平面几何
平面几何问题的解法与应用
测量在几何问题中的应用：角度和长度的测量是解决平面几何问题的基础，例如计算面 积、周长、距离等。
相似三角形的性质和判定方法
相似与全等在解题中的应用实例
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全等三角形的性质和判定方法
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相似与全等在几何图形中的应用 实例
归纳总结解题思路： 通过练习和归纳， 总结出适合自己的 解题思路，形成自 己的解题风格。
拓展解题思维：尝试 从不同角度思考问题， 探索多种解题方法， 拓展自己的解题思维。
数学思维在解决实际问题中的应 用
数学思维对个人和社会的贡献
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培养数学思维的途径和方法
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数学思维在创新和科技发展中的 作用
三角形问题：涉及三角形边长、角度、面积等计算 圆的问题：涉及圆周长、面积、弧长等计算 直线与圆的位置关系问题：判断直线与圆的位置关系，求交点等 平面几何中的最值问题：求线段、图形面积的最大值或最小值
理解问题：明确 问题的目标和条 件，弄清问题的 几何意义。
制定方案：根据 问题的特点，选 择合适的解题方 法，如构造辅助 线、运用相似三 角形等。
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01 平 面 几 何 问 题 概 述 02 基 础 解 法 技 巧 03 进 阶 解 法 技 巧 04 实 际 应 用 案 例 05 解 题 技 巧 总 结 与 提 高
平面几何问题定义：研究平面图形在力的作用下的运动和平衡问题。 分类：静力学问题和动力学问题。 静力学问题：研究物体在力的作用下保持平衡状态的问题。 动力学问题：研究物体在力的作用下运动状态改变的问题。
高中数学平面几何知识点总结
高中数学平面几何知识点总结平面几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的重要部分。
平面几何主要研究平面上的点、线、角等基本概念及其相互关系。
平面几何是一门具有实际应用意义的数学，它的研究对象广泛，包括建筑、工程、艺术等诸多领域。
本文将对高中数学平面几何知识点进行总结。
一、基本概念1. 点：空间中没有大小和形状的基本对象，用大写字母表示。
2. 直线：由无数个点组成的、没有宽度和厚度的对象，用小写字母表示，或用两个点表示。
3. 射线：起点为一个确定的点，沿着一定方向无限延伸出去的对象，用一个点表示。
4. 线段：有两个端点的、有限长的直线部分，用两个点表示。
5. 角：由两条射线公共端点组成的图形，用大写字母表示公共端点，用小写字母表示两条射线，或用符号“∠”表示。
6. 垂线：与另一直线或平面垂直的直线。
二、图形的性质1. 三角形：三条边和三个角，有三个顶点的图形。
2. 直角三角形：其中一个角是90度的三角形。
3. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
4. 等边三角形：三边长度都相等的三角形。
5. 相似三角形：三角形的对应角相等，对应边成比例。
6. 平行四边形：具有两组对边平行的四边形。
7. 矩形：具有四个直角的平行四边形。
8. 正方形：具有四个直角和四边相等的矩形。
9. 梯形：具有一组对边平行的四边形。
三、角的性质1. 垂角：两条互相垂直的直线所形成的角。
2. 对顶角：两条直线交叉而形成的相对角。
3. 同位角：两条平行线与一条直线相交所形成的对应角。
4. 内角和定理：任意$n$边形的内角和为$(n-2)\times 180^\circ$。
5. 外角和定理：任意凸$n$边形的外角和为$360^\circ$。
四、圆的性质1. 圆：平面上所有到圆心距离相等的点所组成的图形。
2. 圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
3. 切线：与圆相切的直线。
4. 弦：连接圆上两点的线段。
5. 弧：圆上两点之间的一段曲线。
6. 弧长公式：弧长等于圆周率$\pi$乘以弧所对圆心角的度数再除以180度。
初中平面几何知识点
初中平面几何知识点一、引言平面几何是初中数学的重要分支，它主要研究平面内的点、线、面的基本性质及其相互关系。
掌握平面几何的知识点对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、点、线、面的基本性质1. 点- 点是平面几何中最基本的元素，没有大小，只有位置。
- 两个点可以确定一条直线。
2. 线- 线由无数个点组成，有长度，没有宽度和高度。
- 直线：无限延伸，没有端点。
- 射线：有一个端点，另一端无限延伸。
- 线段：有两个端点，长度有限。
3. 面- 面由无数条线组成，有长度和宽度，没有高度。
- 平行：两条直线或两个平面没有交点，称它们平行。
- 相交：两条直线或两个平面有一个或多个共同点。
三、角的基本概念和性质1. 角- 角是由两条射线的公共端点（顶点）和它们之间的一段弧线所围成的图形。
- 角的度量单位是度（°）。
2. 角的分类- 锐角：小于90°的角。
- 直角：等于90°的角。
- 钝角：大于90°且小于180°的角。
- 平角：等于180°的角。
- 周角：等于360°的角。
3. 角的性质- 邻角：两个有公共边的角。
- 对顶角：两条相交线所形成的相对的两个角。
- 同位角、内错角、同旁内角：在平行线和横截线相交时形成的角。
四、几何图形的性质1. 三角形- 三角形是由三条线段顺次首尾相连围成的封闭图形。
- 三角形的内角和为180°。
- 等边三角形：三条边等长。
- 等腰三角形：两条边等长。
- 直角三角形：一个角为90°。
2. 四边形- 四边形是由四条线段顺次首尾相连围成的封闭图形。
- 平行四边形：对边平行。
- 矩形：四个角都是直角。
- 菱形：四条边等长。
- 正方形：四条边等长且四个角都是直角。
3. 圆- 圆是由一个固定点（圆心）和所有与该点距离相等的点组成的平面图形。
- 弧：圆上两点之间的部分。
- 弦：连接圆上两点的线段。
平面几何知识点归纳 高中
平面几何知识点归纳高中高中平面几何知识点归纳平面几何是数学中的一门基础学科，它研究的是平面上的点、线、角、面等几何图形及其性质和相互关系。
在高中阶段，平面几何是数学课程的重要组成部分，它包含了许多重要的知识点。
