新东方教育-角平分线学
角平分线用法 -回复
角平分线用法-回复角平分线用法是几何学中的一个重要概念，它在解题过程中经常被使用。
角平分线是指从一个角的顶点引出一条线段，将这个角分成两个大小相等的角。
在以下内容中，我将详细介绍角平分线的定义、性质以及几种常见的应用。
首先，让我们来了解角平分线的定义。
角平分线是指从一个角的顶点引出一条线段，将这个角划分为两个大小相等的角。
这条线段连接了角的顶点与对角线上的一个点，该点位于角的内部，并将角划分为两个大小相等的部分。
角平分线可以记作AB，其中A为角的顶点，B为角平分线与对角线的交点。
接下来，我们来讨论角平分线的性质。
具体而言，角平分线的性质有：1. 角平分线将一个角分为两个大小相等的角。
这是角平分线最基本的性质，也是角平分线得名的原因。
通过角平分线，我们可以将一个角划分为两个大小相等的部分，这在解题过程中往往非常有用。
2. 在一个三角形中，从一个内角的顶点引出的角平分线与对边上的点构成的线段等于其他两边的和。
这一性质可以通过角平分线定理证明。
具体来说，设ABC为一个三角形，∠BAC的角平分线与BC的交点为D，则有BD/DC = AB/AC。
3. 角平分线的垂直性。
具体而言，在一个三角形中，角平分线与对边的垂直平分线重合。
也就是说，从一个角的顶点引出的角平分线与对边的垂直平分线是同一条线段。
这个性质在解题中也经常被使用。
在实际应用中，角平分线有许多重要的应用，下面列举了几种常见的应用：1. 内角平分线定理的应用。
内角平分线定理指出，如果一条线段同时是一个三角形内角的角平分线和对边的垂直平分线，那么这条线段等于其他两边的和。
这一定理在求解三角形边长问题中经常被使用。
2. 证明两条线段平行的应用。
当两个角拥有相等的角平分线时，这两个角是相等的，从而可以得出它们所对的两条线段是平行的。
这个应用在证明几何学中的平行线问题中非常有用。
3. 解决最值问题的应用。
通过利用角平分线的性质，我们可以在给定条件下求解出满足某种条件的最大值或最小值。
角平分线三个定理
角平分线三个定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：角平分线三个定理是几何学中非常重要的定理之一，它们可以帮助我们更好地理解和运用角平分线的性质。
本文将详细介绍这三个定理的含义和推理过程。
第一个定理是角平分线定理。
所谓角平分线定理指的是：如果一条直线将一个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。
换句话说，如果一条直线BD分割一个角ABC，且∠ABD≌∠CBD，则BD就是∠ABC的平分线。
证明这个定理的方法比较简单，可以通过相似三角形或等角相等辅助线的方法进行。
通过这三个定理，我们可以更深入地了解角平分线的性质，进而应用到解决各种与角平分线相关的几何问题中。
熟练掌握和灵活运用这三个定理对于提高我们的几何学水平至关重要。
希望通过本文的介绍，读者们能够更好地理解和掌握角平分线的性质，从而在学习和工作中取得更好的成绩。
愿大家在几何学的道路上不断进步，探索出更多有趣的数学定理和问题！第二篇示例：角平分线三个定理是解析几何中非常重要的定理，对于角平分线的性质进行了深入的研究和总结。
在平面几何中，角平分线是连接一个角的两边中点的线段，将这个角分成两个相等的角。
下面我们来详细介绍一下角平分线的三个定理。
第一个角平分线定理是角平分线定理，它的表述如下：若一条线段从一个角内的顶点引出，又将这个角分成两个相等的小角。
这个定理是解析几何中最基本的定理之一，也是很多其他定理的基础。
通过角平分线定理，我们可以得出许多结论和推论，解决很多关于角平分线的问题。
第二个角平分线定理是角平分线的长度比定理，它的表述如下：如果一条角平分线把一个角分成两个相等的小角，则这条角平分线上的一点到角的两边的距离分别等于这两条边的比值。
这个定理在解决角平分线长度问题时非常有用，能够帮助我们准确计算角平分线的长度。
通过这三个角平分线定理，我们可以更好地理解和运用角平分线的性质，解决各种与角平分线相关的问题。
在解析几何的学习中，掌握这些定理能够提高我们的解题能力和几何思维，帮助我们更好地理解平面几何知识，为进一步学习提供良好的基础。
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段。
在九年级的几何学中，学生需要学习角平分线的性质和应用。
以下是对九年级角平分线知识点的总结。
一、角平分线的定义和性质角平分线的定义：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段被称为角的平分线。
角平分线的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的小角。
2. 角平分线与所分角的两边相交于一个点，并且与所分角的两边垂直相交。
3. 一个角的平分线只有一个。
二、角平分线的应用1. 找出角平分线：当需要找出一个角的平分线时，可以使用直尺和量角器进行作图。
首先，绘制出所给角；然后，在顶点处使用量角器测量出等分的角度，然后沿着顶点指示的方向绘制角平分线。
2. 角平分线的性质应用于证明：角平分线的性质可以在证明中起到重要的作用。
