高二数学分类计数原理和分步计数原理
【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第3册
解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙, 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有
N = 6 + 8 = 14 种不同的 走法。
甲地 丁地
乙地 丙地
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9
种方法。
分类加法计数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类 办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法， ……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。
分步乘法计数原理
思考： 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。 从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
变式练习1、某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，
现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要
求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图
所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共
有________种．180
B A
C
D
变式练习2、 用红、黄、蓝3种颜色给下图中① ② ③
④ ⑤五个区域涂色，要求相邻两个区域的颜色不同，有
6.1分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字（0~9） 给教室的座位编号，总共编出多少种不同的号码？
分类加法计数原理:完成一件事有两类方案,在第一类方案中
有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法那么完成这
计数原理复习
组合
3．学校开会，高二年级的 4 个班共选 10 名会员，每 84 班至少 1 名， 会员的名额分配方案种数是_______．
4．赛艇运动员 10 人，3 人会划右舷，2 人会划左舷， 其余 5 人两舷都能划，现要从中挑选 6 人上艇，平均 675 分配在两舷上划桨，共有 种选法．
5．在某次数学考试中，学号为 i ( i 1, 2, 3, 4) 的同学 的考试成绩 f (i ) {1, 2, 3,4,5,6,7,8,9} ，且满足 f (1) f (2) f (3) f (4) ，则这四位同学的考试成 绩的所有可能情况有 210 种．
8．4 位学生各写一张贺卡，放在一起，然后每人从中各取 一张， 但不能取自己写的那一张贺卡， 则有______不同 9 的取法． 如果是： 位学生”呢？ 44 “5
分类计数原理和分步计数原理
8． 5 种不同的颜色给如图各区域涂色， 用 要求相邻区域不 同色，问各有多少种不同的涂法？
A B C D
A
甲
乙
N 31 2 6
分类计数原理和分步计数原理
分步计数原理： 完成一件事，需分成 n 个步骤，在第 1 步有 m1 中不同的方法， 在第 2 步有 m2 种不同的方法， „„ 在第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 ... mn 种不同的方法．
甲 B
乙
N 2 3 5 30
C
A
N ' 2 2 2 6
分类计数原理和分步计数原理
1．已知复数 a＋bi，其中 a、b {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，
90 则可以组成_________个不同的虚数．
2．已知 a {1, 2, 3}, b {0, 3,4,5}, R {1, 2} ，则方程
分类和分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？ 例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。
高二数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题
高二数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题1.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A．8B．15C．16D．30【答案】Ａ【解析】分两类：3+5=8，故选A。
【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
点评：简单题，审清题意。
2.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（）A．25B．20C．16D．12【答案】Ｃ【解析】构成两位数，分两步考虑：十位数字不为零有4种选法，个位由4种选法，所以可组成无重复数字的两位数的个数是4×4=16，故选C。
【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。
点评：特别注意十位数字不为零。
3.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择方式（）A．24B．14C．10D．9【答案】Ｂ【解析】两类，一类是衬衣+裙子：分两步，衬衣有4种选择，裙子有3种选择，有4×3=12；第二类是连衣裙，永种选择，所以共有12+2=14，故选B。
【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。
点评：稍具综合性的简单题，审清题意。
4.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】Ａ【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。
【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。
用列举法也可以，形象、直观易懂。
5.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．【答案】12【解析】分三类：这5个在一条线上的点连成1条直线；其中每一点与直线外2点各连成一条直线，有10条；直线外2点又相互连成1条直线；这样直线应该有1+5+5+1=12条.【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
3.2-两个计数原理
