平面向量单元复习
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
平面向量复习
平面向量【重点知识】一、向量的运算（一）线性运算（换序平移转起点，相同系数一组算；减法法则转起点）例题1、若O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则三角形ABC 为例题2、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足OC =1OA 3+2OB 3.① 求证:A ,B ,C 三点共线②求|AC ||CB |的值（答案：2）（二）向量的内积（模模扣夹角；长度×投影；横横+纵纵；分解算点乘）和长度、夹角、垂直等方面的应用（夹角为锐角⇔点乘大于零且不共线）例题3、（点乘的四种算法）已知三角形OAB 中，OA=3，OAB=2π∠，求OB OA ⋅。
例题4、（向量问题的三种意识：基底意识、坐标意识、几何意识）、已知0a b c ++=，||=||1a b =，a 和b 的夹角为3π，求a 和c 的夹角。
例题5、已知,i j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（三）向量运算小结：几何算法和代数算法---换位平移转起点，相同系数一组算，等号两边取平方（用点乘）遇到模转化成模方，遇到模方转化成向量方，遇到向量方转化成分解式方，遇到分解式方乘法公式展开；遇到垂直点乘得0，遇到钝角点乘为负不平行，遇到锐角点乘为正不平行；遇到夹角算余弦，余弦怎么算，上边点乘，下边模乘；遇到平行a b λ=，分解式下对应系数成比例，坐标下内项积等于外项积。
典型问题：（1）三点共线→终点共线起点同，分解系数和为1（具体分解方法—转起点，转圈分解理论；分系数的正负理论；系数和范围理论）（2）高←投影绝对值（3）角平分线问题←与()||||a ba b λ+共线 二、向量共线（一）代数算共线：a ∥b a b λ⇔=，()x AB y AC +∥()x ymAB nAC m n+⇔=（大题a b λ=，小题对应系数成比例）， ()x y ，∥()m n xn ym ⇔=，（坐标：内项积＝外项积）（二）几何用共线：,,A P B 三点共线(1)AP AB OP OA OB λλλ⇔=⇔=-+（可用转起点的减法法则在两个等价形式之间切换；结论→终点共线起点同，分解系数和为1）相关结论：中点、三等分点、若干等分点（终点共线起点同，分解系数和为1）、重心 例题6、（15年新课标1理科）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =-例题7、ABC ∆中，CD 是角ACB 的平分线，,CB a CA b ==，||1,||2a b ==，则CD = a + b例题8、在三角形ABC 中，G 是该三角形的重心，DE 过G ，且,AD xAB AE y AC ==，求11x y+例题9、在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →.三、向量单位化：单位向量应用之①与a 同向/平行/垂直的单位向量②a 在b 上的投影③中线和角平分线方向的刻画 例题10、（15年福建理科）已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21例题11、ABC ∆中，()||||AB ACOP OA AB AC λ=++，则P 点轨迹必过三角形（重心，外心，垂心，内心）例题12、7117=(,),=(-,),=(2,k)2222a b c ，向量a ，b 分别与c 所成的角相等，求k 的值例题变式：=(3,4),=(8,6),=(2,k)a b c ，向量a ，b 分别与c 所成的角相等，则k 的值为四、向量运算中的基底意识、坐标意识、几何意识 例题13、||=2,|-|=2a a b ,,>=3a ab π<-，求||b例题14、（基底意识）ABC ∆中，AB=1，=60ABC ∠︒，1AC AB ⋅=-，若G 是ABC ∆的重心，则BG AC ⋅的值是（ ）A 、1B 、52C 、83D 、5例题15、（几何意识）若两个非零向量,a b 满足|+||-|2||a b a b a ==，求+-a b a b ，的夹角五、向量与三角形四心例题16、已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且222OA OB OC ==，0NA NB NC ++=， 且PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心例题17、已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足O P O A λ=++||c o s ||c o s A BA CA B B A C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ∆的（ ）（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心【练习1】1、（15年安徽文科）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是 。
(完整版)中职数学平面向量复习
复习模块：平面向量一 、知识点（1）平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小,方向。
零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。
单位向量：模为1的向量。
平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。
规定：零向量与任何一个向量平行。
相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。
负向量:与非零向量a 的模相等,方向相反的向量，记作-a 。
规定：零向量的负向量仍为零向量。
向量加法的三角形法则：如图1,作AB =a ， BC =b ,则向量AC 记作a＋b ，即 ，和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD =AB ＋BC =AC , AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ; a ＋（−a ）= 0;（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c )．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a 的终点．如图3。
a −b =a+(−b ），设a =OA ，b =OB ，向量的数乘运算:数与向量的乘法运算。
一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ,它的模为， 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反．共线向量充要条件：对于非零向量a 、b ，当0λ≠一般地，有 0a = a Aa -b Bb O 图3 图1A CBa ba +b a b 图2 C B0, λ0 = 0 .线性组合：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ,b 线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ,则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． 设平面直角坐标系中,11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则由此得到，对非零向量a 、 b ,设1122(,),(,),a b ==xy x y当0≠λ时（3）平面向量的内积向量a 与向量b 的夹角，记作<a ，b>. []o o b a 180,0,>∈<内积的定义：两个向量a ，b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．记作a ·b ，结论：（1）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b 。
平面向量知识点复习
平面向量复习一、向量的基本概念1、既有_大小___又有_方向___的量叫做向量。
用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的_大小___，有向线段的箭头所指的方向表示向量的_方向___ 。
2、 长度为零的向量 叫零向量。
3、 长度等于1个单位长度的向量 叫做单位向量。
4、_方向相同或相反___的_非零___向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做_共线向量__ 。
