1和0<a <1两种情况讨论，然后结合指数函数的性质(如单调性)进行判断．解析注意到当0<a<1时，函数y＝a x－1a是减函数，且其图象可视为是由函数y＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知，选D.答案 D(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．【训练2】画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？解函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．考向三指数函数的性质及应用【例3】►已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解 (1)因为函数的定义域为R ，所以关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．(3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数，所以f (－1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．(1)判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系；(2)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(3)解决恒成立问题，一般需通过分离变量，转化为求函数的最值等来实现．【训练3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12·x 3(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 解 (1)由于a x －1≠0，且a x ≠1，所以x ≠0. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(3)当a >1时，对x >0，由指数函数的性质知 a x >1， ∴a x －1>0，1a x －1＋12>0. 又x >0时，x 3>0，∴x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12>0， 即当x >0时，f (x )>0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， 则当x <0时，－x >0，有f (－x )＝f (x )>0成立． 综上可知，当a >1时，f (x )>0在定义域上恒成立． 当0<a <1时，f (x )＝(a x ＋1)x 32(a x －1).当x >0时，0<a x <1，a x ＋1>0，a x －1<0，x 3>0，此时f (x )<0，不满足题意； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝f (x )<0，也不满足题意． 综上可知， 所求a 的取值范围是(1，＋∞)．热点突破5——有关求解指数型函数中参数的取值范围问题【命题研究】 通过对近三年高考试题分析，对本讲考查的题目源于教材，略高于教材，是教材中问题的延伸与组合，指数函数作为中学阶段的基本函数，其图象和性质是重要的考查热点．题型有：解简单的指数方程、不等式，利用数形结合思想判断方程解的个数、与不等式相结合考查代数式的最值或参数的取值范围等．多以选择题、填空题出现，难度以中档题为主． 【真题探究】► (2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[教你审题] 本题为指数型的复合函数，利用复合函数的单调性的判定判断，结合函数图象求解．[解法] 因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1. [答案] (－∞，1][反思] 有关复合函数的单调性要利用“同增异减”的判定法则来求解，若指数函数的底数不确定时还要进行分类讨论．【试一试】 (2013·焦作模拟)若函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－3，＋∞) B ．(－∞，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析 由题意得y ′＝(a －1)e (a －1)x ＋4，设函数的大于零的极值点为x 0，则(a －1)e(a －1)x 0＋4＝0，∴e(a －1)x 0＝41－a.∵e(a －1)x 0>0，∴1－a >0，又极值x 0>0，则(a －1)x 0<0， ∴0<e(a －1)x 0<1，∴0<41－a<1，得a <－3.答案 BA 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为 ( )．A ．0B.33C ．1D. 3解析 由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3.答案 D2．(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析 a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a . 答案 A3．(2013·佛山模拟)不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x－a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a－1)2x －a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1]( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，2－x ，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，146．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <0，－2－x，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________． 解析 当x >0时，有f (x )<0；当x <0时，有f (x )>0.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2f (x )，f (x )<0，－2－f (x )，f (x )>0＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2－x ，x >0，－2－2x ，x <0.而当x >0时，－1<－2－x <0，则12<2－2－x <1. 而当x <0时，－1<－2x <0，则－1<－2－2x <－12. 则函数y ＝f (f (x ))的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有 f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．8．(13分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a .解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪t >1或t <－13. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )．A.12B.14C ．2D ．4解析 由题意知f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，即a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 答案 C2．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的( )．解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，且f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由已知得f (1)＝21＋1＝3，故 f (f (1))>3a 2⇔f (3)>3a 2⇔32＋6a >3a 2.解得－1<a <3. 答案 (－1,3)4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析 x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞三、解答题(共25分)5．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)若f (x )是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x－a ·2x ， ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．令t ＝2x，t ∈[1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a24，当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4.综上，当a ≤2时，f (x )的最大值为a －1；当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.(2)∵函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴f ′(x )＝a ln 2×2x －ln 4×4x ＝2x ln 2·(a －2×2x )≥0，∴a －2×2x ≥0恒成立，∴a ≥2×2x .∵2x ∈[1,2]，∴a ≥4. 6．(13分)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12， ∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
