高中数学第二章函数第20课时函数的零点练习新人教B版必修1
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点练习新人教B版必修1
2.4.1 函数的零点【选题明细表】1.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1; 只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y 轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-) (B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点, 所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解. 即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根, 所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。
高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.2知识点总结含同步练习题及答案
[0, a] (a > 0) 上的最大值为 3 ，最小值为 2 ，
因为 f (x) = x 2 − 2x + 3 = (x − 1)2 + 2，又因为 f (1) = 2 ，f (0) = f (2) = 3，则 a ∈ [1, 2]．
1 例题： 求函数 y = − − − − − 的最小值． √x − 1− x
解：因为 x − 1 ⩾ 0 且 x ≠ 0，所以 x ⩾ 1 ，则函数 f (x) 的定义域为 [1, +∞)．
1 1 在 [1, +∞) 上单调递减，所以 y = − x x 1 − − − − − 在 [1, +∞) 上单调递增．所以 y = √x − 1 − 在 [1, +∞) 上单调递增． x 所以，当 x = 1 时，y min = −1 ，故所求的最小值为 −1． − − − − 又 y = √− x − 1 在 [1, +∞) 上单调递增，而 y =
四、课后作业
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1. 函数 y = ax 2 + bx 与 y = ax + b (ab ≠ 0) 的图象只能是 (
)
A．
B．
C．
D．
答案： D
2. 二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c 的图象开口向下，对称轴为 x = 1 ，图象与 x 轴的两个交点中，一个 交点的横坐标 x 1 ∈ (2, 3) ，则有 ( A．abc > 0
高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
高中数学 2.4.1函数的零点同步测试 新人教B版必修1
第二章 2.4 2.4.1函数的零点一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7[答案] C[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－72，∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－72.2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点．3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或1[答案] C[解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)， 令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C ．4．(2019·湖北文，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x <0.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x <0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}． 5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．6．函数f (x )＝x －4x的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] C[解析] 令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个． 二、填空题7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f (－6)＝36，则二次函数f (x )的解析式为______________．[答案] f (x )＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又f (－6)＝36，∴36＝a (－6＋2)(－6－3)∴a ＝1，∴f (x )＝(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝x 2－x －6. 三、解答题9．求下列函数的零点： (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－17或x ＝1.∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点是－17，1.(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2， 令f (x )＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－32.∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点是－32.10．已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且函数f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a.∵f (0)＝3，∴c ＝3. 又∵－b 2a ＝2，∴－ba ＝4.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2c a＝16－6a＝10，∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.一、选择题1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， ∴f (x )在(0，＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点， 又∵f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点， 即f (－2)＝0，故选B ．2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－ba1×2＝ca，∴ba ＝－3，c a＝2，于是f (x )＝cx 2＋bx ＋a ＝a (c ax 2＋b ax ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，所以该函数的零点是1、12，故选C ．3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[答案] A[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A ．4．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,0) B ．[－3,0) C ．[－3,0]D ．[－1,0][答案] C[解析] 当m ＝0时，x ＝－32<0成立，排除选项A 、B ，当m ＝－3时，原方程变为－3x2－4x ＝0，两根为x 1＝0，x 2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.[答案] [解析] 由表中给出的数据可以得到f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f (－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x ∈(－∞，－2)时都有f (x )>0，同理可得当x ∈(3，＋∞)时也有f (x )>0，故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24，∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝(x ＋a2)2.