D3_4无零因子环的特征
04 无零因子环的特征
第四节 多项式环基本概念：多项式、未定元．重点、难点: 未定元的概念、未定元的存在性．本节中的环均指有单位元的交换环．设R 是环R ＇的子环，且二者有相同的单位元．定义3.4.1 设'R α∈，记集合0101[]{|,,,,}nn n R a a a a a a R n ααα=+++∈∈L L ?，在[]R α中规定运算如下：01010011010101()()()()());()(),.n n n n n n n n m n n m n k i ji j ka a ab b b a b a b a b a a a b b bc c c c a b αααααααααααα+=+++++++=+++++++++⋅+++=+++=∑L L L L L L 其中则[]R α构成一个环，称之为R 上的关于α的多项式环，称[]R α中的元素为R 上的关于α的多项式．注1 []R α是R ＇中包含R 和α的最小子环．注2 与高等代数中类似，对每个()[]f R αα∈，可以定义()f α的次数、系数、首项系数等．值得注意的是，可能存在不全为零的元素01,,,m a a a R ∈L ，使得010m m a a a αα+++=L ．例如，在i ∈£，但2110i +=．又如，若R α∈，则1(1)0αα+-=．于是有下面的概念．定义 3.4.2 设'x R ∈．若不存在不全为零的元素01,,,m a a a R ∈L ，使得010,m m a a x a x m +++=∀∈L ?，则称x 是环R 上的一个未定元．称R 上关于x 的多项式是为R 上的一元多项式．自然会问：环R 上的未定元是否存在？一般而言，对于给定的环R ＇， R ＇中未必含有环R 上的未定元．例如，环[]i ¢中就不含有¢上的未定元．但是有定理3.4.1 假设R 是一个有单位元的交换环，则一定存在环R 上的未定元x ，因此 R 上的一元多项式环[]R x 是存在的．上述结果可以推广到多个的情形，即有定理3.4.2 假设R 是一个有单位元的交换环，n 为任意正整数，则一定存在环R 上的n 个无关的未定元1,,n x x L ，因此 R 上的多元多项式环1[,,]n R x x L 是存在的．（其中无关的意思是指：11111100,n n n n ni i i i n i i i i i i ax x a a R =⇔=∀∈∑L L L L L ．） 定理3.4.3 假设1[,,]n R x x L 和1[,,]n R ααL 都是有单位元的交换环R 上的多元多项式环，若1,,n x x L 是R 上的n 个无关的未定元，则一定存在环的同态满射1111[,,][,,];(,,)(,,)n n n n R x x R f x x f αααα→L L L a L ．作业：Page 109 第1题，第2题。
4 无零因子环的特征
§4 无零因子环的特征提问（1） 00m a ma a a a ≠⇒=+++≠个在环里成立吗？在整数环里，这是成立的.但我们将看到，在有的环里，这是不成立的.例1 设F 是模p （p 是素数）的剩余类环，则F 是一个域.证 只需证明F 的所有非零元作成一个乘群*.F 因F 的乘法适合结合律，而*F 是一个有限集，故由有限群的另一定义知，要证明*F 是一个乘群，只需证明：Ⅰ.*F 对于乘法来说是闭的； 'Ⅲ.消去律成立.Ⅰ.设[][]*,a b F ∈，则[][][][]0,0a b ≠≠，从而p ∣/a ，p ∣/b .于是p ∣/ab ，从而[][][][]0.a b ab =≠因此[][]*.a b F ∈'Ⅲ.设[][][]*,,a x x F '∈，且[][][][].a x a x '=由[][][]*,,a x x F '∈得p ∣/a ，p ∣/x ，p ∣/.x '由[][][][]a x a x '=及[][][][][][],a x ax a x ax ''==得，[][].ax ax '=于是，()|.p ax ax a x x ''-=-因p ∣/，故由上式得[][]|,.p x x x x ''-=在这个域F 里，任取一个非零元[]a （这里p ∣/a ），有 [][][][][][]0.p p a a a a pa =+++==个分析原因：是因为F 中除零元外，其余元的阶（对加群F 而言）均为p .对一般的环F ，设a F ∈且0a ≠，若a 在加群F 里的阶是无限大，则（1）成立；若a 在加群F 里的阶是有限的，则（1）不成立.在一个环F 里，可能会出现这种情况：某个元a F ∈的在加群F 里的阶是有限的，另一个元b F ∈在加群F 里的阶是无限的.例2 设()()12,G b G c ==是两个循环群，b 的阶无限，c 的阶是.n 1G 和2G 都是交换群，它们的代数运算都用+来表示.用加群符号，我们有{}1|,G hb h Z =∈0hb =，当且仅当0h =时.{}2|,G kc k Z =∈0kc =，当且仅当|n k 时.设(){},|,.R hb kc h k Z =∈规定R 的一个加法：()()()11221212,,,.hb k c h b k c hb h b k c k c +=++再规定R 的一个乘法：()()()1122,,0,0hb k c h b k c =.那么R 是一个环.在这个环里，元(),0b 的阶是无限大，而元()0,c 的阶是.n 但在无零因子环里，情况就不会这样了.定理1 在一个没有零因子的环R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的. 证 若环R 的每一个非零元的阶都是无限大，则定理结论正确.若环R 存在阶为有限的非零元，设a R ∈，a 的阶是有限的，设其阶为正整数n .再设b 是R 的任一非零元，则()()0na b a nb ==（根据课本P84，（13）式）.因0a ≠，环R 无零因子，故0.nb =于是，b 的阶不超过n ，即b 的阶不超过a 的阶. 同理可证，a 的阶不超过b 的阶.于是，b 的阶等于a 的阶.定义 一个无零因子环R 的非零元的相同的（对加法来说的）阶叫做环R 的特征. 