高考数学一轮温习热点难点精讲精析1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
2014年高考一轮温习热点难点精讲精析：命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的关系与真假的判断一、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判毕命题的真假。
（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。
注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必需保留大前提，大前提不动。
二、例题解析〖例1〗】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再按照四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3)在判断四种命题的真假时，可按照原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数(2)若a≤b，则a-1≤b-1(3)1〖例2〗以下列命题为原命题，别离写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，其中“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论．所以：逆命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”；否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”(注意“a ＝b ，c ＝d ”的否定是“a ≠b 或c ≠d ”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ≠b 或c ≠d ”．逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处置．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并别离判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定一、相关链接（1）利用概念判断①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(没必要要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(没必要要)条件．②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．ⅱp q ⇒⇔q p ⌝⇒⌝，即无q 必然无p ，可见q 对于p 来讲必不可少。
2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：2.5指数函数
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.5指数函数一、幂的运算的一般规律及要求 1．相关链接(1)分数指数幂与根式根据*,,,)=∈m naa 0m n N n 1＞且＞可以相互转化.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24a 写成12a 等必须认真考查a 的取值才能决定,如(),-==2411而()12-=1无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数幂的化简与求值的原则及结果要求 （1）化简原则①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。
（2）结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。
2．例题解析〖例1〗（1）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--；（2）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。
（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。
解：（1）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+-23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=；（2）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-= 〖例2〗已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x-+=，∴129x x-++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=， ∴2247x x-+=，又∵331112222()(1)3(71)18x xx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x--+--==-+-二、指数函数的图象及应用 1．相关链接 （1）图象的变换（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质①图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；②图象在y轴上的身影可得出函数的值域；③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。
高考数学复习指数与指数函数-重难点题型精讲(解析)
专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂 （1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。
如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98． （2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出． 【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336， （2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可． 【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。
2014届高考数学(理,浙江专版)一轮复习2.5《指数与指数函数》
5 4
＝a4
a3
a.
1
1
(3)令 a 3 ＝m，b 3 ＝n，
则原式＝m2m＋42－m8nm＋n43 n2÷1－2mn·m ＝mm2＋m23m－n8＋n43n2·m－m22n ＝m3mm2＋－22mnn＋m24＋n22mmn－＋24nn2 ＝m3＝a. [答案] (1)110 (2)a4 a (3)a
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理指数幂的含义，了解实
数指数幂的意义，掌握幂的运 算． 3.理解指数函数的概念，会解决与 指数函数性质有关的问题.
2012·选择题T9 2010·解答题T22
1．根式 (1)根式的概念：
[归纳·知识整合]
根式的概念
符号表示 备注
a>0， 因此必有3a－a 4＝－1， 解得 a＝1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.
(3)由指数函数的性质知，要使 y＝13h(x)的值域为(0， ＋∞)．应使 h(x)＝ax2－4x＋3 的值域为 R，
因此只能 a＝0(因为若 a≠0，则 h(x)为二次函数，其值 域不可能为 R)．故 a 的值为 0.
指数函数的性质及应用
[例 3]已知函数 f(x)＝13ax2－4x＋3. (1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值．
[自主解答] (1)当 a＝－1 时， f(x)＝13－x2－4x＋3， 令 g(x)＝－x2－4x＋3，
解得 a＝3(a＝－5 舍去)．综上得 a＝13或 a＝3.
1 个关系——分数指数幂与根式的关系
2014届高三数学一轮复习：指数与指数函数
指数式的化简与求值
[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
2
(a 3
(1)
.b
1
)
1 2
.a
1 2
6 a.b5
1
.b 3
；
(2)2790.5＋0.1－
2＋21207
2 3
－3π0＋3478.
