高中数学 必修一 专题一 集合的含义与集合间的关系

专题一集合的含义与集合间的关系一．选择题（共14小题）1．下面能构成集合的是（）A．大于3小于11的偶数B．我国的小河流C．高一年级的优秀学生D．某班级跑得快的学生2．在“①个子较高的人；②所有的正方形；③方程x2+6=0的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．②B．③C．①②③D．②③3．下列关系正确的是（）A．0∈N*B．π∈Q C．0∈∅D．∈R4．给出四个结论：①{1，2，3，1}是由4个元素组成的集合②集合{1}表示仅由一个“1”组成的集合③{2，4，6}与{6，4，2}是两个不同的集合④集合{大于3的无理数}是一个有限集其中正确的是（）A．只有③④B．只有②③④C．只有①②D．只有②5．集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示（）A．方程y=2x﹣1B．点（x，y）C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合6．已知单元素集合A={x|x2﹣（a+2）x+1=0}，则a=（）A．0 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣4或07．下列四个集合中，是空集的是（）A．{x|x+3=3}B．{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2﹣x+1=0，x∈R}8．下列四个集合中，是空集的是（）A．{∅}B．{0}C．{x|x＞8或x＜4}D．{x∈R|x2+2=0}9．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A．31 B．32 C．3 D．410．集合A={1，2，3}，则集合A的子集个数是（）A．6 B．7 C．8 D．911．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．312．若集合A={x|0＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．A⊆B D．B⊆A13．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，若A⊆B，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．114．设集合A={x|x2﹣3x﹣2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅二．填空题（共9小题）15．已知集合M={3，m+1}，4∈M，则实数m的值为．16．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是．17．集合A含有两个元素a﹣3和2a﹣1，则实数a的取值范围是．18．已知集合A={2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x=．19．若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是三角形．20．实数集合A={1，x，x2﹣x}中的元素x满足的条件是．21．集合{（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，是（填“有”或“无”）限集．22．设集合A={2，4}，B={a2，2}（其中a＜0），若A=B，则实数a=．23．已知a∈R，b∈R，若{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2017+b2017=．三．解答题（共5小题）24．已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．25．已知方程x2+ax+b=0．（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值．26．集合A={x|kx2﹣8x+16=0，k∈R}．若集合A至多有一个元素，试求实数k 的范围，并写出相应的集合A．27．已知集合A={x|ax2﹣3x﹣4=0，x∈R}．（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．28．已知集合A={x|x2﹣4=0}，集合B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求实数a的取值集合．专题一集合的含义与集合间的关系参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下面能构成集合的是（）A．大于3小于11的偶数B．我国的小河流C．高一年级的优秀学生D．某班级跑得快的学生【分析】根据题意，由集合中元素的确定性，依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，大于3小于11的偶数为4、6、8、10，是确定的，可以构成集合，对于B、我国的小河流不能确定，不可以构成集合，对于C、高一年级的优秀学生不能确定，不可以构成集合，对于D、某班级跑得快的学生不能确定，不可以构成集合，故选：A．【点评】本题考查集合的意义，注意集合中元素的特点即可．2．在“①个子较高的人；②所有的正方形；③方程x2+6=0的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．②B．③C．①②③D．②③【分析】根据集合的定义，特别是集合中元素的“确定性”，分析可得结果．【解答】解：根据集合的定义，特别是集合中元素的“确定性”，分析如下：①不能构成集合，因为“较高”无明确标准，元素不满足确定性；②能构成集合，该集合可以写成{正方形}或{x|x是正方形}；③能构成集合，该集合可以写成∅．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的定义，以及集合中元素的性质，属于基础题．3．下列关系正确的是（）A．0∈N*B．π∈Q C．0∈∅D．∈R【分析】利用元素与集合的关系直接求解．【解答】解：在A中，0∉N*，故A错误；在B中，π∉Q，故B错误；在C中，0∉∅，故C错误；在D中，∈R，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．4．给出四个结论：①{1，2，3，1}是由4个元素组成的集合②集合{1}表示仅由一个“1”组成的集合③{2，4，6}与{6，4，2}是两个不同的集合④集合{大于3的无理数}是一个有限集其中正确的是（）A．只有③④B．只有②③④C．只有①②D．只有②【分析】通过集合中元素的特性判断①的正误．利用集合的定义判断②的正误；集合中元素的无序性判断③的正误；集合中元素的个数的多少分类判断④的正误．【解答】解：对于①集合中元素的互异性可知判，①是不正确的．对于②集合的定义判断②是正确的；对于③集合中元素的无序性判断③{2，4，6}与{6，4，2}是两个不同的集合，是不正确的；对于④集合{大于3的无理数}是一个有限集，集合中元素的个数是无数的，所以④是不正确的．只有②正确．故选：D．【点评】本题考查集合的基本概念，集合元素的特征，集合相等等知识，基础题．5．