例如，可以利用角平分线的性质证明两个角相等。
3. 解题中的应用：角平分线的性质也可以在解题中应用。
例如，当需要计算一个角的度数时，可以利用角平分线将角分成两个相等的小角，从而更方便计算角的度数。
三、角平分线相关定理1. 角平分线定理：如果一条线段将一个角分成两个相等的小角，那么这条线段就是这个角的平分线。
2. 角平分线的角度关系：当一条角平分线与另外一个角的两边相交时，所形成的角与原角之间存在着特定的关系。
具体而言，两个原角与所形成的两个小角互为补角，并且两个小角之间互为互补角。
四、综合练习1. 练习题一：在下图中，角ABC被角平分线AD分成两个小角，若∠BAC = 40°，求∠BAD和∠DAC的度数。
2. 练习题二：如下图所示，∠ABC的角平分线AD交边BC于点D，若∠A = 120°，求∠BAD的度数。
五、总结本文总结了九年级角平分线的相关知识点，包括角平分线的定义和性质、角平分线的应用、角平分线相关定理以及综合练习题。
通过掌握这些知识，可以更好地理解和应用角平分线相关的概念，在几何学中取得更好的成绩。
角平分线的性质
角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线具有一些重要的性质和应用。
本文将探讨角平分线的性质以及相关的几何问题。
一、角平分线的定义和性质在平面几何中，给定一个角，如果存在一条直线将这个角分成两个相等的部分，那么这条直线被称为这个角的平分线。
1. 角平分线等分角角平分线的主要性质是将一个角等分为两个相等的角。
设角AOB 为被平分的角，AC为其平分线，那么∠CAB = ∠CBO，∠CBA =∠CAO。
2. 角平分线垂直角当角的两边与平分线相交时，所形成的四个小角中，相邻的两个小角互为补角，即它们的和为90度。
这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而补角的度数总是相等的。
3. 角平分线等分周角在一个凸多边形中，如果有一个角的两边分别与相邻两边的平分线相交，那么该角被平分成两个相等的角。
这个性质可以用来证明角平分线的存在和角平分线的长度。
二、角平分线的应用角平分线的性质在几何学中有许多重要的应用。
下面介绍两个常见的应用场景：1. 证明角平分线的存在在一些几何问题中，需要证明角的平分线是否存在，以及如何构造这条平分线。
通常可以利用角平分线等分角的性质进行证明。
通过使用尺规作图或其他几何方法，可以找到这条平分线并证明其存在。
2. 角平分线的长度在一些几何问题中，需要求解角平分线的长度。
根据角平分线性质，可以设计出一些方法来计算角平分线的长度。
比如，可以利用三角函数或相似三角形的性质，通过已知条件求解平分线的长度。
三、小结角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
它具有等分角和垂直角的性质，在几何学中具有重要的应用。
通过证明角平分线的存在和求解角平分线的长度，可以解决一些与角平分线相关的几何问题。
在解题过程中，我们可以利用角平分线等分角、角平分线垂直角以及角平分线等分周角的性质来推导和计算。
熟练掌握角平分线的性质和应用，能够更好地解决几何学中与角平分线相关的问题。
《角平分线》知识梳理
《角平分线》知识梳理本节主要学习角的平分线的性质和判别方法，它既是全等三角形的应用，又是今后学习的重要依据．学习时请注意如下内容：一、掌握作已知角的平分线的方法作已知角的平分线属于最基本的作图之一，同时又是几何作图的重要依据． 作法略．二、理解并掌握角的平分线的性质1．性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．用几何符号语言表示：如图1，∵点P 在∠A0B 的平分线上，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∴PD =PE ．2．注意事项：（1）性质中的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必需含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等． 如图1中，如果没有PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，那么就不能得到PD =PE ．（2）本性质可用来证明线段相等． 但要克服用全等三角形的思维定势．三、理解并掌握角的平分线的判别方法1．判别方法：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．也就是说，一个点只要到角的两边距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上．用几何符号语言表示：如图1，∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， PD =PE ，∴点P 在∠A C B 的平分线上．四、中考回放1．（江苏无锡）如图2，P 是∠AOB 的平分线上一点． PC ⊥AO 于C ，PD ⊥OB A O P C BE D （图1）于D ， 写出图中一组相等的线段 ．（只需写出一组即可）解析：本题有一定的开放性，答案不唯一．由角的平分线的性质，可得P C = PD ；由△ODP ≌△O C P ，可得O C = OD ．（图2） AO C B D P。
