数学人教七上2012新编-《角》习题2
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。
人教版数学七年级上册4.3.1《角》同步练习(有答案)-学习文档
《角》同步练习一、选择题1．下列关于角的说法正确的是（ ）A ．两条射线组成的图形叫角B ．角的大小与这个角的两边长短无关C ．延长一个角的两边D ．角的两边是射线，所以角不可以度量2．关于平角、周角的说法正确的是（ ）A ．平角是一条直线B ．周角是一条射线C ．反向延长射线OA ，就成一个平角D ．两个锐角的和不一定小于平角3．在钝角∠AOB 内部引出两条射线OC 、OD ，则图中共有角（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个4．如图所示，下列表示β∠的方法中，正确的是（ ）A ．C ∠B ．D ∠C ．ADB ∠D ．BAC ∠5．下列各角中，是钝角的是（ ）A ．41平角B ．32平角C ．31平角D ．41周角 6．如图下列表示角的方法，错误的是（ ）．A ．1∠与AOB ∠表示同一个角B ．AOC ∠也可用O ∠来表示C ．图中AOB ∠、AOC ∠、BOC ∠D ．β∠表示的是BOC ∠7．下列语句正确的是（ ）．A ．由两条射线所组成的图形叫做角B ．在BAC ∠的边AB 延长线上取一点DC ．如图，A ∠就是BAC ∠D ．对一个角的表示没有要求，可任意书写8．下列说法中正确的是（ ）．①两条射线所组成的图形叫做角②角的大小与边的长短无关③角的两边可以一样长，也可以一长一短④角的两边是两条射线A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④9．下列说法中正确的个数是（ ）．①直线AB 是一个平角②两锐角的角的和不一定大于90°③两个锐角的和不一定大于180°④周角只有一条边A ．0B ．1C ．2D ．310．40°15′的一半是（ ）．A ．20°B ．20°7′C ．20°8′D ．20°7′30″11．已知三个非零度角的度数之和为180°，则这三个角中至少有一个角不大于（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题1．把周角平均分成360分，每份______的角，1°＝______，1′＝_________．2．6点30分时，时针和分针的夹角是_________度．3．6点50分钟面上时针与分针所成的角为________度．4．4.75°＝______°________′___________″．5．用度、分、秒表示52.73°为____度____分____秒．6．15°48′36″＝_____________°．7．在图中，用三个大写字母表示1 ∠为________；2 ∠为________；3 ∠为________；4 ∠为________．8．在AOB ∠内部过顶点O 引3条射线，则共有___________个角，如果引出99条射线，则共有_____________个角．9．计算90°－57°34′44″的结果为_______________．10．如图，A O B ∠是直角，2:1:,38=∠∠︒=∠COB COD AOC ，则____∠DOB度．=11．在图中，A、B、C三点分别代表邮局，医院、学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中A 点应该是___________，B点是_________，C点是_________．三、解答题1．钟表2时15分时，你知道时针与分针的夹角是多少度吗？2．用剪刀沿直线剪掉长方形的一个角，数一数，还剩多少个角？3．如图，从一点O出发引射线OA、OB、OC、OD、OE，请你数一数图中有多少个角．4．计算：（1）77°52′＋32°43′－21°17′；（2）37°15′×3；（3）175°52′÷3．（4）23°45′＋24°16′（5）53°25′28″×5（6）15°20′÷65．如图，在AOB∠内部，从顶点O引出3条射线OC、OD、OE，则图形中共有几个角？如果从O点引出几条射线，有多少个角？你能找出规律吗？6．如图，已知OE是AOC∠的平分线．∠的角平分线，OD是BOC（1）若︒∠20,AOC，求DOE110BOC==∠︒∠的度数；（2）若︒AOB，求DOE∠的度数．∠90=7．如图，指出OA表示什么方向的一条射线？并画出表示下列方向的射线：（1）南偏东60°（2）北偏西40°（3）南北方向8．时钟的时针从2点半到2点54分共转了多大角度？9．已知线段a、b、∠α用尺规画一个△ABC，使α∠aAB,,．bBC=B∠== 10．小明在宾馆大厅内看到反映世界几个大城市当前时刻的时钟如下（如图），请你分别写出每个钟面上时针和分针的夹角．11．一天24小时，时钟的分针与时针共组成多少次平角？多少次周角？12．如图，若放置一枝铅笔，使笔尖朝AB方向并重合于AB，以A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠A的大小，与AF重合；再以F为中心，按逆时针方向旋转F的大小，与EF重合……这样连续都按逆时针方向旋转过去，最后与AB重合，这时笔尖的方向仍是朝向AB，你知道铅笔一共转过了多少度吗？这个实验能说明六边形内角和的度数吗？13．你知道下图中有多少三角形吗？参考答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．D二、填空题1．1°，60′，60″2．153．954．4，45，05．52，43，486．15．817．∠BDE；∠DBE；∠ABC；∠ACB8．10 50509．32°25′16″10．26°11．邮局，医院，学校三、解答题1．22.5°2．3个或4个或5个3．10个4．（1）89°18′；（2）112°45′；（3）58°38′（4）48°1′（5）267°7′20″（6）2°33′20″5．共有10个角；从O点出发引出几条射线，能组)1n个基本角，则共有(角的个数为：)1(21123)2()1(-=++++-+-n n n n 个角． 6．（1）先求︒=∠=∠︒=∠1021,55BOC COD COE 故︒=︒-︒=∠451055DOE （2）有BOC COD AOC COE ∠=∠∠=∠21,21 则︒=∠=∠-∠=∠4521)(21AOB BOC AOC DOE 7．北偏东60°（图略）8．12°9．略10．从左至右依次为：150°、120°、30°，120°、90°、60°11．22次，22次12．720°，六边形内角和为720°13．78个《角的度量》典型例题例1 如图，你知道以A 为顶点的角有哪些吗？除了以A 为顶点的角外，图中还有哪些角？你会将它们表示出来吗？例2（1）下图中能用一个大写字母表示的角是___________．（2）以A 为顶点的角有_____________个，它们是________________． 例3 （1）把25.72°分别用度、分、秒表示．（2）把45°12′30″化成度．例4 计算：（1）53°39′＋36°40′；（2）92°3′－48°34′；（3）53°25′28″×5； （4）15°20′÷6．例5 当时钟表面3时25分时，你知道时针与分针所夹角的度数是多少？ 参考答案例1 解：以 A 为顶点的角有EAC DAC DAE BAC BAE BAD ∠∠∠∠∠∠、、、、、，其他的角有βα∠∠∠∠∠∠、、、、、21C B ．说明：（1）在数以A 为顶点的角的个数时，先选定一边为始边（如AB ），确定以始边为一边的角的个数，再依次把后面的边看作起始边，数出角的个数，相加即可得角的总数．本题中以AB 为始边的角有3个（如图1），以AD 为始边的角有两个（如图2），以AE 为始边的角有1个（如图3），在数角时注意要向同一个方向数，以免重复，这与线段的数法类似；（2）目前我们所说的角一般都是指小于平角的角．所以以D 为顶点的平角和以E 为顶点的平角不包括在内．（3）角的表示方法共有四种，可根据需求灵活选定；①用三个大写字母表示角，此时表示角的顶点的字母应写在中间（如∠BAD ）；②用一个大写字母表示角，适用于以某一点为顶点的角只有一个（如∠B 或∠C ）；③用希腊字母γβα、、等表示角，此时要在所表示的角的顶点处加上连接两边的弧线，以明确所表示的是图中的哪个角（如∠α或∠β）；④用数字表示角（如∠1或∠2）．图1 图2 图3例2 分析：第（1）题中，能用一个大写字母表示的这个角必须是独立的一个角，所以只能是C B ∠∠、；第（2）题中，以A 为顶点的角，必须含A ，而且A 为公共端点，这样的角有6个，以AC 为一边的角：CAB CAD CAE ∠∠∠、、，以AE 为边且不重复的角：EAB EAD ∠∠、，以AD 为边且不重复的角：DAB ∠．答案：（1）C B ∠∠、；（2）6个DAB EAB EAD CAB CAD CAE ∠∠∠∠∠∠、、、、、．说明：要正确写出答案，首先要弄清角的定义是什么，其次是熟悉表示角的方法，特别对于（2），还要仔细、认真地找出所有的角．例3 分析：第（1）题中25.72°含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可，第（2）题中，45°21′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．解：（1）0.72°＝0.72×61′＝43.2′0.2′＝0.2×60″＝12″所以25.72°＝25°43′12″（2）5.0)601(3003'='⨯='' 所以45°12′30″＝45.21°说明：①是由高级单位向低级单位化：②是由低级单位向高级单位化．它们都必须是逐级进行的，“越级”化单位容易出错而且还要熟记他们之间的换算关系．例4 解：（1）53°39′＋36°40′＝89°＋79＝90°19′；（2）92°3′－48°34′＝91°63′－48°34′＝43°29′；（3）53°25′28″×5＝265°＋125′＋140″＝267°7′20″；（4）15°20′÷6＝2°＋（3×60′＋20′）÷6＝2°33′20″．说明：角度的运算规律为：（1）加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1为60；（2）乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；（3）除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽就按题意要求，进行四舍五入；（4）度、分、秒之间的互化有：由低级单位向高级单位转化，使用的公式是'⎪⎭⎫⎝⎛=''︒⎪⎭⎫⎝⎛='6011,6011．例如30°42′，可化为30.7°；另一种是由高级单位向低级单位转化，使用的公式是1°＝60′，1′＝60″，例如2.45°可化为2°27′，在度、分、秒的互化过程中要逐级进行，不要“跳级”，以免出错．例5 解：法一：从3时整开始，分针转过了6°×25＝150°，时针转过了0.5°×25＝ 5.12，因为3点整时两针夹角为90°，所以3时25分时两针夹角为150°－90°－12.5°＝ 5.47．法二：3时25分时，分针在钟面“5”字上，时针从“3”字转过了0.5°×25＝ 5.12．又“3”、“5”两字之间夹角为60°，所以3时25分时两针夹角为60°－12.5°＝ 5.47．法三：设所求夹角度数为x°，将分针视作在追赶并超过时针，它们的速度分别是 6/min和0.5°/min，则由题意，得方程x+=⨯-9025)5.06(，说明：（1）此题是角的度量的实际应用，它能加深我们对角的意义的理解．解题的关键是明确钟面上分针1分钟转过的角度是6°，时针1分钟转过的角度是分针转过角度的121，即0.5°；（2）解题时要注意分针在运动时，时针也在运动，而不能认为时针静止；（3）这类题型可视作时针和分针在作相对运动，可以参照环形线路上的行程问题列方程（组）求解，也可以以钟面上“格”作单位，即分针和时针每分钟走1格和121格．。
