二次函数的实际应用(教师版)
二次函数在实际问题中的应用复习教案
二次函数在实际问题中的应用一、知识回顾二次函数是一种常见的函数形式。
其一般式为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是实系数，a≠0。
在二次函数图像的右开口和左开口两种情况下，其又有不同的性质：1.右开口。
此时 a>0，二次函数在顶点处取得最小值，最小值等于 c-b^2/(4a)。
2.左开口。
此时 a<0，二次函数在顶点处取得最大值，最大值等于 c-b^2/(4a)。
在实际问题中，用二次函数可以描述很多现象。
下面就来看看具体的应用。
二、实际问题中的应用1.水桶倒水有一个体积为 V 的圆柱形水桶，现在要倒掉其中的水，当水流速度为 v 时，需要 t 秒才能将桶内的水倒光。
现在需要求出水面下降深度 h 随时间 t 的变化关系。
分析：设最初水面为 y=0，水倒光时水面到桶底的距离为 h0。
可知 h(t)=h0-Vt/S，其中S 是底面积。
由于水的体积随时间的变化遵循等速度变化规律，即 V=Stv，将其代入 h(t) 中得到 h(t)=h0-tv。
得到与时间 t 的关系式后，可化为二次函数形式，即 h(t)=-\frac{v}{2}t^2+h0。
此时二次函数是左开口的，其最大值为 h0，即水面下降到最大深度时的位置。
2.抛物线运动有一个物体从平地上以初速度 v0 竖直向上抛，忽略空气阻力，球的落地时间为 t0。
现在需要求出球的最高高度和以及任意时间离落地面的高度 h(t)。
分析：在竖直上抛运动过程中，球的高度随时间的变化遵循自由落体公式 h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t。
由于自由落体是二次函数，且此时为右开口，所以球的最高高度为 h_max=v0^2/(2g)。
而将 t0 代入二次函数中，可以得到球落地时的高度 h0，即 h0=-\frac{1}{2}gt0^2+v0t0。
再将 h(t) 化为二次函数形式：h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t0+\frac{1}{2}gt0^2，此时是左开口的二次函数形式。
高中数学教案：二次函数的应用
高中数学教案：二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的内容之一，它的应用广泛且实用。
在日常生活和各个领域，我们都可以找到二次函数的应用。
本文将以实际例子为基础，分析二次函数在日常生活、物理学和经济学中的应用。
一、二次函数在日常生活中的应用1. 车辆行驶在日常生活中，我们常常需要计算车辆的加速度和速度，这就涉及到二次函数的应用。
例如，假设一辆汽车做匀加速运动，我们可以使用二次函数来描述它的加速度和速度之间的关系。
2. 抛物线的运动轨迹抛物线是二次函数的一种特殊形式，它在日常生活中的应用非常广泛。
例如，当我们玩投篮游戏时，篮球的运动轨迹就可以用抛物线来描述。
同样地，当我们踢足球或者击打网球时，球的运动轨迹也可以用二次函数来表示。
3. 建筑设计在建筑设计中，二次函数被广泛用于描述建筑物的形状和结构。
比如，拱形桥、拱顶建筑和溜冰场的设计中，都需要利用二次函数来确定形状和结构的稳定性。
二、二次函数在物理学中的应用1. 自由落体运动在物理学中，自由落体运动是一个常见的研究对象。
通过研究自由落体物体的运动规律，我们可以用二次函数来描述物体下落的高度和时间之间的关系。
2. 弹性碰撞在物理学中，弹性碰撞是一个重要的概念。
当两个物体发生碰撞时，它们的运动轨迹可以使用二次函数来描述。
通过分析二次函数的性质，我们可以计算碰撞前后物体的速度和能量转化等相关参数。
3. 摆钟的摆动物理学中的摆钟也可以用二次函数来描述其摆动的规律。
通过分析摆钟的角度和时间之间的关系，我们可以得到摆钟的周期、频率和振幅等重要参数。
三、二次函数在经济学中的应用1. 成本与收入分析在经济学中，企业的成本和收入是决定其经营状况的重要因素。
二次函数可以用于描述企业的成本与收入之间的关系。
通过分析二次函数的图像，我们可以确定企业的最低成本和最大收入点，从而实现最优经营策略。
2. 等量曲线分析在经济学中，等量曲线是描述消费者喜好和需求关系的重要工具。
二次函数可以用于描述等量曲线的形状和特征。
初中数学八九年级下册二次函数的实际应用教案Word版
北师大版初中数学八九年级下册《二次函数的实际应用》教案（1）【教学目标】1、知识与技能：学会把一些简单的实际生活中的二次函数问题抽象转化为数学问题，并能应用二次函数的相关性质解决问题，能进一步熟练掌握二次函数解析式的各种求法。
2、过程与方法：（1）以学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，培养学生分析问题和解决问题的能力。
（2）通过小组合作探索，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
3、情感态度与价值观：体验函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，从实践动手当中，让学生产生对数学的兴趣，从而培养学生观察和推理能力，体验主动探究的成功快乐。
【重点和难点】重点：理解实际问题中的问题背景，弄清问题中相关量的关系，建立适当的数学模型，并把实际问题转化为数学问题。
难点：如何把实际问题抽象转化为数学问题。
【教学方法】学生在教师创设的情景中以问题为中心进行自主探究。
【教学过程】二次函数在实际中的应用十分广泛，利润问题在我们的生活中又无处不在，它们都与二次函数密不可分，今天就让我们一起来探索与二次函数有关的实际应用问题。
（一）师生协作，探索问题。
例1：为配合科技下乡工作全面开展，市场调研部对“大棚西瓜”去年的市场行情和生产情况进行了调查，提供了如下两个信息图，如甲、乙两图。
注甲乙两图中的每个黑心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，甲图的图像是线段，乙图的图像是抛物线段。
请你根据图像提供的信息说明。
（1）在6月份出售这种西瓜，每千克的收益是多少元？（2）如果你是调研员，为了每千克有最大收益，你会指导瓜农最好在哪个月出售这种西瓜？说明理由。
在教师的引导下，学生自主研究、解答本题，并请学生说出解题思路以及答案，师生共同研究，引导学生解决实际问题，在此同时，培养用动态的观点看待一些事情，提高学生的建模能力，以及渗透数形结合的思想方法。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
