数学物理方法二 第一章
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法2
第一章 复变函数论
例： f(z)=z2
2 2 2 ( z z ) z 2 z z z f ' ( z ) lim lim 2z z 0 z 0 z z
例：f(z)=Re(z)
Re( z z ) Re( z ) Re( z x) Re( z ) f ( z ) lim lim 1 z 0 x 0 z x
u u 2 0 2 x y
2 2
同样有：
v v 2 0 2 x y
2 2
第一章 复变函数论
u(x,y)和v(x,y)满足2维的Laplace方程，称之为调和函数。U 和v互为共轭，称之为共轭调和函数。
u u u ( x, y ) ( , ) x y 2u 2u u ( x, y ) 2 2 0 x y
续)，而且满足Cauchy-Riema 复变函数论
沿径向和横向分别逼近，可以得到极坐标下的CauchyRiemann方程：
u 1 v 1 u v
第一章 复变函数论
复变函数可微 vs 二元函数可微
第一章 复变函数论
第一章 复变函数论
将 Cauchy-Riemann 方程两边分别相乘：
u v u v , x y y x u v u v 0 x x y y u u v v ( , ) ( , ) 0, u v 0 x y x y
'
沿虚轴逼近：
w u iv u v f ( z ) lim lim i y 0 z y 0 iy y y
'
因此：
u v u v , x y y x
(Cauchy-Riemann方程)
梁昆淼 数学物理方法第1和2章
1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 圆上各点 4 4
例：计算 W
解： 令
a ib
z a 2 b2
1/ 2
z a ib z (cos i sin )
W a ib [ z (cos i sin )]
z
1/ 2
sin cos
所定义的函数分别叫做反正弦函数及反余弦函数记为22柯西定理23不定积分24柯西公式21复变函数积分21复变函数积分idydxzdzreixdyxdxzdzre由此可见对于有些被积函数而言积分与路径有关ixdyxdxzdzreixdyxdxixdyxdxzdzreixdyxdxxydydxbaxyxydydx由此可见对于有些被积函数而言积分与路径无关一单连通区域qdypdx22柯西定理cddz为区域内境界线积分沿境界线正向进行内外境界线逆时针积分相等23不定积分单连通区域中解析函数reid
（二）、区域概念 （1）、邻域 由
z z0 确定的平面点集，称为定点z0的—邻域
（2）、内点 定点z0的—邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点 （3）、外点 定点z0及其—邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点 （4）、边界点
定点z0的—邻域既有含 于E内，又有不含于E内的 点，称z0为点集E的边界 点。
y1 y2 y1 y2
y
z1 z2 x1
z1 z2
x
x2 x1 x2
z1 z2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角 关系：
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =Q ，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法.PDF
第一章 典型的推导即基本概念本章讨论偏微分方程及其定解问题有关的基本概念和物理模型，讨论某些一般性的原理、方法。
这样，对从总体上了解课程的特点、内容、方法有重要的作用。
由于我们要讨论的这些偏微分方程都来自物理问题，因此我们先研究如何推导出这些方程，并给出相应的定解条件。
最后简单地介绍一下二阶线性偏微分方程的分类。
1.1弦振动方程与定解条件数学物理方程中研究的问题一般具有下面两个：一方面是描述某种物理过程的微分方程；另一方面是表示一个特定的物理现象的具体的表达式。
我们通过推导弦振动方程引入这些概念。
1.1.1方程的导出设有一根理想化的弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，整个弦可以任意变形，其内部的张力总是沿着切线方向。
设其线密度为ρ，长度为l ，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间变换的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。
下面研究弦作微小横向振动的规律。