人教版数学七年级上学期：《角》课时练习(含答案)
4.3角4.3.1角能力提升1.下列说法中正确的是()A.两条射线组成的图形叫做角B.角是一条线段绕它的一个端点旋转而成的图形C.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角D.角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形2.如图,O是直线AB上一点,图中小于180°的角的个数为()A.7B.9C.8D.103.下午2点30分时(如图),时钟的分针与时针所成角的度数为()A.90°B.105°C.120°D.135°(第2题图)(第3题图)4.若∠1=75°24',∠2=75.3°,∠3=75.12°,则()A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1=∠3D.以上都不对5.由2点15分到2点30分,钟表的分针转过的角度是()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(1)32.6°=°';(2)10.145°=°'″;(3)50°25'12″=°.7.小明说:我每天下午3:00准时做“阳光体育”活动.则下午3:00这一时刻,时钟上分针与时针所夹的角等于.8.指出图中所示的小于平角的角,并把它们表示出来.★9.如图,从点O引出的5条射线OA,OB,OC,OD,OE组成的图形中共有几个角?创新应用★10.观察下图,回答下列问题.(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图①中有个不同的角;(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图②中有个不同的角;(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图③中有个不同的角;(4)在∠AOB内部任意画10条射线OC,OD,…,则共形成个不同的角.参考答案能力提升1.D2.B3.B时钟上每一大格是30°,2点30分时时针与分针之间是3.5个格,所以夹角为3.5×30°=105°.4.D因为∠1=75°24'=75.4°,所以∠1,∠2和∠3都不相等.5.D6.(1)3236(2)10842(3)50.427.90°8.解:满足条件的角有6个,它们是∠A,∠D,∠ABE,∠ABF,∠DCE,∠DCF.9.解:图形中有∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD,∠COE,∠DOE,共10个角.创新应用10.(1)3(2)6(3)10(4)66(1)2+1=3;(2)3+2+1=6;(3)4+3+2+1=10;(4)11+10+9+…+3+2+1=66.第2课时线段的性质能力提升1.如图所示,要在直线PQ上找一点C,使PC=3CQ,则点C应在()A.P,Q之间B.点P的左边C.点Q的右边D.P,Q之间或在点Q的右边2.如果线段AB=5 cm,BC=3 cm,那么A,C两点间的距离是()A.8 cmB.2 cmC.4 cmD.不能确定3.C为线段AB的一个三等分点,D为线段AB的中点,若AB的长为6.6 cm,则CD的长为()A.0.8 cmB.1.1 cmC.3.3 cmD.4.4 cm4.如图所示,C是线段AB的中点,D是CB上一点,下列说法中错误的是()A.CD=AC-BDB.CD=BCC.CD=AB-BDD.CD=AD-BC5.下面给出的4条线段中,最长的是()A.dB.cC.bD.a6.已知A,B是数轴上的两点,点A表示的数是-1,且线段AB的长度为6,则点B表示的数是.7.已知线段AB=7 cm,在线段AB所在的直线上画线段BC=1 cm,则线段AC=. 8.如图所示,设A,B,C,D为4个居民小区,现要在四边形ABCD内建一个购物中心,试问把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?请说明理由.9.如图所示,点C是线段AB上一点,点M是线段AC的中点,点N是线段BC的中点.(1)如果AB=20 cm,AM=6 cm,求NC的长;(2)如果MN=6 cm,求AB的长.10.在桌面上放了一个正方体的盒子,如图所示,一只蚂蚁在顶点A处,它要爬到顶点B处找食物,你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗?要是食物在顶点C处呢?★11.已知线段AB=12 cm,直线AB上有一点C,且BC=6 cm,M是线段AC的中点,求线段AM 的长.创新应用★12.在同一条公路旁,住着5人,他们在同一家公司上班,如图,不妨设这5人的家分别住在点A,B,D,E,F所示的位置,公司在点C处,若AB=4 km,BC=2 km,CD=3 km,DE=3 km,EF=1 km,他们全部乘出租车上班,车费单位报销.出租车收费标准是:起步价6元(3 km以内,包括3 km),超过3 km超出的部分每千米1.5元(不足1 km,以1 km计算),每辆车能容纳3人.(1)若他们分别乘出租车去上班,公司应支付车费多少元?(2)如果你是公司经理,你对他们有没有什么建议?参考答案能力提升1.D注意本题中的条件是在直线PQ上找一点C,所以C可以在P,Q之间,也可以在点Q的右侧.2.D A,B,C三点位置不确定,可能共线,也可能不共线.3.B如图,AD=AB=3.3cm,AC=AB=2.2cm,所以CD=AD-AC=3.3-2.2=1.1(cm).4.B5.A6.-7或5点B可能在点A的左侧,也有可能在点A的右侧.若点B在点A的左侧,则点B表示的数比点A表示的数小6,此时点B表示的数为-7;若点B在点A的右侧,则点B表示的数比点A表示的数大6,此时点B表示的数为5.7.8 cm或6 cm分两种情况:①点C在线段AB内,②点C在线段AB的延长线上.8.解:连接AC,BD,交点P即为购物中心的位置.理由:根据公理“两点之间,线段最短”,要使购物中心到A,B,C,D的距离和最小,购物中心既要在AC上,又要在BD上.9.解:(1)因为M为AC的中点,所以MC=AM.又因为AM=6cm,所以AC=2×6=12(cm).因为AB=20cm,所以BC=AB-AC=20-12=8(cm).又因为N为BC的中点,所以NC=BC=4(cm).(2)因为M为AC的中点,所以MC=AM.因为N为BC的中点,所以CN=BN.所以AB=AC+BC=2(MC+CN)=2MN=2×6=12(cm).10.解:如图所示,是该正方体的侧面展开图.食物在B处时的最短路线为线段AB,食物在C处时的最短路线为线段AC.11.解:(1)当点C在线段AB上时,如图①,图①因为M是AC的中点,所以AM=AC.又因为AC=AB-BC,AB=12cm,BC=6cm,所以AM=(AB-BC)=×(12-6)=3(cm).(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图②,图②因为M是AC的中点,所以AM=AC.又因为AC=AB+BC,AB=12cm,BC=6cm,所以AM=AC=(AB+BC)=×(12+6)=9(cm).故AM的长度为3cm或9cm.创新应用12.解:(1)在A处乘车的车费为6+(4+2-3)×1.5=10.5(元);在B处乘车的车费为6元;在D处乘车的车费为6元;在E处乘车的车费为6+(3+3-3)×1.5=10.5(元);在F处乘车的车费为6+(1+3+3-3)×1.5=12(元),合计45元.(2)A,B同乘一辆车,从A开出,D,E,F同乘一辆车,从F开出,合计22.5元.。
七年级数学《角》练习题及答案
七年级数学《角》练习题及答案一、选择题1.下列说法正确的就是( )A、两点之间直线最短B、用一个放大镜能够把一个图形放大,也能够把一个角的度数放大C、把一个角分成两个角的射线叫角的平分线D、直线l经过点A,那么点A在直线l上呢2、下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一角的图形就是()3.下列关于平角、周角的说法正确的就是( ).A.平角就是一条直线B.周角就是一条射线C.反向延长射线OA,就形成一个平角D.两个锐角的与不一定小于平角4、右图中,小于平角的角有()A、5个B、6个C、7个D、8个5、如图所示,射线OA表示的方向,射线OB表示的方向,则∠AOB=( )A、155 °B、205 °C、85°D、105°6、一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B偏西15方向走到C点,那么∠ABC=( )A 、60°B 、15° C、45° D、70°二、填空题:7、角也可以瞧作由旋转面形成的图形。
8、 2周角= 1平角=9、1°的_____ 就是1′10、1周角= 平角= 直角= ;11、换算:42°27′= °,68°45′36″= °;12、2点15分,钟表的时针与分针所成的锐角就是度;13.钟面上从4点到5点,时针与分针重合时,此时4点________分14.计算:北东75︒40︒OA4题图5题图6题图(1)53°18′36″－16°51′(2)(43°13′28″÷2-10°5′18″)×315.如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C与海岛D,仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C与海岛D方向的射线.16.(如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向,求∠ACB17、(如图,已知:∠AOE＝100°,∠BOF＝80°,OE平分∠BOC,OF平分∠AOC,求∠EOF的度数。
