高数复习大纲2014-2015第二学期

高等数学（下册）复习纲要
2015. 05
一． 微分方程
1. 一阶微分方程通解和特解的求法：可分离变量的微分方程，简单的齐次方程和一阶线性微分方程；
样题：求微分方程sin dy y x dx x x
+=满足初始条件|1x y π==的特解。

2. 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解；
样题：求微分方程'''250y y -+=的通解。

二． 多元函数微分
1. 多元函数偏导数（要求到二阶）及全微分的求法；
样题：计算函数xy z e = 在点(1,2)处的全微分。

设()2
ln z x y =+，求22,,z z z x y y ∂∂∂∂∂∂。

2. 多元复合函数求导，要求到二阶；样题：教材P79，例1—例4。

3. 求由一个方程所确定隐函数的一阶导数；
样题：设22240x y z z ++-=，求
z x ∂∂， z y
∂∂。

4. 多元函数的方向导数和梯度；
样题：设23u xy z xyz =+-，(1) 求梯度u grad ；(2) 求函数u 在点(1,1,2)处沿方向(1,2,1)l =的方向导数。

5. 多元函数的无条件极值；
样题：求函数22(,)9244f x y x y x y =-+--的极值。

三． 重积分（本章考察难度和范围以教材例题为标准）
1. 二重积分的计算，极坐标变换，直角坐标系下交换积分顺序。

2. 三重积分的计算，柱坐标变换。

3. 重积分的几何应用：计算体积。

样题：求由以下四张平面所围四面体的体积：0,0,2x z x y ===和22x y z ++=。

四．曲线与曲面积分
1. 两类曲线积分的计算。

2. 格林公式及其简单应用;
样题: (1) 验证曲线积分
(1,2)(0,1)(1)x x ye dx e dy ---+⎰与路径无关，并计算积分值； (2) 验证22xdy ydx x y
-+在右半平面内是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ； (3)
计算曲线积分2(3)(7L y x dx x dy -+⎰，其中为L 上半圆
y 从点(3,0)A 到点(3,0)B -的一段弧。

3. 两类曲面积分的计算。

五．无穷级数
1. 常数项级数敛散性的判定：正项级数的收敛与发散，一般级数的绝对收敛，条件收敛和发散；
样题：判定级数3141(1)
1
n n n n ∞-=-+∑敛散性（若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？） 2. 求幂级数的收敛半径，收敛域以及和函数；
样题：求幂级数1(1)(1)n
n n n x ∞=-+∑的收敛半径，收敛域以及和函数。

3. 函数展开成幂级数；
样题：将函数2132
x x y -+=展开成x 的幂级数，并确定收敛区间。

注：考试难度不高于教材的例题和作业题，少部分试题为书上例题和课后作业。