又∵关于x 的方程f (x )＝c ，有两个实根m ，m ＋6， ∴f (m )＝c ，f (m ＋6)＝c ，∴f (m )＝f (m ＋6)， ∴(m ＋a 2)2＝(m ＋a 2＋6)2， ∴(m ＋a2)2＝(m ＋a2)2＋12(m ＋a2)＋36， ∴m ＋a2＝－3. 又∵c ＝f (m )＝(m ＋a2)2，∴c ＝9.三、解答题7．若函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a －1＝0，即a ＝1时，函数为y ＝x ＋2，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a －1≠0，即a ≠1时，函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2是二次函数． ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－8(a －1)＝0，解得a ＝98.综上所述，实数a 的取值集合是{a |a ＝1或a ＝98}．8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋1≥0，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6，∴m 的取值范围为m ≤－59.(2)若函数有两个不同零点x 1，x 2， 则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2，∴－2m －1m ＋6＝－4m ＋1m ＋6，解得m ＝－3，经验证m ＝－3符合题意．。
高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点同步训练新人教B版必修1
2.4.1 函数的零点5分钟训练1.观察下面的四个函数图象,则在(-∞,0)内,函数y=f i(x)(i=1,2,3,4)有零点的是( )A.①B.①②C.①②③D.②④答案：B解析：在区间(-∞,0)内,函数f1(x)、f2(x)的图象与x轴有交点.2.函数y=2x2-4x-3的零点个数是( )A.0B.1C.2D.不能确定答案：C解析：∵Δ=(-4)2-4×2×(-3)=40>0,∴方程2x2-4x-3=0有两个不相等的实根,即函数y=2x2-4x-3有2个零点.3.函数f(x)=x3-x2-x+1在［0,2］上( )A.有三个零点B.有两个零点C.有一个零点D.没有零点答案：C解析：由于f(x)=x3-x2-x+1=(x-1)2(x+1)，令f(x)=0得x=±1，因此函数在［0,2］上有一个零点.4.若函数f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为______________.(只填序号)10分钟训练1.已知函数f（x）=2ax+4，若在区间［-2，1］上存在x0，使f（x0）=0，则实数a的取值范围是( )A.（-∞，-2］∪［1，+∞）B.［-1，2］C.［-1，4］D.［-2，1］答案：A解析：f（-2）f（1）≤0⇔（-4a+4）（2a+4）≤0⇔a≤-2或a≥1.2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间［-2,4］上的零点必定在内.( )A.［-2,1］B.［25,4］C.［1,47］D.［47,25］ 答案：D解析：由于f(-2)＜0，f(4)＞0，)242(+-f =f(1)＜0，)25()241(f f =+＞0， )2251(+f ＜0，∴零点介于［25,47］内.故选D. 3.函数y=-x 2+8x-16在区间［3,5］上( )A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点 答案：B解析：函数y=-(x-4)2有一个二重零点4, 故在区间［3,5］上有一个零点.4.若函数f(x)=ax+b 有一个零点是2,那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是( )A.0,2B.0,21 C.0,21- D.2,21-答案：C解析：∵2a+b=0,b=-2a,∴g(x)=-2ax 2-ax=-a(2x 2+x)=-ax(2x+1). ∴函数g(x)的零点是0,21-. 5.已知y=x 2+ax+3有一个零点为2,则a 的值是_____________. 答案：27-解析：由题意可知x=2是方程x 2+ax+3=0的一个根,代入可得a=27-. 6.判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2. 解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1, f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如图),所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一个交点,在(-∞,2)内也有一个交点. 所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2. 30分钟训练1.已知方程（m-1）x 2+3x-1=0的两根都是正数，则m 的取值范围是( )A.45-＜m ＜1 B.45-≤m＜1 C.45-＜m≤1 D.m≤45-或m ＞1答案：B解析：利用方程根与系数的关系求解. 2.已知f （x ）=（x-a ）（x-b ）-2，并且α、β是方程f （x ）=0的两根，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A.α＜a ＜b ＜βB.a ＜α＜β＜bC.a ＜α＜b ＜βD.α＜a ＜β＜b 答案：A解析：f （a ）=-2，f （b ）=-2,f （α）=f （β）=0，f （x ）的开口向上，所以a 、b 在α、β之间.3.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且f(21)>0>f(-3),则函数y=f(x)的零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C解析：由于函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,因此在(-∞,0)上递增.又因为f(21)>0>f(3-)=f(3), 所以函数f(x)在(21,3)上与x 轴有一个交点,必在(3-,21-)上也有一个交点,故函数y=f(x)的零点的个数为2. 2答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)解析：由于y=ax 2+bx+c 是二次函数，由图表联想到二次函数的有关性质，不难获得答案，函数的零点就是此函数的分水岭，所以找出函数的零点-2、3是解决本题的关键.5.(创新题)若函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是__________. 答案：21-,31-解析：由题意可得a=2+3=5,b=-6.所以g(x)=-6x 2-5x-1=-(2x+1)(3x+1),零点为21-,31-.6.奇函数f(x)的定义域为R ,在(0,+∞)上,f(x)为增函数,若-3是f(x)的一个零点,则f(x)另外的零点是______________. 答案：0,3解析：因为f(x)是定义在R 上的奇函数,有f(0)=0. 因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0. 所以f(x)另外的零点是0,3.7.已知m∈R 时，函数f(x)=m(x 2-1)+x-a 恒有零点，则实数a 的取值范围是______________. 答案：-1≤a≤1 解析：（1）当m=0时，f(x)=x-a=0，得x=a 恒有解，此时x∈R .（2）当m≠0时，f(x)=0,即mx 2+x-m-a=0恒有解，∴Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立，即4m 2+4am+1≥0恒成立.∴Δ2=16a 2-16≤0，解得-1≤a≤1.因此对m∈R ，函数恒有零点，有-1≤a≤1.8.若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a 的取值范围.解：设f(x)=3x 2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示).