荆州市2018届高三年级质量检查(Ⅲ)数学(理工农医类)

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湖北省荆州市自强中学2018年高三数学理测试题

湖北省荆州市自强中学2018年高三数学理测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 执行右边的程序框图，如果输入的N是6,那么输出的p是（）．A.120B.720C.1440D.5040参考答案：B3. 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )A.只有一条，不在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C .只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内参考答案：C4. 已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（）A．B． 7 C． 6 D．参考答案：A略5. 设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（）A．B． C. D．参考答案：B由题意得．∵，∴．又，∴．∴．选B．6. 设，，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：A7. 已知，且，则（）A．B． C. D．参考答案：D依题意，，令，则原式化为，解得（舍去）；故，则，即，即，即，解得，则，故选D.8. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（）参考答案：B9.已知实数满足不等式组,且的最小值为,则实常数的取值范围是( ).A.B. C.D.参考答案：答案：B10. 《九章算术》中记载了一种标准量器﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（）立方寸．（π≈3.14）A．12.656 B．13.667 C．11.414 D．14.354参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边是圆柱，底面半径为0.5寸，母线长为1.6寸，右边为长方体，3.8寸，3寸，1寸．然后由长方体与圆柱的体积得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左边是圆柱，底面半径为0.5寸，母线长为1.6寸，右边为长方体，3.8寸，3寸，1寸．则其体积V=3.14×（0.5）2×1.6+3.8×3×1=12.656．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是＿＿＿．参考答案：12. 在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．参考答案：120由于圆周上的任意三点不共线，所以任取3点方法数为，填120.13. 已知则= .参考答案：14. 点A，B是抛物线上的两点，F是拋物线C的焦点，若，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为．参考答案：设，，则，，∴，当且仅当时取等号．15. 如图，设，且．当时，定义平面坐标系为–仿射坐标系，在–仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的序号有．①设，则；②、，若，则；③、，若的夹角为，则；④、，若，则．参考答案：②、③试题分析：对于①，，，①错误；对于②，由，故②正确；对于③，，的夹角为，根据夹角公式得故即则；③正确对于④，∴④错误；所以正确的是②、③．考点：命题真假的判断及应用和向量坐标运算.16. 若向量，满足，，且，则与的夹角为.参考答案：17. 一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A专业不能作为第一、第二志愿，则他共有______种不同的填法（用数字作答）．参考答案：5040【分析】分2步进行分析：①从除之外的7个专业中任选2个，作为第一、第二志愿，②在剩下的6个专业中任选3个，作为第三、四、五志愿，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步选专业：①专业不能作为第一、第二志愿有种选法，②第三、四、五志愿，有种选法，则这名同学共有种不同的填报方法，故答案为：5040【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖北省荆州2018届高三全真模拟考试数学理科试题(一)(精品解析) (2)

荆州2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（模拟一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知集合},421|{},034|{2N x x B x x x A x ∈≤<=<+-=，则AB =（A ）∅（B ）(]1,2（C ）{}2（D ）{}1,2(2) 欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。

根据欧拉公式可知，i e π32018表示的复数位于复平面中的（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限(3) 要得到函数()sin 2f x x =的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象（A ）向左平移12个周期（B ）向右平移12个周期（C ）向左平移14个周期（D ）向右平移14个周期 (4) 某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是75.0，连续两天为优良的概率是6.0，已知某天的空气质量为优良，则随后一天空气质量为优良的概率是（A ）8.0 （B ）75.0 （C ）6.0 （D ）45.0(5) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 (6) 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，下列结论一定成立的是（A ）若05>a ，则02017<a（B ）若06>a ，则02018<a （C ）若05>a ，则02017>S（D ）若06>a ，则02018>S(7) 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生)1,0(内的任何一个实数），若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值（A ）126 （B ） 3.132 （C ）3.151 （D ） 3.162(8) 函数2(1)cos π()=||x xf x x -的部分图像为（A（B ）（C（D ）(9) 已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上，2==BC AB ，22=AC ，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为（A ）8π（B ） 9π （C ）25π3 （D ） 9121π(10) 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若AQ =E 的离心率是（A ）3（B （C ）32（D (11) 向量≠，1||=，对R t ∈∀，||||t -≤+，则（A ）⊥（B ）)(+⊥ （C ）)(+⊥（D ）)()(+⊥-(12) 函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f 有三个零点，则实数a 的取值范围是（A ）)2,0(（B ）),2(e（C ）),(+∞e（D ）),2(+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

湖北剩州市2018届高三数学第一次质量检查试题理201801080133

荆州市2018届高三年级第一次质量检查数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确．x1．已知集合A {x|0x R}，B＝{y|y＝3x2+1，x∈R}，则A∩B＝，x 1A．∅B．(1，+∞)C．[1，+∞)D．(-∞，0)∪(1，+∞)2．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是A．y＝e x B．y＝tan x C．y＝x3-xD．yln22xx3πsin()3．已知角α的终边经过点P(-5，-12)，则的值等于2512512A．B．C．D．131313134．在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5＝3，a8＝8，则a12的值是A．15 B．30 C．31 D．645．若a，b，c为实数，下列结论正确的是A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则b aa b11C．若a＜b＜0，则D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2a b6．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{b n}的连续三项，则b b34b b45的值为1A．B．4 C．2 D．223cos A 7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a 22，，sin B＝42sin C，则△ABC的面积是7168A．7B．C．D．455ln|x|18．函数f(x)的图象大致为ex- 1 -x y 2 0y 29．已知 x 、y 满足约束条件，如果目标函数的取值范围为[0，2)，x a2x y 4 0则实数 a 的取值范围是A ．a ≥1B ．a ≤2C ．a ＜2D ．a ＜1 10．已知函数 ( ) cos 23sin1 ( 0 ) ，若函数 f (x )在区间(π，2π)f xx，x Rx222 内没有零点，则 ω 的取值范围是5555 11A ． (0 ]B ．C ．D ．， ( 0，) (0， ][ ， ] 12 612 6 1255 11 (0， ] ( ， ] 126 1211．定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (x -3)＝f (-x -3)，且当 x ≤-3时，f (x )＝ln(-x )．若对任意 x ∈R ，不等式 f (sin x -t )＞f (3sin x -1)恒成立，则实数 t 的取值范围是A ．t ＜-3或 t ＞9B ．t ＜-1或 t ＞9C ． -3＜t ＜9D ．t ＜1或 t ＞912．设函数 f (x )＝e x +1-ma ，g (x )＝ae x -x （m ，a 为实数），若存在实数 a ，使得 f (x )≤g (x ) 对任意 x ∈R 恒成立，则实数 m 的取值范围是，[ 1 ，0) [ 1， ) [ 1 0) 1 A ．[ ) B ． C ． D ．，2e 2e e e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13题~第 21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22题~第 23题为选考题，考生根据要求做答。

湖北省荆州市2018届高三质量检查(III)数学文试题(解析版)

荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）数学（文史类）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，∴，∴．选C．2. 若复数是纯虚数，其中是实数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∴复数是纯虚数，∴，解得，∴，∴．选B．3. 下列命题正确的是（）A. 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；B. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；C. “”是“”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.【答案】B【解析】选项A中，若“”为假命题，则命题与命题中至少有一个是假命题，故A不正确．选项B中，由于“若，则”为真命题，故其逆否命题为真命题，所以B正确．选项C中，“”是“”成立的充分不必要条件，故C不正确．选项D中，所给命题的否定为：“对任意，均有”，故D正确．故选B．4. 已知数列满足，且，则（）A. -3B. 3C.D.【答案】A【解析】由题意知，即数列为公差为的等差数列，又，所以所以故选A.5. 《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设正方形的边长为，则正方形的面积为，其内切圆的半径为，所以内切圆的面积为，则圆内接三角形的边长为，所以内接三角形的面积为，所以此点取自阴影部分的概率为，故选A.6. 把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A. 图象关于直线对称B. 在上单调递减C. 图象关于点对称D. 在上单调递增【答案】D【解析】由题意其图象向右平移个单位后得到函数，当时，则，此时函数单调递增，故选D.7. 实数，满足约束条件，则的最大值是（）A. 0B. -2C. 2D. 4【答案】D【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，由图象可知，当直线经过点时，使得目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选D.8. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除B、C；又由，排除D，故选A.9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】第一次循环：，不满足；第二次循环：，不满足；第三次循环：，不满足；第一次循环：，不满足；；第十五次循环：，满足；。