4.3 《角》一课一练习题2(含答案)2021-2022学年七年级数学人教版上册
4.3 《角》习题2一、选择题1．设时钟的时针与分针所成角是α，则正确的说法是( )A ．八点一刻时，α∠是平角B ．十点五分时，α∠是锐角C ．十一点十分时，α∠是钝角D ．十二点一刻时，α∠是直角2．在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是( )A ．85°B ．75°C ．65°D ．55°3．若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转 ( )A ．5︒B ．15︒C ．30D ．120︒4．上午9:30，时钟上分针与时针之间的夹角为( )A ．90B ．105C ．120D ．1355.如图所示，射线OP 表示的方向是( )A ．东偏北65°B ．北偏东25°C ．北偏西65°D ．北偏东65°6.图，点A 位于点O 的（ ）A ．南偏东35°方向上B ．北偏西65°方向上C ．南偏东65°方向上D ．南偏西65°方向上7.射线OA 位于北偏东25︒方向，射线OB 位于南偏东20︒方向，则AOB ∠的度数是( )A．135︒B．95︒C．45︒D．25︒8.某人在点A处看点B在北偏东40的方向上，看点C在北偏西35的方向上，则∠的度数为( )BACA．65B．75C．40D．359.如图所示，由点A测点B的方向是( )A．南偏东38°B．南偏东52°C．北偏西38°D．北偏西52°10.若点B在点A北偏东30°处，点C在点A南偏东40°处，那么BAC∠的度数是( )A．70°B．80°C．100°D．110°11.如图，OA是表示北偏东55︒方向的一条射线，则OA的反向延长线OB表示的是( )A．北偏西55︒方向上的一条射线B．北偏西35︒方向上的一条射线C．南偏西35︒方向上的一条射线D．南偏西55︒方向上的一条射线12.用两个三角板(一个是30，一个是45︒)不可能画出的角度是( )A．105︒B．115︒C．120︒D．135︒13.如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝28°，则∠AOB的度数为( )A ．62°B ．152°C ．118°D ．无法确定14.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是( )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°15.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，∠2的大小是( )A ．27°40′B ．57°40′C ．58°20′D ．62°20′16.如图，将两块三角尺AOB 与COD 的直角顶点O 重合在一起，若∠AOD=4∠BOC ，OE 为∠BOC 的平分线，则∠DOE 的度数为( )A ．36°B ．45°C ．60°D ．72°17.如图所示，90AOC ∠=︒，COB α∠=，OD 平分AOB ∠，则COD ∠的度数为( )A ．2αB ．45α︒-C ．452α︒- D ．90α︒-18.在同一平面内，若∠AOB ＝90º，∠BOC ＝40º，则∠AOB 的平分线与∠BOC 的平分线的夹角等于( )．A ．65ºB ．25ºC ．65º或25ºD ．60º或20º19.如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB ．若∠COB =35°，则∠AOD 等于( ).A ．35°B ．70°C ．110°D ．145°20.如图，∠AOB 是平角，∠AOC ＝30°，∠BOD ＝60°，OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∠MON 等于( )A ．90°B ．135°C ．150°D ．120°21.如图，点O 为直线AB 上一点，OC ⊥OD ．如果∠1=35°，那么∠2的度数是( )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°二、填空题1.某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于_______度．2.上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______．3.由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是_________度4.时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与时针重合．5.如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____．6.若从点A 看点B 的方向是南偏东30，那么从点B 看点A 的方向是_______．7.A 、B 两个城市的位置如图所示，那么B 城在A 城的_______方向．8.根据图填空：点A 在点O 的______________方向，点C 在点O 的______________方向．9.如图，直线EF 与CD 相交于点O ，OA OB ⊥，且OC 平分AOF ∠，若40AOE ∠︒＝，则BOD ∠的度数为_____．10.(1)已知13010'∠=︒，24519'∠=︒，则12∠+∠=_______；(2)已知160∠=︒，23520'∠=︒，则12∠-∠=_______．11.计算：581934165542'''''︒+︒'=________________；903124︒-︒'=________________．12.计算：48°37'+53°35'＝_____．13.计算：90°﹣18°35'＝__．14.计算30°52′+43°50′=______15.如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOD +∠COB 的度数为___________度．16.如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O 点，且∠AOB ＝155°，则∠COD ＝_____．17. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则∠BOC=_______．18.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O ，则∠AOC+∠DOB ＝_____．三、解答题1.如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC =48°，OD 平分∠AOC ，∠DOE =90°．(1)图中有 个小于平角的角；(2)求出∠BOD 的度数；(3)试判断OE 是否平分∠BOC ，并说明理由．2.如图，已知50AOB ∠=︒，OD 是COB ∠的平分线．(1)如图1，当AOB ∠与COB ∠互补时，求COD ∠的度数；(2)如图2，当AOB ∠与COB ∠互余时，求COD ∠的度数．3.如图，以点O 为端点按顺时针方向依次作射线OA 、OB 、OC 、OD .(1)若∠AOC 、∠BOD 都是直角，∠BOC ＝60°，求∠AOB 和∠DOC 的度数.(2)若∠BOD ＝100°，∠AOC ＝110°，且∠AOD ＝∠BOC +70°，求∠COD 的度数.(3)若∠AOC ＝∠BOD ＝α，当α为多少度时，∠AOD 和∠BOC 互余？并说明理由.4．点O 在直线AB 上，射线OC 上的点C 在直线AB 上方，4AOC BOC ∠=∠(1)如图(1)，求AOC ∠的度数；(2)如图(2)，点D 在直线AB 上方，AOD ∠与BOC ∠互余，OE 平分COD ∠，求∠BOE 的度数；(3)在(2)的条件下，点,F G 在直线AB 下方，OG 平分FOB ∠，若FOD ∠与BOG ∠互补，求EOF ∠的度数．5.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.(1)若∠AOC＝70°，求∠DOE和∠EOF的度数；(2)请写出图中∠AOD的补角和∠AOE的余角．6.如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．(1)比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；(2)求∠EON+∠MOF的度数．答案一、选择题1．B ．2．B ． 3．B ．4．B 5.D 6.B ．7.A ．8.B ．9.A10.D11.D12.B 13.B 14.B 15.B 16.D 17.C 18.C 19.C 20.B 21.C二、填空题1.1502.102.5°．3.12.5 150 117.54.1013011． 5.15°．6.北偏西30．7.北偏东30．8.东偏北50° 西南9.20º．10.7529'︒，2440'︒．11.751516'''︒；5836︒'．12.10212'︒13.7125'︒14.74°42′．15.18016.2517.53°18.180°三、解答题1.(1)小于平角的角有：,,,,,,,,AOD AOC AOE DOC DOE DOB COE COB EOB ∠∠∠∠∠∠∠∠∠，共有9个 故答案是： 9；(2)∵OD 平分AOC ∠，48AOC ∠=︒∴1242AOD COD AOC ∠=∠=∠=︒ ∴180********BOD AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒；(3)OE 平分BOC ∠，理由如下：∵90DOE ∠=︒，48AOC ∠=︒∴902466COE DOE COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒180180249066BOE AOD DOE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴COE BOE ∠=∠∴OE 平分BOC ∠．2.(1)65°；(2)20°3.(1)∵∠AOC =90°，∠BOD =90°，∠BOC =60°，∴∠AOB =∠AOC ﹣∠BOC =90°﹣60°=30°，∠DOC =∠BOD ﹣∠BOC =90°﹣60°=30°；(2)设∠COD =x °，则∠BOC =100°﹣x °．