∵f(x)=0的两根分别在区间(-2,0),(1,3)内,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-,0)3(,0)1(,0)0(,0)2(f f f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯<+-<>+-⨯--⨯.03593,053,0,0)2(5)2(32a a a a 解得-12<a<0.所求a 的取值范围是-12<a<0.9.(探究题)试找出一个长度为1的区间,在这个区间上函数y=231+-x x 至少有一个零点.解：函数f(x)=231+-x x 的定义域为(-∞, 32-)∪(32-,+∞).取区间［21,23］. ∵f(21)=71223121-=+-<0,f(23)=131229123=+->0,∴在区间［21,23］内函数f(x)至少有一个零点. ∴［21,23］就是符合条件的一个区间. 10.求函数f(x)=x 3-x 的零点,并画出它的图象.解：因为x 3-x=x(x 2-1)=x(x-1)(x+1), 令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0.解得已知函数的零点为-1,0,1,这三个零点把x 轴分成4个区间:(-∞,-1］,(-1,0］,(0,1］,(1,+∞),在这四个区间内,取x 的一些值(包括零点),列出这在直线坐标系内描点作图,这个函数的图象如下:。
人教B版数学高一版必修1练习2.4.1函数的零点
2.4 函数与方程 2．4.1 函数的零点知识点一：函数零点的概念1．函数y ＝x 2－5x ＋6的零点是A ．2,3B ．－2，－3C ．1,6D ．－1，－6 2．观察下面的四个函数图象，则在(－∞，0)内，函数y ＝f i (x)(i ＝1,2,3,4)有零点的是A ．①B ．①②C ．①②③D ．②④3．函数f(x)＝x ＋4x 的零点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋3有一个零点为2，则a 的值为__________．5．若函数f(x)＝ax －b 有一个零点是3，那么g(x)＝bx 2＋3ax 的零点是__________． 知识点二：函数零点的性质6．函数f(x)＝x 3－9x 的零点所在的大致区间是A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(0,1)D ．(5,6)7．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点 A ．有两个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有8．对于函数f(x)＝x 2＋mx ＋n ，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a ，b)内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点9．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．010．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x∈[0，＋∞，x 2－4，x∈－∞，0，又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是__________．11．若函数f(x)＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．能力点一：求函数的零点12．函数f(x)＝－2x 2＋22x －1的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．313．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是A ．a<1B ．a>1C ．a≤1D ．a≥114．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，5是它的一个零点，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和为__________．15．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图象．16.判断函数f(x)＝32x －2×3x＋1是否存在零点，若存在，则求出零点．能力点二：函数零点的综合应用17．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列说法正确的为A ．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B ．函数f(x)在(1,2)内有零点C ．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D ．函数f(x)在区间(0,4)内有零点18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数是A ．1B ．2C ．0D ．无法确定19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2,3，若x∈(－2,3)时，f(x)<0且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为__________．202则使ax 2＋bx ＋c>0成立的自变量x 的取值范围是__________．21．函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 的两个零点都在x 轴上点(2,0)的右方，求m 的取值范围．22．对于函数f(x)，若存在x 0∈R ，使f(x 0)＝x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a≠0)，当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点．23．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1)若a>b>c ，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f(x 1)≠f(x 2)，若方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．答案与解析基础巩固1．A 2.B 3.A4．－72 ∵x＝2是方程x 2＋ax ＋3＝0的根，∴4＋2a ＋3＝0.∴a＝－72.5．0，－1 由题意，知f(3)＝3a －b ＝0，∴b＝3a.∴g(x)＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx(x ＋1)． 令g(x)＝0，得x ＝0或－1.6．A ∵f(1)＝－8<0，f(2)＝23－92>0，∴选A.7．C 8.C9．D 偶函数图象关于y 轴对称，故4个交点形成的零点之和为0.10．1，－ 5 当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x －2，令g(x)＝0，得x ＝1；当x<0时，g(x)＝x 2－4－1＝x 2－5，令g(x)＝0，得x ＝±5(正值舍去)， ∴g(x)的零点为1和－ 5.11．解：(1)若a ＝0，则f(x)＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0或－14时，函数仅有一个零点．能力提升12．B13．B f(x)没有零点， ∴方程f(x)＝0无实根． 故Δ＝4－4a<0.∴a>1.14．3 0 ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0.又∵f(－x)＝－f(x)， ∴－f(5)＝f(－5)＝0. ∴f(－5)＝0.∴－5也是函数的零点．∴函数有3个零点：5，－5,0，其和为0.15．解：∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2，2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值(包括零点)．在直角坐标系中描点作图，图象如图所示．16．解：∵f(x)＝32x－2×3x＋1＝(3x－1)2， ∴令f(x)＝0，得3x－1＝0，解得x ＝0. ∴f(x)有零点，零点为x ＝0. 17．D ∵f(1)·f(2)·f(4)<0，∴f(1)，f(2)，f(4)三者中两正一负． 