人教版数学八年级上册13.4课题学习导学案
课题学习最短路径问题教学设计人教版数学八年级上册
高新技术产业开发区XX中学备课日志1.两点之间的所有连线中，什么线最短？2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，什么线最短？【课堂引入】已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小．提示：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣【探究新知】1．问题1如图，牧马人从草场A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到帐篷B 地．问：到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能用自己的语言解释这个题的意思吗？能把它抽象为数学问题吗？(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；(2)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；探究活动，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．2思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识(3)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；(4)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).追问2对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问3你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？教师讲解作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．问题2你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC ＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在∴AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即AC ＋BC 最短．师生活动：教师先让学生分组讨论，分析问题，解决问题，对有疑问的地方教师适时引导，最后共同总结．2．仿照上面分析问题的方法，你能解决下面的问题吗？(造桥选址问题)如下图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.上面的问题就转化为：如图，直线a∴b，N为直线b上的一个动点，MN∴b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？追问4：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．追问5：你能找到所要求的N点的位置吗？如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．追问6：你能证明点N的位置即为所求吗？如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′∴a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.师生活动：教师可引导学生分析，对于有疑问的地方进行讲解说明．归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径.重难点突破【典型例题】例1如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在(C)A．A点B．B点C．C点D．D点例2如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∴l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．解：如图所示．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．进一步巩固学生对最短路径问题的解决方法的掌握【课堂检测】1．如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是(A)A B C D2．如图，在Rt∴ABC中，∴A＝90°，∴C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是4．3．如图，一艘旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路线．解：连接PQ，作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP.最短路线即为PQMP.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的。
2020年八年级上课时导学案-13-4课题学习
2020年人教版八年级上册全册课时导学案13.4课题学习 最短路径问题导学案【学习目标】复习轴对称的知识，会画轴对称图形。
1，能够利用轴对称的知识解决实际问题。
2，培养同学们自学意思和探究能力。
3，学习重点：会画轴对称图形。
学习难点：会用轴对称知识解决实际问题。
复习导入：一、（1），同学们以前学过的线段最短问题有哪些？还记得吗？1、 2、（2），如何做直线外一点关于这条直线的对称点？1、2、二、导入新课问题1 如图牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地。
牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？作点A 或B 关于直线L 的对称点B ′或A ′，再连接A B ′或B A ′与对称轴L 的交点即为所求。
（证明方法为：三角形两边之和大于第三边）问题2 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造成在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析引导：我们可以把河岸看成两条平行线，N 为直线b 上一个动点，MN 垂直于直线b ，交直线a 于点M,这样问题可以转化成：当点N 在直线b 的什么位置时AM+MN+NB 最小。
解：将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移动到点N ，点A 移动到点A ′,则AA ′=MN,AM+NB=A ′N+NB.连接A ′，B 两点的线中，线段A ′B 最短。
因此线段A ′B 与直线b 的交点N 的位置即为所求。
A B L能力提升：你能证明为什么点N 即为所求的点吗？课堂归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
作业：课本93第15题。
学后反思：小结1.注重备课。
要结合课本和教参，完善每一节课的教学内容，对其重新进行审视，将其取舍、增补、校正、拓展，做到精通教材、驾奴教材，做最好的准备。
2.讲究方法。
根据不同班级学生的不同学习风格，采用不同的教学方法。
《13.4课题学习最短路径问题》作业设计方案-初中数学人教版12八年级上册
《课题学习最短路径问题》作业设计方案（第一课时）初中数学课程《课题学习最短路径问题》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《课题学习最短路径问题》的学习，使学生掌握最短路径问题的基本原理和解题方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，同时提高学生的数学应用能力。
二、作业内容1. 理论学习：学生需认真阅读教材中关于最短路径问题的理论部分，理解并掌握最短路径问题的基本概念和解题思路。
2. 案例分析：选取几个典型的最短路径问题案例，包括平面图形和立体图形中的最短路径问题，分析其解题过程，总结解题方法。
3. 实践操作：学生需完成以下实践操作题目：（1）在给定的平面图形中，找出所有可能的最短路径，并计算其长度。
（2）在立体图形中，如圆锥、圆柱等，找出从一点到另一点的最短路径，并说明理由。
（3）根据生活实际，设计一个最短路径问题的实际应用场景，如桥梁设计、道路规划等，并尝试解决该问题。
4. 拓展延伸：鼓励学生自主寻找其他最短路径问题的实例，可以是生活中的实际问题或数学题目，通过小组讨论或个人思考的方式，探讨其解题思路和方法。