1 1 1 1
[自主解答]
(1)原式＝ a
3b 2 ·a 2b 3
15
a6b6
＝a
1 3
1 2
1 6
三、指数函数的图象和性质
[动漫演示更形象，见配套课件]
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0<a<1
a>1
图象
图象 特征
在x轴上方 ，过定点
(0,1)
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减函数
增函数
性
质 函数
当x＝0时，y＝1
y>1
0<y<1
值变 当x<0时， ； 当x<0时，
[例3] 已知函数f(x)＝3x－31|x|. (1)若f(x)＝2，求x的值； (2)判断x>0时，f(x)的单调性．
[自主解答] (1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0， ∴f(x)＝2无解． 当x>0时，f(x)＝3x－31x，令3x－31x＝2， ∴(3x)2－2·3x－1＝0，∴3x＝1± 2. ∵x>0,3x>1，∴3x＝1－ 2(舍)．∴3x＝1＋ 2. ∴x＝log3(1＋ 2)．
1，x≥1， 解析：(1)由y＝e|ln x|－|x－1|＝x＋1x－1，0<x<1， 可判断图像为D. (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图 像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共 点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 答案：(1)D (2)[－1,1]
高考数学(文)一轮复习 2-5指数与指数函数
(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
6
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
29
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
命题角度 2 解简单的指数不等式
例 4 [2016·郑州模拟]设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )
A．{x|x＜－2 或 x＞4} B．{x|x＜0 或 x＞4}
C．{x|x＜0 或 x＞6}
解 曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 有两个 公共点，则 b 的取值范围是(0,1)．
23
板块一
板块二
板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
延伸探究 2 若将本例(2)改为：函数 y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则 k 的取值范围是什么？
板块五
高考一轮总复习 ·数学（文）
5．[课本改编]计算：32－
1 3
1 ×－760＋84
×4
2－
－23
2
2
3 ＝________.
1
31
1
解析 原式＝233 ×1＋24 ×24 －323 ＝2.
15
板块一
板块二
2014高考数学一轮复习课件_2.5指数与指数函数
形结合求解．
【尝试解答】
(1)由f(x)＝|2x－1|
2x－1，x≥0， ＝ 可作出函数的 1－2x，x＜0.
图象如图．因此函数f(x)在(－∞， 0)上递减；函数f(x)在(0，＋∞)上 递增．
(2)在同一坐标系中分别作出
函数f(x)、f(x＋1)的图象，
如图所示．
由图象知，当|2x0＋1－1|＝|2x0－1|时，解得x0＝ 2 2 log2 ，两图象相交，从图象可见，当x＜log2 时，f(x)＞f(x 3 3 ＋1)； 2 当x＝log2 时，f(x)＝f(x＋1)； 3 2 当x＞log2 时，f(x)＜f(x＋1)． 3
指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确 复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都 要借助“同增异减”这一性质分析判断． 2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞
0时的情况．
ax－1 已知函数f(x)＝ x (a＞0且a≠1)． a ＋1 (1)求f(x)的定义域和值域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性．
(2，－2)
3．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2 －1)x在定义域内是
减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知0＜a2－1＜1， ∴1＜a2＜2，即1＜a＜ 2或－ 2＜a＜－1.
【答案】
(－ 2，－1)∪(1， 2)
4 ． (2013· 广 州 六 校 联 考 ) 已 知 函 数 g(x) ＝ 2x ， 且 有
【答案】
A
易错提示：(1)对a和b没有化为同底的意识，造成思维受 阻． (2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中间量而盲目 作答，造成误解．
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.5 指数与指数函数
1
0,
2
.
方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y=|ax-1|的
图象与直线y=2a有两个不同的交点.
1
当0<a<1时,如图①,所以0<2a<1,即 0<a< ;
2
当a>1时,如图②,而y=2a>1不符合要求.
1
所以 0<a< .
2
图①
图②
拓展延伸
将例2(2)改为:若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则b的取值
值域
性 单调性
质 函数
值的变
化规律
R
(0,+∞)
在 R 上单调递减
当 x=0 时, y=1
当 x<0 时, y>1 ;
当 x>0 时, 0<y<1
在 R 上单调递增
当 x<0 时, 0<y<1;
当 x>0 时, y>1
问题思考
幂函数与指数函数有何区别?