但具体哪个正，哪个负并不能确定． 又∵函数连续且f(0)>0，∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点．18．B 令y ＝0，得ax 2＋bx ＋c ＝0， ∵ac<0，∴方程的判别式b 2－4ac>0. ∴函数有两个零点．19．f(x)＝x 2－x －620．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 21．解：如下图所示，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －22－45－m >0，－m －22>2，f 2>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－4或m>4m<－2m>－5－5<m<－4. ∴－5<m<－4.22．解：当a ＝1，b ＝－2时，f(x)＝x 2－x －3.由题意可知，f(x)的不动点满足x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3. 故当a ＝1，b ＝－2时，f(x)的两个不动点为－1,3.拓展探究23．证明：(1)∵f(1)＝0， ∴a＋b ＋c ＝0.又∵a>b>c，∴a>0，c<0， 即ac<0.又∵Δ＝b 2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根． ∴f(x)必有两个零点．(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 1)－f(x 2)]，g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 2)－f(x 1)]．∵g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2，且f(x 1)≠f(x 2)，∴g(x 1)g(x 2)<0.∴g(x)＝0在(x 1，x 2)内必有一实根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一实根属于区间(x 1，x 2).。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学业分层测评 新人教B版必修1
函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点． 【答案】 B2．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007【解析】 因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在(－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007(个)． 【答案】 D3．函数y ＝x 3－16x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 令x 3－16x ＝0，易解得x ＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y ＝x 3－16x 的零点有3个．【答案】 D4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．不能确定【解析】 由f (1)＝0， 得a ＋b ＋c ＝0， 又a >b >c ，∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2－4ac >0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．【答案】 B5．若函数f (x )的零点与g (x )＝2x －2的零点相同，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝x 2＋4x －5D ．f (x )＝x 2－1【解析】 令g (x )＝2x －2＝0，得x ＝1， ∴g (x )的零点为1.由题意知方程f (x )＝0只有x ＝1一个根． 只有选项B 中函数f (x )＝(x －1)2满足． 【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－2 015x ＋2 016与x 轴的交点为(m,0)，(n,0)，则(m 2－2 016m ＋2 016)(n 2－2 016n ＋2 016)的值为________．【解析】 由题意，f (m )＝m 2－2 015m ＋2 016＝0，f (n )＝n 2－2 015n ＋2 016＝0，mn 是方程x 2－2 015x ＋2 016＝0的两根，mn ＝2 016，∴(m 2－2 016m ＋2 016)(n 2－2 016n ＋2 016)＝mn ＝2 016.【答案】 2 0167．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________. 【解析】 由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.【答案】 (0,4)8．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k 的取值范围为________.【解】 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，1＋k －2＋2k －1<0，4＋2k －4＋2k －1>0，∴12<k <23. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 三、解答题9．设函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，且g (1)＝－a2.(1)求证：函数g (x )有两个零点；(2)讨论函数g (x )在区间(0,2)内的零点个数．【解】 (1)证明：∵g (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0，∴c ＝－32a －b .∴g (x )＝ax 2＋bx －32a －b ，∴Δ＝(2a ＋b )2＋2a 2，∵a ＞0，∴Δ＞0恒成立，故函数f (x )有两个零点．(2)根据g (0)＝c ，g (2)＝4a ＋2b ＋c ，由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴g (2)＝a －c . ①当c ＞0时，有g (0)＞0，又∵a ＞0，∴g (1)＝－a2＜0，故函数g (x )在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点． ②当c ≤0时，g (1)＜0，g (0)＝c ≤0，g (2)＝a －c ＞0， ∴函数f (x )在区间(1,2)内有一零点，综合①②，可知函数g (x )在区间(0,2)内至少有一个零点．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4xx，2x x ，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数．(只写明结果，无需过程) 【解】 (1)函数y ＝f (x )的图象如图所示：(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图所示：①0＜a ＜4时，方程有四个解； ②a ＝4时，方程有三个解； ③a ＝0或a ＞4时，方程有二个解； ④a ＜0时，方程没有实数解．[能力提升]1．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <1【解析】 若a ＝0时显然不符合，令y ＝2ax 2－x －1，由f (0)＝－1，结合图象(略)知：若在(0,1)内恰有一零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f，即a >1.【答案】 B2．若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则有( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a >1【解析】 设方程的两根为x 1，x 2，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝1a <0，Δ＝4－4a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a <1，∴a <0.【答案】 A3．