集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示（）A．方程y=2x﹣1B．点（x，y）C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合【分析】由集合中的元素的表示法可知集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x ﹣1图象上的所有点组成的集合．【解答】解：集合{（x，y）|y=2x﹣1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合．故选：D．【点评】本题考查了集合的分类，考查了集合中的元素，解答的关键是明确（x，y）表示点，是基础题．6．已知单元素集合A={x|x2﹣（a+2）x+1=0}，则a=（）A．0 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣4或0【分析】由集合A={x|x2﹣（a+2）x+1=0}是单元素，利用根的判别式能求出a的值．【解答】解：∵单元素集合A={x|x2﹣（a+2）x+1=0}，∴△=[﹣（a+2）]2﹣4×1×1=0，解得a=﹣4或a=0．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，考查单元素集、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．下列四个集合中，是空集的是（）A．{x|x+3=3}B．{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2﹣x+1=0，x∈R}【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A，x=0；对于选项B，（0，0）是集合中的元素；对于选项C，由于x=0成立；对于选项D，方程无解．故选：D．【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题．8．下列四个集合中，是空集的是（）A．{∅}B．{0}C．{x|x＞8或x＜4}D．{x∈R|x2+2=0}【分析】直接利用空集的定义与性质判断选项的正误即可．【解答】解：空集是没有任何元素的集合，A中含有元素∅，所以A不正确；B中含有运算0，所以不正确；C中集合是无限集，所以不正确；D中方程无解，所以D是空集，正确．故选：D．【点评】本题考查空集的定义，基本知识的考查．9．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A．31 B．32 C．3 D．4【分析】求出集合A={0，1}，由此能求出集合A的真子集的个数．【解答】解：∵集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={x∈N|﹣3≤x≤1}={0，1}，∴集合A的真子集个数为22﹣1=3．故选：C．【点评】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．集合A={1，2，3}，则集合A的子集个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据排列组合知识或直接逐一写出计算【解答】解：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共8个．故选：C．【点评】本题主要考查子集概念，属于基础知识，基本概念的考查．11．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．3【分析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的子集的个数为22=4个，去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22﹣1=3个．故选：D．【点评】本题考查子集的概念和应用，解题时要熟记若集合A中有n个元素，则集合A中有2n个子集，有2n﹣1个真子集．12．若集合A={x|0＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．A⊆B D．B⊆A【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴A⊆B．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是基础题．13．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，若A⊆B，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】利用子集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，A⊆B，∴a+3=1，解得a=﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义的合理运用．14．设集合A={x|x2﹣3x﹣2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅【分析】要弄清两集合间关系，先弄清两集合中的元素．【解答】解：集合A=（，），B=（1，3），满足A⊇B．故选：B．【点评】本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，弄清集合中的元素是关键．二．填空题（共9小题）15．已知集合M={3，m+1}，4∈M，则实数m的值为3．【分析】利用元素与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M={3，m+1}，4∈M，∴4=m+1，解得m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用．16．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是2．【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m的数值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，m}，3﹣m∈A，∴或或，解得m=2．∴非零实数m的数值是2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．集合A含有两个元素a﹣3和2a﹣1，则实数a的取值范围是a≠﹣2．【分析】根据题意，由集合中元素的互异性可得a﹣3≠2a﹣1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A含有两个元素a﹣3和2a﹣1，则有a﹣3≠2a﹣1，解可得：a≠﹣2；故答案为：a≠﹣2．【点评】本题考查集合中元素的性质，集合中元素满足三个性质：确定性、互异性、无序性；属于基础题．18．已知集合A={2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x=3或﹣2．【分析】根据6∈A，所以6=x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可．【解答】解：因为6∈A，所以6=x2﹣x．