角平分线模型知识点
角平分线模型知识点什么是角平分线模型？角平分线模型是几何学中的一个重要概念，用于描述一个角被一条直线平分的情况。
角平分线模型在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在三角函数的计算和几何图形的构建中起着重要的作用。
角平分线的性质角平分线有一些重要的性质，我们来逐一介绍：1.角平分线将一个角分为两个相等的角。
这意味着如果一条直线与一个角的两边相交，并且将这个角分为两个相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。
2.角平分线与角的两边相交于角的顶点。
也就是说，角平分线从角的顶点开始，穿过角的两边，并且与两边相交。
3.角平分线与角的两边垂直。
这意味着角平分线与角的两边形成的角是直角。
4.在三角形中，三条角的平分线的交点是三角形的内心。
内心是三角形内部到三条边的距离之和最小的点。
角平分线的应用角平分线模型在实际应用中有很多用途，下面我们列举几个常见的应用场景：1.三角函数的计算：角平分线可以帮助我们计算三角函数的值。
通过将一个角平分为两个相等的角，我们可以简化三角函数的计算，并且减少计算的复杂性。
2.几何图形的构建：在绘制几何图形时，角平分线模型可以帮助我们确定图形的对称性和角度的关系。
通过绘制角平分线，我们可以准确地构建各种形状的几何图形。
3.三角形的内心：角平分线的交点是三角形的内心，内心是三角形内部到三条边的距离之和最小的点。
在解决与三角形相关的问题时，内心的位置和性质都是非常重要的。
4.证明几何定理：在几何证明中，角平分线模型可以用于证明一些重要的几何定理。
通过利用角平分线的性质，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
总结角平分线模型是几何学中的一个重要概念，用于描述一个角被一条直线平分的情况。
角平分线具有许多重要的性质，包括将角分为两个相等的角、与角的两边相交于角的顶点、与角的两边垂直等。
角平分线模型在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在三角函数的计算和几何图形的构建中起着重要的作用。
在实际应用中，角平分线模型可以帮助我们计算三角函数的值、构建几何图形、确定三角形的内心位置，以及证明几何定理。
专题16 角平分线四大模型(解析版)
专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。
本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。
1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。
这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。
例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。
这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。
2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。
这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。
以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。
这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。
3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。
以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。
4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。
以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。
这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。
综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。
这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
角平分线定义与判定
角平分线定义与判定一、角平分线的定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段，在几何学中，角平分线是一种重要的概念。
我们平常所说的“平分一角”指的就是通过作画将一个角分成两个相等的角。
角平分线可以帮助我们计算角的度数，解决很多与角相关的几何问题。