二次函数实际应用(2014-2015)-教师版
中考解决方案二次函数实际应用学生姓名：上课时间：内容基本要求略高要求较高要求三了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题模块一利润和增长率问题【例1】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）252061252y x⎛⎫=--+⎪⎝⎭,x为整数，且20x<【解析】(1)若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则25(30020)(6040)20()61252y x x x=+--=--+在确保盈利的前提下,则20x<,因为件数是正整数的，所以x为正整数，且20x<(2)由（1）可知，2520()61252y x=--+当52x=时有最大值因为x为正整数，所以2x=或3当2x=，3x=时，6120y=元当降价2或者3元时，每星期的利润最大，最大利润是6120元【例2】凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。
中考怎么考二次函数实际应用例题精讲（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为1y （元），但会减少2y 间包房租出，请分别写出1y 、2y 与x 之间的函数关系式。
二次函数的实际应用教案
二次函数的实际应用教案教案：二次函数的实际应用教学目标：1. 了解二次函数的基本形式及相关概念；2. 掌握二次函数在实际生活中的应用；3. 培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学准备：1. 教材《高中数学》；2. 教学课件。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT展示一些实际生活中使用二次函数的例子，如抛物线的运动轨迹、喷泉的水柱高度变化等，引起学生兴趣；2. 提问引导学生思考：你们平时还能想到哪些实际应用二次函数的场景？二、讲解二次函数的基本形式及相关概念（10分钟）1. 引入二次函数的基本形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0；2. 解释二次函数图像的特点：抛物线；3. 讲解二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向等概念。
三、应用-抛物线的运动轨迹（15分钟）1. 分析问题：如果给定一个抛物线的开口方向、顶点坐标或者对称轴，如何写出对应的二次函数表达式？2. 以抛物线的运动轨迹问题为例，展示在不同条件下如何确定二次函数的表达式；3. 提供实际问题，在教师的指导下，让学生自行思考并提出解决思路。
四、应用-喷泉的水柱高度变化（15分钟）1. 分析问题：如何描述喷泉水柱的高度变化规律？2. 引导学生思考水柱高度与时间的关系，培养学生建立函数模型的能力；3. 结合实际问题，让学生动手求解并验证。
五、应用-拱桥的设计（15分钟）1. 介绍拱桥的结构特点及设计原理；2. 提示学生思考：如何利用二次函数来描述拱桥的形状？3. 让学生根据给定条件，设计拱桥的二次函数模型并绘制图像。
六、拓展应用（15分钟）1. 提供更多的实际问题，让学生运用所学知识进行解决，如抛物线的最值问题、抛物线的交点问题等；2. 引导学生思考如何将二次函数的应用拓展到其他学科和领域。
七、总结归纳（10分钟）1. 学生小结所学内容，对二次函数的实际应用进行总结；2. 教师进行概念澄清和补充说明；3. 回答学生提出的问题。
初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)
![初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/5a424396f5335a8103d22058.png)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二次函数与一次函数及反比例函数的综合二次函数的几何变换二次函数应用二次函数与方程二次函数与不等式二次函数的实际应用一．直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()2h ah bh c ++，. （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切；【方法技巧】【知识梳理】③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（4）直线与抛物线的交点，可以联立方程来求交点，交点的个数可以通过判断联立方程的△的正负性，可能有0个交点、1个交点、2个交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，12AB x x =- 二、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.三、二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，（1）若为一般式2y ax bx c =++，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位， 则解析式为()()2y a x m b x m c n =±+±+±（2）若为顶点式()2y a x h k =-+，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()2y a x h m k n =-±+±（3）若为双根式()()12y a x x x x =--，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()12y a x x m x x m n =-±-±±四、二次函数图象的几何变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、二次函数与实际应用 1、二次函数求最值的应用依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解． 2、利用图像信息解决问题 两种常见题型：（1）观察点的特点，验证满足二次函数的解析式及其图像，利用二次函数的性质求解； （2）由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等． 3、建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。
