江苏省丹阳高中高中数学 课时8 向量的减法学案 苏教版必修5
向量的减法运算(教学设计)
6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计类比实数x的相反数对于向量a，你能定义-吗？它有哪些a()-=+-,即减去一a b a b个向量相当于加上这个向量的相反向量.已知向量a和b，教师动手实践理解几何意义a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab,即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.通过探究让[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？|a+b|＝OC，|ab|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△ABC内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求作向量b＋c－a.教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号).(2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →；②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用 例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).教师9：展示例题2．学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON →＝－(OM →＋ON →)≠MN →；③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →， 故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂练习1: 掌握作两个向量的差的基本方法．2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →.DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂小结[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )A.MP →B.NP →C.0D.MN →2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，教师12：提出问题7． 学生13：思考.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.C 2.B 3.AB →4.2师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:。
数学高中向量的减法教案
数学高中向量的减法教案
教学重点与难点：向量的减法运算规则，向量的减法计算。
教学准备：教材、教具、黑板、粉笔。
教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师向学生简单介绍向量的减法概念，并通过例题引出向量的减法规则。
二、示范与讲解（10分钟）
1. 向量的减法规则：将被减向量取相反向量，再进行加法运算。
2. 用具体的例子进行详细讲解，让学生理解向量的减法运算规则。
三、练习与巩固（15分钟）
1. 让学生做一些简单的向量减法计算练习题，巩固所学的知识。
2. 教师及时纠正学生的错误，指导学生正确解题。
四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，让学生总结向量的减法规则，再次强调向量减法的步骤。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：
本节课主要围绕向量的减法运算展开，通过示范、讲解、练习等多种方式，让学生掌握向量的减法规则。
在教学过程中，要注意引导学生理解向量减法的意义，避免简单地机械运算，鼓励学生多思考多实践，提高数学思维能力。
苏教版高中数学向量教案
苏教版高中数学向量教案年级：高中教学目标：1. 了解向量的基本概念和性质；2. 掌握向量的加法、减法及数量乘法规则；3. 能够解决与向量相关的实际问题；4. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 向量的定义和表示；2. 向量的加法、减法和数量乘法；3. 向量的线性运算；4. 向量的模长和方向角；5. 向量的数量积和夹角余弦公式；6. 向量的应用：平面向量的坐标、空间直角坐标系中的向量等。
教学重点：1. 向量的基本概念和性质；2. 向量的加法、减法及数量乘法规则；3. 向量的数量积和夹角余弦公式。
教学难点：1. 向量的线性运算；2. 向量的应用：平面向量的坐标、空间直角坐标系中的向量。
教学准备：1. 电子白板、投影仪等教学设备；2. 教学PPT或教学板书；3. 相关教学资源和练习题；4. 实例题目和解析。
教学过程：第一步：导入新知识（5分钟）教师向学生介绍向量的概念，并通过实际例子引导学生了解向量的表示和性质。
第二步：向量的基本运算（15分钟）1. 向量的加法和减法规则；2. 向量的数量乘法规则；3. 向量的线性运算。
第三步：向量的模长和方向角（10分钟）学生学习如何计算向量的模长和方向角，并通过实例进行练习。
第四步：向量的数量积和夹角余弦公式（15分钟）1. 向量的数量积定义和性质；2. 向量的夹角余弦公式；3. 实例演练。
第五步：向量的应用（15分钟）1. 平面向量的坐标表示；2. 空间直角坐标系中的向量表示；3. 实际问题解析。
第六步：课堂练习和反馈（10分钟）教师出示相关练习题，学生进行课堂练习，并及时进行讲解和答疑。
第七步：总结复习（5分钟）教师对今天学习的内容进行总结，并强调重点和难点，为下节课的学习做好铺垫。
教学反思：通过本节课的教学，学生对向量的基本概念和运算规则有了更深入的了解，能够应用到实际问题中解决。
同时，课堂练习和实例演练有助于巩固学生的学习成果，培养其解决问题的能力。
高一数学教案[苏教版]向量的加法与减法