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 是f (x )的零点，且m <n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是_______________________________．【解析】 由题意知，f (x )的图象是开口向下的抛物线，f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图所示．所以m <a <b <n . 【答案】 m <a <b <n4．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值. 【导学号：60210062】 【解】 (1)当m ＋6＝0时， 函数为y ＝－14x －5，显然有零点； 当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，m ≤－59.(2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0(m ＋6≠0)的两个根． x 1＋x 2＝－m －m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6. ∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－m －m ＋1＝－4，解得m ＝－3. 且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0符合题意，∴m 的值为－3.。
人教B版高中数学必修一同步练习：2.4.1《函数的零点》 Word版缺答案
《函数的零点》习题1.下列函数中在［1，2］上有零点的是（ ）A .543)(2+-=x x x fB .55)(3+-=x x x fC .63ln )(+-=x x x fD .63)(-+=x e x f x 2．若方程0122=--x ax 在(0,1)内恰有一个实根，则a 的取值范围是（ ）A .)1,(--∞B .),1(+∞C .)1,1(-D .[)1,0 3．函数c bx ax x f ++=2)(，若0)2(,0)1(<>f f ，则)(x f 在)2,1(上零点的个数为（ ）A .至多有一个B .有一个或两个C .有且只有一个D .一个也没有4.设函数f (x )= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,则方程f (x )在[-1,1]内（ ）A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C . 有唯一的实数根D .没有实数根5．设f (x ) = 3-5x 2x 1++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是（ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]6．方程2x +x -4=0的解所在区间为( )A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)7.已知函数y =f (x )在定义域内是单调函数,则方程f (x )=c (c 为常数)的解的情况( )A .有且只有一个解B .至少有一个解C .至多有一个解D .可能无解,可能有一个或多个解8．已知函数)(x f y =是R 上的奇函数，其零点1x ，2x ……2007x ，则200721x x x +++ ＝ .9．一次函数m mx x f -+=1)(在［0，1］无零点，则m 取值范围为 . 10．函数1)(2--=x ax x f 仅有一个零点，求实数a 的取值范围. 11.m x m x x f -+-+=5)2()(2有两个零点，且都大于2，求m 的取值范围.答案1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.C8.09.1<m10.解4544520)5(4)2(0)2(2222-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<>->-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<---=∆>>--m m m m m m m f m 或11.解：①若1)(0--==x x f a 为一次函数，易知函数仅有一个零点.②若)(0x f a ≠为二次函数，012=--x ax 仅有一个实根，△＝1+4 0=a 41-=a综上：0=a 或41-=a 时，函数仅有一个零点.。
高中数学第二章函数零点练习题北师大版必修1(2021年整理)
陕西省石泉县高中数学第二章函数零点练习题北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第二章函数零点练习题北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数的零点1.函数21y x =-的零点是 变式：函数y ＝3，x －错误!的一个零点是( ）A ．－1B ．1C ．（－1，0）D ．（1,0)变式：函数f （x )＝错误!＋a 的零点为1,则实数a 的值为______．2．若函数f (x ）＝ax ＋b 的零点是2,则函数g (x ）＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，错误!C ．0,－错误!D ．2，－错误!变式：若函数f （x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3,则函数g （x )＝bx 2－ax －1的零点是（ )A ．－1和错误!B ．1和－错误!C 。
错误!和错误!D ．－错误!和－错误!3、若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3,则x 1＋x 2＋x 3的值为（ ）A ．－1B ．0C ．3D ．不确定变式：定义在R 上的偶函数()x f y =在(－∞，0]上递增，函数()x f 的一个零点为－错误!，则满足0log 41≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 的x 的取值集合4、函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间为A 。
()1,2-- B.()0,1- C. ()1,0 D. ()2,1变式：（2010·天津)函数f (x ）＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1）B ．(－1,0)C ．（0,1）D ．（1，2) 变式:函数3log )(3-+=x x f x 零点所在大致区间是（ ）A 。
高中数学新人教B版必修第一册 函数的零点及近似值求法 作业 课件(23张)G
6．已知 x1，x2 是二次方程 f(x)＝0 的两个不同实根，x3，x4 是 二次方程 g(x)＝0 的两个不同实根，若 g(x1)·g(x2)<0，则( D )
A．x1，x2 介于 x3 和 x4 之间 B．x3，x4 介于 x1 和 x2 之间 C．x1 与 x2 相邻，x3 与 x4 相邻 D．x1，x2 与 x3，x4 相间排列
解析：f(x)＝2x－ax＋3 有一个零点为 1，则 2×1－a×1＋3＝ 0，即 a＝5，所以 f(x)＝2x－5x＋3＝－3x＋3，故 f(－1)＝6.
11．已知函数 f(x)＝x32－，2xx>，1，x≤1， 则函数 g(x)＝f(x)－2 的 零点个数为____2___.
解析：令函数 g(x)＝f(x)－2＝0，则 f(x)＝2. 当 x≤1 时，令 3－2x＝2，解得 x＝12； 当 x>1 时，令 x2＝2，解得 x＝ 2或 x＝－ 2(舍去)， 所以函数 g(x)的零点为 x＝12或 x＝ 2， 所以函数 g(x)＝f(x)－2 有两个零点．
解析：由题意知 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(2)＝0，又 f(x) 为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，且 f(－2)＝0.故函数 y＝ f(x)在定义域上有两个零点．
16．(10 分)对于函数 f(x)，若存在 x0∈R，使 f(x0)＝x0 成立， 则称 x0 为 f(x)的不动点．已知 f(x)＝ax2＋(t＋1)x＋(t－1)(a≠0)．
2．函数 f(x)＝x3－3x＋2 的零点为( C )
A．1,2
B．±1，－2
C．1，－2
D．±1,2
解析：由 f(x)＝x3－3x＋2＝0 得 x3－x－(2x－2)＝0，即(x－1)2(x ＋2)＝0，解得 x＝1 或 x＝－2，选 C.