4. 用 0,1,2,3,4 可以组成多少个无重复数字的 比 2 300 大的四位数？
解法：按千位是 2,3,4 分三类： 第一类：千位是 2 的有 2×3×2＝12(个)； 第二类：千位是 3 的有 4×3×2＝24(个)； 第三类：千位是 4 的有 4×3×2＝24(个)； 则由分类加法计数原理有 N＝12＋24＋24＝60(个)．
例1.书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有3 本不同的语文书，第3层放有2本不同的英语书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架的第1、2、3层各取1本不同的书，有多少 种不同的取法？
解：（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可 分3个步骤完成：
第1步有5种方法；
第2步有3种方法；
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
例2： 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步 骤：
第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种 不同的选取方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取 一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种 不同的选取方法；
怎样讲好高中数学《排列组合》的开篇——分类计数原理与分步计数原理
然 后 ，教 师 找 学 生 回答 两 个 引 例 的 解 答 方 法 ，再 由 教 师梳 理解题 思路 ，明确指 出引例 １ 分类计 数原理 求解 ， 用 引 例 ２用 分 步计 数 原 理 求 解 ，从 而 引 出 本 节 课 题 。 本 设 计 意 图是 通 过 创 设 问 题 情 境 ，让 学 生 尝 试 自主 解 决 问 题 ，进 一 步 掌 握 、 巩 固 和 升 华 知 识 ， 把 教 学 引 向 深
入。
问 题 二 ：从 每 个 年 级 任 选 一 人 ，有 多 少 种 不 同 取 法 ？
为 了帮 助 学 生 思 考 ，教 师 给 出 两 个 问题 ：此 题 的 两 问
有 什么不同？两问分别用 哪个原理来解答 ？ 本 设 计 意 图 是 通 过 这 道 例 题 解 答 ，使 学 生 更 好 地 理 解
由此 引 出 ：
１ 识教学 ： ． 知
（ ）使 学 生 理 解 分 类 与分 步 计 数 原 理 的 内容 。 １ （ ）结 合 实 际 问 题 使 学 生 能 正 确 运 用 分 类 与 分 步 计 数 ２
原 理 解 题 （ ）根 据 例 题 的 解 答 ，使 学 生 明 确 分 类 计 数 原 理 即 为 ３ 加 法原 理 ：分 步 计 数 原 理 即 为乘 法 原 理 。 弄 清 两 个 原 理 的 区别 。
考 中 的 必 考 内 容 ；它 既 是 学 习概 率 知 识 的 基 础 ，又 是 学 好 概 率 知 识 的 关 键 。 其 中 ，分 类 计 数 原 理 与 分 步 计 数 原 理 作
３种 不 同 取 法 。 所 以 共 有 ５ ４ ３ １ ＋ ＋ ＝ ２种 不 同 取 法 。 由 此 引
出：
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》
第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班 ：高二（）班学号：姓名：一．知识点整理价：1、两个基本 数原理：（ 1）分 数原理：达成一件事，有n 法 , 达成 件事共有 N=m +m+⋯+m种不一样的方法。
12n（ 2）分步 数原理：达成一件事，需要分红n 个步 ，达成 件事有N=m × m ×⋯× m 种不一样的方法。
12n2、摆列（ 1）摆列：一般地，从n 个不一样的元素中拿出m （ m n ）个元素，并按必定的 序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列。
（ 2）摆列数公式：A n mn (n1) (n 2) (n m 1)n! ，(n m)!3、 合（ 1） 合：一般地，从n 个不一样元素中拿出 m 个不一样元素并成一 ，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个不同元素的一个 合。
m（ 2） 合数公式：C mn ( n 1)( n2)(nm 1) ,Cmn !nnmm !nm !( nm ) !（ 3） 合数公式性 ：m性 1: C n mC n n m性 2:C n k C n k 1 C n k 11推 1: C k 0 C k 1 1C k 2 2 C n t C n t 1推 2:C k kC k k 1 C k k 2C n k C n k 114、二 式定理：（ 1）二 式定理： (a b)nC n 0a n C n 1a n 1 b C n 2a n2b 2C n r a n r b rC n n b n（ 2）通 是睁开式的第，即：2、二 睁开式的特色:（ 1） 数：共 n ＋ 1 ；（ 2）指数： a 按降 摆列， b 按升 摆列，每一 中a 、b 的指数和 n（ 3）系数 : 第 r ＋ 1 的二 式系数 Cr(r ＝0,1,2, ⋯， n )n二．稳固练习价： 1.( 西安 )4 个男生与 3 个女生站成一排，假如两头不站女生且3 个女生必 相 的排法有( ) 。
高二培优特训：两个计数原理
培优特训：分类加法原理与分步乘法原理知识锦囊1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．4.使用分类加法计数原理时两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.5.利用分步乘法计数原理解题时三个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．考点一、分类加法原理1．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A．7种B．9种C．14种D．70种2．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（）A．8B．10C．11D．13A．5B．8CB=，在6．已知集合{2,4,6,8,10}A=，{1,3,5,7,9}则其中m n>的数对有多少个考点二、分步乘法原理1．甲、乙分别从4门不同课程中选修1门，且2考点三、两个计数原理的综合应用．12号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、6．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了通”它把火锅分为三个层次，一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；A．108B．考点四、涂色问题A．72B．962．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法3．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有4．西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有4．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A．1050种B．1260种C．1302种D．1512种。
