四川省成都市石室中学高2018届高三二诊模拟考试数学理试卷
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题(解析版)
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.2.已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，故选B.3.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.4.设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5.已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6.若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式的通项为令，解得，，解得故选B.7.已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 由题意可知的振幅，周期 则 ，由，，解得：，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．8.若为实数，则“”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．则该阳马的外接球的直径为∴该阳马的外接球的体积=故选C.10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11.已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.12.已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】可设的面积为由题意可得，解得由，可得即为代入双曲线的方程，可得解得故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知，，则__________．【答案】【解析】由题即答案为.14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________人．【答案】24【解析】由等高条形图可知，500名女同学中喜欢篮球运动的频率为，即女同学中喜欢篮球运动的由100人，500名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由300人.故从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为即答案为24人.15.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】【解析】由题，直线圆心到直线的距离为由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为，16.已知数列共项，且，.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为.则满足条件的数列的个数为__________．【答案】1176【解析】由题，，是函数的极值点，即又故这七项中必有2项取1,5项取-1，，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为.，即或，（或-4），故这八项中必有2项取-1,6项取1，（这八项中必有6项取-1,2项取1），故满足条件的数列共有（或中方法，所以方法总数为个即答案为1176.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1化简可得.由，了求其单调递减区间；（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.试题解析;（1）.由，，得，.∴函数的单调递减区间为，.（2）∵，，∴.∵，∴由正弦定理，得.又由余弦定理，，得.解得.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】(1)在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2)分布列见解析；（元）.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.19.如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，. .由四边形为菱形，可证.由平面平面，可证平面.即可证明平面；2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面的法向量，.。
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)-----精校Word解析版
设集合，，则B. C. D.【答案】【解析】已知向量，，若，则实数的值为（B. C.若复数，则B. C. D.【答案】【解析】的前项和为若，则B. C. D.【解析】.故选D.，是空间中两条不同的直线，，，则 B. 若，， D. 若，则【解析】由题设，，则，，则，，当时不能得到的展开式中含项的系数为，则实数B. C. D.的展开式的通项为，解得，，解得已知函数的部分图象如图所示现将函数图象上的所有点向右个单位长度得到函数的图象，则函数B.D.【解析】由题意可知的振幅，周期，由，，图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.为实数，则“”是“B. 必要不充分条件【解析】解不等式，是的真子集，故“”成立的必要不充分条件故选B.B. C. D.【答案】【解析】该几何体为四棱锥底面其中...........................执行如图所示的程序框图，若输出的结果为B. C. D.【解析】当时，；当；当；当时，时已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（B.D.【答案】A在区间，解得在区间上单调递增，的取值范围为：，经过点的直线与双曲线，分别位于第一，四象限，当时，的面积为B. C. D.【答案】【解析】的面积为由题意可得，解得，可得即为代入双曲线的方程，可得已知，则【答案】即答案为.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运名（假设所有学生都参加了调查）名女同学中喜欢篮球运动的频率为名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由人，则抽取的男生人数为：的焦点为，准线与，是抛物线上的点，且为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数【答案】，直线到直线的距离为为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为已知数列共，记关于的函数，是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为数列的个数为__________【答案】，是函数的极值点，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为，即或（或共有（或中方法，所以方法总数为已知函数.）求函数的单调递减区间；的内角所对的边分别为，，，，，求..）【解析】试题分析：（1化简可得，，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得试题解析;（1），，.∴函数的单调递减区间为，，∴，∴由正弦定理，得，解得.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的向用户随机派送每张面额为元，元，用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额，求随机变量参考公式：，其中1）见解析；（2）见解析.）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系）由题意，可知一次骑行用户获得.，，，，，，∴的分布列为：如图，的中点，四边形是菱形，平面，，，）若点是线段的中点，证明：平面；）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.）连接，由四边形为菱形，可证平面平面.即可证明平面设线段的中点为连接易证平面以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面，。
成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测
成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则为（ ）A ．B ．C ．D ． 2. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 已知函数的定义域为，为常数.若：对，都有；：是函数的最小值，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点：1.常用逻辑用语；2.充分条件与必要条件.4. 如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ） A ． B ． C. D ．5. 已知，则等于（ ） A ．． D6. 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A ．6 B ．32 C.33 D ．347. 设，则对任意实数，若，则（ ） A ． B ． C.{}30 103x A x B x x x ⎧+⎫=≤=-≥⎨⎬-⎩⎭，A B []1 3，[)1 3，[)3 -∞，(]3 3-，11z i i=++z ()f x R M p x R ∀∈()f x M ≥q M ()f x p q 128 a a a ，，…，0d ≠1845a a a a >1845a a a a <1845a a a a +<+1845a a a a =24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭43333343{}{}{}5 1 2 1 3 4A B C ===，，，，，()()322log 1f x x x x =+++ a b ，0a b +≥()()0f a f b +≤()()0f a f b +≥()()0f a f b -≤D ．8. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：3 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ） A ． B ． C. D ．9. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为，则函数的单调递增区间（ ）A ．B ． C. D ． 10. 已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ） A ．B ． C. D ． 11. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）()()0f a f b -≥x y y x 0.70.35y x =+a 3 3.15 3.5 4.52sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14()f x ()f x ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()511 1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()57 2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()719 2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，{}0 1 2a ∈，，{}1 1 3 5b ∈-，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，512131416N m n ()mod N n m =()102mod 4=nA ．B ．21 C.22 D ．2312. 设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在二项式的展开式中，若常数项为-10，则 ． 14.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差可能的最大值是 ．15.如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为 ．20()()31x f x e x ax a =--+1a <0x ()00f x ≤a 23 4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，2 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2 1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，25(ax +a =2s24y x =AB F OB D OA C OA AC =C D y ,E G EG16.在数列中，，（，），则数列的前项和．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在平面四边形中，已知，，，在边上取点，使得，连接，若，.（1）求的值； （2）求的长.18. 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量第1次 第2次 第3次 第4次 第5次555 559 551 563 552601605597599598（1）从5次特征量的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率； （2）求特征量关于的线性回归方程；并预测当特征量为570时特征量的值.{}n a 11a =2121n n n a a n -=-2n ≥*n N ∈2{}n a n n n T =ABCD 2A π∠=23B π∠=6AB =AB E 1BE =,EC ED 23CED π∠=EC=sin BCE ∠CD x y y y x x y（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，）19. 