幂函数形式为y=xα(α∈R),其自变量x处于底数位置,常数α处于指数位置;
原式=
25
27
-14
8
1
3
1
3
2
+643
1
+ 64
=
2
3
=
16
2
5 3
-1- +(43)3
2 2
=
.
3 3
− +16=16.
2 2
(2,3)
.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1 指数幂的化简与求值
人教A版高三数学(文科)一轮复习2.5指数函数教案
第五节 指数函数[考纲传真] (教师用书独具)1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．(对应学生用书第16页) [基础知识填充]1．根式的性质 (1)(na )n ＝a ．(2)当n 为奇数时，na n ＝a ．(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：a ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质[ 指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝ax ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞B ．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．图2-5-1 [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4(－4)4＝－4.( )(2)(－1)＝(－1)＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6] －(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B [原式＝(26)－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( ) A ．22 B ． 2 C ．14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C ．法二：当a ＞1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，A ，B ，D 都不合适；当0＜a ＜1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0＜a ＜1，故排除选项D ．]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．(1,2) [由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2.](对应学生用书第17页)化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214 －(0.01)0.5；[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝.[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [变式训练1] 化简求值：(1)(0.027)－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫279－(2－1)0；[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 00013－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1 ＝103－49＋53－1＝－45.＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(2)若曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围.【导学号：79170029】(1)B [y ＝e －|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x －1|，因此原函数的图象是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |的图象向右平移一个单位得到的，故选B ．](2)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．[规律方法] 指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[变式训练2] (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图2-5-2，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )图2-5-2A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．(1)D(2)1[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]角度1(1)(2018·贵阳模拟)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b(2)(2018·兰州模拟)不等式2x2－x＜4的解集为________．(1)A(2){x|－1＜x＜2}[(1)因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜C．(2)由2x2－x＜4得2x2－x＜22.所以x2－x＜2，解得－1＜x＜2.]角度2 复合函数的单调性、值域或最值已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【导学号：79170030】[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 则g (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，因此f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)由f (x )有最大值3知，ax 2－4x ＋3有最小值－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. [规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．。
高三数学一轮复习2.5 指数与指数函数
知识梳理 考点自诊
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-2-
1.根式
(1)根式的概念
xn=a⇒
������ = ������ a(������为奇数,且������∈N*), ������ = ± ������ ������(������为偶数,且������∈N*).
(2)根式的性质
①(������ ������)n=a(n∈N*).
(2)
-
27 8
-23+(0.002)-12-10(
5-2)-1+(
2−
3)0.
解 (1)原式=(���������3���������������22������������-1313������������2313)12=������32+16-1+13������1+13-2-13=ab-1.
在 R 上单调递增
当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, y>1
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-6-
知识梳理 考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
4
(1)
(������-4)4=π-4. (
×
)
(2)������ ������������与(������ ������)n 都等于 a(n∈N*). ( × )
(2)原式=
-
27 8
-23 +
1 500
-12 −
150-2+1
=
-
8 27
23+50012-10(
5+2)+1
=49+10 5-10 5-20+1=-1697.
(江西专用)2014年高考数学一轮复习 2.5 指数与指数函数课件 文 新人教A版
又因为y=
ex ex
ex ex
=
e2x e2x
1 1
=1+
e2
2 x
1
,所以当x>0时,函数为减函数,
故选A.【答案】(1)B ()A题型2 指数函数的性质及应用 例2 设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最
大值是14,求a的值.
【分析】首先用换元法把函数化为一元二次函数的形式,再 进行分类讨论,求解时注意换元后新元的取值范围.
2
+m+4>0对x∈R恒成立.
∴Δ=(m+1)2-4(m+4)<0.
∴m2-2m-15<0,∴-3<m<5,
∴实数m的取值范围为(-3,5).
1.分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根 式的运算,同时在公式变形时,应注意公式成立的条件,以减 少运算的失误.
2.指数函数y=ax的单调性与底数a有关,注意对底数的讨论.
2
∴要求f(x)的增区间实际上是求h(t)的减区间, 求f(x)的减区间实际上是求h(t)的增区间.
