最值问题
最值问题的试题种类和解题方法
最值问题的试题种类和解题方法
最值问题是指寻找一组数据中的最大值或最小值的问题。
根据问题的不同，最值问题可以分为以下几种类型：
1.一维最大值/最小值问题：给定数组或序列，求其中的最大
值或最小值。
解题方法：遍历数组或序列，逐个比较元素大小，记录当前的最大值或最小值。
2.多维最大值/最小值问题：给定二维、三维或更高维的矩阵、图像等，求其中的最大值或最小值。
解题方法：根据矩阵或图像的特点，例如行列数、像素值等，使用嵌套循环遍历全部元素，逐个比较记录最大值或最小值。
3.带约束条件的最大值/最小值问题：给定一组数据及约束条件，求满足约束条件下的最大值或最小值。
解题方法：将约束条件纳入考虑范围，使用相应的算法，例如动态规划、贪心算法等。
4.最值距离问题：给定一组数据，求其中最大值与最小值之间
的差距。
解题方法：求出最大值与最小值，进行相减操作。
5.最值概率问题：给定概率分布、事件等，求最大概率或最小
概率。
解题方法：根据概率计算公式，计算概率值，并与已有的最大概率或最小概率进行比较。
以上仅是最值问题的一部分，实际上最值问题还包括了很多其他方面的问题。
解决最值问题的方法也具有多样性，需要根据具体问题的特点选择合适的解题方法。
一般来说，通过遍历、比较和记录的方式可以解决绝大部分最值问题。
初中数学100道最值问题经典
初中数学100道经典最值题1.如图1所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝4，D 为边AB 的中点，P 为边AC 上的动点，则PB+PD 的最小值为( )B. C. D.2.如图2所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足13PAB ABCD S S =矩形 ，则点P 到AB 两点距离之和PA+PB 的最小值为 。
3.如图3所示，在矩形ABCD 中，AD ＝3，点E 为边AB 上一点，AE ＝1，平面内动点P 满足13PAB ABCD SS =矩形，则|DP －EP|的最大值为 。
4.已知y ，则y 的最小值为 。
5.已知y =，则y 的最大值为 。
6.如图4所示，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝，D 是边AB 上一动点，连接CD ，以AD 为直径的圆交CD 于点E ，则线段BE 长度的最小值为 。
7.如图5所示，正方形ABCD 的边长是4，点E 是边AB 上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 时边AB 上另一动点，则PD+PG 的最小值为 。
8.如图6所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 、F 分别为边AD 、DC 上的点，且EF ＝2，点G 为EF 的中点，点P 为边BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为 。
9.在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2+n2＝4，若点E为CD 的中点，则AB+BE的最小值为。
A.3B.4C.5D.2510.如图7所示，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为。
11.如图8所示，AB＝3，AC＝2，以BC为腰(点B为直角顶点)向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为。
12.如图9所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为。
最值问题归纳
最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。
数形结合的思想贯穿始终。
一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。
③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。
（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。
⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。
5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。
⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题 变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。
初中数学最值问题六种模型