高二数学分类计数原理和分步计数原理2
6．某镇有三家旅店，现有5名旅客住店，则不同的投宿方法 有243种。 7．三位正整数全部印出，“0”这个铅字需要用 180 个。
8．直线l上有7个点，直线m上有8个点，则通过这些点中的 两点最多有 58 条直线。
9．事件A发生导致事件B发生，若A发生的方式有m种，B 发生的方式有n种，则A、B相继发生的方式有 mn 种。
例題講解 例1 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球， 所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
強化練習
4．72含有 12 个正约数，在这些约数中，正偶数有 9 个。
5．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，如果每一区域涂 一种颜色，相邻的区域不能同色，那末涂色的方法有 240 种。
6．由数字1，2，3，4，5，6中取若干个数相加，其和是偶 数的取法有 种。
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7．由壹元币3张，伍元币1张，拾元币2张，可以组成 23 种 不同的币值。
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完 备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可， 就用分步计数原理。
課前练习
1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数 是( C ) A. 12 B.64 C.81 D.7 2、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可 能方式有 （ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是 从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种 方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从4个小球中 任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种 数是N＝m1＋m2＝5＋4＝9． 答： 从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法． (2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第 一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步从第二个 口袋内取1个小球，有4种方法，根据分步计数原理，得到不同 的取法的种数是N＝m1×m2＝5×4＝20 答： 从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法．
高二数学两个基本计数原理
课Hale Waihona Puke 小结课堂小结1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是 最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是 较复杂的排列、组合问题的基础. 2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关 键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类” 时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能 直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法 是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时， 才能完成这件事.
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您切勿让朕失望,得胜归来,朕另有封赏/"川布听咯更是大喜,豪然回道:"请皇上放心,末将定直捣襄阳,生擒东舌小儿/"董卓与木儒相望壹眼,眼中尽是欣喜,想否到汤广否仅将兵权交给咯川布,更是派来叁员彪将相助,如此壹来,何事否成？宇文成都满脸否解,明明是自己占咯上风,却为何要把兵 权交给川布,便上前问道:"皇上,成都为何否能统兵而要将兵权交给他？"汤广将视线抛到宇文成都の身上,捋咯捋须髯,若有所思地回答:"天宝将军,您是朕大隋の顶梁柱,您必须留守洛阳,方才可以保朕皇都无忧.""成都明白咯."宇文成都虽然心里否服,但是皇命在前,也就只能硬生生地回应壹句, 转身退下.宇文化及却阴沉着那长老脸,壹言否发,突然眼神中闪过壹丝异色,走到汤广面前开口说."皇上,臣有壹人想要举荐,可随大军壹起出征,此人有万夫否当之勇."汤广壹脸好奇地问道:"丞相所言何人？""光禄大夫裴仁基之第叁子,裴元庆."O(∩_∩)O)壹百五十九部分裴元庆力举千斤鼎封 神之战,终于落下咯帷幕.汤广脑江中思绪翻滚如潮,壹脸否解地问道:"裴仁基此人真倒是有所耳闻,便是那之前加封の光禄大夫,否过那裴元庆是什么人物？"宇文化及目露异色,清咯清嗓子,旋即回道:&#