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第二课时 向量的加法教学目标：掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义，能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量，理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.教学重点：向量加法的平行四边形法则与三角形法则.教学难点：对向量加法定义的理解.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.另外，向量和我们熟悉的数一样可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法. Ⅰ.讲授新课我们先给出向量加法的定义1.向量加法的定义已知a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b .即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.求两个向量和的运算叫向量的加法.2.向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则，运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.3.向量加法的平行四边形法则如图，由于平行四边形对边平行且相等，则可把向量b 的起点由B 移到A ，即AD →＝ BC →＝b ，则：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →即：在平面内过同一点A 作AB →＝a ，AD →＝b ，则以AB 、AD 为邻边构造平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线向量AC →即a 与b 的和，这种方法即为向量加法的平行四边形法则.说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.4.向量加法所满足的运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )说明：运算律验证引导学生完成.下面我们通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法则与平行四边形法则.［例1］如图，已知向量a ，b ，求作向量a ＋b .分析：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移为两向量同起点情形.作法一：设a ＝AB →，b ＝CD →，过点B 作BE →＝CD →＝b ，则根据向量加法的三角形法则可得AE →＝AB →＋BE →＝a ＋b作法二：过A 作AE →＝CD →＝b ，然后根据向量加法的平行四边形法则，以AB 、AC 作出的平行四边形的对角线AF →＝a ＋b .评述：在求作两已知向量的和向量时，对于向量加法的三角形法则和平行四边形法则，学生可根据具体情况灵活运用.［例2］一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解：如图，设AD →表示船向垂直于对岸行驶的速度，AB →表示水流的速度，以AD 、AB 作邻边作ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度.在Rt ⅠABC 中，｜AB →｜＝2，｜BC →｜＝2 3 ，Ⅰ｜AC →｜＝｜AB →｜2＋｜BC →｜2＝22＋（2 3 ）2 ＝4Ⅰtan CAB ＝232＝ 3 ，ⅠⅠCAB ＝60° 答：船实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与流速间的夹角为60°.评述：此题说明在物理学中有关速度合成等问题可以运用向量的知识来解决.［例3］试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明其中一组对边平行且相等，由向量相等的定义可知，只需证明其中一组对边对应的向量相等.解析：已知ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，AO =OC ，DO =OB .求证：ABCD 是平行四边形.证明：如图，由向量的加法法则，有AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →.又已知AO →＝OC →，DO →＝OB →. ⅠAB →＝DC →.这说明AB 与DC 平行且相等.故ABCD 是平行四边形.Ⅰ.课堂练习课本P 63练习1，2，3，4.Ⅰ.课时小结通过本节学习，要求大家在理解向量加法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，并了解向量加法在物理学中的应用.Ⅰ.课后作业课本P 68习题 1，2，3。
高中数学向量减法教案
高中数学向量减法教案
教学目标：
1. 了解向量减法的定义与性质；
2. 熟练掌握向量减法的运算方法；
3. 能够解决相关的数学问题。
教学重点：
1. 向量减法的定义；
2. 向量减法的运算方法。
教学难点：
1. 理解向量减法的几何意义；
2. 运用向量减法解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备课件、黑板、白板笔等教学工具；
2. 学生准备笔记本、铅笔等学习工具。
教学步骤：
一、导入：通过引导学生回顾前几节课的知识，复习向量的定义和向量的加法，激发学生对本节课内容的学习兴趣。
二、讲解：介绍向量减法的定义和性质，引导学生理解向量减法的几何意义，并演示向量减法的运算方法。
三、练习：让学生进行相关的练习，包括计算向量的减法并求解具体的数学问题。
四、拓展：引导学生思考向量减法在实际生活中的应用，并提出相关问题，让学生运用向量减法解决实际问题。
五、总结：对本节课的内容进行总结，强调向量减法的重点及运用方法，帮助学生加深对向量减法的理解。
六、作业：布置相关的作业，让学生巩固向量减法的知识点，并在下节课前完成作业。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握向量减法的定义与性质，熟练运用向量减法的运算方法，并能够解决相关的数学问题。
同时，应该能够加深对向量减法的理解，提高解决实际问题的能力。
《向量的减法运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.2 向量的减法运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第3课时。
向量的减法运算是平面向量线性运算的一种。
在学完向量的加法运算及几何意义后,本节课是对上节课内容的一个转换。