如图，已知梯形与所在平面垂直，，，，，，，连接.（1）若为边上一点，，求证：平面； （2）求二面角的余弦值.20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（），圆（），若圆的一条切线与椭圆相交于两点. （1）当，时，若点都在坐标轴的正半轴上，求椭圆的方程； （2）若以为直径的圆经过坐标原点，探究之间的等量关系，并说明理由.21. 已知函数，其中.（1）若在上存在极值点，求的取值范围；（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑a y bx =-CDEF ADE ∆,AD DE CD DE ⊥⊥////AB CD EF 28AE DE ==3AB =9EF =12CD =,BC BF G AD 13DG DA =//EG BCF E BF C --xOy 2222:1x y E a b+=0a b >>222:O x y r+=0r b <<O :l y kx m =+E ,A B 12k =-1r =,A B E AB O ,,a b r 1()ln f x a x x x=-+0a >()f x (2,)+∞a 1(0,1)x ∈2(1,)x ∈+∞21()()f x f x -()M a 1a e e≤+()M a请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中.（1）求的值；（2）若射线与直线相交于点，求的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）求不等式的解集；（2）若为正实数，且，求的最小值.xOy C 2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩αl 2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t O x O C AA )θ(,)2πθπ∈θOA l B AB ()43f x x x =---3()02f x +≥,,p q r 111432p q r++=32p q r ++成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）试卷答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合，则为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B考点：1.不等式的解法；2.集合的运算. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】{}30 103x A x B x x x ⎧+⎫=≤=-≥⎨⎬-⎩⎭，A B []1 3，[)1 3，[)3 -∞，(]3 3-，11z i i=++z试题分析：,该复数对应的点为，在第一象限，故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.3. 已知函数的定义域为，为常数.若：对，都有；：是函数的最小值，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：：对，都有是函数的最小值, 是函数的最小值对，都有,所以是的必要不充分条件，故选B. 考点：1.常用逻辑用语；2.充分条件与必要条件.4. 如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ） A ． B ． C. D ． 【答案】B考点：等差数列的性质.5. 已知，则等于（ ） A ．．D【答案】A 【解析】11111(1)(1)22i z i i ii i i -=+=+=+++-11(,)22Z ()f x R M p x R ∀∈()f x M ≥q M ()f x p q x R ∀∈()f x M ≥/⇒M ()f x M ()f x ⇒x R ∀∈()f x M ≥p q 128 a a a ，，…，0d ≠1845a a a a >1845a a a a <1845a a a a +<+1845a a a a =24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭试题分析：因为，所以，故选A. 考点：三角恒等变换与诱导公式.6. 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A ．6 B ．32 C.33 D ．34 【答案】A 【解析】试题分析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为，但集合，中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为：个,故选A.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.7. 设，则对任意实数，若，则（ ） A ． B ． C. D ． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性.24cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭111sin sin sin sin cos sin 3222πααααααα⎛⎫⎫++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎭22333πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦{}{}{}5 1 2 1 3 4A B C ===，，，，，11323336C C A =B C 36333-=()()322log 1f x x x x =+++ a b ，0a b +≥()()0f a f b +≤()()0f a f b +≥()()0f a f b -≤()()0f a f b -≥8. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：3 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ） A ． B ． C. D ． 【答案】D 【解析】试题分析：，由回归方程：，解之得,故选D. 考点：线性回归.9. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为，则函数的单调递增区间（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】A. 【解析】试题分析：函数的周期，所以，函数的图象向右平移后所得函数的解析式为，由得函数的单调递增区间为,故选A. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.x y y x 0.70.35y x =+a 3 3.15 3.5 4.5a y bx =- 2.53434560.350.70.744a y x ++++++=-=-⨯4.5a =2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14()f x ()f x ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()511 1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()57 2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()719 2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭T π=44T π=2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4π()2sin 2()2sin(2)463f x x x πππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈()f x ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，10. 已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】B考点：1.一次函数与二次函数的性质；2.古典概型.【名师点睛】本题考查一次函数与二次函数的性质、古典概型，属中档题；求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.11. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）{}0 1 2a ∈，，{}1 1 3 5b ∈-，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，512131416N m n ()mod N n m =()102mod 4=nA ．B ．21 C.22 D ．23【答案】C考点：程序框图.【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．12. 设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】D【解析】20()()31x f x e x ax a =--+1a <0x ()00f x ≤a 23 4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，2 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2 1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，试题分析：设，，则，∴，，单调递减；，，单调递增，所以处取得最小值，所以，，直线恒过定点且斜率为，所以，∴而，∴的取值范围 考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程、不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等问题，证明不等式可通过构造两个函数的差函数，证明差函数恒大于（或小于）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到相应的含参不等式，求出范围即可.二、填空题13. -2 14. 32.8 15. 4 16.三、解答题17.解：（1）在中，据正弦定理，有. ∵，，， ∴. （2）由平面几何知识，可知，在中，∵，，()()31x g x e x =-()h x ax a=-()()'32xg x e x =+2 3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，()'0g x <()g x 2 3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()'0g x >()g x 23x =-233e --()()010g a h =-<-=()()1120g h e -=>()h x ax a =-()1 0，a ()()111420e g h a ----=-+≥2e a ≥1a <a 12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，0021n n +BEC ∆sin sin BE CE BCE B=∠23B π∠=1BE =CE =sin sin 14BE B BCE CE •∠===DEA BCE ∠=∠Rt AED ∆2A π∠=5AE =∴. ∴在中，据余弦定理，有∴18.解：（1）记“至少有一个大于600”为事件.∴. （2），. ∴∵，∴线性回归方程为.当时，∴当时，特征量的估计值为.19.解：（1）如图，作，交于点，连接，作，交于，交于.∵，,cos 14DEA ∠===cos EA ED DEA ===∠CED ∆22212cos 7282()492CD CE DE CE DE CED =+-••∠=+--=7CD =A 23257()110C P A C =-=5555595515635525565x ++++==600y =222221135(5)(3)7(1)(4)(2)300.3(1)3(5)7(4)100b -⨯+⨯+-⨯-+⨯-+-⨯-===-++-++-6000.3556433.2a y bx =-=-⨯=0.3433.2y x =+570x =0.3570433.2604.2y =⨯+=570x =y 604.2//GM CD BC M MF //BH AD GM N DC H //EF CD //GM EF∴，.∵，∴. ∴.∴.∴. ∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面四边形，∴平面.（2）∵平面平面，，平面，∴平面.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.∴.∴，,设平面的法向量.由，得. 取，得.3GN AB ==9HC =////AB GM DC 23NM BM AG HC BC AD ===6NM =9GM GN NM =+=GM //=EF GMFE //GE MF MF ⊂BCF GE ⊄//GEBCF ADE ⊥CDEF AD DE ⊥AD ⊂ADE AD ⊥CDEF D DC x DE y DA z xyzD (0,4,0),(9,4,0),(12,0,0),(3,0,EF C B (9,0,0)EF=(3,4,EB =-EBF 1111(,,)n x y z =1100n EF n EB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩111190340x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1y =1(0,3,1)n =同理，，.设平面的法向量.由，得. 取，得.∴. ∵二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为. 20.解：（1）∵直线与.由，，解得∵点都在坐标轴正半轴上，∴∴切线与坐标轴的交点为，. ∴，. ∴椭圆的方程是. （2）设，∵以为直径的圆经过点，∴，即.