计算物理总复习

论述题：1、试简要论述多尺度计算物理（此处我理解为以下四种计算方法）的基本框架。

1.分子动力学方法：首先建立一组分子的运动方程，通过直接对系统中的一个分子的运动方程进行数值求解，得到各个时刻分子的坐标和动量，即相空间中的轨迹，然后利用统计力学的计算方法得到多体系统的静态或动态性质，从而得到系统的宏观物理性质。

2.第一性原理方法：广义上是指一切基于量子力学原理的计算方法。

分子是由原子组成的，原子是由原子核和电子组成的。

量子力学计算根据原子核和电子的相互作用计算出分子（或离子）结构和能量，然后在此基础上计算物质的各种性质。

3.蒙特卡罗方法：以概率论和数理统计为基础，使用随机数或更常见的伪随机数来解决数学问题。

该方法将所求解的问题与一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，经过相关运算而获得问题的近似解。

4.格林函数方法：先列出符合问题的数学物理方程，数学物理方程表示的是特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系，将“源”分解成很多点源的叠加，设法计算点源产生的场，然后利用叠加原理，求出同样边界条件下任意源的场。

2、试论述各个尺度计算方法的特点和局限性。

（1）分子动力学方法的特点及局限性：一个体系在一段时间内的运动情况可以通过其微观数学方程组给出，微观体系中每个分子各自服从经典的牛顿力学方程，而每个分子运动的内禀动力学是利用理论力学是的哈密顿量或者拉格朗日量来描述，或者用牛顿运动方程来表示。

分子动力学方法中不存在随机因素是实现玻尔兹曼统计力学的基础。

它可以用来处理与时间有关的过程，因而可以用来处理非平衡态问题。

（局限性：）该方法的缺点是程序复杂，计算量大，占内存。

（2）第一性原理方法特点及局限性：不同于其他依赖于经验参数的计算方法，第一性原理方法可以通过直接求解材料的最基本的量子力学方程，预测材料的结构及光学，电学，磁学等方面的性质。

（局限性：）第一性原理是某些硬性规定或推演得出的结论，其运算过程中不将经验参数考虑进去。

这种算法速度很慢，如果加入一些经验参数，可以大大加快计算速度，但不可避免地降低了计算精度。

（3）蒙特卡罗方法的特点和局限性：当所求解的问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将它们作为问题的解。

它能够较好地解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度数学计算问题。

其局限性体现在使用蒙特卡罗方法需要做大量的实验，实验次数越多，得到的结果越精确。

（4）格林函数方法的特征和局限性：格林函数多指用于研究大量相互作用粒子组成的体系的多体格林函数。

局限性体现在要设法知道点源产生的场，需要进行大量计算求解数学物理方程。

3、试说明各种尺度计算方法的适用范围及它们之间的连接。

第一性原理方法可以通过直接求解材料的最基本的量子力学方程，预测材料的结构及光学、电学、磁学等方面的性质。

但由于计算量非常大，在较大尺寸团簇的结构优化中其应用受到限制。

蒙特卡罗方法和分子动力学方法被广泛地用来研究团簇的热力学性质和基态性质，但在优化基态结构方面存在缺陷，即容易陷入局部最优的亚稳态，无法获得全局最优解。

思考题：1、以第一性原理方法和分子动力学为例，说明体系大小与计算量的关系。

2、搭建机群系统的过程如何2.蒙特卡洛方法——基本概念2.蒙特卡洛方法——主要问题简要回答下列问题：1、采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。

取5a =，1c =，16m =和01x =.记录下产生出的前20数，它产生数列的周期是多少？2、证明Breit-Wigner 分布220)(1)(Γ+-Γ=x x x f π 可以通过0()i i x x cot πξ=-Γ抽样得到 。

3、 归一化黑体辐射频谱为)()1(15)(44Tk h x dx e x dx x f x νπ=-=其中 证明如下抽样步骤得到的抽样分布满足上面的分布，求出它的抽样效率。

抽样步骤：让L 等于满足下面不等式的整数l 的最小值，4141190l j j ξπ=≥∑然后置)ln(15432ξξξξL x -=，其中i ξ为 [0，1] 区间均匀分布的伪随机数。

2.蒙特卡洛方法——分析讨论论述题：1、编写一个程序，采用Metropolis 随机游走的方法产生按高斯分布()[]222/ex p )(σx A x f -=， ()21σ=的随机点。

抽样中常数A 的值需要知道吗？试决定接受点与试探步数之比，到达平衡分布的时间与最大试探步长δ的关系。

（提示：判断“平衡”的标准是22σ>≈<x）。

δ选多大较合理?2、 用事例证明蒙特卡洛求积分的标准误差为NA A 1222∝-=σ， 其中A 为物理观测量，N 为蒙特卡洛投点个数。

3.分子动力学方法——基本概念3.分子动力学方法——主要问题1、请写出实现周期性边界条件的具体操作。

在模拟较大的体系时，为了消除表面效应或边界效应，常采用周期边界条件。

就是让原胞上下、左右、前后对边上的粒子间有相互作用。

做一个假定，让一个小体积的原胞镶嵌在一个无穷大的大物质之中。

数学表达形式为：123()(),(,,)A x A x nL n n n n =+=其中A 为任意观测量，123,,n n n 为任意整数，这个边界条件就是命令基本MD 原胞完全等同的重复无穷多次。

