吉林省实验中学2020年高考数学模拟试卷(理科)

吉林省2020年高考数学模拟试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1}D．A⊆B2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件5．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B．100 C．10 D．16．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．27．已知等比数列{a n}中，a2a8=4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}的前9项和S9等于（）A．9 B．18 C．36 D．728．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A．B．C．D．9．在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π10．过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2D．212．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）A． B． C．D．e+﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为．14．在长为12厘米的线段AB上任取一点C，现以线段AC，BC为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20平方厘米的概率为．15．在（x2﹣x+1）5的展开式中，x3的系数为．16．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．18．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为．专业中文英语数学体育性别男n 1 m 1女 1 1 1 1现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．19．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016吉林校级模拟）已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．2020年吉林省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1}D．A⊆B【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由i4=1，可得i2016=（i4）504=1．再利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵i4=1，∴i2016=（i4）504=1．∴复数z====i，则复数z的共轭复数i在复平面内对应的点（，）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、复数的周期性与几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”【分析】根据条件中所给的计算出的观测值，把观测值同临界值进行比较，看出有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关，得到结论．【解答】解：∵计算得K2=5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关故选：A．【点评】本题考查独立性检验，是一个基础题，解决本题的关键是正确理解研究患肺病是否与吸烟有关时，计算出观测值得到概率的意义．4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=3，b=，满足a+b＞2，但ab＞1不成立，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∵ab＞1，∴（a+b）2＞4，∴a+b＞2，故a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．5．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B．100 C．10 D．1【分析】模拟程序的运行过程，由于条件m＞n成立，执行y=lg（m+n），计算即可解得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=6，n=4满足条件m＞n，y=lg（6+4）=1，输出y的值为1．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．2【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：=2，=∴=2=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．7．已知等比数列{a n}中，a2a8=4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}的前9项和S9等于（）A．9 B．18 C．36 D．72【分析】由等比数列的性质结合已知求得a5=4，代入b4+b6=a5，进一步代入等差数列的求和公式得答案．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，∴a2a8=，又a2a8=4a5，∴，解得a5=4．∴b4+b6=a5=4．∵数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前9项和S9==．故选：B．【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．8．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A．B．C．D．【分析】记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，由此能求出所求概率．【解答】解：∵从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，∴记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，则所求概率：p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．9．在平行四边形ABCD中，，，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π【分析】由已知中，可得AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，平面DAC ⊥平面ACB，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为BD，进而根据，求出三棱锥D﹣ACB的外接球的半径，可得三棱锥D﹣ACB的外接球的表面积．【解答】解：平行四边形ABCD中，∵，∴AC⊥CB，沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，∴平面DAC⊥平面ACB，三棱锥D﹣ACB的外接球的直径为DB，∴BD2=AD2+AC2+BC2=2BC2+AC2=4∴外接球的半径为1，故表面积是4π．故选：C．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥D﹣ACB的外接球的半径是解答的关键．10．过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．【分析】设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|CD|即可求得答案．【解答】解：抛物线y2=4x，可知2p=4，设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为﹣θ，过焦点的弦，|AB|=，|CD|==∴=+==，故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2D．2【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD 的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查面积的计算，确定三视图对应直观图的形状是关键．12．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）A． B． C．D．e+﹣1【分析】由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点P（m，lnm），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得lnm+m2﹣（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+）x，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值．【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点（m，lnm），由f（x）的导数为f′（x）=，即有切线的斜率为k=，可得=﹣m，即有lnm+m2﹣（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+）x，可得g′（x）=+2x﹣（e+），当2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增．又g（e）=lne+e2﹣（e+）e=0，可得x=e处点（e，1）到点Q的距离最小，且为，则线段PQ的长度的最小值为为﹣1，即．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查圆的对称性和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为2．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，平移直线y=﹣x，结合图象求出z 的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x+2y得：y=﹣x+，平移直线y=﹣x，结合图象直线过A（0，1）时，z最大，z的最大值是2，故答案为：2．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．