三角形相似专题复习提升版
相似三角形的性质提高题及答案
相似三角形的性质知识精要相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母k 表示。
如△ABC ∽△A'B'C'，则k A C CA C B BC B A AB ==='''''',注意：相似比具有方向性，若写作△A'B'C'∽△ABC ，则相似比为k1。
根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”，记△ABC 和△A'B'C'的周长分别为ABC C ∆和'''C B A C ∆，则k C C C B A ABC =∆∆''':.类型一 相似比与周长比在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方法。
例题精解例1 如图，已知等边三角形ABC 的边长为6，过重心G 作DE//BC,分别交AB,AC 于点D,E.点P 在BC 上，若△BDP 与△CEP 相似，求BP 的长。
点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。
图中只能确定一组相等的角（∠B=∠C ）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。
【举一反三】1、如图，△ABC 中，CD 是角平分线，E 在AC 上，CD 2=CB ·CE.（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AD=6，AE=4，DE=5，求BC的长。
点评：先根据判定定理2得到△BCD∽△DCE，再根据判定定理1得到△ADE∽△ACD，这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。
2、如图，△ABC中,DE//BE,分别交AB于D，交AC于E。
已知AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE与四边形BCED的周长相等，求DE的长。
点评：无论是以相似比k 作为未知量，还是以DE=x 作为未知量，目的都是为了把其他的量用k 或x 来表示，根据题设的等量关系列方程。
相似三角形的专题复习课
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与
CB边上的点E重合，若A善D于=1在0复, A杂B图=形8,
则EF=___5___
中寻找基本型
D
A
F
C
EE
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
长线于点E.
求证：OC2＝OA·OE.
旋转型
例3. D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1＝
∠2，∠3＝∠4.
求证：(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)， ∴△ABD∽△CBE.
双垂直型 例4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于 点D.
A
D E
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
B
C
∴ AD DE
AC BC
∴ AD·BC=AC·DE
练1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判 定△ADC∽△ACB．
①
∠ACD=∠B
，
②
∠ACB=∠ADC
，
D
③
AD AC
AC 或AC2 AB
AD• AB。
学习目标
1、进一步熟练相似三角形的性质与判定。 2、归纳总结相似三角形的几种基本图形， 能利用这些基本图形进行相关的计算与证明。
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
相似三角形专项训练_提高题
E FDAB CFEA BC D 相似三角形专项训练 提高题1、已知：在三角形ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且ECAE=2，BE 、CD 相交于点F ，求EFBF的值 FDE ABC取AE 中点F ，连接DF ，2、已知：在三角形ABC 中，AD=31AB ，延长BC 到F ，使CF=31BC ，连接FD 交AC 于点E ，求证：（1）DE=EF ，（2）AE=2CE作CG//AB 交EF 于点G ，则ΔFCG ∽ΔFBD→CG/BD=FC/FB=1/4；∴CG=1/4BD=1/2AD.∴CG/AD=1/2, .ΔCEG ∽ΔAED→CE/AE=CG/AD=1/2→AE=2CE. CG//AB→FG/GD=FC/CB=1/3→GD=3FG→DE+EG=3FG ∵EG/DE=CE/AE=1/2∴EG=1/2DE ∴DE+1/2DE=3FG →FG=1/2DE ∴EF=EG+FG=1/2DE+1/2DE=DE.3、已知：D 、E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，BD ：DE=AB ：AC ，求证：三角形ABC 为等腰三角形过A 作AG 平行DE 交BC 于GDE:AG=BD:AB,即BD:DE=AB:AG 又BD ：DE=AB ：AC AG=AC又AG 平行DE 即AG 平行EF AG ：EF=AC ：FC EF=FCEFC 是等腰三角形4、已知：AB//CD//PQ 求证：PQAB CD 111=+ DQACBPAB ‖CD ‖PQ=>CP/CA=PQ/AB,AP/CA=PQ/CD=>CP/CA+AP/CA=PQ/AB+PQ/CD =>1=PQ/AB+PQ/CD =>1/PQ=1/AB+1/CD 即1/CD+1/AB=1//PQ77、已知：在正三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F 求证：(1) DC=AE ； (2) DF DC AD 2∙=15、已知：直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ABC=90度， AB=2CD ，对角线B D ⊥AC ，垂足为F ， 过点F 作EF//AB 交AD 于E ，CF=4 （1）求证：三角形DAB 为等腰三角形 （2）求AE 的长ED BFACF EAB C D9．(2009武汉)如图1，在Rt 中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC边上一点，连接BO 交AD 于F ，交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OFOE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OFOE的值．【关键词】相似三角形的判定和性质【答案】解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°．90BAC BAF C ∠=∴∠=∠ °，．90OE OB BOA COE ∴∠+∠= ⊥，°，，ABF COE ∴∠=∠．ABF COE ∴△∽△；（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ．2AC AB = ，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==．由（1）有ABF COE △∽△，，BF OE ∴=．BADE C OF GBBAACOE D DEC O F 图1图2F90BAD DAC ∠+∠= °，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，，又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =．ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==．，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OGBF AB∴=，．解法二：902BAC AC AB AD BC ∠== °，，⊥于D ， ．2AD ACBD AB∴==． 设1AB =，则252AC BC BO ===，，，21155525AD BD AD ∴===，． 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴ °，△∽△， BD BODF OE∴=． 由（1）知，设OE BF x ==，1525DF x∴=，10x DF ∴=． 在DFB △中2211510x x =+，23x ∴=． 2422233OF OB BF ∴=-=-=．4232223OF OE ∴==．（3）OFn OE=．BAD E C OF5、（2010年教育联合体）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问：(1) 图中△APD 与哪个三角形全等？并说明理由．[来源:学|科|网] (2) 求证：△APE ∽△FPA ．(3) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．(1) △APD ≌△CPD理由： ∵四边形ABCD 菱形∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP又∵PD=PD[来源:学科网ZXXK] ∴△APD ≌△CPD(2) 证明：∵△APD ≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP ∵CD ∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA(3) 猜想：PF PE PC ∙=2 理由: ∵△APE ∽△FPA∴PA PE FPAP =∴ PF PE PA ∙=2 ∵△APD ≌△CPD∴PA=PC ∴PF PE PC ∙=26、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠B+∠C=180°，且AD ∥BC 则：∠ADE=∠DEC （两直线平行，同位角相等） ∵∠AFE=∠B ，且∠AFE+∠AFD=180° ∴∠AFD=∠DCE ∴△ADF ∽△DEC（2）∵DC=AB=4（平行四边形对边相等）。
初三相似三角形提高拓展专题练习附答案
14．〔1〕把两个含 450 角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线
交 BE 于点 F，求证：AF⊥BE
〔2〕把两个含 300 角的直角三角板如图 2 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线交 BE
于点 F，问 AF 与 BE 是否垂直？并说明理由.
