测量学第六章 测量误差及数据处理的基本

6．3 偶然误差的特性及其概率密度函数
偶然误差单个出现时不具有规律性，但在相同条件 下重复观测某一量时，所出现的大量的偶然误差却具一 定的规律性。 例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重 复观测了358次按下式算得三角形各次观测的误差(称三角 形闭合差)： ⊿i=a i +b i +c i -180
再考虑到其他因素的影响，可以认为视距精度约1/300。
(2)测量高差的精度分析 1 h= K l sin 2α 2 Mh=±K l cos2α m α / ρ” Mh= ±D m α / ρ” 当 D=100m Mh= ±3cm Mh极限= ±9cm
6.6 同精度直接观测平差
6.6.1 求最或是值 设对某量进行了n次同精度观测，其真值为X，观测值为 ll，l2，…，ln，相应的真误差为， Δl， Δ 2，…， Δ n则 Δ l= ll –X Δ 2= l2 -X
④在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平 均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即
图中所有矩形面积的总和等于1， 而每个长方条的面积等于 k/0.2n×0．2＝k/n， 即为偶然误差出现在该区间内的频 率。 若使观测次数n→∞，并将 区间d⊿分得无限小，此 时各组内的频率趋于稳定 而成为概率．直方图顶端 连续格变成一个光滑的对 称曲线
c
a
S
b
A hAP
hPB B
P
“多余观测”导致的差异事实上就是测量误差。测量误差 正是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。
3．测量误差的来源 测量仪器 观测者 外界环境
观测条件：测量仪器、观测者和外界环境统称为观测条件。 一个观测工作的观测条件是决定观测精度的决定因素。 6．2 测量误差的种类
(1)测定系统误差的大小，对观测值加以改正
(2)采用对称观测的方法
(3)检校仪器
偶然误差
在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误 差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固 定，表现出偶然性．这种误差称为偶然误差．又称为随机 误差。 偶然误差反映了观测结果的精密度。精密度是指在同 一观测条件下，用同一观测方法对某量多次观测时，各观 测值之间相互的密集或离散程度。 粗差
例3：己知当水准仪距标尺75m时一次读数中误差 m读≈± 2mm (包括照准误差，气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)，若以 三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭 合差的容许误差。 解：
水准测量每一站高差，h＝ai-bi (i＝l，2，…，n) 则每站高差中误差
2 + m 2 m γ =±√ m 读 读
测量中用中误差代替精度指数作为衡量观测值精度 的标准。 [⊿⊿] n
m= ±
中误差m的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的 横坐标。这也说明了用精度指数和中误差来衡量观测 结果质量优劣的一致性。
6．4．3
极限误差
绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0．3 ％，是小概率事件，故通常以三倍中误差作为偶然误差 的极限误差的估值，即 ⊿极 =3 m
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
称为概率元素。
f(⊿ i)越大，表示偶然误差出现在该区间内的概率也越大， 受之则越小。
称f(⊿i)为偶然误差的概率密度函数，简称密度函数， 其公式为:
f(△)= √π h=ec√π h
e
2 2 -h △
c为积分常数
偶然误差不能用计算来改正或用一定的观测方法简单 地加以消除，只能根据其特性来合理地处理观测数 据．以提高观测成果的质量。
反之，h值越小，曲线两侧越缓．表示偶然误差的分布 较为离散，说明小误差出现的概率较小，观测结果的精 度较低。因此称h称为观测值的精度指数。
根据这样的基本原理，还要设法通过h寻找出另一种计算 方便的指标来衡量观测值的精度，这就是中误差。
6．4．2
中误差
根据概率定理，各偶然误差在一组观测值中同时出现的概 率等于各偶然误差概率的乘积，即
=± m 读 √2=±2.8mm
观测n站所得总高差 h=h1+h2+ ···+hn mh =± m站√n = ±2.8 √n = 现以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为
△容=3× ±2.8 √n =±8 √n
例4：函数式△y＝Dsin α，测得D=225.85±0.06m， α＝157°00’30” ±20”，求△y的中误差m △y 。 解：