建立坐标系如图1-1，所谓横向，是指运动全部在某一包含x 轴的xu 平面内进行，且在振动过程中，弦上各点在x 轴方向上的位移比在u 轴方向上的位移小得多，前者可以忽略不计。
因此用时刻t 、弦上的横坐标为x 的点在u 轴方向上的位移),(t x u 来描述弦的运动规律。
所谓“微小”，不仅指振动的幅度),(t x u 很小，同时认为切线的倾角也很小，即1<<∂∂xu， t 时刻，任选一段弦，其每一点的位置如图1-1所示。
其中MN t x u =),(，且弧s M M d =′现在建立位移),(t x u 满足的方程。
首先，我们将弦段M M ′上的运动，近似认为一个质点的运动。
根据牛顿运动定律，我们得到在x 轴方向，弦段M M ′受力总和为α′+α−=cos cos T T F x因为弦只作横向振动，在x 轴方向没有位移，因此合力为0，即0cos cos =α′+α−T T （1.1.1）由于是微小振动，因此α′α,近似为0，因此由泰勒公式L ++−=!4!21cos 42x x x当略去高阶无穷小时，有1cos cos ≈α′≈α代入（1.1.1）可以得到T T ′=在u 轴方向上，弦段N M ′受力的总和为s ρg T T F u d sin sin −α′′+α−=因为0≈α′≈α，所以x t x x u xt x u ∂+∂=α′≈α′∂∂=α≈α),d (tan sin ,),(tan sin x x xt x u s d d )),((1d 2≈∂∂+=图1-1弧段M M ′在t 时刻，沿u 方向运动的加速度近似为22),(tt x u ∂∂，x 为弧段M M ′的质心。
数学物理方法课件《第一章 复变函数》
z z2 z1 r：
1 )
一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) a rg z 1 a rg z 2
§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根
1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
4
2 k )
2e
2
2 k ) i sin (
2
2
2k ) e
2 k )
1 co s( 0 2 k ) i sin ( 0 2 k ) e
i ( 0 2 k ) i ( 2 k )
2 2[co s( 2 k ) i sin ( 2 k )] 2 e
1 i 1 i
(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )
i
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系，则 ( x, y)
( x , y ),
任意点 P ( x , y ) 一对有序实数 z x iy 平面上的点
P( x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为 此时，轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴
( x ， y )的点 P 表示 .
平面 — 复平面或 z 平面
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
数学物理方法 第一章 复变函数
邬霞
wuxia@
wuxia@
课程内容
复变函数论
复变函数 复变函数的积分 幂级数展开 留数定理 傅立叶变换 拉普拉斯变换
数学物理方程
数学物理定解问题 分离变数法 二阶常微分方法解法 本征值问题 球函数(柱函数) wuxia@ 积分变换法
wuxia@
2、ez,shz和chz具有纯虚数周期2πi，即
e e e (cos y i sin y ) e [cos(y 2 ) i sin( y 2 )] sh(z 2i ) sh z ch(z 2i ) ch z
z x x z 2i
课程考核
作业，出勤 20% 期中 20% 期末 60%
wuxia@
学习要求
保证出勤 课后复习 按时按量完成作业 有问题及时问 共同探讨，共同提高
wuxia@
第一篇 复变函数论 第一章 复变函数
wuxia@
1、1 复数与复数运算
wuxia@
1、3 导数
设函数ω=f(z)是在区域B上定义的单值函数， 即对于B上每一个z值，有且只有一个ω与之 对应。若在B上的某点z，极限
f ( z z ) f ( z ) lim 存在, 且与 z 0的方式无关， z 0 z z 0 z lim
wuxia@
Δz沿平行于实轴方向逼近零，则Δy=0, Δz= Δx->0，于是：