高中数学教案：二次函数的应用
高中数学教案：二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的一章内容，它广泛应用于各个领域，如物理、经济和工程等。
本文将通过几个具体案例来介绍二次函数在实际问题中的使用。
分别从物理、经济和工程三个方面进行说明。
一、物理方面的应用1. 炮弹的抛射问题在炮弹抛射问题中，我们可以通过建立合适的模型来描述炮弹的运动轨迹。
假设炮弹被发射时刻为t=0，以竖直向上为正方向建立坐标系。
通过观察实验数据或利用已知条件，我们可以确定炮弹的初速度、发射角度和重力加速度等相关参数。
根据牛顿定律和运动学公式，可以得到炮弹高度与时间t之间的关系式： h(t) = -gt^2/2 + v_0t + h_0其中g表示重力加速度，v_0是炮弹的初速度，h_0为起始高度。
通过该关系式，我们可以计算炮弹在任意时刻的位置和高度，进而分析其飞行轨迹和落点等相关信息。
2. 平抛运动问题在平抛运动问题中，我们研究的是水平方向和竖直方向的分离运动。
假设物体从地面上抛出时刻为t=0，以竖直向上和水平向右为正方向建立坐标系。
利用牛顿定律和运动学公式，可以得到物体在水平方向和竖直方向上的位移与时间t之间的关系：x(t) = v_0x * ty(t) = -gt^2/2 + v_0y * t + h_0其中v_0x表示物体在水平方向上的初速度，v_0y表示物体在竖直方向上的初速度，h_0为起始高度。
通过这两个关系式，我们可以计算任意时刻物体在水平方向和竖直方向上的位置，并进行综合分析。
二、经济方面的应用1. 销售预测在经济领域中，企业通常需要根据历史销售数据来预测未来销售额。
二次函数可以提供一个较好的拟合模型来进行预测。
假设x表示时间（如月份）、y表示销售额。
根据已知的一些销售数据点，我们可以找到最佳拟合曲线，并利用该曲线来预测未来的销售额。
通过建立二次函数模型，可以更好地理解销售趋势和变化规律，并进一步制定合理的销售策略。
2. 成本与利润分析在企业经营中，了解成本与利润之间的关系对决策至关重要。
二次函数在简单实际问题中的应用(教学设计)
二次函数在简单实际问题中的应用（教学设计）二次函数在简单实际问题中的应用(教学设计) 学习目标:1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识(2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型(教与学的过程新课引入:我们本节课学习两个知识点:知识点一、列二次函数解应用题知识点。
二、建立二次函数模型求解实际问题。
一、自主学习自我检测: 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式(对于应用题要注意哪些步骤，请根据提示列出步骤:(1) ，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)((2) ，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确((3) ，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数((4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5) 所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案((6)写出答案(要点诠释:常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.二，合作交流组内互测:1，一抛物线型拱桥，建立了如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为:y=-1/25x2+16(1)拱桥的跨度是多少,(2) 拱桥最高点离水面几米,(3) 一货船高为12米，货船宽至少小于多少米时，才能安全通过, 解:(1) 令-1/25x2+16=0，解得X1=20,X2=-20, A(-20，0) B(20，0),AB,=40，即拱桥的跨度为40米。
(2)令x=0，得y=16，即拱桥最高点离地面16米(3)令-1/25x2+16=12,解得X1=-10，X2 =10, ,x1-x2,=20.即货船宽应小于20米时，货船才能安全通过。
初三数学暑期讲义 第03讲.二次函数实际应用 教师版
卖花进行中漫画释义满分晋级3函数13级 二次函数的基本解析式与图象变换函数14级 二次函数 实际应用 函数15级 二次函数 图象综合应用暑期班 第二讲暑期班 第三讲秋季班第三讲二次函数实际应用中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．【例1】 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．（2012扬州）EDB C A EDBC A【解析】 如图，连接DE ．设x AC =则x BC -=2，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝x 22，CE ＝()x -222， ∴∠DCE ＝90°， 故()()1122221212222222+-=+-=-+=+=x x x x x CE DC DE ， 当1=x 时，2DE 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1．夯实基础模块一 实际应用问题知识导航【例2】 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
第4课二次函数的实际应用(面积最值问题)(教师)
∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵，∴
当x=2.5时，S有最大值12.5