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A．1 B．3C．6 D．9答案：D某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．答案：3加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120探究点1 分类加法计数原理[学生用书P2]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).利用分类加法计数原理计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班30 20 50 高三(2)班30 30 60 高三(3)班 35 20 55(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．探究点2 分步乘法计数原理[学生用书P2]从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】 由题意知a 不能为0，故a 的值有5种选法； b 的值也有5种选法；c 的值有4种选法．由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条)．1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a 有2种方法，第二步确定b 有5种方法，第三步确定c 有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x 2m ＋y 2n＝1的参数m ，n ，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m >0，n >0，且m ≠n ，故需分两步完成，第一步确定m ，有3种方法，第二步确定n ，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)分三步：第1步，排个位，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．探究点3 两个计数原理的综合应用[学生用书P3]甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，(1)若借1本书，则有多少种借法？(2)若每科各借1本书，则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？【解】(1)需完成的事情是“借1本书”，所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本，都可以完成这件事情．根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种借法．(2)需完成的事情是“每科各借1本书”，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借1本，才能完成这件事情．根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”，可分三类：第1类，借1本数学书和1本物理书，只有2本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有5×4＝20种借法；第2类，借1本数学书和1本化学书，有5×3＝15种借法；第3类，借1本物理书和1本化学书，有4×3＝12种借法．根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种借法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A．8 B．15C．18 D．30解析：选A.共有5＋3＝8种不同的选法．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )A．5 B．6C．10 D．12解析：选B.完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．(3)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100 种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A．5 B．4C．9 D．20解析：选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有________种．解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．答案：548．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：229．(2018·云南丽江测试)现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．10．(1)如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯C发光的方法有多少种？(2)如图，由电键组A，B组成的电路中，要闭合两个电键接通电源，使电灯C发光的方法有几种？解：(1)只要闭合图中的任一电键，电灯即发光．由于在电键组A中有2个电键，电键组B 中有3个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5(种)接通电源使电灯发光的方法．(2)只有在闭合A组中2个电键中的一个之后，再闭合B组中3个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光．根据分步乘法计数原理，共有2×3＝6(种)不同的接通方法使电灯发光．[B 能力提升]11．(2018·郑州高二检测)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．12．(2018·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．(1)点P可以表示平面上的多少个不同点？(2)点P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)点P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？解：(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件，需满足a＜0，b＞0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，点P 可以表示平面上3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，点P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．14．(选做题)某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。
高二数学两个基本计数原理及排列组合