二、角平分线的判定方法在几何学中，判定一个线段是否是角的平分线有多种方法，下面介绍几种常用的判定方法：1. 角平分线的定义判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线，那么OC将AOB分成两个相等的角。
•反之，如果线段OC将角AOB分成两个相等的角，那么OC就是AOB的平分线。
2. 作图法一•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。
•作图方法一是借助圆的性质：以点O为圆心，以OA或OB为半径，画一个圆。
•画出这个圆后，如果OC与圆相交于点D，并且OD = DC，那么OC是AOB的平分线。
3. 作图法二•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。
•作图方法二是借助三角形的性质：以点O为顶点，以OA和OB为边，画出一个三角形。
•若三角形OAC和三角形OBC的边长相等，那么OC是AOB的平分线。
4. 角平分线的性质判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线。
•角平分线的性质之一是：AO/OC = BO/OC = AO/BO。
•如果满足这一性质，即AO/OC = BO/OC = AO/BO，那么OC就是AOB的平分线。
三、角平分线的应用1. 解决角度平分问题角平分线最常见的应用是解决与角度平分相关的问题。
通过画出角的平分线，可以帮助我们计算出角的度数，解决各种几何问题。
2. 构建等边三角形角平分线还可以用于构建等边三角形。
假设我们已知一个角的平分线，可以通过该平分线上一点与角的两边相交，构建出一个等边三角形。
3. 求解角的均分问题角平分线还可以用于求解角的均分问题。
假设我们已知一个角的度数，要求将其均分为n个小角。
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结一、角平分线的定义在平面几何中，如果一条射线恰好把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线的定义性质：角平分线将一个角分成两个相等的角。
2. 角平分线定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么这条射线上的任意一点与角的两边构成的两个角相等。
3. 两条角平分线的交点：如果两条不同的角平分线相交于一个点，那么这两条角平分线所构成的角是相等的。
4. 角平分线的唯一性：一个角的两边上有且仅有一条角平分线。
5. 角平分线的夹角定理：角的平分线所平分的角，与角的两边构成的角互补。
6. 角平分线的垂直平分线：在一个直角三角形中，直角的平分线即为直角边的垂直平分线。
7. 角平分线的应用：在一些证明题目中，角平分线可以被运用，简化证明的过程。
三、角平分线的构造方法1. 利用直尺和圆规来画出一个角的角平分线。
2. 利用三角形特点来寻找角平分线，如利用等腰三角形的特点来构造角平分线。
3. 利用角平分线的性质来构造角平分线，如利用角平分线与直线的相交得到的相等角来构造角平分线。
四、角平分线的应用1. 利用角平分线进行角的三等分。
如在一个40度的角中，通过画出其角平分线，再进行角的三等分。
2. 利用角平分线进行证明。
如在一个几何问题中，可以利用角平分线的性质来简化证明的过程。
3. 利用角平分线进行角的构造。
如在画出一个特定角度的角时，可以利用角平分线来准确地构造。
五、角平分线的相关定理1. 角平分线的交叉定理：如果两条角平分线相交于一点，那么这两条角平分线所构成的角相等。
2. 角平分线的三线共点定理：在任意的三角形中，角的外角平分线、内角平分线和中垂线三条线相交于一点。
3. 角平分线的内切定理：三角形内切圆的切点与三角形的顶点连线所成的角等于这个角的角平分线与这个角的两边所成的角。
4. 角平分线的外角平分线定理：在一个三角形中，三个外角平分线所构成的三个角互补。
角平分线性质与判定语言表述
02
利用角平分线的性质可 以证明某些结论或推导 出其他相关性质。
03
通过判定可以找到满足 特定条件的角平分线， 从而解决问题。
04
在解题过程中，需要根 据问题的具体情况选择 合适的性质或判定方法 。
04
CATALOGUE
角平分线的实际应用
几何图形中的角平分线
角平分线定义
从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分 ，这条线段被称为该角的 角平分线。
推论1
在三角形中，角的平分线与对边 相交，将相对边分为两段成比例
的线段。
推论2
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂线段与该点到角的顶
点的距离相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推论3
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂足是该垂足到角的顶
点的距离最短。
与角平分线相关的辅助线作法
作法1
01
在三角形中，为了证明某结论，可以过某点作角的平分线或平
手工制作
在制作手工艺品时，如剪纸、折纸等 ，角平分线可以帮助确定对称轴，从 而制作出精美的作品。
角平分线在数学竞赛中的应用