12．(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳 子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部 刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．
cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为
cm2．
16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的 解析式；
（2）求支柱 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)， 其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔 忽略不计)？请说明你的理由．
[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米 的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边 形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种 材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所 示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并 结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解： ∵ ∴ ∵二次函数的顶点不在自变量的范围内， 而当内，随的增大而减小， ∴当时， (平方米) 答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．
《二次函数的实际应用》教案
《二次函数的实际应用》教案
一、教学目标
1、能够正确理解二次函数的定义及其特性；
2、了解二次函数在各种领域的实际应用；
3、对二次函数掌握有一定的计算能力和分析思维能力；
4、了解二次函数的基本性质，学会运用到实际应用中。
二、教学重点
1、正确理解二次函数的定义及其特性；
2、掌握各种二次函数实际应用的实践操作；
3、掌握有关二次函数的基本性质，学会运用到实际应用中。
三、教学准备
1、多媒体课件、教学设备；
2、多图表、模型；
3、实际应用例题材料；
4、教学示范示例。
四、教学过程（计划约2课时）
第一课时
（一）导入
1、根据全班学生的答案，进行“二次函数”简单介绍；
2、引导学生思考：你知道二次函数在哪些领域有应用吗？
（二）讲授
1、认识二次函数的定义及其特性：
（1）二次函数的定义：二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数的函数；
（2）二次函数的特性：
a.图像性质：由于二次函数可分解为一元二次多项式，因此其对应的函数图像为“U”形；
b.函数表达式性质：a>0,则判断式D=b^2-4ac<0,函数单调递减；a<0,则判断式D=b^2-4ac>0,函数单调递增；
2、了解二次函数在各个领域的实际应。
人教版九年级数学教案：22.3二次函数的实际应用
-难点举例：在分析二次函数图像的开口方向、顶点位置等性质时，学生可能会难以将这些性质与实际问题中的条件相对应。
-解析式的求解与变换难点：如何正确求解二次函数的解析式，并在需要时进行恰当的变换。
-难点举例：在变换二次函数图像时，学生可能会对变换规则记忆不清，导致解析式变换错误。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数图像的性质和二次函数模型的建立这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次函数在实际问题中的应用。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，采用适当的教学方法，如直观演示、案例分析、小组讨论等，帮助学生深入理解核心知识，并突破学习难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数的实际应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算最大高度或最远距离的情况？”（如抛物线运动的球类）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数在实际问题中的奥秘。
此外，在学生小组讨论时，我发现有些学生在分析问题时思维不够开阔，容易陷入定势。为了帮助他们拓展思维，我尝试提出一些开放性的问题进行引导。从成果分享来看，这种方法还是有一定效果的。今后，我将继续在这方面进行尝试和探索，以期提高学生们的创新思维能力。
然而，我也发现，在课堂时间安排上，实践活动和小组讨论的环节相对紧张，有些学生可能没有足够的时间进行深入思考和交流。为了更好地让学生们消化吸收所学知识，我考虑在下一节课适当调整教学进度，确保每个人都有充足的时间参与讨论和实践。
专题18 二次函数的应用(老师版)
专题18二次函数的应用知识归纳二次函数的应用题型主要包含求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。
解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。
本专题主要对二次函数的应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.常考题型专练一、填空题1．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B 处，则小丁此次投掷的成绩是米．【答案】7【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，由待定系数法求得抛物线的解析式，令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．【解答】解：建立坐标系，如图所示：由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，把A（0，1.68）代入得：4a+2＝1.68，解得a＝﹣0.08，∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），∴小丁此次投掷的成绩是7米．