∵∠AOC =110°，∴∠AOB =110°﹣(100°﹣x °)=x °+10°．∵∠AOD =∠BOC +70°，∴100°+10°+x °=100°﹣x °+70°，解得：x =30，即∠COD =30°；(3)当α=45°时，∠AOD 与∠BOC 互余．理由如下：要使∠AOD 与∠BOC 互余，即∠AOD +∠BOC =90°，∴∠AOB +∠BOC +∠COD +∠BOC =90°，即∠AOC +∠BOD =90°．∵∠AOC =∠BOD =α，∴∠AOC =∠BOD =45°，即α=45°，∴当α=45°时，∠AOD 与∠BOC 互余．4.解：(1)设∠BOC=α，则∠AOC=4α，∵∠BOC+∠AOC=180°，∴α+4α=180°，∴α=36°，∴∠AOC=144°；(2)∵∠AOD与∠BOC互余，∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，∵OE平分∠COD，∴∠COE=12∠COD＝12×90°=45°，∴∠BOE=∠COE+∠BOC=45°+36°=81°，(3)①如图1，∵OG平分∠FOB，∴∠FOG=∠BOG，∵∠FOD与∠BOG互补，∴∠FOD+∠BOG=180°，设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠DOC+∠BOC=36°+90°=126°，∵∠FOD=∠BOD+∠BOF，∴126+2x+x=180，解得：x=18，∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=81°+2×18°=117°；②如图2，∵OG平分∠FOB，∴∠FOG=∠BOG，∵∠FOD与∠BOG互补，∴∠FOD+∠BOG=180°，∴∠FOD+∠FOG=180°，∴D，O，G共线，∴∠BOG=∠AOD=54°，∴∠AOF=180°-∠BOF=72°，∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-81°=99°，∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=72°+99°=171°．5.(1)因为∠AOC＝70°，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝110°，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝70°.又因为OE平分∠AOD，所以∠DOE＝12∠AOD＝55°，又因为OF平分∠BOD，所以∠DOF＝12∠BOD＝35°.所以∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝90°.(2)∠AOD的补角：∠AOC和∠BOD；∠AOE的余角：∠DOF和∠BOF.6.(1)∠EOM=∠FON．∵∠EOM+∠MOF=90°=∠FON+∠MOF，∴∠EOM=∠FON；(2)∵∠EON+∠MOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF，∴∠EON+∠MOF=∠EOF+∠MON=180°．。
人教版七年级数学上册第四章角复习题二(含答案) (26)
人教版七年级数学上册第四章角复习题二（含答案) 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD ∠，76AOC ∠=︒，OF OD ⊥．求EOF ∠的度数．【答案】52︒．【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC=76°，然后根据角平分线的定义即可求出∠EOD ，再根据垂直的定义和互余的定义即可求出EOF ∠．【详解】解：∠∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=76°∠OE 平分∠BOD ，∴∠EOD=∠BOD=12×76°=38° ∠OF ∠OD ，∴∠DOF=90°∠∠FOE+∠EOD=90°∠∠FOE=90°-∠EOD=90°-38°=52°．【点睛】此题考查的是角的和与差，掌握对顶角的性质、垂直的定义和角平分线的定义是解决此题的关键．52．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=38°，求∠COD的度数．【答案】19°【解析】【分析】根据题意，两角和和角平分线定义很容易求解.【详解】解：∠∠BOC=2∠AOC，∠AOC=38°∠∠BOC=2×38°=76°∠∠AOB=∠BOC+∠AOC=76°+38°=114°∠OD平分∠AOB∠∠AOD=12∠AOB=12×114°=57°∠∠COD=∠AOD﹣∠AOC=57°-38°=19°．【点睛】本题考查了两角和的计算，及角平分线的定义，认准角之间的关系是解题关键.53．如图，已知∠AOB＝150º，∠AOC＝40º，OE是∠AOB内部的一条射线，OF平分∠AOE，且OF在OC的右侧．(1)若∠EOB＝10º，求∠COF的度数；(2)若∠COF＝20º，求∠EOB的度数；(3)若∠COF＝nº，求∠EOB的度数(用含n的式子表示)．【答案】（1）∠COF＝30°；（2）∠EOB＝30°；（3）∠EOB＝70°－2n°【解析】【分析】（1）先求出∠AOE，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠COF=∠AOF-∠AOC代入数据计算即可得解；（2）先求出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，然后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE代入数据计算即可得解；（3）先表示出∠AOF，再根据角平分线的定义表示出∠AOE，然后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE代入计算即可得解．【详解】（1）∵∠AOB=150°，∠EOB=10°，∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=150°-10°=140°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=12∠AOE=12×140°=70°，∴∠COF=∠AOF-∠AOC=70°-40°=30°；（2）∵∠AOC=40°，∠COF=20°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+20°=60°，∵OF 平分∠AOE ，∴∠AOE=2∠AOF=2×60°=120°，∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-120°=30°；（3）∵∠AOC=40°，∠COF=n °，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+n °，∵OF 平分∠AOE ，∴∠AOE=2∠AOF=2（40°+n °）=80°+2n °，∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-（80°+2n °）=70°-2n °．【点睛】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．54．如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOB ，∠EOC=2825︒'.(1)求∠AOD 的度数；(2)判断∠AOD 与∠COB 的大小关系，并说明理由.【答案】(1) 6135'AOD ∠=︒；(2)AOD COB ∠=∠，理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据两直线相交可得∠AOB=∠COD=180°，由OE 平分∠AOB ，知∠AOE=∠BOE=90°，于是∠AOD=180°-∠AOE-∠COE 计算即可；（2）因为∠COB 与∠AOD 是对顶角所以相等．【详解】（1）直线,AB CD 相交于点O ，180COD AOB ∴∠=∠=︒， OE 平分AOB ∠，1902AOE AOB ∴∠=∠=︒， 180902825'AOD COD AOE COE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒6135'=；（2）∠AOD=∠COB ，∵∠BOC 与∠AOD 是对顶角，∴∠BOC=∠AOD ．【点睛】本题考查了对顶角的性质、度分秒的换算以及角平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．55．如图，A 地和B 地都是海上观测站，B 地在A 地正东方向，且A 、B 两地相距2海里． 从A 地发现它的北偏东60°方向有一艘船C ，同时，从B 地发现船C 在它的北偏东30°方向．（1）在图中画出船C 所在的位置；（要求用直尺与量角器作图，保留作图痕迹）（2）已知三角形的内角和等于180°，求∠ACB 的度数．（3）此时船C与B地相距______海里．（只需写出结果，不需说明理由）【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=30°；（2）2．【解析】【分析】（1）根据方向角的概念，分别过A、B作射线，两条射线的交点即为船C 的位置；（2）首先求出∠CAB和∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°求出∠ACB的度数；（3）由（2）中得出∠ACB=30°可知△ABC为等腰三角形，所以BC=AB．【详解】（1）如图所示，C点即为船C所在的位置；（2）在△ABC中，∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°∴∠ACB=180°-30°-120°=30°（3）∵∠ACB=∠CAB=30°∴△ABC 为等腰三角形∴BC=AB=2海里所以船C 与B 地相距2海里，故答案为：2．【点睛】本题考查了方位角问题，熟练掌握方位角的定义与角度的和差计算是解题的关键．56．已知150AOB ∠=︒，OC 为AOB ∠内部的一条射线，60BOC ∠=︒.