2
________________．
12. 将三角形纸片〔△ABC〕按如下图的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．AB
A
பைடு நூலகம்
B
＝AC＝3，
设以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF 的长度是．
D
F
E BC＝4，假
C
13．如图，
正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影局部的 面积是 cm2． 三、解答题
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，
A
菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边
M
N
B AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则以下表达正确的选
O
D
项是
C
〔〕
A．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B．四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形
C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形
A．8
B．9.5
C．10
D．11.5
A
D
G
二、填空题 B
E
C
8．如图，路灯距离地面 8 米F ，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部〔点 O 〕20 米的 A 处，则小明
(完整版)相似三角形提高练习(经典)
第四章相似图形11.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC•各边上的高之比为______．3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________.5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b a3-=____;ab b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;ab b a 3-2+=____8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______9.若3x －4y = 0，则yy x +的值是____________10.若875c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果kcb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。
14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm16.顶角为360的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长.（2）求证：AM 2=AD ·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ）（A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。
《相似三角形》全章复习与巩固(提高) 巩固练习
《相似三角形》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得AB=20米，BD=30米，CE=90米，•则河宽BC为( )A.50米B.40米C.60米D.80米3.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．214．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD =22，CD =2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第2题第4题第5题5．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米6．如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=6，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为( )A.8B.C.8或D.8或97.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BC A.2个 B.3个 C.4个 D.5个第6题 第7题 第8题8．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设BA m =，BC n =，则向量CF 关于m 、n 的分解式表示正确的为（ ） A ．12CF m n =-+B ．12CF m n =-C ．12CF m n =-D ．12CF m n =-+二、填空题9．如图，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________.10．－油桶高0.8m ，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m ，则桶内油面的高度为 。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
初三相似三角形复习提高(含答案)
初三相似三角形复习提高（含答案）学高为师、身正为范！专注个性化教育华县书院教学过程补充表知识要点：1.比例线段的有关概念：ac在比例式?(a：b?c：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，bdb、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段ab分成两条线段ac和bc，使ac2=abbc，叫做把线段ab黄金分割，c叫做线段ab的黄金分割点。
2.比例性质：ac①基本性质：??ad?bcbd②合比性质：aca±bc±dbdbd③等比性质：acma?c?…?ma??…?(b?d?…?n≠0)??bdnb?d?…?nb3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
abdeabdebcef?，?，?，…bcefacdfacdf②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4.相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例则学高为师、身正为范！专注个性化教育③ 相似三角形的对应高度之比、对应中线之比和对应角平分线之比都等于相似比④相似三角形的周长之比等于相似比⑤ 相似三角形的面积比等于相似比的平方[典型示例]例1（1）在中国行政区域地图上，比例尺为1:8000000，测量出a和B城市之间的距离为7.5cm，那么a和B城市之间的实际距离是多少。
《25.5 相似三角形的性质》提升练