三、作业要求1. 理论学习要求：学生需认真阅读教材，理解并掌握最短路径问题的基本概念和解题思路，能够准确阐述相关原理。
2. 案例分析要求：学生需对案例进行详细分析，总结出解题方法和步骤，能够举一反三，触类旁通。
3. 实践操作要求：学生需独立完成实践操作题目，计算准确，思路清晰，答案完整。
对于立体图形的最短路径问题，需用图示或文字说明解题过程。
4. 拓展延伸要求：学生需积极寻找并分析其他最短路径问题的实例，可以是小组成员共同完成，也可以是个别学生独立完成。
四、作业评价1. 评价标准：本作业的评价将从理论掌握、案例分析、实践操作和拓展延伸四个方面进行综合评价。
2. 评价方式：采用教师批改、小组互评和自评相结合的方式进行评价。
教师批改主要关注学生的理论掌握和实践操作情况；小组互评和自评则侧重于评价学生的案例分析和拓展延伸情况。
人教版数学八年级上册第十三章13.4《最短路径问题》学案
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C，使CA ＋CB 最短，这时点 C 是直线l 与AB 的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．CA ＋CB 最短，如图所示，点A，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C，使这时先作点B 关于直线l 的对称点B′，则点C 是直线l 与AB′的交点．为了证明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB ＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点 B 和B′关于直线l 对称，所以直线l 是线段BB′的垂直平分线．因为点C 与C′在直线l 上，所以BC ＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC ＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC ＋BC＜AC ′＋C′B.【例1】在图中直线l 上找到一点M，使它到A，B 两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′交直线l 于点M.(3)则点M 即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB 的垂直平分线，与EF 的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到 A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF 的对称点，连接对称点与 B 点，与EF 的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB 的中点G，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P，则P 到A，为半径画弧，两弧交于两点，过这两1B 的距离相等．也可分别以A、B 为圆心，以大于2AB点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A′，连接A′B 交EF 于P ，则P 到A，B 的距离和最短．【例3】如图，从 A 地到B 地经过一条小河( 河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从 A 地到B 地的路程最短？思路导引：从 A 到 B 要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点 A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2 )连接BC 与河岸的一边交于点N.(3)过点N 作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN 为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC 的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】( 实际应用题) 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的AO，BO) ，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图 b.(1)作C 点关于OA 的对称点C1，作D 点关于OB 的对称点D1 ，(2) 连接C1D 1，分别交OA，OB 于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如图所示，A，B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C，使点 C 到点A、B 的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l 的对称点A′(或B′)，作直线A′B( AB′)与直线l 交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l 为对称轴，作点 A 关于直线l 的对称点A′，A′B 的连线交l于点C，则点C 即为所求．理由：在直线l 上任找一点C′(异于点C)，连接CA ，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l 对称，所以l 为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l 上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－C B.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
人教版8年级上册 13.4课题学习导学案
13.4课题学习最短路径问题导学案【学习目标】1，复习轴对称的知识，会画轴对称图形。
2，能够利用轴对称的知识解决实际问题。
3，培养同学们自学意思和探究能力。
学习重点：会画轴对称图形。
学习难点：会用轴对称知识解决实际问题。
一、复习导入：（1），同学们以前学过的线段最短问题有哪些？还记得吗？1、2、（2），如何做直线外一点关于这条直线的对称点？1、2、二、导入新课问题1 如图牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地。
牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？A BL作点A或B关于直线L的对称点B′或A′，再连接A B′或B A′与对称轴L的交点即为所求。
（证明方法为：三角形两边之和大于第三边）问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造成在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析引导：我们可以把河岸看成两条平行线，N为直线b上一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M,这样问题可以转化成：当点N在直线b的什么位置时AM+MN+NB最小。
解：将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′,则AA′=MN,AM+NB=A′N+NB.连接A′，B两点的线中，线段A′B最短。
因此线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求。
能力提升：你能证明为什么点N即为所求的点吗？课堂归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
作业：课本93第15题。
学后反思：ABA′ NM。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
人教版八年级上册13.4课题学习《最短路径问题》教学设计
《最短路径问题》教学设计横峰县青板中学杨志强一、教材分析1、地位作用新课程改革以来，教学理念发生很大转变。
要求数学更贴近于生活，能为生产与生活服务，于是出现了许多省时、省力的最优方案的数学问题。
最短路径问题同样如此，《最短路径问题》是八年级数学上册第13.4节内容，这类问题通过已学过的轴对称和平移知识进行转化，再运用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”的知识加以解决。