荆州市2018届高三年级第一次质量检查理科数学(含答案)

荆州市2018届高三年级第一次质量检查理科数学(含答案)荆州市2018届高三年级第一次质量检查数学（理工农医类）参考答案一、选择题：BDCADACDCBC二、填空题：13.e^(-1/4.5+26) = 15..[2,+∞)三、解答题：17.解：f(x) = 2/3sinx*cosx + 2/3*sin^2x = 2/3*sin(2x-π/6)+11) 由f(x) = 2/3*sinx*cosx + 2/3*sin^2x = 2/3*sin(2x-π/6)+1，即2/3*sin(2x-π/6)+1 = 0，故sin(2x-π/6) = -1/2.又因为x∈(-π,π)，所以x = -5π/12或x = -π/12.2) 由题知g(x) = 2/3*cosx+1，所以h(x) = g(π/2-x) =2/3*sinx+1.因为x∈[0,π/2]，所以sinx∈[0,1]，故h(x)的值域为[1,3]。

18.解：1) 当n=1时，an+1=2an，所以a1+1=2a1=2，因此a1=1.设Sn+n=2an，n∈N*，则n≥2时，Sn-1+n-1=2an-1，两式相减得an+1=2an-2an-1，即an=2an-1+1.所以，数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=2n，所以an=2n-1，n∈N*。

2) bn=n(an+n)=n(n+1)2n-1，所以Tn=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n=n(n+1)2n+1.由于n≥2，所以(n-1)/n×2>n/(n+1)×2，所以Tn-2>1009，Tn-1≤1009.所以，Tn-2>2018，Tn-1≤2018，所以n≥11.因此，满足不等式Tn-2>2018的n的最小值为11.19.解：1) OA=OB,CA=CB，所以O、C两点在线段AB的垂直平分线上，因此∠BCO=∠ACO=1/2∠BCA=30°。

湖北省荆州市高三质量检查数学（理）试题（III）含答案

荆州市高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理工农医类）第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集U R =，集合{|13}A x x =<<，{|230}B x x =-≥，则()U A C B =（）A ．3(,)2-∞B ．(1,)+∞C ．3(1,)2D ．3[,3)22.若复数21(1)z m m i =-++是纯虚数，其中m 是实数，则2z=（） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 3.下列命题正确的是（）A ．命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；C ．“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D ．命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”.4.已知随机变量(1,1)N ξ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）注：()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=.A ．6038B ．6587C ．7028D ．7539 5.已知数列{}n a 满足15255n n a a +=⋅，且2469a a a ++=，则()15793log a a a ++=（）A ．-3B ．3C ．13- D ．136.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（） A ．16 B ．13 C ．12D ．1 7.偶函数()f x 和奇函数()g x 的图象如图所示，若关于x 的方程()()1f g x =，()()2g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（）A ．16B ．14C ．12D ．10 8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．14B ．15C ．16D ．179.已知()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，若0170a a a ++⋅⋅⋅+=，则3a =（） A ．-5 B ．-20 C ．15 D ．3510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A ．842+B ．124223+C ．64223+D ．1211.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（） A ．3535+ C ．15+ D 15+ 12.已知函数()2ln xf x e x x =++与函数()22xg x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],e -∞-B ．1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．(],1-∞- D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上. 13.平面向量(2,)a λ=，(3,1)b =-，若向量a 与b 共线，则a b ⋅= ．14.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为．15.已知x ，y 满足不等式组2030230y x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若不等式7ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是．16.设数列{}n a 满足012a =，()210,1,22018n n n a a a n +=+=⋅⋅⋅，若使得11k k a a +<<，则正整数k = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知向量()2sin 2,2cos 2a x x =，()cos ,sin ()2b πθθθ=<，若()f x a b =⋅，且函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2f A =，且5b =，23c =，求ABC ∆外接圆的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 19.手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示： ()0,2500[)2500,5000 [)5000,7500 [)7500,10000 [)10000,+∞步数性别男 0 2 4 7 2 女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.01 0k2.7063.8415.0246.63520.已知倾斜角为4的直线经过抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点F ，与抛物线Γ相交于A 、B 两点，且8AB =.（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(12,8)P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N .如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点. 21.已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若21,a e ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦，求证：()12ax f x ax xe -≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心为22,4π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22以极点为原点，极轴方向为x 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为131x t ay t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数，a R ∈且0a ≠）.（Ⅰ）写出圆C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求AB 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设不等式112x x +--<的解集为A . （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若m A ∀∈，不等式2210mx x m -+-<恒成立，求实数x 的取值范围.荆州市高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC 二、填空题13. 203- 14.221248x y += 15. [4,3]- 16. 2018 三、解答题17.解：（Ⅰ）()2sin 2cos f x a b x θ=⋅=22sin 2)x x θθ+=+，∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，∴262k ππθπ⨯+=+，k Z ∈，∴6k πθπ=+，k Z ∈，又2πθ<，∴6πθ=.∴()2)6f x x π=+. ∵函数sin y x =的单调递减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，∴2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦. ∴()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （Ⅱ）∵()2)26f A A π=+=，∴sin(2)16A π+=.∵(0,)A π∈，∴132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴262A ππ+=，∴6A π=. 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2512252376π=+-⨯⨯=，∴7a =由正弦定理得72sin 2a R A==，∴7R =，∴7S π=.18.（Ⅰ）证明：法1：连接1AB 、1AC ，显然A 、Q 、1B 三点共线.∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ；在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥，又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥， ∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ，∴1AC ⊥平面1A BC ，而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC . 法2：（用向量法同等给分）.（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，连接1A P 、1B Q ，设(,,)Q x y z ，∵1BQ BA λ=，∴(,2,)(2,2,2)x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴(2,22,2)Q λλλ-. 当点Q 在线段1A B 上运动时，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1A PB 的法向量，设平面1A PB 的法向量为1(,,)n x y z =，由11100n BP n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令2y =得1(1,2,1)n =，设平面1B PQ 的法向量为2(,,)n x y z =，由212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0(1)0y x z λλ=⎧⎨+-=⎩，令1z =得211(,0,1)(1,0,)n λλλλλ-==-，取2(1,0,)n λλ=-，∵1222cos ,6(1)n n λλ<>=-+230106221λλ==-+， ∴29920λλ-+=，∴13λ=或23λ=. 19.解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为62155=. X 可能取值分别为0，1，2，3，∴00332327(0)()()55125P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===， 22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，积极型消极型总计男 9 6 15 女 4 11 15 总计131730X 的分布列为X 0123P27125 5412536125 8125则()01125125E X =⨯+⨯231251255+⨯+⨯=.（Ⅱ）完成22⨯列联表2k 的观测值2030(91164)15151317k ⨯-⨯=⨯⨯⨯7503.394 3.841221=≈<.据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 20.解：（Ⅰ）由题意可设直线AB 的方程为2py x =-，令11(,)A x y ，22(,)B x y . 联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=，∴123x x p +=，根据抛物线的定义得，又124AB x x p p =++=，又8AB =，∴48p =，∴2p =. 则此抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，直线1l 的斜率为k ，则tan k α=. 由于直线1l 与2l 的倾斜角互余，则sin()2tan tan()2cos()2παπβαπα-=-=-cos 11sin sin tan cos ααααα===，则直线2l 的斜率为1k.于是直线CD 的方程为8(12)y k x -=-，即(12)8y k x =-+，联立2(12)84y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2432480ky y k -+-=，∴4C D y y k +=，则241624C D x x k k +=+-，∴2282(12,)M k k k+-，同理将k 换成1k得：2(1228,2)N k k k +-， ∴2212()112()8()MN k k k k k k k-=---114k k =+-. 则直线MN 的方程为212[(1228)]14y k x k k k k-=-+-+-，即1410k y x k ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，显然当10x =，0y =. 所以直线MN 经过定点(10,0). 21.解：（Ⅰ）11'()ax f x a x x-=-=， ∵0a ≤，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0a >时，由'()0f x >，得1x a >；由'()0f x <，得10x a<<；综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（Ⅱ）令1()()2ax g x f x ax xe -=-+1ln ax xe ax x -=--，则111'()ax ax g x e axe a x --=+--11(1)ax ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由于1111ax ax xe ex x----=，设1()1ax r x xe-=-，1'()(1)ax r x ax e -=+，由1'()010r x ax x a >⇒+>⇒<-，所以()r x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；由1'()010r x ax x a <⇒+<⇒>-，所以()r x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴max 211()(1)0r x r a ae ⎛⎫=-=-+≤ ⎪⎝⎭（因为21a e ≤-），从而110ax e x --≤.则()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴min 1()g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设(210,t e a ⎤=-∈⎦，221()ln 1(0)t g h t t t e a e ⎛⎫-==-+<≤ ⎪⎝⎭， 211'()0h t e t=-≤，()h t 在(20,e ⎤⎦上递减，∴2()()0h t h e ≥=； ∴()0g x ≥，故()12ax f x ax xe-≥-. 说明：判断11ax e x--的符号时，还可以用以下方法判断：由110ax e x --=得到1ln x a x -=，设1ln ()x p x x -=，2ln 2'()x p x x -=，当2x e >时，'()0p x >；当20x e <<时，'()0p x <.从而()p x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增. ∴2min 21()()p x p e e ==-. 当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即110ax e x--≤. 22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令BOX θ∠=，4AOX π∠=，在ABC ∆中，AC 为直径，42)4OB πρθ==-， ∵131x t a y t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为：310ax y a +--=. 法二：在直角坐标系中，圆C 的圆心为(2,2)，则方程为22(2)(2)8x y -+-=. 即22440x y x y +--=，∴24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin 42)4πρθθθ=+=+.（Ⅱ）法一：直线过圆C 内一定点(3,1)P ，当CP AB ⊥时，AB 有最小值， ∴22228226AB R CP =-=-=.法二：点(2,2)C 到直线l 的距离211ad a -=+， ∴222AB R CP =-222(1)2282711a a a a -=-=+++当1a =时，AB 有最小值26.23.解：（Ⅰ）由已知，令2(1)()112(11)2(1)x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，由()2f x <得{|11}A x x =-<<.（Ⅱ）将不等式2210mx x m -+-<整理成2(1)210x m x --+<，令2()(1)21g m x m x =--+，要使()0g m <，则22(1)(1)(1)210(1)(1)1210g x x g x x ⎧-=-⨯--+≤⎪⎨=-⨯-+≤⎪⎩， ∴2222020x x x x ⎧+-≥⎪⎨-≤⎪⎩，∴133102x x x ⎧≤-≥⎪⎨≤≤⎪⎩或312x -≤≤.。