下面将对高中平面几何的知识点进行归纳和总结。
1. 点、线、面的基本概念在平面几何中，点是最基本的概念，它没有大小和形状。
线是由无数个点连在一起形成的，它没有宽度和厚度。
面是由无数个线连在一起形成的，它有长度和宽度。
在平面几何中，点、线和面是最基本的图形，其他的图形都是由它们组成的。
2. 直线和射线的性质直线是由无数个点连在一起形成的，它没有起点和终点。
射线是由一个起点和一个方向确定的，它有一个起点但没有终点。
直线上的任意两点可以确定一条直线，而射线上的任意两点可以确定一条射线。
直线和射线的性质包括平行、垂直和夹角等。
3. 角的概念和性质角是由两条射线共享一个端点形成的，它是用来度量两条射线之间的旋转程度。
角的度量单位是度或弧度。
角的性质包括角的大小、角的类型（锐角、直角、钝角）以及角的和等于360度等。
4. 三角形的性质三角形是由三条线段组成的闭合图形，它是平面几何中最基本的多边形。
三角形的性质包括内角和为180度、三边的关系（边长关系、角度关系）、三角形的分类（等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）等。
5. 直角三角形的勾股定理和正弦定理、余弦定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度）。
直角三角形的勾股定理是一个重要的几何定理，它描述了直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
正弦定理和余弦定理是用来求解任意三角形的边长和角度的重要公式。
6. 平行线和平行四边形的性质平行线是在同一个平面内永远不相交的直线，它们的斜率相等。
平行四边形是具有两对平行边的四边形。
平行线和平行四边形的性质包括平行线的判定条件、平行四边形的性质（对边平等、对角线互相平分）等。
平面几何五大基本模型
平面几何五大基本模型平面几何是几何学中的一个分支，它研究平面内的各种形状和性质。
在平面几何中，有五大基本模型，即：点、直线、线段、角和平行线。
首先，让我们从点开始说起。
点是平面几何中最基本的概念，它没有大小和形状，只有位置。
可以想象成一个没有任何维度的数学点，用来描述平面上的位置。
点在几何上用大写字母来表示，如点A、点B 等。
接下来，我们来说说直线。
直线是由无限多个点组成的，它没有宽度，可以延伸到无穷远。
直线在几何上用一条带箭头的线段来表示，如AB线段。
直线具有无数个点和方向，可以通过两个点确定一条直线。
线段是由两个端点和端点之间的所有点组成的，它有固定的长度和方向。
线段在几何上用两个点之间用线段符号来表示，如CD线段。
线段是直线的一部分，它有起点和终点。
角是由两条共同起点的射线组成的部分，它有大小和方向。
角可以用两条线段之间的夹角来描述，如∠ABC。
角的大小可以通过数值的度量来确定，范围从0度到360度。
最后，让我们来看看平行线。
平行线是在同一个平面上，永远不相交的直线。
这意味着它们始终保持相同的距离。
平行线在几何上用两个竖线符号来表示，如∥。
平行线的性质和定理在几何学中有着广泛的应用。
综上所述，平面几何的五大基本模型分别是点、直线、线段、角和平行线。
熟悉和理解这些基本模型对于深入学习和掌握平面几何的知识是至关重要的。
通过对这些模型的研究和运用，可以帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。
因此，我们应该加强对这五大基本模型的学习和掌握，为在几何学中取得更好的成绩打下坚实的基础。
平面几何的基本概念和定理
平面几何的基本概念和定理1. 基本概念1.1 点平面几何的研究对象是由点、线、面组成的。
点是几何图形的基本元素，用来表示位置。
在平面几何中，点没有大小和形状，只有位置。
我们通常用大写字母来表示点，如A、B、C等。
1.2 直线直线是由无数个点连成的，它在平面内延伸无穷远。
我们通常用一个小写字母加上箭头表示直线，如直线AB、CD等。
直线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。
1.3 射线射线是由一个起点开始，延伸到一个方向上的直线。
我们通常用一个小写字母加上箭头表示射线，如射线AB、CD等。
射线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。
1.4 线段线段是由两个端点确定的直线部分，具有有限的长度。
我们通常用两个端点的大写字母表示线段，如线段AB、CD等。
1.5 平面平面是由无数个点组成的二维空间。
在平面几何中，我们通常用大写字母I表示平面，如平面ABCD等。
1.6 角角是由两条射线的公共端点和这两条射线的延伸部分组成的图形。
我们通常用一个小写字母表示角的顶点，如角A、B、C等。
角的度量单位是度（°），用符号°表示。
1.7 三角形三角形是由三条线段组成的平面图形，具有三个顶点和三个内角。
我们通常用三个顶点的大写字母表示三角形，如三角形ABC等。
1.8 四边形四边形是由四条线段组成的平面图形，具有四个顶点和四个内角。
我们通常用四个顶点的大写字母表示四边形，如四边形ABCD等。
1.9 圆圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的图形。
我们通常用圆心和半径的大写字母表示圆，如圆O（半径为r）。
2. 基本定理2.1 欧几里得几何公理欧几里得几何公理是平面几何的基础，包括以下五个公理：1.任意两点之间存在唯一的直线。
2.直线上的点可以按任意顺序排列。
3.任意两点确定一条直线。
4.直线上的点与直线外的点确定一条直线。
5.平面上任意一点到平面上任意一点的直线是唯一的。
2.2 平行线公理平行线公理是指：如果两条直线在平面内不相交，那么这两条直线是平行的。
平面几何的基本图形
平面几何的基本图形平面几何是几何学中的一个分支，研究平面上的点、线、面及其相互关系。
在平面几何中，有一些基本图形是我们常见且重要的，它们是点、线、线段、射线、角、多边形、圆和曲线。
本文将会逐一介绍这些基本图形及其特征。
一、点（Point）点是平面上最基本的图形，用一个大写字母表示，如A、B、C。
点没有长度、面积和方向，只有位置。
点只有一个，不同的点可以有不同的位置。
在平面几何中，点是构成其他几何图形的基础。
二、线（Line）线由无数个点组成，无限延伸，没有宽度。
线段是有限的线，有两个端点。
线用两个大写字母表示，如AB、CD。
在平面几何中，线是连接两个点的直线路径。
三、线段（Line Segment）线段是两个点之间的有限线，有固定的长度。
