2.2.1综合法与分析法公开课

A BC

不等式
a+b ： 2
ab
(a>0,b>0)的证明.
结论
证法1:综合法
2 ( a b ) 0 ∵
a+b ab 证法2:要证 2 思考交流 只要证 a + b 2 ab
2 ab 0 1. 条件与结论的位置 ∴a+b
2.推证的方向 2 ab ∴a+b 3. 推证的书写格式
由a，b，c成等比数列，有 b = ac. 法 由余弦定理 b2 = a2 + c2 - 2accosB = a2 + c2 由 2 2 因 ac = a + c - ac 2 导 即 （a - c） = 0. ∴ a=c. 果
π 由① ① ②，得 B = . 3
2
- ac.
3 所以△ＡＢC为等边三角形.
1 1 即证 a 1 a a 1 a 2
只需证 a 1 a a 1 a 2
又 a 1 a 1, a a2

a 1 a
原不等式成立.
a 1 a 2成立.
【解题准备】: 1.将A,B,C成等差数列,转化为符号语言就是2B=A+C; 2. a,b,c成等比数列转化为符号语言就是b2=ac;
3.隐含条件A,B,C为△ABC的内角,A+B+C=180°.
边和角统一起来， 用余弦定理进行证明.
证明：由A，B，C成等差数列，有
综 合
2B=A+C. ①
∵A，B，C为△ＡＢC的内角, ∴Ａ+Ｂ+Ｃ=180°.②
3.失误防范：分析法的证明格式 格式要规范,一般为“要证…,只需证…,只要证…,即证…显然成 立(或已知，已证…),所以原结论成立
逆向思维的应用 4.解题思想方法：
当 a≥2 时，求证： a＋1－ a< a－1－ a－2.
【思路点拨】条件和结论的联系不明确，考虑用 分析法证明．
【证明】
要证 a 1 a a 1 a 2,
b a c 2ac cos B
2 2 2
二、课前检测 1. 6 2.B 三、均值不等式的证明方法，证明过程？ 有哪些方法？ a+b 证明： ab (a>0,b>0). 2
2.2.1综合法与分析法
【学习目标】 1.掌握直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．
2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用分析法和综合 法证明数学问题． 【重点难点】 1.综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤．(重点) 2.综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题．(难点)
2.逻辑关系： (P表示已知条件,Q表示要证明的结论)
Q （结论） Pn P2 P 1 P(已知或明显成立的条件 )
寻找充分条件．
3.思维特点：
从“未知”看“需知”,逐步靠拢已知,即“执果索 要证：...... 因” . 4. 分析法的书写格式：
只需证：...... 只要证：...... 即证......显然成立 所以,结论成立
…
a+b 证明： 2
证明:
ab (a>0,b>0).
思考交流
1.条件与结论的位置 ab 2.推证的方向 证明 : 2 3.推证的书写格式
ab
P ∵ ( a b )2 0
P1 ∴ a + b 2 ab 0 条件
P2 ∴ a + b 2 ab a+b Q ∴ ab 成立 2
只需证 a + b 2 ab 0 即证
( a b )2 0
a+b ab 成立 ∴ 2
( a b )2 0 显然成立
a+b 所以 2 条件
ab成立
精讲点拨 一、分析法(执果索因,逆推法)
1.定义：
从待证结论出发,逐步寻求结论成立的充分条件,最 后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
只需证(a 1)(a 2) a(a 1),
只需证-2<0,显然成立，则原不等式成立.
【思维总结】 含有根号的式子，应想到用平方 法去根号，且在平方时应保证两边为正，同时要 有利于再次平方，因此需移项．另外，此题还可 用分子有理化来解决，请同学们动手尝试一下！
法二（分子有理化）：
要证 a 1 a a 1 a 2,
高密三中
陈明星
我们学过的证明： 1.立体几何中线面的平行与垂直证明 2.三角恒等式的证明 3.三角形形状的证明 4.数列等差等比列的证明 5.代数恒等式证明 6.不等式的证明……… 这些证明有什么样的共性？证明的思考过 程和特点是什么？
有哪些方法？
a+b 不等式： 2
ab
(a>0,b>0)的证明. 考思 交 流
分析法的适用范围
①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接; ②证明中需要用哪些知识不太具体明确; ③特别是含有根号、绝对值的等式或不等式的证 明，常考虑用分析法.
例2. 求证:
3 + 7 < 2 5.
跟进练习 求证： 8 5 10 7.
求证 : 3 7 2 5
证明: 因为 3 7和2 5都是正数
分 析 法
所以要证 3 7 2 5 只需证( 3 7 )2 (2 5)2 展开得10 2 21 20
证明: 21 25 21 5
2 21 10
10 2 21 20
( 3 7 ) 2 (2 5 ) 2
只需证 21 5 只需证21 25 因为21 25显然成立.
寻找必要条件．
3.思维特点：
从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,即“由 因导果”.
1 2 3 2 例1．求证： log5 19 log3 19 log 2 19
【解题准备】:
1 1. log a b 2. loga bn n loga b 3.loga M loga N loga MN logb a
a b 2 ab 2 2 ( a bห้องสมุดไป่ตู้ 0 2 ab ab 2
结论
精讲点拨
一、综合法 (由因导果,顺推法)
1.定义：
从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待 证结论.
2.逻辑关系： (P表示已知条件,Q表示要证明的结论)
P （已知） P （结论） 1 P 2 P n Q
所以 3 7 2 5
综 合 法
3 7 2 5
如果我们从“21<25 ”出发,逐步倒推回去,就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困 难. “两者是互逆的过程，分析法起到了探路的作用”
跟进练习 证明： 8 5 10 7. 证明： 要证 8 5 10 7.
综合法
特点 逻辑关系 格式 由因导果，顺推法 寻找必要条件 P→Q1→Q2→...→Qn→Q
分析法
执果索因，逆推法 寻找充分条件 Q←P1←P2←...←Pn←P
分析法与综合法是互逆的过程,对复杂问题,先从结论进行分析, 相互联系 寻求解题思路,再运用综合法证明,或在证明时交叉使用
条件P→ P1 →P2 ... → Pn→Qm ← …Q2 ← Q1 ← Q结论
只需证 a 1 a 2 a a 1,
只需证( a 1 a 2 ) ( a a 1) ,
2 2
只需证a 1 a 2 2 (a 1)(a 2) a a 1 2 a(a 1) ,
只需证 (a 1)(a 2) a(a 1) ,
只要证 8 7 5 10,
只需证 ( 8 7 )2 ( 5 10)2 . 即证 8 7 2 56 5 10 2 50.
只需证 2 56 2 50,
.
只要证
56 50
显然成立
故不等式 8 5 10 7 成立.
课堂小结：
综合法、分析法 1.证明的方法： 2.两种方法的比较
1 证明：因为 log a b logb a
所以 左式=log195+2log193+3log192 =log19(5×32×23)=log19360. 因为log19360<log19361=2，
1 2 3 所以 log5 19 log3 19 log 2 19 2
跟进练习
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、 c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证： △ABC为等边三角形．
一、课前准备
1.对数运算性质
1 1. log a b 2. loga bn n loga b 3.loga M loga N loga MN logb a
2.充要条件 p q p是q的什么条件？q是p的什么条件？
3.正余弦定理
a b c sin A sin B sin C