学生在上节课已经学习了平面向量的加法运算及几何意义,会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量,具备了一定的作图能力。
这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。
类比数的减法运算时,应让学生注意对“被减数”的理解。
本节主要学习相反向量，向量的减法的三角形法则。
通过类比数的减法,得到向量的减法及几何意义,培养了学生的化归思想和数形结合思想。
这样,不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解,也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。
【教学目标与核心素养】A.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用；B.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；C.会求两个向量的差；D.培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想。
【教学重点】：向量减法的运算和几何意义；【教学难点】：减法运算时差向量方向的确定。
【教学过程】注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.2.向量加法的平行四边形法则？注意：起点相同.共线向量不适用。
二、探索新知思考1：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？【答案】实数a 的相反数记作-a .思考2.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？如何定义向量的减法呢？【答案】如。
1.相反向量的定义：设向量，我们把与长度相同，方向相反的向量叫做的相反向量。
记作：。
规定：的相反向量仍是。
练习：（1） ；（2） ； ； （3）设与互为相反向量，那么 ，= ，= 。
【答案】（1） （2） （3）2. 向量减法的定义：AC BC AB b a =+=+OC OB OA b a =+=+)(,,y x y x R y x -+=-∈设a a a a -00=--)(a =-+)(a a =+-a a )(a b =a b b a +a 00b -a -0向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即。
江苏省丹阳高中高中数学 课时9 向量的数乘学案 苏教版必修5
课时4 向量的数乘【学习目标】要求学生掌握和理解实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的条件并会判断两向量共线的条件。
【知识梳理】 1．实数与向量的积：定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，并规定：1︒2︒ 3︒．运算定律：结合律：第一分配律： 第二分配律：2．向量共线定理：【例题选讲】1．已知向量a 、b 求作向量-2.5a 和2a -3b。
ab例2．计算：（1）3（a -b ）-2（a+2b ）（2）2（2a +6b -c ）-3（-3a +4b -2c ）（3）(m+ n)(a +b )-(m+ n)(a -b)例3．已知向量a =21e -22e ，b =-3（2e -1e ），求证：a，b 是共线向量。
例4．已知MP =41e +22e ，PQ =2e+21e ，求证：M 、P 、Q 三点共线。
【归纳反思】1．在代数里，几个相等的实数相加，便得到几倍实数的概念，将它推广到几个相等的向量相加，就是正整数n 与向量a的积，关于数乘向量的这种运算，若将n 推广到实数λ，就得到实数λ与向量a的积的概念。
2．数乘向量可以像实数多项式那样去运算。
3．实数λ与向量a 的积a λ是向量。
4．向量共线的等价条件是：,a b （0a ≠）共线⇔b a λ= （0a ≠ ）【课内练习】1．已知向量a 、b 是非零向量，在下列条件中，能使a、b 共线的是（1）2a -3b =4e 且a +2b =-3e （2）存在相异实数,λμ，使λa+μb =0 （3）x a+y b =0 （其中实数x,y 满足x+y=0）（4）已知梯形ABCD 中，其中,AB a CD b ==2．下列命题中，为真命题的是（1）a //b ⇔存在唯一的实数λ，使b =λa；（2）a //b⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+= ； （3）a与b 不共线⇔若120a b λλ+= ，则120λλ== （4）a与b 不共线⇔不存在实数12,λλ使120a b λλ+= 。
高中数学 第五章 复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积教学案 苏教版
第二十二教时教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。
过程：一、 知识（概念）的梳理：1． 向量：定义、表示法、模、几种特殊向量2． 向量的加法与减法：法则（作图）、运算律3． 实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义二、 例题：1． 若命题M ：=；命题N ：四边形ABB ’A ’是平行四边形。
则M 是N 的 （ C ）(A )充分不必要条件(B ) 必要不充分条件 (C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 解：若'AA ='BB ，则 |'AA |=|'BB |，且'AA , 'BB 方向相同∴AA ’∥BB ’ 从而ABB ’A ’是平行四边形，即：M ⇒N若ABB ’A ’是平行四边形，则|AA ’|=|BB ’|，且AA ’∥BB ’∴||=|| 从而=，即：N ⇒M2． 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：1︒CD BC AB ++ 2︒BD AC DB ++ 3︒CO OB OC OA -+--解：1︒ 原式= =+=++)(2︒ 原式= =+=++)(3︒ 原式= =+=+-=--+-)()()(3． a =“向东走5km ”，b =“向西走12km ”，试求a +b 的长度与方向。
解：如图：13125||22=+=(km ) tan ∠AOB =512 , ∴∠AOB = arctan 512 ∴a + b 的长为13km ，方向与成arctan 512的角。