线段用两个大写字母表示，并在两个字母之间加一条横线，如AB。
与线相比，线段具有确定的长度。
四、射线（Ray）射线起始于一个点，无限延伸，只有一个端点。
射线用一个大写字母及一个端点所在的小写字母表示，如OA，其中O为起点。
五、角（Angle）角是由两条射线共同起点组成的图形。
角用三个字母表示，中间的字母代表角的顶点，两边的字母分别代表两条射线。
例如∠ABC表示以点B为顶点，射线BA和射线BC所夹的角。
角可以根据其大小分为锐角、直角、钝角和平角。
六、多边形（Polygon）多边形是由多条线段连接而成的封闭图形。
多边形由至少三条线段组成，每个线段称为边，相邻边之间的交点称为顶点。
根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。
最常见的多边形是三角形、四边形和五边形。
七、圆（Circle）圆是由一条曲线和平面上的一个点组成的图形，其中曲线称为圆周，点称为圆心。
圆周上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离称为半径。
用一个大写字母表示圆心，用圆心字母上方加一个小写字母表示圆周，如O、OA。
八、曲线（Curve）曲线在平面上呈现出曲折或弯曲的形状，没有直线的性质。
曲线可以是闭合的，也可以是不闭合的。
平面几何基本定理
定义：通过构造新的图形或对象来证明定理的方法 特点：直观、易于理解，能够将复杂问题转化为简单问题 应用：在平面几何中广泛应用于证明各种定理和性质 示例：通过构造辅助线来证明三角形的一些性质和定理
定义：通过代 数运算和逻辑 推理来证明平 面几何定理的
方法
特点：基于代 数方程和不等 式的推导，可 以证明一些较 为抽象和复杂
欧几里得几何定理 非欧几里得几何定理 解析几何定理 射影几何定理
计算机图形学：用于生成二 维图形和动画
物理学：用于描述物体运动 轨迹和力的作用
航空航天：用于设计和分析 飞行器的结构和性能
建筑学：用于设计和分析建 筑物的结构和稳定性
平行线性质： 平行线之间的
距离相等
角平分线性质： 角平分线将一 个角分为两个
计算机图形学中的应用：平面几何定理在计算机图形学中也有着重要的应用，例如在绘制二维图形、三维 模型等方面，需要利用平面几何定理进行计算和推导。
经济学中的应用：在经济学中，平面几何定理也被广泛应用，例如在分析市场供需关系、预测商品价格走 势等方面，需要利用平面几何定理进行数据分析和模型构建。
生物学中的应用：在生物学中，平面几何定理也被应用于一些领域，例如生态学中研究生物种群分 布、行为学中研究动物运动轨迹等方面，需要利用平面几何定理进行数据分析和模型构建。
的几何定理、三 角形的余弦定
理等
实例：通过代 数方法证明勾 股定理的过程
欧几里得几何定理：公元前300年左右，欧几里得在《几何原本》中提出了平面几何 的基本定理，奠定了平面几何的基础。
非欧几里得几何定理：19世纪，高斯、黎曼等数学家提出了非欧几里得几何，突破 了欧几里得几何的限制，进一步推广了平面几何定理。
定理在计算机图形学 中的应用：在制作动 画、游戏等计算机图 形学领域中，平面几 何定理被广泛应用。
欧几里得几何学：平面上的点、线和角
欧几里得几何学，又称平面几何，是一门古老而重要的数学学科，由古希腊数学家欧几里得创立。
它研究平面上的点、线和角之间的关系，通过推理和证明，发展出了一套严密的数学体系，并对后世的数学、科学和哲学产生了深远的影响。
欧几里得几何学的基本要素是点、线和角。
点是几何学最基本的概念，它没有长度、宽度和深度，只有位置。
线是由无数个点组成的，由于它没有宽度，所以可以看作是无限细小的。
角是由两条线段所夹的部分，它的大小用度数来表示。
欧几里得几何学的第一原理是平行公理，即通过一个点外一直线上存在一条与给定直线无交点的直线。
根据这一原理，欧几里得几何学发展出了许多重要定理。
例如，直线的垂直平分线将一条直线分成两个相等的部分；等边三角形的三个内角是相等的；两个平行直线被一条横截线所切割，其内角和等于两个直线夹角的和。
欧几里得几何学的核心方法是证明。
通过逻辑推理，欧几里得建立了一套完善的证明体系。
这套体系由公理、定义、命题和定理组成，其中公理是不需要证明的基本原理，定理则是通过推理和证明得出的结论。
欧几里得的《几何原本》是这套体系的最早和最完整的表述，对后世的数学研究产生了巨大的影响。
欧几里得几何学的应用广泛而深远。
它不仅在数学领域内发挥着重要的作用，也在物理学、工程学和计算机科学等领域内得到了广泛的应用。
例如，它在测量、建筑和导航等方面被广泛使用，实际上，我们身边的世界无不与几何学有着密切的关系。
然而，虽然欧几里得几何学在很长一段时间内是数学的基础，但在19世纪末，它开始受到挑战。
非欧几里得几何学的发展推翻了欧几里得的平行公理，提出了与欧几里得几何学不同的几何体系。
这一新的几何学体系证明了同一个公理集合下可以存在多个不同的真命题系统，揭示了欧几里得几何学的局限性和相对性。
综上所述，欧几里得几何学作为一门古老而重要的数学学科，研究平面上的点、线和角之间的关系。
它通过逻辑推理和严密证明，发展出了一套完善的数学体系，并对后世的数学、科学和哲学产生了深远的影响。
平面几何知识点总结大全
平面几何知识点总结大全一、基本图形。
1. 点。
- 点是平面几何中最基本的元素，没有大小、长度、宽度或厚度。
它通常用一个大写字母表示，如点A。
2. 线。
- 直线。
- 直线没有端点，可以向两端无限延伸。
直线可以用直线上的两个点表示，如直线AB；也可以用一个小写字母表示，如直线l。
- 经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。
- 射线。
- 射线有一个端点，它可以向一端无限延伸。
射线用表示端点的字母和射线上另一点的字母表示，端点字母写在前面，如射线OA。
- 线段。
- 线段有两个端点，有确定的长度。
线段用表示两个端点的字母表示，如线段AB；也可以用一个小写字母表示，如线段a。
- 两点之间，线段最短。
3. 角。
- 由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
角通常用三个大写字母表示（顶点字母写在中间），如∠AOB；也可以用一个大写字母表示（这个大写字母表示顶点，且以这个顶点为顶点的角只有一个时），如∠ O；还可以用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠α。
- 角的度量单位是度、分、秒，1^∘=60'，1' = 60''。
- 角的分类：- 锐角：大于0^∘而小于90^∘的角。
- 直角：等于90^∘的角。