解得x=3或﹣2．符合题意．故x的值为3或﹣2．故答案为：3或﹣2．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合的确定性、互异性、无序性，属于基础题．19．若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是等腰三角形．【分析】根据集合的互异性可知a≠b≠c，进而可判定三角形不可能是等腰三角形．【解答】解：根据集合的性质可知，a≠b≠c∴△ABC一定不是等腰三角形．故答案为：等腰．【点评】本题主要考查了三角形的形状判断以及集合的性质．解题的关键是对集合的性质的熟练掌握．20．实数集合A={1，x，x2﹣x}中的元素x满足的条件是．【分析】根据题意，结合集合中元素的特征，可得x≠1，x2﹣x≠1，x2﹣x≠x，进而可得x的值．【解答】解：由于实数集合A={1，x，x2﹣x}，则实数x满足：x≠1且x2﹣x≠1且x2﹣x≠x，解得．故答案是．【点评】本题考查了集合的确定性、互异性、无序性及解二次方程的内容，属于基础题．21．集合{（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，是有（填“有”或“无”）限集．【分析】根据方程x2+y2=0，x∈R，y∈R的解为x=y=0，得集合中只有一个元素（0，0），得集合是有限集．【解答】解：∵x2+y2=0，x∈R，y∈R，∴x=y=0，∴集合中只有一个元素（0，0），故答案是：有．【点评】本题考查了集合的分类．22．设集合A={2，4}，B={a2，2}（其中a＜0），若A=B，则实数a=﹣2．【分析】根据A=B即可得出a2=4，再由a＜0即可求出a的值．【解答】解：∵A={2，4}，B={a2，2}，且A=B；∴a2=4；又a＜0；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查列举法表示集合的概念，以及集合相等的定义．23．已知a∈R，b∈R，若{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2017+b2017=﹣1．【分析】由题意，a≠0，则b=0，代入化简求出a，可求a2017+b2017．【解答】解：∵{a，，1}={a2，a+b，0}，∴b=0，∴{a，0，1}={a2，a，0}，则1=a2，解得，a=﹣1或a=1（舍去）．则a2017+b2017=﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题考查了集合内元素的特征，互异性与无序性，是基础题．三．解答题（共5小题）24．已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．【分析】（1）A为空集，表示方程ax2﹣3x+2=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．【解答】解：（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2=0无解此时△=9﹣8a＜0即a＞（2）若A中只有一个元素则方程ax2﹣3x+2=0有且只有一个实根当a=0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时△=9﹣8a=0，解得：a=∴a=0或a=若a=0，则有A={}；若a=，则有A={}【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2﹣3x+2=0根的情况，是解答本题的关键．25．已知方程x2+ax+b=0．（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值．【分析】（1）利用根的判别式能注出实数a，b满足的关系式．（2）利用韦达定理能求出实数a，b的值．【解答】解：（1）∵方程x2+ax+b=0的解集只有一个元素，∴△=a2﹣4b=0，∴实数a，b满足的关系式为a2﹣4b=0．…（6分）（2）∵方程x2+ax+b=0的解集有两个元素分别为1，3，∴，解得a=﹣4，b=3…..（6分）【点评】本题考查实数间的关系式的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．26．集合A={x|kx2﹣8x+16=0，k∈R}．若集合A至多有一个元素，试求实数k 的范围，并写出相应的集合A．【分析】由题意可知集合A中可以有一个元素，也可以没有元素，分类讨论得到答案．【解答】解：由题意可知集合A中可以有一个元素，也可以没有元素①当集合A中只有1个元素时，方程kx2﹣8x+16=0有一个解，当k=0时，方程为﹣8x+16=0，解为x=2，则A={2}，当k≠0，△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×16k=0，解得k=1，则方程kx2﹣8x+16=0的根为x=4，所以集合A={4}②当集合A中没有元素，即A=Φ时，方程kx2﹣8x+16=0无解，则，△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×16k＜0，解得k＞1，综上所述，当k=0时，集合A={2}；当k=1时，集合A={4}；当k＞1时，集合A=∅．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，集合的元素，集合的表示法，难度中档．27．已知集合A={x|ax2﹣3x﹣4=0，x∈R}．（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据A中有两个元素得到A中方程有两个不相等的实数根，确定出a的范围即可；（2）根据A中至多有一个元素，得到A中方程无解或有两个相等的实数根或为一元一次方程，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|ax2﹣3x﹣4=0，x∈R}，A中有两个元素，∴方程ax2﹣3x﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=9+16a＞0，且a≠0，解得：a＞﹣，且a≠0；（2）∵A={x|ax2﹣3x﹣4=0，x∈R}，且A中至多有一个元素，∴a=0或△=9+16a≤0，解得：a=0或a≤﹣．【点评】此题考查了集合中元素个数的最值，熟练掌握方程解与根的判别式的关系是解本题的关键．28．已知集合A={x|x2﹣4=0}，集合B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求实数a的取值集合．【分析】根据题意，先求出集合A，由B⊆A分析可得B可能的情况，对应方程ax﹣2=0的解的情况，分类讨论可得a的值，综合可得答案．【解答】解：x2﹣4=0⇒x=±2，则A={2，﹣2}，若B⊆A，则B可能的情况有B=∅，B={2}或B={﹣2}，若B=∅，ax﹣2=0无解，此时a=0，若B={2}，ax﹣2=0的解为x=2，有2a﹣2=0，解可得a=1，若B={﹣2}，ax﹣2=0的解为x=﹣2，有﹣2a﹣2=0，解可得a=﹣1，综合可得a的值为1，﹣1，0；则实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．【点评】本题考查集合包含关系的运用，注意要分析B为空集的情况．。