初中数学最值问题有六种模型，包括将军饮马模型、一箭穿心模型、费马点模型、阿氏圆模型、胡不归模型和瓜豆原理模型。
1. 将军饮马模型：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
可以理解为两点之间线段最短。
连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。
2. 一箭穿心模型：在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。
将点A向右平移d个单位到A′，作A′关于直线l的对称点A"，连接A"B交直线l 于点N，将点N向左平移d个单位到M，点M、N即为所求。
3. 费马点模型：在三角形ABC中，若D、E分别是AB、AC 上的点，则DE的延长线与BC的延长线交于费马点处，此时三角形周长最小。
4. 阿氏圆模型：以给定点A为圆心，给定距离r为半径画圆，与已知直线l相交于两点B、C，连接两点B、C并延长交于D。
则D点的轨迹是以A为圆心，r为半径的圆。
这个圆被称为阿氏圆。
5. 胡不归模型：在直角三角形ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，AD为BC边上的高。
若点P在BC边上，问是否存在点P使得DP垂直于BC边？如果存在，求出点P的位置；
如果不存在，请说明理由。
6. 瓜豆原理模型：在一条直线上有若干个点，每个点都有一个到直线的距离，问如何选择若干个点使得这些点到直线的距离之和最小？瓜豆原理告诉我们，选择任意两个相邻的点并连接它们与直线的交点，然后选择第三个点与前两个点的距离之和最小即可。
以上是初中数学最值问题的六种模型，希望对解决这类问题有所帮助。
七年级下册最值问题。
七年级下册最值问题。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册最值问题是初中数学中的重要概念，通过这一概念的学习，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
最值问题指的是在一组数据中找到最大值和最小值，并求出它们的具体数值。
在日常生活中，最值问题也是非常常见的，比如求一组数据中的最高温度和最低温度，或者求一堆数中的最大值和最小值等等。
在七年级下册的数学课程中，最值问题通常是以实际案例为背景展开讨论的。
通过解决这些案例，学生可以更好地理解最值问题的概念，并掌握解题的方法。
最值问题的解决一般分为两步，首先是找出一组数据中的最大值和最小值，然后是求出它们的具体数值。
在实际操作中，学生需要通过比较不同数的大小，从而找到最值。
除了直接比较数值大小外，还可以通过化简、提取公因式等方法来简化问题，更快地找到最值。
最值问题的学习不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和数学素养。
在解决最值问题的过程中，学生需要反复比较和分析数据，培养了他们的观察力和思考能力。
通过实际案例的讨论，学生可以更好地理解数学知识与实际生活的联系，增强他们的数学应用能力。
七年级下册最值问题还可以帮助学生培养合作精神和团队意识。
在解决最值问题的过程中，学生可以进行小组讨论和合作，共同探讨问题的解决方法，促进了他们与同学之间的交流与合作。
通过互相学习、互相启发，学生可以更好地理解数学知识，提高解题的效率和准确度。
最值问题的学习还可以促进学生主动学习的能力。
通过解决最值问题，学生需要自主思考、积极探索，培养了他们的自主学习意识。
在解决问题的过程中，学生可以提出自己的见解和想法，不断尝试和总结，从而提高了他们的学习兴趣和学习主动性。
七年级下册最值问题是一个涵盖面广、实用性强的数学概念，通过这一概念的学习，学生可以在数学知识上取得更好的掌握与运用。
最值问题的解决不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和团队合作精神。
初中最值问题类型
初中最值问题类型
初中最值问题类型包括以下几种：
1. 最大最小值问题：给定一组数据，要求找出其中的最大值或最小值。
2. 最大公约数与最小公倍数问题：给定两个数，要求找出它们的最大公约数和最小公倍数。
3. 最大周长与最小面积问题：给定一组固定长度的线段，要求组成的图形的周长或面积最大或最小。
4. 最长递增序列与最长递减序列问题：给定一组数据，要求找出其中的最长递增序列或最长递减序列。
5. 最优解问题：给定一组有序或无序的数据，要求找出其中满足特定条件的最优解，例如使某个函数取得最大或最小值的变量取值。
这些是初中常见的最值问题类型，但实际上还有许多其他类型的最值问题，具体取决于题目的表述和要求。
最值问题课件
闭区间上连续函数的性质是求最值的重要依据，通过利用这些性质可以简化最值的求解 过程。
详细描述
闭区间上连续函数具有一些重要的性质，如介值定理和零点定理。介值定理指出，如果 函数在闭区间的两个端点取不同的函数值，则至少存在一个点使得函数在该点的值为两 个端点值的平均值。零点定理指出，如果函数在闭区间的两端取不同的符号，则至少存