- 钝角：大于90^∘而小于180^∘的角。
- 平角：等于180^∘的角。
- 周角：等于360^∘的角。
二、相交线与平行线。
1. 相交线。
- 对顶角。
- 两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
对顶角相等。
- 邻补角。
- 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角互补，即和为180^∘。
- 垂直。
- 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
平面几何基础知识
平面几何基础知识
平面几何是几何学的一个分支，研究平面上的图形和它们之间的关系。
以下是一些平面几何的基础知识：
1. 点：平面上的位置，用字母表示，如A、B、C等。
2. 直线：由无限多个点组成的轨迹，用一条直线上的两个点的大写字母表示，如AB。
3. 线段：直线上的一部分，由两个点确定，用两个点间的线段上的小写字母表示，如AB。
4. 射线：直线上有一个起点，向无限远方延伸出去的部分，用起点和一个穿过起点的点的大写字母表示，如OA。
5. 平行线：在同一个平面内，永远不会相交的直线。
6. 垂直线：两条直线相交，且相交的角度为90度。
7. 角：由两条射线共享起点的一部分平面，用顶点上的字母表示，如∠A。
8. 三角形：由三条线段组成的图形，用三个顶点的大写字母表示，如△ABC。
9. 直角三角形：一个角是90度的三角形。
10. 相似三角形：具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的
对应角度相等，对应边的比例相等。
11. 圆：平面上所有与一个固定点的距离相等的点的轨迹。
12. 弧：圆上的一部分，由两个端点和该弧上的一段曲线组成。
13. 弦：连接圆上的两个点的线段。
14. 弧长：弧上的一段曲线所对应的长度。
15. 弧度：用于衡量角度的单位，1弧度等于圆的半径所对应
的弧长。
以上是平面几何的基础知识，掌握这些概念和性质可以帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。
平面几何的基本性质与公式解析与归纳
平面几何的基本性质与公式解析与归纳平面几何是研究二维空间中图形的形状、大小和相互关系的数学分支，它有许多基本性质和公式，能够帮助我们解决各种几何问题。
本文将对平面几何的基本性质和公式进行解析和归纳，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、点、线、面的性质1. 点：点是平面几何中最基本的概念，没有大小和形状，只有位置。
在平面上任意取两个不同的点可以确定一条直线。
2. 线：线是由无数个点连成的路径，没有宽度和厚度。
直线是最简单的线，它无限延伸，没有起点和终点。
线段是有确定起点和终点的线。
3. 面：面是由无数个点组成的平坦区域，有长度和宽度。
平面是最简单的面，它无限延伸。
二、角的性质与公式1. 角的概念：角是由两条射线共享一个起点所形成的图形。
角可以用字母表示，比如∠ABC表示以点B为顶点，以线段BA和线段BC为腿的角。
2. 角的大小：角的大小可以用度数或弧度来表示。
一周的角度为360度或2π弧度。
直角角度为90度或π/2弧度。
根据角度的大小，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
3. 角的和与差：两个角的和等于这两个角各自对应的两个边所成的角之和。
即∠ABC+∠CBD=∠ABD。
同理，两个角的差等于这两个角各自对应的两个边所成的角之差。
三、三角形的性质与公式1. 三角形的定义与分类：三角形是由三条线段组成的图形。
根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和一般三角形。
2. 三角形的周长：三角形的周长等于三条边的长度之和，即P=AB+BC+CA。
3. 三角形的面积：三角形的面积可以根据两个边的长度和夹角的大小来计算。
常用的计算公式有海伦公式和正弦定理。
四、四边形的性质与公式1. 四边形的定义与分类：四边形是由四条线段组成的图形。
根据边的长度和角的大小，四边形可以分为正方形、长方形、菱形、平行四边形、梯形等多种类型。
2. 平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角线相交于对角线的中点。
数学平面几何知识
数学平面几何知识数学是一门抽象而理性的学科，其中平面几何是数学的基础之一，它研究了平面上的点、线、圆以及它们之间的关系和性质。
在本篇文章中，将详细介绍数学平面几何的基本概念、性质和定理。
一、点、线和圆的定义1. 点：在平面上不占据空间、没有大小和形状，仅有位置的几何对象称为点。
2. 线：点的集合，表示一条直线或曲线。
直线是无限延伸的，曲线则是有限或无限弯曲的。
3. 圆：平面上所有到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
二、线段、射线和向量1. 线段：在直线上任意取两点，连接这两点并延长一段固定长度得到的线段。
2. 射线：在直线上取一个起始点，并延长一段固定长度得到的线段。
3. 向量：既有大小又有方向的几何对象表示为箭头，可以表示平移和方向。
三、基本性质和定理1. 同位角定理：同位角是指以两个平行线被一条穿过的直线所形成的内错、内角或外错、外角。
同位角相等。
2. 平行定理：如果一条直线与两条平行线相交，则所形成的内角或外角互为补角。
3. 垂直定理：两条互相垂直的直线是平面上一对相互垂直的线。
4. 内角和定理：任意三角形内角和等于180度。
5. 加法定理：两个向量的和等于它们的有序排列的几何对象之和。
四、关于三角形的知识1. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
2. 直角三角形：其中一个角度为90度的三角形。
3. 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。
4. 钝角三角形：其中一个内角大于90度的三角形。
5. 正弦定理：在任意三角形中，任意一边的长度与其对立角的正弦比例相等。
6. 余弦定理：在任意三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和减去这两边的两倍乘积的余弦。
五、圆和圆的关系1. 切线：与圆只有一个交点的直线称为切线。
2. 弦：圆上连接两点的线段。
3. 弧：圆上两点之间的连续部分。