∵h(t)在(0,2]上递增,在[2,+∞)上递减,
由0<t=( 1 )x≤2可得x≥-1,
2
由t=( 1 )x≥2可得x≤-1.
2
∴f(x)在[-1,+∞)上递减,在(-∞,-1]上递增,故f(x)的单调递增区 间是(-∞,-1],单调递减区间是[-1,+∞).
当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1
在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数
高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.5指数函数
高考一轮复习热点难点精讲精析：2.5指数函数一、幂的运算的一般规律及要求 1．相关链接(1)分数指数幂与根式根据*,,,)=∈m naa 0m n N n 1＞且＞可以相互转化.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24a 写成12a 等必须认真考查a 的取值才能决定,如(),-==2411而()12-=1无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数幂的化简与求值的原则及结果要求 （1）化简原则①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算（2）结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。
2．例题解析〖例1〗（1）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--；（2）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。
（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。
解：（1）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+-23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=；（2）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+- 922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-= 〖例2〗已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x-+=，∴129x x -++=，∴17x x-+=，∴12()49x x -+=， ∴2247x x-+=，又∵331112222()(1)3(71)18x xx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x--+--==-+-二、指数函数的图象及应用 1．相关链接（1）图象的变换（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质①图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；②图象在y轴上的身影可得出函数的值域；③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.2函数的单调性与最值
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.2函数的单调性与最值一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x 1、x 2是该区间内的任意两个值，且x 1< x 2.（2）作差：即f(x 2) –f(x 1)(或f(x 1)-f(x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符的方向变形。
（3）定：根据给定的区间和x 2- x 1符，确定差f (x 2) –f(x 1)(或f(x 1)-f(x 2))的符。
当符不确定时，可以进行分类讨论。
（4）判断：根据定义得出结论。
2、利用导数的基本步骤是：2、求函数的单调性或单调区间的方法（1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：（3）能求导的用导数法，其思维流程为：（4）能作差变形的用定义法，其思维流程为：注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。
例如函数y =1/x 在(,0)(0,)-∞+∞和内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即()(),00,-∞+∞内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(,0)(0,)-∞+∞和，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗(2011·江苏高考)函数f(x)=log 5(2x+1)的单调增区间是______. (2)判断函数+=+x 2y x 1在(-1，+∞)上的单调性. 【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法.解析：(1)函数f(x)的定义域为(12-，+∞)，令t=2x+1(t>0), 因为y=log 5t 在t ∈(0,+∞)上为增函数，t=2x+1在(12-，+∞)上为增函数，所以函数f(x)=log 5(2x+1)的单调增区间为(12-,+∞).答案：(12-，+∞)(2)方法一：定义法：设x 1>x 2>-1, 则()().++--=-=++++1221121212x 2x 2x x y y x 1x 1x 1x 1 ∵x 1>x 2>-1,x 2-x 1<0,x 1+1>0,x 2+1>0,()(),-∴<++2112x x 0x 1x 1即y 1-y 2<0,y 1<y 2.+∴=+x 2y x 1在(-1,+∞)上是减函数. 方法二：导数法：()()()()(),+-++-'='==+++22x 1x 2x 21y x 1x 1x 1 ∴在(-1，+∞)上，y ′<0,故+=+x 2y x 1[在(-1,+∞)上为减函数.〖例2〗求函数的单调区间思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．解析：设u=x 2+x-6 ．由x 2+x-6≥0，得x ≤-3或x ≥2，结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．又∵函数是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．〖例3〗设，(1) 试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2) 若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;解析: 1) ∵>0且2－x≠0 ∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分设任………………………………………2分∵∴………………………………3分∵∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分用数学归纳法易证证略. …… 12分二、应用函数的单调性1．