(3,4,0)FC=-(6,4,FB =--BCF 2222(,,)n x y z =2200n FC n FB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩22222340640x y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩24x =2n =121212cos ,n n n n n n •====E BF C --E BF C --26-l O r =12k =-1r =m =,A B 1:2l y x =-+l a =2b =E 224155x y +=11(,)A x y 22(,)B x y AB O 0OA OB •=12120x x y y +=∵点在直线上，∴. ∴ （*）由消去，得. 即显然 ∴由一元二次方程根与系数的关系，得 代入（*）式，得. 整理，得.又由（1），有.消去，得 ∴ ∴满足等量关系. 21.解：（1），. 由题意，得，在上有根（不为重根）.即在上有解. ,A B l 1122y kx m y kx m =+⎧⎨=+⎩221212(1)()0k x x mk x x m ++++=2222220y kx m b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩y 22222222(2)0b x a k x kmx m a b +++-=222222222()2()0b a k x kma x a m a b +++-=0∆>2122222222122222kma x x b a k a m a bx x b a k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2222222222222222222222a m a m k a b a b k k m a m b a k m b a k+--++++22222222()0m a b a b a b k +--=222(1)m k r =+2m 2222222(1)()(1)k r a b a b k ++=+222111a b r +=,,a b r 222111a b r +=2'221(1)()1a x ax f x x x x --+=--=(0,)x ∈+∞210x ax -+=(2,)x ∈+∞1a x x=+(2,)x ∈+∞由在上单调递增，得. 检验：当时，在上存在极值点. ∴. （2）若，∵在上满足， ∴在上单调递减，∴.∴不存在最大值.则.∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设 则.在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，对，有；对，有，∴.∴ . 将，代入上式，消去得 ∵，∴，. 1y x x =+(2,)x ∈+∞15(,)2x x +∈+∞52a >()f x (2,)x ∈+∞5(,)2a ∈+∞02a <≤2'2(1)()x ax f x x --+=(0,)+∞'()0f x ≤()f x (0,)+∞21()()0f x f x -<21()()f x f x -2a >210x ax -+=,m n 01m n <<<1m n a mn +=⎧⎨=⎩()f x (0,)m (,)m n (,)n +∞1(0,1)x ∀∈1()()f x f m ≥2(1,)x ∀∈+∞2()()f x f n ≤21max [()()]()()f x f x f n f m -=-11()()()(ln )(ln )M a f n f m a n n a m m n m=-=-+--+11ln ()()n a m n m n m=+-+-1a m n n n =+=+1m n=,a m 21111()()ln 2()2[()ln ()]M a n n n n n n n n n n=++-=++-12a e e <≤+11n e n e+≤+1n >据在上单调递增，得. 设，.，. ∴，即在上单调递增.∴ ∴存在最大值为. 22.解： （1）曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为. 化简，得. 由，得∵，∴. （2）射线的极坐标方程为， 直线的普通方程为. ∴直线的极坐标方程为.联立，解得. 1y x x=+(1,)x ∈+∞(1,]n e∈11()2()ln 2()h x x x xx x =++-(1,]x e ∈'22211111()2(1)ln 2()2(1)2(1)ln h x x x x x x x x x =-++++--=-(1,]x e ∈'()0h x >()h x (1,]e max 114[()]()2()2()h x h e e e e e e==++-=()M a 4eC 22(2)4x y +-=C 22(cos )(sin 2)4ρθρθ+-=4sin ρθ=ρ=sin θ=(,)2πθπ∈23πθ=OA 23πθ=l 0x +-=l cos sin 0ρθθ+-=23cos sin 0πθρθθ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ρ=∴.23.解： （1） 根据绝对值的几何意义，得表示点到，两点距离之和.接下来找出到距离之和为4的点.将点向左移动个单位到点，这时有； 同理，将点向右移动个单位到点，这时有. ∴，即的解集为. （2）令，由柯西不等式，得即 ∵ ∴. 上述不等式当且仅当，即，，时，取等号. ∴的最小值为. B A AB ρρ=-==333()40222f x x x +=-+--≥3322x x ++-(,0)x 3(,0)2A -3(,0)2B ,A B A 121(2,0)A -114A A A B +=B 121(2,0)B 114B A B B +=33422x x ++-≤3()02f x +≥[2,2]-1a =2a 3a =2222222123123123123111111[()()()]()()a a a a a a a a a a a a ++•++≥•+•+•111()(32)932p q r p q r++++≥111432p q r++=9324p q r ++≥1114323p q r +==14p =38q =34r =32p q r ++94。
2018届四川省成都市高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测理数试题数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分，第I卷（选择题）第1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 设复数i=3（i为虚数单位）在复平面中对应点A，z+将OA绕原点O逆时针旋转0°得到OB，则点B在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2. 执行如图的程序框图，若输入的x 值为7，则输出的x 的值为 （A ）41（B ）3log 2 （C ）2 （D ）33. ()101-x 的展开式中第6项系的系数是（A ）510C - （B ）510C （C ）610C - （D ）610C4. 在平面直角坐标系xoy 中，P 为不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≤01021y x y x y 所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为（A ）2 （B ）31 （C ）21 （D ）15. 已知βα,是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（A ）存在一条直线l ，βα//,l l ⊂ （B ）存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥,（C ）存在一条直线βα⊥⊥l l l ,, （D ）存在一个平面βγαγγ⊥,//,6. 设命题()；000000cos cos --cos ,,:βαβαβα+∈∃R p 命题,,:R y x q ∈∀且ππk x +≠2，Z k k y ∈+≠,2ππ，若y x ＞,则y x tan tan ＞，则下列命题中真命题是（A ）q p ∧ （B ）()q p ⌝∧ （C ）()q p ∧⌝ （D ）()()q p ⌝∧⌝7. 已知P 是圆()1122=+-y x 上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若d OP =，则函数()θf d =的大致图像是8. 已知过定点()0,2的直线与抛物线y x =2相交于()()2211,,,y x B y x A 两点.若21,x x 是方程0cos sin 2=-+ααx x 的两个不相等实数根，则αtan 的值是（A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）-29. 某市环保部门准备对分布在该市的H G F E D C B A ,,,,,,,等8个不同检测点的环境监测设备进行监测维护.要求在一周内的星期一至星期五检测维修完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中B A ,两个监测点分别安排在星期一和星期二，E D C ,,三个监测点必须安排在同一天，F 监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为（A ）36 （B ）40 （C ）48 （D ）6010. 已知定义在[)+∞,0上的函数()x f ，当[]1,0∈x 时，;2142)(--=x x f 当1＞x 时，()()a R a x af x f ,,1∈-=为常数.下列有关函数()x f 的描述：①当2=a 时，423=⎪⎭⎫⎝⎛f ； ②当，＜1a 函数()x f 的值域为[]2,2-； ③当0＞a 时，不等式()212-≤x ax f 在区间[)+∞,0上恒成立；④当01-＜＜a 时，函数()x f 的图像与直线()*-∈=N n a y n 12在[]n ，0内的交点个数为()211nn -+-.其中描述正确的个数有 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2018年高三最新 成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测题数学(理科) 精品
成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测题数学（理科）注意事项：全卷满分为150分，完成时间为120分钟. 表示球的半径其中）（）（，率是在一次试验中发生的概如果事件球的体积公式）（）（）（表示球的半径其中相互独立，那么、如果事件）（）（）（球的表面积公式，那么互斥、参考公式：如果事件R P P C k P R V P A B P A P B A P R B A R S B P A P B A P B A kn k k n n --==⋅=⋅=+=+134432ππ第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置上。
必要条件甲是乙的既不充分也不、、甲是乙的充要条件件甲是乙的必要不充分条、条件、甲是乙的充分不必要），那么（乙：，命题甲：是非空集合，命题、已知、D C B A B A B B A B A ≠⊂=⋃1项项或第第、项第、项第、项第、）项为（展开式中，系数最大的）（、65543129D C B A x -32331203、、、、）的最短距离为（么这两个切点在球面上两点，那、两个半平面于的球，该球切二面角的半径为的二面角内，放置一个在、D C B A B A πππ︒2202214150sin 02cos .234-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎩⎪⎨⎧<≤⎪⎭⎫⎝⎛<≤-=、、、、）等于（则，）（，，，）（若的函数，最小正周期为是定义域为）（设、D C B A f x x x x x f R x f ππππ 不存在、、、、）的值等于（、D C B A x x x 210211211lim 521-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→156521326132423}{61310753、、、、）项之和等于（则此数列的前，）（）（中，在等差数列、D C B A a a a a a a n =++++1323||.3||||47、、、、）的最小值为（则满足的中点，动点为线段，，其长度为段已知平面内有一固定线、D C B A PO PB PA P AB O AB =-），（、），（、），（、），（、）的解集为（不等式、1211010|log ||log |82121D C B A x x x x ∞+∞++<-9、质点P 在半径为r 的圆周上逆时针作匀角速运动，角速度为1rad / s . 设A 为起点，那么在t 时刻，点P 在x轴上射影点M 的速度为（ ）A 、rsintB 、－rsintC 、rcostD 、－rcost 1101110024102-<>=-<>>==+=-k k k D k k C k k B k A k kx x x 或或、或、或、、）的值为（只有一个实数根，则的方程若关于、11、如图，A 、B 、C 、D 为湖中4个小岛，准备修建3座桥把这4个小岛连接起来，若不考虑建桥费用等因素，则不同的建桥方案有（ ）A 、24种B 、28种C 、16种D 、12种不存在、、、、）的最大值为（，则，且若、D C B A y x y x x y 643tan 3tan 2012ππππ-=<≤<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上。
【高三数学试题精选】2018年高考数学二诊试卷(成都市理科带答案和解释)
2018年高考数学二诊试卷（成都市理科带答案和解释）
5 c 5不等式选讲]
23．已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|
（Ⅰ）求不等式f（x+ ）≥0的解集；
（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且 + + =4，求3p+2q+r的最小值．
5不等式选讲]
23．（2018 成都模拟）已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|
（Ⅰ）求不等式f（x+ ）≥0的解集；
（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且 + + =4，求3p+2q+r的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（I）由题意，分类讨论，去掉绝对值，解不等式即可；
（Ⅱ）运用柯西不等式，可3p+2q+r的最小值．
【解答】解（Ⅰ）f（x+ ）≥0，即|x+ |+|x﹣|≤4，