故答案为：7．【总结】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．2．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y＝﹣x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为米．【答案】10【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．【详解】解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点A（0，），点B（8，），代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得．∴y＝﹣x2+x+，当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．∴该学生推铅球的成绩为10m．故答案为：10．【总结】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．3.某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式为【答案】y＝﹣10x2+1400x﹣40000．【分析】根据总利润＝每千克利润×销售量，可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．【详解】解：由题意可得，y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000，即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是y＝﹣10x2+1400x﹣40000．所以答案为：y＝﹣10x2+1400x﹣40000．【总结】本题考查了二次函数的应用，明确题意、熟练掌握用给定关系及利润的相关公式求解函数表达式是解题的关键．4．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系式应表示为________．【答案】2242y x x =++或22(1)y x =+【分析】根据平均增长问题，可得答案．【详解】解：y 与x 之间的关系应表示为y＝2（x+1）2．故答案为：y＝2（x+1）2．【总结】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x 倍是原来的（x+1）倍．5.如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是米．【答案】10【分析】成绩就是当高度y=0时x 的值，所以解方程即可求解本题．【详解】解：当y=0时，212501233x x -++=，解得：x 1=10，x 2=-2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米；故答案为：10．【总结】本题主要考查二次函数的应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想．二、解答题1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？【答案】(1)26(2)当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．【分析】（1）由题意可直接进行求解；（2）设每件商品降价x 元，每天销售利润为w 元，由题意可列出函数关系式，进而问题可求解．【详解】(1)解：由题意得：平均每天销售数量为202326+⨯=（件）；故答案为26；(2)解：设每件商品降价x 元，每天销售利润为w 元，由题意得：()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+，∵每件盈利不少于25元，∴4025x -≥，解得：15x ≤，∵-2＜0，对称轴为直线15x =，∴当15x =时，w 有最大值，答：当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．【总结】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．2.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y＝()()821202030mx m x n x ⎧-≤<⎪⎨≤≤⎪⎩，x 为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入﹣成本）．（1）m＝，n＝；（2）求每天的利润W 元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？【答案】（1）12-，27；（2）W＝23102720(120)36216(2030)x x x x x ⎧-++≤<⎨+≤≤⎩，且x 为正整数；（3）17天【分析】（1）根据“第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克”将x 和y 的值代入相应的函数解析式求解；（2）先求得第x 天的销售量，然后根据利润＝（售价﹣成本价）×销售量分段列出函数解析式；（3）结合一次函数和二次函数的性质及利润不低于1224元的条件分析求解．【详解】解：（1）∵第14天的售价为34元/千克，∴当x＝14时，y＝34，∵1＜14＜20，∴把x＝14，y＝34代入y＝mx﹣82m 中，14m﹣82m＝34，解得：m＝﹣12，∵第27天的售价为27元/千克，∴当x＝27时，y＝27，∵27＞20，∴把y＝27代入y＝n 中，得：n＝27，故答案为：﹣12，27；（2）由题意，第x 天的销售量为∴第x 天的售价为y＝()141(120)2272030x x x ⎧-+≤<⎪⎨⎪≤≤⎩，∴当1≤x＜20时，W＝（﹣12x+41﹣21）（6x+36）＝﹣3x 2+102x+720，当20≤x＜30时，W＝（27﹣21）（6x+36）＝36x+216，综上，W＝()23102720(120)362162030x x x x x ⎧-++≤<⎪⎨+≤≤⎪⎩，且x 为正整数，（3）当1≤x＜20，W＝1224时，﹣3x 2+102x+720＝1224，解得：x 1＝6，x 2＝28，∵﹣3＜0，∴当W≥1224时，6≤x＜20，且x 为正整数，∴x 可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天，当20≤x≤30，W＝1224时，36x+216＝1224，解得：x＝28，∵36＞0，∴当W≥1224时，28≤x≤30，且x 为正整数，∴x 可取28，29，30共3天，14+3＝17（天），综上，当天利润不低于1224元的共有17天．