注意：零向量与任一向量平行。
5、 长度相等 且 方向相同 的向量叫做相等向量。
长度相等方向相反的向量 叫做相反向量。
二、向量的表示方法几何表示法：用有向线段表示 字母表示法：印刷用粗体a ,书写用a ，或者AB坐标表示法：（y x ,）三、向量的模向量的模即向量的长度。
1、若A 的坐标为（y x ,），求OA 则OA =22y x +2、若A 的坐标为),(11y x ，B 的坐标为),(22y x ，求AB则AB =212212)()(y y x x -+-四、向量的线性运算1、向量的加法和减法（1）向量加法的三角形法则：两个向量的和，即它们首尾相连，连接第一个向量的起点到第二个向量的终点之间的有向线段，方向从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
记忆口诀：首尾相连、连接首尾、指向终点。
（2）向量加法的平行四边形法则：已知两个从同一点A 出发的两个向量AD 、AB ，以AD 、A B 为邻边作平行四边形ACDB ，则以A 为起点的对角线AC 就是向量AD 、AB 的和。
实例：物理中两个力的合力的求法。
记忆口诀：共起点，对角连。
（3）向量的减法：两个向量的差，即它们起点相连，连接两个向量的终点的有向线段，方向为从减数指向被减数。
2、向量加法的运算法则对于零向量和任一向量a ：a a a =+=+00对于相反向量：0)()(=+-=-+a a a a 交换律：a b b a +=+结合律：)()(c b a c b a ++=++3、向量的数乘1）实数λ与向量a 的积也是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=（2）当λ>0时，a λ与a 方向相同；当λ<0时，a λ与a 方向相反；当a =0时，a λ=0；当λ=0，a λ=0。
平面向量复习
平面向量复习知识点提要一、向量的概念1、既有_________又有_________的量叫做向量。
用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的_________，有向线段的箭头所指的方向表示向量的_________2、_______________叫做单位向量__________3、_________的_________向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做_________。
零向量与任一向量平行4、_________且_________的向量叫做相等向量5、_______________叫做相反向量__________二、向量的表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法三、向量的加减法及其坐标运算四、实数与向量的乘积定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ五、平面向量根本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1，e2叫基底六、向量共线/平行的充要条件七、非零向量垂直的充要条件八、线段的定比分点设21,p p 是l 上的 两点，P 是上l _________的任意一点，那么存在实数λ，使_______________，那么λ为点P 分有向线段12p p 所成的比，同时，称P 为有向线段12p p 的定比分点定比分点坐标公式及向量式九、平面向量的数量积(1)设两个非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，那么∠AOB ＝θ叫a 与b 的夹角，其范围是[0，π]，|b|cos θ叫b 在a 上的投影(2)|a||b|cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a||b|cos θ(3)平面向量的数量积的坐标表示十、平移典例解读1、给出以下命题：①假设|a|=|b|，那么a=b ；②假设A ，B ，C ，D 是不共线的四点，那么AB= DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③假设a=b,b=c ，那么a=c ；④a=b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ；⑤假设a ∥b,b ∥c ，那么a ∥c 其中，正确命题的序号是______2、a,b 方向相同，且|a|=3，|b|=7，那么|2a-b|=____3、假设将向量a ＝〔2，1〕绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b ，那么向量b 的坐标为_____4、以下算式中不正确的选项是( )(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a5、假设向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，那么c=( )6、函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( )(A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+17、平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A(3，1)，B(-1，3)，假设点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,那么点C的轨迹方程为( )(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5(C)2x-y=0 (D)x+2y-5=08、设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，那么 PQ=_________9、A(5,-1) B(-1,7) C(1,2)，求△ABC中∠A平分线长10、假设向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，那么a·b等于( )(A)-5 (B)5 (C)7 (D)-111、假设a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，那么( )(A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|＞|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直(D)(a·b)·c-(b·c)·a=012、设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，那么实数λ的值是( )(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/216、利用向量证明：△ABC中，M为BC的中点，那么 AB2+AC2=2(AM2+MB2)17、在三角形ABC中， =〔2，3〕， =〔1，k〕，且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值18、△ABC中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1)，BC边上的高为AD，求点D和向量。
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6、平移—典例分析-例13
知 识 回 忆 典 例11 例 例12 分 析 例13
例13 把y=2x 图象 c按a=(-1,2)平移 得c′则c′解析式___ x′=x-1 x=x′+1 ∴ y′=y+2 y=y′-2 y′-2=2x′+1 ∴y=2x+1+2
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八、线段的定比分点
点P（x，y）分有向线段P （ ），P （ 1P 2所成定比为 ，其中P 1 x1，y1 2 x2，y 2） PP2 即P 1P 中点坐标 定比分点P的坐标
x1 x2 x 1 y y1 y 2 1
x1 x2 x 2 当 1时， y y1 y2 2
学习目录
1、向量的概念 2、实数与向量的积 3、平面向量的坐标运算
知识结构
4、线段的定比分点 5、平面向量的数量积 6、平移 7、正余弦定理
一、向量的概念 向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、 相等向量、相反向量等. 二、向量的表示 1、字母表示：AB或a 2、坐标表示： A
y
B
a xi y j （x，y）
例题
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b,A、B、D共线,求k的值.
