有一道多种解法的复数题

高考命题设计与考核能力要求----数学数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用所学数学知识和方法分析和解决实际问题的能力．数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，在强调综合性的同时，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查．一、命题原则学科考试目标确定了学科考查的总要求，在命题工作中如何贯彻指导思想，将对知识、方法、能力的要求落实到具体题目，组成一张理想的试卷则可依据一定的原则进行具体操作，这就是命题原则．命题原则是编拟试题、组成试卷时所遵循的行为准则．具体地，高考数学命题的基本原则是：1．体现学科特点数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，高度的抽象性、结论的确定性和应用的广泛性是数学的特点．数学的研究对象和特点体现在数学考试中就形成数学考试的学科特点．（1）概念性强．数学是由概念、命题组成的逻辑系统，而概念是基础，是使得整个体系连结成一体的结点．数学中每一术语、符号和习惯用语都有着明确具体的内涵．这个特点反映到考试中就要求考生在解题时首先要透彻理解概念的含义，弄清不同概念之间的区别和联系，切忌将数学语言和日常用语混为一谈，更不应出现“望文生义”之类的错误．（2）充满思辨性．这个特点源于数学的抽象性、系统性和逻辑性．数学知识不是经过观察实验总结出来的，而是经演绎推理而形成的逻辑体系，逻辑推理是其基本的研究方法；数学不是知识性的学科，而是思维型的学科．因此，数学试题靠机械记忆，只凭直觉和印象作答的很少．为了正确解答，总要求考生具备一定的观察、分析和推断能力．（3）量化突出．数量关系是数学领域研究的一个重要方面，也是数学测试不可缺少的内容，因此数学试题中定量性占有较大比重，试题中的定量要求一般不是简单、机械的计算，而是把概念、法则、性质寓于计算之中，在运算过程中考查考生对算理、运算法则的理解程度、灵活运用的能力及准确严谨的科学态度．由此可见，突出量化是数学试题的一个明显特点，并有重要的意义．（4）解法多样．一般数学试题的结果虽确定惟一，但解法却多种多样，有利于考生发挥各自的特点，灵活解答，真正显现其水平，命题时应考虑各种等价解法的考查重点和难易大致相同，解答到同样深度给同样的分值，不同解法的考查要求符合命题的初衷，能实现考查目的．数学试题的特点是高考数学命题的基础，在命题过程中应充分考虑这些特点，发挥数学内部的选拔机制，实现高考的选拔功能．2．控制试卷难度高考的目的是为高校选拔新生，但其要求仍要以高中教学水平为基础．因此，确定试卷的要求是命题的关键．《全日制中学数学教学大纲》既是实施教学的依据，也是高考命题的依据，试题考查的知识和能力要求都不能超出教学大纲的规定．由于目前高考对中学教学有较大的影响，数学考试的内容和形式都应当有利于中学数学的教学改革．数学高考不同于数学竞赛．首先，考试内容不同，高考内容限制在中学教学大纲规定的范围内，以传统的初等数学为主；数学竞赛以数论、组合数学内容为主，所受限制较少．其次，考查要求不同，高考以知识为基础来考查各种能力；而竞赛试题涉及知识点一般不多，主要考查灵活解题的技巧及较高层次的能力．最后，高考兼有速度要求，试卷难度适中，一般考生都能得到基本分；而竞赛是典型的难度考试，试卷难度很大，只有极少数考生能取得较好成绩．高考与高中毕业会考也有实质的区别，尽管两种考试在考查的知识内容上大致相同，但考查的能力要求却不尽相同，即在教学大纲规定范围以内，考查深度不一样，由于会考是水平考试，考试内容要求属于成绩考试的范畴，会考命题是按照教学大纲的基本要求，并充分考虑本地区的教育水平；而高考毕竟要选拔合格高中毕业生中的少数人，因此高考命题当然要考虑使优秀学生的水平得以充分显现．高考试卷的知识和能力要求，必须从选才角度出发，并兼顾高中教学的水平．整份试卷要求的水平是通过试卷绝对难度体现的．绝对难度可以理解为题目本身要求解答者所具有的智力活动水平的高低和智力活动量的测量．一般认为题目能力要求的层次与题目绝对难度成正比，即只需要单独记忆内容的题目较易，需要理解掌握的较难，需要灵活应用的更难．所以，试题绝对难度反映了试题与学科知识、能力要求的适应程度．在选拔性考试中，通过控制绝对难度可以实现考试大纲所要求的水平．但更重要的是应控制试题要求的水平与考生知识能力水平适合的程度，即相对难度．因为，高考为实现其选拔功能，试卷必须对不同水平的考生具有良好的区分能力，使考生分数的分布有利于从高分到低分“拉开距离”，特别是要拉开每年的前20%可能被录取的考生分数的距离．因此高考试卷的难度，是由全体考生特别是成绩最好的20%的考生的水平决定的．经典测量理论中建立在平均得分率意义上的试题难度，本质上是从考生的角度评价试题的难易，即试卷与考生整体水平的适应程度．从这个意义上讲，控制相对难度比控制绝对难度更为重要．根据教育测量学原理，大规模考试的整卷难度在0．5左右最为理想，可以使考生成绩呈正态分布，标准差比较大，各分数段考生人数分布比较合理，对考生总体的区分能力最强．