2017数列的递推公式.ppt

§2.1.2数列的递推公式
复习回顾:
1. 数列的概念： 按一定次序排成的一列数叫做数列. 2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间 的关系可以用一个公式来表示，那么这 个公式就叫做这个数列的通项公式.
问题引入:
(中国古题) 浮屠增级歌
远看巍巍塔七层
红光点点倍加倍
共灯三百八十一 请问尖头几盏灯
1 29 10 941 a5 a4 . a4 10 29 290
2．已知数列{an }满足：a1=2,an=2an－1（n≥2）,
这个数列 {an } 的前五项为 2，4，8，16，32
。
3.已知数列
ห้องสมุดไป่ตู้
an :1,12,123
,1234 ,

,123456789
(在每一项的数字后面添写后一项的序号,便得到后一项)
求数列
an 的递推公式.
解:
a1 1, an 10an1 n(2 n 9)
实例探索
意大利匹萨饼店的伙计喜欢将饼切成形状 各异的一块块.他们发现,每一个确定的刀数, 都可以有一个最多的块数.例如,切一刀最多切 成2块,切2刀最多切成4块,切3刀最多切成块7 块.问切n刀最多可切几块(n是正整数)?
分析 题中已给出｛an｝的第1项即a1=1，递推关系：
an = 1+ 1 an- 1
1 1 = 1 + = 2, 解 据题意可知：a1=1, a2 = 1 + a1 1 1 2 5 1 1 3 = 1+ = , a3 = 1 + = 1 + = , a4 = 1 + a3 3 3 a2 2 2
1 3 8 a5 = 1 + = 1+ = . a4 5 5
分析: 刀数n
1
2
4
3
7
4
最多块数 2
11
a1 1
an an1 n(n 2)
一个很有趣的数学问题:
某农夫于年初抱养了一对小兔子,小兔子 生长期为一个月,从第二个月起,逐月生一 对一雄一雌的小兔,每对小兔在第二个月 后也逐月生一对小兔,而所有兔子都沒有 死去,问一年后共有兔子多少对呢?
●递推公式也是给出数列的一种方法。
●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
an 可表示成： 例如 上述表示各层宝塔灯数数列
a1 3
(初始条件)
an 2an1(2 n 7)
(递推关系)
例1 已知数列｛an｝的第1项是1，以后的各项 1 由公式 an = 1 + 给出，写出这个数列的前5项. an- 1
选自明.程大位<<算法统宗>>
层的灯数,请同学们写出这个数列.
宝塔古称浮屠. 本题是说有一七层宝塔,每层悬挂 如果用 依次代表第 7 层到第 1 1 2 , , 7 的红灯数是上一层的2倍,问塔顶有几盏灯?
a ,a
a
递推公式：
如果已知数列an 的第1项（或前几项）， a n1 an 且任一项 与它的前一项 （或前几项） 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的递推公式。
裴波那契数列的递推公式:
a1 a2 1, an an1 an2 (n 3)
课时小结
1.数列的递推公式揭示了数列的任一项 an 与它 的前1项 an1 (或前几项)的关系,也是给出数列的一 种重要方法。
2.要学会去归纳、猜想数列的递推公式，从 而得出其从特殊到一般的结论.
课堂练习
1.请写出下面 an 数列的前5项:
1 a1 1, an an1 (n 2) an1
解:
1 1 5 1 a1 1, a2 a1 1 1 2, a3 a2 2 , a2 2 2 a1
1 5 2 29 a4 a3 , a3 2 5 10
3 5 8 an 的前5项是:1,2, , , . 2 3 5
（n≥3)，试写出数列 {an } 的前4项.
例2 已知数列{an } 中，a1=1,a2=2,an=3an－1+an－2
解: 由已知得 a1=1,a2=2，
a3=3a2+a1=7，
a4=3a3+a2=23. 所以
an 的前4项为1,2,7,23.