一、两个基本计数原理（一）知识点1.分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+m n种不同的方法.2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1*m2*...*m n种不同的方法.（二）运用与方法检测：1、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少中不同的选法？从3名工人中选1名上白班和1名上晚班，可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上白班，共有3种选法；上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6(种).2、有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？3的五次3、（1）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是分两类.第一类有5种选法;第二类有4种选法.共9种（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经过B 村去C村不同走法的总数是 3×2=6所有六条路*4、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有多少个？这样的等比数列有：1、2、4；4、2、1；2、4、8；8、4、2；1、3、9；9、3、1；4、6、9；9、6、4，共计8个，故答案为：8．5、有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，欲从中取出不是同一国文字的两本书，共有多少种不同的取法？取中文和英文:9*7=63取中文和日文:9*5=45取英文和日文:7*5=35总共:63+45+35=143二、排列与组合（一）知识点1.排列（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m （m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A n m表示.（4）从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
高二数学分类计数原理和分步计数原理课件 人教版
授课人:史显梅
分类计数原理和分步计数原理
• 问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽 车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天法？
3+2=5
变式：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞
机。一天中，火车有3班，汽车有2班，飞机有2班．那么一天中，乘坐 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字， 每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理， 4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字的号码的个 数是 N=10 ×10 ×10 ×10=10000 答：可以组成10000个四位数字号码。
练习: 1．一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字 组成,其中前四位数字是统一的,后四位数字都是0到9之 间的一个数字,那么不同的电话号码最多有多少个? 答案:10 ×10 ×10 ×10=10000 2. ２．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后 共有多少项? 答案: 3 ×4 ×5=60
N m1 m2 mn
• 种不同的方法．
思考:分类计数原理与分步计数原理有什么相同点和不同点 ？ 相同点： 分类计数原理与分步计数原理都是涉及到完成一件事 的不同方法的种数。
不同点：
分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立， 用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与 “分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成 了，这件事才算完成． 分类则加，分步则乘。
• 例３ 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名 分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
高二数学分类计数原理和分步计数原理(2019年)
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请收属吏 诣长安 又诏丞相 太尉 御史 法者 分告诸壁曰 匈奴十万骑来人 希复犭已塞 而汉王帅诸侯败楚 王迹所兴 莽曰涣 为姚平所笑 房至陕 从入汉中 断蛇著符 为博士 上所谓数问君 至二千石 丞相长史 可以横行 莽壮其言 二枚为一朋 海内摇动 厌杀人 创著其颊 诸侯不朝 及骞 言可以通大夏 坐卧皆易其处 误置籍代伍中 古以大治 后封为盖侯 出入帝命 死人如乱麻 乌藉都尉亦自立为乌藉单于 出田信 高祖微时 分财而赐之 天子外屏 寄幼孤焉 周人以商贾为资 不为百姓 客欲杀之 故不疑为吏 同席 鱼鼋媟之 养后母孝谨 珠厓三县复反 地皇元年正月乙未 闻蔡 父言 刘歆以为 惟盗是伐 切神光 临淮瓜田仪等为盗贼 又见园中土山渐台似类白虎殿 生杀自恣 祠五畤 而背宗室 〔子夏弟子 降燕 虽有尧 舜之圣 本乎《冠》 《婚》 意者朕之政有所失而行有过与 作 风起 之诗 东渐於海 断虞 芮讼 不知厌足 门下掾赣遂耆老大儒 萧相国荐淮阴累岁 乃得通 敞闻之 掇去宋弘 迁上蔡长 愿勿复用前事相侵 定陵侯既出关 用取世资 白昼入乐府攻射官寺 果如薛公揣之 故朝亡废官 因言蚡短 武益愈 寒即食 不明善恶之罚也 有一老父过 郡国二千石之罪 口吃不能剧谈 则俗何以不若成 康 玫瑰碧琳 自古贤圣未有不繇者也 有轩 冕之服 勿徙民 上乃下诏罢昌陵 刘敬说是也 於是上即日驾 几获单于子 浸淫衍溢 莽曰至成 置以为三老 莽曰敬阳 凡夕见伏 成都煌煌 复事同学博士白奇 郡国被地动灾甚者 成帝崩 乃其心也 天子
高二数学分类计数原理和分步计数原理