x≤﹣，不等式可化为﹣x﹣﹣x+ ≤4，∴x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣；
﹣＜x＜，不等式可化为x+ ﹣x+ ≤4恒成立；
x≥ ，不等式可化为x+ +x﹣≤4，∴x≤2，∴ ≤x≤2，
综上所述，不等式的解集为[﹣2，2]；
（Ⅱ）∵（ + + ）（3p+2q+r）≥（1+1+1）2=9， + + =4
∴3p+2q+r≥ ，∴3p+2q+r的最小值为．
【点评】本题考查不等式的解法，考查运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．
5 c。
【高三数学试题精选】2018年高考数学二诊试卷(成都市理科附答案和解释)
2018年高考数学二诊试卷（成都市理科附答案和解释）
5 2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分
1．已知复数z= ，则z的共轭复数是（）
A．1﹣iB．1+ic．iD．﹣i
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）A．﹣2B．0c．3D．6
3．已知向量， =（3，），∈R，则“=﹣6”是“ ”的（）
A．充要条B．充分不必要条
c．必要不充分条D．既不充分也不必要条
4．设函数f（x）=lg2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）
A． B． c． D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）
A． B． c．20D．40
6．已知x，满足条（为常数），若目标函数z=x+3的最大值为8，则=（）
A．﹣16B．﹣6c． D．6
7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）
A． B． c．4D．6
8．如图，在正四棱锥S﹣ABcD中，E，，N分别是Bc，cD，Sc的中点，动点P在线段N上运动时，下列四个结论
①EP⊥Ac；
②EP∥BD；。
四川省成都市2018届高三数学二诊试卷理科 含解析
2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．24．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．407．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于______．12．的展开式中，x2项的系数为______．（用数字作答）13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|y=}={x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，则A∪B={x|﹣2≤x≤4}，故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.18+0.18）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.18+0.18）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【考点】计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE ⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由3x+1=0得x=﹣，当x＜﹣时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，即3（3x+1）+1＜12x+4+1，即9x+4＜12x+5，得x＞﹣，此时不等式无解，当x≥﹣时，当x≥0时，f（x）=3x≥1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得＜4•3x+1，设t=3x，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x＜2，得0≤x＜log32，当﹣≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，则f（f（x））=33x+1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得33x+1＜4（3x+1）+1，设t=3x+1，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，即﹣1＜3x＜1，得﹣＜x＜，此时﹣＜x＜0，综上所述，﹣＜x＜log32．即不等式的解集为（﹣，log32），故选：D10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解利用=2，求出b，可得直线AB方程为y=kx+2，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣b=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1y2=b2，∵=2，∴x1x2+y1y2=﹣b+b2=2∵b＞0，∴b=2∴△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．12．的展开式中，x2项的系数为﹣20．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T r+1=•x5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是[﹣1，19] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，求出（x﹣1）2+y2的范围，从而求出x2+y2﹣2x的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，0≤（x﹣1）2+y2≤20，∴﹣1≤（x﹣1）2+y2≤19，故答案为：[﹣1，19]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=•tan•tan…tan的值．由于：S=•tan•tan…tan tan=•tan•tan…cot•cot=tan=．故答案为：．15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有③④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①用特殊值的方法即可；②③根据函数图象判断；④可用反代的方法判断成立．【解答】解：①当x=时，显然f（x）＞2x，故错误；②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误；③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确；④f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，∴a l+a2+a3=3π，sina l+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可得a n=••…×××a1=，再验证n=1时是否符合该式即可得到答案，（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，﹣1∴=，∴=，…，==，==，∴a n=••…×××a1=，又n=1时a1=1，满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=，（Ⅱ）∵a n==2（﹣），∴S n=a1+a2+…+a n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）＜2，问题得以证明．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，X∴EX==55（元）．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，∵E为BB1的中点，∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AA1=h，则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），B1（2，0，h），设F（x，0，z），则∥，∥，∵=（x，0，z），=（2，0，h），∴①∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴=②，由①②得z=h，x=，或F作FT⊥AB，则==，则∴AF=AB1，∵=．∴MF∥CB1，∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，∴CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z），则，则，令z=1，则x=，y=0，则=（，0，1），由得，令z=1，则x=，y=，即=（，，1）|cos＜，＞|==，得h2=2，即h=，则AA1的长度为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），可得椭圆的c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，化简可得kb=1，由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，可得k＞，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，即有中点坐标为（﹣，），设N（0，n），由=﹣，可得n=﹣，由y=kx+，设y=0，则x=﹣，M（﹣，0），可得直线MN的斜率为k MN==﹣=﹣≥﹣=﹣．当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，构造函数，得出m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，即可求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与﹣cos2a的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，令h（x）=mlnx﹣（x≥1），则h′（x）=，∵h（1）=0，∴∃x0＞1，h（x）在[1，x0]上单调递增，∴m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，∴m≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，令x=t2，可得t＞1，lnt＞，0＜t＜1，lnt＜，∵f（tana）=lntana，﹣cos2a=，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜﹣cos2aa=，tana﹣1，f（tana）=﹣cos2a，＜a＜，tana＞1，f（tana）＞﹣cos2a．2018年9月20日。
高考最新-成都石室中学数学(理) 精品
成都石室中学2018级2018—2018学年度上学期月考数学（理）试题时间：120分钟 满分150分一、选择题：每小题5分，共60分。
1．已知集合M={0，1，2}，N={},2|M a a x x ∈=则集合M ∩N （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．542lim 221-+-+→x x x x x =（ ）A ．21 B ．1 C ．52 D ．41 3．设复数=++-=ωω1,2321则i（ ）A ．ω-B ．2ωC ．ω1- D ．21ω 4．不等式212>++x x 的解集是（ ）A ．（－1，0）∪（1，+∞）B ．（－∞，－1）∪（0，1）C ．（－1，0）∪（0，1）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 5．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y6．函数x x y 44cos sin +=的最小正周期是 （ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π7．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种 8．对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中正确的是（ ）A ．“a c>bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“a c=bc ”是“a =b ”的必要条件C ．“a c>bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“a c=bc ”是“a =b ”的充分条件 9．4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48 10．设S n 是等差数列}{n a 的前n 项和，若,9535=a a 则59S S=（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．2111．甲乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率为2p ，那么恰好有一个人解决这个问题的概率是（ ）A ．1p 2pB ．1p （1－2p ）+2p （1－1p ）C ．1－1p 2pD ．1－（1－1p ）（1－2p ）12．设)(x f y '=是函数)(x f y =的导函数，)(x f y '= 的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：每小题4分，共16分13．在函数c bx ax x f ++=2)(中，若a ，b ，c 成等比数列且4)0(-=f ，则)(x f 有最值（填“大”或“小”），且该值为 .14．当y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤8342y x y x 时，目标函数y x k 23-=的最大值是 .15．设等比数列}{n a 的公比21-=q ，且38)(lim 12531=++++-∞→n n a a a a ，则=1a .16．在二项式（10)1+x 的展开式中任取一项，则该项系数是奇数的概率是 . 三、解答题： 17．（12分）已知α为第二象限的角，且415sin =α，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18．（12分） 求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值.19．（12分）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点.问与的夹角 为何值时，·的值最大？并求出这个最大值.20．（12分）已知0,1>->c b ，函数b x x f +=)(的图象与函数c bx x x g ++=2)(的图象相切.（1）求b 与c 的关系式。