具体在实现该边界条件时是这样操作的：当有一个梨子穿过基本MD 原胞的六方体表面时，就让这个梨子也以相同的速度穿过此表面对面的表面，重新进入该MD 原胞内。

2、在考虑粒子间的相互作用时，通常采用的最小像力约定是什么最小像力约定是在由无穷重复的分子动力学基本原胞中，每个粒子只同它所在的基本原胞内的另外N-1个（设该原胞内有N 个粒子）中的每个粒子或其最邻近的影像粒子发生相互作用。

3、采用最小像力约定会使得在截断处粒子的受力有一个δ-函数的奇异性，这会给模拟计算带来误差。

怎样减少这种误差为了减小这种误差，总可以将截断处粒子的相互作用势能换算成()c V r V ，以保证在截断处相互作用为零。

4、EAM 模型是一种半经验多体势模型，其中心思想是什么其中心思想是将原子周围复杂的环境用胶冻模型简化描述(所谓胶冻指的是在均匀正电荷背景上的均匀电子气)。

在嵌入原子势方法中，主要的参数都放在原子的电子密度表示及相关形式中，这样就把“原子对间”的性质主要归结到“原子”的性质，大大的简化了计算。

5、请写出分子动力学模拟的实际步骤。

分子动力学模拟一般由下面几个部分组成：1)设定模拟采用的模型，给定粒子初始位置以及速度；2)选取能够很好模拟体系中粒子相互作用的势函数，求解每个粒子所受的力；3)求解牛顿运动方程，解出粒子当前和下一时刻的位置以及速度；4)记录中间很重要的瞬时物理量，然后重复步骤2—4 使得系统平衡；5)通过步骤4中的瞬时物理量计算系统中每个粒子的动能、势能等物理量。

然后通过平均得到我们所需的物理量。

例如温度、热流等。

3.分子动力学方法——分析讨论1、什么是幻数团簇通常把仅含有几个到几百个原子或尺寸小于1nm 的粒子称作”簇”,它是介于单个原子与固态之间的原子集合体。

原子或分子团簇（简称团簇或微团簇）是由几个乃至上千个原子、分子或离子通过物理或化学结合力组成的相对稳定的微观或亚微观聚集体，其物理和化学性质随所含的原子数目而变化。

2、如何判断一个体系通过模拟之后达到了一种平衡态的稳定结构为使得系统平衡，模拟中设计一个趋衡过程，即在这个过程中，我们增加或者从系统中移出能量，直到持续给出确定的能量值。

我们称这时的系统已经达到平衡。

4.第一性原理方法——主要问题3、密度泛函理论的基本思想及基本定理。

基本思想是：原子分子和固体的基态物理性质可以用粒子密度函数来描述基本定理：1：不计自旋的全同费米子系统的基态能量是粒子数密度函数()rρ的唯一泛函。

2：能量泛函[]Eρ在粒子数不变的条件下对正确的粒子数密度函数()rρ取极小值，并等于基态能量。

4、简述电子的共有化运动。

原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以由一个原于转移到相邻的原子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。

这种运动称为电子的共有化运动。

共有化电子虽然属于整个晶体所有，但是也还是要受到晶体原子的一定程度的束缚；由于晶体原子的排列具有周期性，所以这种对共有化电子的束缚作用——晶体势场也具有周期性，即晶体周期性势场。

而在晶体中，杂质原子上的束缚电子，受到其原子核的束缚较强（其它晶体原子的作用很微弱），并且是中心力场的形式（例如施主上的价电子即可看成为类氢原子的电子）。

5、简述Kohn-Sham方程的特点Kohn-Sham方程的核心是用无相互作用粒子模型代替有相互作用的粒子系统，而将相互作用的全部复杂性归入交换关联势[]K SVρ-泛函。

它和Hartree-Fock近似公式的差别是[]K SVρ-中含有一项未知的交换关联势[]xcVρ泛函。

4.第一性原理方法——分析讨论论述题：1、试论述第一性原理求解电子结构的优缺点。

具有较高的精确度，在系统基态能量、平衡态几何结构、想变、声子模以及各类热力学性质方面都能很好的解决。

不能很好的描述和研究电子的激发态性质和含时外场问题等问题。

计算量较大。

2、试论述第一性原理的发展近况。

第一性原理在材料设计方面将发挥越来越大的作用，如今第一性原理在中国还是主要应用在理论研究上，将来随着计算机技术的不断发展，特别是量子计算机要是能研制成功的话，第一性原理必将进军工业界。

达到理论与实践相结合的地步，但是现在第一性原理还只是停留在对基态的处理上，很少有处理激发态，虽然有含时密度泛函，但是技术还是不够成熟，如今大量的人还是偏好于对密度泛函的应用上，很少有人去对他的理论框架做进一步完善。

3、论述如何用Kohn-Sham方程求解多电子体系的基态密度函数。

首先给定初始电子密度分布0()rρ，求解泊松方程，得到势函数。

在Muffin-Tin 球内区，取势函数的球对称部分，求解径向薛定谔方程，将其解作为球内基函数；在Muffin-Tin球间隙区，由于势函数变化较为平缓，可以用平面波作为Muffin-Tin球间隙区的基函数，同时保证相应的基函数在Muffin-Tin球面上连续可微；利用Rayleigh-Ritz变分原理求解Kohn-Sham方程，求出电子波函数，得到新的电子密度分布1()rρ。

对以上各个过程进行迭代，可求得问题的自恰解。

4、简述几种常用的交换关联函数LDA、GGA5、采用平面波展开波函数遇到的困难。

（1）在靠近原子核附近，波函数极不平缓，不能用平面波展开，所以不能描述原子核附近的波函数行为。