《25.5 相似三角形的性质》提升练1.（概念应用题）如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3：2，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 与2S ，周长分别是1C 与2C .则下列说法正确的是（ ）A.32OA OD = B. 32OB CD = C. 1232C C = D.1232S S = 2.两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）A. 45 cm ，85 cmB. 60 cm ，100 cmC. 75cm ，115cmD. 85 cm ，125 cm3.两相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为15，则面积之和是（ ）A. 39B. 75C. 76D. 404.若△ABC ∽△ADE ，若AB =9，AC =8，AD =3，则EC 的长是________.5.已知△ABC 与△DEF 相似，如果△ABC 三边长分别为5，7，8，△DEF 的最长边与最短边的差为9，那么△DEF 的周长是__________.6.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB =4，AD =2，∠DAC =∠B ，如果△ABD 的面积为15，求△ACD 的面积.7.两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm和14cm，它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长.8.（素养提升题）如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.易错必究规避陷阱易错点对应关系不明确导致漏解.【案例】已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A. 105+B. 15C. 10+D. 15+参考答案1. C2. C3. A4.答案：163【解析】设EC =x∴AC =8，∴AE =8-x ，∵△ABC ∽△ADE ， ∴AD AE AB AC=, ∴3898x -=, 解得：163x =.5.答案：60【解析】设△DEF 的最长边为x ，最短边为y ，依题意，则有：:8:5,9x y x y =⎧⎨-=⎩ 解得：x =24，y =15；∴△ABC 和△DEF 的相似比为1：3，周长比也是1：3；∵△ABC 的周长=5+7+8=20，∴△DEF 的周长为60.6.【解析】∵∠DAC =∠B ，∠C =∠C ，∴△ACD ∽△BCA. ∴2221()()44ACD BCA S AD S AB ===△△. ∴14ACD BAD ACD S S S =+△△△.∵△ABD 的面积为15，∴ACD S △=5.7.【解析】∵两个相似三角形的对应边的比是35：14=5：2，周长的比等于相似比，∴可以设一个三角形的周长是5x ，则另一个三角形的周长是2x.∵周长相差60cm ，∴5x -2x =60，解得x =20.∴这两个三角形的周长分别为100cm ，40cm.8【解析】（1）∵DC =AC ，CF 平分∠ACB ，∴AF =DF .又∵点E 是AB 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线.∴EF ∥BD ，即EF ∥BC.（2）由（1）知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD . ∴2()AEF ABD S AE S AB=△△. 又∵点E 是AB 的中点，∴12AE AB =. ∴14AEF ABD S S =△△. ∴14AEF ABD S S =△△. ∴164ABD ABD S S -=△△. ∴8ABD S =△.易错必究 规避陷阱【案例】A。
中考数学总复习《相似》专项提升练习题-附答案
中考数学总复习《相似》专项提升练习题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（）A．BD= 12AD B．BC2=AB•CD C．AD2=BD•AB D．CD2=AD•BD 2．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为（）A．√5B．√6C．√10D．63．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC=6，CE=3，DF=2则BF的长为（）A．4 B．4.5 C．5.5 D．64．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AE=3，EC=6，则ADAB的值为（）A．12B．13C．14D．165．如图，△ ABC与△ DEF位似，点O是位似中心，若OE=3OB，S△ABC =4，则S△DEF =（）A．9 B．12 C．16 D．366．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．如图，直线y=−x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB=2AD曲在第一象限经过C，D两点，则k的值是（）线y=kxA．3 B．6 C．8 D．248．《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF 过点A，且ME=80步，NF=245步，则正方形的边长为（）A．140步B．150步C．280步D．300步二、填空题9．已知a=2.4cm，c=5.4cm并且a，b，c，d成比例线段，那么b=cm．10．在△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC垂足为D，AD=3，BD=2则CD的长为.11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是．12．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点．连接AO并延长交PB 的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知PA=6，AC=8则CD的长为．13．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=3√2，AF=2BF，那么GB= ．三、解答题14．已知，如图，点A，B，C分别在△EFD的各边上，且AB∥DE，BC∥EF，CA∥FD，求证：A，B，C分别是△EFD各边的中点．15．如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，延长DE至点F，使DE=EF，求证：△CFE∽△ABC.16．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF∽△ECF；（2）如果AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，求CE的长．17．如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠ABC=∠ADE，AB=BC，AD=DE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）连接BD、CE，若ABAC =32，△ABD的面积为9，求△ACE的面积．18．在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高.答案1．D2．C3．D4．B5．D6．C7．A8．C9．3.610．9211．2 √312．2√513．2−√214．证明：如图，∵AB∥DE，BC∥EF，CA∥FD，∴四边形AFBC，四边形ABDC，四边形ABCE为平行四边形，∴BF=CA，BD=AC，∴BF=BD；同理可证：AF=AE，CD=CE，∴A，B，C分别是△EFD各边的中点．15．证明：∵点D为△ABC的边AB的中点∴AD=BD∵DE∥BC∴ADBD =AECE，∠ADE=∠B∴AE=CE在△ADE与△CFE中{AE=CE ∠AED=∠CEF DE=EF∴△ADE≌△CFE(SAS)∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F∴∠B=∠F∴△CFE∽△ABC.16．（1）解：∵DC∥AB∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E∴△ABF∽△ECF．（2）解：∵AD＝BC，AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm ∴BF＝3cm．∵由（1）知，△ABF∽△ECF∴BACE =BFCF，即8CE=32．∴CE＝163（cm）17．（1）证明：∵AB=BC，AD=DE∴ABAD =BCDE．又∵∠ABC=∠ADE∴△ABC∽△ADE（2）解：∵△ABC∽△ADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC 即∠BAD=∠CAE∴△BAD∽△CAE，且相似比为ABAC =32∴△ABD与△ACE的面积比为94．∵△ABD的面积为9∴△ACE的面积为4．18．解：设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）.因为CE∥AB所以△AGF∽△EHF.因为，FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3 所以，EH=3.5-1.5=2，AG=x-1.5. 由△AGF∽△EHF得AGEH =GFHF,即x−1.52=303所以，x-1.5=20解得，x=21.5（米）答：旗杆的高为21.5米。