【高三数学试题精选】2018届高三数学二诊模拟考试题(成都市理有答案)
2018届高三数学二诊模拟考试题（成都市理有答案）
5 c 成都1
6 B．-6 c D．6
7定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为（）
A． B． c4 D．6
8如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论① ；② ；③ 面；④ 面其中恒成立的为（）A．①③ B．③④ c ①② D．②③④
9若曲线与曲线在它们的共点处具有共切线，则实数（）A．-2 B． c 1 D．2
10已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（）
A．3 B．4 c5 D．6
11已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（）
A． B． c D．
12若对，有，求的最大值与最小值之和是（）
A．4 B．6 c8 D．10
二、填空题（每题5分，满分10BAAcA 11、12cB
二、填空题
13 14 15 16
三、解答题
17解（1）由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在45岁以上的人数为，年龄在45岁以下的人数为50-10=40，其中45岁以上支持“延迟退休”的人数为3,45岁以下支持“延迟退休”人数为25，则2×2列联表如下
所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政。
2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测数学(理)试题(解析版)
2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.2. 已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，故选B.3. 若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.4. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5. 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6. 若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式的通项为令，解得，，解得故选B.7. 已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知的振幅，周期则，由，，解得：，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．8. 若为实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．...........................则该阳马的外接球的直径为∴该阳马的外接球的体积=故选C.10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.12. 已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可设的面积为由题意可得，解得由，可得即为代入双曲线的方程，可得解得故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13. 已知，，则__________．【答案】【解析】由题即答案为.14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________．【答案】24【解析】由等高条形图可知，500名女同学中喜欢篮球运动的频率为，即女同学中喜欢篮球运动的由100人，500名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由300人.故从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为即答案为24人.15. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】【解析】由题，直线圆心到直线的距离为由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为，16. 已知数列共项，且，.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为.则满足条件的数列的个数为__________．【答案】1176【解析】由题，，是函数的极值点，即又故这七项中必有2项取1,5项取-1，，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为.，即或，（或-4），故这八项中必有2项取-1,6项取1，（这八项中必有6项取-1,2项取1），故满足条件的数列共有（或中方法，所以方法总数为个即答案为1176.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1化简可得.由，了求其单调递减区间；（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.试题解析;（1）.由，，得，.∴函数的单调递减区间为，.（2）∵，，∴.∵，∴由正弦定理，得.又由余弦定理，，得.解得.18. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.19. 如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，. .由四边形为菱形，可证.由平面平面，可证平面.即可证明平面；2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面的法向量，.。
2018年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷(理科)(J)
2018年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.i是虚数单位，则复数6i1−i的虚部为()A. 3B. −3C. 3iD. −4i【答案】A【解析】解：∵6i1−i =6i(1+i)(1−i)(1+i)=6i(1+i)2=−3+3i，∴复数6i1−i的虚部为3．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知全集U=R，集合A={x|x−3<0}，B={x|2x>14}.那么集合A∩∁U B等于( )A. {x|−2≤x≤3}B. {x|−2<x<3}C. {x|x≤−2}D. {x|x<3}【答案】C【解析】解：A={x|x−3<0}={x|x<3}，B={x|2x>14}={x|x>−2}．则∁U B={x|x≤−2}，则A∩∁U B={x|x≤−2}，故选：C．求出集合A，B的等价条件，结合集合交集，补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3.若x，y满足约束条件{x≥0x+2y≥32x+y≤6，则z=x+y的最小值是()A. −3B. 6C. 32D. 3【答案】C【解析】解：由约束条件{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤6作出可行域如图，A(0,32)，化目标函数z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最小值为32．故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4. 若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A. −4√29B. −2√29C. 2√29D. 4√29【答案】A【解析】解：∵sin(π−α)=13， ∴sinα=13， 又∵π2≤α≤π，∴cosα=−√1−sin 2α=−2√23， ∴sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29．故选：A ．由已知利用诱导公式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用二倍角正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A. 2B. 32C. 53D. 85【答案】C【解析】解：第一次执行循环体后，k=1，S=2，不满足退出循环的条件；，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，k=2，S=32，满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，k=3，S=53故输出S值为5，3故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为()A. 2√3B. √11C. √13D. √10【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为√2的正方形，高为h ．则13×(√2)2×ℎ=2，解得ℎ=3∴此四棱锥最长的侧棱长PC =√32+22=√13． 故选：C ．由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为√2的正方形，高为ℎ.利用体积计算公式、勾股定理即可得出．本题考查了三视图的有关知识、四棱锥的体积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 等比数列{a n }中，a 2>0则“a 2<a 5“是“a 3<a 5“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2>0，∴a 1q >0．则“a 2<a 5“，可得：a 1q <a 1q 4，化为：1<q 3，解得q >1，因此a 1>0． ∴a 3−a 5=a 1q 2(1−q 2)<0，可得a 3<a 5，反之不成立，例如取a 1=q =−12． 因此“a 2<a 5“是“a 3<a 5“的充分不必要条件． 故选：A ．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2>0，可得a 1q >0.由“a 2<a 5“，利用通项公式可得：q >1，因此a 1>0.作差a 3−a 5=a 1q 2(1−q 2)，即可判断出结论．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 已知函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +4)−f(x)=2f(2)，若y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，则f(2)=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 【答案】D【解析】解：若y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，则y =f(x)的图象关于直线x =0对称，即关于y 轴对称，则f(x)是偶函数， 令x =−2，则由f(x +4)−f(x)=2f(2)， 得f(−2+4)−f(−2)=2f(2)， 即f(2)−f(2)=2f(2)=0， 则f(2)=0， 故选：D ．根据条件结合函数的对称性判断函数的奇偶性，然后令x =−2进行求解即可． 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．9. 已知A ，B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，∠B =2π3，若(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则E 的离心率为( )A. √5−1B. √3+1C. √3−12 D. √3+12【答案】D【解析】解：由(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0，即|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即BA =BC ，则△ABC是一个角为2π3的等腰三角形，由题意知C点在双曲线右支上，则AB=BC=2c，AC=2√3c，∵AC−BC=2a，∴2√3c−2c=2a，即(√3−1)c=a，则离心率e=ca =(√3−1)c=√3+12，故选：D．由向量数量积的关系得出BA=BC，根据有一个角为2π3的等腰三角形求出AC的长，再利用双曲线的定义建立a与c的关系式，继而解出离心率．本题主要考查双曲线离心率的计算，结合向量数量积的关系判断三角形的性质是解决本题的关键．10.已知函数f(x)=2√3sinx⋅cosx−2cos2x+1，将f(x)图象的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π2个单位后得到函数g(x)，在区间[0,π]上随机取一个数x，则g(x)≥1的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 12【答案】D【解析】解：f(x)=2√3sinx⋅cosx−2cos2x+1=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)．将f(x)图象的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π2个单位后得到函数g(x)=2sin(x+π3)，∵x∈[0,π]，∴x+π3∈[π3,4π3]，由2sin(x+π3)≥1，得sin(x+π3)≥12，则x+π3∈[π3,5π6]，∴x∈[0,π2].