高中人教数学B版必修1(课时作业与单元检测)第二章 函数 第20课时 函数的零点 Word版含解析
下列图象表示的函数中没有零点的是( )由函数零点的意义，可得函数的零点是否存在表现在函数图象与轴有无公共点，＝＋＋中，＜，则函数的零点个数是( )＝－，＜，∴Δ＞，∴方程＋＋＝有两个根，∴函数()有两个零点．＝－＋的零点之和为( )答案：．已知偶函数()的定义域为(－∞，)∪(，＋∞)，且()在(，＋∞)上是减函数，()＝，则函数()的零点有( )．一个．两个．至少两个．无法判断答案：解析：由函数()的性质，易知(－)＝，画出函数()的大致图象如图所示．由图象可知函数()有两个零点．．若函数()＝－＋的两个零点是和，则函数()＝－－的零点是( )．－和．和－和．－和答案：解析：∵函数()＝－＋的两个零点是和，∴(\\(＋＝×＝))，即(\\(＝＝))，∴()＝－－，∴()的零点为和－，故选.．设函数()＝(\\(＋＋(≤((＞())，若(－)＝，(－)＝－，则关于的方程()＝的解的个数为( )．．．．答案：解析：根据(－)＝，(－)＝－，易求得，＝，＝，故()＝(\\(＋＋(≤((＞())，所以当≤时，方程()＝为＋＋＝，此方程有两个相等的实数根，即＝＝－，当＞时，＝也是方程()＝的解，故选.二、填空题(本大题共个小题，每小题分，共分)．已知函数()＝＋的零点为，则函数()＝－的零点为．答案：，－解析：由()＝＋的零点为，得＋＝，即＝－，则()＝－＝－－.令－－＝，由题意，知≠，则＝或＝－，则()的零点为和－.．函数＝－－的零点为．答案：－或解析：解二次方程－－＝可得＝－或.．已知关于的方程－(－)＋－＝的两个实根为和，且满足＜＜，则实数的取值范围是．答案：(－，)解析：关于的方程－(－)＋－＝的两个实根、满足＜＜，设()＝－(－)＋－，则有＜，即－(－)·＋－＜，解得{－＜＜}．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)分别判断下列函数的零点的个数，并说明理由．()()＝＋＋；()()＝－；()()＝(\\(＋，≥－，＜)).解：()函数()＝＋＋的图象为开口向上的抛物线，且与轴有唯一的公共点(－)，所以函数()＝＋＋有一个零点．()令()＝，得－＝，即－＝，解得＝±，。
人教B版高中数学必修1第二章2.1函数 同步练习
高一数学人教新课标B版必修1第二章2.1函数同步练习（答题时间：45分钟）微课程：函数的概念及函数的表示同步练习1. 下列四组中f（x），g（x）表示相等函数的是（）A. f（x）＝x，g（x）＝（x）2B. f（x）＝x，g（x）＝3x3C. f（x）＝1，g（x）＝xxD. f（x）＝x，g（x）＝|x|2. 下列函数中，定义域不是R的是（）A. y＝kx＋bB. y＝k x＋1C. y＝x2－cD. y＝1x2＋x＋13. 已知函数f（x）＝2x－3，x∈{1，2，3}，则f（x）的值域为________。
4. 已知函数f（x）＝x2＋x－1.（1）求f（2），f（1x），f（a）。
（2）若f（x）＝5，求x.5. 下列式子中不能表示函数y＝f（x）的是（）A. x＝y2＋1B. y＝2x2＋1C. x－2y＝6D. x＝y微课程：函数的单调性同步练习1. 设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题为（）①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④2. 已知函数f（x）在［－2，3］上单调，且f（－2）·f（3）<0，则方程f （x）=0在［－2，3］内（）A. 至少有一实根B. 至多有一实根C. 没有实根D. 必有唯一实根3. 设函数f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，则（）A. f（a）>f（2a）B. f（a2）<f（a）C. f（a2+a）<f（a）D. f（a2+1）<f（a）4. f（x）是定义在R上的增函数，有下列函数：①y=［f（x）］2是增函数；②y=是减函数；③y=－f（x）是减函数；④y=|f（x）|是增函数。
2018_2019学年高中数学第二章函数2.4.1函数的零点练习新人教B版必
2.4.1 函数的零点【选题明细表】知识点、方法题号求函数零点及零点个数1,2,6,10零点的分布8,11零点的应用3,4,5,7,9,121.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1;只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一 x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二 画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞)(B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y 轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-)(B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一 令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二 设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为 .解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点,所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解.即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。
2018_2019学年高中数学第二章函数2.4.1函数的零点练习新人教B版必
2.4.1 函数的零点【选题明细表】1.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1; 只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y 轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-) (B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点, 所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解. 即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根, 所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。
高中数学 第二章 函数 第20课时 函数的零点练习 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题