例3 e1、e2不共线, a=e1+e2 b=3e1-3e2 a与b是否共线。
例题
例4 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分 别为DC、AB中点。AB=a AD=b M D 用a，b来标DC、BC、MN。
练习一
1、根据图示，在下列横 线上填上适当的向量 （ 1 ）AB — — — DB DC （ 2 ）AB — — — DC DA
平面向量专题复习
平面向量专题复习考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理题型一、平面向量的概念1．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3题型二、平面向量的线性表示1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12AD C ．BC D.12BC 2．(2013·江 苏 高 考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 4．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.题型三、平面向量共线定理典题：设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[变式1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线．考点二、平面向量基本定理及其坐标表示题型一、平面向量基本定理及其应用1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .题型二、平面向量的坐标表示1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)2．(2015·昆 明一 中 摸 底 )已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．题型三、平面向量共线的坐标表示典题：平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求m n 的值．[题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能能否共线考点三、平面向量的数积、模长、夹角题型一、平面向量的数量积1．(2015·云 南 统 一检 测 )设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12 C.32 D.522.(2013·湖 北 高 考 )已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－31523．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.4．(2015·东 北 三 校 联 考 )已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC＋DB )，则BE ·DF ＝________.题型二、平面向量的模长1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．82．(2014·北 京 高 考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.题型三：平面向量的夹角1．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π62．(2014·江 西 高 考 )已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.3．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．4．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152。
平面向量全章复习
平面向量全章复习推论及公式：● 设a =（x ，y ），则a 2=x 2+y 2，即|a |=x 2+y 2． ● 两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为AB = ()()221212x x y y -+-．● a =(x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，它们的夹角为θ，则有121222221122cos x x y y x y x y θ+==+⋅+a b a b●0⊥⇔=a b a b 1212x x y y ⇔+=0．二．典型例题分析例1. 在四边形ABCD 中, 已知AD AB AC +=, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形?例2. 化简：（1）AB BC CD ++=______；（2）AB AD DC --=_____；（3）()()AB CD AC BD ---=_____． 例3. 若AB =3e 1,CD =－5e 1,且|AD |=|BC |，判断四边形ABCD 的形状． 例4. 若112()(3)032x a b c x b --+-+=，则x =__________．例5. 已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式3x a +(10－y )b =2x b +(4y +4)a ,则x =_____________,y =_____________．例6. 向量(1,1)a =，且与b a 2+的方向相同，则b a⋅的取值范围是 ),1(+∞-． 例7. 已知OA =(-1，2)，OB =(3，m )，若OA ⊥OB ，则m 的值为__________．例8. 已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 例9. 已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则b a 23--的坐标是_____．例10. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为_______．例11. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标．例12. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直，求实数k 的值．例13. 已知|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为45°，求以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边的平行四边形过a 、b 起点的对角线长．例14. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+AC AB DA DC DB 试判断△ABC 的形状．例15. 已知|a |=3 ，|b |=4， (且a 与b 不共线)， 当且仅当k 为何值时， 向量a +k b 与a －k b 互相垂直?例16. 已知向量a 、b 满足b b a b a a 求，5,53=-=+=． 例17. 若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=________． 例18. △ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB ______（答：－9）例19. 已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）； 例20. 已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；例21. 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标．例22. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 例23. 设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a =，，2(11)b a -=-，，则cos θ=_______．(31010)例24. 设向量(3,1),(1,2O A O B ==-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求,OD OA OC OD +=时的坐标．例25. 已知13(3,1),(,),22a b =-=若存在不为零的实数k 和角α，使得()sin 3,sin c a b d ka b αα=+-=-+⋅，且c d ⊥，试求实数k 的取值范围．例26. 已知M ＝(1+cos2x ，1)，N ＝(1，3sin2x +a )(x ，a ∈R ，a 是常数)，且y =OM ·ON (O 是坐标原点)⑴求y 关于x 的函数关系式y =f (x )；⑵若x ∈[0，2π]，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由y =2sin(x +6π)的图象经过怎样的变换而得到． 例27. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）。
高中的数学平面向量专题复习(含例题练习)
标准实用平面向量专题复习一.向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移) 。
如：2•零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是-AB )； 一|AB|4 •相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作： a // b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 平行不包含两条直线重合； *③ 平行向量无传递性！(因为有0)$ ④ 三点A B C 共线 AB AC 共线；a 的相反向量是一a 。
女口 =b ，则a =b 。
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
(4)若ABCD 是平行四边形，则 AB = DC 。
( 5)若a = b,b= c ，则、向量的表示1•几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后;2 •符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c 等；坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三. 平面向量的基本定理：如果 e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 ■ 1、 ’2，使a= \ 8+ '2e 2。
女口卄片 片 ■+4例 2 (1)若 a =(1,1)b =(1,-1),c=(—1,2)，则 c= _________(2) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 2 =(0,0),e 2 =(1,-2)B. e =(-1,2)© =(5,7)13 C. e = (3,5)6 =(6,10) D. e =(2,-3)© =(—,-—)24(3) 已知AD,BE 分别是 ABC 的边BC,AC 上的中线，且AD =a,BE =b ,则BC 可用向量a,b 表示为 _____但两条直线6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