最值问题的分类
01
02
03
函数最值
在给定区间上求函数的最 大值或最小值。
极值问题
研究函数在某一点的极值 ，包括极大值和极小值。
约束最值
在满足某些约束条件下， 求数学表达式的最大值或 最小值。
最值问题在数学中的重要性
应用广泛
最值问题在数学、物理、 工程等多个领域都有广泛 应用，是解决实际问题的 重要工具。
VS
统计学中的最值应用
在统计学中，最值的应用非常广泛。例如 ，在统计分析中，我们需要找到一组数据 中的最大值和最小值，以了解数据的分布 情况；在回归分析中，我们需要找到使误 差平方和最小的参数值等。这些问题的解 决都需要利用最值定理和优化算法等数学 工具。
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梯度法的步骤
计算目标函数的梯度，沿着负梯度的 方向搜索，确定步长，更新解的位置 。
牛顿法与最值
牛顿法
基于目标函数的二阶导数（海森 矩阵）信息，通过迭代寻找最优
解的方法。
牛顿法的步骤
计算目标函数的二阶导数（海森矩 阵），求解线性方程组，确定步长 ，更新解的位置。
牛顿法的优缺点
优点是对于凸函数收敛速度快；缺 点是需要计算二阶导数（海森矩阵 ），对于非凸函数可能陷入局部最 优解。
数学中的最值问题与优化方案
如分支定界法、割平面法等，以及这些方法在求 解整数规划最值问题时的有效性和适用范围。
03
最值问题的算法解决方案
梯度下降法
原理
梯度下降法是一种通过迭代求解最值问题的方法，其核心 思想是利用目标函数的梯度信息来决定搜索方向，逐步逼 近函数的最值点。
缺点
容易陷入局部最小值，对初始值的选择敏感。
数学中的最值问题与优化方案
• 最值问题概述 • 最值问题的数学方法 • 最值问题的算法解决方案 • 最值问题与优化方案的实际应用案
例
01
最值问题概述
最值问题的定义
• 最值问题是数学中的一类优化问题，它研究的是 在一定条件下，如何选取自变量的值，使得某个 函数取得最大值或最小值。这类问题广泛存在于 现实生活和各种应用领域中。
确定函数的最值。
导数在多元函数最值问题中的应用
02
通过求偏导数，找到多元函数的驻点，并结合实际情况判断是
否为最值点。
导数与实际问题的结合
03
如利用导数求解最大利润、最小成本等问题，将实际问题转化
为数学模型进行求解。
凸优化与最值问题
凸集与凸函数
介绍凸集的定义和性质，以及凸函数的判定方法和性质。
凸优化问题的基本形式
最值问题的分类
最值问题根据函数的性质和约束条件的不同， 可以分为多种类型，包括但不限于
01
约束最值问题：求解函数在满足一定约束 条件下的最大值或最小值。
03
02
无约束最值问题：求解函数在整个定义域内 的最大值或最小值。
04
线性规划问题：目标函数和约束条件均为 线性的最值问题。
非线性规划问题：目标函数或约束条件为 非线性的最值问题。
巧求最值问题八种方法
如何求“最值”问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、 利用配方求最值例1：若x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 。
分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原式=1990)96(21)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x =1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 (x-y)2≥0, (x-3)2≥0, (y-3)2≥0,所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小，最小是1990； 例2，设x 为实数，求y=312-+-xx x 的最小值。
分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x 取值相同。
由于y=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-xx x ,要求y 的最小值，必须有x-1=0,且01=-x x ，解得x=1,于是当x=1时，y=312-+-xx x 的最小值是-1。
二、 利用重要不等式求最值例3：若xy=1,那么代数式44411y x +的最小值是 。
分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，44411y x +=2222222)(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以：44411y x +的最小值是1 三、 构造方程求最值例4：已知实数a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4.求a 、b 、c 中的最大者的最小值. 分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。