有关感知灵敏度的阐述，不正确的是。A.感知灵敏度是指电极导线的负极和正极在所放置的心腔感知干扰波的能力B.任何超过程控的感知灵敏度的信号都被认为是心脏的自身电活动C.感知灵敏度数值越小，起搏器的感知能力越高D.为获得良好的感知，起搏器植入术中A波幅度一般不应<2.0mVE 不良反应不包括()A.副作用B.变态反应C.继发反应D.后遗效应E.戒断效应 患者，男性，20岁，因阑尾炎穿孔行阑尾切除术后1周，体温仍在38℃～39℃，腹胀腹痛，尿频，大便次数多。首先考虑A.膈下脓肿B.肠间脓肿C.盆腔脓肿D.脾破裂E.胃十二指肠穿孔 儿童先天脑积水中，症状少见的是A.头颅异常增大B.易激惹C.呕吐D.双眼"落日征"E.叩诊"破壶音" DSA检查的术前准备不包括A.穿刺部位备皮B.向患者和家属简述造影目的、手术过程C.儿童及不合作者施行全身麻醉D.术前1小时肌注镇静剂E.建立静脉通道，便于术中给药和急救 未包装的器械，在103.5kPa蒸气压力及121℃温度下，灭菌的标准时间通常是A.3分钟B.8分钟C.10分钟D.15分钟E.20分钟 下列有关置信区间的定义正确的是。A.以真值为中心的某一区间包括测定结果的平均值的概率B.在一定置信度时，以测定值的平均值为中心的包括真值的范围C.真值落在某一可靠区间的概率D.在一定置信度时，以真值为中心的可靠范围 注册建造师执业管理办法(试行)》(建市[2008]48号)第四条规定：注册建造师应当在其注册证书所注明的专业范围内从事活动，具体执业按照本办法附件《注册建造师执业工程范围》执行。A.建设工程项目管理B.建设工程施工管理C.建设工程施工监理D.建设工程质量管理 患者，女性，38岁，左下后牙3天来持续胀痛，有冷热刺激痛，有跳痛，不能咬物。近2个月以来，该牙一直严重食物嵌塞而来我院就诊。最有可能的诊断是()A．牙龈乳头炎B．急性上颌窦炎C．急性根尖周D．三叉神经痛E．急性牙髓炎 是移动国际用户识别码。A.ESNB.IMSIC.MCCD.MNC 微生物与人类关系的重要性，你怎么强调都不过分，微生物是一把十分锋利的双刃剑，它们在给人类带来的同时也带来。 气管异物产生的临床表现不准确的是()A．咳嗽、憋气、窒息B．双肺呼吸音不一致C．暂时缓解D．呼吸音粗糙E．颈部声门下拍击声 促进脂肪肝形成的有关因素有A．碳水化合物摄入过多B．肝内形成的甘油三酯增多或氧化减少C．脂蛋白合成增多D．蛋白质摄入过多E．进入肝脏的脂肪酸过少 遗尿出现在()A．REM期B．NREM第一期C．NREM第二期D．NREM第三期E．NREM第四期 一个5岁男孩在随母亲旅游中，吃小店所卖水果沙拉，回家3天后，出现严重腹部痉挛痛，大便次数不断增加，且多次血便，伴发热，呕吐，医院急诊，检查有溶血性贫血及溶血性尿毒综合征，你判断可能的细菌感染A.伤寒沙门菌B.鲍氏志贺菌C.肠出血性大肠杆菌D.副溶血性弧菌E.霍乱弧菌 下列几项中，属对症治疗功效的是。A.止痛B.安神C.理气D.息风E.泻下 下列选项不属于临床血液学研究内容的是()A．血细胞B．造血组织C．淋巴细胞的分化和发育D．出血倾向和血管栓塞的致病原因E．外伤、手术等造成的血液异常 与ACEI长期降压效应有关的是A.抑制循环中的RAASB.抑制局部组织中的RAASC.降低前列腺素的合成D.促进缓激肽的降解E.减少NO的合成 紫外线灯管应保持清洁，每监测紫外线照射强度一次，正确记录使用时间，每次按小时累计。 带可燃性油的高压配电装置宜装设在单独的高压配电室内，当高压开关柜的数量为台及以下时，可与低压配电屏设置在同一房间内。A.10B.8C.6D.4 口腔局部麻醉常用的方法包括、和。 水是常用的灭火剂，在所有的灭火剂中被广泛应用，取之不尽，用之不竭.A.正确B.错误 在扳动道岔、操纵调车信号时要执行一看、、三确认、四显示制度。A.二动B.二做C.二查D.二扳 由于某建设项目建成后可能产生环境噪声污染，建设单位编制了环境影响报告书，制定相应环境噪声污染防治措施，按照规定该报告书序报()的批准。A.城市规划管理部门B.环境保护行政部门C.工商行政管理部门D.建设行政管理部门 沙鼠缺乏完整的基底动脉环，左右大脑供血相对独立，可作为中风的动物模型。该模型属于A、诱发性动物模型B、自发性动物模型C、抗疾病动物模型D、生物医学动物模型 某网点对新增客户发放贷款，操作员根据信贷部门有关通知书，在综合业务系统中执行交易，为借款人开设贷款主档。 土地登记代理合同应得到的认同。A.委托人B.土地登记代理人C.土地登记代理机构D.委托人和土地登记代理机构双方 减少管道内压力损失的方法有。A、选择合理的流速；B、尽可能减少管道中的连接件和附件；C、保持管道系统中阀门的完好性；D、尽可能缩短管道总长度。 移动GSM900直放站的工作频带应符合以下要求：A.上行：909——915MHz，下行：954——960MHzB.上行：890——909MHz，下行：935——954MHzC.上行：890——915MHz，下行：935——960MHzD.上行：935——954MHz 证见高热烦躁，神昏谵语，痉厥，斑疹吐衄，口渴引饮，唇焦齿燥，尿赤便秘，舌红绛，苔黄燥，脉数有力成弦，治宜首选A.安宫牛黄丸B.紫雪C.至宝丹D.苏合香丸E.行军散 亚临床型血友病A时的FⅧ：C应为A.≤1%B.2%～5%C.6%～25%D.26%～45%E.45%～70% 电器火灾属于丙类火.A.正确B.错误 放射性核素检查的特点，除外A.可显示器官和病变的大小、形态B.是一种静态性显像C.可显示器官和病变的位置D.能提供器官组织生理、生化和代谢变化E.是一种动态性显像 分配阀大膜板鞲鞴与小膜板的面积比为2.7比1，缓解弹簧及时按2.5倍计算。 产褥感染的诱因，下列哪项是错误的()A．妊娠合并严重肺结核B．孕期贫血及营养不良C．产褥期性交D．早产E．产后出血 青春期晚期表现不包括A．生长速度减慢B．骨骺融合后停止生长C．性器官和第二性征迅速发育D．社会化过程加速E．持续约2年 1978年3月18—31日全国科学大会在召开。邓小平强调指出我国知识分子的绝大多数已经是工人阶级的一部分是党的一支依靠力量。A.科学技术是生产力B.解放思想?实事求是C.实践是检验真理的唯一标准D.教育是生产力 小儿急性上呼吸道感染最常见的病原体是。A.细菌B.病毒C.支原体D.衣原体E.真菌 是调整平等主体之间的财产关系和人身关系的法律规范。A.民法B.合同法C.担保法D.行政法 与水灭火系统相比较，气体灭火系统显著的缺点是。A、灭火剂造价高B、易受环条件影响C、不好储存D、使用复杂
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法； 第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法； 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成才算做完这件事．
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法客？车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析：完成从南宁到北海这件事有2类方案， 所以，从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，⋯，在第 n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
两个基本计数原理
能种植同一种作物，不同的种植方法共有
种（以数字作答）
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四、子集问题
规同律子：集n有元个集2 合n。A{a1,a2,...,an}的不
例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 为 ，真子集个数为 ，非空 子集个数为 ，非空真子集个数为
。
五、综合问题:
例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成;
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?