相似三角形难题及答案-精练版
相似三角形提高训练一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。
4.5.1 相似三角形的基本性质和三角形的重心 浙教版数学九年级上册素养提升卷(含解析)
4.5 相似三角形的性质及其应用第1课时 相似三角形的基本性质和三角形的重心基础过关全练知识点1 相似三角形的性质1.【教材变式·P141课内练习T1】已知△ABC ∽△A'B'C',BD 和B'D'是它们的对应中线,若AC A′C′=23,则BD B′D′=( )( )A.49B.94C.23D.322.已知△ABC ∽△A'B'C',AD 和A'D'是它们的对应角平分线,若AD =8,A'D'=12,则△ABC 与△A'B'C'的相似比是( )A.2∶3B.4∶9C.3∶2D.9∶43.如图,已知△ABC ∽△ACP ,∠A =70°,∠APC =65°,则∠B 的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°第3题图 第4题图4.【新独家原创】圆圆做的一个风筝支架示意图如图所示,已知△ABC ∽△ADE ,相似比为2∶5,经测量,点A 到BC 的距离为2,则BC 与DE 之间的距离为 .( )5.求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:①根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹;②在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.知识点2 三角形的重心及性质6.如果三角形的重心在它的一条高线上,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.(2023浙江杭州拱墅期中)如图,点G为△ABC的重心,连结CG、AG 并延长,分别交AB、BC于点E、F,连结EF,若AB=4.4,AC=3.2,BC=3.6,则EF的长为( )A.1.6B.1.8C.2.2D.2.48.如图,已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AB =6,点P 是Rt △ABC 的重心,则点P 到AB 所在直线的距离等于( )A.1B.2C.32D.29.(2022湖北荆门中考)如图,点G 为△ABC 的重心,D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 的中点,具有性质:AG ∶GD =BG ∶GE =CG ∶GF =2∶1.已知△AFG 的面积为3,则△ABC 的面积为 .能力提升全练10.【分类讨论思想】如果两个相似三角形的对应边之比为3∶7,其中一个三角形的一边上的中线长为2,则另一个三角形对应中线的长为( )A.143B.67C.143或67D.无法确定11.如图,在△ABC 中,BD ,CE 分别为AC ,AB 边上的中线,BD ⊥CE ,若BD =3,CE =5,则△ABC 的面积为( )( )A.20B.16C.15D.1012.(2022浙江杭州拱墅期中,10,★★☆)如图,H是△ABC的重心,延长AH交BC于D,延长BH交AC于M,E是DC上一点,且DE∶EC=5∶2,连结AE交BM于G,则BH∶HG∶GM等于( )A.7∶5∶2B.13∶5∶2C.5∶3∶1D.26∶10∶313.(2023浙江杭州上城期中,8,★★☆)如图,在三角形纸板ABC 中,AC=4,BC=8,AB=11,P是BC上一点,沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板.针对CP长的不同取值,三人的说法如下.甲:若CP=4,则有3种不同的剪法;乙:若CP=2,则有4种不同的剪法;丙:若CP=1,则有3种不同的剪法.下列判断正确的是( )A.乙错,丙对B.甲和乙都错C.乙对,丙错D.甲错,丙对14.如图,在△ABC中,D是BC上的点,E是AD上的点,且ABAC =ADCE,∠BAD=∠ECA.(1)求证:AC2=BC·CD;(2)若E是△ABC的重心,求AC2∶AD2的值.素养探究全练15.【推理能力】已知:如图,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=90°,∠ABD=90°,AB=BD,BC=4(点A、D在直线BC的两侧),点G是Rt△ABD 的重心,射线BG交边AD于点E,射线BC交边AD于点F.(1)求证:∠CAF=∠CBE;(2)当点F在边BC上,AC=1时,求BF的长;(3)若△BGC是以BG为腰的等腰三角形,试求AC的长.答案全解全析基础过关全练1.C ∵△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应中线,ACA′C′=23,∴BDB′D′=ACA′C′=23.故选C.2.A ∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应角平分线,AD=8,A'D'=12,∴△ABC与△A'B'C'的相似比为AD∶A'D'=8∶12=2∶3.故选A.3.A ∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°,∵∠A=70°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°.故选A.4.答案 3解析 如图,过点A作AQ⊥DE交DE于点Q,交BC于点P,∵△ABC∽△ADE,∴∠ABC=∠ADE,∴BC∥DE,∵AQ⊥DE,∴AP⊥BC,∵△ABC∽△ADE,∴APAQ =25,由题意可知,AP=2,∴AQ=5,∴PQ=AQ-AP=5-2=3,即BC与DE之间的距离为3.5.解析 (1)如图所示,△A'B'C'即为所求.(2)已知:如图,△ABC ∽△A'B'C',A′B′AB =B′C′BC =A′C′AC=k ,D 是AB 的中点,D'是A'B'的中点,求证:C′D′CD =k.证明:∵D 是AB 的中点,D'是A'B'的中点,∴AD =12AB ,A'D'=12A'B',∴A′D′AD =12A′B′12AB =A′B′AB,∵△ABC ∽△A'B'C',∴A′B′AB =A′C′AC ,∠A'=∠A ,∴A′D′AD=A′C′AC ,∴△A'C'D'∽△ACD ,∴C′D′CD =A′C′AC=k.6.A ∵三角形的重心在它的一条高线上,∴这条高线所在直线是三角形某一边的垂直平分线,∴这个三角形一定是等腰三角形.故选A .7.A ∵点G 为△ABC 的重心,∴AF 和CE 为△ABC 的中线,∴E 、F 分别为AB 、BC 的中点,∴EF 为△ABC 的中位线,∴EF =12AC =12×3.2=1.6.故选A .8.A 如图,连结CP 并延长,交AB 于D.∵P 是Rt △ABC 的重心,∴CD 是△ABC的中线,PD =13CD ,∵∠ACB =90°,∴CD =12AB =3,∴PD =1,∵AC =BC ,CD 是△ABC 的中线,∴CD ⊥AB ,∴点P 到AB 所在直线的距离等于1,故选A.9.答案 18解析 ∵CG ∶GF =2∶1,△AFG 的面积为3,∴△ACG 的面积为6,∴△ACF 的面积为3+6=9,∵点F 为AB 的中点,∴△ACF 的面积=△BCF 的面积,∴△ABC 的面积为9+9=18.能力提升全练10.C ∵相似三角形的对应边之比为3∶7,∴它们的对应中线的比为3∶7,∵其中一个三角形的一条中线长为2,而这条中线可能是小三角形的,也可能是大三角形的,∴另一个三角形对应的中线长可能为143,也可能为67.