u( x x, y ) iv ( x x, y ) u( x, y ) iv ( x, y ) lim z 0 z x 0 x u( x x, y ) u( x, y ) v ( x x , y ) v ( x , y ) lim [ i ] x 0 x x u v i x x lim
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
《数学物理方法》答案
z 4 + a4 = 0 ( a > 0) 。
4
⎛z⎞ ⎜ ⎟ = −1 ( a > 0 ) 4 4 ; 解:由题意 z = − a ,所以有 ⎝ a ⎠
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
π
+ i 2kπ = ln 2 + i ( + 2kπ ) 4 4
π
3i = eiLn 3 = ei (ln 3+ 2 kπ ) = cos ln 3 + i sin ln 3 e 2+i = e 2 ei = e 2 (cos1 + i sin1) sin z lim =1 z →0 z 22，求证 sin z sin( x + iy ) lim = lim z →∞ x , y →∞ z x + iy 证: z = x + iy (x,y,均为实数)，所以
z = z2 = z3 = 1; 试证明 z1 , z2 , z3 是一 11.设 z1 , z2 , z3 三点适合条件 z1 + z2 + z3 = 0 及 1
个内接于单位圆
z =1 的正三角形的顶点。
∴ z1 = − z2 − z3 ; z2 = − z3 − z1; z3 = − z1 − z2 ; 证明： z1 + z2 + z3 = 0;
∂v ∂u = e x cos y − y sin ye x + x cos ye x = e x ( x cos y − y sin y ) + e x cos y ∂ y ∂x ； ∂u ∂v = −e x ( x sin y + sin y + y cos y ) = e x ( y cos y + x sin y + sin y ) ∂y ； ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v = ; =− ∂x 。 满足 ∂x ∂y ∂y x, y ) 可微且满足 C − R 条件，故函数在 z 平面上解析。 即函数在 z 平面上 (
数学物理方法教学Chapt2
将回路积分化成面积分，有
同样，由于f(z)在B上解析，其实部u和虚部v在B上满足 柯西-黎曼条件：
柯西定理
因此，这两个面积分为0，柯西定理得证！ 推广的单连通区域柯西定理：如果函数f(z)在单连通区域B上解析， 在闭单连通区域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线l(也可 以是 的边界)，有
例2. 试计算积分 解：
将zk和f(z)都用实部和虚部写出， 则有，
复变函数的积分
复变函数的路积分可以归结为两个实变函数线积分，它们分别是路积 分的实部和虚部.因而，实变函数线积分的许多性质也对路积分成立： 1.常数因子可以移到积分号之外； 2.函数的和的积分等于各个函数的积分的和； 3.反转积分路径，积分变号； 4.全路径上的积分等于各段上积分之和； 5.积分不等式1：
不定积分 上一节的结论：
若函数f(z)在单连通区域B上解析，则沿B上任一路 径l积分的值只与起点和终点有关，而与路径无关.
不定积分定义：当起点z0固定时，终点z不固定，区域B上的解析函 数f(z)的不定积分就定义了一个单值函数，记作
可以证明，F(z)在B上是解析的，且F’(z)=f(z),即F(z)是f(z)的一 个原函数.
于是
不定积分
由于f(z)在B上连续，对任意给定的正数ε,必存在正数δ,使得当 时， ，即只要小圆取得足够小，则小圆内的一切点均满足 这样
即
还可以证明
就是说，路积分的值等于原函数的该变量.
不定积分
例1 计算积分
解：1.若回路l不包围点α，则被积函数在l所围区域上解析的，按照柯西定理积分值 为零; 2.回路l包围点α的情形: 2a.如果n≧0, 被积函数在l所围区域上是解析的；积分值也为零. 2b.如果n<0,被积函数在l所围区域中有一个奇点α.
数学物理方法)课程设计
数学物理方法课程设计项目背景数学物理方法是一门十分重要的学科，它是用数学的方法来深入理解物理现象和规律。
在物理学中，数学方法是解决理论问题的重要工具，这些问题可能涉及到的物理过程、数学理论和几何性质等等。
在这个课程设计中，我们将探究数学物理方法的一些基础理论，并讨论在物理学中的应用。
项目目标本次课程设计的主要目的是：•熟练运用数学物理方法解决物理问题•掌握重要的数学物理工具，如微积分、线性代数等等•了解数学物理方法在物理学中的应用，如量子力学、热力学、相对论等•培养学生的数学物理思维，提高解决问题的能力项目内容第一章：微积分基础本章将介绍微积分的基本概念和方法，并应用微积分解决一些物理问题。