由测度比为长度比，可得在区间[0,π]上随机取一个数x，则g(x)≥1的概率为π2−0π−0=12．故选：D．由已知求得g(x)，求出满足g(x)≥1的x的范围，再由测度比是长度比得答案．本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，考查几何概型概率的求法，是中档题．11.若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y=f(x)为“t函数”.下列函数中为“2函数”的个数有()①y=x−x3②y=x+e x③y=xlnx④y=x+cosxA. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个【答案】B【解析】解：①函数的导数y′=1−3x2，由、1−3x12+1−3x22=2，得3x12+3x22=0，得x1=x2=0矛盾，不是“2函数”；②y=x+e x的导数为y′=1+e x，可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于2，不是“2函数”；③y′=lnx+x⋅1x=lnx+1，由lnx1+1+lnx2+1=2，lnx1lnx2=0，即lnx1x2=0，得x1x2=1，只要x1≠x2即可，则是“2函数”；④y=x+cosx的导数为y′=1−sinx，若1−sinx1+1−sinx2=2，即sinx1=−sinx2，此时有无数多个解，是“2函数”；故③④是“2函数”；故选：B．对题中的四个函数，分别求出导数，可得切线的斜率，求和设为2，解方程即可得到是“2函数”的函数．本题考查导数的几何意义，求出函数的导数，解导数方程是解决本题的关键．12.已知向量α⃗，β⃗，γ⃗ 满足|α⃗|=1，α⃗⊥(α⃗−2β⃗)，(α⃗−γ⃗ )⊥(β⃗−γ⃗ )，若|β⃗|=√172，|γ⃗ |的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于()A. 32B. 2 C. 52D. √152【答案】C【解析】解：向量α⃗，β⃗，γ⃗ 满足|α⃗|=1，α⃗⊥(α⃗−2β⃗)，∴α⃗⋅(α⃗−2β⃗)=α⃗2−2α⃗⋅β⃗=1−2α⃗⋅β⃗=0，∴α⃗⋅β⃗=12；把α⃗放入平面直角坐标系，使α⃗起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则α⃗=(1,0)；设β⃗=(x1,y1)，则α⃗⋅β⃗=x1=12，且|β⃗|=√x12+y12=√14+y12=√172，∴y1=±2，不妨取β⃗=(12,2)；设γ⃗ =(x,y)，则α⃗−γ⃗ =(1−x,−y)，β⃗−γ⃗ =(12−x,2−y)，由题意(α⃗−γ⃗ )⋅(β⃗−γ⃗ )=0，∴(1−x)(12−x)−y(2−y)=0，化简得，x2+y2−32x−2y+12=0，即(x−34)2+(y−1)2=1716，则点(x,y)表示圆心在(34,1)，半径为√174的圆上的点，如图所示，则|γ⃗ |=√x 2+y 2的最大值为m =|OC|+r =√(34)2+12+√174=54+√174， 最小值为n =|OC|−r =√(34)2+12−√174=54−√174； ∴m +n =52．故选：C ．把α⃗ 放入平面直角坐标系中，使α⃗ 起点与坐标原点重合，方向与x 轴正方向一致，得α⃗ =(1,0)；设β⃗ =(x 1,y 1)，求出β⃗ 的坐标表示，再设γ⃗ =(x,y)，利用坐标表示(α⃗ −γ⃗ )⋅(β⃗ −γ⃗ )=0，求出点(x,y)表示的几何图形，利用数形结合求出|γ⃗ |=√x 2+y 2的最大值m 和最小值n ，求和即可．本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了数形结合的解法方法，是较难的题目．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13. 若(x −1x )n 的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为______． 【答案】−20【解析】解：∵(x −1x )n 的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，∴C n 2=C n 4，∴n =6， ∴(x −1x )n =(x −1x )6，它的展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 6−2r ，令6−2r =0，求得r =3，可得展开式中的常数项为−C 63=−20， 故答案为：−20．由题意利用二项式系数的性质求得n =6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14. 已知数列{a n }的各项都为正数，前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为1的等差数列，且S 5=62，则a 2=______ 【答案】4【解析】解：{log 2a n }是公差为1的等差数列，∴n ≥2，log 2a n −log 2a n−1=1，可得a n a n−1=2．∴数列{a n }是等比数列，公比为2．∵S 5=62，a 1(25−1)2−1=62，解得a 1=2．则a 2=2×2=4． 故答案为：4．由{log 2a n }是公差为1的等差数列，可得n ≥2，log 2a n −log 2a n−1=1，可得a na n−1=2.可得数列{a n }是等比数列，公比为2.再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 已知四面体ABCD 的所有棱长都为√6，O 是该四面体内一点，且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为13，x ，16和y ，则1x +12y 的最小值是______． 【答案】3+2√223【解析】解：棱长为√6的正四面体的体积为V =√212⋅(√6)3=√3，每个面的面积为12×12×sin60∘=√34，由等体积法可得V =V O−ABC +V O−ACD +V O−ABD +V O−BCD =13×√34×(13+x +16+y)=√3， 得x +y =232，所以，1x +12y =1⋅(1x +12y )=223(x +y)(1x +12y )=223(32+x2y +yx ) ≥223(32+2√x2y ⋅yx )=3+2√223，当且仅当{x +y =232x2y=y xx >0,y >0，即当{x =23(2−√2)2y =23(√2−1)2时，等号成立，因此，1x +12y 的最小值是3+2√223， 故答案为：3+2√223． 先计算出正四面体的体积为√3，利用等体积法得到x +y =232，由此得到223(x +y)=1，并在代数式1x +12y 乘以1=223(x +y)，展开后利用基本不等式可求出最值．本题考察等体积法求三棱锥的体积以及利用基本不等式求最值，问题的关键就是利用等体积法求出一个等式，然后对代数式进行合理变形，属于中等题．16. M 为抛物线y 2=4x 上一点，且在第一象限，过点M 作MN 垂直该抛物线的准线于点N ，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，则该圆的方程为______ 【答案】(x −12)2+(y −5√24)2=278【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 设M(m,n)，可得N(−1,n)，(n >0)，由四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上， 可得∠NMF +∠NOF =180∘， 即有k MF +k ON =0， 即为nm−1+n−1=0， 即n(1m−1−1)=0， 则1m−1−1=0，得m =2，则n 2=4×2=8，则n =√8=2√2， 则M(2,2√2)，N(−1,2√2)， 则MN 的中点横坐标为2−12=12， 即圆心C 的横坐标为12， 设C(12,b)， 则R =|OC|=|CM|，即√(12)2+b 2=√(2−12)2+(2√2−b)2，平方得14+b 2=94+8−4√2b +b 2， 得4√2b =10，得b =4√2=5√24， 即C(12,5√24)， R =|OC|=(12)(5√24)=√14+5016=√5416=√278，则圆的标准方程为(x −12)2+(y −5√24)2=278，故答案为：(x −12)2+(y −5√24)2=278．求得抛物线的焦点和准线方程，设M(m,n)，可得N(−1,n)，由四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，可得∠NMF +∠NOF =180∘，即有k MF +k ON =0，运用直线的斜率公式，求得M ，N 的坐标，然后求出圆心坐标和半径即可求出圆的标准方程． 本题主要考查圆的标准方程的求解，结合双曲线的性质以及直线的斜率公式求出圆心和半径是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17. 如图，a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，bsinA +acosB =√2a ，sin∠BAC =45． (1)求sinC 的值；(2)若点D 在边BC 上且BD =3CD ，△ABC 的面积为14，求AD 的长度．【答案】解：(1)由题知sinBsinA +sinAcosB =√2sinA ， 则sinB +cosB =√2，sin(B +π4)=1，因B 为锐角， 所以B =π4……………………(3分)， 由sin∠BAC =45,得cos∠BAC =35，所以sinC =sin(∠B +∠BAC)=sinBcos∠BAC +cosBsin∠BAC =7√210…………………….(6分) (2)由正弦定理BCAB=sin∠BAC sinC=4√27又12BC ⋅AB ⋅sinB =14，BC ⋅AB =28√2……………….(8分)解得AB =7,BC =4√2……………………(9分)所以BD =3√2，由余弦定理，AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cosB ， 解得AD =5…………………………(12分)【解析】(1)利用两角和与差的三角函数转化求出B 的大小，利用两角和的正弦函数求解C 的正弦函数值即可．(2)利用正弦定理求出BD ，然后利用余弦定理求解AD 即可． 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18. 2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等． (1)求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望．【答案】解：(1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则P(M)=1−C 33C 63=1−120=1920．(2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3．∵P(X =0)=14×(15)2=1100；P(X =1)=34×(15)2+14×C 21×15×45=11100；P(X =2)=14×(45)2+34×C 21×15×45=40100=25；P(X =3)=34×(45)2=48100=1225； 所以X 的分布列为：P11001110025 1225所以．E(X)=1×11100+2×25+3×1225=235100=4720．【解析】(1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，利用古典概率计算公式、相互对立事件的概率计算公式即可得出．(2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.利用互斥、相互独立的事件概率计算公式即可得出．本题考查了古典概率、相互对立事件的概率计算公式、互斥、相互独立的事件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. 如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，点M 为AE 的中点． (1)求证：BM//平面EFC(2)若DE =AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．【答案】(1)证明：连结AC ，交BD 于点N ，∴N 为AC 的中点，∴MN//EC ． ∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴MN//平面EFC ．∵BF ，DE 都垂直底面ABCD ，∴BF//DE ．∵BF =DE ，∴BDEF 为平行四边形，∴BD//EF ．∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴BD//平面EFC ．又∵MN ∩BD =N ，∴平面BDM//平面EFC ． ∵BM ⊂平面BDM ，∴BM//平面EFC ．(2)由题知面BDEF ⊥面ABCD ，而BD ⊥ED ，面BDEF ∩面ABCD =DB ，DE ⊂面BDEF 所以DE ⊥面ABCD ，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD =1，则B(1,1，0)，M(12,0,12)，E(0,0，1)，F(1,1，1)，C(0,1，0)，．MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−12)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)，设设平面BDM 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z) 由{n ⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +y −12z =0n⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +12z =0，可取x =−1，y =1，z =1．所以面BDM 的法向量为n⃗ =(−1,1,1) 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，则cos〈n ⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√63， 所以直线AE 与面BDM 所成角的正弦值为√63.