4. 弧度：圆的弧所对应的圆心角的大小，一个圆的弧度等于360度。
以上是数学平面几何知识的基本概念、性质和定理的简要介绍。
什么是平面几何？
什么是平面几何？平面几何是研究平面上的形状、大小、关系和性质的一门数学分支。
它是几何学的一个重要分支，也是数学的基础。
在平面几何中，我们研究的对象是在同一个平面上的点、线、面以及它们之间的关系。
通过研究平面几何，我们可以更好地理解和描述现实世界中的形状和结构，以及推导出各种几何定理和公式。
一、平面几何的基本概念和性质平面几何的基本概念包括点、直线、线段、角等。
点是平面几何的基本元素，它没有长度、宽度和厚度，只有位置。
直线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度，只有长度。
线段是直线上的两个端点之间的部分，具有固定的长度。
角是由两条射线共享一个起点组成的图形，表示两条射线之间的夹角。
在平面几何中，我们还研究了点、线、面之间的关系和性质。
例如，两条直线可以相交、平行或重合；两个角可以是相等的、互补的或对应的。
这些关系和性质帮助我们更好地理解几何图形之间的相互关系，从而推导出各种几何定理和公式。
二、平面几何的重要定理和公式平面几何有许多重要的定理和公式，它们是研究平面几何的基础。
例如，三角形的三边和三个内角之间的关系可以由三角形的三边定理和三角形的内角和定理来描述。
根据这些定理，我们可以计算三角形的面积、周长和各个内角的大小。
此外，平面几何中还有一些重要的公式，如勾股定理和平行线性质。
勾股定理描述了直角三角形的边之间的关系，可以解决直角三角形的各种问题。
平行线性质描述了平行线与其它直线之间的关系，可以用来证明直角、相似和全等关系。
三、平面几何与实际应用平面几何不仅是一门抽象的学科，也广泛应用于实际生活和工程实践中。
例如，在建筑设计中，设计师需要根据平面几何原理来绘制平面图，确定建筑物的结构和布局。
在地图制作中，制图师需要根据地理空间的平面几何关系来绘制地图，帮助人们导航和定位。
此外，平面几何还应用于计算机图形学、计量学、物理学等领域。
在计算机图形学中，平面几何的原理被用来描述和处理计算机图像。
在计量学中，平面几何的原理被用来测量和计算物体的大小和形状。
时空几何｜欧几里德（平面）几何非欧几里德（双曲、椭圆）几何
时空几何｜欧几里德（平面）几何非欧几里德（双曲、椭圆）几何数学研究的对象是“数”与“形”，形的数学就是几何学．它是以直观为主导，以培养人的空间洞察力与思维为目的．从数学发展的历史来看几何学的第一个最重要著作就是欧几里得(Euclid，约公元前330一275年)的《几何原本》．它被世界各国翻译成各种文字．它的印刷量仅次于“圣经”，所以不少人称《几何原本》为数学工作者的“圣经”。
《几何原本》在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的地位。
1 欧几里德几何（Euclid Geometry）－平面欧氏几何源于公元前3世纪。
古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”(欧几里得空间)。
Euclid(约公元前330一275) ↑在欧几里德以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。
欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，标志着欧氏几何学的建立。
这部划时代的著作共分13卷，465个命题。
其中有八卷讲述几何学，包含了现今中学所学的平面几何和立体几何的内容。
但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对诸定理的出色证明。
真正重要的是欧几里德在书中创造的公理化方法。
在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。
我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。
这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”即是一例。
同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。
在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。
平面几何的基本定理
平面几何的基本定理在数学中，平面几何是研究平面上的图形和形状的分支学科。
它基于一系列基本定理和性质，帮助我们了解和解决与平面图形、角度、线段等相关的问题。
以下是一些平面几何的基本定理。
一、平行线的定理平行线的定理指出，如果一条直线与另外两条直线分别相交，使得同位角之和为180度，则这两条直线是平行的。
这被称为同位角定理。
二、三角形的基本性质1. 三角形内角和定理：任何三角形的内角之和等于180度。
2. 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这被称为勾股定理。
3. 直角三角形的角度关系：直角三角形的两个锐角是互补角，它们的和为90度。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两条边相等。
5. 等边三角形的性质：等边三角形的所有边相等，所有角度均为60度。
三、四边形的性质1. 矩形的性质：矩形的对角线长度相等，且互相垂直。
2. 正方形的性质：正方形是一种特殊的矩形，所有边长相等，对角线相等且互相垂直。
3. 平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，且对角线长度相等。
4. 梯形的性质：梯形的两边平行，且对角线交于一点。
四、圆的性质1. 圆的定理：圆是以一个点为中心、与该点到各点的距离均相等的点的集合。
2. 弧和圆心角的关系：一个圆心角所对的弧的长度是固定的，而一个弧所对的圆心角的大小也是固定的。
3. 弦和切线的性质：如果一条切线与一条弦相交，那么切线与弦的交点处的角是弦所对的圆心角的一半。
五、相似三角形的定理相似三角形的定理涉及到三角形的比例关系。
如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
相似三角形有以下定理：1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