（1）如图1，若OE 平分AOB ∠，OD 为BOC ∠内部的一条射线，12COD BOD ∠=∠，求DOE ∠的度数；（2）如图2，若射线OE 绕着O 点从OA 开始以每秒15︒的速度顺时针旋转至OB 结束、OF 绕着O 点从OB 开始以每秒5︒的速度逆时针旋转至OA 结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为t 秒，当EOC FOC ∠=∠时，求t 的值；（3）若射线OM 绕着O 点从OA 开始以每秒15︒的速度逆时针旋转至OB 结束，在旋转过程中，ON 平分AOM ∠，试问2BON BOM ∠-∠在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及t 相应所在的时间段.（本题中的角均为大于0︒且小于180︒的角）【答案】（1）35︒；（2）t 的值为3或7.5；（3）当02t ≤≤或412t ≤≤时，2BON BOM ∠-∠为定值，此时补全的图形见解析．【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠BOE 的度数，再根据角的倍差求出BOD ∠的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出AOC ∠的度数和t 的最大值，从而可知停止运动时，OF 在OC 的右侧，因此，分OE 在OC 左侧和右侧两种情况，再根据EOC FOC ∠=∠列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于0︒且小于180︒的角，则需分OM 与OB 在一条直线上、ON 与OB 在一条直线上、OM 与OA 在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t 的取值范围，并求出各范围内BON ∠和BOM ∠的度数，即可得出答案．【详解】（1）OE 平分AOB ∠，150AOB ∠=︒7512AO OE B B ∠∴=∠=︒ 160,2BOC COD BOD ∠=︒∠=∠2403BOD BOC ∴∠=∠=︒ 754035BOE BO DOE D ∴∠-∠=︒-︒=∠=︒；（2）15060,A C O BO B ∠=︒∠=︒90AOC AOB BOC ∠∴∠-=∠=︒由题意知，当OE 转到OB 时，两条射线均停止运动 此时150101515AOB t ︒==∠=︒︒（秒） 则OF 停止转动时，55060BOF t ∠=︒=︒<︒即OF 从开始旋转至停止运动，始终在OC 的右侧因此，分以下2种情况：①当OE 在OC 左侧时，9015605EOC AOC AOE t FOC BOC BOF t ∠=∠-∠=︒-︒⎧⎨∠=∠-∠=︒-︒⎩则由EOC FOC ∠=∠得9015605t t ︒-︒=︒-︒，解得3t =②当OE 在OC 右侧时，1590605EOC AOE AOC t FOC BOC BOF t ∠=∠-∠=︒-︒⎧⎨∠=∠-∠=︒-︒⎩则由EOC FOC ∠=∠得1590605t t ︒-︒=︒-︒，解得7.5t =综上，t 的值为3或7.5；（3）射线OM 从开始转动至OB 结束时，转动时间为3601501415t ︒-︒==︒（秒） 由题意，分OM 与OB 在一条直线上（180150215t ︒-︒==︒）、ON 与OB 在一条直线上（2(180150)415t ⨯︒-︒==︒）、OM 与OA 在一条直线上（1801215t ︒==︒）三个临界位置①当02t ≤≤时，如图1所示 此时，1151501502215015t BON AOB AON AOM BOM AOB AOM t︒⎧∠=∠+∠=︒+∠=︒+⎪⎨⎪∠=∠+∠=︒+︒⎩则1522(150)(15015)1502t BON BOM t ︒∠-∠=⨯︒+-︒+︒=︒为定值 ②当24t <<时，如图2所示 此时，11515015022360()360(15015)21015t BON AOB AON AOM BOM AOB AOM t t︒⎧∠=∠+∠=︒+∠=︒+⎪⎨⎪∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒-︒⎩ 则1522(150)(21015)90302t BON BOM t t ︒∠-∠=⨯︒+-︒-︒=︒+︒不为定值 ③当412t ≤≤时，如图3所示 此时，1515360()360(150)21022360()360(15015)21015t t BON AOB AON BOM AOB AOM t t︒︒⎧∠=︒-∠+∠=︒-︒+=︒-⎪⎨⎪∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒-︒⎩ 则1522(210)(21015)2102t BON BOM t ︒∠-∠=⨯︒--︒-︒=︒为定值 ④当1214t <<时，如图4所示 此时，1360151515030222360()360(15015)21015t t BON AOB AOM BOM AOB AOM t t︒-︒︒⎧∠=∠-∠=︒-=-︒⎪⎨⎪∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒-︒⎩ 则1522(30)(21015)302702t BON BOM t t ︒∠-∠=⨯-︒-︒-︒=︒-︒不为定值 综上，当02t ≤≤或412t ≤≤时，2BON BOM ∠-∠为定值．【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题关键．57．如图， 已知∠AOB=∠EOF=90°，OM 平分∠AOE ，ON 平分∠BOF ．（1）求证∠AOE=∠BOF（2）求∠MON的度数；【答案】（1）见解析；（2）90°.【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOF；（2）由OM平分∠AOE，ON平分∠BOF，可得∠AOM=∠EOM=∠BON=∠FON，进而得出∠MON=∠AOB=90°.【详解】（1）∵∠AOB=∠EOF=90°，∴∠AOB-∠BOE=∠EOF-∠BOE，∴∠AOE=∠BOF.（2）∵OM平分∠AOE，ON平分∠BOF．∴∠BON=∠FON，∠AOM=∠EOM，由（1）得：∠AOE=∠BOF，∴∠AOM=∠EOM=∠BON=∠FON，∴∠MON=∠EOM+∠BOE+∠BON=∠AOM+∠EOM+∠BOE=∠AOB =90°.【点睛】考查同角的余角相等，等式的性质、角平分线的意义，根据图形直观得出各个角的和或差，是解决问题的前提，等量代换在得出结论的过程中，起到至关重要的作用．58．如图，已知O 为直线AB 上一点，过点O 向直线AB 上方引三条射线OC 、OD 、OE ，且OC 平分AOD ∠，231∠=∠．（1）若118∠=°，求COE ∠的度数；（2）若70COE ∠=°，求2∠的度数；【答案】（1）72°；（2）60°．【解析】【分析】（1）依据∠1=18°，∠2=3∠1，可得∠2=54°，进而得出∠AOD 的度数，再根据OC 平分∠AOD ，可得∠3=54°，进而得到∠COE 的度数；（2）根据角平分线的定义和平角的定义，借助于图形得到：x °+∠2+2（70°-x °）=180°，则∠2=40°+x °，进而得到40°+x °=3x °，则易求∠2的度数．【详解】解：（1）∵118∠=°，231∠=∠，∴254∠=°，∠180AOD ∠=°－12180∠-∠=°－18°－54°=108°，∠OC 平分AOD ∠，∴354∠=°， ∠COE=∠1＋∠3=18°＋54°=72°（2）设∠1=x °，∵OC 平分AOD ∠，COE ∠=∠1＋∠3=70°，∠∠3=∠4=70°－x °，又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，∠x °＋∠2＋2（70°－x °）=180°，∠∠2=40°＋x °∠231∠=∠，∴ 40°＋x °=3x °，解得x =20，∠231∠=∠=3×20°=60°，即∠2的度数为60°．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义．本题隐含的知识点为：这4个角组成一个平角．应设出和所求角有关的较小的量为未知数．59．如图所示，AB 为一条直线，OC 是AOD ∠的平分线，OE 在BOD ∠内，:2:5DOE BOD ∠∠=，80COE ∠=︒，求EOB ∠的度数.【答案】60°【解析】【分析】由OC 是AOD ∠的平分线及:2:5DOE BOD ∠∠=设未知数后，根据80COE ∠=︒、180AOC COD DOB ∠+∠+∠=︒列出方程组，解方程组即可.【详解】解：∵OC 是AOD ∠的平分线∴设∠AOC=∠COD=x∵:2:5DOE BOD ∠∠=∴设=2y,5DOE BOD y ∠∠=∴3BOE y ∠=∵80COE ∠=︒,=2COE COD DOE x y ∠∠+∠=+∴x+2y 80=∵180AOC COD DOB ∠+∠+∠=︒,∴x+x+5y 180=∴x+y=80x+x+5y 180⎧⎨=⎩解得：x=40y 20⎧⎨=⎩∴=60EOB ︒∠【点睛】本题考查了角平分线的定义,即从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，掌握角平分线及角的和差关系是解题的关键.60．如图，已知COB 2BOD ∠∠=，OA 平分COD ∠，且BOD 42∠=︒，求AOB ∠的度数.【答案】21°.【解析】【分析】先通过条件算出∠COB,进而求出∠COD,由平分得∠AOD,用∠AOD 减去∠BOD 即可得出∠AOB 的度数.【详解】∵∠BOD=42°,∠COB=2∠BOD,∴∠COB=84°,∵OA 平分∠COD,∴∠AOD=()11(8442)6322COB BOD +=︒+︒=︒∠∠, ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=63°-42°=21°.【点睛】本题考查角度的计算,关键在于理解题意,由图中得到信息.。
人教版七年级上册数学角练习题及答案