解： D＝500d＝500×0.234=117.25m mD =±500 md = ±500 ×0.0002m=±0.1m
例2：设对某一个三角形观测了其中α、β两个角．测角中 误差分别为m α ＝±3.5”，m β ＝±6.2”，现按公式 γ＝180°- α-β 求得γ角，试求γ角的中误差m γ 。 解： m γ =±√ m α 2+ m β 2 =±√3.52+6.22 =±7.1”
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6.4
衡量观测值精度的指标
在测量中，用精确度来评价观测成果的优劣。 精确度是准确度与精密度的总称。 准确度主要取决于系统误差的大小
精密度主要取决于偶然误差的分布。
对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测 值．用精密度来评价该组观测值质量的优劣。精密度
简称精度。
衡量精度的指标：能反映出误差分布的密集或离散的 程度的指标。
粗差也称错误，是由于观测者使用仪器不正确 或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的 错误，或因外界条件发生意外的显著变动引起的差 错。
在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在的。 当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位， 观测误差呈现出系统的性质；反之，呈现出偶然的性质。 处理测量误差的基本方法： 1、寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内 2、根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最 接近未知量真值的估值，称为最或是值或平差值 3、评定观测结果质量的优劣，即评定精度。 第2、3项工作在测量上称为测量平差，简称平差。
中误差、极限(容许)误差等称为绝对误差。
6．5 误差传播定律
表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律 称为误差传播定律。 设f为独立变量x1,x2，…．xn的函数．即 Z=f(x1,x2，…．xn ) 其中Z为不可直接观测的未知量．真误差为⊿Z，中误差 为m Z,各独立变量xi(i＝1,2，…，n)为可直接观测的未知 量，相应的观测值为li，相应的真误差为⊿i，相应的中 误差为mi 即有
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
式中： a i 、b i 、c i 为三角形三个内角的各次观测值
取误差区间 d△(间隔)为0.2″ ，将误差按数值大小及符 号进行排列．
统计特性： ①在一定的观测条件下， 偶然误差的绝对值不会 超过一定的限度，即偶 然误差是有界的； ②绝对值小的误差比绝 对值大的误差出现的机 会大； ③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 相对个数=k/n
系统误差、偶然误差和粗差。 系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观 测中．数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的 误差，称为系统误差。
系统误差的特点：具有累积性。 准确度：是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。 系统误差的存在必将给观测成果带来系统的偏差，观测结 果的准确度受到不良影响。 消除或减弱系统误差的方法：
我们认为，在一次观测中出现的某一组偶然误差．应具 有最大的出现概率，即其概率P最大。 令：dP/dh=0 得
-2h2∑⊿2+n=0
m=
m= ±
[⊿⊿]
n
m称为中误差，[⊿⊿]表示各偶然误差的平方和。
它表明了中误差m与精度指数h成反比，即中误差m 愈大，精度指数愈小，表示该组观测值的精度愈低；反 之，则精度愈高。
Δ n= ln -X 取和得：[Δ ] = [l]-nX 除以n得： [Δ ] [l] n = n -X =L-X
[Δ ] [l] n = n -X =L-X 式中L= (ll+l2+…+ln )/n=[l]/n，为算术平均值。 根据偶然误差第四个特性．当n→∞时，[Δ ]/n →0,于是 L≈X。即当观测次数n无限多时，算术平均值就趋向于未知 量的真值。 当观测次数有限时．可以认为算术平均值是根据已有的观测 数据所能求得的最接近真值的近似值．称为最或是值或最或 然值，用最或是值作为该未知量真值的估值。每一个观测值 与最或是值之差，称为最或是误差，用符号vi (i＝l，2，…，n) 来表示: vi ＝li-L
6．4．1 精度指数
偶然误差概率密度函数: h 2 2 -h f(△)= e △ √π 当△ ＝o时,函数取得最大值 h/√π 。 h值的大小不同，函数的最大值(曲线峰顶在纵坐标轴上的 位置)也不同。分布曲线的陡缓程度也就不同。