故选C .11.D 如图,设CE 与BD 交于点O ,∵BD ,CE 分别为AC ,AB 边上的中线,∴点O 是△ABC 的重心,∴OC =23CE =103,∵BD ⊥CE ,∴△BDC 的面积=12·BD ·OC =12×3×103=5,∵BD 为AC 边上的中线,∴S △ABC =2S △BDC =10,故选D .12.D 如图,过C 作CF ∥BM ,交AE 的延长线于F ,∵H 是△ABC 的重心,∴M 是AC 的中点,D 是BC 的中点,∴G 是AF 的中点,且GM =12CF ,设CF =a ,则GM =12a ,∵CF ∥BG ,DE ∶EC =5∶2,D 是BC 的中点,∴CF BG =CE BE =25+5+2=16,∴BG =6CF =6a ,∴BM =132a ,∵H 是△ABC 的重心,∴BH =23BM =133a ,∴HG =BG -BH =6a -133a=53a ,∴BH ∶HG ∶GM =133a ∶53a ∶12a =26∶10∶3.故选D .13.C 如图所示,过P 作PD ∥AB 交AC 于D ,PE ∥AC 交AB 于E ,则△PCD ∽△BCA ,△BPE ∽△BCA ,此时0<PC <8;如图所示,作∠BPF =∠A ,F 在边AB 上,则△BPF ∽△BAC ,此时0≤PC <8;如图所示,作∠CPG =∠A ,G 在边AC 上,则△CPG ∽△CAB ,当点G 与点A 重合时,CA 2=CP ·CB ,即42=CP ×8,∴CP =2,∴0<CP ≤2.综上可知,当0<CP ≤2时,有4种不同的剪法;当2<CP <8时,有3种不同的剪法.∴甲和乙对,丙错,故选C .14.解析 (1)证明:∵AB AC =AD CE ,∠BAD =∠ECA ,∴△BAD ∽△ACE ,∴∠B =∠EAC ,又∵∠ACB =∠DCA ,∴△ABC ∽△DAC ,∴AC CD =BC AC ,∴AC 2=BC ·CD.(2)由(1)知,△BAD ∽△ACE ,∴∠BDA =∠AEC ,∴∠CDE =∠CED ,∴CD =CE ,∵E 是△ABC 的重心,∴BD =CD ,BC =2BD =2CD ,AE =23AD ,∴BD =CE ,AC 2=BC ·CD =2CD 2,∵△BAD ∽△ACE ,∴AD CE =BD AE ,∴23AD 2=BD ·CE ,∴AD 2=32CD 2,∴AC 2AD 2=2CD 232CD 2=43.素养探究全练15.解析 (1)证明:∵点G是Rt△ABD的重心,∴BE是AD边上的中线,又∵AB=BD,∴BE⊥AD,即∠AEB=90°,∵∠AFB=∠ACF+∠CAF=∠FBE+∠BEF,且∠ACF=90°,∴∠CAF=∠CBE.(2)如图,过点D作DH⊥BC于H,∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBC=90°,∵∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DBC,∵AB=BD,∠ACB=∠BHD=90°,∴△ABC≌△BDH(AAS),∴BH=AC=1,HD=BC=4,∴HC=3,∵∠ACB=∠DHC=90°,∠AFC=∠DFH,∴△AFC∽△DFH,∴ACDH =CFHF=14,∴CF3―CF=14,∴CF=35,∴BF=BC-CF=4-35=175.(3)当GC=GB时,如图,连结DG并延长交BC于H,交AB于N,连结NC,∵点G是Rt△ABD的重心,∴AN=BN,∵∠ACB=90°,∴BN=NC=AN,∴点N在BC的垂直平分线上,∵BG=GC,∴点G在BC的垂直平分线上,∵N、G、D共线,∴DN垂直平分BC,∴BH=HC=2,DH⊥BC,∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBC=90°,∵∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DBC,∵AB=BD,∠ACB=∠BHD=90°,∴△ABC≌△BDH(AAS),∴AC=BH=2;当BG=BC=4时,如图,∵点G是Rt△ABD的重心,∴E为AD的中点,BG=2GE,∴GE=2,∴BE=6,∵∠ABD=90°,AB=BD,E为AD的中点,∴BE⊥AD,AE=BE=6,∴AB=62+62=62,∴AC=AB2―BC2=72―16=214.综上所述,AC的长为2或214.。
相似三角形经典能力提升
相似三角形经典能力提升一、开门见山1、已知三角形ABC中，∠A=90°,AD是BC边上的高。
求证：AD2=BD·CD.2、已知三角形ABC中，AD是BC边上的角平分线。
求证：AB:AC=BD:CD.二、承前启后1、从上两题来看，你得到什么启示？2、试一试：已知三角形ABC中（AB>AC），∠A=90°，BC的中垂线DE交BC于E、交CA的延长线于D、交AB于F。
求证：AE2=EF·ED。
三、练一练1、如图，平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F, 求证:AD·AB＝AF·CEACFEBD2、M 在AB 上，且MB ＝4,AB ＝12,AC ＝16.在AC 上求作一点N, 使△AMN 与原三角形相似，并求AN 的长.3、 在△ABC 中,AB ＝AC, ∠A ＝36°,∠ABC 的平分线BD 与AC 交于D,求证: (1) BC ＝AD (2) △ABC ∽△BDC (3)BC ＝12( 5 –1)AB4、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问：(2) 求证：△APE ∽△FPA．(3) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．MACBD四、课后拓展与作业背景介绍：这条分割直线．．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB 于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．。
中考数学专题之相似三角形提高篇
中考数学专题之相似三角形提高篇(附答案)（★★★★★）综合题1 （2018广州）（14分）如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米（1）当t=4时，求S 的值（2）当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值（★★★）综合题2（2017广东广州，23，12分）已知反比例函数y ＝8m x -(m 为常数)的图象经过点A （－1，6）．（1）求m 的值；（2）如图9，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．图11（★★★★★）综合题3（2016广东广州，24，14分）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．（1）当OC=时（如图），求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求⊙ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．答案：综合题1（1）t ＝4时,Q 与B 重合，P 与D 重合，重合部分是BDC ∆＝3232221=⋅⋅综合题2解：（1）∵ 图像过点A (－1，6)，861m -=-． ∵ m －8－1=6 （2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∵BE ，∵∵CBE ∵∵CAD ，∵CB BE CA AD= ．∵AB＝2BC，∵13 CB CA=∵136BE=，∵BE＝2．即点B的纵坐标为2当y＝2时，x＝－3，易知：直线AB为y＝2x＋8，∵C(－4，0)综合题3：考点：圆的综合题．分析：（1）关键是利用勾股定理的逆定理，判定⊙OCD为直角三角形，如答图①所示；（2）①如答图②所示，关键是判定⊙EOC是含30度角的直角三角形，从而解直角三角形求出⊙ACE的长；②符合题意的梯形有2个，答图③展示了其中一种情形．在求AE•ED值的时候，巧妙地利用了相似三形，简单得出了结论，避免了复杂的运算．解答：（1）证明：连接OD，如答图①所示．由题意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=，⊙OD2+CD2=OC2由勾股定理的逆定理可知，⊙OCD为直角三角形，则OD⊙CD，又⊙点D在⊙O上，⊙CD是⊙O的切线．