【总结】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键．3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【答案】（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线221:8C y x bxc =-++即可求解；（2）高度差为1米可得21=1C C -可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线2117C :1126y x x =-++可知坡顶坐标为61(7,12，此时即当7x =时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即2161773812y b c =-⨯++≥+，由此即可求出b 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线221:8C y x bx c =-++得，2=4144=88c b c ⎧⎪⎨-⨯++⎪⎩，解得：=43=2c b ⎧⎪⎨⎪⎩，∴抛物线2C 的函数解析式213482y x x =-++；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，∴221317(4)(1)182126x x x x -++--++=，解得：14x =-（不合题意，舍去），212x =，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵点A（0，4），∴抛物线221:48C y x bx =-++，∵抛物线22117161C :1=(7)1261212y x x x =-++--+，∴坡顶坐标为61(7,)12，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，∴21617743812y b =-⨯++≥+，解得：3524b ≥．【总结】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．4．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB 时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？【答案】（1）y＝﹣x 2；（2）5【分析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点B、D 的横坐标，设抛物线解析式为y＝ax 2，然后可进行求解；（2）由（1）可得CD 距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解．【解答】解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为y＝ax 2，点D 的坐标为D（5，m），则B（10，m﹣3），由抛物线经过点D和点B，可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为＝5（小时）．∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．【总结】本题考查了二次函数的应用，明确题意、熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【答案】（1）y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）（2）不能，理由见详解【分析】由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【详解】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），又∵m＝162﹣3x，∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），即y＝﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y＝﹣3x 2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y＝﹣3x 2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【总结】本题考查了二次函数的应用，明确题意、熟练掌握用给定关系及利润的相关公式求解函数表达式是解题的关键．6.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m，水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P 水平距离3m，身高1.6m 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)()20.15 3.2y x =--+(2)2或6m【分析】（1）根据顶点()5,3.2，设抛物线的表达式为()25 3.2y a x =-+，将点()0,0.7P ，代入即可求解；（2）将 1.6y =代入（1）的解析式，求得x 的值，进而求与点()3,0的距离即可求解．【详解】(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为()5,3.2，设抛物线的解析式为()25 3.2y a x =-+，将点()0,0.7代入，得0.725 3.2a =+，解得0.1a =-，∴抛物线的解析式为()20.15 3.2y x =--+，(2)由()20.15 3.2y x =--+，令 1.6y =，得()21.60.15 3.2x =--+，解得121,9x x ==，爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P 水平距离3m，∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为312-=(m)，或936-=(m)．