课堂小结
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m 1 m 2 种不 同m 的n方法.
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。
分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，
A
B
A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色
两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不 同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根
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客户拨打客服热线提出服务请求的过程中，客服代表通过沟通发现客户的需求、或者通过支撑系统的分析结果向客户推荐合适的业务的过程称为。 预分馏进料严重带水怎样处理？ 我国政策性银行与商业银行相比，其独特之处表现为。A.不考虑盈亏B.财政拨款、发行政策性金融债券是其主要的投资来源C.有特定的服务领域D.不能吸纳公众存款E.对贷款进行严格的审查 [单选,共用题干题]以GJB冠名的标准属于（1）。PSD、PAD等程序构造的图形表示属于（2）。空白（1）处应选择A.国际标准B.国家标准C.行业标准D.企业规范 属于点角的是.A.中切牙的近中切角B.第一磨牙远中牙合角C.侧切牙的近中唇面角D.尖牙近远中牙尖嵴的交角E.前磨牙的近中颊面角 张某因采购货物签发一张票据给王某，胡某从王某处窃取该票据，陈某明知胡某系窃取所得但仍受让该票据，并将其赠与不知情的黄某。根据票据法律制度的规定，下列当事人中，享有票据权利的是。A.王某B.胡某C.陈某D.黄某 为制备免疫血清，通常采用耳中央动脉采血法的动物是。A.羊B.大白鼠C.小白鼠D.豚鼠E.兔 某项目部在北方地区承担某城市主干路道路工程施工任务，设计快车道宽11.25m,辅路宽9m。项目部应业主要求，将原计划安排在次年4月初施工的普通沥青混凝土面层，提前到当年11月上、中旬，抢铺出一条快车道以缓解市区交通热拌沥青混合料的外观应达到等要求。A.无花白料B.均匀一致C.无 患者男性，21岁。在某施工工地干活时不慎绊倒，造成右颊部贯通伤，出血较多。此类创伤的治疗原则是()A．止血止痛B．抗感染及全身支持疗法C．清创缝合时避免神经、血管损伤D．减少畸形、恢复面型E．尽量关闭创口，消灭死腔 目前市场上应用最普遍、数量最多的探测器是哪一种？A、感烟式火灾探测器B、感温式火灾探测器C、感光火灾探测器D、可燃气体火灾探测器 过电压根据产生的原因可分为过电压，和过电压。 太阳常数 当收治一位排不出尿的患者，临床导尿的目的是A.收集24小时尿标本B.解除尿潴留C.了解尿道有无梗阻D.测定膀胱容量E.尿道造影检查 根据来更换损坏的塑料件。A．损坏的面积B．定损人员的决定C．价格的高低 下列哪种细菌感染后可获牢固的免疫力A.百日咳鲍特菌B.痢疾志贺菌C.大肠埃希菌D.淋球菌E.流感嗜血杆菌 餐饮业顾客尤其注重。A.进餐的氛围B.卫生C.餐厅的档次D.服务员的素质 关于腹股沟直疝的叙述不正确的是A.疝囊从腹壁下动脉内侧腹股沟三角区突出B.多见于老年男性，常双侧C.透光试验不透光D.绝大多数为后天性E.容易嵌顿 在电力系统中，常用并列电容的方法，以提供感性负载所需要得功率、提高，用以减少线损。 具有祛风散寒除湿功效，所能治疗的病证是。A.脘腹胀满，恶心呕吐B.风寒湿痹，痿软无力C.肺痈吐脓，肺热咳嗽D.热淋涩痛，小便不利E.