2. AA相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且其他两个角的对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的一条边成比例，且这两个边之间夹角相等，那么它们是相似的。
总结：平面几何的基本定理使我们能够准确地描述和分析平面图形的性质。
平面几何五大公理
平面几何五大公理一、直线公理：通过两个不同点，可以画出一条直线。
直线是平面几何中最基本的概念之一。
根据直线公理，我们可以通过连接两个不同点来得到一条直线。
直线可以看作是无限延伸的，没有宽度和厚度。
直线可以用两个不同的点来确定，其中一个点是直线上的任意一点，另一个点可以在直线上也可以在直线外。
二、点线公理：通过两个不同点，只能画出一条直线。
点线公理是指通过两个不同点只能画出一条直线。
这个公理保证了直线的唯一性。
如果通过两个不同的点可以画出两条不同的直线，那么它们就不再是直线，而是两条不相交的曲线或者折线。
三、平行线公理：通过一点，在平面外只能有一条直线与已知直线平行。
平行线公理是指通过一点，在平面外只能有一条直线与已知直线平行。
这个公理保证了平行线的唯一性。
如果通过一点可以有两条或多条直线与已知直线平行，那么这些直线就不再是平行线，而是相交或重合的直线。
四、垂直公理：如果两条直线与一条直线相交，且两条直线的内部角相等，那么这两条直线是垂直的。
垂直公理是指如果两条直线与一条直线相交，且两条直线的内部角相等，那么这两条直线是垂直的。
垂直是指两条直线相互间的角度为90度。
垂直的直线在数学和几何中有着重要的应用，例如垂直线可以用来构造垂直平分线、垂直角等。
五、同位角公理：如果两条直线被一条直线截断，那么同位角相等。
同位角公理是指如果两条直线被一条直线截断，那么同位角相等。
同位角是指位于两条相交直线的同一侧，并且分别位于两条直线之间的角。
同位角公理是平面几何中关于角度相等的重要性质之一。
通过同位角公理，我们可以推导出许多与角度有关的性质，例如相应角、内错角等。
总结起来，平面几何五大公理是直线公理、点线公理、平行线公理、垂直公理和同位角公理。
这些公理是平面几何中最基本的原理，它们构成了平面几何的基础。
通过这些公理，我们可以推导出许多与直线、角度、平行等概念有关的性质和定理。
这些公理和定理的应用广泛，不仅在数学中有重要意义，还在物理、工程、建筑等领域中有着广泛的应用。
大学数学几何知识点总结
大学数学几何知识点总结1.平面几何平面几何是研究平面内的点、直线、角、多边形和圆等图形的位置关系、性质和计算方法的数学学科。
重点内容包括直线和角、平行线和相关角、相似三角形、全等三角形等。
1.1 直线和角在平面几何中，直线和角是最基本的概念。
直线：直线是由无数个点组成的集合，其长度视为无穷大。
角：角是由两条射线共同起点组成的几何图形，常用度数、弧度数或均等分来表示其大小。
1.2 平行线和相关角平行线：在同一平面上，没有公共点的直线称为平行线。
平行线具有很多重要的性质和应用。
相关角：相关角是指两条直线被一条直线相交所形成的一对对顶角、内错角、同位角等。
1.3 相似三角形相似三角形是指具有对应角相等、对应边成比例的三角形。
相似三角形的性质和应用在几何学中有广泛的应用。
1.4 全等三角形全等三角形是指具有对应的三边和三个对应的角相等的三角形。
全等三角形有许多重要的性质和应用，例如利用全等三角形的性质可以求解各种几何问题。
2. 立体几何立体几何是研究立体图形的性质、体积和表面积等的数学学科。
主要内容包括立体图形的性质、三视图、空间几何体的表面积和体积等。
2.1 立体图形的性质立体图形是指由平面图形绕固定的轴线旋转一周而形成的二维或三维图形。
常见的立体图形包括圆柱体、圆锥体、球体等。
通过对立体图形的性质进行研究，可以求解各种几何问题。
2.2 三视图三视图是指立体图形在三个不同的方向上的投影图。
通过三视图，我们可以清晰地了解立体图形的外形、结构和各个部分的相对位置。
2.3 空间几何体的表面积和体积在立体几何中，常常需要计算各种几何体的表面积和体积。
例如，球体的表面积和体积计算公式分别为4πr^2和(4/3)πr^3。
掌握这些公式可以帮助我们快速计算各种立体几何体的表面积和体积。
3. 向量几何向量几何是研究向量及其在几何中的应用的数学学科。
主要内容包括向量的定义和运算、向量的数量积和向量的叉积等。
3.1 向量的定义和运算向量是带有方向和大小的量，通常用有向线段表示。
平面几何在室内设计中的应用有哪些
平面几何在室内设计中的应用有哪些在室内设计的领域中，平面几何是一个不可或缺的元素，它以其独特的魅力和实用性，为设计师们提供了无尽的创作灵感和解决方案。
从空间布局到家具摆放，从装饰图案到光线投射，平面几何的应用无处不在，为我们营造出美观、舒适且功能齐全的室内环境。
一、空间布局中的几何应用在室内设计的初始阶段，空间布局是至关重要的。
平面几何在确定空间的形状、比例和功能分区方面发挥着关键作用。
矩形和正方形是最常见的空间形状，它们具有稳定性和对称性，易于规划和布置家具。
例如，在客厅设计中，一个矩形的空间可以清晰地划分出沙发区、电视区和通道，使空间利用更加高效。
而三角形的空间则能带来独特的视觉效果和动感。
在一些阁楼或特殊建筑结构中，三角形的角落可以被巧妙地设计成阅读角或储物空间，增加空间的趣味性和实用性。
圆形空间则常用于营造温馨、和谐的氛围。
例如，餐厅中的圆形餐桌能够促进家庭成员之间的交流和互动，而圆形的休闲区则能给人一种放松和包容的感觉。
此外，几何形状的组合和拼接也是常见的手法。
通过将不同形状的空间有机结合，可以创造出丰富多样的空间层次和流线。
比如，在一个开放式的厨房和餐厅设计中，可以将矩形的厨房与圆形的餐桌区域相连接，形成流畅的过渡。
二、家具选择与摆放的几何考量家具的选择和摆放同样受到平面几何的影响。
家具本身的形状往往基于几何原理设计。
例如，长方形的沙发、正方形的茶几和圆形的椅子，它们的形状不仅决定了其外观，还影响着使用的舒适度和空间的占用情况。
在摆放家具时，几何规律可以帮助我们实现平衡和对称。
比如，在卧室中，将床放置在房间的中心位置，两侧对称地摆放床头柜，能够营造出一种稳定和整洁的感觉。
利用几何图案进行家具的组合也能创造出独特的效果。
比如，将几个相同的正方形矮凳拼接在一起，可以形成一个大的坐具，或者将多个三角形的书架组合成一个独特的展示架。
另外，考虑家具与空间的比例关系也是十分重要的。
过大或过小的家具都会破坏空间的整体协调性。