定理2 若无零因子环R 的特征是有限整数n ，那么n 是一个素数.证 假设n 不是素数，则n 可以表示为12,n n n =其中121,1n n n n <<<<.设a 为环R 的一个非零元，则a 的阶为n ，于是0na =，但120,0.n a n a ≠≠ 又因()()()()()22121212120n a n a n a n a n n a n n a ⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 这与R 没有零因子矛盾.推论 整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数.p在一个特征p 的交换环R 里，有()p p p a b a b +=+，其中,.a b R ∈这是因为()1111p p p p p p p a b a a b ab b p --⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 而p i ⎛⎫ ⎪⎝⎭是p 的倍数，1,, 1.i p =- 习题选解 1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.(a )的特征是2;(b )F 的0≠ 或11的两个元都适合方程证 (a ) 设F 的特征为P则P 的(加)群F 的非零元的阶所 4P (4是群F 的阶)但要求P 是素数, .2=∴P(b ) 设},,1,0{b a F =由于2=P ,所以加法必然是,0=+x x ,而b a a a =+⇒≠+11故有0 1 a b0 1 a b 11 0 b a aa b 0 1 b b a 1 0 又 },,1{b a 构成乘群,所以乘法必然是1,=⇒≠≠ab b ab a ab1,22≠≠a a a (否则b a = )b a =⇒2故有.1 a b11 a b aa b 1 b b a 1这样, b a , 显然适合12+=x x2. 假定 ][a 是模 的一个剩余类.证明,若a 同 n 互素,那么所有][a 的书都同n 互素(这时我们说][a 同n 互素).证 设][a x ∈ 且d n x =),(则11,dn n dx x ==由于)(1111q n x d q dn dx nq x a nq a x -=-=-=⇒=-故有 ,a d ,且有 n d因为 1),(=n a 所以1=d3. 证明, 所有同 n 互素的模 n 的剩余类对于剩余类的乘法来说作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号)(n φ 来表示,并且把它叫做由拉φ函数)证]{[a G =而][a 同n 互素} G 显然非空,因为)1),1((]1[=∈n G(ⅰ)G b a ∈][],[则][]][[ab b a =又1),(,1),(==n b n a 有1),(=n abG ab ∈∴][(ⅱ)显然适合结合律.(ⅲ)因为n 有限,所以G 的阶有限.若]][[]][['x a x a =即][]['ax ax = 由此可得)(''x x a ax ax n -=-',1),(x x n n a -∴= 即有][]['x x =另一个消去律同样可证成立. G 作成一个群4. 证明,若是1),(=n a , 那么)(1)(n a n ≡φ(费马定理)证 ),(n a 则G a ∈][而 ][a 的阶是G 的阶 )(n φ的一个因子因此]1[][)(=n a φ 即]1[][)(=n a φ)(1)(n a n ≡∴φ。
第11章 环的定义及性质
i1j1
精选可编辑ppt
8
近世代数
实例
例2 在环中计算(a+b)3, (ab)2 . 解: (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)
= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2
对于任意的 [i], [j]∈Zp, [i] ≠ [0]有 [i] [j] = [0] p 整除 ij p| j [j] =[0]
所以 Zp 中无零因子.
注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
精选可编辑ppt
16
近世代数
域中除法及其性质
在域F中可以引入除法，如果a,b ∈F， a ≠ 0， 则b被a除记为b/a，且b/a=a-1b.
(3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵 加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和
无零因子环，也不是整环.
(4) (Z6,,)构成环，它是交换环, 含幺环, 但不是无 零因子环和整环. [2][3]=[3][2]=[0]，[2]和[3]是零
因子.
精选可编辑ppt
14
近世代数
有以下性质：
精选可编辑ppt
17
近世代数
练习1
1. 在整数环中定义∗和◇两个运算, a,b∈Z 有 a∗b = a+b1, a◇b = a+bab.
证明(Z, ∗,◇)构成环.
证 a,b∈Z有a∗b, a◇b∈Z, 两个运算封闭. 任取a,b,c∈Z (a∗b)∗c = (a+b1)∗c = (a+b1)+c1 = a+b+c2 a∗(b∗c) = a∗(b+c1) = a+(b+c1)1 = a+b+c2 (a◇b)◇c = (a+bab)◇c = a+b+c (ab+ac+bc)+abc a◇(b◇c) = a◇(b+cbc) = a+b+c (ab+ac+bc)+abc
是无零因子环
可逆元做成一个乘法群S .
我们总是希望S 能尽量的“大”，最好是“大”
到 R 的一切非零元.如果真能办到，就成了下面
要研究的对象—除环.
A
6
定义 1 设R是一个环，如果满足下列条件，则称 R 是一个除环 (也可以称为体) .
① R必有非零元( R至少含有两个元)； ② 1R R； ③ R*中每个元都有逆元.