平面向量知识点归纳
平面向量基础知识复习平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||ABAB ±）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2 如下列命题：（1）若||||a b = ，则a b =.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB D C =，则ABCD 是平行四边形.（4）若ABCD 是平行四边形，则AB D C =.（5）若a b = ，b c = ，则a c =.（6）若//a b ，//b c则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j为基底，则平面内的任一向量a可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)xy 为向量a 的坐标，(,)a x y = 叫做向量a的坐标表示. 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设12,e e同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+ .（1）定理核心：1122a λe λe =+ ；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+ 为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）若(1,1)a = ，(1,1)b =- ，(1,2)c =- ，则c =. 结果：1322a b -.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e = ，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =- ，2(5,7)e = C.1(3,5)e = ，2(6,10)e = D.1(2,3)e =- ，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知,A D B E分别是ABC△的边BC，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC可用向量,a b表示为 . 结果：2433a b + . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB = ，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；平面向量基础知识复习（2）方向：当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反，当0λ=时，0a λ= ，注意：0a λ≠. 五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a，b的夹角.当0θ=时，a，b同向；当θπ=时，a，b反向；当2πθ=时，a，b垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB = ，||4AC = ，||5BC = ，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-. （2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=-⎪⎝⎭，c a kb =+ ，d a b =- ，c 与d的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a = ，||5b = ，3a b ⋅=-，则||a b += ____. （4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a上的投影：||cos b θ ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a = ，||5b =，且12a b ⋅= ，则向量a 在向量b上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅ 的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的模||a与b 在a 上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b，其夹角为θ，则：（1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅ ，特别地，22||||a a a a a =⋅=⇔ ；||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅ ，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅> ，且a、b 不同向，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅< ，且a、b 不反向；0a b ⋅< 是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF F Q ⋅= ，若12S <，则OF ，FQ夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足|||ka b a kb +-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅ ；②求a b ⋅ 的最小值，并求此时a与b的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ= .六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.平面向量基础知识复习运算形式：若AB a = ，BC b = ，则向量AC 叫做a 与b的和，即a b AB BC AC +=+= ；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a = ，AC b = ，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --=；③()()AB C D A C B D ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a = ，BC b = ，AC c = ，则||a b c ++=.结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++= ，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120 .2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y = ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =- ，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 .结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==. （3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)A B x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13A CA B =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-.（4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x = ，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-.（1）若3x π=，求向量a、c的夹角；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a bλ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150 ；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||a a x y a ==+⇔举例11 已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么|3|a b +=＝ .（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠= ，平面上任一点P的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ ，其中12,e e分别为与x 轴、y 位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+ ，()()a a λμλμ= ，a b b a ⋅=⋅ ；平面向量基础知识复习2.结合律：()a b c a b c ++=++ ，()a b c a b c --=-+ ，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+ ，()a b a b λλλ+=+ ，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅= ，则a = 或b = ；⑤若a b c b⋅=⋅ 则a c= ；⑥22||a a = ；⑦2a b b a a⋅= ；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-= .举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a = ，(4,)b x = ，2u a b =+ ，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k = ，(4,5)PB = ，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11. 九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b = 向量n m ⊥ ，且||||n m =，则m = 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>； （2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12P P所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB所成的比为34，则A 分BP所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩.平面向量基础知识复习特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M，且2AM MB = ，则a =. 结果：２或4-.十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k = 平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k = 平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-.十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0 ||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0 ||||||a b a b ⇔-=+； （3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔ 为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ 为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+ ，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MPMP +⇔=.平面向量基础知识复习7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