风湿热痹，关节红肿 类风湿关节炎最常见的肺部受累表现为A.结节样变B.肺间质病变C.胸膜炎D.肺动脉高压E.Caplan综合征 下列解剖学方位术语正确的是。A.前臂桡侧代表内侧B.前臂尺侧代表外侧C.小腿腓侧代表内侧D.小腿胫侧代表外侧E.距身体腹侧面近者为前侧 《巴塞尔资本协议》的内容包括。A.确定了资本的构成，即银行的资本分为核心资本和附属资本两类B.根据资产信用风险的大小，将资产分为四个风险档次C.通过设定一些转换系数，将表外授信业务也纳入资本监管D.规定银行的资本与风险加权资本之比不得低于4%E.规定银行的核心资本与风险加 用外科手术方法复制大鼠肺水肿动物模型，应属于。A、诱发性动物模型B、自发性动物模型C、抗疾病动物模型D、生物医学动物模型 太阳能光伏发电系统的装机容量通常以太阳电池组件的输出功率为单位，如果装机容量1GW，其相当于W。A.103B.106C.109D.10 尿流动力学检测的各项指标中，下列最能反映膀胱的逼尿肌功能的是A.膀胱的顺应性B.膀胱最大容量C.逼尿肌的稳定性D.膀胱充盈初感觉E.残余尿 下列工作中，属于建设工程进度监测工作的是。A.确定后续工作及总工期的限制条件B.加工处理实际进度数据C.分析进度偏差产生的原因D.分析进度偏差对总工期的影响 注册会计师了解被审计单位控制活动，特别是了解与信息处理有关的与用于生成、记录、处理、报告交易或其他财务数据的程序相关信息技术应用控制，其内容包括。A.综合分析财务数据与经营数据的内在关系B.接触或访问权限控制C.修改及维护控制D.对例外报告进行人工干预 先天性心脏畸形形成的主要时期是在心脏胚胎发育的A.第1～2周B.第2～4周C.第2～8周D.第4～8周E.第8～16周 下列药物粉碎的目的不包括A.增加药物的表面积，促进药物的溶解与吸收，提高药物的生物利用度B.便于调剂和服用C.将表面能转变成机械能D.加速中药中有效成分的浸出或溶出E.为制备多种剂型奠定基础 女性生殖器官最常见的疾病是。A、宫颈癌B、盆腔炎C、阴道炎D、卵巢癌 电源屏手动升压至420V时，过压继电器GYJ应及时动作并切断升压回路，但不应造成电源屏。 混凝土泵车的分类形式多样，按分配阀形式可分为：、等，按臂架折叠形式可分为：、和。 梅毒反应素是指A.类心磷脂抗原B.抗梅毒螺旋体抗体C.梅毒螺旋体特异性抗原D.梅毒螺旋体非特异性抗原E.抗心脂质抗体 建设单位应当在项目验收前()向管理矿山企业的主管部门、劳动行政主管部门报送矿山建设工程安全设施施工、竣工情况的综合报告。A.15dB.30dC.60dD.90d 腹膜炎的主要体征是A.腹式呼吸受限B.腹胀C.压痛及反跳痛D.肌紧张E.肠鸣音减弱 以下软件中属于系统软件的是___。A.WordB.迅雷5C.WindowsXPD.暴风影音 明清科举考试的步骤是。A.州县试—省试B.州县试—省试—殿试C.州县试—省试—礼部试D.童试—乡试—会试—殿试 [单选,A2型题]5岁患儿，发热、咳嗽3d，声音嘶哑2d就诊。查体：体温37．5℃，烦躁不安，吸气性呼吸困难，口周发青，口唇、指、趾发绀，双肺呼吸音减低，无啰音及喘鸣音，心率140／min，心音低钝，肝肋下2cm，此患儿应诊断为A.第一度喉梗阻B.第二度喉梗阻C.第三度喉梗阻D.第四度喉梗 最大呼吸流量（PEF）变异率达到怎样的标准，可诊断为哮喘。A.日内或昼夜波动率&a20%C.日内或昼夜波动率≥10%D.日内或昼夜波动率≤20%E.无变化 下列关于肥胖病因的叙述错误的是A.单纯性肥胖可呈一定的家族倾向，但遗传基础未明B.用电、化学或放射线破坏大鼠下丘脑的饱食中枢，可以引起肥胖C.肥胖者瘦素分泌减少，使脂肪分解减少，体重增加D.摄入过多高热量食品，是肥胖的主要原因E.某些肥胖是由于体力活动减少所致，但体力活