几何证明
在数学竞赛中，经常需要利用角 平分线的性质来证明几何定理或
推导新结论。
最值问题
通过构造角平分线，可以解决一些 几何中的最值问题，如求点到直线 的最短距离等。
组合几何
在组合几何问题中，角平分线可以 帮助确定图形的对称性，从而找到 解决问题的突破口。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两等分， 且与相对边上的交点到该角的顶 点的距离相等。
定理与推论
角平分线定理
角平分线上的任意一点到该角的两边 的距离相等。
推论
《角平分线的性质》
2023-11-06contents •角平分线的性质的基本概念•角平分线的性质的应用•角平分线的性质的证明方法•角平分线的性质的实践应用•总结与展望•参考文献目录01角平分线的性质的基本概念定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
记法$\overset{\frown}{AB}$表示角平分线，简记为“ABfrown”或“frownAB”。
角平分线的定义语言描述一般地，我们用“$\overset{\frown}{AB}$”表示从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线。
符号表示$\overset{\frown}{AB}$或简记为“ABfrown”或“frownAB”。
角平分线的表示方法•定理：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质定理02角平分线的性质的应用利用角平分线的性质证明等腰三角形总结词角平分线性质是等腰三角形证明中的重要工具。
详细描述利用角平分线的性质，可以证明等腰三角形的两个底角相等，从而得出等腰三角形的性质。
这是因为在角平分线上，从顶角到两边分角线上的点到两边的距离相等，所以两边的三角形内角和相等，从而得出两个底角相等。
总结词角平分线性质也是证明平行四边形的重要工具。
要点一要点二详细描述在平行四边形ABCD中，AC和BD是对角线，O是AC的中点。
利用角平分线的性质，可以证明三角形ABO和三角形CBO全等，从而得出三角形ABO是等腰三角形。
因为等腰三角形的底边上的中线也是高，所以可以得出ABO是等腰三角形的高，从而得出AB和BC平行且相等，证明了平行四边形的性质。
利用角平分线的性质证明平行四边形•总结词：角平分线性质还可以用于证明三角形内角和定理。
•详细描述：在三角形ABC中，AD是角平分线。
利用角平分线的性质，可以证明三角形ABD和三角形ACD全等，从而得出三角形ABD和ACD的面积相等。
角平分线四大模型口诀
角平分线四大模型口诀
角平分线是指将一个角分成两个相等的部分的线段。
根据不同的角度和图形特征，我们可以将角平分线分为四种不同的模型，它们分别是：
1. 垂直平分线模型：当一个角的平分线和角的两边垂直相交时，我们称之为垂直平分线模型。
垂直平分线将角分成两个相等的部分，并且平分线和角的两边垂直相交。
2. 边平分线模型：当一个角的平分线与角的一条边重合时，我们称之为边平分线模型。
边平分线将角分成两个相等的部分，并且平分线与角的一条边重合。
3. 内角平分线模型：当一个角的平分线在角的内部，并且和角的两边相交时，我们称之为内角平分线模型。
内角平分线将角分成两个相等的部分，并且平分线在角的内部。
4. 外角平分线模型：当一个角的平分线在角的外部，并且与角的一条边相交时，我们称之为外角平分线模型。
外角平分线将角分成两个相等的部分，并且平分线在角的外部。
这些角平分线模型在几何学和三角学中经常被使用，可以帮助我们研
究角的性质和定理。
九年级角平分线知识点
九年级角平分线知识点角平分线是指一个线段将一个角分成两个等角的线段。
在九年级几何学中，角平分线是一个重要的概念。
本文将介绍角平分线的定义、性质以及解题方法。
1. 角平分线的定义在平面几何中，给定一个角A，若存在一条线段MN，这条线段的一个端点M在角A内部，另一个端点N在角A的边上，并且线段MN将角A分成两个相等的角，则称线段MN为角A的角平分线。
2. 角平分线的性质（1）角平分线将角分成两个相等的角，即两个分出的角度数相等。
（2）角平分线上的任意一点都与角的顶点和两条边的交点连线相等长。
（3）角平分线与角的两条边相交，形成四个角，其中两个相邻角互补，即它们的度数相加等于180度。
3. 角平分线的解题方法（1）通过角平分线的定义可以有以下解题步骤：a. 画出给定的角，并确定角的顶点。
b. 根据角平分线的定义，画出角的两条边上的两个点，并连接两个点，得到角的平分线。
c. 判断角平分线与角的两条边是否相交，如果相交则说明该线段是角的平分线。
d. 计算平分线分出的两个角的度数是否相等，如果相等则可以确定该线段是角的平分线。
（2）利用角平分线的性质可以解决一些相关问题：a. 已知角的两条边的长度，求角平分线的长度：根据角平分线的性质，可以利用相似三角形的性质求解。
b. 求两条角平分线的交点：根据角平分线的性质，交点位于角的顶点和两条边的交点组成的三角形的垂心。
c. 判断一个线段是否为角的平分线：根据角平分线的定义，判断线段是否满足将角分成两个相等的角即可。
4. 角平分线的应用角平分线的概念在数学和几何学中有广泛的应用。