A O B aba+b4． 如图：1︒已知a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
2︒已知a 、b 、c ，求作a + c - b5． 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0 解：原方程可化为：(2x - 3x ) + (-5a +21a ) + (4b -3b ) = 0 ∴x =29-a + b 6． 设非零向量a 、b 不共线，c =ka +b ，d =a +kb (k ∈R)，若c ∥d ，试求k 。
高中数学 第五章 向量、向量的加法、向量的减法综合练习教学案 苏教版
第四教时教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程： 一、 复习：1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量2︒向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 二、 1．处理《教学与测试》P135—136 第64课 （略）2． 处理《教学与测试》P137—138 第65课例一、 设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，则a + b 表示向东北走23km 解：= +AB233322=+=OB (km )例二、 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则：= +, = + 由已知：=, =∴AB = 即AB 与CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形例三、 在正六边形中，若= a , = b ，试用向量a 、b 将、、表示出来。
解：设正六边形中心为P则=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a + b=+= a + b + a + b由对称性：OD = b + b + aBa +b bO a AA BC3． 处理《教学与测试》P139—140 第66课 （略） 三、 有时间可处理“备用题”：例一、化简++++解：++++= ++++ =+++=FA DF AD ++=FA AF += 0例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？解：如图：船航行的方向是 与河岸垂直方向成30︒夹角， 即指向河的上游。
四、 作业：上述三课中的练习部分（选）上游 下游。
江苏省丹阳高中高中数学 课时12 向量的坐标表示与坐标运算(2)学案 苏教版必修5
课时7 向量平行的坐标表示（2）【学习目标】巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
【知识扫描】1．共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得b =λa .(a ≠)2．设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) 其中b ≠a , 则a ∥b (b ≠)⇔x 1y 2-x 2y 1=0注：（1）该条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 （2）向量共线的条件有两种形式：a ∥b (b ≠)01221=-=⇔y x y x λ 归纳: 向量平行的坐标表示要注意正反两方面，即 若1122(,),(,)a x y b x y == 则//⇔1221x y x y =⇔(0)a b b λ=≠【例题选讲】例1已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，（1）若ｕ＝３ｖ，求x ； （2）若ｕ∥ｖ，求x .例2．已知点A （1，1），B （-1，5）及12AC AB = ，12;2AD AB AE AB ==- ，求点C 、D 、E 的坐标，判断向量,,,AB AC AE AD 是否共线。
例3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0），（3，-1），（1，2），并且11,33AE AC BF BC == ， 求证：//例4．已知四点A （x ，0），B （2x,1）C(2,x),D(6,2x)。
(1)求实数x,使两向量AB ，CD共线；（2）当向量AB ，CD 共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一直线上？例5．设向量OA =（k,12），OB =(4,5),OC =(10,k),当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线。
例6．已知a b =（-1，且a ∥b ，求向量a 。
【课内练习】课本P75练习1-31．三点A （a,b ）,B(c.d),C(e,f)共线的条件为2.已知A （1，-3），B （8，12），若A 、B 、C 三点共线，则C 点坐标是 3．向量a =（3，7），b =（-3，2x ），（x R ∈），若a ∥b ，则x 等于 4．已知a =（1，2），b =（x ，1）,且(a +2b )∥(2a -b ),则x 的值为【课后作业】1．以下各向量中，与向量a =（-5，4）平行的向量是A （5k,4k ）B ( 54,k k- ) C (-10,2) D (-5k,-4k))0(≠k 2．与a =（15，8）平行的所有单位向量是3．已知a =（3，4），b =（sinx ，cosx ）,且a ∥b ，则tanx=4．已知a =（-2，1-cos θ），b =（1+ cos θ，-14），且a b ，则锐角θ= 5．下列各组向量相互平行的是A a =（-1，2），b =（3，5）B a =（1，2），b =（2，1）C a =（2，-1），b =（3，4）D a =（-2，1），b =（4，-2）6．已知a =（2，3），b =（-1，2）若k a -b 与a -k b 平行，求k 的值。
2019-2020学年高中数学 课时8 向量的减法学案 苏教版必修5.doc
2019-2020学年高中数学 课时8 向量的减法学案 苏教版必修5【学习目标】1．掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
2．能正确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3．知道向量的减法运算可以转化为加法，是加法的逆运算。