第20课时函数的零点课时目标1.理解函数零点的定义，会判断函数零点的存在及零点的个数．2．了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．3．了解零点与方程根的关系．识记强化1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．一般地，函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根的个数相等．3．函数f(x)的图象与x轴有公共点叫这个函数有零点，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．4．如果函数f(x)在给定区间[a，b]上是连续不间断的，且在两个端点处的函数值f(a)·f(b)＜0，那么该函数在给定区间(a，b)上至少有一个零点．5．如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案：A解析：由函数零点的意义，可得函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无公共点，故选A.2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac＜0，则函数的零点个数是( )A．1 B．2C．0 D．无法确定答案：B解析：∵Δ＝b2－4ac，ac＜0，∴Δ＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，∴函数f(x)有两个零点．3．函数f(x)＝x2－3x＋1的零点之和为( )A．1 B．2C．3 D．4答案：C4．已知偶函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )A．一个 B．两个C．至少两个 D．无法判断答案：B解析：由函数f(x)的性质，易知f(－2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图所示．由图象可知函数f (x )有两个零点．5．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和16B ．1和－16C.12和13D ．－12和 3 答案：B解析：∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a 2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02x ＞0，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：根据f (－4)＝0，f (－2)＝－2，易求得，b ＝5，c ＝4，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋4x ≤02x ＞0，所以当x ≤0时，方程f (x )＝x 为x 2＋4x ＋4＝0，此方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－2，当x ＞0时，x ＝2也是方程f (x )＝x 的解，故选C.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________． 答案：0，－12解析：由f (x )＝ax ＋b 的零点为2，得2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，则g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax .令－2ax 2－ax ＝0，由题意，知a ≠0，则x ＝0或x ＝－12，则g (x )的零点为0和－12. 8．函数y ＝x 2－5x －14的零点为________． 答案：－2或7方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0的图象，如图所示．因为函数f (x )的图象与x 轴没有公共点，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0没有零点．11．(13分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x . (1)求f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的零点．解：(1)设x ∈(－∞，0)，则－x ＞0，由题意得f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ，∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝－x 2－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋xx ≥0，－x 2－x x ＜0.(2)由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＝0，x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＝0，x ＜0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，∴y ＝f (x )的零点分别为－1,0,1.能力提升12．(5分)若函数y ＝f (x )是偶函数，其定义域为{x |x ≠0}，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．唯一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断 答案：B解析：由题意可知函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，根据y ＝f (x )是偶函数知该函数在(－∞，0)上也有一个零点，所以选B.13．(15分)如图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少cm ？(精确到0.1 cm)解：(1)盒子是一个底面边长是(15－2x )cm 、高为x cm 的长方体，则y ＝(15－2x )2·x ，这个函数的定义域为(0,7.5)．(2)令y ＝150，则(15－2x )2·x －150＝0，令f (x )＝(15－2x )2·x －150，f (0)＝－150，f (7.5)＝－150，f (4)＝46.①f (0)·f (4)＜0，∴零点x 1∈(0,4)，f (2)＝92，f (2)·f (0)＜0，∴x 1∈(0,2)，f (1)＝19，f (1)·f (0)＜0，∴x 1∈(0,1)，f (0.5)＝－52，f (0.5)·f (1)＜0，∴x 1∈(0.5,1)，f (0.75)≈－13.313，f (0.75)·f (1)＜0，∴x 1∈(0.75,1)，同理x 1∈(0.75，0.875)，x 1∈(0.812 5,0.875)，∵|0.875－0.812 5|＝0.062 5＜0.1，∴取x 1≈0.8(cm)．②f (4)·f (7.5)＜0，∴零点x 2∈(4,7.5)，f (4＋7.52)＝f (5.75)≈－79.563，f (5.75)·f (4)＜0，∴x 2∈(4，5.75)，f (4＋5.752)＝f (4.875)≈－15.633，f (4.875)·f (4)＜0，∴x 2∈(4,4.875)．同理x 2∈(4.4375,4.875)，x 2∈(4.656 25,4.875)，x 2∈(4.656 25,4.765 625)，x 2∈(4.656 25，4.710 937 5)，∵|4.656 25－4.710 937 5|＜0.1，∴取x 2≈4.7(cm)．由①②可知截去的小正方形边长约为0.8 cm 或4.7 cm.。
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第20课时函数的零点课时目标1.理解函数零点的定义，会判断函数零点的存在及零点的个数．2．了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．3．了解零点与方程根的关系．识记强化1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．一般地，函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根的个数相等．3．函数f(x)的图象与x轴有公共点叫这个函数有零点，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．4．如果函数f(x)在给定区间[a，b]上是连续不间断的，且在两个端点处的函数值f(a)·f(b)＜0，那么该函数在给定区间(a，b)上至少有一个零点．5．如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案：A解析：由函数零点的意义，可得函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无公共点，故选A.2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac＜0，则函数的零点个数是( )A．