既能对已学知识进行拓展，又能体现数学在生活中的应用性。
2、学情分析学生已学习过一些关于“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”以及“三角形的两边之和大于第三边”等知识。
他们对于几何主题探究都十分感兴趣，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，也愿意投入学习精力，但分析推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，不够深入和全面，需要教师在课堂教学中进一步加强和引导。
二、教学目标1、知识目标：能利用轴对称变换和平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
2、能力目标：在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
3、情感目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
三、教学重、难点教学重点: 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称变换和平移变换解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。
教学难点: 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
四、教学准备多媒体课件，三角板，圆规，作图纸。
五、教学过程1、创设情境，揭示课题。
课件出示草原美丽的图片，将贯穿主线的人物“牧马人”引出，通过他在劳动中遇到的路径问题向同学们进行求助，从而揭示课题。
（板书：最短路径问题）【设计意图】通过实际的生活情境，将学生引入新课的学习中，激发学生的好奇心和解决问题的意愿，从而调动学生的学习兴趣。
2、复习旧知，进行铺垫问题一如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后骑马趟过河到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（1）学生思考后在纸上作图确认饮水点。
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
八年级上数学13.4 课题学习-最短路径问题拔高 教案
13.4课题学习最短路径问题第二课时一、教材分析本节课主要内容是最短路径问题，是在学习了轴对称之后进一步理解并掌握“两点之间，线段最短”，通过实际的生活问题让学生经历实际问题抽象成数学的线段最短问题，为以后学习更多的最值问题打下基础。
二、学情分析学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题. 学生学习基础一般，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助。
三、教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2.能做出一个图形经轴对称变化后的图形。
3.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。
4.培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。
四、教学重点难点重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点在实际题目中会运用最短路径问题。
五、教学过程设计一、创设情景引入课题由于是第二课时，所以将最短路径问题基本类型的归纳录成微课的形式播放，控制了时间，而且让学生用不同的方式参与知识的学习，而且还可以作为电子资料随时回顾学习。
二、自主探究合作交流拓展新知素养考点1：两点一线型典型应用数学问题:例1.如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值是多少？拓展：想一想如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．课堂探究反思：假如A,B在直线l的同侧呢？怎么作图【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法. 此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交于点C.典例精析例、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，点P是∠AOB 内部任意一点，OP=6，求△PMN周长的最小值方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.拓展探究：若∠AOB=α1、OP,O P′,OP′′的大小关系？为什么？2、∠P′OP′′与∠AOB的大小关系（用α表示）？3、∠MPN与∠AOB的大小关系？4、当α= 30°时，△P′OP′′的形状？当α= 45°时，△P′OP′′的形状？素养考点4：利用平移知识解决造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？六、练习及检测题1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点第1题图第2题图第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）A．10 B．15 C．20 D．303.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当P A+PB的值最小时，在图中画出点P．四、反思小结七、作业设计1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P 是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使P A＋PB最短；(2)在图2的直线上找一点P，使P A－PB最长．3.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．最短路径题解题方法轴对称+线段公理平移+线段公理垂线段最短+轴对称原理线段公理和垂线段最短（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB 上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．综合题9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．。
13.4 课题学习-最短路径问题人教版数学八年级上册同步课堂教案
第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题一、教学目标1.能利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想．二、教学重难点重点：利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.难点：体会图形的变化在解决最值问题中的作用．三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？(②最短，依据“两点之间，线段最短”)2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？(PC 最短，依据“垂线段最短”)3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？(AC=BC.依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.)4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？(作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；（2）在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l的对称点.可简记为：作垂线；取等长)教师带领学生复习与最短路径相关的知识，为本节课的学习做准备.【新知探究】知识点1牧人饮马问题[提出问题]引例如图，若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？这里强调一下两点的位置：直线l异侧的两个点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画过程：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现第3条线段很明显是最短的.