4．通过本节学习，渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】1．向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a b = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b【例题选讲】 例1．化简：（1）()()AB CD AC BD ---（2）OA OB AB -+（3）PQ QN MQ MN ++-例2．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若,,AB a DA b OC c ===，试证：b +c -a =OABCDAO例3．如图，ABCD 是一个梯形，AB//CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b =，试用a ，b 表示BC 和MN【归纳反思】1．向量和它的相反向量的和为零向量。
2．向量的减法是加法的逆运算。
3．减去一个向量，等于加上它的相反向量。
4．重要不等式：a b a b a b -≤-≤+ 【课内练习】1．下面有四个等式：①-（-a ）=a ；②0-a =a ；③a +（-b ）=a -b ；④a -a =0，其中正确的等式为2．在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式不成立的是A a b c +=B a b d -=C b a d -=D c a b -= 3．若a ，b 为非零向量，则在下列命题中真命题为①a b +=a b +，⇔a ，b 同向共线； ②a b +=a b -，⇔a ，b 反向共线 ③a b +=a b -，⇔a ，b 有相等的模； ④a b a b -=-⇔a ，b 同向共线 4．已知AB =10，AC =8，则BC 的取值范围为 5．在矩形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，且AB a =,BC b =,OB c =,证明：()a b c OD -+=-N D C B M A【巩固提高】1．下列四式中不能化为AD 的是A ()AB CD BC ++ B ()()AD MB BC CM +++ C MB AD BM +- D DC DA CD -+2．如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -等于A FCB FEC FD D BE 3．在平行四边形ABCD 中，设12AE AB =，记AB a =，AD b =，则EC 为 A 12a b + B 12a b -- C 12a b + D 12a b --4．正六边形ABCDEF ，若AB a =，BC b =，则CD 为 A a b + B a b - C a b -+ D ()a b -+5．在平面上有三点A 、B 、C ，设m AB BC =+，n AB BC =-c ，若,m n 的长度相等，则有A A 、B 、C 三点在一条直线上 B ABC ∆必为等腰三角形且B 为顶角 C ABC ∆必为直角三角形且B 为直角D ABC ∆必为等腰直角三角形6．在四边形ABCD 中，AB DC =，AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 为 形7．已知向量a 的终点与向量b 的起点重合，向量c 的起点与向量b 的终点重合，则下列结论正确的为①以a 的起点为终点，c 的起点为起点的向量为 -（a +b ） ②以a 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为-a -b -c ③以b 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为-b -c8.在ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则边AB 与边AD 所夹的角=FE DC B9．已知两个合力12,F F 的夹角是直角，且知它们的合力F 与1F 的夹角为060，F =10N ，求12,F F 的大小。
江苏省丹阳高中高中数学 课时18 平面向量的应用学案 苏教版必修5
课时12 平面向量的应用一、学习目标：1．经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是某一种数学工具。
2．发展学生的运算能力和解决实际问题的能力 二、重点与难点：1．利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2．用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3．提高学生对所学知识和方法的迁移（转化）能力。
三、基础训练：1、已知向量(6,4),(0,2),λ=-==+r r r r ra b c a b ，若点C 在函数sin 12πy x =的图象上，实数λ的值为2、平面向量a =（x ，y ），b =（x 2，y 2），c =（1，1），d =（2，2），若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a 有3、如果向量r a 与r b 的夹角为θ，那么我们称´r r a b 为向量r a 与r b 的“向量积”，´r r a b 是一个向量，它的长度为sin θ?r r r r a ba b ，如果5,1,3===-r r r r g a b a b ，则´r ra b 的值为4．在平行四边形ABCD 中，(1,2)AC = (3,2)BD =-,则AB ∙AD =______________ 5．设ABC ∆中，,,AB c BC a CA b ===，且a b b c c a ∙=∙=∙，判断ABC ∆的形状。
6、OA = (cos θ，－sin θ)，OB =（－2－sin θ，－2+cos θ），其中θ∈[0，π2 ]，则|AB |的最大值为7、有两个向量1(1,0)e =，2(0,1)e =，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = 秒．四、例题研究例1．已知向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC ++=，且1OA OB OC ===，求证ABC ∆是正三角形。
苏教版数学高一《向量的减法》 名师学案
尝试：你有没有其他方法也能作出差向量呢？
探究二：实数中有 成立，类似的，请问 成立吗？你能用学过的知识证明吗？
练习：平行四边形ABCD中， ， ，用 表示向量
探究三：如果非零向量 与 共线，怎么作出 ?