【总结】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．7．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t 为整数）（1）试求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？【答案】（1）p =+30(0≤t ≤40)＜t ＜80)；（2）第20天的销售利润最大，最大日销售利润为1800元．【分析】（1）当0≤t≤40时，设销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+b，根据待定系数法求解即可，当40＜t＜80时，p＝40，即可求解；（2）设日销售利润为w 元，分别求出分段函数中w 的最大值，即可求解．【详解】解：（1）当0≤t≤40时，设销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+b，∴30=b 40=40k +b ，∴b =30k =14，∴p =14t+30，当40＜t＜80时，p＝40，综上所述：p=+30(0≤t≤40)＜t＜80)；（2）设日销售利润为w元，当0≤t≤40时，w＝（p﹣20）•y＝（14t+30﹣20）（﹣2t+160）=−12t2+20t+1600=−12（t﹣20）2+1800，∵−12＜0，∴当t＝20时，w有最大值为1800元，当40＜t＜80时，w＝（p﹣20）•y＝20（﹣2t+160）＝﹣40t+3200，∵﹣40＜0，∴w＜﹣40×40+3200，即w＜1600，∴综上可得，第20天的销售利润最大，最大日销售利润为1800元．【总结】本题考查了二次函数的应用，明确题意、熟练掌握用给定关系及利润的相关公式求解函数表达式是解题的关键．。
二次函数的实际应用优秀教案
二次函数的实际应用优秀教案教案标题：二次函数的实际应用优秀教案教案概述：本教案旨在通过实际应用的方式，引导学生理解和应用二次函数的概念。
通过生动有趣的教学活动和实际案例分析，帮助学生掌握二次函数的基本特征、图像和解析式，并能够将其应用于实际问题中。
教学目标：1. 理解二次函数的定义、基本特征和图像。
2. 掌握二次函数的解析式及其变形。
3. 能够将二次函数应用于实际问题中，解决相关的实际应用题。
4. 培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
教学重点：1. 二次函数的基本特征和图像。
2. 二次函数的解析式及其变形。
3. 实际应用题的解决方法。
教学难点：1. 如何将二次函数应用于实际问题中。
2. 如何通过图像和解析式解决实际应用题。
教学准备：1. 教师准备：a. 相关教学资源和案例分析。
b. 计算器和投影仪。
2. 学生准备：a. 笔记本和铅笔。
b. 计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过一个生动有趣的实例引入二次函数的实际应用，激发学生的学习兴趣。
二、概念讲解与图像展示（15分钟）1. 教师简要介绍二次函数的定义和基本特征。
2. 通过投影仪展示二次函数的图像，引导学生观察和分析图像的特点。
三、解析式讲解与例题演示（20分钟）1. 教师详细讲解二次函数的解析式及其变形。
2. 通过几个例题演示，引导学生掌握解析式的应用方法。
四、实际应用案例分析（25分钟）1. 教师提供一些实际应用的案例，如抛物线运动、最值问题等。
2. 分组讨论，学生利用二次函数的知识解决实际问题。
3. 学生展示解题过程和答案，教师给予评价和指导。
五、练习与巩固（15分钟）1. 学生个人或小组完成一些相关练习题，巩固所学的知识和技能。
2. 教师适时给予反馈和指导。
六、总结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调二次函数的实际应用价值。
2. 鼓励学生拓展思维，思考更多实际问题与二次函数的关系。
教学延伸：1. 学生可以通过自己感兴趣的实际问题，进行二次函数的建模和解决，展示在课堂上。
《二次函数的实际应用》教案
《二次函数的实际应用》例1：某商场购进一批单价为20元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售（元／件）与产品每天的销售量y（件）之间的关系如下表：价格。
试销阶段每件产品的销售价假定每天销售件数y(件)与每件产品的销售价x（元／件）始终满足一次函数。
(1)试求y与x之间的关系式；(2)怎样定价才能使每天获得利润最大？每天的最大利润是多少元？(3)当销售价定为多少元时，每天利润150元？(4)为开拓市场，巩固顾客数量，该商场决定所有日用品利润率不超过40％，并给日用品销售经理下达这样的任务，这种日用品每天利润不能低于150元。
如果你是这个销售经理，你可以在什么范围定价？（结合函数图像确定取值范围）2．某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如甲乙两图，注甲乙两图中的每个黑心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，甲图的图像是线段，乙图的图像是抛物线段。
请你根据图像提供的信息说明。
（1）在三月份出售这种蔬菜，每kg的收益是多少元？（收益=售价－成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每kg的收益最大，说明理由。
3：在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上用栅栏修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，中间用栅栏隔开分别种两种不同的花卉，栅栏总长为60m（如图所示）。
若设花园的 BC 边长为 x (m)，花园的面积为 y (m2)。