但考虑到我国中学的评价方法和评价机制尚不健全，高考事实上对高中教学有着较强的评价导向作用，为稳定高中教学秩序，照顾全国总体的实际教学水平，整卷难度控制在0．55左右比较合适．为控制整卷难度，首先要认真了解、分析当年考生经过系统的复习、训练、强化后的水平，分析考生的知识基础和能力构成，注重试题水平与考生水平的基本吻合，不能片面强调不同年份间试题绝对难度的稳定．其次要恰当控制试卷中各个试题的难度，一般在0．2～0．8左右，整个试卷中各种难度试题分数的分布也应该适当．最后还要考虑到我国教育发展极不平衡的现状及不同地区考生差别很大的事实，在每种题型中都编拟一些较易试题，使大部分考生都得到一定的基本分．在每种题型中都编拟一些有一定难度的试题，实现选拔的目的．注意文史类和理工农医类试卷的区别．由于理工农医类高校与文史类高校对新生数学水平的要求存在着差别，所以考试中分为两类试卷．在内容上，文科要求少一些，“反三角函数和简单三角方程”、“参数方程和极坐标”不作要求．在新课程的高考中，文理科考试内容和要求有更大的差别．在导数部分，文科试卷只有多项式函数的导数．在概率与统计部分文科的要求只含统计的内容，包括：抽样方法，总体分布的估计，总体期望值和方差的估计．理科的要求包括：离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归．理科有复数，文科没有复数．随着社会科学的发展及文科专业理论研究、实际应用中定量化的趋势日益加强，对文科考生的数学要求也在逐渐提高．但文理科试卷在难度上也还有差别，试卷中交叉共用的部分多数属于中等难度的试题．3．合理配置题型，发挥各种题型功能试题的内容要求和能力要求是通过一定的形式呈现的．题型就是体现考试要求的形式．不同类型试题在考查不同知识和能力要求上有不同的功能．一个考试所采用的题型，主要取决于考试目的、内容和误差控制等要求，近年来，高考数学科选用的题型主要有四选一的选择题，以及填空题和解答题．以考生作答方式和评分方法分类，选择题、填空题应属于客观题，因其评分不受评分者主观因素的影响，而解答题应属主观题．主、客观性试题的比例是值得注意的一个问题，应从我国提倡的标准化考试的目的、性质出发，从本学科的知识与智能结构出发来确定题型及其比例．题型要为考试内容来服务，内容才决定了题型．现行高考中，数学科试卷三种题型的比例是40％，10％和50％，这是考虑到考试目的、学科特点、评卷工作量和评卷误差等多种因素，经综合平衡后确定的．（1）数学因为其学科特点，不但要考查考生应当掌握的数学知识，而且要考查考生必须掌握的数学方法，考查应用知识和方法的能力以及分析问题和解决问题的过程，即不但要在知识的领会层次上对考生进行测试，还要在运用、分析、综合和评价层次上测试考生的能力，因此必须保持一定数量的解答题．解答题作为一种主观题，要求考生写出解题过程，能够比较全面地反映考生学科智力水平，展示其分析数学问题、综合运用数学知识进行逻辑思维的过程，适合对发散、综合、评价、复杂运算、文字表达等高层次能力的考查；一定量的解答题对中学教学也有较好的导向作用．实验表明，客观题比例越大，考生对严密的逻辑推理、准确的计算和条理的表达等方面则越不重视，教学上相对来说可能放松要求，对中学数学教育产生不良影响．但解答题作为一种主观题也有其本身的不足，如对评卷者要求较高，题量少覆盖面窄，特别是难以实行机器评卷，评卷效率低，等等．因此，高考中不能像校内班级测验或“文革”前试卷那样全是解答题，应定出合适的比例．（2）从考查目标来看，高考强调在考查知识的基础上考查能力，因此需要一定的选择题考查基础知识，达到一定的覆盖面．近几年来，选择题、填空题和解答题前半部分的试题难度比较低，其作用之一是考查考生基础知识的掌握情况，发挥高考对中学教学的评价作用；再一个就是使有一定数学基础的考生都能人手做题，并取得较好的成绩，进而提高全卷的平均分，增强其学习数学的兴趣和自信．（3）从考试时间和题量看，数学科考试时间为120分钟，但覆盖面积要求较大，数学科有近130个知识点，为达到60％～70％的覆盖面，如果每题平均2～4个知识论点，要有近30个题，显然靠解答题是不可能很好地实现考查目的的，因此必须要有一定数量的选择题以增加全卷题目数量，提高覆盖率，同时也可以提高考试的信度和效度，使解答题真正发挥其考查综合分析、逻辑推理等复杂思维过程的功能．（4）从阅卷来看，尽管现在对选择题的功能还存在着很大的争论，但我们不能不承认选择题阅卷速度快、误差小、效率高的特点，我们更不能不面对我国每年有近500万考生这样的事实，为解决评卷工作量大、劳动强度高、误差控制要求严、时间紧迫等问题，只有增加选择题的比例，采用机器阅卷，减轻评卷教师工作量，以提高阅卷的速度和质量．对选择题本身的不足，我们已经采取措施弥补，采用一卷多卡、多卷（A、B卷）多卡等方式防止作弊．（如有必要，今后可考虑采用多项选择题，即正确选项多于一个．）4．注重整体设计，发挥结构效应为发挥学科特点，体现高考的选拔功能，发挥整份试卷的区分作用，还应注意对整卷效应的研究．从系统论的观点来看，高考数学试卷是一个系统．系统是由元素和结构决定的，试卷是由试题和试题的结构组成的．系统的质量具有整体性，试卷的好坏取决于整张试卷产生的效应，而不仅仅是个别试题产生的效应，每一个试题都是好题，但拼起来不一定是一张好试卷，因此设计一张好的试卷不仅要选编好的试题，而且要注意试卷的整体结构，发挥整体效应．