探究四：向量的加法具有： ，你在减法中也能找到
， ， 的大小关系吗？
例1：O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若 ， ， ，试证明：
一、知识准备
1.向量的加法 定义：___________________________________________
向量加法交换律：__________________________________
向量加法结合律：__________________________________
(3)向量加法的两个法则:_______________________________
向量的减法学案
【学习目标】1.理解向量减法的含义，了解向量加法和减法是互为逆运算；
2.掌握向量的减法运算，理解向量减法的几何意义，掌握作两向量差的方法；
3.体会转化思想，类比思想，分类讨论思想和数形结合思想.
【学习重点】向量减法的定义；向量减法的运算.
【学习难点】对向量减法定义的理解；差向量方向的确定.
例2：已向量 ， ， ,且 ，求 和
课堂反馈
1.判断下列命题的正误：
3.已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，则
4.平行四边形ABCD中，
5.已知向量 ， ， ,且 ，求 和
本课小结：
三、课后整学
1、书P63练习
2、《教学与测试》
2.相反向量：___________________________________________________
苏教版数学高一《向量的减法》同步教学设计
例2：如图，已知平行四边形 中， ， = ，
试用 ， 表示
变题：若向量 ，满足 ， ， ，求
例3：（教材第62页例2）如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，
若
试证明：
例4：化简 ，
三、课堂反馈
1．化简
2.ΔABC中, = , = ,则 =( )
A. B.–( )C. D.
3.已知| |=8,| |=5,则| |的取值范围是___.
4．若 ,试判断下列结论是否正确：
（1） (2)
(2) (3)
5. ,则
6．
（1）
(2)
(3)
(4)
四、课堂小结
五、课后整学
教材第66页习题2．2第 4，7，8，10（2）题．
2.2.2向量的减法
教学目标：
1．理解向量减法的含义，会作两个向量的差．
2．通过向量减法与加法的逆运算关系，对学生渗透化归、类比和数形结合的思想，继续培养学生识图和作图的能力，及运用图形解题的能力．
教学重点：
向量减法的概念和向量减法的作图法．
教学难点：
减法运算时方向的确定．
教学方法：
自主、合作、交流、探究
一、课前预学
1．复习向量的加法定义、法则和运算律
2．实数的减法：
（1）实数b,x,a,已知b+x=a,则x=,x叫做
求两个实数差的运算叫做实数的减法
（2）是加法的运算．
向量的减法
（1）向量 ，已知 ，则 叫做
求两个向量的差是运算叫做向量的减法
（2）是向量加法的运算.