（1）求y 与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到300m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当 x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？EF4．如图，在一块三角形区域ABC 中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC 内建造一个矩形水池DEFG ，如图的设计方案是使DE 在AB 上。
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二次函数的实际应用例1、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元） 答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【拓展延伸】1、（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式．⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(直接写出答案)．解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ．⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值． 当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元） （或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x16)35(12≤-≤x∴31≤x •≤34或36≤x≤39．例2、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式． (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000.(3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．【拓展延伸】1、(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．(3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x 28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．例3、春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。
九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x 天（201≤≤x 且x 为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x 天的收入y （元）与x （天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本）试说明⑵中的函数y 随x 的变化情况，并指出在第几天y 取得最大值，最大值是多少？【拓展延伸】1、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352b x a=-=. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ·································3分（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. (6)分（3）法一：∵10a=-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设成本为P（元），由题意，得：=-+20(10500)P x=-+x20010000∵200k=-<0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．例4、（2001•吉林）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？1（1时，求y（2（3解：∴∴故y（x-6当解得：x1=6+2根号39＞18，x2=6-2根号39（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，y=a（x-6）2+h还过点（0，2）点，代入解析式得：2=36a+h0=144a+h解得：a=-154h=83此时二次函数解析式为：y=-1/54（x-6）2+8/3此时球若不出边界h≥8/3当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），y=a（x-6）2+h还过点（0，2）点，代入解析式得：2.43=a(9-6) 2+h2=a(0-6) 2+h解得：a=-432700h=19375此时球要过网h≥193/75∵8/3＞193/75∴h≥8/3故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：h≥8/32、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点O 的一条抛物线。
在跳某规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面32/3米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的解式；例5（1（2（3得 （2得y=5.64．∵5.64＞4.5，∴货运卡车能通过．（注：如果只代x=1.2，需说明对称性；只代x=1.2没说对称性扣1分）（3）根据题意，把x=±2.6代入解析式，得y=4.31．∵4.31＜4.5，∴货运卡车不能通过第24题图【拓展延伸】1、如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米.(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时.水位以每小时0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？2、某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的米．(1)物线(2)解:（2。