（2）解：①如答图②所示，连接OE，OD，则有CD=DE=OD=OE，⊙⊙ODE为等边三角形，⊙1=⊙2=⊙3=60°；⊙OD=CD，⊙⊙4=⊙5，⊙⊙3=⊙4+⊙5，⊙⊙4=⊙5=30°，⊙⊙EOC=⊙2+⊙4=90°，因此⊙EOC是含30度角的直角三角形，⊙AOE是等腰直角三角形．在Rt⊙EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°=，在等腰直角三角形AOE中，AE=OA=，⊙⊙ACE的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6++．②存在，这样的梯形有2个．答图③是D点位于AB上方的情形，同理在AB下方还有一个梯形，它们关于直线AB成轴对称．⊙OA=OE，⊙⊙1=⊙2，⊙CD=OA=OD，⊙⊙4=⊙5，⊙四边形AODE为梯形，⊙OD⊙AE，⊙⊙4=⊙1，⊙3=⊙2，⊙⊙3=⊙5=⊙1，在⊙ODE与⊙COE中，⊙⊙ODE⊙⊙COE，则有，⊙CE•DE=OE2=22=4．⊙⊙1=⊙5，⊙AE=CE，⊙AE•DE=CE•DE=4．综上所述，存在四边形AODE为梯形，这样的梯形有2个，此时AE•DE=4．。
第4章《相似三角形》单元提升卷(含解析)
2022-2023相似三角形提升卷（含解析）一、单选题1．若，则的值为（）A．B．C．D．2．下列结论中，不正确的是（）A．若，则B．若，则C．若（b﹣d≠0），则D．若，则a＝3，b＝43．下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（）A．B．C．D．4．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A．16 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm5．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．6．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，7．如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则DE的长度是（）A．B．C．6D．108．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3；④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，则；⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等.A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，已知△ABC和△A′B′C′相似，则图中角度和边长x分别为（）A．30°，9B．30°，6C．40°，9D．40°，610．如图，平行四边形OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，当点D的对应点D'落在OA上时，D'A'的延长线恰好经过点C，则点B的坐标为（）A．（2，2）B．（2，2）C．（21，2）D．（21，2）二、填空题11．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示__．12．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面.13．如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为.14．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE 与原矩形ABCD相似，则AD的长为．15．如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的L 型放入矩形ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形ABCD 的边上；L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形ABCD相似，则AB：BC 的值为.16．如图，在直角∆ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M从点C出发沿线段CA向点A 移动，连接BM，MN⟂BM交边AB于点N．若CM＝2，那么线段AN＝；当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长为。
相似三角形专项训练_提高题
相似三角形专项训练 提高题2、已知：在三角形ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且EC AE =2，BE 、CD 相交于点F ，求EFBF 的值 F DEABC4、已知：D 、E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ， BD ：DE=AB ：AC ，求证：三角形ABC 为等腰三角形 F EA B C D5、已知：AB//CD//PQ 求证：PQAB CD 111=+ DQA C BP6、如图，Rt 三角形ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能经过B 、C ），过D 作∠ADE=45度，DE 交AC 于E 。
（1）图中有无与三角形ABD 一定相似的三角形，若有，请指出来并加以说明（2）设BD=x,AE=y,求y 与x 的函数关系，并写出其定义域；（3）若三角形ADE 恰为等腰三角形，求AE 的长EC B AD7、如图，DE//BC ，ADE S ∆ =1，BDE S ∆ =1 求：S[三角形ABC] EAB C D8、PD//AB 交AC 于D ，联结PA ，设BP=x, ADP S ∆=y求：（1）y 与x 之间的函数关系式并写出定义域；（2）当x 为何值时，y=34? D B A CP9、如图，D 是等边三角形ABC 的BC 上的一个动点，D E ⊥AB ，D F ⊥AC ，E 、F 是垂足（1）求证：三角形BD E ～三角形CDE ；（2）求证：BDF S ∆=CDE S ∆；（3）设AB=1 ，BD=x ,求三角形BDF 的面积y 关于x 的函数解析式 FE ABC D10、已知：角A=90度，矩形DGFE 的D 、E 分别在AB 、AC 上，G 、F 在BC 上（1）如果DGFE 为正方形，BG=2sqrt(2)，FC=sqrt(2)，求正方形DGFE 的边长；（2）若AB=12cm,AC=5cm ，DGFE 的面积为 y 平方厘米,写出y 关于x 的函数解析式，并求由矩形面积为10平方厘米时, 求AD 的长 F ED B ACG11、已知：三角形ABC 中，角ACB=90度，AB=10，BC=8，D 点在BC 上运动（B 、C ）除外，DE//AC ，交AB 于E ，设BD=x ，三角形ADE 的面积为y 。
相似三角形提高