（1）全面考查考生素质，在选拔中应强调，只有各方面的素质都比较好的学生才是高校所需的学生．因此，试卷应有合理的知识结构和能力层次结构，知识结构是指试卷中包含学科各部分知识的比例．在编制双向细目表时，应根据各部分内容的教学时数和普通高考对考生知识结构的要求，确定试卷中各部分知识内容的分数比例，全面考查概念、定理、公式和法则等各项基础知识．试卷能力层次结构反映试卷对能力要求的层次和比例．试卷对能力要求的层次和比例，反映着考查的性质和要求．同样的学科知识内容，不同性质的考试，对能力要求的层次和比例是不同的．在考试中，应既考查数学能力，又考查一般认识能力，如观察力、注意力、记忆力、想象力和思维能力；既考查较高层次的能力，又考查较低层次的能力．数学考试中，考试目标包括基本方法的内容，因此还应注意结合各项知识考查数学方法．数学科的命题细目表应是三维表格，即知识内容、数学方法和能力层次．只有三者有机结合，并融入具体的一道试题，才能有效地全面考查考生素质．（2）对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合．重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持较高的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体．学科的内在联系，包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系，以及各部分知识之间的横向联系．知识的综合性，则是从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题．数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它是在数学知识发生、发展和应用的过程中孕育出来的．因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际．运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾算理和逻辑推理的考查．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理与图形的变换都要注意与推理相结合．分析问题和解决问题的能力是上述三种基本数学能力的综合体现，对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础，加强思维品质的考查．对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际．（3）确定试题难易比例，提高试卷区分能力．试卷区分能力的强弱取决于试题区分度的高低，试题的区分度是试题对不同水平被试知识、能力水平区分鉴别的程度，区分度高的试题应使水平高的考生得高分，而水平低的考生得低分．统计学中以考生在该题的得分与总分的相关系数计算区分度．为使试卷有较强的区分能力，试卷必须有合理的难易结构．试卷难易结构是试卷中试题难度要求的档次和比例．合理的难易结构可以使试卷整体难度满足试卷应具有的区分能力的要求．因为通常的高考试卷并不一定每道试题都具有高区分度，但测试诸如理解、掌握、综合运用和灵活运用等高层次的思维活动时，要有高区分度的试题．这类试题的特点是内容具有一定的深度和广度，知识点覆盖面大，考查的能力较高，题目综合性强．其作用是给应试者留有较大的发挥余地，学业优秀的考生得以脱颖而出，各种水平的考生能得到相应的分数，拉开了考生的档次，有效地区分了考生．统计资料的研究表明，试卷的整体难度控制在0．55～0．60，试卷标准差最大，考生分数分布比较分散，试卷区分度最强，试卷中各种难度的档次一般这样界定：难度在0．7以上为易题，0．4～0．7为中档题，0．4以下为难题．试卷中易、中、难三种试题的比例为3∶5∶2比较合适，各种题型中易、中、难题目的比例分别为，选择题3∶2∶1，填空题2∶2∶1，而解答题一般不安排易题，中档题和难题的比例为3∶2．为使考生产生良好的心理效应，发挥各种题型的功能，试卷难度按两级坡度设计，整卷是一个大坡度，而每种题型由易到难又是一个坡度，各种题型中试题难度的起点都比较低，特别是在选择题部分，起点题水平相当于高中毕业考试的水平，其目的是测度全体考生对基础知识的掌握情况，为教学评价提供参考．选择题最后几题的选项有较大的迷惑性，以此来区分基础知识掌握的深度和熟练运用的程度．解答题变一题把关为多题把关，最后三题分别考查不同的内容并设置一定的关卡，区分考生综合和灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力．（4）控制试卷长度、卷面字数和计算量．试卷长度直接反映了试卷中题目数量，对实现考试目标有一定影响．题量过少，将不能全面考查各种知识、方法和能力，而且在客观上会助长猜题押题的风气；题量过大，多数考生在规定时间内不能答完全部题目，考试成绩与考生水平将会有较大的差距．数学知识彼此联系非常紧密，而且注重在一定情境中的综合应用．