平面向量复习提纲
平面向量全章复习【教学目标】复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示．向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。
本章知识框架一．基本知识点回顾1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．2．向量的表示：①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；3．向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作AB ．说明：(1)不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(2)向量不同于数量．数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的．(3)向量的模（是正数或零）可以比较大小．4．几组特殊的向量：①零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0或0．说明：零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个．规定所有的零向量都相等．②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．记作a b ∥．说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．（3）规定：零向量与任意向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若a 与b 相等，记作a b =． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．向量a 的相反向量记为a -． 向量的定义 向量的表示 向量间的关系 向量相等向量 相反向量 共线向量 符号表示 几何表示基底表示 坐标表示 向量的运算 加法 减法 数乘 向量的应用 数量积平行与共线 长度 夹角 垂直5．向量加法的概念：已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作O A a =，AB b =，则向量OB 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b OA AB OB +=+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．①规定：0a a +=，()()0a a a a +-=-+=，即0AB BA +=；②向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量；③向量加法的平行四边形法则：说明：(1)求和向量必须共起点．(2)向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则．6．向量加法的运算律：交换律：a b b a +=+；结合律：()()a b c a b c ++=++．7．向量减法的有关概念:若b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 8．向量减法的作图方法:在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA BO OA OB OA a b =+=-+=-，即a b -表示从向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量． 9．向量的数乘的定义：一般的，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=；(2 ) 当λ>0时，a λ与a 方向相同，当λ<0时，a λ与a ，方向相反，当λ＝0时，a λ＝0．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘．10．向量数乘的运算律：（1）()()a a λμλμ= (结合律)；（2）()a a a λμλμ+=+ (分配律)；（3）()a b a b λλλ+=+ (分配律)．11．向量共线定理：一般地，对于两个向量a （0a ≠），b ，如果有一个实数λ，使得(0)b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量，反之，如果b 与a （0a ≠）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．12．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a =1λ1e +2λ2e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．13．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任取一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j ①，则把（x ，y ）叫做向量的直角坐标，记作：a =(x ，y ) ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，②式为向量的坐标表示．14．向量坐标运算：已知),(11y x =，),(22y x =，1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，),(11y x λλλ=．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．15．共线向量坐标表示的一般性结论：设a 11(,)x y =，b 22(,)x y =（a ≠０），如果a ∥b ，那么12210x y x y -=；反过来，如果12210x y x y -=，那么a ∥b ．结论（简单表示）：向量与共线≠01221=-⇔=⇔y x y x λ．16.向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则AOB θ∠=（0︒≤θ≤180°）叫做向量a 和b 的夹角．特别地，当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向；当θ=90︒时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．17. 平面向量数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积（或内积）（scalar product of vectors ），记作a ·b ，即：a ·b =|a ||b |cos θ．我们规定：零向量与任一向量的数量积为0．向量数量积模的性质：当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =－|a ||b |．特别地，a ·a =|a |2或|a |= a ·a ．向量数量积的运算律：设向量a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）a ·b =b ·a ；（交换律）； （2）（λa ）·b =a ·（λb ）=λ（a ·b ）=λa ·b ；（结合律）；（3）（a +b ）·c =a ·c +b ·c ．（分配律）。
平面向量(复习)
平面向量中应注意的几点①一、注意向量的加（减）法的几何意义作用1. 向量的加法法则：① 三角形法则 ②平行四边形法则 -------向量的加法与路径无关即AD CDBC AB =++……向量的加法运算满足交换律和结合律注意：如图，M 是AB 的中点，则OM OBOA 2=+2．向量的减法（加法的律运算） ——指向被减数 二、注意共线向量（平行向量）的作用1. 实数与向量的积是一个向量，记作a λλ＞0与原向量的方向相同λ＜0与原向量的方向相反2、共线向量：b a ,共线⇔b a λ=作用：证明点共线和线线平行。
3、与a 方向一致的单位向量：aa 。
4、平面向量的基本定理若21e、e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内任何一个向量a ，有且仅有一对实数21λλ、使：2211e e a λλ+=成立（这里：21e 、e 称为一组基底，即基向量）例1、设AB =()b a 522+、b a BC 82+-=、()b a CD -=3求证：A,B,D 三点共线。
例2、如图，在△ABC 中，OA OC 41=、OB OD 21=，AD 与BC 相交于M,, 设b OB 、a OA ==， ①用b 、a表示OM ； ②在已知线段AC 上取一点E ，连EM ，延长交OB 于F ，设OB q OF 、OA p OE ==，求证：17371=+qpOBMAOAMDCE F B课堂练习 1：1、 证明：起点相同的三个向量a 、b 、b a 23-的终点在同一直线上。
2、化简：（1）DA CD BC AB +++ （2）OA AB +（3）()OM BO BM AB ++- （4）MPMN QP NQ -++3、如图，PQ 过△OAB 的重心G ，b OB 、a OA ==，b n OQ 、a m OP ==，求证：311=+nm4、①已知P 是△ABC 内一点，且满足032=++PC PB PA 则S △ABP ：S △BCP ：S △ACP=___________②已知P 是△ABC 所在平面内一点，且AB PC PB PA =++则 P 点得位 置在_________三、平面向量的数量积：1.平面向量的数量积（内积）的定义θcos b a b a ⋅=⋅，（其中θ是向量b 、a 的夹角，θ∈［0，π］，b 、a 的夹角也记作〈b 、a 〉） 2、平面向量的数量积的几何意义：b a ⋅就是 在a 上b 的射影：a cos ＜a , b ＞与b 之积。