巧求最值问题八种方法
巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。
由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。
x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。
解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。
求最值问题的6种解法
求最值问题的6种解法
最值问题是指在一组给定的值中，找出最大值或最小值的问题。
以下是六种常见的解决最值问题的方法：
1. 线性搜索：遍历给定的值，通过比较每个值与当前最值的大小来更新最值。
这种方法简单直接，但效率较低，适用于数据量较小的情况。
2. 排序法：将给定的值进行排序，然后取第一个或最后一个值作为最值。
这种方法的时间复杂度主要依赖于排序算法，适用于需要找到多个最值的情况。
3. 分治法：将给定的值划分成多个子问题，递归地求解每个子问题的最值，然后将子问题的最值合并得到整体的最值。
这种方法适用于问题可以分解成若干小规模相同结构的子问题的情况。
4. 动态规划：根据问题的特点，定义状态和状态转移方程，利用动态规划的思想求解最值问题。
动态规划通常需要使用一个表格来记录中间结果，以减少重复计算。
这种方法适用于问题具有最优子结构和重叠子问题性质的情况。
5. 贪心法：根据局部最优的选择策略，逐步构建全局最优解。
贪心法通常不保证得到全局最优解，但在一些特定问题上表现良好，并且具有较高的执行效率。
6. 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）：对于给定的值构成的图或树结构，通过搜索遍历所有可能的路径或状态，
找到满足最值条件的路径或状态。
这种方法适用于问题可以抽象成图或树结构的情况。
根据具体问题的特点，选择合适的解法可以提高求解最值问题的效率和准确性。
3.求函数最值问题常用的10种方法
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命 题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内 的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否 则相反．
八、平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方 法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知 的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义 域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都 有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
【例8】 已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则 的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0， 解析 由题意，得
x＋3≥0，
最值问题19种题型
最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。
4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。
5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。
巧求“最值”问题八种方法
Байду номын сангаас
４ ＋ ４ 一 １ ≥ Ｏ，（ ４ ２ （ 一 ２ （ 一 ４ ９ ０， Ｏ ｆ ｃ ６ ｆ ）ｆ ）ｆ ） － 得 ＜ ≤
２或 ｃ ４ 因 为 Ｃ 最 大 者 ， 以 ｃ 最 小 值 是 ４ ≥ ， 是 所 的 ．
４ 构 造 图 形 求 最 值
例 ５ 使 ￣ｚ ＋４ ￣（ 一 ４１ 取最 小值 的 实 ／ ４ ／ ８ ） － ６ －
・
一
正
１
、
，
２
（ １ ＋（ 一 ） ２ 的 小 必 有ｚ ） — 一， 一 。 １ 要求 最 值，须
、 Ｚ １
—
所 以 一 — ｚ一 ２ 令 Ｙ ０ 得 ｏ ， 一 ，
８
１ ， ／ 一亡 一０ 解 得 ｚ ， —０ 且￣ ｚ ， 一１ 于是 当 ｚ 一１时 ， 一
Ｃ
一
１ 利 用 配 方 求 最 值