应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2．例题解析〖例1〗(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)<f(m2)的实数m的取值范围是______.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【方法诠释】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.解析：(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)<f(m2)，则有:2-m<m2,即m2+m-2>0.解得:m<-2或m>1.所以m的取值范围为:(-∞,-2)∪(1,+∞).答案：(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，∴函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减,∴函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增，因此,y=f(x)在［0,2］上单调递增，又f(-1)=f(1),0<1<2,∴f(2)>f(-1)>f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图象的大致形状为由图象知f(2)>f(-1)>f(0).注：1.根据函数的单调性，解含有“f”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.〖例2〗已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1．(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3；(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求实数n的取值范围．【解析】(1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1>0，∴f(x2-x1)＞1 ，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在R 上是增函数.(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3, ∴不等式f(3m 2-m-2)＜3即为 f(3m 2-m-2)＜f(2). 又∵f(x)在R 上是增函数， ∴3m 2-m-2＜2，解得-41m 3＜＜． 因此不等式的解集为{m|-41m 3＜＜}； (3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1. ∵f(nx-2)+f(x-x 2)＜2，即f(nx-2)+f(x-x 2)-1＜1， ∴f(nx-2+x-x 2)＜f(0)． 由(1)知nx-2+x-x 2＜0恒成立， ∴x 2-(n+1)x+2＞0恒成立． ∴ Δ=［-(n+1)］2-4×2＜0,.∴---1n 1＜＜注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值〖例1〗已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。
2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：2.4二次函数
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.4二次函数一、求二次函数的解析式1．相关链接求二次函数解析式的方法及思路求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2．例题解析【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y 轴上的截距为1,在x 轴上截得的线段长为求f(x)的解析式.【方法诠释】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为x=t;图象在x 轴上截得的线段长度公式为|x 1-x 2|,本题可设f(x)的一般式,亦可设顶点式.解析：设f(x)的两零点分别为x 1,x 2,方法一：设f(x)=ax 2+bx+c,则由题知：c=1,且对称轴为x=-2.,∴-=-b 22a即b=4a.∴f(x)=ax 2+4ax+1.1.2∴-==⇒=1x a ∴b=4a=2 ∴函数f(x)的解析式为()1.2=++2f x x 2x 1 方法二：∵f(x-2)=f(-x-2),∴二次函数f(x)的对称轴为x=-2.设f(x)=a(x+2)2+b,且f(0)=1,∴4a+b=1.∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,∴-==1x()11...22⇒=∴=-∴=++2a b1f x x2x1【方法指导】用待定系数法求二次函数的解析式：(1)设一般式是通法；(2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点,往往设两根式,若选用形式不当，引入的待定系数过多，会加大运算量.【例2】如图,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上、两点，该抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于点,且∠ABC＝90°,求：(1)直线AB对应函数的解析式；(2)抛物线的解析式.【解析】(1)由已知及图形得：A(4,0),B(0,-4k),(-1,0)，又∵∠CBA=∠BOC=90°,∴OB2=CO·AO.∴(-4k)2=1×4,1.2∴=±k又∵由图知k＜0,1.2∴=-k∴所求直线的解析式为1.2=-+y x2(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则,⎧⎪=++⎪=⎨⎪⎪-=-⎩016a4b c2cb12a解得.⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩1a121b6c2∴所求抛物线的解析式为.=--+211y x x2126二、二次函数图象与性质的应用1．相关链接<一>求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得． <二>二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.注：配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.2．例题解析【例】(2012·盐城模拟)已知函数f(x)=x 2+2ax+3,x ∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值；(2)求实数a 的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数；(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【方法诠释】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.