实上， R C 2 ），在 R 中定义加法和乘法：
1, 1 2 , 2 (1 2 , 1 2 )
1, 1 2 , 2 1 2 1 2 ,12 21
A
14
二、域 定义 2 若除环R是交换环,那么称R为域. 由定义知，域必是除环，从而域具有除环所具有
的一切性质.域与环的关系还可用下面的简图表示
A
15
例 1 全体偶数
关于通常的数的加
法与乘法构成一个没有单位元的交换环.但不是 域。
证明 (1) 任给
,则
所以, 数的加法与乘法是 的代数运算.
A
16
（1） 整环与除环的区别和联系。 （2） 整环的几种判定。 （3） 四元数除环的意义。 （4） 域的运算规则和域的判定法
则。
A
4
本讲的教学难点和重点：
本讲的重点有二个：
① 除环的几个判定法则。
② 域的运算法则的证明。
由于本讲中只涉及到两个主要概念，
所需的知识面不广，故不存在什么难点。
A
5
一、 除环 继整环之后，除环是另一个需要我们密切关
证明 略.
对于除环 R 而言,乘法群 R*习惯上叫做除环 R
的乘群.
A
12
Strongart数学笔记：评述Artin环的基本性质
注：半局部性的这个定义仅在交换环中成立，对非交换环 R 定 义为 R/rad(R)是左（或右）Artin ring.
3）根的幂零性：这里我们要先区分 nil ideal 与 nilpotent ideal 的 概念（nil ideal 在中文里直译为零理想，这非常容易与 0 混淆，有些 书中生造了个“诣零理想”，以此来与幂零理想区别对照），前者指元 素幂零，后者则是指理想本身幂零，也就是对交叉项依然有要求。显 然，nilpotent ideal 一定是 nil ideal，但在 R=k[x1,x2,…]/(x1^2,x2^2,…) 中由取模后的未定元 x1，x2，…生成理想即为显然是 nil ideal，却不 是 nilpotent ideal。
欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者 Strongart，欢迎访问 Strongart 的新浪博客。
1）零维性：就是说 Artin ring 中素理想都是极大理想。通过取商 它又等价于命题：Artin 整环是域，后者是非常容易证明的。既然素 理想与极大理想等价，那么素根就是等价与 Jacobson 根等同，也就是 说在 Artin ring 中可以笼统的称为根。
D3-3除环、域
定义1
一个环R叫做一个除环（体）， 假如
1、 R至少含有两个元素（含 有非零元）； 2、 R含有单位元1R； 3、 R中每一个非零元素都可 逆。
注：除环的定义可“浓缩”为R为除环 R是一个 非零的幺环且R中每个非零元都可逆。
利用性质2，得到判断除环的一种方法。 结论1： 明示1：
对于除环R而言，乘法群R习惯上叫做除环R的乘群。
非零环R是除环 R是一个乘法群。
由上可知：除环R是由两个群— —加群{ R， }和 { R， }乘群凑合而成的，而环 中的分配律恰似一座桥 ， 在这个环中建立了联系 。
性质1 除环R必定是无零因子环。但 反之不成立。 证明：
设0 a R，如果a是左零因子 0 b R, 使得ab 0
这里 表示是的共轭数： a ib, a ib
对于加法来说， R显然作成一个加群； 可以验证，乘法适合结 合律，并且两个分配律 都成立； 因此，R作成一个环 . R有一个单位元，就是（ 1 ， 0 ）
( , ) (a1 ia2 , b1 ib2 ) R（ , a1 , a2 , b1 , b2 是实数）
故 ( R ) {ax | x R}也含有n个元素， 设R有n个元素，
故 ( R) R,
即是R到R的一个双射。
证完
从而，存在x R : ax 1, 即x a 1
前面曾介绍的很多数环都是域（称为数域） : 有理数域Q， 实数域R，复数域C，当p为素数时，Z p 也是域，我们很容易 发现：要找一个非域的 除环是不容易的，下面“编造”出一 个 — —四元数除环。
则两个方程在R 中有唯一确定的解，且 0不是任意方程的解。
若b 0,
因除环中没有零因子， 则两个方程在R 中都只能有零解。
全国2019年高考物理专题讲义：原子物理 105.氢光谱、能级
氢光谱、能级一、玻尔的原子理论——三条假设（1）“定态假设”：原子只能处于一系列不连续的能量状态中，在这些状态中，电子虽做变速运动，但并不向外辐射电磁波，这样的相对稳定的状态称为定态。
定态假设实际上只是给经典的电磁理论限制了适用范围：原子中电子绕核转动处于定态时不受该理论的制约。
（2）“跃迁假设”：电子绕核转动处于定态时不辐射电磁波，但电子在两个不同定态间发生跃迁时，却要辐射（吸收）电磁波（光子），其频率由两个定态的能量差值决定hv=E 2-E 1。
跃迁假设对发光（吸光）从微观（原子等级）上给出了解释。
（3）“轨道量子化假设”：由于能量状态的不连续，因此电子绕核转动的轨道半径也不能任意取值，必须满足。
)3,2,1(2 ==n nhmvr π轨道量子化假设把量子观念引入原子理论，这是玻尔的原子理论之所以成功的根本原因。