例 １ 若 ｚ Ｙ是 实 数 ， － 一ｘ ４ Ｙ 一 ３ ， 则 ｚ ｙ － 。 ｘ一 ３ ＋ ｙ １９ ９ ９的 最 小 值 是 （ ９８年 数 学 新 蕾 竞 赛 题 ） １９ ． 分 析 与 解 ：由 于 是 二 次 多 项 式 ， 以直 接 用 完 全 平 难 方公 式 ， 以用 配 方 法 来 解 更 为 简 捷 ． 所
数 ｚ的 值 为 （ ０ ６年 全 国初 中数 学 竞 赛 试 题 ） ２０ ． 分 析 与解 ：用 一 般 方 法 很 难 求 出 代数 式 的 最 值 ， 由
原式一÷ （ ｘ Ｙ） ÷ （ ｘ ９ ４ ｚ 一２ｙ ４ － ４ － ｚ 一６ ） － ４ －
１ １ １
１
于 是 构 造 如 图 所 示 ． Ａ（ ， 作 ０ ２ 关 于 ｚ轴 的 对 称 点 Ａ （ ， ２ ， ） ０ 一 ） 令 直 线 Ａ Ｂ 的 解 析 式 为 ｙ— ｋ ４ ｘ －
第23讲最值问题-完整版
第23讲最值问题-完整版第23讲最值问题⼀内容概述求最⼤值与最⼩值的问题，解题时宜⾸先考虑起主要作⽤的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形。
和为定值的两数的乘积随着两数之差的增⼤⽽减少。
典型例题兴趣篇1． 3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最⼩可能是多少？答案：3解析：3个连续奇数相乘，乘积的个位数字只有5种可能：①这3个奇数的个位数字分别为1、3、5时，乘积的个位数字为5．②这⼀3个奇数的个位数字分别为3、5、7时，乘积的个位数字为5．③这3个奇数的个位数字分别为5、7、9时，乘积的个位数字为5．④这3个奇数的个位数字分别为7、9、l时，乘积的个位数字为3．⑤这3个奇数的个位数字分别为9、1、3时，乘积的个位数字为7．因此，乘积的个位数字最⼩等于3．2．⽤1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最⼩的两个数之差是多少？答案：9解析：将这6个数按从⼤到⼩的顺序写出：421、412、241、214、11 2、1 2计算所有相邻两数的差：421-412=9,412-241=l7l, 241-214=27.214-142=72. 142-124=18.其中差最⼩的两个数是421与412，它们相差9．3．阿呆和阿⽠两⼈⼿⾥各拿着⼀张扑克牌，两⼈牌的点数之和刚好是10．请问两⼈牌的点数的乘积最⼤可能是多少？答案：25解析：两⼈牌的点数之和为10，那么两⼈牌的点数只能是1和9，2和8，3和7，4和6，5和5．它们乘积分别为9，16，21，24，25．所以两⼈牌的点教的乘积最⼤可能是25．4． 3个⾃然数的和是19，它们的乘积最⼤可能是多少？答案：252解析：3个数的乘积最⼤时．应该是它们每2个数的差都最⼩的时候．所以3个数的乘积最⼤⼨，每2个数的差都等于O或1．它们的和等于19，19÷3=6……l，则这3个数是6、6、7时其乘积最⼤．所以乘积最⼤等于6×6×7=252．5． (1)请将1～4这4个数分别填⼈算式“⼝⼝×⼝⼝”的⼝中，要使得算式结果最⼤，应该怎么填？(2)请将1～6这6个数分别填⼊算式“⼝⼝⼝×⼝⼝⼝”的[中，要求5、6分别填在百位，4、3分别填在⼗位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最⼤．应该怎么填？答案：(1) 41×32 (2) 631×542解析：(1)要使乘积最⼤，⾸位应当尽可能⼤，4、3填在⼗位上，这样1、2就填在个位上，此时这两个数的和固定，要使乘积最⼤，只要差最⼩即可．因此，乘积最⼤时应该是41×32．(2)因百位的两个数固定了，那么百位之和就固定了．同样个位、⼗位的和也固定了，所以这两个三位数的和⼀定，此时要使它们的乘积最⼤，只需使它们的差最⼩，因此6的后两位数应该尽量⼩，5的后两位数应该尽量⼤．那么这两个数就应该是631和042，即乘积最⼤时是631×542．6．在图23-1的中间O内填⼀个数，计算每⼀条线段两端的数之差（⼤减⼩），然后把这3个差数相加．那么所得的和最⼩是多少？答案：7解析：⽅法⼀：在中间的○内填上0，则3个差数分别是3、7、10，因此差数之和等于3+7+10=20．将0换成1，则3个差数都减1，则差数之和减3，等于20-3=17.同理，将1换成2后，差数之和等于17-3=14．将2换成3．差数之和等于l4-3=ll.将3换成4时．此时其中2个仍然是减1．有⼀个差数却由0变成了l，是加1，因此差数之和减1，等于11—1=10.同理，从4到7之间变化时，中间填的数每次加1，差数之和就减1，因此中间填7时，差数之和⽐填1到6都要⼩．将7换成8时，2个差数都加1，⼀个差数减1，因⽐差数之和加1．同样，将8换成9，9换成10，差数之和都加l.将10换成11， 11换成12，我们可以发现，以后中间的数每次加1，差数之和都会增加3.综上所述，中间填的数由1变到7时，差数之和选来越⼩；中间填的数由7变⼤时，差数之和越来越⼤．