1．相似三角形性质．（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于 ；（3）周长之比等于 ；（4）面积之比等于 ． 7．相似三角形中的基本图形．平行型： 交错型： 旋转型： 母子三角形：一、例题解析：1．如果cm a 4=，cm b 6=，cm a 3=，则a ，b ，c 的第四比例项是 ． 如果3=a ，12=c ，则a 与c 的比例中项是 ． 2．已知，542c b a ==，则=-+-+bc a b c a 22 ． 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ．4．如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6，则S △CDF = ．E D BAC AEDCBF EDCBA5．如图，△ABC 中，DE ∥BD ，AD ∶DB=2∶3，则S △ADE ∶S △ECB = ． 6．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB 于D ． （1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ； （2）若AB ∶BC=1∶9，则AD ∶BD= ．7．如图，平行四边形ABCD 中，BC=18cm ，P 、Q 是三等分点，DF 延长线交BC 于E ，EQ 延长线交AD 于F ，则AF=_______． 8．如图，在△ABC 中，AB>AC ，边AB 上取一点D ，边AC 上取一点E ，使AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ． 求证：BP ∶CP=BC ∶CE ．9．如图，CD 是Rt △ABC 的斜边，AD 是高线，∠BAC 的平分线交BC ，CD 于E ，F ． 求证：（1）△ACF ∽△ABE ；（2）AC ·AE= AF ·AB ．10．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C ． （1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAC=30°，求AE 的长；（3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF 的长．A BCDEA BDEA BCD EABCDABCDEDABC DABCECB A DB E DCA F QPB EDA PB E DC A FB F E DC A11．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到点B ，C ），过D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．一、判断题：1．两个等边三角形一定相似（ ） 2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（ ） 3．两个等腰三角形一定相似（ ）4．若一个三角形的两个角分别是400、1000，而另一个三角形是顶角为1000的等腰三角形，则这两个三角形相似（ ） 二、填空题：1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，若AC ＝5cm ，CD ＝4cm ，则AD ＝ cm ，AB ＝ cm ． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB ＝7cm ，CF ＝3cm ，则AD ∶CE ＝ ．FED C B AB C EDA3．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为 ． 4．CM 是△ABC 的中线，AB ＝12，AC ＝9，AC 上有一点N ，且∠ANM ＝∠B ，则CN ＝ ．NMC B AOFEDCB A FE DCB A5．梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 作EF 平行于底，与腰AD 、BC 相交于E 、F ，若DC ＝14，OF ＝8，AE ＝12，则DE ＝ ．6．如图，正方形ABCD 的面积为144cm 2，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为112.5cm 2，则BE 的长为cm ．三、选择题： 1．已知21=b a ，则b a a+的值为（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）31 （D ）432．如图，已知△ADE ∽△ACB ，且∠ADE=∠C ，则AD ：AC=（ ）（A ）AE ：AC （B ）DE ：BC （C ）AE ：BC （D ）DE ：AB 3．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，那么EC 的长是（ ） （A ） 10 （B ） 22. 5 （C ） 25 （D ） 6 4．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DCE ADE S S ∆∆=2，则ABC ADES S ∆∆=（ ） （A ） 41 （B ） 21 （C ）32 （D ）945．如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为（ ）A 、6cm 2B 、9cm 2C 、12cm 2D 、24cm2FEDCBA6．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的点，AE ＝21ED ，BE 交AC 于F ，则FCAF＝（ ） 1121B E DC A ABCDAB CDEA B CDEA BCD EABCD EABCDE7．如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，不能判定△ACD ∽△ABC 的是以下条件中的（ ）A 、∠ACD ＝∠B B 、∠ADC ＝∠ACB C 、AC 2＝AD ·AB D 、AD ∶AC ＝CD ∶BC8．如图FD ∥BC ，FB ∥AC ，53=BC FE ，则FB AD＝（ ） A 、52 B 、53 C 、32D 、859．梯形ABCD 的两腰AD 和BC 延长相交于点E ，若两底的长度分别为12和8，梯形ABCD 的面积等于90，则△DCE 的面积为A 、50B 、64C 、72D 、5010．如图，已知△ABC 的面积为4 cm 2，它的三条中位线组成△DEF ，△DEF 的三条中位线组成△MNP ，则△MNP 的面积等于（ ） A 、161cm 2 B 、81cm 2 C 、41cm 2 D 、1cm 2FD FEC BAODFECBA11．如图，E 是AC 的中点，C 是BD 的中点，则EDFE＝（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、4112．如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在AD 上，且AF ＝21FD ，EF 交AC 于点O ，若AC ＝12，则AO ＝（ ） A 、4 B 、3 C 、2.4 D 、213．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2和8，则四边形AOED 的面积为（ ）A 、16B 、32C 、38D 、4014．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 为对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 的值等于（ ） A 、2 B 、35 C 、23D 、115．如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：BDBEAD AF =．16．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
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三角形相似专题复习知识点一、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比.2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：如果b c,a d=那么ad=bc.要点诠释：（1）a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项. （2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项）4．比例的性质：（1）合分比性质：如果a c,b d=那么a b c db d±±=；（2）等比性质：如果a c m......b d n===（b+d+……+n≠0），那么a c......m a.b d......n b+++=+++例.已知=，则=．页1页 2知识点二、平行线分线段成比例及其推论 平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：右全左全右上左上全上全上下上下上===,,等等. （2）有推论可以得出以下结论：知识点三、相似多边形的有关概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 要点诠释：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．