依据是“两点之间，线段最短”.[提出问题]根据这个依据，你可以得到作法吗？[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：连接AB,与直线l相交于一点C.点C即为所求作的点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？[提出问题]这是一个实际问题，那么我们怎样把它转化成数学问题呢？[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地看成点，把笔直的河边看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题：如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？这里注意强调点A，B的位置：是直线l同侧的两个点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：[提出问题]你能找出两幅图中，A，B两点的位置有什么不同吗？（同侧、异侧）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]我们分析，如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题. 那么怎么找到B′呢？（作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB.）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：此时，问题就转化为:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小.[学生回答]很明显，连接AB′，与l的交点即为点C.[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′;连接AB′,交直线l于点C.点C即为所求作的点.[提出问题]怎样证明点C的位置即为所求？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B.[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，A、C、B在一条直线上.学生思考完毕，教师点名学生说出自己的答案，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴AC +BC=AC +B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC 最短．[归纳总结]利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件：（1）定直线l；（2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧;（3）所求作的动点C在直线l 上.解决”牧人饮马“问题的步骤：（1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）；（2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）；（3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）.[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定教师根据“牧人饮马”模型解决最值问题的应符合的条件，在图中依次找到定直线、两定点、一动点.【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.思考：作点E关于AD的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？知识点2造桥选址问题[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）[提出问题]这是一个实际问题，我们同样需要把它转化成数学问题来解决.经过了刚才我们对问题1的转化，你能将这个实际问题转化为数学问题吗？[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地和造桥的起始两个位置看成点，把河岸看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：问题转化一：该实际问题就转化为这样的数学问题：N 为直线b 上一点，且NM ⊥直线a 于点M ，当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.此时，教师引导学生发现，桥的长度是不变的，进而可得到：问题转化二：由于河岸的宽度MN 是固定的，这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+NB 最小.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：[提出问题]你能找出这两幅图有什么不同吗？（两条直线、一条直线）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]我们分析，如果我们能把两条直线转化成一条直线，就能把这个问题转化成“引例”的问题了.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：转化成了引例中的模型该折线即为最短路径[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：（1）平移点A到点A′，使AA′等于河宽;（2）连接A′B,A′B与直线b的交点，即为所求作的点N；（3）过点N作NM⊥直线a于点M.点M和点N的位置即为造桥的位置.[提出问题]怎样证明造桥位置的正确性呢？在直线b上另外任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB ＜AM′+M′N′+N′B.你能完成这个证明吗？[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，黄色的两条线段相等，A′、N、B在一条直线上.学生思考完毕，将解题过程写在练习本上，教师巡视，帮助有困难的学生，之后教师点名学生说出自己的答案，并纠错.[归纳总结]解决”造桥选址“问题的步骤：（1）一移；（2）二连；（3）三交；（4）四垂直.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把未知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.【课堂小结】【课堂训练】1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ D ）A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）3.(2021•天津二模)如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为( D )A. (2,0) B . (-2,0) C. (0,2) D. (0，-2)【解析】如图，作B点关于y轴的对称点B',连接AB',交y轴于一点，该点即为所求的点P.过点A作x轴的垂线，交B'B的延长线于点C，则∠C=90°，设BB'交y轴于点D,则OD=|-3|=3.∵点B坐标为(1，-3) ,∴B'(-1 ,-3 ) .∵易得B'C=1+4=5,AC=2=3=5 ,∴B'C=AC.∴∠B'=45°.∴PD=B'D=1.∴OP=2 ,∴P (0,-2 ).故选D.4.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是1000米.【解析】延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E，连接AE，则E即为所求的点.易得A′C=AC=BD，又AC⊥CD，BD⊥CD，∠A′EC=∠BED.∴△A′CE≌△BDE（AAS），则E是CD 的中点，∴AE=500，所以AE+BE=500+500=1000.5．（2021•江西模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 13 ．【解析】如图，连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，BC=10，∴CD=5，AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵MC+MD＝MA+MD≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长的最小值＝AD+CD＝8+5＝13．