因此中问填7时，差数之和取到最⼩值，等于(7-3)+(7-7)+(10-7)=7⽅法⼆：①如果中间填的数是1～3，则每⼀线段两端的两数作差，都是⽤给出的数减去这个填的数，因此填的数越⼤，这3个差越⼩．所以这种情况下填3差数之和最⼩．②如果中间填的数是4～7，则这3个差中，⼀个⼰⽤这个数减去3．⼀个是⽤1O减去这个数，这2个差加起来就是10-3=7．还剩下⼀个差是7减去这个数，显然这个数等于7时，剩下的差数取到最⼩值．因此差数之和最⼩等于l．③如果中间填的数是7～10，则这3个差中，仍然⼀个是⽤这个数减去3，⼀个是⽤10减去这个数，这2个差加起来还是7．还剩下⼀个差是7减去汶个数，因此仍然是这个数等于7时，差数之和最⼩．④如果中间填的数⼤于等于10，则这3个差分别是⽤填的数减去3、7、10．显然这个数越⼩越好，因此当填10时，差数之和最⼩．综上所述，中间填1～3时，填3差数之和最⼩；填3～10时，填7差数之和最⼩；填10或⽐它⼤的势时，填10差数之和最⼩．因此当O内填7时，差数之和取到最⼩值7．7．在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差（⼤减⼩）最⼩的⼀个是多少？答案：1411解析：①⾸位显然取1或2，⼜1000与1389更接近所以⾸位等于1．②百位数字应该等于3或4．如果百位是3，由于有3个数字相同，则这个四位数只能是1311或1333，其中1333与1389更接近，刖时它们的差等于1389 -1333=56．如果百位是4，则这个四位数只能是1411或1444，其中1411与1389更接近，此时它们的差等余1411-1389=22．因此有3个数字相同的四位数中，与1389最拒近的四位数为1411.8．把1～6这6个数分别填⼊算式“⼝⼝⼝⼀⼝⼝⼝”的⼝中，要求前⼀个三位数⽐后⼀个三位数⼤. (l)这个减法算式的结果最⼤可能是多少？(2)最⼩可能是多少？答案：(1)最⼤531 (2)最⼩47解析：(1)要使算式的结果最⼤，只要让被减数最⼤，德数最⼩就⾏，所以算式的结果最⼤为654-123=531.(2)要使算式的结果最⼩，就要使被减数尽量⼩减数尽量⼤，但是被减数要⼤于减数，因此应该使在减数⽐减教的⾸位⼤1，还应该使被减数的⼗位和个位组成的两位数尽量⼩，使减数的⼗位和个位组成的两位数尽量⼤．由1、2、3、4、5、6组成的两位数最⼩是12，最⼤是65，我们希望被减数为12，减数为65，这样还剩下3、4，取4为被减数的⾸位，3为减数的⾸位，刚好使被减数⽐减数的⾸位⼤1，满⾜我们的要求．因此原来算式的结果最⼩是412-365=47.9．⼀个⾃然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成⼀个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等．请问：满⾜条件的⾃然数最⼤是多少？答案：99 889解析：如果这个⾃然数超过5位，则⾄少有5个相邻数字组成的两位数，⽽8、9最多兵能组成4个不同的两位数88、89、98、99．由简单抽屉原理，⼀定有两个相邻数字组成的两位数相同，这与题⽬条件⽭盾，因此，这个⾃然数最多是五位数．从⾸位开始取，万位取9，千位取9，百位取8. -定要出现88，所以⼗位取8．个位取9．因此满⾜条件的最⼤⾃然数是99 889. 10.如果3个互不相同的⾃然数之和为20，那么其中最⼩的数最⼤可能是多少？最⼤的数最⼩可能是多少？答案：5 8解析：要使最⼩的数最⼤，最⼤的数最⼩，则3个数尽可能接近，20÷3=6……2，⼜3个数互不相同，发现最接近的是5、7、8和0、6、9，所以最⼩的数最⼤是5，最⼤的数最⼩是8．拓展篇1．3个连续⾃然数相乘，所得乘积的个位数字最⼤可能是多少？答案：6解析：如果3个连续⾃然数的个位数字中有⼀个是O，则其乘积个位等于O；如果3个连续⾃然数的个位数字中有⼀个是5，其中必然还有⼀个是4或6，这时，它们乘积的个位也等于0．除此之外，3个连续⾃然数的个位数字还有可能是1、2、3，2、3、4，6、7、8，7、8、9这四种情况．因为1×2×3=6,2×3×4=24,6×7×8=336,7×8×9= 504，所以，3个连续⾃然数的乘积个位数字最⼤是6．2． (1)在五位数12435的某⼀位数字后⾯再插⼊⼀个同样的数字（例如：可以在2的后⾯插⼊2得到122435），这样得到的六位数最⼤可能是多少？(2)在七位数9876789的某⼀位数字后⾯再插⼊⼀个同样的数字，这样得到的⼋位数最⼩是多少？答案：(1) 124435 (2) 98766789解析：(1) 12435按要求插⼊数字，可以分别插在1、2、4、3、5后⾯，得到5个数：112435, 122435. 124435, 124335. 124355.⽐较可知，124435是其中最⼤的数．(2) 9876789按要求插⼊数字，可以分别插在9、8、7、6、7、8、9后⾯，得到7个数：99876789, 98876789, 98776789. 98766789,98767789, 98767889, 98707899.此较可知，98766789是其中最⼩的数．3．⽤24根长1厘⽶的⽕柴棒围成⼀个矩形，(1)这个矩形的⾯积最⼤是多少？(2)如果⽤22根⽕柴棒呢？。