3．由 ，则 你能得到减法的作图方法？说出你பைடு நூலகம்想法，写出步骤。
2020高中数学第五章向量、向量的加法、向量的减法综合练习教学案苏教版
第四教时教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教课与测试》64、65、 66 课目的：经过练习要修业生明确掌握向量的观点、几何表示、共线向量的观点，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：一、复习：1向量的观点：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2向量的加法与减法：定义、三角形法例、平行四边形法例、运算定律二、 1．办理《教课与测试》P135— 136 第 64课（略）2．办理《教课与测试》P137— 138 第 65课例一、设 a 表示“向东走3km”，b表示“向北走 3km”，则 a + b 表示向东北走 3 2 km B解：OB= OA+AB a+b bOB 32 32 3 2 (km) O a A例二、试用向量方法证明：对角线相互均分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法例：D CAB = AO +OB , DC = DO +OC O由已知： AO =OC , DO =OBA B∴ AB =DC 即 AB与 CD平行且相等∴ ABCD为平行四边形A B例三、在正六边形中，若OA = a,OE= b，试用向量 a、 b 将OB、OC、OD表示出来。
O P C 解：设正六边形中心为P则 OB OP PB (OA OE) OA a + b + a E FOC OP PC a + b + a + b由对称性： OD =b + b + a3．办理《教课与测试》P139— 140 第 66课（略）三、有时间可办理“备用题”：例一、化简 AB DF CD BC FA解： AB DF CD BC FA = AB BC CD DF FA= AC CD DF FA=AD DF FA=AF FA=0例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，假如船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线抵达对岸，那么船前进的方向应当指向哪处？解：如图：船航行的方向是D C与河岸垂直方向成30 夹角，即指向河的上游。
向量的减法教案
向量的减法教案教案：向量的减法学科：数学年级：高中学习目标：1. 理解向量的概念和性质。
2. 掌握向量的减法运算及其性质。
3. 能够解决与向量减法相关的问题。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿。
2. 向量减法的练习题及答案。
教学过程：Step 1：导入通过例子或问题引入向量减法的概念，例如：已知向量A和向量B的坐标分别为（3, 4）和（2, 1），求A-B的坐标。
Step 2：向量的定义和性质回顾回顾向量的定义和性质，如零向量、向量的模、向量的运算规则等。
Step 3：向量减法的概念向学生解释向量减法的概念：向量A减去向量B，相当于将向量B的方向取反，然后与A相加。
Step 4：向量减法的运算规则向学生介绍向量减法的运算规则：两个向量相减，就是将被减数的方向取反，然后与减数相加。
Step 5：示例演示通过一个或多个示例演示向量减法的具体计算过程，引导学生掌握向量减法的方法。
Step 6：练习提供一些练习题给学生进行练习，帮助他们巩固和应用所学的知识。
可以在黑板上展示问题，让学生进行计算，并提供答案供他们核对。
Step 7：总结总结向量减法的要点，并解答学生在练习中遇到的问题。
Step 8：拓展引导学生思考向量减法在实际问题中的应用，如力的合成、速度的合成等。
Step 9：实践运用提供一些实际问题给学生，并引导他们运用所学的知识解决问题。
Step 10：评估通过作业或小测验评估学生对向量减法的掌握程度，及时发现并纠正他们的错误。
扩展活动：1. 将向量与平移、旋转等几何变换联系起来，进一步拓展学生对向量减法的认识和应用。
2. 让学生自己设计一些相关的问题或案例，并分享给同学们讨论和解答。
教学反思：通过本节课的教学，学生对向量减法的概念和运算规则有了更深入的理解，并能够应用所学的知识解决实际问题。
对于一些较为困难的问题，可以适当增加示例演示的数量，或提供更多的练习题进行巩固和拓展。
同时，关注学生的学习情况，及时给予帮助和指导，确保他们能够准确理解和应用向量减法的知识。
向量的减法教案
《向量的减法》教案英德中学黄小玲教学目标：〈一〉知识目标1、掌握向量的减法运算，并理解其几何意义，会作两个向量的差向量。
2、理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系。
〈二〉能力目标1、向量的运算能反映出一些物理规律，从而加深学科之间的联系，提高我们的应用能力。
2、培养学生逻辑思维能力、发散思维能力及从多方位，多角度分析问题的能力，提高学生自身解题的能力。
〈三〉德育目标理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想。
〈四〉美育目标通过学习体会数学的内在美及向量证明方法的逻辑美。
教学重点：向量减法的运算及其几何意义。
教学难点：向量减法定义的理解。
学法引导：类比向量加法运算与数的运算，培养学生的观察力，提高学习兴趣及探究精神。
教学过程：一、创设情境如图,已知a、b，求作向量c,使c =a ＋b。