课程内容包括：•导数和微分的定义及应用•积分和微积分基本定理•牛顿、拉格朗日、傅里叶公式•小波分析的基本概念和应用第二章：线性代数本章将介绍基本的线性代数理论，并应用到物理问题中。
课程内容包括：•矩阵与向量的基本概念•矩阵的基本运算以及矩阵的特征值和特征向量•线性方程组的解法•矩阵的简单应用：平面变换和仿射变换第三章：量子力学本章将介绍量子力学的基本概念和原理，并尝试解决一些与之相关的物理问题。
课程内容包括：•波粒二象性和双缝干涉•斯特恩-格拉赫实验•带电粒子在磁场中的运动•量子调和振子的能级第四章：热力学本章将介绍热力学的基本概念和定律，并尝试解决一些与之相关的物理问题。
课程内容包括：•热力学基本定律•热绝热过程、等温过程、等熵过程•热力学的状态函数•热力学的基本方程第五章：相对论本章将介绍相对论的基本原理和主要特点，并尝试解决一些与之相关的物理问题。
课程内容包括：•狭义相对论和广义相对论•等效原理和时间膨胀•狭义相对论的粒子运动•可观测效应：钟慢效应、光的折射等项目结论本项目通过介绍数学物理方法的基本概念和动态，并应用到物理学中，可以帮助学生领会数学物理思维，在解决物理问题时更加得心应手。
相信在这个项目结束后，同学们对数学物理方法会有更深入的理解和应用。
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李晟 上海交通大学物理系
2010 . 3
1
课程要求
• 网站： /lisheng • 助教： 1201，缪晗
• 李政道著 物理学中的数学方法
– 第一章,矢量与张量分析 – 第二章,n维空间中的线性代数 – 第三章 按正交函数系展开
13
• 则称为正交归一基
• 单位正交矢量
Kronecker 符号
1 ei • ej = δij = 0
i= j i≠ j
∑a δ
j=1
n
j ij
= ai
n n n x • y = ∑xiei • ∑y jej = ∑ xi y jei • ej i=1 j=1 i, j=1 = ∑ xi y jδij = ∑xi yi
• 鲁滨著 物理学中的数学
– 第三章 外微分形式
• 小林昭七著 曲线和曲面的微分几何
2
主要内容
• 矢量和张量分析
– 平直或非平直空间中的矢量张量 – 坐标变换（正交变换与一般变换） – 微分与外微分
• 曲线与曲面性质
– 应用：曲面几何，广义相对论
• 函数空间
– 应用：量子力学，数理方程求解
• 不讲述完整数学体系，重点在如何使用
j≠i
• 对任意矢量，其用基的组合表达是唯一的 • 证明：若
A = ∑aVi = ∑a 'i Vi i
n n
设
i=1
i=1
∑( a − a ' )V = 0i=1 i Fra bibliotek in
aj − a ' j ≠ 0
1 Vj = ∑( ai − a 'i )Vi a ' j − a j i≠ j
与线性无关矛盾
10
17
外积的几何
C = A× B
A× B = ABsinθ
C
B
A • 外积的大小对应于由俩矢量构成的平行四 边形面积 • 外积的方向由右手法则决定，垂直于俩矢 量组成的平面
18
• 角动量、力矩。。。 • 轴矢量，镜面反射改变手性
C = A× B C B C'
B' A
A'
19
三维矢量叉乘的行列式表示
= ( cosθ x1 + sinθ x2 ) e '1+ ( −sinθ x1 + cosθ x2 ) e '2
x '1 = cosθ x1 + sinθ x2
x '2 = −sinθ x1 + cosθ x2
x '1 cosθ sinθ x1 x ' = −sinθ cosθ x 2 2
b = sinθ d = sinα
α =θ −
π
ac + bd = cosθ cosα + sinθ sinα = cos(θ −α) = 0
2 c = −sinθ d = cosθ
27
二维正交变换
2
x = x1e1 + x2e2 = x '1 e '1+ x '2 e '2
e '1 = cosθe1 + sinθe2 e '2 = −sinθe1 + cosθe2
= (δimδ jn − δinδ jm ) ei Aj BmCn
= ei Aj BCj − ei Aj BjCi i
= A• C B − A• B C
22
(
)
(
)
A• B ×C = ( Ael ) • (εijkei BjCk ) l
(
)
= Aεijk BjCkδli = εijk ABjCk l i
e '1 cosθ sinθ e1 e ' = −sinθ cosθ e 2 2
e1 = cosθe '1− sinθe '2 e2 = sinθe '1+ cosθe '2