最值问题的常用解法
最值问题的常用解法最值问题指的是在给定的一组数据中寻找出最大值或最小值的问题。
这种问题在实际生活中非常常见，例如寻找最高的山峰、最长的河流、最快的车辆等等。
在计算机科学中，最值问题被广泛应用于算法设计和优化中。
解决最值问题的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的解法。
1.穷举法：穷举法是最简单直观的解决最值问题的方法。
其思路是通过逐个比较数据元素的大小，找出最大或最小的元素。
穷举法的优点是实现简单，适用于规模较小的问题。
但当问题规模较大时，穷举法的效率往往较低。
2.顺序查找法：顺序查找法是穷举法的一种改进，它通过遍历列表中的元素，逐个与当前最值进行比较。
如果找到较大（或较小）的元素，则更新最值。
顺序查找法的思想简单，但效率相对较低，特别是当数据量很大时。
3.二分查找法：二分查找法是一种高效的查找方法，适用于有序列表。
其基本思想是，通过比较目标值与列表的中间元素的大小关系，将搜索范围缩小一半。
如果目标值较小，则继续在前半部分进行二分查找；如果目标值较大，则在后半部分进行二分查找。
通过不断缩小搜索范围，最终找到最值。
4.动态规划法：动态规划法是一种递推求解最优解的方法。
它将原问题分解为若干个子问题，然后通过求解子问题的最优解，得到原问题的最优解。
在解决最值问题时，可以设计一个状态数组来记录当前最优解，然后根据状态转移方程进行递推求解。
动态规划法通常适用于具有最优子结构和重叠子问题特点的问题。
5.分治法：分治法也是一种将问题分解为子问题的方法。
它将原问题分解为若干个规模较小但结构与原问题相似的子问题，并分别求解这些子问题的最值。
最后将子问题的最值整合起来，得到原问题的最值。
分治法通常通过递归实现，适用于问题可以被分解为独立子问题的情况。
6.贪心法：贪心法是一种通过每一步的局部最优选择来求解整体最优解的方法。
它不考虑后续步骤的影响，只关注当前可以获得的最好结果。
贪心法通常适用于问题具有贪心选择性质的情况，即局部最优选择可以导致全局最优解。
最值问题
最值问题
【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。
这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。
1在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？
2在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？
海可调运外地4台。
现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，
若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？。
最值问题
最值问题
知识点：
1、限定个数：和一定，差小积大；积一定，差小和小。
2、不限定个数：多3少2不拆1。
【例1】两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
【变式1】把17分成两个数的和，使这两个数的积最大，这个最大的积是多少？
【例2】一个周长为58米的长方形，这个长方形的面积最大是多少平方米？（长和宽都是整厘米数）
【变式2】用一根长40厘米的铁丝围成长方形，使它们的长和宽都是整厘米数，面积最大是多少平方厘米？
【例3】将14拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆？
【变式3】试把22分拆成5个自然数的和，使乘积最大。
【例4】把12分成几个自然数的和，再求出这个自然数的积，要使乘积尽可能大，最大的积是多少？
【变式4】将25分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，最大的积是多少？
作业：
1、两个整数的和是50，这两个数的积最大是多少？
2、把23分成两个整数的和，使这两个数的积最大，这个最大的积是多少？
3、一个长方形的周长为42米，长和宽均为整数，这个长方形的面积最大是多少？
4、王大爷今天买回3只羊，于是他准备在院子的角落里，利用院子的两堵墙做一个长方形的饲养场。
王大爷家里刚好有30米长的竹篱笆，他想让饲养场面积最大，可以怎样围呢？
5、将31拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何拆？
6、将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何拆？。