故答案为13．6.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.方法一：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.方法二：解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？解：（1）作AF⊥CD,且AF=河宽；（2）作BG⊥CE，且BG=河宽；（3）连接GF,与河岸相交于E ′,D ′；（4）作DD′,EE′即为桥.8.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．【变式】（2021•吉安模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE ＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 120° ．【解析】如图，作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'A''，A'A''与BC的交点即为所求的点M，A'A''与ED的交点即为所求的点N，∵∠B＝∠E＝90°，∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE，∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE=180°﹣120°＝∠60°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，故答案为120°．【教学反思】本节课我通过引例（两点在直线的异侧）,让学生认识到找最短路径的根本是通过"两点之间,线段最短”找出解决问题的途径,接下来通过"牧人饮马”让学生带着兴趣进入教学。
课题学习 最短路径问题 导学案(带习题和答案)
13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。
【课前预习】1．平面直角坐标系xOy 中，已知A(－1－0)－B(3－0)－C(0－－1)三点，D(1－m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD 的面积为（ －A ．B ．23C ．43D ．832．A－B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上 C ．线段AB 的反向延长线上 D ．直线l 上3．x 是数轴上任意一点表示的数，若|x ﹣3|+|x+2|的值最小，则x 的取值范围是（ ） A ．x≥3B ．x≤﹣2C ．﹣2≤x≤3D ．﹣2＜x ＜34．下列四种说法：①线段AB 是点A 与点B 之间的距离；②射线AB 与射线BA 表示同一条射线；③两点确定一条直线；④两点之间线段最短．其中正确的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ） A ．750米B ．1000米C ．1500米D ．2000米6．在等腰－ABC 中，AB=AC－一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长31为－－A．7B．7或11C．11D．7或107．如图－点P是直线a外一点－PB⊥a－点A－B－C－D都在直线a上－下列线段中最短的是( )A．PA B．PB C．PC D．PD8．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）9．如图，在－ABC中，－ACB＝90°，以AC为底边在－ABC外作等腰－ACD，过点D作－ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，－ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则－PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．2010．如图，等边△ABC的边长为4－AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为－ －A．15°B．22.5°C．30°D．45°【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1．举出常见的轴对称图形：_____（至少写三个）。
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。
这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。
教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。
但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图论知识解决最短路径问题的方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学在实际生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握最短路径问题的求解方法。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示光纤敷设和城市道路规划的实例，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
2.新课导入：介绍图论中最短路径的概念和相关的数学知识。
3.实例分析：分析光纤敷设和城市道路规划两个实例，引导学生将其转化为图论问题。
4.方法讲解：讲解如何利用图论知识解决最短路径问题，包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法等。
人教版八年级上册数学13.4 课题学习《最短路径问题》教案
教学设计13.4最短路径问题永顺县溪州中学彭善玉一、教学设计思路：本节课是人民教育出版社出版九年制义务教育数学课本八年级数学《最短路径问题》，教材为我们提供了最短路径的概念和探索方法以及相应练习题。
这节课与实际生活息息相关，在内容上，它将两点之间线段最短，轴对称的性质紧密结合起来。
通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会数学建模的思想，学会从复杂题目中找到原始的基本的数学模型。
本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，采用了我校“六步四维一体”的教学模式，启发式、探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生是学习的主体。
利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想证明，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
利用课件、微课、几何画板辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性与理性认识，增强直观效果，提高课堂效率。
二、教学目标1、知识与技能：（1）理解并掌握平面内位于直线同侧两个点，如何在直线上找到一个点，使得两点到直线上这点距离之和最小问题。
（2）能利用轴对称解决实际问题中的最短路径问题。
（3）通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
2、过程与方法：（1）通过自主画图，小组讨论，共同比较等教学活动，探索与轴对称有关的最短路径问题，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。
（2）通过几何画板把抽象问题具体化，直观地观察、分析把折线问题转化直线问题，体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
在解决问题的过程中渗透“化归”的思想,（3）能够倾听其他同学的发言，并能把自己的想法与其他同学交流，体会合作学习的过程与方法，感受合作的愉快。
课题学习：最短路径问题(导学案)八年级数学上册同步备课系列