1 B．2C．0 D．无法确定答案：B解析：∵Δ＝b 2－4ac ，ac ＜0，∴Δ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个根，∴函数f (x )有两个零点．3．函数f (x )＝x 2－3x ＋1的零点之和为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C4．已知偶函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案：B解析：由函数f (x )的性质，易知f (－2)＝0，画出函数f (x )的大致图象如图所示．由图象可知函数f (x )有两个零点．5．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和16B ．1和－16C.12和13 D ．－12和 3 答案：B解析：∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02x ＞0，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：根据f (－4)＝0，f (－2)＝－2，易求得，b ＝5，c ＝4，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋4x ≤02x ＞0，所以当x ≤0时，方程f (x )＝x 为x 2＋4x ＋4＝0，此方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－2，当x ＞0时，x ＝2也是方程f (x )＝x 的解，故选C.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________．答案：0，－12解析：由f (x )＝ax ＋b 的零点为2，得2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，则g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax .令－2ax 2－ax ＝0，由题意，知a ≠0，则x ＝0或x ＝－12，则g (x )的零点为0和－12. 8．函数y ＝x 2－5x －14的零点为________． 答案：－2或7解析：解二次方程x 2－5x －14＝0可得x ＝－2或7.9．已知关于x 的方程x 2－(2m －8)x ＋m 2－16＝0的两个实根为x 1和x 2，且满足x 2＜32＜x 1，则实数m 的取值范围是________．答案：(－12，72)解析：关于x 的方程x 2－(2m －8)x ＋m 2－16＝0的两个实根x 1、x 2满足x 2＜32＜x 1，设f (x )＝x 2－(2m －8)x ＋m 2－16，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜0，即94－(2m －8)·32＋m 2－16＜0，解得{m |－12＜m ＜72}． 三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)分别判断下列函数的零点的个数，并说明理由．(1)f (x )＝x 2＋6x ＋9；(2)f (x )＝x －1x；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0.解：(1)函数f (x )＝x 2＋6x ＋9的图象为开口向上的抛物线，且与x 轴有唯一的公共点(－3,0)，所以函数f (x )＝x 2＋6x ＋9有一个零点．(2)令f (x )＝0，得x －1x＝0，即x 2－1＝0，解得x ＝±1，所以函数f (x )＝x －1x有两个零点．(3)方法一 当x ≥0时，令f (x )＝0，得x ＋1＝0， 解得x ＝－1，与x ≥0矛盾；当x ＜0时，令f (x )＝0，得x －1＝0， 解得x ＝1，与x ＜0矛盾．所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0没有零点．方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0的图象，如图所示．因为函数f (x )的图象与x 轴没有公共点，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0没有零点．11．(13分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x .(1)求f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的零点．解：(1)设x ∈(－∞，0)，则－x ＞0，由题意得f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ，∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝－x 2－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x x ≥0，－x 2－x x ＜0.(2)由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＝0，x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＝0，x ＜0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，∴y ＝f (x )的零点分别为－1,0,1.能力提升12．(5分)若函数y ＝f (x )是偶函数，其定义域为{x |x ≠0}，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．唯一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断 答案：B解析：由题意可知函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，根据y ＝f (x )是偶函数知该函数在(－∞，0)上也有一个零点，所以选B.13．(15分)如图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少cm ？(精确到0.1 cm)解：(1)盒子是一个底面边长是(15－2x )cm 、高为x cm 的长方体，则y ＝(15－2x )2·x ，这个函数的定义域为(0,7.5)．(2)令y ＝150，则(15－2x )2·x －150＝0，令f (x )＝(15－2x )2·x －150，f (0)＝－150，f (7.5)＝－150，f (4)＝46.①f (0)·f (4)＜0，∴零点x 1∈(0,4)，f (2)＝92，f (2)·f (0)＜0，∴x 1∈(0,2)，f (1)＝19，f (1)·f (0)＜0，∴x 1∈(0,1)，f (0.5)＝－52，f (0.5)·f (1)＜0，∴x 1∈(0.5,1)，f (0.75)≈－13.313，f (0.75)·f (1)＜0，∴x 1∈(0.75,1)，同理x 1∈(0.75，0.875)，x 1∈(0.812 5,0.875)，∵|0.875－0.812 5|＝0.062 5＜0.1，∴取x 1≈0.8(cm)．②f (4)·f (7.5)＜0，∴零点x 2∈(4,7.5)，f (4＋7.52)＝f (5.75)≈－79.563，f (5.75)·f (4)＜0，∴x 2∈(4，5.75)，f (4＋5.752)＝f (4.875)≈－15.633，f (4.875)·f (4)＜0，∴x 2∈(4,4.875)．同理x 2∈(4.4375,4.875)，x 2∈(4.656 25,4.875)，x 2∈(4.656 25,4.765 625)，x 2∈(4.656 25，4.710 937 5)，∵|4.656 25－4.710 937 5|＜0.1，∴取x 2≈4.7(cm)．由①②可知截去的小正方形边长约为0.8 cm或4.7 cm.。