例如，在建筑和设计中，可以利用角平分线的性质来确定两条墙壁的交点、寻找建筑物的中心等。
在计算机图形学中，也可以利用角平分线的性质来进行图像处理、形状分析等。
总结：九年级角平分线知识点主要包括角平分线的定义、性质以及解题方法。
通过理解和掌握角平分线的概念和性质，可以更好地解决与角平分线相关的问题，并在实际生活和学习中应用到相关领域。
角平分线的性质kejia
02
多边形一条边的两个端点与不相邻的顶点的连线，将多边形划分为n-2个三角形， 每个三角形的内角和为180°。
03
多边形一条边的两个端点与不相邻的两个顶点的连线，是多边形的两条角平分线， 它们将多边形划分为n-1个三角形，每个三角形的内角和为180°。因此，多边形的 内角和也可以表示为（n-1）×180°-2×角平分线的夹角。
在平行四边形中，相邻两角的角 平分线互相垂直。
角平分线所在的直线是平行四边 形的对称轴。
梯形中角平分线特点
梯形中的角平分线将梯形的一个角平分为两个相等的小角。 梯形两腰的角平分线长度相等。
梯形中一组对角的角平分线互相平行。
多边形内角和与角平分线关系
01
多边形的内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
证明垂直或平行问题
1 2
利用角平分线与垂线的性质
角平分线与垂线重合时，可证明两条直线垂直。
构造平行四边形
通过角平分线构造平行四边形，利用平行四边形 的性质证明直线平行。
3
应用同位角、内错角等性质
结合同位角、内错角等相关性质，可证明直线平 行或垂直。
05
角平分线在实际问题中应 用举例
测量问题中角平分线应用
之间的角度关系。
如机械臂的运动轨迹规划、机器人的路
径规划等。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
角平分线的定义：角平分线是从一个角 的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
角平分线的构造：通过角的顶点，使用 圆规和直尺可以构造出角的平分线。
角平分线将相对边分为两段，这两段与 角的两边所构成的三角形面积相等。
在测量角度时，如果无法直接测量或者测量难度较大，可以 利用角平分线的性质，将原角平分，然后分别测量两个较小 的角，再通过计算得到原角的度数。
角平分线的三个定理公式证明
角平分线的三个定理公式证明说到角平分线的定理，真是让人有点头疼的一个话题，不过别担心，我们慢慢聊，一起来把这个“难题”变得简单有趣。
先来个热身，想象一下，一个三角形就像一块美味的蛋糕，三个角就像三种不同的口味，而角平分线就是把这个蛋糕切得又好看又好吃的神奇刀具。
你看，一条线从角的顶点伸出，把这个角一分为二，就像把巧克力口味和香草口味分得清清楚楚，太棒了吧？咱们得说说第一个定理。
它告诉我们，如果你有一个三角形，角平分线所对的边上，两个小线段的比例正好和相邻两边的比例一样。
听起来有点复杂，其实就像是在说，如果你把这个三角形的某个角切开了，那么对面的那条边就像是个神奇的秤，称出了两边的比例。
想象一下你和朋友一起去买饮料，你买了可乐，他买了果汁，你们两个的饮料总量和价格都得成正比，不然怎么公平呢？这个定理就像在给你们打下了一个公平的基础，让你们都能喝到满意的饮料。
接着再说说第二个定理。
这一条有点意思，简单来说，就是如果你知道了三角形的两边和夹角，你就能利用角平分线来找到一个点，让这个点和三角形的两个顶点连成的线段和角平分线相等。
就像你在公园里散步，突然发现有一条小路把你和朋友们的聚集地分开，你想到了用一条线把它切成两个相等的区域。
这个时候，角平分线就是你的好帮手，它能让你不费吹灰之力找到完美的聚会地点。
再说到第三个定理，这个可真是个宝藏定理！它告诉我们，如果一个角平分线和三角形的另一条边相交，那交点到这条边的距离和两个角的比值也有关系。
简单地说，就是你在一场比赛中，不同的队伍在场上的表现得到了平衡。
如果有一方表现特别优秀，角平分线就像个公正的裁判，确保比赛不会太失衡。
想象一下，如果没有这个裁判，比赛一定会变成一场混乱的“打斗”，没有人知道胜负了，真是让人心烦。
说了这么多，其实这三个定理都有个共同点，就是它们都在强调一个“公正”二字。
就像生活中，我们每个人都希望能得到公平的对待，不管是在工作、学习还是在朋友间的交往。
九年级数学角平分线知识点
九年级数学角平分线知识点角平分线，作为数学中的一个重要概念，是九年级数学教学内容中的一部分。
它在几何学中扮演着重要的角色，不仅是解决几何问题的关键，也是应用于实际生活中的数学原理之一。
本文将详细介绍角平分线的定义、性质和应用。
1. 定义角平分线是指一个线段将一个角分成两个相等的角。
具体来说，对于一个给定角ABC，在其中选择一个点D，并且连接AD，使其刚好平分角ABC，那么线段AD就是角ABC的平分线。
同样的，角的平分线也可以延长，即延长线段AD，则其也仍然保持平分角ABC。
2. 性质（1）角平分线上的任意一点都在该角的内部。
（2）一个角的内角平分线可以与该角的外角平分线相交。
（3）如果一个点在一个角的内角平分线上，那么该点到角两边的距离相等。
（4）如果一个角的两边被一条角平分线分为两个相等的线段，那么该角是一个直角。
（5）如果一个角的两边被一条角平分线分为两个不相等的线段，那么该角不是一个直角。