2018年湖北省荆州市高考数学三模试卷(理科)

2018年湖北省荆州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1. 设全集U =R ，集合A ={x|1<x <3}，B ={x|2x −3≥0}，则A ∩(∁U B)=( ) A.(−∞,32) B.(1, +∞)C.(1,32)D.[32,3)2. 若复数z =m 2−1+(m +1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则2z =( )A.iB.−iC.2iD.−2i3. 下列命题正确的是( )A.命题“p ∧q ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题C.“am 2<bm 2”是“a <b ”成立的必要不充分条件D.命题“存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x +1<0”4. 已知随机变量X −N(1, 1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ−N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)＝0.9544．A.6038B.6587C.7028D.75395. 已知数列{a n }满足5a n+1=25∗5a n，且a 2+a 4+a 6=9，则log 13(a 5+a 7+a 9)=( )A.−3B.3C.−13 D.136. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知“堑堵”ABC −A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB =AC =1，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是( ) A.16B.13C.12D.17. 偶函数f(x)和奇函数g(x)的图象如图所示，若关于x 的方程f (g(x))=1，g (f(x))=2的实根个数分别为m ，n ，则m +n =( )A.16B.14C.12D.108. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.14B.15C.16D.179. 已知(1+x)(a −x)6=a 0+a 1x +⋯+a 7x 7，若a 0+a 1+...+a 7=0，则a 3=( ) A.−5 B.−20C.15D.3510. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.8+4√2B.12+4√2+2√3C.6+4√2+2√3D.1211. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若∠POF 2＝∠QOB ，则双曲线C 的离心率为（） A.3+√5 B.3+√52C.1+√5D.1+√5212. 已知函数f(x)=e x +x 2+ln x 与函数g(x)=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（） A.(−∞, −e]B.(−∞,−1e brackC.(−∞, −1]D.(−∞,−12brack二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13. 平面向量a →=(2, λ)，b →=(−3, 1)，若向量a →与b →共线，则a →⋅b →=________．14. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同，离心率为√63，则此椭圆的方程为________．15. 已知x ，y 满足不等式组{2y −x ≥0x +y −3≤02x −y +3≥0 ，若不等式ax +y ≤7恒成立，则实数a 的取值范围是________．16. 设数列{a n }满足a 0=12，a n+1=a n +a n22018(n =0,1,2⋯)，若使得a k <1<a k+1，则正整数k =________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知向量a →=(√2sin 2x,√2cos 2x)，b →=(cos θ,sin θ)(|θ|<π2)，若f(x)=a →⋅b →，且函数f(x)的图象关于直线x =π6对称．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f(A)=√2，且b =5，c =2√3，求△ABC 外接圆的面积．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =BC =AA 1=2，点P 为棱B 1C 1的中点，点Q 为线段A 1B 上一动点．(Ⅰ)求证：当点Q 为线段A 1B 的中点时，PQ ⊥平面A 1BC ；(Ⅱ)设BQ →=λBA 1→，试问：是否存在实数λ，使得平面A 1PQ 与平面B 1PQ 所成锐二面角的余弦值为√3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由．19. 手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：于7500步的有X 名，求X 的分布列和数学期望； (Ⅱ)如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20. 已知倾斜角为π4的直线经过抛物线Г：y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线Г相交于A，B两点，且|AB|=8．(1)求抛物线Г的方程；(2)过点P(12, 8)的两条直线l1，l2分别交抛物线Г于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N．如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点．21. 已知函数f(x)＝ax−ln x．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈(−∞,−1e2]，求证：f(x)≥2ax−xe ax−1．四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在极坐标系中，已知圆C的圆心为(2√2，π4)，半径为2√2．以极点为原点，极轴方向为x轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x=1at+3y=1−t(t为参数，a∈R且a≠0)．(Ⅰ)写出圆C的极坐标方程和直线l的普通方程；(Ⅱ)若直线l与圆C交于A、B两点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23. 设不等式||x+1|−|x−1||<2的解集为A．(Ⅰ)求集合A；(Ⅱ)若∀m∈A，不等式mx2−2x+1−m<0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案与试题解析2018年湖北省荆州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先解出B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】B={x|x≥32}；∴∁U B={x|x<32}；∴A∩(∁U B)=(1,32)．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】由复数z=m2−1+(m+1)i是纯虚数，列出方程组，求解可得m的值，然后代入z=m2−1+(m+1)i求出z，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵复数z=m2−1+(m+1)i是纯虚数，∴{m2−1=0m+1≠0，解得m=(1)∴z=2i．则2z =22i=−i−i2=−i．故选：B．3.【答案】B【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”不等式的基本性质必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定四种命题的真假关系【解析】根据复合命题的真假判断A，根据四种命题的条件判断B，根据充分必要条件的定义判断C，根基命题的否定判断D．【解答】解：对于A：命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q至少有一个假命题，故A错误；对于B：命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，故其逆否命题为真命题，故B正确；对于C：由“am2<bm2”可以得出“a<b”成立，反之，当m=0时，不能得出“am2<bm2”，故am2<bm2”是“a<b”的充分非必要条件，故C错误；对于D：命题“存在x0∈R，使得x02+x0+1<0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”．故D错误.故选B.4.【答案】B【考点】正态分布的密度曲线几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意P(0<X≤1)=12×0.6826．P（阴影）＝1−P(0<X≤1)，即可得出结论【解答】由题意P(0<X≤1)=12×0.6826．P（阴影）＝1−P(0<X≤1)＝1−12×0.6826＝1−0.3413＝0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587＝6587．5.【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】数列{a n}满足5a n+1=25∗5a n，可得a n+1=a n+2，即a n+1−a n=2，由a2+a4+a6=9，利用等差数列的性质可得3a4=9，利用通项公式解得a1．而a5+a7+a9=3a7，再利用对数运算性质即可得出．【解答】数列{a n}满足5a n+1=25∗5a n，∴a n+1=a n+2，即a n+1−a n=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为（2）∵a2+a4+a6=9，∴3a4=9，a4=3，∴a1+3×2=3，解得a1=−(3)∴a5+a7+a9=3a7=3×(−3+6×2)=27log13(a5+a7+a9)=log1333=−(3)6.【答案】 C【考点】球的体积和表面积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】把直三棱柱补形为长方体，由其外接球的表面积求得长方体的对角线长，进一步求出高，则答案可求．【解答】解：如图所示：将直三棱柱ABC −A 1B 1C 1补形为长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1．由其外接球的表面积为3π，得4πR 2=3π， ∴ R =√32，即长方体的对角线长BC 1=√3， ∴ CC 1=√(√3)2−(√2)2=1．则直三棱柱得体积：V =12×1×1×1=12．故选C .7.【答案】 D【考点】函数与方程的综合运用函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：由f(g(x))=1，得g(x)=±1，结合函数g(x)的图象可得g(x)=±1有6个实根，故m =6；同理，由g(f(x))=2得f(x)=1或−1<f(x)<0, 结合函数f(x)的图象可得， g(f(x))=2有4个实根，故n =4．所以m +n =6+4=10．故选D ． 8. 【答案】 C【考点】程序框图【解析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：S =log 223，n =2；第二次循环：S =log 223+log 234，n =3；第三次循环：S =log 223+log 234+log 245，n =4； …第n 次循环：S =log 223+log 234+log 245+⋯+log 2n+1n+2=log 22n+2，n =n +1，令log 22n+1<−3解得n >14，即当n=15，满足S<−3，当n=15进入最后一次循环，∴输出的结果是n+1=16.故选C.9.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】由已知求得a，再由(1+x)(1−x)6=(1−x2)(1−x)5，写出(1−x)5的展开式的通项，分别取r=3和1，求出(1−x)5的展开式中含x3与含x的项，则答案可求．【解答】由(1+x)(a−x)6=a0+a1x+⋯+a7x7，取x=1，得2(a−1)6=a0+a1+...+a7=0，则a=(1)∴(1+x)(1−x)6=(1−x2)(1−x)5，(1−x)5的展开式的通项为T r+1=C5r∗(−x)r．取r=3，得T4=−10x3，取r=1，得T2=−5x．