解析：(1)当a=-2时,f(x)=x 2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在［-4,2)上为减函数,在(2,6］上为增函数,∴f(x)min =f(2)=-1,f(x)max =f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.(2)函数f(x)=x 2+2ax+3的对称轴为,=-=-2a x a 2∴要使f(x)在[-4,6］上为单调函数,只需-a ≤-4或-a ≥6,解得a ≥4或a ≤-6.(3)当a=-1时,f(|x|)=x 2-2|x|+3()(),,⎧++=++≤⎪=⎨-+=-+⎪⎩2222x 2x 3x 12x 0x 2x 3x 12x 0＞ 其图象如图所示：注：1.影响二次函数f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论.2.确定与应用二次函数单调性，常借助其图象数形结合求解.三、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题1．相关链接二次函数问题的解题思路(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.2．例题解析【例3】设函数f(x)=ax 2-2x+2,对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f(x)＞0,求实数a 的取值范围.【方法诠释】解答本题可以有两条途径：(1)分a ＞0,a ＜0,a=0三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min ,再令f(x)min ＞0,从而求出a 的取值范围；(2)将参数a 分离得,-+222a x x ＞然后求()=-+222g x x x的最大值即可. 解析：方法一：当a ＞0时, ()(),=-+-211f x a x 2a a由f(x)＞0,x ∈(1,4)得：()⎧≤⎪⎨⎪=-+≥⎩11a f 1a 220或()⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩114a 11f 20a a ＜＜＞或(),⎧≥⎪⎨⎪=-+≥⎩14a f 416a 820≥⎧∴⎨≥⎩a 1a 0 或12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1a 14a ＜＜＞或,⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩1a 43a 8∴a ≥1或12a 1＜＜或Ø,即1,2a ＞当a ＜0时,()(),=-+≥⎧⎪⎨=-+≥⎪⎩f 1a 220f 416a 820解得a ∈Ø;当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.综上可得,实数a 的取值范围是1.2a ＞方法二：由f(x)＞0,即ax 2-2x+2＞0,x ∈(1,4),得-+222a x x ＞在(1,4)上恒成立.令()11(),22=-+=--+22221g x 2x x x()()1(,),,2∈∴==max 111g x g 2x 4所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要12a＞即可.注：1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论.2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.。
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2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.5指数函数一、幂的运算的一般规律及要求 1．相关链接(1)分数指数幂与根式根据*,,,)=∈m naa 0m n N n 1＞且＞可以相互转化.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24a 写成12a 等必须认真考查a 的取值才能决定,如(),-==2411而()12-=1无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数幂的化简与求值的原则及结果要求 （1）化简原则①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算（2）结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。
2．例题解析〖例1〗（1）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--；（2）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。
（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。
解：（1）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+-23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=；（2）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+- 922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-= 〖例2〗已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x-+=，∴129x x -++=，∴17x x-+=，∴12()49x x -+=， ∴2247x x-+=，又∵331112222()(1)3(71)18x xx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x--+--==-+-二、指数函数的图象及应用 1．相关链接（1）图象的变换（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质①图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；②图象在y轴上的身影可得出函数的值域；③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。
（3）应用指数函数图象研究指数型函数的性质：对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.（4）利用图象解指数型方程、不等式：一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.2．例题解析〖例1〗已知f(x)=|2x-1|(1)求f(x)的单调区间.(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.【方法诠释】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求解.(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.解析：(1)由f(x)=|2x-1|=,.,⎧-≥⎪⎨-⎪⎩xx21x012x0＜可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-∞,0)上递减；函数f(x)在(0,+∞)上递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.由图象知,当||+-=-00x 1x 2121时,解得,=022x log 3两图象相交,从图象可见,当22x log 3＜时,f(x)＞f(x+1)；当=22x log 3时,f(x)=f(x+1);当>22x log 3时,f(x)＜f(x+1).(3)将g(x)=f(x)-x 2的零点转化为函数f(x)与y=x 2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x -1|和y=x 2的图象如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.〖例2〗已知函数y=(13)|x+1|。