3. 应用角平分线的性质和定义在解决几何问题时发挥着重要的作用。
它被广泛应用于测量和校准领域。
例如，在地理测量中，我们可以利用角平分线的概念来确保准确测量两个点之间的距离。
在建筑设计中，使用角平分线可以保证建筑物的结构和比例的准确性。
此外，角平分线的性质还可以应用于证明问题。
证明某个角是直角或者某条线段是角平分线，都可以利用角平分线的性质进行推导。
通过使用角平分线的定义和性质，我们可以解决许多几何问题，并推广到更复杂的应用中。
总结起来，九年级数学中的角平分线知识点是十分重要的。
了解角平分线的定义、性质和应用，可以帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
而且，角平分线的概念也为我们理解和学习更高级的几何概念打下了基础。
因此，在学习数学过程中，我们应该仔细研究角平分线的知识点，并在实践中加以运用。
通过不断练习和掌握，我们可以更好地应用角平分线解决实际问题，并提高数学解决问题的能力。
总的来说，角平分线是一个十分有用的数学概念，在解决几何问题和实际应用中起到了关键的作用。
《作角的平分线》 知识清单
《作角的平分线》知识清单一、角平分线的定义角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。
这条射线叫做这个角的角平分线。
二、角平分线的性质1、角平分线上的点到角两边的距离相等。
这一性质在解决几何问题中经常被运用。
例如，已知一个角的平分线以及角平分线上的一点到角两边的距离，可以利用此性质得出这两个距离相等，从而为后续的计算和证明提供便利。
2、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等。
这个交点被称为三角形的内心，内心是三角形内切圆的圆心。
内心具有到三角形三边距离相等的重要性质，在涉及三角形内切圆的相关问题中起着关键作用。
三、角平分线的判定1、把一个角分成相等的两个角的射线是角的平分线。
这是角平分线最基本的判定方法，通过角度的相等来确定射线是否为角平分线。
2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如果一个点到角的两边距离相等，那么这个点一定在角的平分线上。
这个判定方法常用于通过距离相等来确定角平分线的位置。
四、作角平分线的方法1、用量角器这是一种比较简单直接的方法。
先测量出角的度数，然后将度数除以 2，从角的顶点出发，按照计算出的度数画出射线，即为角的平分线。
2、用圆规和直尺（1）以角的顶点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于 A、B 两点。
（2）分别以 A、B 两点为圆心，大于 1/2AB 长为半径画弧，两弧在角的内部交于点 C。
（3）连接 OC，则 OC 即为角 AOB 的平分线。
这种方法的原理是通过构造全等三角形来证明 OC 是角平分线。
在三角形 AOC 和三角形 BOC 中，因为 OA ＝ OB，AC ＝ BC，OC 为公共边，所以三角形 AOC 全等于三角形 BOC（SSS），从而得出角AOC 等于角 BOC，即 OC 平分角 AOB。
五、角平分线在几何证明中的应用1、证明线段相等如果已知某条线段是角平分线，并且存在点到角两边的距离，那么可以利用角平分线的性质得出这两个距离相等，进而证明相关线段相等。
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EN⊥OA，
M
∴EM=EN 又∵ EM=3cm， ∴EN=3cm
C E
O
NA
即点E 到OA的距离为3cm。
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
铁路
公路
s
解： 作夹角的角平分线OC，截取
OD=2.5cm ,D即为所求。
E
F
在Ｒt△BED和Rt△CFD中,
BD=CD （已证）
B
DE=DF （已知）
D
C
∴ Rt△ BED ≌Rt△CFD (HL)
∴ BE=FC （全等三角形对应边相等）
D
C
1P
2
O
EB
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（角平分线
的性质）
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2,PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
A
D P
B E
课堂练习
如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一 点， EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm， 求点E 到OA的距离
分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平 分线的性质，可知点E到OA的距离。
解：过E作EN⊥OA垂足为N
∵ E是∠AOB的角平分线上的一点， EM⊥OBB，
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