e1 cosθ −sinθ e '1 e = sinθ cosθ e ' 2 2
123,231,312 →+ 132,213,321 →−
20
三维 Levi-Civita 符号
1 εijk = −1 0 i, j, k为 ，3的 置 排 1 2， 偶 换 列 i, j, k为 ，3的 置 排 1 2， 奇 换 列 其 他
z = x× y = εijkei x j yk = ziei
V 'i = ∑aijVj
j= j=1
aij ≠ 0
• 线性无关保持，每组基的个数不变
aa = 1
n
n
−1
− Vi = ∑aij 1V ' j j=1
n
n n −1 n n −1 B = ∑bVi = ∑ bi ∑aij V ' j = ∑ ∑baij V ' j = ∑b' j V ' j i i i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 i=1
e 'i = ( e 'i • ej ) ej
= aijej
24
正交变换关系（基的变换）
• 变换矩阵
e 'i = aijej
R = ( aij )
e 'i • e ' j = ainen • a jmem = aina jmδmn = aina jn = δij
• 正交变换：从正交归一基变换到正交归一基
能量，质量。。。。
6
矢量空间
• 定义域 K：常见为实数域或复数域 • 矢量空间 V：矢量集合
– 矢量的分量取值于定义域 K
x = ( x1, x2, x3 ) ,
– 加法运算
x1, x2, x3 ∈K
x + y = ( x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3 )
– 数的乘法运算
ax = ( ax1, ax2, ax3 )
i=1
n
y = ∑yiei = yiei
i=1
n
x • y = xiei • y jej = xi y jei • ej = xi y jδij
重复指标只 能是成对的
y jδij = yi
= xi yi
= xj y j
xiδij = xj
指标可随意 调换
16
外积（矢量积、叉乘x）
• 两个矢量（三维）的外积为矢量
0∈V 1∈K
∀ x ∈V, ∃ y ∈V , x + y = 0
矢量空间的维数和基
• 若矢量空间中的任一矢量均可用某组线性 无关的矢量组合表达，则这组矢量称为该 矢量空间的基，其中矢量的个数称为该矢 量空间的维数
{V }, i =1,2,..., n
i
A = ∑aVi i
i=1
9
n
线性无关
∀ i, Vi ≠ ∑v jVj
29
二维正交变换的矢量变换关系
x = x1e1 + x2e2 = x '1 e '1+ x '2 e '2 e1 = cosθe '1− sinθe '2 e2 = sinθe '1+ cosθe '2
x = x1 ( cosθe '1− sinθe '2 ) + x2 ( sinθe '1+ cosθe '2 )
e1 x × y = x1 y1 e2 x2 y2 e3 x3 y3
= e1 ( x2 y3 − x3 y2 ) + e2 ( x3 y1 − x1 y3 ) + e3 ( x1 y2 − x2 y1 )
= ( e1x2 y3 + e2 x3 y1 + e3x1 y2 )
−( e1x3 y2 + e2 x1 y3 + e3x2 y1 )
∀ x, y ∈V, x × y ∈V
• 雅可比恒等式 • 分配率
( x × y) × z + ( y × z ) × x + ( z × x) × y = 0
∀ λ1, λ2 ∈K
( λ1x + λ2 y) × z = λ1x × z + λ2 y × z,
• 反对称性
x × y = −y × x
a b a c a2 + b2 ac + bd 1 0 = c d b d = 2 2 ac + bd c + d 0 1
a + b = c + d = 1, ac + bd = 0
2 2 2 2
a = cosθ, c = cosα,
经典物理学中的矢量
4
内容
• • • • 矢量分析 坐标变换 笛卡尔张量 微分运算
5
矢量分析
矢量（广义）：既有大小又有方向的量
速度，加速度，动量。。。。 几何表述：有向线段 代数表示：有序数组
x = ( x1, x2, x3 ) = x1e1 + x2e2 + x3e3
标量（广义）：只有大小没有方向的量
12
正交归一基
• 基 • 若 • 且
{ei },
∀ i,
i = 1,2,..., n
ei • ei = 1
∀ i ≠ j, ei • ej = 0
1 0 0 0 1 0 例： 1 = , e2 = ,..., en = e ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1