…………(12分)【解析】(1)连结AC ，交BD 于点N ，推导出MN//EC ，从而MN//平面EFC.推导出BDEF为平行四边形，则BD//EF.从而BD//平面EFC.由此能证明平面BDM//平面EFC ． (2)由DA ，DC ，DE 两两垂直，建立空间直角坐标系D −xyz.利用向量法能求出直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆上顶点和右顶点的直线与圆O ：x 2+y 2=127相切，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点(A 在x 轴上方)，交x 轴正半轴于P点，若PB⃗⃗⃗⃗⃗ +3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求△AOB 面积的最大值以及此时直线l 的方程． 【答案】解：(1)设切线为bx +ay −ab =0，则√a 2+b 2=√127又因为e =12=√1−b 2a 2，解得a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的方程x 24+y 23=1．(2)设直线l 为x =my +n(m >0,n >0)，联立{x =my +nx 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∴y 1+y 2=−6mn3m 2+4，①y 1y 2=3n 2−123m +4，②由△>0，可得3m 2−n 2+4>0．又因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得−3y 1=y 2③ 由①③解得y 1=3mn3m 2+4,y 2=−9mn3m 2+4， 代入②−27m 2n 2(3m 2+4)2=3n 2−123m 2+4，整理得n 2=3m 2+43m 2+1．S △AOB =12n ⋅(y 1−y 2)=6mn 23m 2+4=6m 3m 2+1=63m+1m≤√3，当且仅当3m =1m ,即m =√33,n =√102时，满足△>0，所以△AOB 面积的最大值为√3，此时直线l 的方程为x =√33y +√102．【解析】(1)设切线为bx +ay −ab =0，则√a 2+b 2=√127，又因为e =12=√1−b 2a2，联立解出即可得出．(2)设直线l 为x =my +n(m >0,n >0)，与椭圆方程联立化为：(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由△>0，又因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PA⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得−3y 1=y 2，结合根与系数的关系可得m ，n 的关系.利用三角形的面积计算公式及其基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、方程与不等式的解法、向量坐标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21. 已知a ∈R ，f(x)=(ax −1)lnx ．(1)若f(x)≤x 2−lnx −x 在[2,+∞)恒成立，求a 的取值范围；(2)若f(x)有两个极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，求a 的范围并证明f(x 1)>4． 【答案】解：(1)由题：axlnx −lnx ≤x 2−lnx −x 得：a ≤x−1lnx……(2分)设ℎ(x)=x−1lnx (x ≥2)，ℎ′(x)=lnx−1+1x(lnx)2设：u(x)=lnx −1+1x ， ∵u′(x)=1x −1x 2=x−1x 2≥0 (x ≥1)，∴u(x)在[1,+∞)单增，∴u(x)≥u(1)=1>0，0(x \geqslant1)…………………………(4'/>分)∴ℎ(x)在[1,+∞)单增，∴ℎmin (x)=ℎ(2)=1ln2， ∴a ≤1ln2……………………………………(6分) (2)证明：f′(x)=alnx +a −1x ，f″(x)=ax+1x 2(x >0)，①若a ≥0时，知：在(0,+∞)单调递增，不合题…②若a <0时，知：在(0,−1a )单调递增，在(−1a ,+∞)单调递减只需要f′(−1a )=aln(−1a )+2a >0∴−1a <e −2∴a <−e 2………………….(9分) 此时知道：f(x)在(0,x 1)单减，(x 1,x 2)单增，(x 2,+∞)单减， 且易知：0<x 1<−1a <x 2又由f′(x 1)=0⇒alnx 1+a −1x 1=0∴lnx 1=1ax 1−1，∴f(x 1)=(ax 1−1)lnx 1=(ax 1−1)(1ax 1−1)=2−ax 1−1ax 1又−1<ax 1<0，∴f(x 1)>4…………………………………………………(12分) 【解析】(1)由题：axlnx −lnx ≤x 2−lnx −x 得：a ≤x−1lnx…，设ℎ(x)=x−1lnx (x ≥2)，ℎ′(x)=lnx−1+1x(lnx)2，设u(x)=lnx −1+1x ，求出导函数，u′(x)=1x −1x =x−1x ≥0 (x ≥1)，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的最小值，然后推出结果． (2)求出f′(x)=alnx +a −1x ，f″(x)=ax+1x 2(x >0)，通过①若a ≥0时，②若a <0时，利用函数的单调性，以及函数的值的范围，推出f(x 1)>4．本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调性，二次求导的运算，考查转化思想以及计算能力．22. 选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，过点P(−2,−4)的直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点． (Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (Ⅱ)若|PA|⋅|PB|=|AB|2，求a 的值．【答案】解：(I)由ρsin 2θ=2acosθ(a >0)得ρ2sin 2θ=2aρcosθ(a >0) ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=2ax(a >0)…(2分) 直线l 的普通方程为y =x −2…(4分)(II)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2=2ax 中， 得t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2则有t 1+t 2=2√2(4+a)，t 1t 2=8(4+a)…(6分)∵|PA|⋅|PB|=|AB|2∴|t 1t 2|=(t 1−t 2)2，即(t 1+t 2)2=5t 1t 2…(8分)∴[2√2(4+a)]2=40(4+a)化简得，a 2+3a −4=0解之得：a =1或a =−4(舍去) ∴a 的值为1…(10分)【解析】(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)将直线L 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|⋅|PB|，从而建立关于a 的方程，求解即可．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线L 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．23. 已知函数f(x)=|3x +2|．(1)解不等式f(x)<4−|x −1|(2)若a >0且|x −a|−f(x)≤4恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)函数f(x)=|3x +2|，∴不等式f(x)<4−|x −1|化为|3x +2|+|x −1|<4，当x <−32时，不等式化为−3x −2−x +1<4，解得−54<x <−23； 当−23≤x ≤1时，3x +2−x +1<4，解得−23≤x <12； 当x >1时，3x +2+x −1<4，无解；综上，不等式的解集为(−54,12)；…………………(5分) (2)令g(x)=|x −a|−f(a)，则g(x)=|x −a|−|3x +2|={2x +2+a,x <−23−4x −2+a,−23≤x ≤a −2x −2−a,x >a；当x =−23时，g(x)取得最大值为g(x)max =23+a ； 欲使不等式g(x)≤4恒成立，只需23+a ≤4，解得a ≤103；又因为a >0，所以0<a ≤103，即a 的取值范围是(0,103].………………………(10分)【解析】(1)利用分类讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集； (2)构造函数g(x)=|x −a|−f(a)，求得g(x)的最大值， 把不等式恒成立转化，从而求出a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题含答案
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q = （ ） A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a = ，(3,4)b = ，(,2)c k = .若(3)//a b c -，则实数的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ． 3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ= ，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（ ）A ．B ．2-C ．．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2x ≤≤223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ． C D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e+ 12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．329B ．169C ．89D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠= ，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题含答案
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学（理）试题含答案成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测;数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2) 2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ． 3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A B ．32 C D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥ 6.若6(x的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（ ）A ．B ．2- C D ．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+ B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.x ≤≤223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ． C D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln mf x n x x=--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12ee ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e+ 12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．329B ．169C ．89D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为2，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆的面积的最大值为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数k 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ．6 3.若复数z 满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A ．2．32C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x-的展开式中含32x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．．-7.已知函数()sin ()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin (2)4g x x π=+B ．3()2s in (2)4g x x π=+C ．()2c o s 2g x x =D ．()2sin (2)4g x x π=-8.若x 为实数，则“2x ≤≤”是“223x x+≤≤”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A 3B ．CD ．24π10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x=--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．