二、氢原子能级及氢光谱（1）氢原子能级: 原子各个定态对应的能量是不连续的，这些能量值叫做能级。
①能级公式：；)6.13(1112eV E E nE n -==②半径公式：。
)m .r (r n r n 1011210530-⨯==（2）氢原子的能级图（3）氢光谱在氢光谱中，n=2,3,4,5,……向n=1跃迁发光形成赖曼线系；n=3,4,5,6向n=2跃迁发光形成巴耳末线系；n =4,5,6,7……向n=3跃迁发光形成帕邢线系；n=5,6,7,8……向n =4跃迁发光形成布喇开线系，其中只有巴耳末线系的前4条谱线落在可见光区域内。
三、几个重要的关系式（1）能级公式2126131n eV .E n E n -==（2）跃迁公式 12E E h -=γ（3）半径公式 )m .r (r n r n 1011210530-⨯==（4） 动能跟n 的关系由得 n n nr mv r ke 222=2221221nr ke mv E n n kn ∝==（5）速度跟n 的关系n r mr ke v n n n 112∝==（6）周期跟n 的关系332n r v r T n nn n ∝==π关系式（5）（6）跟卫星绕地球运转的情况相似。
群环ZnD4的零因子图
—
当且仅 当 一０ 有 向图 Ｐ 的直径 是 指 Ｐ 中两 点 间的有 向距 离 的最大 值 ， 作 ｄａ Ｐ） 形如 Ｘ一ｚ ， 记 ｉ ｍ（ 。 。
２ １ 年 ６月 ０１
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．０１
群 环 Ｚ Ｄ４ 的零 因子 图
黄逸 飞 ， 易 忠 ， 庆玲 覃
（ 广西师范大学 数学科学学院 ， 广西 桂林 ５ １ ０ ） ４ ０ ４
摘 要 ： 文 完 全 刻 画 了 群 环 ｚ Ｄ 零 因 子 集 合 ， 到 ｄａ ｒ（ ） 一 ２当 且 仅 当 一 ２， 则 ｄａ （ 本 的 得 ｉｍ（ ｚ Ｄ ） ‘否 ｉ ｒ ｍ
＋ｚ ６ ５＋ ６６ 口 ＋ ７。＋ｚｎｂ ｚ ∈Ｚ ， 么 Ｐ一 Ｐ一Ｐ 。 日６ ８。， ２那 。 ，。 一０ 通过 计算 发现 ２ ＝ ４ ５ 一ｚ 一 ８＝ ， 一 ３ 一ｚ ＝ ６ ７ ： ０ ＝ 因为 非平 凡 ， 这 样的 不存 在 ， 即群 环 ｚ Ｄ 故 也 。 没有 非平 凡的 幂等元 。根 据引理 ３知 ， 一个 局部 ｚＤ 是
收 稿 日期 ：０ １０— ５ ２ １—１１
基 金项 目： 广西 自然科学基金资助项 目（０ ０ ＸＮＳ Ａ０ ３ １ ） 广西教育 厅科研项 目（ ２ １Ｇ Ｆ １１８ ； 桂教科￣ ［ ｏ ９ ２ ） 广西研 ２ ｏ １５号 ；
究 生 教 育 创 新 计 划 项 目（ ００ ０ ０ ０ ０ Ｍ４ ） ２ １ １ ６ ２ ７ １ ３ 通 讯 联 系 人 ： 忠 （９ １ ） 男 ， 南 长 沙 人 ， 西 师 范 大 学 教 授 ， 士 。Ｅ ｍａ ：ｙ＠ ｍａ ｂ ｘ ｇ ｎ ．ｄ ．ｎ 易 １ ６一 ， 湖 广 博 － ｉｚｉ ｌ ｉ ｏ ． ｘ ｕ ｅｕ ａ ｌ
D34无零因子环的特征
在代数数论中，D34无零因子环可以 作为构建域的扩张的工具，有助于深 入理解域的代数性质和结构。
在物理领域的应用
量子力学模型
D34无零因子环在量子力学中可以用来构建模型，描述粒子 的状态和相互作用，为理解量子现象提供数学工具。
场论中的对称性
在物理场论中，D34无零因子环可以用来研究场的对称性和 变换性质，有助于深入理解场的内在结构和性质。
THANKS
感谢观看
无零因子环的概念
定义
无零因子环是指环中没有零因子的一种特殊环，即对于任意非零元素$a$和$b$，如 果$ab=0$，则至少有一个因子必须为零。
特征
无零因子环具有一些特殊的性质和结构，如每个元素都可以分解为其素因子的乘 积，且每个素因子只出现一次。此外，无零因子环的乘法封闭，即如果两个非零 元素的乘积为零，那么至少有一个元素必须为零。
• 建立与其他数学领域的联系：D34无零因子环作为数学领域中的一个概念，可 以尝试与其他数学领域建立联系，如代数几何、微分几何、概率论等，通过交 叉研究促进数学的发展。
• 开展跨学科研究：除了数学领域，D34无零因子环在其他学科领域也有潜在的 应用前景，如物理学、工程学等。开展跨学科研究有助于拓展D34无零因子环 的应用范围，为解决实际问题提供更多可能性。
在工程领域的应用
控制系统的稳定性
D34无零因子环可以用于分析控制系统的稳定性，通过环的代数性质来研究系统的动态行为和稳定性 条件。
信号处理中的滤波器设计
在信号处理中，D34无零因子环可以用于设计滤波器，通过环的运算性质来实现信号的滤波、降噪和 特征提取等功能。
05
结论
D34无零因子环的重要性
理论意义
性质
三种环形DNA的拓扑学特征
线性环DNA在基因克隆、基因治疗和基因组编辑等领域具有广泛应用价值。
04
三种环形DNA的拓扑学 变化对生物过程的影响
对DNA复制的影响
复制速度
环形DNA的拓扑结构会影响DNA的复制速度。例如，超螺旋DNA的复制速度通 常比松弛DNA慢。
复制错误率
三种环形DNA的拓扑学特征
目录
• 环形DNA的拓扑学概述 • 三种环形DNA的拓扑学特征 • 三种环形DNA的拓扑学特性比较 • 三种环形DNA的拓扑学变化对生物过程的影响 • 三种环形DNA的拓扑学研究前景与展望
01
环形DNA的拓扑学概几何图形或空间在 连续变形下保持不变性质的数学 分支。
进一步揭示DNA拓扑结构在基因表达调控中的作用机制。
发展更高效的拓扑学研究方法
提高研究方法的准确性和效率，为生物医学研究提供更多有价值的信息。
拓展拓扑学在生物医学领域的应用范围
将拓扑学原理应用于更多的生物学和医学问题中，推动相关领域的发展。
谢谢观看
对细胞分裂的影响
有丝分裂
在有丝分裂过程中，环形DNA的拓扑 结构会影响染色体的分离和重组，从 而影响细胞分裂的正常进行。
减数分裂
在减数分裂过程中，环形DNA的拓扑 结构也会影响同源染色体的配对和分 离，从而影响生殖细胞的遗传组成。
05
三种环形DNA的拓扑学 研究前景与展望
拓扑学研究方法的发展
数学模型
03
三种环形DNA的拓扑学 特性比较
拓扑学稳定性比较
共价闭合环DNA（cccDNA）
cccDNA具有高度稳定性，不易发生断裂或重组，因此被认为是病毒基因组的稳定形式。
核-壳结构Fe_(3)O_(4)SiO_(2)超顺磁性微球
第393期20215石化技与用Petrochemical Technology&ApplicationVol.39No.3May2021DOI：10.19909/ki.ISSN1009-0045.2021.03.0186研究与开发(186-189)核-壳结构Fe3O4/SiO2超顺磁性微球朱晶，穆蕊娟，孟令坤，徐典宏(中国石油石油化工研究院兰州化工研究中心，甘肃兰州730060)摘要：采用化学共沉淀法，以六水合三氯化铁和四水合二氯化铁为原料，制备了Fe.O4磁性纳米粒子；然后，在其表面，采用Stober法将有机硅氧烷直接水解得到了Fe3O(/SiO2磁性微球。
结果表明：Fe3O(/SiO2磁性微球具有核-壳结构，粒径约为200nm，Fe3O(纳米粒子完全包裹于SiO?内部；Fe.O4磁性纳米粒子和Fe3O(/SiO2磁性微球均具有超顺磁性，比饱和磁化强度分别为52.6,1.3(A-m2)/kg0关键词：Fe3O(/SiO2磁性微球;Fe3O(磁性纳米粒子；核-壳结构；超顺磁性;比饱和磁化强度中图分类号:TQ138.1R1文献标志码:BSiO$具有良好的相容性和稳定性，广泛用作催化剂载体、橡胶增强剂、食品添加剂等#在作为前者使用时，通常采用离心和过滤方式对催化剂分离，分离后的SiO$可重复使用;但是，在隔离催化剂或提取吸附物时，采用上述方法耗时长，所用设备比较昂贵，成本较高#如果在Fe'O(磁性纳米粒子外表面修饰一层SiO$,制成核-壳结构的Fe3O(/SiO2磁性微球，便可在外磁场作用下轻易分离，有催化剂的分离提，有制备特殊用途的橡胶制品#因此，该磁性微球具有良好的应用前景。
有关Fe3O(/SiO2磁性微球的制备方法已多有[1-3]，的St o ber法因具有磁核组成、尺寸、结和磁学性质易于调的广泛用'作采用该方法在Fe3O4磁性纳米粒子表面，有制备Fe3O4/SiO2磁性微，对2子的微结构和磁性表'1实验部分1.1原材料化、化、、水乙醇、柠檬酸钠、丙酮和四乙氧基硅烷(TEOS)，为分，市售品。
正则有向图中的不相交圈
V ol .37N o.1J an.2021赤峰学院学报(自然科学版)J our nalofChi f eng U ni ver s i t y (N at ur alSci ence Edi t i on)第37卷第1期2021年1月1引言与预备知识设D =(V ,A )为一有向图,其中顶点集合为V (D )(或简写为V ),弧集合为A (D )(或简写为A ),除特别说明外,本文中研究的有向图均为有限简单有向图(不包含多重弧和自环),关于有向图用到的符号见参考文献[1]。
对于有向图D 中的任意一个顶点v ,定义如下集合N D +(v)={u ∈V -v :vu ∈A },N D -(v)={w ∈V -v :wv ∈A }。
这里N D +(v)表示顶点v 的出邻集,N D -(v)表示顶点v 的入邻集,N D +(v)和N D -(v)中的顶点分别表示v 的出邻点和入邻点。
d D +(v)表示顶点v 的出度,即v 的出邻点个数(d D +(v)=|N D +(v)|),N D -(v)表示顶点v 的入度,即v 的入邻点的个数(N D -(v)=|N D -(v)|)。
若对D 中任意一个顶点v 都有d D +(v)=d D -(v),则称有向图D 为k 正则有向图。
本文中提到的圈(路)均为有向圈(路),不相交的圈指的是顶点不相交的圈,围长是指一个有向图中最短圈的长度。
如果u ∈V (C),则用u -和u +分别表示C 上u 的前趋和后继,同样的,u --和u ++分别表示C 上u -的前趋和u +的后继。
若F=C 1∪C 2∪…∪C t 为有向图D 的生成有向子图且C 1,C 2,…,C t 为两两不相交的圈,则称F 为有向图D 的一个圈因子。
如果C=v 0v 1…v l -1v 0是D 中一个长度为l的圈,并且v i ,v j ∈V (C),这时v i Cv j 表示的是v i ,v i +1,v i +2,…,v j (指标模l )这个有序列。
第16讲 第3章第3-4节除环和域,无零因子环的特征
证：(1)若 [ a ] 为
(2)若 [ a ] 为 Z 的可逆元,则 [ b ] Z m , [ a ][ b ] [ a b ] [1]. 于是, m | ab 1 ,即 c Z
m
使得 a b 1 c m ,也就是 a b ( c ) m 1 所以 ( a , m ) 1 . 反之, 如果 ( a , m ) 1 ,则 x , y Z
说明：（1）整环，除环和域都是无零因子的环;
(2)R中至少2个元，则
环R为除环当且仅当R中全体非零元集合 R*关于乘法做成群； 环R为域当且仅当(R,+)和(R*,.)都是交换 群. （3）除环 中
a , b R , a 0, 方 程 a x b及 ya b都 有 解
例5
R { ( , ) | , 为 复 数 }， 其 中 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 当 且 仅 当 1 2 , 1 2， R 中 运 算 为 ( 1 , 1 ) + ( 2 , 2 ) = ( 1 + 2 , 1 + 2 ) ( 1 , 1 )( 2 , 2 ) = ( 1 2 - 1 2 , 1 2 1 2 )
解 (1) 全部零因子:
[ 2 ], [ 3 ], [4 ], [6 ], [8 ], [9 ], [1 0 ]
(2) 全部可逆元: [1], [5 ], [7 ], [1 1] 直接计算可知,相应的逆元为
[1]
1
[1], [5 ]
1
[5 ], [7 ]
1
[7 ], [1 1]
1
则 R 做 成 环 ， 而 且 有 单 位 元 （1 ，） ， 非 零 元 （ ， ） 0 的逆元是 (
第12章 无零因子环的特征 (2)
理想子环的判定
(S,+, ×)是一个环，H是S的一个子环，但H不是S 的理想子环.
定理6 (理想判定定理) 设R是环，I是R的非空子集。 I是R的理想的充要条件是 (1) a,b∈I, a–b∈I； (2) r∈R, a∈I , ra∈I, ar∈I.
11/16
近世代数
生成理想
定义3 设R是环，A是R的非空子集。R中包含A的一 切理想的交称为由A生成的理想，记为(A). 如果A={a1,a2,…,an}，则(A)简记为(a1,a2,…,an). 如果A={a}，则(A)简记为(a)，并称(a)为R的主理想.
6/16
近世代数
环与子环的单位元问题
讨论： 环与子环的单位元问题： (1) 若一个环有单位元，则它的子环没有单位元. 例如：整数环(Z,+, ×)与偶数环(EVEN,+, ×). (2) 若一个环无单位元，而它的子环有单位元.
(S,+, ×)是一个环(不含单位元)，H是S的一个子环， 其单位元为
7/16
12/16
近世代数
生成理想
设R是环，A是R的非空子集， A={a}. 1、 当R是环 (a)={∑xiayi+sa+at+na|xi,yi,s,t∈R,n∈Z} 2、 当R是交换环 (a)={sa+na|s∈R,n∈Z} 3、 当R是含幺环 (a)={∑xiayi|xi,yi∈R}
4、 当R是交换环且含幺环 (a)={sa|s∈R}
13/16
近世代数
生成理想
设R是环，A是R的非空子集，A={a1,a2,…,an}.
Hale Waihona Puke 1、 当R是环 (A)={s1+s2+…+sn | si∈(ai)} 2、 当R是交换环 (A)={∑xiai+ ∑niai |xi∈R, ni∈Z}
无零因子环的特征
无零因子环的特征
一个环被称为无零因子环，如果它不含有非零的因子，即对于环中的任意元素a和b，如果ab=0，则a=0或b=0。
一个无零因子环的特征可以有以下性质：
1. 加法群：无零因子环一定是一个加法群，因为它满足加法封闭性、结合律、存在加法单位元和加法逆元。
2. 乘法幺元：无零因子环一定存在乘法幺元，即一个元素可以与环中的任意元素乘得自身。
3. 分配律：无零因子环满足左分配律和右分配律，即对于环中的任意元素a、b和c，有a(b+c)=ab+ac和(a+b)c=ac+bc。
4. 可交换性：无零因子环不一定是可交换环，即乘法不一定是可交换的。
总结起来，一个无零因子环的特征是它满足加法群、乘法幺元和分配律，但不一定满足可交换性。
D3-1环的定义及环的基本性质
和乘法构成一个环， n ( F ), ,)称为 n阶矩阵环. (M
明示2：
在例5中，若用数环替代数域F后，结果仍成立. 譬如，用偶数环替代F，得到
M n ( 2 Z ) { A (a ij ) | a ij 2 Z ,1 i , j n}构成一个环 .
二、两个重要的环
关于环，我们可以举出许许多多的例子.下面特别 介绍一个用途很广的环。
F [ x ] {an x n an1 x n1 a1 x a0 | ai F , n N } F [ x ]关于多项式通常的加法 和乘法构成一个环， { F [ x ], ,}称为 一元多项式环.
明示1： 在例4中，若将数域F换成任一个数环，那么也能 构成多项式环.譬如，取整数Z，则
即： ai )( b j ) (
i 1 j 1
m
n
m
i 1
ai b j
j 1
n
性质(13)
( na )b a( nb ) n(ab)
当a, b R, 且ab ba时, 二项式定理成立，即
性质(14) (a b)n
k 0 k C n a k b n k n
c(a b) cb c[(a b) b] ca 由性质（4）可得
性质(8)
0a a 0 0 ( 0是R的零元)
事实上， (a a )a a(a a ) aa aa 0
性质(9)
( a )b a( b) ab
事实上， ab (a )b (a a )b 0, ab a(b) a(b b) 0
证明： 数学归纳法证明 （1）当n=1时，结论成立。
（2）假设对某个自然数n，结论成立。
d区、ds区与f区元素性质与结构
4. 硒
成年人每天约需0.4毫克。具抗氧化保护红细胞的 功用，可预防癌症。在小麦、玉米、大白菜、南瓜、 大蒜和海产品中含量较丰富。
通性
大多数金属的熔、沸点高，硬度、密度大 ● 不少元素形成有颜色的化合物 ● 许多元素形成多种氧化态 ● 形成配合物的能力比较强，包括形成经典的维尔
例如，一根螺旋状高温合金，经过高温退火后， 它的形状处于螺旋状态。在室温下，即使用很 大力气把它强行拉直，但只要把它加热到一定 的“变态温度”时，这根合金仿佛记起了什么似 的，立即恢复到它原来的螺旋形态。
原理 某些合金在固态时晶体结构随温度发生变化的规律
例如，镍-钛合金在40oC以上和40oC以下的晶 体结构是不同的，但温度在40oC上下变化时，合金 就会收缩或膨胀，使得它的形态发生变化。这里， 40oC就是镍-钛记忆合金的“变态温度”。各种合金都 有自己变态温度。
Cr2O72- Orange red + H2O
Cr2O72－
橙红色
H+ OH－
CrO42－
黄色
绿色 Cr3+
灰蓝色
OH-
OH-
Cr(OH)3
S2O82-(Ag+), MnO4-
Cr(OH)4- 深绿色
Cr2O72- Orange red
酸性下Cr2O72-的强氧化性
Cr2O72- +
ClI-
H+ SO32-
0
怎样判断洗液失效？Cr2O72- Brown red
酸性溶液氧化性增强
饱和K2Cr2O7溶液与 浓硫酸1:7（体积比）
无零因子环的特征
第19 讲§4 无零因子环的特征（Characteristic of the ring without zero-division）本讲的教学目的和要求：环中有二个运算，关于加法{}+,R做成一个加群。
所以群中元素自然存在阶的概念。
本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是：本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。
而将无零因子环的问题只是作为一种特例。
这里要求：（1）对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是()Rch与{}+,R中元素的阶的本质区别。
（2）无零因子R环中的特征的几个性质的证明应该掌握。
（3）对讲义中最后的几个练习，需要领会其内涵。
一、环的特征的定义定义 ： 设R 为任意环，如果存在自然数n ，使得任意Ra ∈都有0=na ，那么称这样的最小的自然数n 为环R 的特征，记为()R Ch 。
如果不存在这样的自然数，则称的为无穷大，记().∞=R Ch例1． 整数环Z 中上述定义的自然数n 不存在. ∴ ()R Ch =∞. 不仅如此,还可知 ()()()().,∞=∞=F M Ch x F Ch n例 2. 在模4的乘余类环4Z 中,][][][][]{}3,2,1,04=∈∀Z i ,当取 ,16,12,8,4=n 时,都有[][]0=i n 而最小的显然是4 ()44=∴Z Ch 明示1: 模剩余类环而言,().m Z Ch m =注意1：1°如果环R 的加群中有一个元素的阶为无穷，由()R Ch 的定义知 必有()∞=R Ch .2° 如果R 的加群{}+,R 中每个元素都是有限阶而最大的阶若为()n R Ch n =⇒.譬如中∆Z ;最大者是[][][]4317,10===, []22=, ()44=⇒∆Z Ch .结论1. 若()n R Ch =,那么,加群{}+,R 中每个元素a ,都有n a =1. 明示2. 在此,我们要强调二点:① 确定存在这样的环R ,使得其加群{}+,R 中既有无穷阶的元素又有有限阶的元素.设()()c G b G ==21,是两个循环加群,又设,∞=b 而n c =. 所以{}.00,1=⇔=∈∀=h hb Z h hb G 且 {}n kc Z k kc G ⇔=∈∀=0,2且 k .现令 (){}Z k h kc hb G G R ∈∀=⨯=,,21并规定R 中加法“+”: ()()()c k c k b h b h c k b h c k b h 21212211,,,++=+乘法“·”： ()()()0,0,,2211=c k b h c k b h 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
Zp
F对加法成加群；F*对乘法成群； 显然两个分配律成立，从而F为除环 ； 但F的乘法又可交换，从而F是域. 的乘法又可交换，从而F是域. 该域F中，[a] ≠[0]，而p[a]=[0]. 分析出现这种现象的原因： 环R中，一个元a对于加群的阶若为有限整数n， 则na=0， 否则不会为零 可见na是否为零元，全由a的阶决定.
2012年5月20日星期日 主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
7
无零因子环的特征
是否注意到上述环的一个最大特征？ 零因子太多! 零因子太多! 定理1 定理1：P95，无零因子环中，所有非零元对 95，无零因子环中，所有非零元对 加法的阶相同. 加法的阶相同. 证明：若阶都是无穷大，结论成立； 设a ≠ 0的阶为n， b≠0,有a(nb) = (na)b=0 的阶为n 0,有 nb) (na) 由R无零因子，有nb=0， 无零因子，有nb=0， 由此得| 由此得|b|≤|a|， 同理可得| 同理可得|a|≤|b|，于是|b|=|a|. ，于是| |=|a
2012年5月20日星期日
主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
9
特征的特性
定理2 定理2：P96，无零因子环的有限特征n必为素 96，无零因子环的有限特征n 数. 证明：(用反证法) 证明：(用反证法) 设a 的特征n=n1n2,n1≠1,n2≠1，则na=0， 的特征n 1,n ，则na=0， 而n1a≠0，n2a≠0，但： (n1a)(n2a)=(n1n2)aa=(na)a=0，与R无零因子矛 )(n )=(n aa=(na)a=0，与R 盾. 推论：由于整环、除环、域均无零因子，从而 其特征或为无穷大或为素数p 其特征或为无穷大或为素数p.
主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
2
Zp
例1，P94，模p[p为素数]的剩余类环F是一个 域. F对加法成加群； F*对乘法成群 ： I：乘法闭； II：结合律 显然成立； III’：消去律成立-F*无零因子易得 按有限群的定义，F*成一个群。
2012年5月20日星期日 主讲教师 王绍恒
2012年5月20日星期日 主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
8
无零因子环的特征
定义：无零因子环的特征是指非零元对加法的 定义：无零因子环的特征是指非零元对加法的 相同的阶 相同的阶. 当特征为无穷大时，规则（1 当特征为无穷大时，规则（1）永远成立； 当特征为有限整数时，规则（1 当特征为有限整数时，规则（1）永远不成立
无零因子环的特征93 §3.4无零因子环的特征 无零因子环的特征
重点：无零因子环的特征 难点：对于特征的理解 关键：无零因子环的性质
2012年5月20日星期日
主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
1
一个特殊规则的讨论
整数环R 整数环R中：如下规则成立： 若a≠0，则 但其它环上不一定成立
2012年5月20日星期日
2012年5月20日星期日 主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
10
特征的为p的环的一个特殊公式 特征的为 的环的一个特殊公式
在特征为p 在特征为p的交换环中有： (a+b)p=ap+bp. 证明： 又因为
2012年5月20日星期日
主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
11
2012年5月20日星期日 主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
6
群的元中既有无限阶元、 群的元中既有无限阶元、 也有有限阶元的例
设G1=(a)为无限阶循环群； G2=(b)为n阶循环群； =(a)为无限阶循环群； =(b)为 R={(ha,kb)|h,k ∈Z} ={(ha,kb)|h,k 由直积的性质，R中，(a,0)与 由直积的性质，R中，(a,0)与a的阶相同，从 (a,0) 而其阶为无穷大； (0,b)与 的阶相同，从而其阶为n. (0,b)与b的阶相同，从而其阶为n. 由此例可见，一个环中，可能有些元对规 则（1 则（1）成立，而另一些又不成立 .
2012年5月20日星期日 主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
4
群的直积
设G1、G2为两个群，则 G=G1×G2={(g1,g2)|g1∈G1，g1∈G1}， 规定：(g 规定：(g1,g2) × (h1,h2)= (g1h1,g2h2) ， 易验证G 易验证G对这样规定的乘法构成一个群， 称为群G 称为群G1与G2的直积。 容易验证： G≥{(g1,e)|g1∈G1}≌G1 G≥{(e,g2)|g2∈G2}≌G2
2012年5月20日星期日 主讲教师 王绍恒
目录 上页 下页 返回 结束
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直积实例
例2：设G1=(a)为无限阶循环群； ：设G =(a)为无限阶循环群； G2=(b)为n阶循环群； =(b)为 则G1与G2的直积可以表示为 R={(ha,kb)| h,k ∈Z} ={(ha,kb)| 由群的直积(现在可以叫直和)的定义，R 由群的直积(现在可以叫直和)的定义，R对加法 构成一个群。 规定：任二元的乘积都为(0,0)， 规定：任二元的乘积都为(0,0)， 则R成一个环 。