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习（含答案）《平面向量》单元测试考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(),3a k =，()1,4b =，()2,1c =，且()23a b c -⊥，则实数k 的值为（ ）A ．32-B ．152C ．32D ．32．在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b =，则AF =（ ）A ．1344a b +B ．2133ab C ．3144a b +D ．1233a b +3．如图，ABC 中，3BD DC =，AE mAB =，AF nAC =，0m >，0n >，则13m n+=（ ）A ．3B ．4C ．43D ．344．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB mDE =（m R ∈），若AC AE AD λμ=+（λ，μ∈R ）且20λμ+=，则m =（ ）A ．13B ．3C ．14D ．45．已知平面向量,,a b c 满足1a =，2b =，a 与b 的夹角为45，当1c b -=时，a c ⋅的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若AF x AE yDC =+，且0x m >>，0y >，则()my x m -的最大值为（ ）A ．8243B ．4243C ．381D ．4817．已知ABC 中，()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈，()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤，则PQ 的最小值为（ ）A ．3B ．5CD 8．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=，24b a +=，32CA CD CB =-，则线段CD 长度的最小值为（ ）A ．2B C ．3 D 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．4a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30︒D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a10．已知向量()3,1a =，()2,3b =，()1,2c =-，若()()ma c a nb ++∥（m ，n ∈R ），则(),m n 可能是（ ） A ．()2,1B ．()0,1-C ．()3,2D ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．已知向量()()2,1,cos ,sin (0π)a b θθθ==<<，则下列命题正确的是（ ） A ．·a bB ．存在θ，使得=+a b a b +C ．若a b ⊥，则tan θ=D ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为2π3 12．下列说法正确的是（ ）A ．已知向量()2,3a =-，(),21b x x =-，若a ∥b ，则2x =B ．若向量a ，b 共线，则a b a b +=+C ．已知正方形ABCD 的边长为1，若点M 满足12DM MC =，则43AM AC ⋅= D ．若O 是ABC 的外心，3AB =，5AC =，则OA BC ⋅的值为8-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，()5a a b ⋅+=，则cos ,a b =____________. 14．设向量,a b 的夹角的余弦值为13-，且|2||3|6a b ==，则|2|a b +=___________． 15．在ABC 中，点D 在边BC 上，且2BD DC =，若AD AC AB λμ=+，则λμ=____16．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且2||2AC AB AC S -⋅=，则C =______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量,a b 满足||2,||1a b ==，且()(2)9a b a b -⋅-=. (1)求|3|a b +；(2)记向量b 与向量3a b +的夹角为θ，求cos θ.18．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点．(1)若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； (2)若9AB =，43CA CE ⋅=，求解AD .19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ⋅的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC λλ=+-，求PM PN ⋅的最小值．20．已知向量()cos ,sin OA a αα==，()2cos ,2sin OB b ββ==，()0,OC c d ==（0d >），其中O 为坐标原点，且π0π2βα<<<<． (1)若()a b a ⊥-，求βα-的值；(2)若向量a 在向量c b c d ⋅=，求AOB 的面积，21．已知函数()f x a b =⋅，其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈. (1)求函数()y f x =的单调递减区间；(2)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a =且3sin 2sin B C =，求ABC 的面积.22．已知向量(1,3=-m ，()sin ,cos n x x =，函数()()f x m n n =+⋅，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1f C =． (1)求C 的大小；(2)若ABC D 在边AC 上，且12CD DA =，求BD 的最小值．《平面向量》课时作业参考解析1．D【解析】由已知得，()()()232,331,423,6a b k k -=-=--. 又()23a b c -⊥，所以()230a b c -⋅=，即()()()23,62,12236k k --⋅=--4120k =-=.解得，3k =.故选：D. 2．D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+.设AF AE λ=()01λ<<，则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又BD AD AB =-，且,,B F D 三点共线，则,BF BD 共线，即R μ∃∈，使得BF BD μ=，即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，又,AB AD 不共线，则有12λμλμ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.3．B【解析】由题意得：()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， AE mAB =，AF nAC =，1344AD AE AF m n∴=+， ,,E D F 三点共线，13144m n ∴+=，即134m n+=.故选：B. 4．B【解析】方法1：在平行四边形ABCD 中，因为EB =mDE ，所以()AB AE m AE AD -=-，所以11AE AB m =++1m AD m+，又∵AB DC AC AD ==-， ∴()111mAE AC AD AD m m=-+++，∴()()11AC m AE m AD =++-， 又∵AC AE AD λμ=+，∴1m λ=+，1m μ=-，（平面向量基本定理的应用） 又∵20λμ+=，∴()1210m m ++-=，解得3m =，故选：B.方法2：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，设(),0B a ，(),D b c ，∵AB DC = 则 (),C a b c +，又∵EB mDE =，设(),E x y ，则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即：,11mb a mc E m m +⎛⎫⎪++⎝⎭，∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭，(),AC a b c =+，(),AD b c =， 又∵AC AE AD λμ=+，20λμ+=，∴2AC AE AD μμ=-+ ∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+-+⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ-+⎧+=+⎪⎪+⎨-⎪=+⎪+⎩①②由②得1=1m mμ+-，将其代入①得3m =，故选：B. 5．B【解析】1a =，2b =，a 与b 的夹角为45，∴可设()1,0a =，()1,1b =，设(),c x y =，由1c b -=得：()()22111x y -+-=，则点C 轨迹是以()1,1为圆心，1为半径的圆，a c x ⋅=，∴当2x =时，a c ⋅取得最大值2.故选：B.6．B【解析】由题意可得12AE AD DE AB AD =+=+，所以，1122x AB AD y AB A x A F xAE x yDC y B AD ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭+，因为F 为线段BD 上的点，所以，存在()0,1λ∈，使得DF DB λ=， 所以，()AF AD AB AD λ-=-，则()1AF AB AD λλ=+-，所以，121x y x λλ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，则312x y +=，因为03102x y x >⎧⎪⎨=->⎪⎩，则203x <<， 所以，()()()3321223my x m m x x m m x m x ⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223232323448383839m x m x m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅-+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()32344839f m m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中203m <<， 则()238432233839833f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当209m <<时，()0f m '>，此时函数()f m 单调递增， 当2293m <<时，()0f m '<，此时函数()f m 单调递减，所以，()max 249243f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当且仅当29m =，49x =时，()my x m -取最大值4243.故选：B. 7．C【解析】如图，设点O 为BC 上的一点，令BO BC λ=，即AB BC AB BO AO λ==++，当AO BC ⊥时AO 取最小值3，此时根据勾股定理可得BO OC ==ABC 为等边三角形，当点O 为BC 的中点时建立如图直角坐标系：()0,3A ，3,0B，)C，()3AB =--，()3,3AC =-()226AB μμ=--，())()()131,31AC μμμ-=---()()213,33AP AB AC μμμ=+-=---，故),3Pμ-因为2BQ QA =，所以2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则32PQ μ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭3PQ ⎛== 因为1233μ≤≤，所以当13μ=时PQ 取最小值，min 23PQ =:C 8．