4.3.1角一、单选题1、如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，则∠AOM的度数为（）A、35°B、45°C、55°D、65°2、如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（）A、90°＜α＜180°B、0°＜α＜90°C、α=90°D、α随折痕GF位置的变化而变化3、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD=1：2，则∠BOD等于（）A、30°B、36°C、45°D、72°4、下列说法中正确的是（）A、两点之间线段最短B、若两个角的顶点重合，那么这两个角是对顶角C、一条射线把一个角分成两个角，那么这条射线是角的平分线D、过直线外一点有两条直线平行于已知直线5、两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（）A、一对邻补角的平分线互相垂直B、一对同位角的平分线互相平行C、一对内错角的平分线互相平行D、一对同旁内角的平分线互相平行6、如图，AB∥CD，CE⊥BD，则图中与∠1 互余的角有（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个7、如图，已知AB∥CD，直线EF 分别交AB，CD 于点E、F，EG 平分∠AEF，若∠2=40°，则∠1 的度数是（）A、70°B、65°C、60°D、50°8、如图，已知l ∥l ，AC、BC、AD 为三条角平分线，则图中与∠1 互为余角的角有（）1 2A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个9、如图所示，用量角器度量几个角的度数,下列结论中正确的是（）A、∠BOC=60°B、∠COA是∠EOD的余角AOC BODC、∠=∠D、∠AOD与∠COE互补二、填空题10、如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为________．11、如图，AB、CD相交于O，OE⊥AB，若∠EOD=65°，则∠AOC=________．12、如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=________度．13、如图，已知直线AE∥BC，AD平分∠BAE，交BC于点C，∠BCD=140°，则∠B的度数为________三、解答题14、已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC=2：3，画出图形，并求∠BOC的度数．15、如图，AB∥CD，点G、E、F分别在AB、CD上，FG平分∠CFE，若∠1=40°，求∠FGE的度数．16、如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数．17、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？四、综合题18、如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；(2)若BF⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．19、综合题(1)已知n正整数，且，求的值；(2)如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝90°，若∠AOC︰∠COE＝5︰4，求∠AOD的度数．20、仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.(1)如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；(2)如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）.试过点O作射线OM、ON，使得OM⊥ON.答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂线【解析】【解答】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∵∠CON=55°，∴∠COM=90°﹣55°=35°，∵射线OM 平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=35°，故选A．【分析】根据垂直得出∠NOM=90°，求出∠COM=35°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，即可得出答案．2、【答案】C【考点】角的计算【解析】【解答】解：∵∠CFG=∠EFG 且FH 平分∠BFE．∠GFH=∠EFG+∠EFH∴∠GFH=∠EFG+∠EFH= ∠EFC+ ∠EFB= （∠EFC+∠EFB）= ×180°=90°．故选C．【分析】根据折叠的性质可以得到△GCF≌△GEF，即∠CFG=∠EFG，再根据FH 平分∠BFE 即可求解．3、【答案】A【考点】角平分线的定义，对顶角、邻补角【解析】【解答】解：∵∠EOC：∠EOD=1：2，∴∠EOC=180°×=60°，∵OA 平分∠EOC，∴∠AOC= ∠EOC= ×60°=30°，∴∠BOD=∠AOC=30°．故选：A．【分析】根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．4、【答案】A【考点】线段的性质：两点之间线段最短，角平分线的定义，对顶角、邻补角，平行公理及推论【解析】【解答】解：A、两点之间线段最短，是线段的性质公理，故本选项正确；B、应为若两个角的顶点重合且两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角，故本选项错误；C、应为一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线是角的平分线，故本选项错误；D、应为过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故本选项错误．故选A．【分析】根据线段的性质，对顶角的定义，角平分线的定义，平行公理对各选项分析判断后利用排除法求解．5、【答案】D【考点】角平分线的定义，平行线的性质【解析】【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，一对邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确；B、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项正确；C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项正确；D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故本选项错误；故选：D．【分析】由两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行、同旁内角的平分线互相垂直、内错角的平分线互相平行、同位角的平分线互相平行，即可求得答案．6、【答案】C【考点】余角和补角，垂线，平行线的性质【解析】【解答】解：∵CE⊥BD，∴∠CBD=∠EBD=90°，∴∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，即∠ABC、∠EBF与∠1互余；∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠C+∠D=90°，∴∠C+∠1=90°，即∠C与∠1互余；图中与∠1互余的角有3个，故选：C．【分析】由垂线的定义得出∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，得出∠ABC、∠EBF与∠1互余；由平行线的性质和余角关系得出∠C+∠1=90°，得出∠C与∠1互余．7、【答案】A【考点】角平分线的定义，平行线的性质【解析】【解答】解：∵直线AB∥CD，∠2=40°，∴∠AEG=∠1，∠AEF=140°，∵EG平分∠AEF交CD于点G，∴∠AEG=∠GEF=70°，∴∠1=70°．故选：A．【分析】利用平行线的性质得出∠AEG=∠1，∠AEF=140°，再利用角平分线的性质得出∠AEG=∠GEF=70°，即可得出答案．8、【答案】D【考点】角平分线的定义，平行线的性质【解析】【解答】解：∵l∥l，且AC、BC、AD为三条角平分线，∴∠1+∠2=×180°=90°，12∴∠1与∠2互余，又∵∠2=∠3，∴∠1与∠3互余，∵∠CAD=∠1+∠4=×180°=90°，∴∠1与∠4互余，又∵∠4=∠5，∴∠1与∠5互余，故与∠1互余的角共有4个．故选：D．【分析】根据平行线的性质，以及角平分线的定义，可得∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，∠1与∠4互余，∠1与∠5互余．9、【答案】D【考点】角的计算，余角和补角【解析】【解答】解：A.∠BOC=120°，故A错误；B.∠COA=60°,∠EOD=60，它们的大小相等，故B错误；C.∠AOC=60,∠BOD=30，它们的大小不相等，故C错误；D.∠AOD=150°,∠COE=30°,它们互补，故D正确。
最新人教版七年级数学上册第四章《角》课后训练2
课后训练基础巩固1．下列说法中，正确的是( )．①两条射线所组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线．A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④2．(广东湛江中考)已知∠1＝35°，则∠1的余角的度数为( )．A ．55°B ．65°C ．135°D ．145°3．如图，直线l 1与l 2相交于点O ，OM ⊥l 1，若∠α＝44°，则∠β等于( )．(第3题图)A ．56°B ．46°C ．45°D ．44°4．设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则( )．A ．0°＜α＜90°B ．0°＜α≤90°C ．0°＜α＜90°或90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°5．(江苏徐州中考)若∠α＝36°，则∠α的余角为__________．6．计算33°52′＋21°54′＝__________.7．如图，∠PQR ＝138°，∠SQR ＝90°，∠PQT ＝90°，则∠SQT 等于__________．(第7题图)8．已知∠AOB ＝70°，∠AOC ＝50°，求∠BOC 的度数． 综合应用9．如图，∠AOB ＝90°，OD 平分∠AOC ，∠3＝3∠1，求∠2的大小．(第9题图)10．α，β均为钝角，四人计算1()6αβ+时，分别得到62°，70°，32°，28°，其中有一个正确答案，则α＋β为多少度？11．把一张长方形纸条，按图所示折叠后，若∠AOB ′＝40°，求∠BOG 的度数．(第11题图)12．如图，已知O是直线AB上一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD.(第12题图)(1)图中与∠DOE互余的角有哪些？(2)图中与∠DOE互补的角有哪些？并说明理由．答案与点拨1．B点拨：根据角的定义可知②④正确．