(学生板演后，保留图形，方便后面对比)向量是否有减法？如何理解向量的减法？我们知道，减法是加法的逆运算，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入？二、展示目标三、自主探究阅读课本p94---p96 2.2.2向量减法运算及其几何意义，回答下列问题：1、小东从A地走10米到B地，又再从B地走10米到A地，他的位移是多少？2、什么叫做相反向量？相关性质？3、你如何理解向量减法的定义？4、已知两个向量a，b，如何作出两个向量的差？小试牛刀：（1）设b是a相反向量，则下列说法错误的是（ C ）A、a与b的长度必相等B、a∥bC、a与b一定不相等D、a是b的相反向量（2）下列等式，①a + 0 =a ②、b +a = a +b ③、-(-a)= a④、a +(-a)=0 ⑤、a +(-b)=a-b正确的有( )个？A、2B、3C、4D、5（3）已知向量a, b怎样作出向量m，使m =a-b？四、共同探导1、从上面习题（3）中，引导从之前的加法作图法中，归纳出作两向量差的方法。
三角形法则：①起点重合，连接两向量终点，箭头指向被减数（几何意义）②、利用a－b＝a ＋（－b）(板书演示作图过程)2、改变a、b的位置（如下图），该怎样作出 a－b？3、上题中，向量a、b不共线，若a、b共线时，怎样作a－b？（指名板演，师生共同评议）引导归纳作两共线向量差的方法：利用向量减法的几何意义。
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课时3 向量的减法
【学习目标】
1．掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
2．能正确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3．知道向量的减法运算可以转化为加法，是加法的逆运算。
4．通过本节学习，渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】
1．向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b
【例题选讲】 例1．化简：
（1）()()AB CD AC BD ---
（2）OA OB AB -+
（3）PQ QN MQ MN ++-
例2．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若,,AB a DA b OC c ===，试证：
b +
c -a =OA
B
C
D
A
O
例3．如图，ABCD 是一个梯形，AB//CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，
AD b =，试用a ，b 表示BC 和MN
【归纳反思】
1．向量和它的相反向量的和为零向量。
2．向量的减法是加法的逆运算。
3．减去一个向量，等于加上它的相反向量。
4．重要不等式：a b a b a b -≤-≤+ 【课内练习】
1．下面有四个等式：①-（-a ）=a ；②0-a =a ；③a +（-b ）=a -b ；④a -a =0，其中正确的等式为
2．在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式不成立的是
A a b c +=
B a b d -=
C b a d -=
D c a b -= 3．若a ，b 为非零向量，则在下列命题中真命题为
①a b +=a b +，⇔a ，b 同向共线； ②a b +=a b -，⇔a ，b 反向共线 ③a b +=a b -，⇔a ，b 有相等的模； ④a b a b -=-⇔a ，b 同向共线 4．已知AB =10，AC =8，则BC 的取值范围为 5．在矩形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，且AB a =,BC b =,OB c =,
证明：()a b c OD -+=-
N D C B M A
【巩固提高】
1．下列四式中不能化为AD 的是
A ()A
B CD B
C ++ B ()()A
D MB BC CM +++ C MB AD BM +- D DC DA CD -+
2．如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -等于
A FC
B FE
C F
D D B
E 3．在平行四边形ABCD 中，设1
2
AE AB =
，记AB a =，AD b =，则EC 为 A 12a b + B 12a b -- C 12a b + D 12
a b --
4．正六边形ABCDEF ，若AB a =，BC b =，则CD 为 A a b + B a b - C a b -+ D ()a b -+
5．在平面上有三点A 、B 、C ，设m AB BC =+，n AB BC =-c ，若,m n 的长度相等，则有
A A 、
B 、
C 三点在一条直线上 B ABC ∆必为等腰三角形且B 为顶角 C ABC ∆必为直角三角形且B 为直角
D ABC ∆必为等腰直角三角形
6．在四边形ABCD 中，AB DC =，AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 为 形
7．已知向量a 的终点与向量b 的起点重合，向量c 的起点与向量b 的终点重合，则下列结论正确的为
①以a 的起点为终点，c 的起点为起点的向量为 -（a +b ） ②以a 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为-a -b -c ③以b 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为-b -c
8.在ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则边AB 与边AD 所夹的角=
F
E D
C B
9．已知两个合力12,F F 的夹角是直角，且知它们的合力F 与1F 的夹角为0
60，
F =10N ，求12,F F 的大小。
10．如图，P 、Q 是ABC 的边BC 上的两点，且BP=QC ，
求证：AB AC AP AQ +=+
11．若a ，b 是给定的不共线向量，试求满足下列条件的向量x ，y 使
2x -y =a
并作图用a ，b 表示x ，y x +2y =b C
Q P
B
A。