D【解析】由()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理， 得2()()a c a c b ab +-+=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,C π∈，∴3C π=． 由32CA CD CB =-，1233CD CA CB =+，两边平方，得22144999CD CA CA CB CB =+⋅+，即222144cos 999CD b a ab C =++22142999b a ab =++()212299b a ab -=+()221122992b a b a +⎛+-⎫≥ ⎪⎝⎭()21212b a =+， 当且仅当224b a b a =⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩时取等号，即2214(2)123CD b a ≥+=，∴线段CD D ． 9．ABD【解析】由题意得((11,0a b +=++=， 所以(224a b +=+，故A 正确；()21202a b a +⋅=⨯+=，故B 正确；()21cos ,142a ab a a b a a b⋅++===⨯+， 0,πa a b ≤+≤，∴π,3a ab +=，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a a baa aa⋅+⋅=，故D 正确，故选：ABD . 10．ABD【解析】由题意得()32,13a nb n n +=++，()31,2ma c m m +=-+， 由()()ma c a nb ++∥可得()()()()3221331n m n m ++=+-，整理得1mn n =+. 对于选项A ，2111⨯=+，故选项A 正确； 对于选项B ，()0111⨯-=-+，故选项B 正确； 对于选项C ，3221⨯≠+，故选项C 错误； 对于选项D ，()111122⎛⎫-⨯-=-+ ⎪⎝⎭，故选项D 正确，故选：ABD . 11．ABD【解析】对于A ，()2cos sin a b θθθϕ⋅=++，其中tan 0,2πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以当=2πθϕ+，a b ⋅A 正确.对于B ，因为0πθ<<，所以当a b λ=，且0λ>时，a b a b +=+，即θ使得cos θ=，sin θ=时，符合题意，所以B 正确. 对于C ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅=+=，此时tan θ=C 错误. 对于D ，b 在a 上的投影向量为cos ,3cos ,63a ba b a b a a a⋅==-， 所以1cos ,2a b =-，所以a 和b 的夹角为2π3，D 正确. 故选：ABD. 12．CD【解析】对于A ，因为()2,3a =-，(),21b x x =-，a ∥b ， 所以2(21)3x x --=，解得27x =，故错误；对于B ，因为向量a ，b 共线，当向量a ，b 同向时，则有a b a b +=+；当向量a ，b 反向时，则有||a b a b +=-，故错误；对于C ，因为12DM MC =，所以M 为CD 的三等分点中靠近D 的点， 所以13AM AD DM AD DC =+=+,AC AD DC =+,所以2211414()()||||1033333AM AC AD DC AD DC AD DC DC AD ⋅=+⋅+=++⋅=++=,故正确；对于D ，因为O 是ABC 的外心，所以||||||OA OB OC R ===(R 为ABC 的外接圆半径),又因为OB OA AB -=,所以22()||OB OA AB -=,即2229R OA OB -⋅=,① 同理可得22225R OA OC -⋅=,②由①-②可得：8OA OC OA OB ⋅-⋅=-，即有()8OA OC OB OA BC ⋅-=⋅=-，故正确. 故选：CD.13．【解析】∵()242cos ,5a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=，∴1cos ,2a b =14．【解析】由题意|2||3|6a b ==，所以||3,||2,a b ==所以1cos 232,3a b a b θ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以2|2|(2)a b ab +=+2244a a b b =+⋅+==15．【解析】由2BD DC =，得23BD BC =， 则在ABC 中，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 因AD λAC μAB =+，故2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此2λμ=. 16．【解析】22||cos sin 222AC AB AC b bc A bc AS -⋅-===，则()cos sin b c A A =+，由正弦定理得()()()sin cos sin sin sin πsin sin cos cos sin C A A B A C A C A C A C ⎡⎤+==-+=+=+⎣⎦，故 ()sin cos sin 0C C A -=，∵sin 0A ≠，∴πsin cos sin 04C C C ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∵()0,πC ∈，∴π4C =.17．【解析】（1）因为()(2)9a b a b -⋅-=，所以22329a a b b -⋅+=. 因为向量,a b 满足||2,||1a b ==，所以2223219a b -⋅+⨯=，所以1a b ⋅=-.所以()2222|3|3692a b a ba ab b +=+=+⋅+=+（2）因为()231323a b b b a b ⋅+=-+⋅==+，所以()32cos 173b a bb a bθ⋅+==⨯⨯+ 18．【解析】（1）因为点E 在边AB 上，且2AE EB =，所以23AE AB =， 因为M 是线段CE 的中点，所以1()2AM AC AE =+112()223AB AD AB =++⨯5162AB AD =+， 因为AM mAB nAD =+，,AB AD 不共线，所以51,62m n ==， 所以514623m n +=+=；（2）由题意可得CA CD CB AB AD =+=--，13CE CB BE AD AB =+=--， 因为43CA CE ⋅=，所以1()()433AB AD AD AB --⋅--=，所以1()()433AB AD AD AB +⋅+=，所以22144333AD AB AB AD ++⋅=，因为9AB =，0AB AD ⋅=，所以2219433AD +⨯=，得216AD =，所以4AD =. 19．【解析】（1）因为直线l 过中心O 且与两边AB 、CD 分别交于点M 、N ． 所以O 为MN 的中点，所以OM ON =-， 所以()()QM QN QO OM QO ON ⋅=+⋅+22QO OM =-．因为Q 是BC 的中点，所以||1QO =，1||2OM ≤≤2210QO OM -≤-≤， 即的QM QN ⋅取值范围为[1,0]-；（2）令2OT OP =，则 2(1)OT OP OB OC λλ==+-，∴OT OB OC OC λλ=+-，即：OT OC OB OC λλ-=-，∴CT CB λ= ∴点T 在BC 上，又因为O 为MN 的中点，所以||1OT ≥，从而1||2OP ≥，()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+22PO OM =-，因为1||2OM ≤≤，所以2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=-， 即PM PN ⋅的最小值为74-．20．【解析】（1）由题知(2cos cos ,2sin sin )b a βαβα-=--，因为()a b a ⊥-， 所以()cos (2cos cos )sin (2sin sin )2cos()10a b a αβααβααβ⋅-=-+-=--= 即1cos()2αβ-=，因为π0π2βα<<<<，所以0αβπ<-<，所以3παβ-=，所以3πβα-=-（2）由题知sin a c d d c α⋅==sin α=， 因为2απ<<π，所以23πα=，又2sin b c d d β⋅==，即1sin 2β=，因为02βπ<<，所以6πβ=，易知，2AOB π∠=，1,2OA OB ==，所以112AOBSOA OB =⨯=21．【解析】（1）因为函数()f x a b =⋅，其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈，所以，()22cos cos212sin 216f x a b x x x x x π⎛⎫=⋅==+=++ ⎪⎝⎭，由题意有()3222Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，解得()2Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）结合（1）得()12sin 212,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0A π<<，所以132666A πππ<+<，所以，5266A ππ+=，解得3A π=，因为3sin 2sin B C =，所以332,2b c c b ==，又在ABC 中，a =所以，由余弦定理得2222772cos34a b c bc b π==+-=，解得3,2c b ==，所以1232ABC S =⨯⨯=△.22【解析】（1）()1sin ,cos m n x x +=+，()()()22sin 1sin cos cos sin sin cos f x x x x x x x x x∴=++=++πsin 12sin 13x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，()π2sin 113f C C ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，πsin 03C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，()0,πC ∈，ππ2π,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，π03C ∴-=，解得：π3C =.（2）1sin 2ABCSab C ===2ab ∴=；12CD DA =，13CD b ∴=， 在BCD △中，由余弦定理得：2222211112cos 3393BD a b a b C a b ab ⎛⎫=+-⋅=+- ⎪⎝⎭，2111223333BD a b ab ab ∴≥⋅-==（当且仅当13a b =，即a =，b 时取等号），BD ∴≥BD .。
平面向量单元复习
O为坐标原点, 若OA与OB在OC上的投影相同, 则a与b满足
的关系式为
( A)
A.4a 5b 3 B.5a 4b 3 C.4a 5b 14 D.5a 4b 12
(2004浙江) 已知平面上三点A,B,C满足 AB 3, BC 4,
(D)②④
2.已知一物体在共点力 F1 (lg 2,lg 2), F2 (lg5,lg 2) 的作用下产
生位移 S (2lg5,1)，则这两个共点力对物体做的功W 为（ D ）
（A）
3.若 a
lg 2 （B） lg 5 （C）1
＝（2,3）, b ＝(－4,7),则 a 在
b
方向（上D的）投2 影是__65_5__.
CA 5,则AB BC BCCA CA AB的值为____2_5____.