（1） 作出图象；（2） 由图象指出其单调区间；（3） 由图象指出当x 取什么值时函数有最值。
分析：化去绝对值符号→将函数写成分段函数的形式→作图象→写出单调区间→写出x 的取值。
解答：（1）由已知可得1|1|11(1)1,333(1)x x x x y x +++⎧⎛⎫≥-⎪⎛⎫ ⎪==⎨⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪<-⎩其图象由两部分组成：一部分是： 1111()(0)()(1);33x x y x x +=≥−−−−−−→≥-向左平移个单位另一部分是：113(0)3(1).x x y x y x +=≥−−−−−−→=<-向左平移个单位 图象如图：（2）由图象知函数在(,1]-∞-上是增函数，在(1,)-+∞上是减函数。
（3）由图象知当1x =-时，函数有最大值1，无最小值。
三、指数函数的性质及应用 1、相关链接（1）与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 ①函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同；②先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y=a f(x)的值域；（2）与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①求复合函数的定义域；②弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； ③分层逐一求解函数的单调性；④求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。
利用指数函数的性质可求解的问题及方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.2、例题解析〖例1〗(1)函数=y 的定义域是______. (2)函数()1()3--+=2x4x 3f x 的单调递减区间为______,值域为______.(3)(2012·金华模拟)已知函数()-=+x x a 1f x a 1(a ＞0且a ≠1)①求f(x)的定义域和值域； ②讨论f(x)的奇偶性； ③讨论f(x)的单调性.【方法诠释】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解. 解析：(1)由题意知,--≥2x 113027∴32x-1≥3-3,∴2x-1≥-3, ∴x ≥-1,即定义域是[-1,+∞). 答案：[-1,+∞)(2)令g(x)=-x 2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而1()3=t y 在R 上为单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+7≤7,()().-∴≥=771f x 33答案：(-∞,-2) [3-7,+∞) (3)①f(x)的定义域是R,令,-=+x x a 1y a 1得a x =-+-y 1y 1,∵a x ＞0,∴-+-y 1y 1＞0,解得-1＜y ＜1,∴f(x)的值域为{y|-1＜y ＜1}.②()(),-----===-++x xxxa 11a f x f x a 11a ∴f(x)是奇函数. ③()(),+-==-++xx xa 122f x 1a 1a 1设x 1,x 2是R 上任意两个实数,且x 1＜x 2,则()()()()().--=-=++++122112x x 12xx x x 2a a 22f x f x a 1a 1a 1a 1 ∵x 1＜x 2,∴当a ＞1时, 从而,,,++-1212xx x x a 10a10a a 0＞＞＜∴f(x 1)-f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2),f(x)为R 上的增函数. 当0＜a ＜1时, ,12xxa a 0＞＞ 从而,,,++-1212xx x x a 10a10a a 0＞＞＞∴f(x 1)-f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2),f(x)为R 上的减函数.〖例2〗如果函数f(x)=a x(a x-3a 2-1)(a>0且a ≠1)在区间[)0,+∞上是增函数，求实数的取值范围分析：先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解。
解答：由题意得f(x)= （a x）2-（3a 2+1）a x， 令t= a x。
f(t)=t 2-(3a 2+1)t(t>0).当a>1时，t= a x在[)0,+∞上为增函数，则此时t ≥1,而对于f(t)而言，对称轴t=2312a +>2,故f(x)在[)0,+∞上不可能为增函数； 当0<a<1时，t=a x在[)0,+∞上为减函数，此时0<t<1,要使f(x)在[)0,+∞上为增函数，则f(t)在(]0,1上必为减函数，故2312a +≥1.∴a≥或a≤1a ≤<。
四、指数函数的综合应用 〖例1〗已知f(x)=21a a - (a x -a -x)(a>0,a ≠1).(1)判断f(x)的奇偶性(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求b 的取值范围.思路分析：本题(1)(2)问判断f(x)的奇偶性、讨论它的单调性，由于已知函数的解析式，因此用定义判断或利用导数判断；(3)恒成立问题，实质上是探求f(x)的最小值.解答：(1) 函数的定义域为R ，关于原点对称， (2) ∵，∴f(x)为奇函数；（2）方法一：设，则当a>1时，21aa - >0，>0，＞0，∴f(x 1)-f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，此时函数f(x)为增函数；当0<a<1时，21aa -<0，<0，1+>0，∴f(x 1)-f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，此时函数f(x)为增函数； 综上可知：函数f(x)=21aa - (a x -a -x ) (a>0,a ≠1)在定义域上为增函数； 方法二：∵f(x)=21a a - (a x -a -x )，∴f ′(x)= 21a a - (a x lna+a -xlna)=2ln ()1x x a a a a a -+-当a ＞1时，f’(x)＞0,此时f(x)为增函数； 当0＜a ＜1时，f’(x)＞0,此时f(x)为增函数， 综合可知：f(x)为增函数。