在长为12厘米的线段AB上任取一点C，现以线段AC，BC为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20平方厘米的概率为．【分析】设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x矩形的面积S=x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题15．在（x2﹣x+1）5的展开式中，x3的系数为﹣30．【分析】化（x2﹣x+1）5=[（x2﹣x）+1]5，利用展开式的通项公式T r+1，讨论r的值，求出展开式中x3项的系数即可．【解答】解：式子（x2﹣x+1）5=[（x2﹣x）+1]5展开式的通项公式为：T r+1=（x2﹣x）r15﹣r；对于（x2﹣x）r，当r=0或1时，展开式中无x3项；当r=2时，（x2﹣x）2展开式中x3的系数是﹣2；当r=3时，（x2﹣x）3展开式中x3的系数是﹣1；当r=4或5时，展开式中无x3项；故x3项的系数为﹣2﹣1×=﹣30．故答案为：﹣30．【点评】本题主要考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．16．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为6．【分析】函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数等于函数f（x）图象与直线y=交点的个数，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数等于函数f（x）图象与直线y=交点的个数，∵函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，，在同一坐标系画出函数的图象如下图所示，由图可得：函数f（x）图象与直线y=有6个交点，故答案为：6．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，难度中档．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【分析】（I）由可求sinB=且B为锐角，由b=2，a=考虑利用正弦定理可求sinA，结合三角形的大边对大角且a＜b可知A＜B，从而可求A，（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB，把已知代入，结合a2+c2≥2ac可求ac的范围，在代入三角形的面积公式可求△ABC面积的最大值．【解答】解：∵∴sinB=且B为锐角（I）∵b=2，a=由正弦定理可得，∴∵a＜b∴A＜B∴A=30°（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB∴从而有ac≤10∴∴△ABC面积的最大值为3【点评】本题（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形（II）利用余弦定理及基本不等式、三角形的面积公式综合求解三角形的面积．考查的是对知识综合运用．18．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为．专业中文英语数学体育性别男n 1 m 1女 1 1 1 1现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【分析】（I）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．利用概率求出n即可．（II）设事件B：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．利用古典概型求解概率即可．（III）ξ的可能取值为0，1，2，3．求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设事件A：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有（1+m）人．则．解得m=3．所以n=1．…（4分）（II）设事件B：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则．…（7分）（III）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以，，，．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P所以．…（13分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．19．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．【分析】（1）由勾股定理得出AD=BD=2，故而AD⊥BD，由面面垂直的性质得出BD ⊥平面ADE；（2）以D为原点建立坐标系，求出和平面CDE的法向量，则直线BE和平面CDE所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】解：（1）∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2．∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2．又AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADE．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF=．过D点作直线Oz∥EF，则Oz⊥平面ABCD．以D为坐标原点，以DA，DB，Dz为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，∴D（0，0，0），C（﹣，，0），B（0，2，0），E（，0，），∴=（，﹣2，），=（，0，），=（﹣，，0）．设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，﹣1）．∴cos＜＞===﹣．∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k 表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a ﹣e＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=e x（sinx﹣e），则f′（x）=e x（sinx﹣e）+e x cosx=e x（sinx﹣e+cosx），∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜e，∴sinx+cosx﹣e＜0故f′（x）＜0则f（x）在R上单调递减．（2）当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，则，即，∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，则h′（x）=cosx﹣2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．∴t=，sint＜sin，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（）2+2﹣e=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e ＜0，故④式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【点评】本题主要考查函数单调性与导数的应用，求函数的导数，构造函数，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【分析】（1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；（2）连接O1A，O2A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，利用AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，分别用x表示出DE 和DF，最后算出即可．【解答】解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴DE×DG=DF×DH，∴，又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG．连接O1A，O2A，∵AD是两圆的公切线，∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）∴DE=6x，DF=4x，∴．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．【分析】（1）分别求出直线和曲线的普通方程，根据点到直线的距离，求出直线l与曲线C的位置关系；（2）根据点到直线的距离求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值即可．【解答】解：（1）直线l方程：y=x+4，ρ=4cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2sinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即+=4，∴圆心（，﹣）到直线l的距离为d=6＞2，故直线与圆相离．直线l的参数方程化为普通方程为x﹣y+4=0，则圆心C到直线l的距离为=6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为=4．（10分）【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程转化为普通方程，考查直线和圆的位置关系，考查切线问题，是一道中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．【分析】（I）由条件可得，求得3≤m≤5．根据不等式仅有一个整数解2，可得整数m的值．（2）根据a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）2≤3，从而求得a2+b2+c2的最大值．【解答】解：（I）由|2x﹣m|≤1，得．∵不等式的整数解为2，∴⇒3≤m≤5．又不等式仅有一个整数解2，∴m=4．（2）由（1）知，m=4，故a4+b4+c4=1，由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2≤（12+12+12）[（a2）2+（b2）2+（c2）2]所以（a2+b2+c2）2≤3，即，当且仅当时取等号，最大值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．。