如果机械地套用语言测试的模式，题目很多，每题都很小，则只能简单地测试一些单个概念的记忆，既不能深入也不能综合，等于把知识体系肢解、割裂，抓不住数学的精髓，葬送了数学的价值．因此数学中的题目，特别是选择题和填空题，不能太少，必须有一定的深度、一定的综合性．数学试卷应注意难度考试为主的特点，试卷长度要控制恰当．卷面字数指卷面印刷符号数量和考生答卷书写字符的总和．为使考生能尽快、无误地获得信息，题目叙述应简单明了，字母、符号、标点都应正确运用并发挥其作用，在语言不能简明叙述或不能清楚表达时，应注意各种符号和图形的运用，减少生活语言对数学语言的干扰．控制考生答卷的书写时间，充分利用选择题书写答案简便的特点，尽量增加考生的思考时间．试题应尽量避免繁难的运算，控制各题的计算量，排除由于计算过多过繁造成耗时较多，或计算错误造成全题失分的现象，以便集中考查考生的各种能力．（5）编制公平的评分标准．对解答题的解法，应优先考虑绝大部分考生所可能使用的方法，同时注意各种等价解法难度的平衡，并鼓励有创见的解法，各分数段的安排要科学合理，分数给在关键步骤，层次分明，尽量使之对不同形式的解都便于评阅．分数的间隔不易过大，以2～3分为宜，以便控制评分误差．二、能力要求普通高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对考生所学习的知识的内在联系、学科基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查，即考查考生的一般心理能力和学科能力．从学科角度和命题实践出发，可将高考的数学考试的能力要求归纳为以下几个方面．（1）逻辑思维能力：会对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行判断和推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述．（2）运算能力：理解算理，会根据法则、公式、概念进行数、式、方程的正确运算和变形；能分析条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计，能运用计算器进行数值计算．（3）空间想象能力：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．（4）分析和解决实际问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．1．逻辑思维能力的考查逻辑思维能力主要是指使用形式逻辑的思维方式，正确合理地进行判断、推理的思考能力，包括观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比等．逻辑思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志．逻辑思维能力在数学科中是使用数学素材进行训练和培养的，但这种思维具有思维的一般性，是完全可以脱离数学内容而适用于思维的一切领域．因此，高考应把逻辑思维的考查放在重要的位置．高考对逻辑思维的考查以演绎推理为重点，注意归纳和类比推理；考查观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力；注意数学语言、普通语言的理解和运用；注意思维品质的考查．（1）演绎推理．数学是一个各部分紧密联系的逻辑系统，形式逻辑推理是基本方法．由概念组成命题，由命题组成判断，由判断组成证明．在数学领域中只有被严密逻辑证明了的结论才被承认为正确的，因此数学是体现逻辑最为彻底的学科．中学没有逻辑学科，数学就很自然地承担了这方面的责任，因此数学考试中着重考查了演绎推理的能力．演绎推理能力是指从定义出发进行分析、推理、论证的能力，其重点是三段论推理．大学对合格新生的要求一方面是掌握一定的数学知识，但更重要的是具有一定的能力．在大学数学基础课程中，学生普遍感到困难的是线性代数，如向量空间．究其原因，是学生利用原理、定义进行抽象推理的能力没有达到要求．高考对逻辑思维能力的考查主要体现在对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题比例较大，命题时既要考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又要考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考查．试 题［2000年］若a ＞b ＞1，P =b a lg lg ⋅，Q =21（lg a +lg b ），R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（ ）． A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q【分析】 本例的考查目的是想通过实数大小的比较来考查判断和推理能力，并且是以选择题的形式来考查演绎推理．按常规思路，解本题时主要使用平均值定理来进行判断．∵ a ＞b ＞1，∴ lg a ＞0，lg b ＞0，lg a ≠lg b由平均值定理，得。