∴a3=−10+5=−(5)故选：A．10.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图画出几何体的直观图，结合图形求出该多面体的表面积．【解答】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC−A1B1C1截去一个三棱锥A−A1B1C1，即四棱锥A−BB1C1C；所以该多面体的表面积为S=S矩形BCC1B1+2S△ABB1+S△ABC+S△AB1C1=2×2√2+2×12×2×2+12×2×2+12×(2√2)2×sin60∘=4√2+6+2√3．11.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】联立圆与双曲线的方程，求得P的坐标，tan∠QOF2＝tan∠POB，化简即可求得双曲线的离心率．【解答】∵∠POF2＝∠QOB，∴∠QOF2＝∠POB，双曲线的一条渐近线方程为y=bax，则tan∠QOF2=ba，由题意可知：以线段F1F2为直径的圆的方程x2+y2＝c2，联立{x2+y2=c2x2a2−y2b2=1，解得x=a√b2+c2c，y=b2c，∴tan∠POB=a√b2+c2b2，∴a√b2+c2b2=ba，即2+a2b2=b4a4，∵e2＝1+b2a2，∴2+1e2−1=(e2−1)2，解得e=√5+12，12.【答案】C【考点】函数的图象变化【解析】由题意可化为g(−x)−f(x)=0在(0, +∞)上有解即x+a−ln xx=0在(0, +∞)上有解，即函数y=x+a与y=ln xx在(0, +∞)上有交点，画出函数y=x+a与y=ln xx在(0, +∞)上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求a的范围．【解答】由题意知，方程g(−x)−f(x)=0在(0, +∞)上有解，即e x+2x2+ax−ln x−e x−x2=0，即x+a−ln xx=0在(0, +∞)上有解，即函数y=x+a与y=ln xx在(0, +∞)上有交点，y=ln xx的导数为y′=1−ln xx2，当x>e时，y′<0，函数y=ln xx递减；当0<x <e 时，y′>0，函数y =ln x x 递增．可得x =e 处函数y =ln xx取得极大值1e ，函数y =x +a 与y =ln x x在(0, +∞)上的图象如右：当直线y =x +a 与y =ln xx相切时，切点为(1, 0)，可得a =0−1=−1，由图象可得a 的取值范围是(−∞, −1]．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上. 13. 【答案】−203【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据平面向量共线定理求出λ的值，再计算数量积a →⋅b →的值．【解答】平面向量a →=(2, λ)，b →=(−3, 1)，若向量a →与b →共线，则2×1−(−3)×λ=0，解得λ=−23．∴ a →⋅b →=2×(−3)+(−23)×1=−203． 14. 【答案】x 224+y 28=1 【考点】圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的几何性质椭圆的离心率【解析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c ，根据椭圆的离心率求得a ，最后根据a 和c 的关系求得b ．【解答】抛物线y 2=16x 的焦点坐标为(4, 0)，∵ 椭圆的右焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同，∴ 椭圆的半焦距c =4，即a 2−b 2=16， ∵ e =ca =√63， ∴ a =2√6，b =2√2， ∴ 椭圆的标准方程为x 224+y 28=1，15.【答案】[−4, 3] 【考点】简单线性规划【解析】画出不等式满足的平面区域，由ax +y ≤7恒成立，结合图形确定出a 的范围即可．【解答】x ，y 满足不等式组{2y −x ≥0x +y −3≤02x −y +3≥0的平面区域如右图所示，由于对任意的实数x 、y ，不等式ax +y ≤7恒成立，根据图形，当a ≥0时，ax +y =7的最优解为A(2, 1)，可得2a +1≤7 解得：0≤a ≤3，当a <0时，ax +y =7的最优解为B(−2, −1)，−2a −1≤7，解得0>a ≥−4，则实数a 的取值范围是[−4, 3]． 16. 【答案】 2018 【考点】数列递推式【解析】先判断数列为递增数列，再判断出对一切n(1≤n ≤2018)均有，a n <20184036−n≤1，以及对一切n(n >2018)均有，a n+1>20193(4038−n)2×2018>1，问题得以解决【解答】由a n+1=a n +a n22018(n =0,1,2⋯)，可得a n+1>a n ，∴ 数列{a n }为递增数列， ∴ a n+1<a n +a n ∗a n+12018，即1a n−1an+1<12018，注意到2=1a 0=1a n+∑n i=1(1a i−1−1a i)<1a n+n2018，即1a n>2−n 2018=4036−n 2018，对一切n(1≤n ≤2018)均有，a n <20184036−n≤1，由此知a n+1=a n +12018a n 2<a n +12018a n =a n (1+12018)=20192018a n ，即a n+12019<an 2018，∴ a n+1=a n +12018a n 2>a n +a na n+12019，∴1a n−1a n+1>12019，则2=1a 0=1a n+∑n i=1(1ai−1−1a i)>1a n+n2019，即a n >20194038−n，由此知a n+1=a n +12018a n 2>a n 2+12018a n 2=a n 2(1+12018)=20192018a n 2，即a n+12019>a n22018，即a n+1>20192018a n 2=20193(4038−n)2×2018，对一切n(n >2018)均有，a n+1>1，∴ 使得a k <1<a k+1，则正整数k =2018，三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.【答案】（1）根据题意，f(x)=a →⋅b →=√2sin 2x cos θ+√2cos 2x sin θ=√2sin (2x +θ)， ∵ 函数f(x)的图象关于直线x =π6对称，∴ 2×π6+θ=kπ+π2，k ∈Z ，∴ θ=kπ+π6，k ∈Z ，又|θ|<π2，∴ θ=π6． ∴ f(x)=√2sin (2x +π6)．∵ 函数y =sin x 的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k ∈Z ．令2x +π6∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，∴ x ∈[kπ+π6,kπ+2π3]．∴ f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k ∈Z ．（2）∵ f(A)=√2sin (2A +π6)=√2，∴ sin (2A +π6)=1． ∵ A ∈(0, π)，∴ 2A +π6∈(π6,13π6)，∴ 2A +π6=π2，∴ A =π6．在△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =25+12−2×5×2√3cos π6=7，∴ a =√7．由正弦定理得asin A =2R =√712，∴ R =√7，∴ S =7π．【考点】平面向量数量积的性质及其运算余弦定理【解析】(Ⅰ)根据题意，由向量数量积的计算公式以及三角函数的和角公式可得f(x)=√2sin (2x +θ)，结合三角函数的图象性质分析可得θ的值，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由f(A)=√2，结合正弦函数的图象分析可得A 的值，据此由余弦定理分析可得a 的值，进而由正弦定理分析可得答案．【解答】（1）根据题意，f(x)=a →⋅b →=√2sin 2x cos θ+√2cos 2x sin θ=√2sin (2x +θ)，∵ 函数f(x)的图象关于直线x =π6对称，∴ 2×π6+θ=kπ+π2，k ∈Z ， ∴ θ=kπ+π6，k ∈Z ，又|θ|<π2，∴ θ=π6．∴ f(x)=√2sin (2x +π6)．∵ 函数y =sin x 的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k ∈Z ．令2x +π6∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，∴ x ∈[kπ+π6,kπ+2π3]．∴ f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k ∈Z ．（2）∵ f(A)=√2sin (2A +π6)=√2，∴ sin (2A +π6)=1． ∵ A ∈(0, π)，∴ 2A +π6∈(π6,13π6)，∴ 2A +π6=π2，∴ A =π6．在△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =25+12−2×5×2√3cos π6=7， ∴ a =√7．由正弦定理得asin A=2R =√712，∴ R =√7，∴ S =7π．18.【答案】(Ⅰ)证明：连结AB 1、AC 1，∵点Q为线段A1B的中点，∴A、Q、B1三点共线．∵点P、Q分别为B1C1和A1B的中点，∴PQ // AC1；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，又∵AC=AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C．∵A1C，BC⊂平面ABC1，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC.∵PQ // AC1，∴PQ⊥平面A1BC．(Ⅱ)解：以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,2)，B1(0,2,2).连结A1P，B1Q.设Q(x, y, z)，∵BQ→=λBA1→，∴(x, y−2, z)=λ(2, −2, 2)，∴{y=2−2λ,z=2λ,∴Q(2λ, 2−2λ, 2λ)．∵点Q在线段A1B上运动时，∴平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量.设平面A1PB的法向量为n1→=(x,y,z)，由{n1→⋅BP→=0,n1→⋅PA1→=0,得{2x−y=0,−y+2z=0,令y=2，得n1→=(1,2,1)，设平面B1PQ的法向量为n2→=(a,b,c)，由{n2→⋅PB1→=0,n2→⋅B1Q→=0,得{b=0,λa+λb+(λ−1)c=0,，令c=1得n2→=(1−λλ,0,1)=1λ(1−λ,0,λ)，取n2→=(1−λ,0,λ)，由题意得|cos<n1→，n2→>|=√6√(1−λ)2+λ2=√6√2λ2−2λ+1=√3010，∴9λ2−9λ+2=0，解得λ=13或λ=23．∴当λ=13或λ=23时，平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为√3010. 【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(Ⅰ)证明：连结AB1、AC1，∵点Q为线段A1B的中点，∴A、Q、B1三点共线．∵点P、Q分别为B1C1和A1B的中点，∴PQ // AC1；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，又∵AC=AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C．∵A1C，BC⊂平面ABC1，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC.∵PQ // AC1，∴PQ⊥平面A1BC．(Ⅱ)解：以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,2)，B1(0,2,2).连结A1P，B1Q.设Q(x, y, z)，∵BQ→=λBA1→，∴(x, y−2, z)=λ(2, −2, 2)，∴{y=2−2λ,z=2λ,∴Q(2λ, 2−2λ, 2λ)．∵点Q在线段A1B上运动时，∴平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量.设平面A1PB的法向量为n1→=(x,y,z)，由{n1→⋅BP→=0,n1→⋅PA1→=0,得{2x−y=0,−y+2z=0,令y=2，得n1→=(1,2,1)，设平面B1PQ的法向量为n2→=(a,b,c)，由{n2→⋅PB1→=0,n2→⋅B1Q→=0,得{b=0,λa+λb+(λ−1)c=0,，令c=1得n2→=(1−λλ,0,1)=1λ(1−λ,0,λ)，取n2→=(1−λ,0,λ)，由题意得|cos<n1→，n2→>|=√6√(1−λ)2+λ2=√6√2λ2−2λ+1=√3010，∴9λ2−9λ+2=0，解得λ=13或λ=23．