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武陟一中东区高二第二次月考考前训练--选修模块4-1 数学试卷 （理科）温馨提示：请同学们认真作答，备战5月月考，总分：141分命题取材：2011--2012河南省名校联考（模拟）试卷，含金量SO HIGH！ 1．（11’年河南省示范性高中五校联谊模拟考）如图，∠BAC = 90°，AB = AC ． 直线 l 与以AB 为直径的圆相切于点B ． 点E 是圆上异于A 、B 的任意一点，直线AE 与 l 相交于点D ．（Ⅰ）如果AD = 10，BD = 6，求DE 的长; （Ⅱ）连接CE ，过E 作CE 的垂线交线段AB 于点F. 求证：BD = BF.2．（12’年河南省豫东、豫北十所名校测试三）如图，四边形ABCD 是的内接四边形，延长BC ，AD 交于点E,且CE=AB=AC,连接BD ，交AC 于点F ． (I)证明:BD 平分；(II)若AD=6，BD=8，求DF 的长． 3．（11’年河南省五市高三第二次联考）已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，AC ∥DE ，AC 与BD 相交于H 点 （Ⅰ）求证：BD 平分∠ABC（Ⅱ）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长． 4．（12’中原六校联谊高三第一次联考）如图，⊙O 1与⊙O 2相交 于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作圆 的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ． （1）求证：AD//EC ；（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD 的长。
5．（11’豫南九校学年高三第四次联考）已知∆ABC 中，AB=AC, D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 弧上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。
（1）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；（2）若∠BAC=30°，∆ABC 中BC 边上的高为2+3，求∆ABC 外接圆的面积。
6．（11’豫南九校高三第四次联考）在ABC ∆中，AB=AC ，过PA点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D 。
（1）求证： BDPDAC PC =； （2）若AC=3，求AD AP ⋅的值。
7．（12’豫北六所名校高三年级精英联考）如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，APC ∠的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ． （Ⅰ）证明：ADE AED ∠=∠（Ⅱ）若AC=AP,求PCPA的值8．（12’年高中毕业年级第二次质量预测）如图AB 是的直径，弦BD, CA 的延长线相交于点E,EF垂直JBA 的延长线于点F ． (I ）求证:，；(II)若，求AF 的长．9．（12’河南省普通高中毕业班高考适应性测试）如图，已知ABC ∆中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，连结OE 。
若3,30CD ACB =∠=︒，分别求AB ，OE 的长。
10．（12’新乡市高三年级模拟试题）如图：⊙O 为△ABC 的外接圆，AB=AC ，过点A 的直线交⊙O 于D ，交BC 延长线于F ，DE 是BD 的延长线，连接CD 。
①求证：∠EDF=∠CDF ； ②求证：AB 2=AF·AD 。
11．（12’郑州市高中毕业年级第三次质量预测）如图，在正ΔABC 中，点D ，E ；分别在边BC,AC 上,且，AD ，BE 相交于点P,求证： (I)四点P,D ，C ，E 共圆；(II)APCP.AOBEDC请考生务必认真作答下面三道题，并写出你的发现（1分）！（10*3+1=31分） 12．（11’郑州市高中毕业年级第三次质量预测）如图所示，已知PA 是⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD//AP ，AD 、BC 相交于 一点，F 为CE 上一点，且2.DE EF EC =⋅ （1）求证：A 、P 、D 、F 四点共圆； （2）若AE·ED=24，DE=EB=4，求PA 的长。
13．（11’年高中毕业年级第二次质量预测）如图,在，中，．为钝角，点E,H 分别是边AB 上的点，点K 和M 分别是边AC 和BC 上的点，且AH=AC,EB=BC, AE=AK,BH=BM (I)求证：E ，H ，M ，K 四点共圆 (II )若KE=EH ，CE=3,求线段KM 的长．14．（11’新课标高考）如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合。
已知AE 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根。
（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（Ⅱ）若90A ∠=︒，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径。
I Find ：武陟一中东区高二第二次月考考前训练-- 数学 参考答案、解析1．2．解：（Ⅰ）CE AC =，∴E CAE ∠=∠．…（2分）AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠． DBC CAE ∠=∠，∴DBC E CAE ∠=∠=∠．ABC ABD DBC ∠=∠+∠，ACB E CAE ∠=∠+∠……（4分）∴ABD CAE ∠=∠，ABD DBC ∴∠=∠，即BD 平分ABC ∠．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知C A E D B C A B D ∠=∠=∠．又A DF A DB ∠=∠，∴ADF BDA V V ∽．……（7分）∴AD DFBD AD=，6AD =，8BD =．∴236982AD DF BD ===．……（10分）3．