ADຫໍສະໝຸດ C P·OE B
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝， AC＝3㎝，求BE= 4 CM.
A
E
C D
B
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
活动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角
的平分线？（不用角平分仪或量角器）
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
2、分别以M、N为圆心，大于
1 2
D
将点A放在角的顶点,AB和AD
沿着角的两边放下,沿AC画一
条射线AE,AE就是角平分线，
你能说明它的道理吗?
B C E
A
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
D
B
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
C
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
E
∴ ∠ CAD=∠CAB （ 全 等 三 角 形 的 对应边相等）
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
1
0
D6
B
8C
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
◆证明： ∵AD平分∠CAB
DE⊥AB ，DF⊥AC(已知)
∴DE=DF (角平分线的性质)
O
EB
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
(3)验证猜想
OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
活动 5
角平分线上的 点到角两边的
距离相等。
利用此性质怎
样书写推理过 程?(几何符号语言）A
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
证明:∵ AD平分∠CＡＢ, D是AD上一点（已知）
∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知）
A
∴DC＝DＥ(角平分线的性质）
在Rt△CDF和Rt△BDE 中
MN 的长为半径作弧，两弧在
∠AOB内部交于点C。
3、作射线OC，射线OC即为所求。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中
OM=ON
MC=NC
OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
O
即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
A
M
C
NB
活动 4
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕 为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出 什么结论？
Ｏ
铁路
公路
sD
C
A
如图：在△ABC中，
∠C=90° AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；F
E
求证：CF=EB
CD B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需 要我们找什么条件
BD=DF （已知） DC=DE（已证）
F
E
∴Rt △CDF≌Rt△FDB (HL)
∴CF＝BＥ（全等三角形对应边相等） C
D
B
思考：
EA
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意
O
P C 一点,问PE=PD?为什么?
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不
是角平分线上任一点这个角两
边的距离,所以不一定相等直
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
活 动 5 探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1
P
2
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
A
D
B
12.3角平分线的性质(1) C E
A B
D
C
活动 1
不利用工具，请你将一张 用纸片做的角分成两个相等的角。你
有什么办法？
（对折）
A
再打开纸片 ，看看折 C 痕与这个角有何关系？
O
B
活动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 A
钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
1、如图，是一个角平分仪，
其中AB=AD,BC=DC。