∴当λ=13或λ=23时，平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为√3010.19.【答案】（1）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为615=25．X可能取值分别为0，1，2，3，∴P(X=0)=C30(25)0(35)3=27125，P(X=1)=C31(25)1(35)2=54125，P(X=2)=C32(25)2(35)1=36125，P(X=3)=C33(25)3(35)0=8125，∴X的分布列为则E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．（2）完成2×2列联表如下：k 2的观测值k 0=30(9×11−6×4)215×15×13×17=750221≈3.394<3.841．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【考点】独立性检验离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为615=25．X 可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．(Ⅱ)完成2×2列联表求出k 2的观测值k 0≈3.394<3.8(41)据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【解答】（1）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为615=25．X 可能取值分别为0，1，2，3，∴ P(X =0)=C 30(25)0(35)3=27125，P(X =1)=C 31(25)1(35)2=54125，P(X =2)=C 32(25)2(35)1=36125， P(X =3)=C 33(25)3(35)0=8125，∴ X 的分布列为则E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．（2）完成2×2列联表如下：k 2的观测值k 0=30(9×11−6×4)215×15×13×17=750221≈3.394<3.841．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关． 20. 【答案】解：(1)由题意可设直线AB 的方程为y =x −p2，令A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立{y =x −p 2，y 2=2px ，得x 2−3px +p 24=0，∴ x 1+x 2=3p ，根据抛物线的定义得，又|AB|=x 1+x 2+p =4p ，又|AB|=8，∴ 4p =8，∴ p =2则此抛物线的方程为y 2=4x ．(2)设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β，直线l 1的斜率为k ，则k =tan α．由于直线l 1，l 2的倾斜角互余，则tan β=tan (π2−α)=sin (π2−α)cos (π2−α)=cos αsin α=1tan α，则直线l 2的斜率为1k ．于是直线CD 的方程为y −8=k(x −12)，即y =k(x −12)+8，联立{y =k(x −12)+8，y 2=4x ，得ky 2−4y +32−48k =0， ∴ y C +y D =4k ，则x C +x D =24+4k 2−16k，∴ M(12+2k 2−8k, 2k)，同理将k 换成1k得：N(12+2k 2−8k, 2k)， ∴ k MN =2(1k −k)2(1k 2−k 2)−8(1k−k)=11k+k−4．则直线MN 的方程为 y −2k =11k+k−4[x −(12+2k 2−8k)]，即(1k+k −4)y =x −10，显然当x =10，y =0所以直线MN 经过定点(10, 0)．【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的求解抛物线的标准方程中点坐标公式直线的倾斜角【解析】(Ⅰ)根据抛物线的性质和根与系数的关系，即可求出，(Ⅱ)于是直线CD 的方程为y −8=k(x −12)，联立方程组利用根与系数的关系和中点坐标公式求出M ，N 的坐标，得出直线MN 的方程，即可得出结论．【解答】解：(1)由题意可设直线AB 的方程为y =x −p2，令A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立{y =x −p2，y 2=2px ，得x 2−3px +p 24=0，∴ x 1+x 2=3p ，根据抛物线的定义得，又|AB|=x 1+x 2+p =4p ，又|AB|=8，∴ 4p =8，∴ p =2则此抛物线的方程为y 2=4x ．(2)设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β，直线l 1的斜率为k ，则k =tan α．由于直线l 1，l 2的倾斜角互余，则tan β=tan (π−α)=sin (π2−α)cos (π2−α) =cos αsin α=1tan α，则直线l 2的斜率为1k．于是直线CD 的方程为y −8=k(x −12)，即y =k(x −12)+8，联立{y =k(x −12)+8，y 2=4x ，得ky 2−4y +32−48k =0，∴ y C +y D =4k ，则x C +x D =24+4k −16k，∴ M(12+2k 2−8k , 2k )，同理将k 换成1k 得：N(12+2k 2−8k, 2k)， ∴ k MN =2(1k −k)2(1k 2−k 2)−8(1k−k)=11k+k−4．则直线MN 的方程为 y −2k =11k+k−4[x −(12+2k 2−8k)]，即(1k +k −4)y =x −10，显然当x =10，y =0 所以直线MN 经过定点(10, 0)． 21. 【答案】（1）因为f(x)＝ax −ln x ，f′(x)＝a −1x ，x >0，a ∈R ，若a ≤0，则f′(x)<0对x >0恒成立，所以，此时f(x)的单调递减区间为(0, +∞)；若a >0，则f′(x)=ax−1x>0时，x >1a ，∴ f(x)的单调递减区间为(0, 1a )，单调递增区间为(1a , +∞)；综上：当a ≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0, 1a )上单调递减，在(1a, +∞)上单调递增．（2）证明：令g(x)＝f(x)−2ax+xe ax−1＝xe ax−1−ax−ln x，则g′(x)＝e ax−1+axe ax−1−a−1x =(ax+1)(e ax−1−1x)，由于e ax−1−1x =xe ax−1−1x，设r(x)＝xe ax−1−1，r′(x)＝(1+ax)e ax−1，由r′(x)>0⇒1+ax>0⇒x<−1a ，所以r(x)在(0, −1a)上单调递增；由r′(x)<0⇒1+ax<0⇒x>−1a ，所以r(x)在(−1a, +∞)上单调递减．∴r(x)max＝r(−1a )＝−(1ae2+1)≤0（因为a≤−1e2），从而e ax−1−1x≤0，则g(x)在(0, −1a )上单调递减；在(−1a, +∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(−1a)，设t=−1a ∈(0, e2],g(−1a)＝ℎ(t)=te2−ln t+1(0<t≤e2)，ℎ′(t)=1e −1t≤0，ℎ(x)在(0, e2]上递减，∴ℎ(t)≥ℎ(e2)＝0；∴g(x)≥0，故f(x)≥2ax−xe ax−1．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；(Ⅱ)求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）因为f(x)＝ax−ln x，f′(x)＝a−1x，x>0，a∈R，若a≤0，则f′(x)<0对x>0恒成立，所以，此时f(x)的单调递减区间为(0, +∞)；若a>0，则f′(x)=ax−1x >0时，x>1a，∴f(x)的单调递减区间为(0, 1a )，单调递增区间为(1a, +∞)；综上：当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0, 1a )上单调递减，在(1a, +∞)上单调递增．（2）证明：令g(x)＝f(x)−2ax+xe ax−1＝xe ax−1−ax−ln x，则g′(x)＝e ax−1+axe ax−1−a−1x =(ax+1)(e ax−1−1x)，由于e ax−1−1x =xe ax−1−1x，设r(x)＝xe ax−1−1，r′(x)＝(1+ax)e ax−1，由r′(x)>0⇒1+ax>0⇒x<−1a，所以r(x)在(0, −1a)上单调递增；由r′(x)<0⇒1+ax<0⇒x>−1a，所以r(x)在(−1a, +∞)上单调递减．∴r(x)max＝r(−1a)＝−(1ae+1)≤0（因为a≤−1e），从而e ax−1−1x≤0，则g(x)在(0, −1a)上单调递减；在(−1a, +∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(−1a)，设t=−1a∈(0, e2],g(−1a)＝ℎ(t)=te2−ln t+1(0<t≤e2)，ℎ′(t)=1e2−1t≤0，ℎ(x)在(0, e2]上递减，∴ℎ(t)≥ℎ(e2)＝0；∴g(x)≥0，故f(x)≥2ax−xe ax−1．四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】(Ⅰ)∵圆C的圆心为(2√2，π4)，半径为2√2，∴在直角坐标系中，圆C的圆心为(2, 2)，则圆C的直角坐标方程为(x−2)2+(y−2)2=(8)即x2+y2−4x−4y=0，∴圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−4ρsinθ=0，即ρ=4√2sin(θ+π4)．∵直线l的参数方程{x=1at+3y=1−t，消去参数t，得直线l的普通方程为：ax+y−3a−1=(0)(Ⅱ)直线l过圆C内一定点P(3, 1)，当CP⊥AB时，|AB|有最小值，∴|AB|的最小值|AB|min=2√R2−CP2=2√8−2=2√6．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)圆C的圆心为(2, 2)，求出圆C的直角坐标方程，由此能求出圆C的极坐标方程，直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程．(Ⅱ)直线l过圆C内一定点P(3, 1)，当CP⊥AB时，|AB|有最小值，由此能求出|AB|的最小值．【解答】(Ⅰ)∵圆C的圆心为(2√2，π4)，半径为2√2，∴在直角坐标系中，圆C的圆心为(2, 2)，则圆C的直角坐标方程为(x−2)2+(y−2)2=(8)即x2+y2−4x−4y=0，∴圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−4ρsinθ=0，即ρ=4√2sin(θ+π4)．∵ 直线l 的参数方程{x =1a t +3y =1−t，消去参数t ，得直线l 的普通方程为：ax +y −3a −1=(0) (Ⅱ)直线l 过圆C 内一定点P(3, 1)，当CP ⊥AB 时，|AB|有最小值，∴ |AB|的最小值|AB|min =2√R 2−CP 2=2√8−2=2√6． [选修4-5：不等式选讲] 23.【答案】（1）由已知，令f(x)=|x +1|−|x −1|={2,(x ≥1)2x(−1<x <1)−2(x ≤−1) ，由|f(x)|<2，得A ={x|−1<x <1}．（2）将不等式mx 2−2x +1−m <0整理成(x 2−1)m −2x +1<0，令g(m)=(x 2−1)m −2x +1，要使g(m)<0，则{g(−1)=(x 2−1)⋅(−1)−2x +1≤0g(1)=(x 2−1)⋅1−2x +1≤0 ，∴ {x 2+2x −2≥0x 2−2x ≤0 ，∴ {x ≤−1−√3x ≥√3−10≤x ≤2 ，∴ √3−1≤x ≤(2) 【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】(Ⅰ)求出f(x)的分段函数的形式，求出A 即可；(Ⅱ)问题转化为(x 2−1)m −2x +1<0，令g(m)=(x 2−1)m −2x +1，根据一次函数的性质，求出x 的范围即可．【解答】（1）由已知，令f(x)=|x +1|−|x −1|={2,(x ≥1)2x(−1<x <1)−2(x ≤−1) ，由|f(x)|<2，得A ={x|−1<x <1}．（2）将不等式mx 2−2x +1−m <0整理成(x 2−1)m −2x +1<0，令g(m)=(x 2−1)m −2x +1，要使g(m)<0，则{g(−1)=(x 2−1)⋅(−1)−2x +1≤0g(1)=(x 2−1)⋅1−2x +1≤0，∴ {x 2+2x −2≥0x 2−2x ≤0， ∴ {x ≤−1−√3x ≥√3−10≤x ≤2 ，∴ √3−1≤x ≤(2)。