页 31、如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有………………………………………………………………………………………（ ）（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD2、如图，将△ADE 绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论中错误的是………………………………………………（ ）（A ）AE ⊥AF （B ）EF ︰AF ＝2︰1 （C ）AF 2＝FH ·FE （D ）FB ︰FC ＝HB ︰EC3、如图，在□ABCD 中，E 为DC 上一点，DE ︰CE ＝2︰3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于……………………………（ ）（A ）4︰10︰25 （B ）4︰9︰25 （C ）2︰3︰5 （D ）2︰5︰254、如图，直线a ∥b ，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为（ ）．（A ）5︰12 （B ）9︰5 （C ）12︰5 （D ）3︰25、如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝41AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为……………………………（ ）（A）2︰1（B）3︰2（C）3︰1（D）5︰2 二、填空题：6、如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝21FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．7、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．8、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD 面积是_________．三、证明题：9、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点且EC=DE，延长AC、DE相交于点F，求证BCAC＝DFAF．页4页 510、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 至D ，使得CD ＝BC ，CE ⊥BD 交AD 于E ，连结BE 交AC 于F ，求证AF ＝FC ．11、已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．求证：AB AE ＋CDCG＝1．12、如图，△ABC 中，，且DE=12，BC=15，GH=4，求AH ．AG DEAH BC页 613、如图，在ABCD 中，AE ：EB=2：3．（1）求△AEF 和△CDF 的周长比；（2）若S △AEF =8cm 2，求S △CDF ．14、如图，△ABC 是一个锐角三角形的余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？15、如图，AD 是∠BAC 的角平分线，交△ABC 的边BC 于点D ，B H ⊥AD ，CK ⊥AD ，垂足分别为H 、K ，你能说明AB ·DK=AC ·DH 吗？ABCKD H页 716、如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．（1）求证： ∆ADE ∽∆BEF ；（2）设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．【例1】已知如图，090=∠∆A ABC 中，，CB 的中垂线DE 交BC 于E ，交CA 于D ，交AB 于F 。
求证：ED EF AE •=2。
页 8【例2】已知如图，∆ABC 中，DE//BC ，线段AH 分别交DE 、BC 于G 、F ，DH 、EH分别交BC 于P 、Q 。
求证：FCFQFB FP =【例3】已知如图，∆ABC 中，F AB DF E AC DE D BC AD 于，于，于⊥⊥⊥，连结EF 。
求证：B AEF ∠=∠【例4】已知如图，∆ABC 中，090=∠C ，D CF AF BG AB CE 于交,,⊥⊥。
求证：FE DE CE •=2页 9【例5】已知如图，∆ABC 中，AD 平分AC DE DE BD AD BAC //,46===∠，，。
求：AC 的长。
【例6】已知如图，四边形ABCD 中，，，009090=∠=∠=∠AED C BCDF ADE ∠=∠，若DF=5，DC=4。
求：BE 的长。
【例7】已知如图，∆ABC 中，ABF D BC AD CAB ∆⊥=∠，作等边于，090及等边ACE ∆。
求证：EDA FDB ∠=∠页 101．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AE=2ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE △AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：4，则S △BDE ：S △ACD =（ ）A ．1：16B ．1：18C ．1：20D ．1：243．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且△APD=△B ．（1）求证：AC •CD=CP •BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD △AB 时，求BP 的长．4、已知如图，AE 为∆ABC 的角平分线，D 为AB 上一点，并且B ACD ∠=∠，CD 交AE 于F 。
求证：BE FD CF CE •=•页 11【课后练习】1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为 （ ）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km 2AAB EF B CD EF C BO OE D BCBE3．如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC ，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点E ，F ，则的值是（ ）4．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP=x，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）页 12A ．B ．C ．D ．5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD ：AF=3：5，BE=12，那么CE 的长等于（ ）A ．2B ．4C ．D ．6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 若，则________8．已知若-3=,=____;4x y xy y则若5-4=0,x y 则x :y =___. 9．如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE=12∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC=2，则EF 的长为 ．10.如果a b c dkb c d a c d a b d a b c====++++++++，一次函数y kx m=+经过点（-1,2），求此一次函数解析式.11．己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE 与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．页13。