C 2.(2007浙江) 若非零向量a,b满足 a b b ,则 (
)
A. 2a 2a b B. 2a 2a b
C. 2b a 2b D. 2b a 2b
(2006浙江) 设向量a,b,c满足a b c 0，a b c, a b,
② a b a b 0 (垂直的判断);
③ cos a b (求角度)。
ab
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、 长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
三、数量积的坐标运算
12..记 几个 a 重(x要1, 结 y1)论 ,b: (x2, y2 ) ,则 a · b =x1x2+y1y2
⑷ cos a,b x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22
2.平面向量的坐标运算
高中数学必修四《平面向量单元复习》
平面向量单元复习一、知识梳理1．向量的有关概念(1)a(2)(的相反向量－与(1)|λa|＝|λ||a|；3.向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.4．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 7．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 8．平面向量的数量积9.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.10．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .11．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 二、知识应用1.已知向量)2,3(),4,(==b m a，且b a //，则m= 。
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平面向量【知识梳理】（1）平面向量基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（主要应用于线性表示）（2）非零向量),(y x a =的单位向量为 a a ± 或 ),(122y x yx +±。
（3）证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔ a ＝λb (b ≠0) ⇔ x 1y 2－x 2y 1＝0.(4) 证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔ a ·b ＝0 ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0.（5）向量数量积：θcos ⋅⋅=⋅b a b a =1212x x y y + （6）求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 知识网络向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积 向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离平面向量单元复习题型一: 向量的加、减法运算及相关运算律 1.平面向量坐标的求法已知),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 2．平面向量的坐标运算 已知),(11y x a =，),(22y x b =（1）向量的加法：b a +),(2121y y x x ++=， （2）向量的减法：b a -),(2121y y x x --= （3）向量的数乘： ),(y x a λλλ=.例1．平面内有三个已知点A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)，求 ， ， ＋ ，－ ，2 ＋ ， －3 ．变式练习1：若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = . 变式练习2：化简)()(BD AC CD AB ---变式练习3： 平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是______．定比分点问题例2．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标变式练习1：已知A （-2，4）、B （3,-1）、C （-3,-4）且=3,=2,求点M 、N 及的坐标.变式练习2：已知点A （-1，2），B （2，8）以及=，=-，求点C 、D 的坐标和向量的坐标.题型二：利用一组基底表示平面内的任一向量（平面向量基本定理）例3．在△OAB 中，OB OD OA OC 21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b表示OM .变式练习1：若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e变式练习2：在△ABC 中，AE =51AB ,EF ∥BC,EF 交AC 于F,设,AB a →→=,,AC b →→=,则BF 用a →、b →表示的形式是BF =_________.3131题型三: 三点共线（平行）问题字母运算：向量b 与非零．．向量a 共线当且仅当有唯一．．．．．．．一个实数λ，使得 a b λ=。
坐标运算：已知),(11y x a =，),(22y x b =，则a//b例4．设两个非零向量e 1和e 2不共线.如果AB=e 1-e 2，BC=3e 1+2e 2，CD=-8e 1-2e 2， 求证：A 、C 、D 三点共线；变式练习1:设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值例5．已知O 为原点，A 、B 、C 为平面上的三点，求证（1）若A 、B 、C 三点共线，则存在实数α，β且1αβ+=，使得OC OA OB αβ=+(2) 若存在实数α，β且1αβ+=，使得OC OA OB αβ=+，则A 、B 、C 三点共线变式练习1：已知△A BC 的重心为G,O 为坐标原点,OA =a →,OB =b →,OC =c →, 求证:OG =31( a →+b →+c →).例6． 已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（ ） A ．30︒ B ． 45︒ C ．60︒ D ．75︒变式练习1：1.若向量a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，则x=_______2.[2011·北京卷] 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.3.[2011·广东卷] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝_______变式练习2：已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及AB t OA OP +=，求 (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
(2)四边形OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由题型四：向量的数量积问题①求数量积：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2 θcos b a b a=⋅例7. 若)3,2(-=a ，)2,(x x b =，且43=⋅b a ，则x 等于（ ） A 、3 B 、31 C 、31- D 、3- 变式练习：1．（2010广东）若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c =(3,x),满足条件（8a- b ）·c =30,则x=( )A ．6B ．5C ．4D ．32.若),6,5(),3,4(=-=b a 则=⋅-b a a 432（ ）A ．23B ．57C ．63D ．833.(2010·重庆南开中学)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( )A.12B ．1 C.32D. 34. [2011·江西卷] 已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.5.已知a+b=2i 8j,a b=8i+16j a b=---⋅ 那么_______（其中i,j为两个相互垂直的单位向量）6.a=(4,7);b=(5,2)-则a b=⋅ _______ ()()a =_____ 2a 3b a+2b =-⋅ _______例8.a=(2,3),b=(-3,5) 则a b在方向上的投影为_________变式练习1：若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A.655B.65C.135D.13思考：已知一个向量，怎么求它所对应的单位向量呢？例9． 23120o a b a b ==已知，，与的夹角为，求 2212323a b a b a b a b ⋅--⋅+（）；（）；（）（）（）；4a b + （）变式练习1：12a b a b a a b ==-已知，，且与垂直，求与的夹角。
变式练习2：已知△ABC ，则“0<⋅AC AB ”是“△ABC 为钝角三角形”的________(条件) ②求模：22,a a a a a a a a a常记为这里或⋅⋅==⋅1.[2011·全国卷] 设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝___________2.[2011·重庆卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝________.3.[2011·淄博二模] 设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于_________4.已知向量)1 , 1(=a ，) , 2(n b =，若b a b a ⋅=+||，则n =（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．35.【2012高考新课标文15】已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-= ；则_____b =6.【2012高考江西文12】设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。
若，则=_______③求夹角：cos θ =||||b a ba ⋅例10．在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边；若向量(2,0)m = 与(sin ,1cos )n B B =-的夹角为3π，求角B 的大小变式练习1：1.已知向量)sin 2,cos 2(θθ=a ，)1,0(),,2(-=∈b ππθ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．θπ-23 B ．θπ+2C ．2πθ-D ．θ2.[2011·安徽卷] 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．3.[2011·湖北卷] 若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于__________4.[2011·江西卷] 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．例11．已知||2||0a b =≠ ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ变式练习1：设非零向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，求x 的取值范围变式练习2：已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ,如果→a 与→b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是证明向量垂直（从向量内积的定义出发，夹角为90度的情形）例12．若非零向量α 、β 满足αβαβ+=-，证明:α ⊥β变式练习1：1.[2011·课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.2.[2011·江苏卷] 已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2, 若a ·b＝0，则实数k 的值为________．3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式练习2：1.[2011·辽宁卷] 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝________2.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =________3.【2012高考重庆文6】设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=______4.【2012高考安徽文11】设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______5.（江西理11）已知2a b == ,(2)a b + ·a b - （）=-2，则a 与b 的夹角为__________题型五：综合题 与函数综合例13． ,,a b c 为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，(cos ,sin )22C C m = ，(cos ,sin )22C C n =- ，且m 与n 的夹角为3π，求C ；变式练习1：（湖北理17）．已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.变式练习2：已知向量与向量的对应关系用表示。