2018年高三最新高三高考模拟数学理科卷参考答案答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）数学（理工农医类）参考答案1～10：C C B C A B A B D A11、{}41216λλλλλ-<<>≠-≠或且且 12、1(,]2-∞- 13、5414、> 15、2(1)(1)2(1)(1)1n n na d q a q q q -⎧+=⎪⎪⎨-⎪≠⎪-⎩（提示：15.[]111(1)(1)k k k kk a a k d q aq k dq ---=+-=+-，又1(1)k kk a aq k d -=+-01d q ∴==或）16.解：（1）2122()sin cos sin cos )333233x x x x x f x ==+1222sin sin()23333x x x π==+ ………3（分）由)332sin(π+x =0即231()()332x k k k z x k z πππ-+=∈=∈得:即对称中心为31(,()22k k z π-∈ …………6（分）（2）已知b 2=ac2222221cos 2222125cos 10923333952||||sin sin()132923332sin()133a c b a c ac ac ac x ac ac ac x x x x x πππππππππππ+-+--==≥=∴≤<<≤<+≤->-∴<+≤+≤+分即)(x f 的值域为]231,3(+综上所述，]3,0(π∈x ，故)(x f 值域为]231,3(+…12（分）17．解：（1）32,4x x y ξ-≤-≤∴的最大值为6，此时有1,5x y ==或5,1x y ==，故所求的概率为1115511225P C C +==. …………5（分）（2）ξ的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列为：……………10（分） 1484422140123456252525252525255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……12（分） 18.解：（1）,AC CD BC CD ⊥⊥CD ABC ∴⊥面，又CD ⊂∴⊥面BCD,面ABC 面BCD ,AB BC ⊥面ABC 面BCD=BC AB AB BD ∴⊥∴⊥面BCD, …………5（分）（2）当AC CD ⊥时，则AB BD ⊥,,AB a BC b CD c === 2B D A b∴其表面积11112222S ab bc =++ 当AC 与CD 不垂直时，则AD CD ⊥，否则由（1）知AB BD ⊥，可得AC CD ⊥（矛盾）.当AD AC ⊥时，AB 与AD 不能垂直，否则AD ⊥面ABC,,BC AD BC CD BC ∴⊥⊥⊥面ACD ，从而BC AC ⊥，与AB BC ⊥矛盾.BD AD ∴⊥，从而可得2222AD a c b =-- …………①由AD AC ⊥得，2222AD c a b =-- …………②根据①、②得：22a c =，从而导致220AD b =-<矛盾.AD CD ∴⊥，从而得到AB AD ⊥当AD CD ⊥时，2222AD a b c =+-当AB AD ⊥时，2222AD b c a =+-,a c AD b ∴==，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，舍去..∴其表面积为11112222S ab bc =++……………12（分）19.解：（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为221,,*.(*)n n n n n n cx x x ax bx cx n N +-=--∈因此1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈即 …………（3分）（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得..0*,,0)(11cba x cxb a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且cba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变. ……（6分）（Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N*，由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知0<x n <3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x 1<3－b. 即0<b<3－x 1，而x 1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b由此猜测b 的最大允许值是1. ……………（10分）下证当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2),则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2,所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 最大允许值是1.…（13分）20. 解：(1)设双曲线方程为22221x y a b -=，由椭圆22184x y +=求得两焦点为(2,0),(2,0)-， ∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴ba= 解得 221,3a b ==， ∴双曲线C 的方程为2213y x -= ……………（5分） (2)解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。