2．A点拨：因为∠1＝35°，所以∠1的余角的度数为90°－35°＝55°.3．B点拨：由OM⊥l1，得∠α＋∠β＝90°.由∠α＝44°，得∠β＝90°－44°＝46°.4．D点拨：设这个锐角为x，则这个锐角与它的补角的差的绝对值α为|x－(180°－x)|＝|2x－180°|＝α.由于x为锐角，即0°＜x＜90°，所以0°＜α＜180°.5．54°点拨：由余角的定义，得∠α的余角为90°－36°＝54°.6．55°46′点拨：33°52′＋21°54′＝54°106′＝55°46′.7．42°点拨：由∠SQR＝90°，∠PQT＝90°，得∠SQR＋∠PQT＝90°＋90°＝180°，即∠PQR＋∠SQT＝180°，又∠PQR＝138°，所以∠SQT＝180°－∠PQR＝180°－138°＝42°.8．解：(1)当OC在角∠AOB内部时，如图(1)．因为∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°－50°＝20°.(2)当OC在角∠AOB外部时，如图(2)．因为∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，所以∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝70°＋50°＝120°.点拨：由于这两个角的位置没有确定，所以小角∠AOC，既可以在大角∠AOB的外部，也可以在大角∠AOB的内部．因此要分两种情况求解．9．解：由OD平分∠AOC，得∠1＝∠2.由∠3＝3∠1，得∠3＝3∠2.所以∠AOB＋∠3＋∠2＋∠1＝360°.所以90°＋5∠2＝360°.所以∠2＝54°.点拨：利用角平分线和直角、周角之间的关系将∠1，∠3都用∠2表示．10．解：由α，β均为钝角，得90°<α<180°，90°<β<180°.所以180°＜α＋β＜360°.所以130()606αβ<+<.由于在四个答案中只有32°在此范围内，所以1()32 6αβ+= .所以α＋β＝192°.点拨：本题利用了钝角的概念，把α＋β的取值确定在180°～360°之间．11．解：由题图可知∠AOB＝180°，因为∠AOB′＝40°，所以∠BOB′＝∠AOB－∠AOB′＝180°－40°＝140°.因为在折叠过程中，∠BOG＝∠B′OG，所以11'1407022BOG BOB∠=∠=⨯=.点拨：由∠AOB′＝40°，可知∠BOB′的度数，再根据折叠前后的两个角相等，可求∠BOG的度数．12．解：(1)题图中与∠DOE互余的角有：∠EOF，∠BOD，∠BOC.理由如下：因为∠AOE＝∠FOD＝90°，所以∠DOE＋∠EOF＝90°，∠DOE＋∠BOD＝90°.因为∠BOD＝∠BOC，所以∠DOE＋∠BOC＝90°.(2)题图中与∠DOE互补的角有：∠BOF，∠COE.理由如下：因为∠AOE＝∠FOD＝90°，即∠AOF＋∠FOE＝∠FOE＋∠DOE＝90°，所以∠AOF＝∠DOE.所以∠DOE＋∠BOF＝∠AOF＋∠BOF＝180°.由(1)可知∠BOD＝∠BOC＝∠EOF，所以∠COE＝∠BOF.所以∠DOE＋∠COE＝∠DOE＋∠BOF＝180°.点拨：利用等角的余角和等角的补角相等说明理由．。
七年级数学上册 2角(2)练习人教版.doc
2角（2）
1、从一个角的____点引出的一条____线，把这个角分成两个________的角，这条射线叫做这个角的________。
2、已知︒=∠60AOB ，其角平分线为OM ，︒=∠20BOC ，其角平分线为ON ，则MON ∠的大小为（ ）
A 、︒20
B 、︒40
C 、︒20或︒40
D 、︒10或︒30
3、如图，∵OC 平分AOB ∠，
∴____________∠=∠ 或AOB AOC ∠=∠____或AOB BOC ∠=∠____ 或AOC AOB ∠=∠____或BOC AOB ∠=∠____
（第3、4题图） （第5题图）
4、如上图，_________2=∠AOB ，则OC 为AOB ∠的角平分线。
5、如图，_____________________++=∠AOB ，
_____________________________-=+=∠AOD A
6、如图已知∠AOC=160 º，OD 平分∠AOC ，∠AOB 是直角， D 试求∠BOD 的度数。
B O
C
7、如图，从平角POQ ∠的顶点出发画一条射线OB ，OC OA 、分别是
BOP QOB ∠∠、的角平分线，求AOC ∠的度数。
8、从下午4时30分到4时50分，时钟的分针转了多少度？时针转了多少度？
分针转动的速度是时针转动速度的多少倍？
9、如图，将书页斜折过去，使角的顶点A 落在F 处，BC
为折痕，BD 为EBF ∠的平分线，求CBD ∠的度数。
人教版七年级数学上册第四章角复习题二(含答案) (87)
人教版七年级数学上册第四章角复习题二（含答案) 如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起。
（1）若∠AOD=25°，则∠AOC= 65°，∠BOD= ，∠BOC= ；（2）比较∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；（3）猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）65°，115°；（2）∠AOC=∠BOD；理由见解析；（3）AOD+∠BOC=180°，理由见解析．【解析】【分析】（1）依据∠AOD+∠BOD=90°，可求得∠BOD的度数，然后依据∠BOC=∠COD+∠DOB求解即可；（2）依据同角的余角相等进行证明即可；（3）依据∠AOD+∠BOD+∠COD=180°求解即可．【详解】（1）∵∠AOD=25°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=90°-25°=65°，∠BOC=∠COD+∠DOB=90°+65°=155°（2）∠AOC=∠BOD．理由如下：∵∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∴∠AOC=∠BOD．（3）∠AOD+∠BOC=180°．理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠COD=180°，又∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，∴∠AOD+∠BOD+∠COD=180°．又∵∠BOD+∠COD=∠BOC，∴∠AOD+∠BOC=180°．【点睛】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和差关系是解题的关键．62．如图，OC平分∠AOD，∠BOD=2∠AOB。
若∠AOD=114°，求∠BOC的度数。
【答案】19°．【解析】【分析】此题可设∠AOB=x，则∠BOD=2x，再根据∠AOD=114°列方程求解．然后根据角平分线求得∠AOC，再运用角之间的差求得∠BOC．【详解】设∠AOB=x，则∠BOD=2x，∴x+2x=114°，x=38°，即∠AOB=38°，又OC平分∠AOD，∴∠AOC=57°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=19°．【点睛】解决此类题时，最好设未知数，这样能够迅速表示出相关的角，运用列方程的方法进行求解．这样做思路较为清晰．63．已知正方形的每个角等于90°，请解决下列问题：(1)如图1，将两个正方形的一个顶点O重合放置，若∠AOD＝50°，求∠COB的度数；(2)如图2，将三个正方形的一个顶点O重合放置，若∠EOC＝40°，∠BOF ＝30°，求∠AOD的度数；(3)如图3，将三个正方形的一个顶点O重合放置，若OF平分∠DOB，那么OE平分∠AOC吗？为什么？【答案】(1)∠COB＝130°；(2)∠AOD=20°；(3) OE平分∠AOC，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据正方形各角等于90°，得出∠COD+∠AOB＝180°，再根据∠AOD＝50°，∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD，即可得出答案；(2)根据已知得出∠1+∠2，∠1+∠3的度数，再根据∠1+∠2+∠3＝90°，最后用∠1+∠2+∠1+∠3﹣(∠1+∠2+∠3)，即可求出∠1的度数；(3)根据∠COD＝∠AOB和等角的余角相等得出∠COA＝∠DOB，∠EOA＝∠FOB，再根据角平分线的性质得出∠DOF＝∠FOB＝12∠DOB和∠EOA＝12∠DOB＝12∠COA，从而得出答案.【详解】(1)∠两个图形是正方形，∠∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠∠COD+∠AOB＝180°，∠∠AOD＝50°，∠∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝130°；(2) 如图：∠∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠EOF=90°，∠∠COE+∠2+∠1=90°，∠2+∠1+∠3=90°，∠1+∠2+∠BOF=90°，又∠∠EOC＝40°，∠BOF＝30°，∠∠1+∠2=50°①，∠1+∠3=60°②，又∠1+∠2+∠3＝90°∠，∠+∠﹣∠得：∠1＝20°；(3)OE平分∠AOC，理由如下：∠∠COD＝∠AOB=90°，∴∠COD-∠AOD=∠AOB-∠AOD，即∠COA＝∠DOB，同理：∠EOA＝∠FOB，∠OF平分∠DOB，∠∠DOF＝∠FOB＝12∠DOB，∠∠EOA＝12∠DOB＝12∠COA，∠OE平分∠AOC.【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，能从复杂的图形中找到所需要的基本图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.三、填空题64．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE＝1n∠BOC，∠BOD＝1n∠AOB，则∠DOE＝_____°．（用含n的代数式表示）【答案】60n．【解析】【分析】根据各个角之间的关系，设∠BOE＝x°，表示∠BOC、∠AOB、∠BOD，进而求出∠DOE的大小即可．