13.4课题学习：最短路径问题导学案一、学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.二、学习过程：课前热身1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？问题解决---（牧马人饮马问题）问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？探究1：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？作法：_________________________________;(依据：____________________).探究2：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？请呈现证明过程：典例解析例1.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定例2.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）问题解决---（造桥选址问题）问题：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？（请在组内讨论，并画出图形）请呈现证明过程：典例解析例3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？达标检测1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC3.有一条以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是()4.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3.(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN;(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长.5.甲、乙、丙、丁四人做接力游戏，开始时，甲和乙分别站在∠AOB内的点P与点Q处，丙站在OA上，丁站在OB上.游戏规则:甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，丙将接力棒传给丁，最后丁跑到终点P处.如果甲、乙、丙、丁四人速度相同，试作图求出丙、丁必须站在何处，他们比赛所用时间最短.6.如图，如果A，B两地之间有两条平行的河流，现要在河上分别建一座桥，且建的桥都是与河岸垂直的．桥建在何处才能使从A到B的路径最短?(保留作图痕迹,不写作法)7.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.。
人教版初中数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思
13.4.最短路径问题仙桃市第九中学王月娥一、内容和内容解析1．内容利用轴对称、平移研究某些最短路径问题2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.. 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.目标：（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，建立数学模型，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短．达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手. 对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”．. 对学生而言，造桥选址问题的难度在于河的宽度如何处理，教师可作适时的点拨，如通过平移河岸使它们重合，引导学生朝着平移A或平移B去考虑..基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四．教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，化静为动，充分渗透转化的数学思想，以《几何画板》为平台，借助其计算功能，对线段长度的度量，让形的问题转化为数的问题，更有助于学生的探究发现.五．教学过程设计：活动设计师生活动设计意图【情景引入】 1、抛出问题.一位将军要从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？1、 感受情景，激发学习热情.2、问题思考利用问题情景， 增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.【共研释疑】活动一、观察思考，抽象问题提问:1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？2.请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题.明确：（1）将A ，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线（2）点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.师关注学生能否从实际问题中抽象出数学模型。
13.4课题学习最短路径问题(教案)2022秋八年级上册初二数学人教版(安徽)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图示和模型来演示Dijkstra算法的执行过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了最短路径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于最短路径问题的兴趣还是比较高的。在导入新课的时候，通过提问的方式，大家都能积极参与进来，分享自己在生活中遇到的最短路径问题。这为接下来的新课讲授奠定了良好的基础。
在新课讲授环节，我尽量用简单明了的语言解释了最短路径的基本概念，并通过案例分析，让学生们看到了这个知识点的实际应用。不过，我也注意到，对于Dijkstra算法这一部分，学生们理解起来还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要在这一部分多花一些时间，用更直观的方式，比如图解或者动画演示，来帮助学生更好地理解这个算法的原理和步骤。
3.增强学生的空间观念，通过实践活动，培养其在现实情境中运用几何知识进行观察、分析和解决问题的能力。
4.培养学生的数据分析素养，使其能够对实际问题进行合理的数据整理和分析，为求解最短路径提供依据。
5.激发学生的创新意识，鼓励其在解决最短路径问题时，积极探索多种可能，优化解决方案。
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13.4课题学习 最短路径问题导学案
【学习目标】
1， 复习轴对称的知识，会画轴对称图形。
2， 能够利用轴对称的知识解决实际问题。
3， 培养同学们自学意思和探究能力。
学习重点：会画轴对称图形。
学习难点：会用轴对称知识解决实际问题。
一、复习导入：
（1），同学们以前学过的线段最短问题有哪些？还记得吗？
1、
2、
（2），如何做直线外一点关于这条直线的对称点？
1、
2、
二、导入新课
问题1 如图牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地。
牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
作点A 或B 关于直线L 的对称点B ′或A ′，再连接AB ′或BA ′与对称轴L 的交点即为所求。
（证明方法为：三角形两边之和大于第三边）
问题2 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造成在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
分析引导：我们可以把河岸看成两条平行线，N 为直线b 上一个动点，MN 垂直于直线b ，交直线a 于点M,这样问题可以转化成：当点N 在直线b 的什么位置时AM+MN+NB 最小。
解：将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移动到点N ，点A 移动到点A ′,则AA ′=MN,AM+NB=A ′N+NB.连接A ′，B 两点的线中，线段A ′B 最短。
因此线段A ′B 与直线b 的交点N 的位置即为所求。
能力提升：你能证明为什么点N 即为所求的点吗？
课堂归纳：
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
作业：
课本93第15题。
学后反思：。