湖北省荆州市2018届高三上学期第一次质量检测理数试题含答案

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则AB = （）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[]0,1C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2. 下列函数中，即是偶函数又在区间()0,1上为增函数的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x -=C ．()cos y x =-D ．ln y x =3. 若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79 B ．23 C ．23- D ．79- 4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 依次等差数列，若11a =，则5S =（）A ． 16B ．31 C.32 D ．635. 设222ln sin ln cos ln sin cos ln ,ln ,ln ,ln ln ln x y z b b b αααα===若(),,0,142b ππα⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，则,,x y z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．y x z >> C.z x y >> D ．x z y >>6. 若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ． 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7. 若将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m 的最小值为（） A ．12π B ．3π C.512π D ．712π 8. 已知函数()()3sin 2f x ax x a R =-∈,且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-，则实数a 的值为（） A ．12 B ．1 C. 32D ．2 9. 已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=,则tan A 的最大值是（）A ．3B ．3．310. 已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++,用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =,则函数()h x 的零点个数为（）A ．1B ．2 C.3 D ．411.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若3sin 24B π⎛⎫+=⎪⎝⎭,且2a c +=,则ABC ∆周长的取值范围是（）A ．(]2,3B ．[)3,4 C. (]4,5 D ．[)5,6 12. 设函数()f x 在R 上存在导函数()'f x ，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()1'42f x x +<.若()()3132f m f m m +≤-++,则实数m 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,-+∞ D ．[)2,-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 计算：32112x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰__________. 14. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，有132435216a a a a a a ++=，则24a a +=__________.15. 若,x y 满足约束条件03030y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩,且2z x y =-的最大值4，则实数k 的值为_________.16. 已知函数()()21x f x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <, 则a 的取值范围是 _________.（e 为自然对数的底数）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数()21cos cos 2f x x x x =--. （1）求函数()f x 的对称中心；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，点D 在BC 边上，AD平分,6,4BAC AB AD AC ∠===.（1）利用正弦定理证明: AB BDAC DC=; （2）求BC 的长.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55S =-,且346,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21231n n n b n N a a *++=∈,求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分12分）已知函数()()ln xe f x a x x x=+-,e 为自然对数的底数. （1）当0a >时，试求()f x 的单调区间; （2）若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的极值点，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知函数()()()2a xg x xea R -=∈,e 为自然对数的底数.（1）讨论()g x 的单调性;（2）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明: ()()0'0.('f x f x <为函数()f x 的导函数).请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为(,2sin x R y αααα⎧=⎪∈⎨=⎪⎩为参数), 曲线2C 的极坐标方程为cos sin 50ρθθ-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 曲线2C 上一点，求PQ 的最小值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =-+-∈. （1）当1a =时，求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.湖北省荆州市2018届高三上学期第一次质量检测数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. CDDBA BAC 11-12. BA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.223 14. 4 15. 32- 16. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：（1）()1cos 212sin 21226x f x x x π+⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭,令26x k ππ-=，得212k x ππ=+，故所求对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭. （2）令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.又由于[]0,x π∈，所以50,,36x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故所求单调区间为50,,,36πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 18.解：（1）由正弦定理知，在ABD ∆中，sin sin AB BDADB BAD=∠∠；在ADC ∆中，sin sin AC BDADC DAC=∠∠，由,ADB ADC BDA DAC π∠+∠=∠=∠，得sin sin ,sin sin ADB ADC BAD DAC ∠=∠∠=∠.由①÷② 得：AB BDAC DC=. （2）由（1）知，32BD AB DC AC ==，设()3,20BD x DC x x ==>，则5BC x =，由cos cos 0BDA ADC ∠+∠=220+=，解得1x =，所以5BC =.19.解：（1）由等差数列性质，53355,1S a a =-=∴=-，设公差为d ，则()()()21113d d -+=--+，解得0d =或1,1n d a =-=-或2n a n =-.（2）①当1n a =-时，n T n =；②当2n a n =-时，()()212311111212122121n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，111111111 (12335212122121)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.增区间为 ()1,+∞，单调减区间为 ()0,1. （2）由条件可知()'0f x =，在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的根，即0xe ax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的根，且a e ≠-，令()x e g x a x ==-，则()()1'x e x g x x -=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()1,2x ∈单调递减，()g x ∴的最大值为()()2111,222g e g g e ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，而22110,22e e a e ⎛⎫--=->∴-<- ⎪⎝⎭. 21.解：（1）由题可知，()()()()()()222'221a xa x a x g x e xe a e a x ---=+-=-+⎡⎤⎣⎦. ①当2a <时，令()'0g x ≥，则()1210,2a x x a -+≥∴≥-，令()'0g x <，则()1210,2a x x a -+<∴<-. ②当2a =时，()'0g x >.③当2a >时，令()'0g x ≥，则()1210,2a x x a -+≥∴≤-，令()'0g x <，则()1210,2a x x a -+<∴>-,综上，①当2a <时，()y g x =在1,2a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭上单调递增；②当2a =时，()y g x =在R 上单调递增；③当2a >时，()y g x =在1,2a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭上单调递减. (2()()()()()222ln ln 20a x f x xe ax x a x ax x -=-=+-->,()()()()2111'22x ax f x a ax x x+-∴=+--=-,当0a ≤时，()()'0,f x y f x >=在()0,+∞上单调递增，与x 轴不可能有两个交点，故0a >.当0a >时，令()'0f x ≥，则10x a <≤；令()'0f x <，则1x a >.故()y f x =在10,a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减.不妨设()()12,,,A x m B x m ，且1210x x a <<<.要证()0'0f x <，需证010ax ->，即证()01221211222x x x x x f x f x a a a a ⎛⎫>⇒+>⇒>-⇒<- ⎪⎝⎭，又()()12f x f x =，所以只需证()112f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭.即证：当10x a <<时，()20f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭.设()()()()2ln 2ln 22F x f x f x ax ax ax a ⎛⎫=--=--+- ⎪⎝⎭，则()()()()()221212'20,22ax F x a F x f x f x ax x x ax a -⎛⎫=--+=-<∴=-- ⎪--⎝⎭在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又12110F f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()20F x f x f x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭. 22.解：（1）由2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，得曲线1C 的普通方程为22184x y +=.由cos sin 5ρθθθ-=得，曲线2C的直角坐标方程为50x -=.（2）设()2sin P αα，则点P 到曲线2C的距离为54cos d πα⎛⎫-+ ⎪===.当cos 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有，所以PQ. 23.解：（1）当1a =时，()()121,21212f x x x f x x x =-+-≤⇒-+-≤，上述不等式化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩，或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩，或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，或 1122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩，或143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ . 102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤，所以原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）()21f x x ≤+的解集包含1,1,2⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()21f x x ≤+恒成立，即2121x a x x -++≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，2121x a x x ∴-+-≤+，即2,22,22x a x a x a x -≤∴-≤-≤∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，()()max min 522,12x a x a ∴-≤≤+∴-≤≤，a ∴的取值范围是51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