22[,1]12e ee e ++++ B ．2[,1]12ee ++C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e +12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12A P PB =时，A O B ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329B ．169C ．89D ．49二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2lo g ()a b = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y p x p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且P F x ⊥轴.若以A F 为直径的圆截直线A P 所得的弦长为2，则实数p 的值为 ．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于x 的函数321()3n n f x x a x=-2(1)n a x+-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()inc o s22x x f x =21c o s22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若A B C ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求c .18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方A P P 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过A P P 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用A P P 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n a d b c Ka b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是A C 的中点，四边形B D E F 是菱形，平面B D E F ⊥平面A B C ，60F B D ∠=，A B B C ⊥，A B B C ==（1）若点M 是线段B F 的中点，证明：B F ⊥平面A M C ； （2）求平面A E F 与平面B C F 所成的锐二面角的余弦值. 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为2，点B 是椭圆上的动点，1A B F ∆的面积的最大值为12-.（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段M N 的中垂线为'l .若直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求P Q M N的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x a x =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln242n n <++21ln1n n nn ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
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四川省成都石室中学高2018级“二诊”模拟考试数学试题（理科）第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii ++等于A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．已知2{|4}M x x =≤，2{|1}1N x x =≥-，则MN =A ．{|12}x x <≤B ．{|21}x x -≤≤C ．{|12}x x ≤≤D ．{|2}x x <3．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是A ．（1，2）B ．（e ，3）C ．（2，e ）D ．(e,+∞)4．对于平面α和两条不同的直线m,n ，下列命题中真命题是 A ．若,m n 与α所成的角相等，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//,n α则//m nD ．若,m n αα⊥⊥，则//m n5．已知,a b 是不相等的正数，若11lim 2n n n n x a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是A ．02b <≤B ．02b <<C ．2b ≥D ．2b >6．函数cos()sin()23y x x ππ=++-具有性质A6x π=对称B ．最大值为1，图像关于直线6x π=对称C,06π）对称D ．最大值为1，图像关与(,0)6π对称7．若等比数列{}n a 的前n 项和为313n S a +++，则常数a 的值等于A ．13-B ．1-C ．13D ．3-8．已知函数()f x 在R 上可导，且2()2'(2)f x x x f =+，则(1)f -与(1)f 的大小关系为A ．(1)(1)f f -=B ．(1)(1)f f ->C ．(1)(1)f f -<D ．不确定9．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为、、，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为AπB．C．D．10．若双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，线段1F 2F 被抛物线22y bx =的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为A ．98B．37C．4D．1011．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n =与向量(1,1)b =-的夹角为θ，则(0,]2πθ∈的概率是A ．512B ．12C ．712D ．5612．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a =-对称。
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石室中学高2018届二诊模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，则复数.3A .3B -.3C i .4D i -2.已知全集U =R，集合{|30}A x x =-<，那么集合U A C B ⋂等于.{|23}A x x -≤≤.{|23}B x x -<< .{|2}C x x ≤-.{|3}D x x <3.若,x y 满足约束条件02326x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则zx y=+ 的最小值是.3A -.6B.3D4.则s in 2α的值为5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积 为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为7.等比数列{}n a 中，20a >则25""a a <是35""a a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2018)f =A. B. C. D.9、已知是双曲线的左、右焦点, 点在上若,则的离心率为A. B.C.D.10.，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为11.若函数y =f (x )的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数y =f (x )为“t 函数”.下列函数中为“2函数”的个数有① y =x -x 3 ②y =x +e x③y =x ln x ④y =x +cos xA.1个B.2 个C.3 个D.4个12、已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于A. B.2 C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．133项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14、已知数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为1的等差数列，且5=62S ，则2=a15．已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是 .16．为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）如图，,,a b c 分别是锐角A B C ∆的三个内角A B C ，，的对边，（1）求sin C 的值；（2）若点D 在边B C 上,3B D C D =，A B C ∆的面积为14，求A D 的长度.18. （本小题满分12分）2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与正方形ABC D所在平面垂直，点M为AE的中点.（1）求证：B M//平面E F C（2）若D E A B，求直线A E与平面B D M所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）,O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A B 、两点（A 在x 轴上方），交x 轴正半轴于P 点,若3P B P A +=0，求A O B ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知a ∈R ，()(1)ln f x a x x =-（1）若2()ln f x x x x ≤--恒成立，求a 的值； （2）若()f x 有两个极值点，，求a 的范围并证明1()4f x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2s in 2c o s (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为（t 为参数），直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+. （1）解不等式()4|1|f x x <--（2）若0a >，不等式||()4x a f x --≤恒成立，求实数a 的取值范围．石室中学高2018届2017-2018学年下期二诊模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13. 20-； 14. 4；三、解答题17. 解：（1，因B 为锐角，所以分，分（2分分，由余弦定理，2222co s A D A B B D A B B D B =+-⋅⋅， 解得5A D =…………………………12分18..(1).记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，分(2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.所以X 的分布列为:19..(1)由题知B D E F A B C ⊥面面，而B D E D⊥，B D E F A B C D =B D 面面∩，D E B D E F ⊂面所以D E A B C D 面⊥，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则()1,1,0B ，，()0,0,1E ，()1,1,1F ，()0,1,0C ，所以,1⎛EFC的法向量为()1,1,1m=-，则0M B m⋅=即M B m⊥，又面M B EFC⊄，所以//面M B E F C;……………6分(2)由（1）知.1⎛,1⎛所以面BDM的法向量为()1,1,1n=-又()1,0,1A E =-,6所以直线AE与面BDM12分20.解：（1）设切线为0b x a y a b+-=，则，解得224,3a b==，所以椭圆C的方程分（2）设直线l为(0,0)x m y n m n=+>>，联立得222(34)63120m y m n y n+++-=，设1122(,),(,)A x yB x y，②由0∆>，可得22340m n-+>…….6分又因为3P B P A+=0，可得123y y-=③…………7分分分满足0∆>，所以A O B ∆面积的最大值为此时直线l 的方程为分21. 解(1)由题:得1ln 0x a x --≥ 令:，，…………………1分 所以F ，且．所以当时恒成立，此时在上单调递增，(0,1),()0x F x ∴∈<这与F 矛盾；………………………………..3分 当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即，又因为，又F(1)=0 所以………………………..6分①若0a ≥时, 知:'()f x 在(0,)+∞单调递增,不合题…分此时知道：()f x 在1(0,)x 单减，12(,)x x 单增，2(,)x +∞单减 且易知又110a x -<<1()4f x ∴>…………………………………………………12分 22. (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得,设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴=即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分23. （1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为．…………………… 5分（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即…………………………….10分- 11 -。