解：（Ⅰ）AC DE ∴CDE DCA ∠=∠ 又DBA DCA ∠=∠ ∴CDE DBA ∠=∠直线DE 为圆0的切线 ∴C D E D B C ∠=∠ 故 DBA DBC ∠=∠． ……5分(Ⅱ)CAB CDB ∠=∠ 且DBA DBC ∠=∠∴ABH DBC ∴ AH ABCD BD= 又EDC DAC DCA ∠=∠=∠∴AD DC =……8分 ∴AH ABAD BD =468AB AD BD ===，， 故 3AH =． ………10分 4．（1）证明：连接AB ，AC Q 是1O e 的切线，BAC D ∴∠=∠．又,.//.BAC E D E AD EC ∠=∠∴∠=∠∴Q ……4分（2）PA Q 是1O e的切线，PD是2O e 的割线，2.PA PB PD ∴=g 26(9)PB PB ∴=+g ．3PB ∴=．又2O e 中由相交弦定理，得PA PC BP PE =g g ，4PE ∴=．AD Q 是2O e 的切线，DE 是2O e 的割线，2916.AD DB DE ∴==⨯g 12.AD ∴= ……10分5．解：（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC ，又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,即AD 的延长线平分∠CDE （Ⅱ）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H,则AH ⊥BC ．连接OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,∴∠OCH=600．设圆半径为r,则r+23r=2+3,得r=2,外接圆的面积为4π----------10分 6．解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ，DPC ∆∴～DBA ∆，BDPDAB PC =∴ 又BDPD AC PC AC AB =∴=, （5分）（2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠ APC ∆∴～ACD ∆AD AC AC AP =∴，92=⋅=∴AD AP AC （10分） 7．(1)∵ PA 是切线，AB 是弦，∴ ∠BAP=∠C ，…2分 又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, ……．4分∴ ∠ADE=∠AED ． ……5分(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,∴ △APC ∽△BPA, ∴PC CAPA AB=, ．．．．．．7分∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC 是圆O 的直径，∴ ∠BAC=90°∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴ ∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°． 在Rt △ABC 中，CA AB =3, ∴ PC CAPA AB==3． 10分8．（Ⅰ）证明：连结AD, BC ．因为AB 是o 的直径，所以，90ADB ACB EFA ∠=∠=∠=,故，A, D, E, F 四点共圆，DEA DFA ∠=∠．（Ⅱ）EFA BCA 直角和直角中，EAF CAB ∠=∠，所以，=,EA AF EFA BCA AB AC ∽.在，21,3.(3)(3)2AF a AB a a a a ==-∴⋅-=+则，解得 1.a =所以AF 的长为1．9．解：BC AB ACB ==∠,30 ， 30=∠∴CAB ．又因AB ⊙O 的直径，所以90=∠ADB ， 60=∠ABD ．又因OD OB =，BD OD OB AB 222===∴，3==DC AD ．所以2=AB ．1===∴BD OD OB ， 30=∠ACB ，23,60==∠∴DE CDE ．OD OA = ， 30=∠∴ADO ， 90=∠∴ODE ，27143=+=∴OE ……10分10．证明：(1)∵ACB ADB ADB ，EDF ∠=∠∠=∠∴ACB EDF ∠=∠ ∵四边形ABCD 是圆内接四边形 ∴ABC CDF ∠=∠ ∵AC AB = ∴ABC ACB ∠=∠∴ C D FE DF ∠=∠ (2) ∵BAD ABC ，ACB ADB ∠∠=∠=∠为公共角∴ABF ABD ∆∆∽∴ABADAF AB =∴AD AF AB ⋅=2 11．证明：（I ）在ABC ∆中，由11,,33BD BC CE CA ==知：ABD ∆≌BCE ∆，ADB BEC ∴∠=∠即ADC BEC π∠+∠=.所以四点,,,P D C E 共圆；（II ）如图，连结DE .在CDE ∆中，2CD CE =,60ACD ∠=,由正弦定理知90CED ∠=由四点,,,P D C E 共圆知，DPC DEC ∠=∠,所以.AP CP ⊥12．（Ⅰ）证明：2,D EE FD E E F E CC E E D=⋅∴=，又D E F C E D∠=∠，DEF CED ∴∆∆，EDF ECD ∠=∠，又//,C D P A E C DP∴∠=∠故P EDF ∠=∠，所以,,,A P D F 四点共圆(Ⅱ)解：由（Ⅰ）及相交弦定理得24PE EF AE ED ⋅=⋅=，又24BE EC AE ED ⋅=⋅=286,,9,5,153DE EC EFPE PB PC PB BE EC EC ∴======++=，由切割线定理得251575PA PB PC =⋅=⨯=，所以53PA =13．证明：⑴连接CH ， ,AC AH AK AE == ∴四边形CHEK 为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故,,,C H E K 四点共圆，同理,,,C E H M 四点共圆，即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上，证毕．⑵连结EM ， 由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆，----- 7分CEHM 为等腰梯形，EM HC ∴=， 故MKE CEH ∠=∠，由KE EH =可得KME ECH∠=∠，故MKE CEH∆≅∆，即3KM EC ==为所求． --------10分 14．解： （I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC, 即ABAEAC AD =．又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆。