2017-2018学年辽宁省凌源市教育局高二下学期期初抽考数学(理)试题 PDF版
2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(2)
数学试卷（理数）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为实数，，则的值为A.1B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列说法正确的是A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“”与“”不等价C.“若，则全为”的逆否命题是“若全不为0，则”D.一个命题的否命题为假，则它的逆命题一定为假4.若，，，，则与的大小关系为A. B. C. D.5.已知命题及其证明：(1)当时，左边，右边，所以等式成立；(2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数等式都成立．经判断以上评述A.命题，推理都正确B.命题正确，推理不正确C.命题不正确，推理正确D.命题，推理都不正确6.椭圆的一个焦点是，那么等于A.B.C.D.7.设函数（其中为自然对数的底数），则的值为A. B. C. D.8.直线（为参数）被曲线截得的弦长是A. B. C. D.9.已知函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.10.一机器狗每秒前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进步，然后再后退步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以步的距离为个单位长，令表示第秒时机器狗所在位置的坐标．且，那么下列结论中错误的是A. B.C. D.11.已知A、B、C、D四点分别是圆与坐标轴的四个交点,其相对位置如图所示.现将沿轴折起至的位置,使二面角为直二面角,则与所成角的余弦值为A.B.C.D.12.点在双曲线上，、是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线中等于A.3B.4C.5D.6二、填空题（每小5分，满分20分）13.若，则__________.14.在三角形ABC中，若三个顶点坐标分别为，则AB边上的中线CD的长是__________．15.已知F1、F2分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，M为AF1中点，N为AF2中点，O为坐标原点，则的最大值为__________．16.已知函数，过点作函数图象的切线，则切线的方程为。
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学（理）试题一、单选题1．若集合A={x |x 2+5x +4＜0}，集合B={x |x ＜﹣2}，则A ∩（∁R B ）等于（ ） A. （﹣2，﹣1） B. [﹣2，4） C. [﹣2，﹣1） D. ϕ 【答案】C【解析】由题得{|41}A x x =-<<-，∁R B ={|2}x x ≥-故A ∩（∁R B ）=[﹣2，﹣1） 2．抛物线22y x =-的焦点坐标是 A. 10,4⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,8⎛⎫⎪⎝⎭ D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先化为标准方程： 212x y =-故焦点坐标为10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知向量18,2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， (),1b x =， 0x >，若2a b -与2a b +共线，则x 的值为（ ）A. 4B. 8C. 0D. 2 【答案】A【解析】由题可知： 2a b -=182,22x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2a b +=()16,2x x ++，因为共线故： ()()()182221642x x x x x ⎛⎫-+=-+⇒=⎪⎝⎭4．已知平面α∩平面β=m ，直线l ⊂α，则“l ⊥m”是“l ⊥β”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据题意可知l ⊥m 只有一条线垂直故缺乏条件得出l ⊥β，而l ⊥β则垂直面内所有的线，因为m β⊂，所以l ⊥m 故“l ⊥m”是“l ⊥β”的必要不充分条件5．已知函数()()log 32(0,1)a g x x a a =-+>≠的图象经过定点M ，若幂函数()f x x α=的图象过点M ，则α的值等于A. 1-B. 12C. 2D. 3 【答案】B【解析】由题得函数()g x 过点M （4,2），又幂函数()f x x α=的图象过点M ，故α的值等于126．几何体的三视图如图，则该几何体的体积是A.43π B. 223π+ C. 53π D. 243π+ 【答案】C【解析】根据该三视图可知，该几何体由一个半球和一个半圆柱组合而成，故体积为：3241151+12=3223πππ⨯⨯⨯⨯⨯ 7．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+， 1315a a a +++=（ ）A. 124B. 120C. 128D. 121 【答案】D 【解析】当1n =时，12a =，当2n ≥时，()22111121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，12a =不符合，则2,1{21,2n n a n n ==-≥ ，()135157......259 (2925291212)a a a a +++=++++=++=，选D. 【点睛】已知数列的前n 项和n S ，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当2n ≥时利用前n 项和与前n-1项和作差求出第n 项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题求和要注意首项不满足，数列从第二项开始成等差数列，从第二项以后利用等差数列前n 项和公式求和，而第一项要要单独相加.8．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>，左右焦点分别为12,,F F P 为双曲线右支上一点， 12F PF ∠的平分线为l ，点1F 关于l 的对称点为Q ,22F Q =，则双曲线方程为（ ）A. 2212x y -=B. 2213y x -=C. 2212y x -=D. 2213x y -=【答案】C【解析】由题可得： l 是线段1F Q 的中垂线，则122222a PF PF PQ PF F Q =-=-==,则a=1，故22b =，所以选C9．已知3tan24θ=， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin cos2sin 4θθπθ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】由3tan24θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1t a n3θ=，而2s i n csi n 4θθπθ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2222sin cos tan 12θθθθθ==++ ，由1tan 3θ=， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos θ=，故代入得原式 点睛：此题关键是要将问题简化，根据二倍角公式和和差公式将其同一角度化简，然后根据三角函数的计算关系及所给角度范围确定cos θ的值即可得出答案. 10．在△ABC 中，B ＝4π，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.10B. 10C. 10-D. 10- 【答案】C 【解析】试题分析：设,2,sin cos ,sin cos 2AD a ABCD a AC A ααββ=⇒===⇒====⇒()cos αβ=+=故选C.【考点】解三角形.11．已知在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P ，使满足90APB ︒∠>，则P 点出现的概率为 （ ） A.556π B. 556C. 12D. 不确定 【答案】A【解析】依题意可得， P 点在以AB 为直径的圆内，如图所以P 点出现的概率为2155225756ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=⨯，故选A 12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b a b+=>>与直线y x = y x =相交于M ， N 两点，若在椭圆上存在点P ，使得直线MP ， NP 斜率之积为49-49-，则椭圆离心率为（ ）A.23 23B.C.D.【答案】B【解析】设()()(),,,,,P x y M m m N m m --，在直线MP,NP 的斜率分别为：4,?9y m y m y m y m x m x m x m x m -+-+⇒=--+-+，则222249y m x m -=--，因为M,P 在椭圆上代入椭圆得： 222222221,1x y m m a b a b +=+=，两式相减可得： 2249b a =，故离心率为：c a ==点睛：本题根据题意要注意直线y x =，故M,N 两点具有对称性，然后射出坐标表示出MP,NP 的斜率求出2249b a =，从而得出结论二、填空题13．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则将()f x 的图象向右平移6π个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.【答案】sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】由图可知：A=1,3113241264T T ππππω=-=⇒=⇒=,将点,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入f(x)得()sin 266f x x ππϕ⎛⎫=⇒=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位后得s i n 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14．已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则9a b +的最小值为_________. 【答案】16 【解析】由题可得：111a b +=，故()119991916a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭15．已知三棱锥D ABC -中， 1AB BC ==， 2AD =， BD = AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】6π【解析】如图：AD=2,AB=1,BD =,满足勾股定理，所以,A D A B A D B C A D A B C ⊥⊥⇒⊥又面,因为1ABBC ==， AC =，所以AB BC⊥,故BC DAB ⊥面,所以CD 是三棱锥的外接球的直径，因为,所以,所以三棱锥的外接球表面积为6π16．函数()21f x ax bx =+-，且()011f ≤≤， ()210f -≤-≤，则23a bz a b+=+23a bz a b+=+的取值范围是__________．【答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题得： 12,11a b a b ≤+≤-≤-≤，如图表示的可行域：则22,,33ba b b a z t b a b aa a++===++令可得21555,0,0,13339393t z t t t t +⎛⎤==+≥∈ ⎥+++⎝⎦，又b=1,a=0成立，此时13z =，可得1,23z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦点睛：此题解题关键在于要能将其转化为线性规划的问题来理解，然后将目标函数变形整理为所熟悉的表达形式，从而轻松求解.三、解答题17．已知函数())1cos .cos 2f x x x x ωωω=-+（其中0ω>），若()f x 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为4π．（Ⅰ）求()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、满足()()2c o s c o sb a Cc A f B -=⋅，且恰是()f x 的最大值，试判断ABC ∆的形状． 【答案】（Ⅰ）[,]()63k k k Z ππππ-++∈ ；（Ⅱ）等边三角形． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用倍角与两角和与差的正弦公式化简函数表达式，然后根据对称轴离最近的对称中心的距离为4π求得T ，从而求得ω ，进而由正弦函数的图象与性质求得单调增区间；（Ⅱ）先用正弦定理将条件等式中的边化为角，求得角C ，从而得到角B 的范围，然后根据正弦函数的图象求得()f B 的最大值，从而求得角A ，进而判断出三角形的形状．试题分析：因为（Ⅰ）2211()cos cos 2(2cos 1)222f x x x x x x ωωωωω=⋅-+=--12cos 2sin(2)226x x x πωωω=-=- 因为()f x 的对称轴离最近的对称中心的距离为4π所以T π=，所以22ππω=，所以1ω=，所以()sin(2)6f x x π=- 由222262k x k πππππ-+≤-≤+，得63k x k ππππ-+≤≤+所以函数()f x 单调增区间为[,]()63k k k Z ππππ-++∈（Ⅱ）因为(2)cos cos b a C c A -=⋅，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =，所以3C π= 所以203B π<<，4023B π<<，72666B πππ-<-<．根据正弦函数的图象可以看出，()f B 无最小值，有最大值max 1y =， 此时262B ππ-=，即3B π=，所以3A π=，所以ABC ∆为等边三角形【考点】1、三角函数的图象与性质；2二倍角；3、两角和与差的正弦；4、正弦定理． 18．某高中有高一新生500名，分成水平相同的两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试 （1）求该学校高一新生两类学生各多少人？（2）经过测试，得到以下三个数据图表：图1：75分以上两类参加测试学生成绩的茎叶图图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图下图表格：100名学生成绩分布表：①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图2）补充完整；②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率.【答案】（1）A类学生200人，B类学生有300人；（2）【解析】（1）由题意知A类学生有（人）则B类学生有500－200=300（人）.（2）①表一图二②79分以上的B 类学生共4人，记80分以上的三人分别是，79分的学生为.从中抽取2人，有（12）、（13）、（1a ）、（23）、（2a ）、（3a ）共6种抽法； 抽出2人均在80分以上有：（12）、（13）、（23）共3种抽法则抽到2人均在80分以上的概率为19．已知数列{}n a 的各项均为正数的等比数列，且12342,32a a a a ⋅=⋅= （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足3121 (113521)n n b b b b a n +++++=--（n ∈N ），求设数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ) 12n n a -=；(Ⅱ) ()2323nn T n =-+.【解析】试题分析：（1）根据等比数列的定义和性质先求出首项和公比（2）根据第二问已知条件可知：数列{}n b 满足3121 (113521)n n b b b b a n +++++=--，只需将原式退一项然后两式相减即可得1221n nb n -=-， ()1212n n b n -∴=-，（） ，然后检验首项是否成立从而确定通项公式()1212n n b n -=-，在根据通项特点可知为错位相减法求和.解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得 又∵10,0a q >>，解得11{ 2a q ==3分 ∴12n n a -=； （2）由题意可得12211321n n b b b n +++=--① ()11122121323n n b b bn n --+++=-≥-②相减得1221n nb n -=-， ()1212n n b n -∴=-，（） 当1n =时， 11b =，符合上式， ()1212n n b n -∴=-设()12113252212n n T n -=+⋅+⋅++-⋅则()()2312123252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减得： ()()2112222212n n n T n --=+++--⋅∴()2323nn T n =-+．点睛：考察对等比数列的通项的求法的理解及求和中所用的一些技巧：例如错位相减法，裂项相消法，分组求和法都是必须要掌握的方法20．在如图所示的几何体中，正方形ABEF 所在的平面与正三角形ABC 所在的平面互相垂直， //CD BE ，且2BE CD =， M 是ED 的中点．（1）求证： AD ∥平面BFM ；（2）求二面角E BM F --的余弦值．【答案】(1)见解析；(2). 【解析】试题分析：证明线面平则只需在平面内找一线与之平行即可，通常找中位线和建立平行四边形来证明，本题中可以容易发现连接AE 交BF 于点N ，连接MN ，可证MN 为中位线；（2）二面角的问题通常借助于空间坐标系来求解，本题中可建立如图的坐标系，然后求出各面的法向量，再根据向量的夹角公式即可得出结论解析：（1）连接AE 交BF 于点N ，连接MN ． 因为ABEF 是正方形，所以N 是AE 的中点，又M 是ED 的中点，所以MN ∥AD ．因为AD ⊄平面BFM ，MN ⊂平面BFM ，所以AD ∥平面BFM ．（2）因为ABEF 是正方形，所以BE ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC=AB ，所以BE ⊥平面ABC ，因为CD ∥BE ，所以取BC 的中点O ，连接OM ，则OM ⊥平面ABC ，因为△ABC 是正三角形，所以OA ⊥BC ， 所以以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：设CD=1，则B （0，1，0），E （0，1，2），D （0，﹣1，1），，．设平面BMF 的一个法向量为， 则，所以，令，则z=﹣6，y=﹣9，所以． 又因为是平面BME 的法向量， 所以．所以二面角E ﹣BM ﹣F 的余弦值为．21．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（2）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,,M N 求直线MN 的方程；（3）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点,P Q ，若P O Q ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．【答案】（1）AB =（2）340x y +-=;（3）22b -<<，且0b ≠.【解析】【试题分析】（1）依据题设先求圆的半径和方程，再运用弦心距、半弦长、半径之间的关系进行分析求解；（2）依据题设条件构造圆以GC 为直径的圆的方程，再运用两圆的相交弦所在直线即为所求；（3）依据题设条件借助题设条件“POQ ∠为钝角”建立不等式分析探求：（1）由题意得：圆心()0,0到直线1:0l x y --=的距离为圆的半径，22r ==，所以圆C 的标准方程为： 224x y +=所以圆心到直线2l 的距离1d ==∴ AB ==（2）因为点()1,3G ,所以OG ==GM ==所以以G 点为圆心，线段GM 长为半径的圆G 方程： ()()22136x y -+-= （1） 又圆C 方程为： 224x y += （2），由()()12-得直线MN 方程： 340x y +-= （3）设直线l 的方程为： y x b =-+联立224x y +=得： 222240x bx b -+-=， 设直线l 与圆的交点()()1122,,,P x y Q x y ， 由()()222840b b ∆=--->，得28b <， 212124,2b x x b x x -+=⋅= （3） 因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅<,即满足12120x x y y +<，且OP 与OQ 不是反向共线，又1122,y x b y x b =-+=-+，所以()21212121220x x y y x x b x x b +=-++< （4）由（3）（4）得24b <，满足0∆>，即22b -<<，当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意， 故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22b -<<，且0b ≠22．已知抛物线C ：的焦点为F ，直线与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且.（1）求C 的方程； （2）过F 的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线与C 相较于M ，N 两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.【答案】（1）；（2）直线的方程为或．【解析】试题分析：（1）由已知条件，先求点的坐标，再由及抛物线的焦半径公式列方程可求得的值，从而可得抛物线C的方程；（2）由已知条件可知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的点参式方程：，代入消元得．设由韦达定理及弦长公式表示的中点的坐标及长，同理可得的中点的坐标及的长．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，由此列方程可求得的值，进而可得直线的方程．试题解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．【考点】1．抛物线的几何性质；2．抛物线方程的求法；3．直线与抛物线的位置关系．。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x k k z ==+∈,则M N ⋂= A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7}2.已知命题p ：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q ：函数y=x 3+sinx 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是(A)p q (B) p q (C)(p) ( q) (D)p (q) 3. 若:1p x >，1:1q x<，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知等于（ ）A ．B ．C ．D ．(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于正（主）视图 侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 36.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，,m n αβ⊂⊂，则//m n3C ．若m n ⊥，,m n αβ⊂⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 7.设0,0a b >>，若2是22ab与的等比中项，则11a b+的最小值为 A.8 B.4 C.2 D.18.阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为A.B.0C.D. 9.设函数)32sin()(π+=x x f ，则下列结论正确的是（ ）①)(x f 的图像关于直线3π=x 对称；②)(x f 的图像关于点)0,4(π对称；③)(x f 的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像；④)(x f 最小正周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π上为增函数；A.①③B.②④C.①③④D.③10.已知等差数列{}n a 的前,,20151OB a OA a OC S n n +=若项和为且满足条件==2015,2S CB AC 则（ ）A.22016 B.2016 C.22015D.2015 11. 已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B|sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7 12．已知P 为抛物线x y 42=上的任意一点，记点P 到y 轴的距离为d ，对给定点A （3，4）， 则|PA|+d 的最小值为（ ）A ．52B ．152-C ．152+D ．252- 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13..已知O 是坐标原点，点A 的坐标为()2,1，若点(),B x y 为平面区域41x y x y x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩上的一个动点，则z OA OB =的最大值是____________.14.命题“存在实数,0x 使01)1(020≤-+-+m mx x m ”是假命题，则实数m 的取值范围为 ______________________。
辽宁省凌源二中2017-2018学年高二下学期期末考试理数试题(解析版)
凌源二高中2017-2018高二下期期末考试数学试题卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合，,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：B．【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.2.“”是“函数在区间内单调递减”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的单调性可得a的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【详解】函数f（x）=x2﹣2ax﹣2=（x﹣a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，2]内单调递减，∴2≤a．∴“a＞3”是“函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（﹣∞，2]内单调递减”的充分非必要条件．故选：A．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.3.下列说法中正确的是 （ ）A. “” 是“函数是奇函数” 的充要条件 B. 若，则 C. 若为假命题，则均为假命题D. “若，则” 的否命题是“若，则”【答案】D 【解析】【分析】利用充要条件判断A 的正误；命题的否定判断B 的正误；复合命题的真假判断C 的正误；否命题的关系判断D 的正误.【详解】对于A ，“f （0）=0”是“函数f （x ）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A 不正确；对于B ，若p ：∃x 0∈R ，x 02﹣x 0﹣1＞0，则￢p：∀x ∈R ，x 2﹣x﹣1≤0，∴B 不正确；对于C ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 一假即假命，∴C 不正确；对于D ，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，充要条件的判定，属于基础题． 4.4.函数的定义域为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数f （x ）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数，∴，解得，即x≤﹣1，∴f（x）的定义域为{x|x≤﹣1}．故选：C．【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．5.5.二项式的展开式中的系数为，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．【详解】二项式（ax+）6的展开式中通项公式：T r+1=（ax）r，令r=5，则T6=××a5x5．∵x5的系数为，∴×a5=，解得a=1．则x2dx=x2dx==．故选：A．【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加6.6.已知是周期为4的偶函数，当时，则（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可．【详解】f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时f（x）=，则f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=3．故选：D．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力．7.7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是A. B. 3C. D.【答案】C【解析】作出三棱锥P−ABC的直观图如图所示，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD.由三视图可知PA⊥平面ABC，BD=AD=1,CD=PA=2,∴.∴，.∴三棱锥P−ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大.故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8.8.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）100102108114116浓度（微克）7880848890根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（）参考公式：，；参考数据：，；A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【详解】由题意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故选：B．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.9.9.某联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法总数是．（）A. 72B. 120C. 144D. 168【答案】B【解析】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共种，第二类是歌舞类用三个隔开共种，所以N= +=120.种。
2017-2018学年辽宁省高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年辽宁省高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x＝±1}，B＝{（x，y）|y＝2x}，则A∩B＝（）A．{2，﹣2}B．C．{（1，2），（﹣1，﹣2）}D．2．（5分）若复数z1＝1+2i与复数z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1z2＝（）A．5B．﹣5C．3D．﹣33．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝的定义域为（）A．（0，3]B．[0，3）C．（1，3]D．[1，3）4．（5分）某学校举行数学竞赛，有5名学生获奖，其中1个一等奖，2个二等奖，2个三等奖，这5人站成一排合影留念，若一等奖获得者站在正中间，2个三等奖获得者分别站在排首与排尾，则不同的站法种数为（）A．4B．5C．8D．125．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤3）＝3P（X≤1），则P（X＞1）＝（）A．B．C．D．7．（5分）下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n+a n+1}是等比数列（大前提），②b n＝（﹣1）n是等比数列（小前提），③所以{b n+b n+1）是等比数列（结论），以上推理（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确8．（5分）7张卡片上分别写有数字1 2 3 4 5 6 7 从中随机取出2张，记事件A＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝+k1为奇函数，g（x）＝log a（1+a2x）+k2x（a＞0且a ≠1）为偶函数，则下列结论正确的是（）A．k1＝，k2＝1B．k1＝，k2＝﹣1C．k1＝﹣，k2＝1D．k1＝﹣，k2＝﹣110．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）上的减函数，且对任意x1，x2∈（﹣∞，0），恒有f（x1）f（x2）＝f（x1+x2），则不等式f（x﹣2）＞[f（x+）]2的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣）C．（﹣3，0）D．（﹣，0）11．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a有3个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2+的取值范围是（）A．（﹣2，﹣）B．（﹣，4﹣2]C．（﹣，4﹣2）D．（﹣2，4﹣2] 12．（5分）若ax﹣lnx+b≥0恒成立，则2a+b的最小值为（）A．0B．1C．﹣ln2D．ln2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣x满足f（x）≥f（），则正整数n的值为．14．（5分）直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝．15．（5分）观察下列等式：12+52+62＝22+32+72，22+62+72＝32+42+82，32+72+82＝42+52+92，…，根据规律，从8，9，10，11，12，13，14中选取6个数，构成的一个等式．16．（5分）已知三次函数f（x）在x＝0处取得极值0，在x＝1处取得极值1，若存在两个不同实数x1，x2∈（k，k+1），使得f（x1）+f（x2）＝0，则实数k的取值范围是．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知m（x﹣1）x4＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中m∈R，a5＝1．（Ⅰ）求m及a0+a1+a2+…+a5的值；（Ⅱ）求a2的值18．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，将y＝﹣x2+a（x≥﹣1）的图象向右平移1个单位得到f（x）在[0，+∞）上的图象．（Ⅰ）求f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）若a＜b＜0且f（x）在[a，b]上的值域为，求证：．19．（12分）前些年随着在线购物的普及，线下零售遭遇挑战，近几年中国整个在线购物市场的增长放缓，随着新零售模式的不断出现，零售行业出现增长趋势，如表为2014年～2017年中国百货零售业的销售额（单位：亿元，数据经过处理，1～4分别对应2014～2017）．（Ⅰ）建立y关于x的回归方程；（Ⅱ）新零售模式融合线上线下优势，利用物联网和互联网技术提升效率，提供高效的物流配送及一流的服务体验，吸引了不少顾客，但也有不少顾客对线下零售的持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对线下零售是否持续增长的看法，调查了55名男顾客，50名女顾客，其中对线下零售的持续增长表示乐观的男顾客有10人，女顾客20人，问是否有9%的把握认为“对线下零售持续增长表示乐观与性别有关”．参考公式：＝＝，＝﹣﹣，Χ2＝．20．（12分）某中学举行中学生安全知识竞赛，最终一个环节是甲、乙两名学生进行决赛，通过回答问题得分确定第一名与第二名．决赛规则如下：①比赛共设有5道题；②甲、乙分别从这5道题中随机抽取3道题作答；③抽取的每道题答对得1分不答或答错得零分，得分较多者获得第一名（若得分相同，并列第1名）．已知甲答对每道题的概率为，乙能答对其中的3道题，且甲、乙答题的结果相互独立．（Ⅰ）求甲得2分且甲获得第一名的概率；（Ⅱ）记甲所得分数为X，求X的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣a）（x﹣1）﹣alnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有2个不同的零点x1，x2（x1≤1＜x2），求证：f′（）＞0．[选修4-4,坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是直线l上一点，B（ρ2，α﹣）是曲线C上一点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x2﹣2mx﹣1|．（Ⅰ）若m＝，解不等式f（x）＞；（Ⅱ）若|x﹣2m|＜1，求证：f（x）＜2（|m|+1）．2017-2018学年辽宁省高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【解答】解：集合A＝{（x，y）|x＝±1}，B＝{（x，y）|y＝2x}，则A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2），（﹣1，）}．故选：D．2．【解答】解：∵复数z1＝1+2i与复数z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴z2＝﹣1+2i，则z1z2＝（1+2i）（﹣1+2i）＝﹣1+2i﹣2i﹣4＝﹣5．故选：B．3．【解答】解：由1﹣log2[x]≥0，得log2[x]≤1，即0＜[x]≤2．∴1≤x＜3．∴f（x）＝的定义域为[1，3）．故选：D．4．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，将一等奖获得者安排在正中间，有1种安排方法；②，将2个三等奖获得者分别站在排首与排尾，有A22＝2种安排方法；③，将2个二等奖获得者安排在剩下的2个位置，有A22＝2种安排方法；则有1×2×2＝4种不同的站法；故选：A．5．【解答】解：由题意：根据y＝e x＞0，x2＞0，（x≠0），则f（x）＝＞0，排除B，D，当x＜0时，x2＞e x，那么f（x）＝时单调递减函数．排除A．故选：C．6．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴图象关于x＝2对称，∵可得4P（X≤1）＝1，∴P（X≤1）＝P（X≥3）＝0.25，∴则P（X＞1）＝0.75故选：D．7．【解答】解：因为大前提是：若{a n}是等比数列，则{a n+a n+1}是等比数列，不正确，导致结论错误，所以错误的原因是大前提错误，故选：B．8．【解答】解：7张卡片上分别写有数字1 2 3 4 5 6 7 从中随机取出2张，基本事件总数n＝＝21，记事件A＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件A包含的基本事件个数：m1＝＝9，事件B＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，事件B包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），共9个，事件AB同时发生包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（2，4），共3个，∴P（A）＝＝P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝＝．故选：A．9．【解答】解：∵函数f（x）＝+k1为奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝k1＝k1＝0，即k1＝﹣，g（x）＝log a（1+a2x）+k2x（a＞0且a≠1）为偶函数，则g（﹣x）＝g（x），即log a（1+a﹣2x）﹣k2x＝log a（1+a2x）+k2x，即log a﹣k2x＝log a（1+a2x）+k2x，即log a（1+a2x）﹣2x﹣k2x＝log a（1+a2x）+k2x，则﹣2＝2k2，则k2＝﹣1，故选：D．10．【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x1）f（x2）＝f（x1+x2），则[f（x+）]2＝f（x+）×f（x+）＝f（2x+1），则f（x﹣2）＞[f（x+）]2⇔f（x﹣2）＞f（2x+1），又由f（x）是定义在（﹣∞，0）上的减函数，则有，解可得﹣3＜x＜﹣，即不等式的解集为（﹣3，﹣），故选：B．11．【解答】解：作出f（x）的图象，函数y＝f（x）﹣a有3个不同的零点，即为y＝f（x）的图象与y＝a有3个交点，可得x1+x2＝﹣2，3＜x3＜5，0＜a＜4，即有0＜＜，则﹣2＜x1+x2+＜﹣，故选：A．12．【解答】解：因为ax﹣lnx+b≥0恒成立，所以x＝2时，2a﹣ln2+b≥0即2a+b≥ln2，所以2a+b的最小值为ln2，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣x＝x2﹣nx，由于n≥2，可得f（x）的图象开口向上，有最小值．f（x）≥f（），即为f（x）的最小值为f（），即有﹣＝，解得n＝5．故答案为：5．14．【解答】解：当k＞0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1上方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为＝k，得k＝6；当k＜0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x ＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1下方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为，得k＝﹣6．故答案为：±6．15．【解答】解：由12+52+62＝22+32+72，22+62+72＝32+42+82，32+72+82＝42+52+92，可知1+5+6＝2+3+7，2+6+7＝3+4+8，3+7+8＝4+5+9，则8+12+13＝9+10+14，即82+122+132＝92+102+142，故答案为：82+122+132＝92+102+14216．【解答】解：设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d．f′（x）＝3ax2+2bx+c．∵f（x）在x＝0处取得极值0，在x＝1处取得极值1．∴⇒．∴f（x）＝﹣2x3+3x2．f′（x）＝﹣6x2+6x，可得三次函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）递减，在（0，1）递增，且，三次函数f（x）的图象如下：结合图象可得k＜k+1，∴实数k的取值范围是（，）故答案为：（，）．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）∵m（x﹣1）x4＝m（x﹣1）[1+（x﹣1）]4＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5，其中m∈R，5（x﹣1）∴a5＝m•＝1，∴m＝1．即（x﹣1）[1+（x﹣1）]4＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a5＝16．（Ⅱ）根据（x﹣1）[1+（x﹣1）]4＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，求得a2＝＝4．18．【解答】解：（Ⅰ）将y＝﹣x2+a（x≥﹣1）向右平移1个单位得：f（x）＝﹣（x﹣1）2+a，（x≥0），所以f（0）＝﹣1+a又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，所以﹣1+a＝0，解得a＝1∴x≥0时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x﹣1）2+1]＝（x+1）2﹣1，∴f（x）＝（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：x＜0时，f（x）＝（x+1）2﹣1，对称轴为x＝﹣1，作出图象如图∵a＜b＜0，∴分以下情况讨论：当a＜b＜﹣1时，值域为【f（b），f（a）】故f（b）＝（b+1）2﹣1＝f（a）＝（a+1）2﹣1＝两式相减消去a﹣b得a+b+2＝﹣当a＜﹣1＜b时，最小值为f（﹣1）＝﹣1≠不合题意当﹣1＜a＜b＜0时，，均小于f（﹣1）＝﹣1，不合题意综上可得：a+b+2＝﹣19．【解答】解：（Ⅰ）＝2.5，＝200，＝2355，＝30，∴＝71，＝200﹣71×2.5＝22.5，故y关于x的回归方程为：＝71x+22.5（Ⅱ）K2＝＝≈6.109＜6.635故没有9%的把握认为“对线下零售持续增长表示乐观与性别有关”．20．【解答】解：（I）甲得2分且甲获得第一名，则乙得一分或2分．∴甲得2分且甲获得第一名的概率＝××＝．（II）甲所得分数与答对题数相等．P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3．∴X的分布列为：∴E（X）＝＝2．21．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝（1﹣a）（x﹣1）﹣alnx，x＞0，当a＝1时，f（x）＝﹣lnx，函数f（x）在（0，+∞）为减函数当a≠1时，∴f′（x）＝（1﹣a）﹣＝＝（1﹣a）•，令f′（x）＝0，解得x＝，当≤0时，即a≤0或a＞1，当a＞1时，f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（0，+∞）为减函数，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，+∞）为增函数，当＞0时，即0＜a＜1时，由f′（x）＜0，解得0＜x＜，函数f（x）为减函数，由f′（x）＞0，解得x＞，函数f（x）为增函数，综上所述，当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（0，）为将函数，在（，+∞）为增函数，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）为增函数．（Ⅱ）：函数f（x）有2个不同的零点x1，x2（x1≤1＜x2），由（Ⅰ）可知0＜a＜1，∴（1﹣a）（x1﹣1）﹣alnx1＝0，（1﹣a）（x2﹣1）﹣alnx2＝0，两式相减得：即有（1﹣a）（x1﹣x2）＝a（lnx1﹣lnx2），即（x1﹣x2）＝a（ln+x1﹣x2），∴＝+1∵f′（x）＝（1﹣a）﹣＝1﹣a（1+），∴f′（x）＝﹣（1+），∴f′（）＝﹣（1+）＝+1﹣（1+）＝﹣，∴f′（）（x1﹣x2）＝ln﹣＝ln﹣，令＝t，则0＜t＜1，则g（t）＝lnt﹣，∴g′（t）＝＞0，∴g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＜g（1）＝0，∴f′（）（x1﹣x2）＜0，∵0＜a＜1，x1﹣x2＜0，∴f′（）＞0．[选修4-4,坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y﹣1＝，整理得：，转换为极坐标方程为．曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．整理得：ρ2＝2ρcosθ，转换为直角坐标方程x2+y2＝2x，即：x2+y2﹣2x＝0．（Ⅱ）由于A（ρ1，α）是直线l上一点，则：，B（ρ2，α﹣）是曲线C上一点，则：，＝（），＝，＝sin（2）≤1，故：的最大值为1．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）m＝时，f（x）＝|x2﹣x﹣1|，当x＜0时，f（x）＞＝﹣1恒成立；当x＞0时，f（x）＞⇔f（x）＞1⇔或；解得x＞2或0＜x＜1；∴m＝时不等式f（x）＞的解集为{x|0＜x＜1或x＞2}；（Ⅱ）证明：∵|x﹣2m|＜1，∴f（x）＝|x2﹣2mx﹣1|≤|x2﹣2mx|+1＝|x|•|x﹣2m|+1＜|x|+1＝|x﹣2m+2m|+1≤|x﹣2m|+|2m|+1＜2|m|+2＝2（|m|+1），即f（x）＜2（|x|+1）．。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
2017-2018学年辽宁省重点高中协作校高二下学期期末考试数学(理)试题word版含答案
2017-2018学年辽宁省重点高中协作校高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．已知全集U R =，集合(){}2|log 2 A x y x x ==-+， {}|1B y y ==，那么()U A C B ⋂=( )A. {}|0 1 x x <<B. {}|0 x x <C. {}| 2 x x >D. {}|1 2 x x << 【答案】A【解析】因为{}{}{}2|2 0|0 2 | 1 A x x x x x B y y =-+>=<<=≥，，所以(){}| 1 U C B y y =<，(){}|0 1 U A C B x x ⋂=<<，应选答案A 。
2．复数221i i-- (i 为虚数单位)的共轭复数的虚部等于( ) A. 1- B. 1i - C. i D. 1【答案】D 【解析】因为()2122212112i i i i i i i +-=-=+-=--，所以复数221i i -- (i 为虚数单位)的共轭复数1i +，则其虚部等于1，应选答案D 。
3．若()1216nx dx -=⎰，则二项式()12nx -的展开式各项系数和为( )A. 1-B. 62 C. 1 D. 2n【答案】A 【解析】由()1216nx dx -=⎰可得2603n n n --=⇒=，故令1x =可得二项式()12nx -的展开式各项系数和为()3121-=-，应填选答案A 。
4．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =， 15p =，则方差()D X 等于( ) A.35 B. 45 C. 125D. 2 【答案】C【解析】由于二项分布的数学期望()3E X np ==,所以二项分布的方差()()()121315D X np p p =-=-=，应填选答案C 。
5．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为( ) A.956B. 928C. 914D. 59【答案】B【解析】先考虑五个数的中间是4，再考虑两边分别从数字1，2，3和5，6，7，8取两个数字，有22343618m C C ==⨯=种可能，而从八个数字中取出3个的可能有3856n C ==，故由古典概型的计算公式可得其概率为1895628m P n ===，应选答案B 。
辽宁省凌源市2017-2018学年高二11月月考理数试卷含解析
凌源市2017—2018学年上学期高二年级11月份月考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则中元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】B...............2. 命题：“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】全称命题“”的否定为特称命题“”，故选C。
3. 在区间内任取一个数，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题为几何概型，，故选C。
4. 已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A。
5. 直线截圆所得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆心，半径，则，则弦长为，故选D。
6. 已知命题“且”为真命题，则下面是假命题的是（）A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】命题“且”为真，则真真，则为假，故选D。
7. 若函数的图象上所有点向左平移个单位，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，图象左移后得到函数，故选A。
8. 已知向量，则向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，得，解得，故选C。
点睛：本题考察向量数量积的公式。
由公式可知，平面向量中涉及到模长就对向量进行平方。
所以本题中对进行平方解得，又向量夹角，解得。
9. 长方体的8个顶点都在球的球面上，且，球的表面积为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则，所以，得，故选B。
点睛：球的内切和外界问题是立方体中较难的知识点。
本题中长方体的体对角线即其外接球的直径。
本题先由球的表面积求出该球的半径，得到直径，再由体对角线的特征，得到，即可解得。
10. 某空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴几何体的体积.故选：C.11. 阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故选C.12. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，，则，且所以，所以当时，取最大值；当时，取最大值，所以取值范围为，故选C。
辽宁省凌源二中2017_2018学年高二数学下学期期中试题理 精品
2017-2018高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足z (1)i ⋅-=2，则z 2的虚部是 （ ）A ．-2B ．-2iC ．2iD ．2 2．设数列}{n a 是等比数列，且0n a >，n S 为其前n 项和．已知2416a a =，4581258a a a a a a ++=++，则5S 等于 （ ） A ．40 B ．20 C ．31 D ．43 3．两个相关变量满足如下关系：该数据是 （ ）A ．37B ．38．5C ．39D ．40．5 4.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 （ ） A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个5．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 （ ） A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．4x π=6．一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为l 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（ ）A BC D7．已知双曲线2222:1x y C a b-= (a >0，b >0)的焦距为21144y x =+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C 的方程为 （ ）A ．22182x y -=B ．22128x y -=C ．2214y x -= D ．2214x y -=8. 已知函数()f x 是定义在R 上的函数，若函数(2016)f x +为偶函数，且()f x 对任意12,[2016,)x x ∈+∞ (12x x ≠)，都有2121()()0f x f x x x -<-，则( )A ．(2019)(2014)(2017)f f f <<B ．(2017)(2014)(2019)f f f <<C ．(2014)(2017)(2019)f f f <<D ．(2019)(2017)(2014)f f f << 9. 某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（）种 A 105 B 510 C 50 D 510A10.已知20sin 12cos d 2x a x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，若三棱锥P ABC -的最长的棱PA a =，且PB BA ⊥，PC AC ⊥，则此三棱锥的外接球的体积为 （ ）A.163πB. 43πC. πD.3π11.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A.12125 B.16125 C.48125 D.9612512. 已知函数()sin 1(0)2f x x x π=-<，()log (0,1)a g x x a a =>≠且.若它们的图象上存在关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．⎫⎪⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2017-2018学年辽宁省高二下学期期末考试数学(理)试题-解析版
绝密★启用前辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：先化简复数，再由模的公式计算．详解：，∴．点睛：本题考查复数的模，解题时把复数化为最简形式后可求解，．2．已知随机变量服从正态分布，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：由正态分布曲线的对称性求解．详解：，∴.故选A．点睛：本题考查正态分布，利用正态曲线的对称性可求解概率．即，则，．3．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出,代入回归方程计算，利用平均数公式可得出的值.详解：,,,解得，故选D.点睛：本题主要考查平均数公式的应用，线性回归方程经过样本中心的性质，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于基础题.4．将本不同的书全部分给甲乙丙三若，每人至少一本，则不同的分法总数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：分两种情况：一人得本，另两个人各得本；一人得本，另两个人各得本，分别求出不同的分法即可得结果.详解：分两种情况：一人得本，另两个人各得本，有种分法，一人得本，另两个人各得本，有种分法，共有种分法，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：写出时的不等式，然后与的式子比较可得．详解：时，不等式为，左边增加的式子为．故选B．点睛：本题考查数学归纳法，数学归纳法中最关键是就是从到时式子的变化，不掌握这个变化，就不能证明结论或者证明不符合数学归纳法思想．6．若的二项展开式各项系数和为，为虚数单位，则复数的运算结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用赋值法求得，再按复数的乘方法则计算．详解：令，得，，∴．故选C．点睛：在二项式的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为，二项式系数和为，两者不能混淆．7．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：求出导函数，导函数在上大于等于0恒成立．详解：，由题意恒成立，∴，．故选C．点睛：函数在上是单调函数，则只能为单调增函数或单调减函数，因此有导数（或）恒成立，从而可求解．8．已知均为正实数，则下列三个数，，（）A. 都大于B. 至少有一个不大于C. 都小于D. 至少有一个不小于【答案】D【解析】分析：利用基本不等式可证明，假设三个数都小于，则不可能，从而可得结果.详解：，假设三个数都小于，则，所以假设不成立，所以至少有一个不小于，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题.反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9．甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立。
2018年凌源市教育局高三“抽考”数学(理)试题及答案解析
2
6
11.如图，过抛物线 y 2 px p 0 焦点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，交其准线 l 于点
2
C ，若 BC 2 BF ，且 AF 3 ，则此抛物线方程为（
）
3
2018 年凌源市教育局高三“抽考”数学（理）试题及答案解析
A． y 9 x
2
B． y 6 x
2
C. y 3x
2
2
D． y 2
3x
12.已知函数 f x x 2 3 e x ，设关于 x 的方程 f 同的实数解，则 n 的所有可能的值为（ A． 3 B． 1或 3 ） C. 4 或 6
x mf x
12 0 m R 有 n 个不 e2
2018 年凌源市教育局高三“抽考”数学（理）试题及答案解析
凌源市教育局高三“抽考” 数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1， 0， 1， 2 ， B x x 1 x 3 0 ，则 A B （ 1.已知集合 A 2， 1, 0 A． 2，
a cos B b cos A 2c cos C 0 .
（1）求角 C 的大小；
4
2018 年凌源市教育局高三“抽考”数学（理）试题及答案解析
（2）当 c 2 时，求 S△ ABC 的最大值.
18. 某调查机构随机调查了 20 岁到 70 岁之间的 600 位网上购物者的年龄分布情况，并将所 得数据按照 20,30 ， 30, 40 ， 40,50 ， 50,60 ， 60, 70 分成 5 组，绘制成频率分布直 方图（如图）. （1）求频率分布直方图中实数 m 的值及这 600 位网上购物者中年龄在 40,60 内的人数；
辽宁省六校协作体2017-2018学年高二下学期期初考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年度下学期省六校协作体高二期初考试高二数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A={x|x2+5x+4＜0}，集合B={x|x＜﹣2}，则A∩（∁R B）等于（）A. （﹣2，﹣1）B. [﹣2，4）C. [﹣2，﹣1）D.【答案】C【解析】由题得，∁R B=故A∩（∁R B）=[﹣2，﹣1）2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】B【解析】先化为标准方程：故焦点坐标为3. 已知向量，，，若与共线，则的值为（）A. 4B. 8C. 0D. 2【答案】A学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...4. 已知平面α∩平面β=m，直线l⊂α，则“l⊥m”是“l⊥β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据题意可知l⊥m只有一条线垂直故缺乏条件得出l⊥β，而l⊥β则垂直面内所有的线，因为，所以l⊥m故“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件5. 已知函数的图象经过定点，若幂函数的图象过点，则的值等于A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题得函数过点M（4,2），又幂函数的图象过点，故的值等于6. 几何体的三视图如图，则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】C【解析】根据该三视图可知，该几何体由一个半球和一个半圆柱组合而成，故体积为：7. 设数列的前项和,A. 124B. 120C. 128D. 121【答案】D【解析】当时，，当时，，不符合，则，，选D.【点睛】已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题求和要注意首项不满足，数列从第二项开始成等差数列，从第二项以后利用等差数列前n项和公式求和，而第一项要要单独相加.8. 双曲线离心率为，左右焦点分别为为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于的对称点为,，则双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可得：是线段的中垂线，则,则a=1，由离心率为，得c=，故，所以选C9. 已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，得，而=，由，，，故代入得原式=点睛：此题关键是要将问题简化，根据二倍角公式和和差公式将其同一角度化简，然后根据三角函数的计算关系及所给角度范围确定的值即可得出答案.10. 在中，，边上的高等于,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.视频11. 已知在矩形中，，在其中任取一点，满足的概率为（）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】依题意可得，点在以为直径的圆内，如图所以点出现的概率为，故选A12. 设椭圆与直线相交于，两点，若在椭圆上存在点，使得直线，斜率之积为，则椭圆离心率为（）A. B. C. D.【答案】B点睛：本题根据题意要注意直线，故M,N两点具有对称性，然后射出坐标表示出MP,NP的斜率求出，从而得出结论二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.【答案】【解析】由图可知：A=1,,将点代入f(x)得，将的图象向右平移个单位后得14. 已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.【答案】16【解析】由题可得：，故15. 已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】如图：AD=2,AB=1,,满足勾股定理，所以,因为，，所以,故,所以CD是三棱锥的外接球的直径，因为AD=2,AC=,所以CD=,所以三棱锥的外接球表面积为16. 函数，且，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题得：，如图表示的可行域：则可得，又b=1,a=0成立，此时，可得点睛：此题解题关键在于要能将其转化为线性规划的问题来理解，然后将目标函数变形整理为所熟悉的表达形式，从而轻松求解.三解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数（其中），若的一条对称轴离最近的对称中心的距离为（I）求的单调递增区间；（II）在中角A、B、C的对边分别是满足恰是的最大值，试判断的形状.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 为等边三角形.【解析】试题分析：（Ⅰ）先用倍角与两角和与差的正弦公式化简函数表达式，然后根据对称轴离最近的对称中心的距离为求得，从而求得，进而由正弦函数的图象与性质求得单调增区间；（Ⅱ）先用正弦定理将条件等式中的边化为角，求得角，从而得到角的范围，然后根据正弦函数的图象求得的最大值，从而求得角，进而判断出三角形的形状．试题分析：因为（Ⅰ）因为的对称轴离最近的对称中心的距离为所以，所以，所以，所以由，得所以函数单调增区间为（Ⅱ）因为，由正弦定理，得，即，因为，所以，所以所以，，．根据正弦函数的图象可以看出，无最小值，有最大值，此时，即，所以，所以为等边三角形考点：1、三角函数的图象与性质；2二倍角；3、两角和与差的正弦；4、正弦定理．18. 某高中有高一新生500名，分成水平相同的两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试（1）求该学校高一新生两类学生各多少人？（2）经过测试，得到以下三个数据图表：图1：75分以上两类参加测试学生成绩的茎叶图图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图下图表格：100名学生成绩分布表：①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图2）补充完整；②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率.【答案】(Ⅰ) 300（人）；(Ⅱ)①见解析；②.【解析】（1）由题意知A类学生有（人）则B类学生有500－200=300（人）.（2）①表一图二②79分以上的B类学生共4人，记80分以上的三人分别是，79分的学生为.从中抽取2人，有（12）、（13）、（1a）、（23）、（2a）、（3a）共6种抽法；抽出2人均在80分以上有：（12）、（13）、（23）共3种抽法则抽到2人均在80分以上的概率为19. 已知数列的各项均为正数的等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足（n∈N*），求设数列的前项和.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）根据等比数列的定义和性质先求出首项和公比（2）根据第二问已知条件可知：数列满足，只需将原式退一项然后两式相减即可得，，（），然后检验首项是否成立从而确定通项公式，在根据通项特点可知为错位相减法求和.解析：（1）设等比数列的公比为，由已知得又∵，解得3分∴；（2）由题意可得①②相减得，，（）当时，，符合上式，设则，两式相减得：∴．点睛：考察对等比数列的通项的求法的理解及求和中所用的一些技巧：例如错位相减法，裂项相消法，分组求和法都是必须要掌握的方法20. 在如图所示的几何体中，正方形所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直，，且，是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析；(2).【解析】试题分析：证明线面平则只需在平面内找一线与之平行即可，通常找中位线和建立平行四边形来证明，本题中可以容易发现连接AE交BF于点N，连接MN，可证MN为中位线；（2）二面角的问题通常借助于空间坐标系来求解，本题中可建立如图的坐标系，然后求出各面的法向量，再根据向量的夹角公式即可得出结论解析：（1）连接AE交BF于点N，连接MN．因为ABEF是正方形，所以N是AE的中点，又M是ED的中点，所以MN∥AD．因为AD⊄平面BFM，MN平面BFM，所以AD∥平面BFM．（2）因为ABEF是正方形，所以BE⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，所以BE⊥平面ABC，因为CD∥BE，所以取BC的中点O，连接OM，则OM⊥平面ABC，因为△ABC是正三角形，所以OA⊥BC，所以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：设CD=1，则B（0，1，0），E（0，1，2），D（0，﹣1，1），，．设平面BMF的一个法向量为，则，所以，令，则z=﹣6，y=﹣9，所以．又因为是平面BME的法向量，所以．所以二面角E﹣BM﹣F的余弦值为．21. 已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切.（1）求直线被圆C所截得的弦AB的长；（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，求直线的方程；（3）若与直线垂直的直线不过点，且与圆C交于不同的两点.若为钝角，求直线的纵截距的取值范围．【答案】(1)；（2）；（3），且.【解析】【试题分析】（1）依据题设先求圆的半径和方程，再运用弦心距、半弦长、半径之间的关系进行分析求解；（2）依据题设条件构造圆以的方程，再运用两圆的相交弦所在直线即为所求；（3）依据题设条件借助题设条件“为钝角”建立不等式分析探求：（1）由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，，所以圆的标准方程为：所以圆心到直线的距离（2）因为点,所以,所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程：（1）又圆方程为：（2），由得直线方程：（3）设直线的方程为：联立得：，设直线与圆的交点，由，得，（3）因为为钝角，所以,即满足，且与不是反向共线，又，所以（4）由（3）（4）得，满足，即，当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，故直线在轴上的截距的取值范围是，且22. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且. （1）求C的方程；（2）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N 四点在同一圆上，求的方程.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：（1）由已知条件，先求点的坐标，再由及抛物线的焦半径公式列方程可求得的值，从而可得抛物线C的方程；（2）由已知条件可知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的点参式方程：，代入消元得．设由韦达定理及弦长公式表示的中点的坐标及长，同理可得的中点的坐标及的长．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，由此列方程可求得的值，进而可得直线的方程．试题解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．考点：1．抛物线的几何性质；2．抛物线方程的求法；3．直线与抛物线的位置关系．。
2017-2018学年高二下学期期末统考数学(理)试题含答案
2018— 2018学年度高二级第二学期期末试题（卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第I 卷（选择题共60分）、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1 已知全集 U=R ，集合 M={x|0 < x<5} N={x|x > 2}则（C J N^M = A . {x| 0 w x<2}B . {x| 0<x 2^C . {x|0 <x <2}D . {x| 0 < x < 2}a +2i2.已知 =b+ i(a , b € R)，其中i 为虚数单位，则 a+b=iA .3B. 2C . 1D . -13.在直角坐标系中，坐标原点到直线 I : 3x + 4y-10 = 0的距离是A .10B . 4C . 3D . 24.已知向量 a = (2 ：,1), b = (x , —2), 若a // b ,则 a + b 等于A . (—2, —1)B . (2,1) C. (3, — 1) D .(— 3,1)5•若等比数 列 {O n }的各 项均为正数，且a 8d3 • 09^2 =26,则I 02 g 1I 0+ al 2 oA. 120B. 100C .50D. 606.某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态 分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是A.丙学科总体的均值最小 E.甲学科总体的方差最小C.乙学科总体的方差及均值都居中D.甲、乙、丙的总体的均值不相同7、某饮料店的日销售收入 y （单位：百元）与当天平均气温 x （单位：°C ）之间有下列数 据：x -2 -1 0 1 2 y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究，分别得到了 与之间的四个线性回归方程，其中正确的是13.函数 f(X )二 2一2*1,|_log 2(x —1),x ：＞1,14、如图，用5种不同颜色给图中的 A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定 一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案种.15 .某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段： [40,50),AA . y = -x 2.8 A C . y = -1.2x 2.6Ay =2x 2.78、若随机变量X ~ B 61，则 P(X =3)等于 I 2丿7A .B —C . 5D .16 89、已知随机变量〜N(3,22),若上=2・3,则D 二10.设a 为函数y =sin x • 3cosx(x • R)的最大值，则二项式(a (x))6的展开式中实数)，类比以上等式，可推测 a , t 的值，则t - a = A . 31B . 41C . 55D . 71D . - 18212.已知实数X , y 满足xy _x 232，其中a = [ (x 2 —1)dx ，则实数y 玄ax -1—的最小值为注意事项:第u 卷(非选择题共 90 分)本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上 .答在试卷上的答案无效 二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共 20分.则 f_f;=x 2项的系数是(a , t 均为00250.015 0.O1D［50,60),…，［90,100］后得到频率分布直方图(如图所示) .贝U 分数在［70,80)内的人数是 _________ 。