【详解】解：设∠BOE＝x°，∵∠BOE＝1n∠BOC，∴∠BOC＝nx，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+nx，∵∠BOD＝1n∠AOB＝1n（60°+nx）＝60n︒+x，∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝60n︒+x﹣x＝60n︒，故答案为：60n．【点睛】考查角的有关计算，通过图形找出各个角之间的关系是解决问题的关键，用代数的方法解决几何图形问题也是常用的方法．65．小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为8点30分，此时时钟的分针与时针所成角的度数是_____．【答案】75°【解析】【分析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上8点30分，时针指向8，分针指向6，两者之间相隔2.5个数字．【详解】解：30°×2.5＝75°．∴钟面上8点30分时，分针与时针所成的角的度数是75度．故答案为：75°．【点睛】本题主要考查了钟面角，掌握钟面角是解题的关键.66．若36AOB ∠=︒，以OB 为一边画一个20BOC ∠=︒，则AOC ∠的度数是________．【答案】56°或16°【解析】【分析】根据∠BOC 的位置，当∠BOC 的一边OC 在∠AOB 外部时，两角相加，当∠BOC 的一边OC 在∠AOB 内部时，两角相减即可．【详解】以O 为顶点，OB 为一边作∠BOC=20°有两种情况：①当∠BOC 的一边OC 在∠AOB 外部时，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=36°+20°=56°；②当∠BOC的一边OC在∠AOB内部时，则∠AOC=∠AOB-∠BOC=36°-20°=16°；故答案为：56°或16°【点睛】此题主要考查学生对角的计算，此题采用分类讨论的思想，难度不大，属于基础题．67．如图，∠3=27°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为______.【答案】63°【解析】【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=63°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数．【详解】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=27°，∴∠2=63°，∴∠1=63°．故答案为：63°．【点睛】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及余角等知识，熟练掌握每个知识点是解题的关键．68．已知37α∠=，则α∠的余角为__________．【答案】53【解析】【分析】根据互为余角的定义作答即可.【详解】37α∠=A ∴∠的余角90-37=53=故答案为53.【点睛】此题考查互为余角的定义，解题关键在于掌握其定义.69．已知一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角的度数是_________．【答案】30°【解析】【分析】先分别设出这个角的度数和余角的度数，根据“一个角的余角是这个角的2倍”列出方程，解此方程即可得出答案.【详解】设这个角为x ，则余角为90°-x由题意可得：90°-x=2x解得：x=30°故答案为：30°.【点睛】本题考查的是余角的概念：如果两个角的和是直角(90°)，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角.70．北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A ,B ,C 分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向.则∠BAC =____°.【答案】59︒【解析】【分析】根据题意可得：18CAS ∠=︒，77BAS ∠=︒，然后利用角的和差关系可得到答案.【详解】如图：BAC BAS CAS∠=∠-∠=︒-︒=︒，771859故答案为：59︒【点睛】本题主要考查了方向角与角的和差，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90︒的角.。
人教版七年级数学上册第四章角复习题二(含答案) (6)
人教版七年级数学上册第四章角复习题二（含答案)如果∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，那么∠2与∠3的大小关系是______．【答案】相等【解析】【分析】根据“等角的余角相等”即可得解.【详解】解：∵∵1+∵2＝90°，∵1+∵3＝90°，∵∵2＝∵3（等角的余角相等）．故答案为：相等.【点睛】本题主要考查余角，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.52．1.25︒=__________''．【答案】4500【解析】【分析】根据1603600'''︒==即可解答．【详解】解：∵1603600'''︒==，∴1.25 1.2536004500''''︒=⨯=，故答案为：4500．【点睛】本题考查了角度的换算，解题的关键是熟知1603600'''︒==．53．如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC=__________°．（△AOC 是等腰直角三角板）【答案】180【解析】【分析】根据图形得到∠AOC=∠BOD=90°，求出∠BOC+∠COD=90°，即可求出答案.【详解】由题意知：∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC+∠COD=90°，∴∵AOD+∵BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=180°，故答案为：180.【点睛】此题考查图形中角度的和差计算，正确理解图形中各角度的关系是解题的关键.54．已知∠AOB ＝20°，∠AOC ＝4∠AOB ，OD 平分∠AOB ，OM 平分∠AOC ，则∠MOD 的度数是_____________________度【答案】30或50【解析】【分析】本题分两种情况讨论：（1）当C、B两点位于OA边的同一侧时；（2）当当C、B两点位于OA边的两侧时.根据两种情况，同时考虑角平分线的定义，得出结论即可.【详解】分为两种情况：如下图，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=12∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°.如下图，当∠AOB在∠AOC外部时，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=12∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°.【点睛】本题考查角平分线的应用等相关知识，解题时不能只考虑一种情况，要分当∠AOB在∠AOC内部和当∠AOB在∠AOC外部两种情况进行讨论.55．比较大小：直角_____锐角；38.51°_____38°50′1″．【答案】＞＜【解析】【分析】根据直角，锐角的定义进行角的大小比较．【详解】直角=90°，锐角大于0°而小于90度．故直角＞锐角；38.51°=38°30′6″＜38°50′1″．【点睛】本题考查直角，锐角的定义及角的大小比较．直角=90°，锐角大于0°而小于90度．在比较角的大小时有时可把度化为分来进行比较．56．780″＝_____′．【答案】13．【解析】【分析】根据1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″解答即可．解：∵1′＝60″ ∴780″＝780″×160'"＝13′， 故答案为：13【点睛】本题考查了度分秒的转化，熟记度分秒的进率关系是解题的关键．57．如图，AB CD 、相交于点O ，DE 是DOB ∆的角平分线，若B C ∠=∠，50A ∠=，则EDB ∠=__________．【答案】25︒【解析】【分析】根据角的关系可得=50BDO A =︒∠∠，再根据角平分线的性质即可求出EDB ∠的度数即可．【详解】∵AOC BOD ∠=∠，B C ∠=∠∴=50BDO A =︒∠∠∵DE 是DOB ∆的角平分线∴25EDB ∠=︒故答案为：25︒．本题考查了三角形的角度问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．58．上午6点30分，时钟的时针和分针所夹的较小的角是__________度．【答案】15°．【解析】【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【详解】∵时针在钟面上每分钟转0．5°，分针每分钟转6°，∴钟表上6点30分，时针与分针的夹角可以看成0×30°+（30°-0．5°×30）=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的）°，并且利用起点时间时针和分针的位度数关系：分针每转动1°时针转动（112置关系建立角的图形．59．如果一个角的余角的度数是30°15′，那么这个角的补角的度数是_____．【答案】120°15′【解析】【分析】先根据余角的定义求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可．【详解】解：∵一个角的余角的度数是30°15′，∴这个角为90°-30°15′=59°45′，∴这个角的补角的度数是180°-59°45′=120°15′．故答案为：120°15′．【点睛】此题主要考查了余角和补角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．60．点O在直线AB上，射线OC⊥射线OD，若∠AOC＝35°，则∠BOD 的度数是_____．【答案】55°或125°．【解析】【分析】此题可分两种情况，即OC，OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解．【详解】∵当OC、OD在AB的一旁时，如图1，∵OC∵OD，∵∵COD＝90°，∵∵AOC＝35°，∵∵BOD＝180°﹣∵COD﹣∵AOC＝55°；∵当OC、OD在AB的两旁时，如图2，∵OC∵OD，∵AOC＝35°，∵∵AOD＝55°，∵∵BOD＝180°﹣∵AOD＝125°．故答案为：55°或125°．【点睛】此题主要考查了垂线的定义，利用数形结合分析是解题关键．同时，值得注意的是，要记得分类讨论，不要漏掉其中一种情况．。