(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列课件

为
.
答案 4
解析 本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用.
等差数列{an}中,S6= (a1
a6 2
)

6
=48,则a1+a6=16=a2+a5,
又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4.
方法总结 求解此类题时,常用Sn= (a1 2an )n 求出a1+an的值,再结合等差数列中“若m,n,p,q∈N*,m
令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(n∈N*),
下证{bn}是“H数列”.
设{bn}的前n项和为Tn,则Tn= n(n 1) a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m= n(n 1) ,使
2
2
得Tn=bm.所以{bn}是“H数列”.
同理可证{cn}也是“H数列”.
通项公式:an=a1+(n-1)d.
前n项和公式:Sn= (a1 an )n =na1+ n(n 1) d.
2
2
(2)等比数列:
递推关系式: an1 =q(q≠0),常用于等比数列的证明. an
通项公式:an=a1·qn-1.
前n项和公式:Sn= naa1(111(qqqn1)),(q 1).
证明 本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识探究与解决问题的能力. (1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d, 从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3, 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an, 因此等差数列{an}是“P(3)数列”. (2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此, 当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an, ① 当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an. ② 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1), ③ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an). ④ 将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4, 所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'. 在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d', 在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',
解析 (1)证明:由已知得,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m =n+1,使得Sn=2n=am. 所以{an}是“H数列”. (2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d, 于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.
2
2
若d1=0,则由d1- 1 d=0,得d=0,
2
与题设矛盾,所以d1≠0.
又因为cd1=0,所以c=0.
4.(2014江苏,20,16分,0.17)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn =am,则称{an}是“H数列”. (1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值; (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.
当d=-1时,an=2-n,Sn= n(3 n) 是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=
2
2- n(3 n) ,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.
2
因此d的值为-1.
(3)证明:设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).
1q 3
3
由于Sn+2+Sn+1=- 4 +(-1)n·2n3 2n2
3
3
=2

2 3

(1)n

2n1 3

=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
方法总结 等差、等比数列的常用公式:
(1)等差数列:
递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明.
∴
ad1
1, 1,
∴an=n.
∴前n项和Sn=1+2+…+n= n(n21) ,
∴
1 Sn
= 2 n(n 1)
=2

1 n

n
1
1

,
∴ n 1 =2 1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1
S k1 k
2 23
n n1
=2 1
n
1
6.(2014福建改编,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于
.
答案 12
解析
∵S3= 3(a1
2
a3
)
=3a2=12,∴a2=4.
∵a1=2,∴d=a2-a1=4-2=2.
∴a6=a1+5d=12.
7.(2017课标全国Ⅰ文,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
所以,对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*).
B组 统一命题·省(区、市)卷题组
考点一 等差数列的定义及运算
1.(2017课标全国Ⅲ理改编,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则
{an}前6项的和为
于所有的n∈N*,有

d1

1 2
d

n3+

b1

d1

a

1 2
d

n2+cd1n=c(d1-b1).
令A=d1- 1 d,B=b1-d1-a+ 1 d,
2
2
D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有
An3+Bn2+cd1n=D. (*)
在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得
=b1b4,即

a

d 2
2

=a

a

3 2
d

,
化简得d2-2ad=0.
因为d≠0,所以d=2a.
因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.
从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.
(2)设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1,即 nn2 Snc =b1+(n-1)d1,n∈N*,代入Sn的表达式,整理得,对
nSn
n2
c
,n∈N*,其中c为实数.
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.
证明 由题意得,Sn=na+ n(n21) d.
(1)由c=0,得bn= Snn =a+ n 21d.
又因为b1,b2,b4成等比数列,所以 b22
+n=p+q,则am+an=ap+aq”的性质求解数列中的基本量.
3.(2017课标全国Ⅱ理,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 kn1 S1k =
.
答案 2n
n 1
解析 本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.
设公差为d,则
4a1a126dd31, 0,
.
答案 -24
解析 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式. 设等差数列{an}的公差为d,依题意得 a32 =a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=
1,∴S6=6×1+6 5×(-2)=-24.
2
2.(2017课标全国Ⅰ理改编,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差
所以数列{an}是等差数列. 方法总结 数列新定义型创新题的一般解题思路:
1.阅读审清“新定义”;
2.结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义”的相关知识;
3.利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论.
3.(2013江苏,19,16分,0.224)设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项的和.记bn=
1

=2· n
n 1
= 2n
n 1
.