数学---湖北省荆州中学2018届高三(上)第三次双周考试卷(理)(解析版)

湖北省荆州中学2018届高三（上）第三次双周考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）若复数z满足i z=2﹣4i，则在复平面内对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（﹣4，﹣2）D．（﹣4，2）2．（5分）已知集合，则A∩B=（）A．（0，4] B．（0，1）C．（0，1] D．[﹣4，1]3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=e ln x，g（x）=x B．C．D．4．（5分）已知平面向量=（3，4），=（x，），若∥，则实数x为（）A．﹣B．C．D．﹣5．（5分）命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1 “的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥1C．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥16．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx+cosωx sinωx，（ω≠0），则“ω=1”是“函数f（x）的最小正周期为π”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知数列{a n}满足，则a20=（）A．0 B．C．D．8．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．4 B．2C．2 D．29．（5分）己知双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，若抛物线E的焦点为F，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．10．（5分）已知α，β均为锐角，cos（α+β）=﹣，sin（β+）=，则cos（α+）=（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）三棱锥A一BCD的一条棱长为a，其余棱长均为1．当三棱锥A﹣BCD的体枳最大时，它的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知曲线y=e x+a与y=x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是（）A．[2ln2﹣2，+∞）B．（2ln2，+∞）C．（﹣∞，2ln2﹣2] D．（﹣∞，2ln2﹣2）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.只需要填写演算结果）13．（5分）已知函数，则=．14．（5分）如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=．15．（5分）己知数列{a n}满足a n≠0，2a n（1﹣a n+1）﹣2a n+1（1﹣a n）=a n﹣a n+1+a n•a n+1，且，则数列{a n}的通项公式a n=．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，若关于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共有6个小题，共70分，要求写出详细的演算步骤及解题过程．）17．（10分）已知函数f（x）=cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=﹣1，a=3，b sin C=a sin A，求△ABC的面积．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4=24，S7=63．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2n a+（﹣1）n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．20．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？21．（12分）已知椭圆的上、下两个焦点分别为F1、F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线ℓ：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A、B两个不同的点．若存在实数λ，使，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数与g（x）=a（x﹣1）．（1）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）恰好相切于点P（1，0），求实数a的值；（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：．【参考答案】一、选择题1．D【解析】由i z=2﹣4i，得，∴，∴在复平面内对应的点的坐标是（﹣4，2），故选：D．2．B【解析】∵集合，∴A={x|﹣4≤x＜1}，B={y|y＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故答案为：B．3．D【解析】f（x）=e ln x=x，（x＞0），g（x）=x（x∈R），两函数定义域不同，故不为同一函数；f（x）==x﹣2（x≠﹣2），g（x）=x﹣2（x∈R），两函数定义域不同，故不为同一函数；f（x）==sin x（x≠kπ+，k∈Z），g（x）=sin x（x∈R），两函数定义域不同，故不为同一函数；f（x）=|x|，g（x）==|x|，两函数定义域和解析式完全相同，故为同一函数．故选：D．4．C【解析】∵∥，∴4x﹣3×=0，解得x=，故选：C．5．A【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1 “的否定为∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1故选：A．6．B【解析】函数f（x）=sin2ωx+cosωx sinωx=+=+，（ω≠0），由“函数f（x）的最小正周期为π”的充要条件是：=π，解得ω=±1．可知：“ω=1”是“函数f（x）的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选：B．7．C【解析】数列{a n}满足，可得a2===﹣2+，a3===﹣2﹣，a4===1，a5===﹣2+，…，则数列{a n}为周期为3的数列，可得a20=a3×6+2=a2=﹣2+，故选：C．8．A【解析】lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥4，故选A．9．D【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得A（﹣，﹣），B（﹣，），，可得（﹣p，﹣）•（﹣p，）=0，即为p2﹣=0，可得b=2a，c==a，则e==．故选：D．10．A【解析】∵α，β均为锐角，cos（α+β）=﹣，sin（β+）=，∴α+β∈（，π），β+∈（，），可得：cos（β+）∈（﹣，），∴sin（α+β）==，cos（β+）=±=﹣，或（舍去），∴cos（α+）=sin（﹣α）=sin[（β+）﹣（α+β）]=sin（β+）cos（α+β）﹣cos（β+）sin（α+β）]=×（﹣）﹣（﹣）×=．故选：A．11．A【解析】由题意画出三棱锥的图形，其中AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=a；取BC，AD的中点分别为E，F，可知AE⊥BC，DE⊥BC，且AE∩DE=E，∴BC⊥平面AED，∴平面ABC⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时AD=a=AE=×=；设三棱锥外接圆的球心为O，半径为R，则球心O在线段EF上，∴OA=OC=R，又EF===，设OF=xOE=﹣x，∴R2=+x2=+，解得x=；∴球的半径R满足R2=+=，∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=4π×=．故选：A．12．D【解析】设直线y=kx+b（k＞0）为它们的公切线，联立可得x2﹣kx﹣b=0，由相切的条件，可得△=k2+4b=0=1 ①，y=e x+a求导可得y=e x+a，令e x+a=k可得x=ln k﹣a，所以切点坐标为（ln k﹣a，k ln k﹣ak+b），代入y=e x+a可得k=k ln k﹣ak+b②．联立①②可得k2+4k+4ak﹣4k ln k=0，化简得4+4a=4ln k﹣k．令g（k）=4ln k﹣k，，g'（k）=0，k=4；g'（k）＞0，0＜k＜4；g'（k）＜0，k＞4，∴g（k）在（0，4）内单调递增，在（4，+∞）内单调递减，g（k）max=g（4）=4ln4﹣4．∵有两条公切线，∴4+4a=4ln k﹣k方程有两解，∴4+4a＜4ln4﹣4∴a＜2ln2﹣2，故选D．二、填空题13．2π【解析】因为．所以=2π；故答案为：2π．14．【解析】设=，=，则=﹣+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（﹣+）=+，∴λ+μ=1，且﹣λ+μ=1，解得λ=，μ=，∴λ+μ=，故答案为：．15．【解析】数列{a n}满足a n≠0，2a n（1﹣a n+1）﹣2a n+1（1﹣a n）=a n﹣a n+1+a n•a n+1，且，化为：=1．∴数列{}是等差数列，公差为1，首项为3．∴=3+（n﹣1）=n+2．∴a n=．故答案为：．16．（0，1）∪{}【解析】作出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）=t，则由图象可得：当t=0时，方程f（x）=t只有1解；当0＜t＜1或t=时，方程f（x）=t有2解；当1时，方程f（x）=t有4解；∵5[f（x）]2﹣（5a+6）f（x）+6a=0，∴f（x）=或f（x）=a，∵f（x）=有4解，∴f（x）=a有两解，∴0＜a≤1或a=．故答案为：（0，1]∪{}．三、解答题17．解：（Ⅰ）原式可化为，，=，=，故其最小正周期T=，令，解得（k∈Z），即函数f（x）图象的对称轴方程为，．（Ⅱ）由（Ⅰ），知，因为，所以．又，故得，解得．由正弦定理及b sin C=a sin A，得bc=a2=9．故S=．18．解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，由已知得：a1=3，d=2，∴a n=2n+1（2）由（1）知：a n=2n+1，a1=3当n为偶数时，T n=b1+b2+…+b n===当n为奇数时，=19．证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE==，∴OB2OE2=BE2，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．解：（1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+（8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时，可得x=8﹣±．由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：①②解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为[0，]．（2）为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．21．解：（1）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为×|MN|×|F1F2|=c|MN|==，又∵=，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y并整理得：得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0 依题意：又，∴，∵P、A、B共线，∴即λ=3，且x1+3x2=0③由①②③得：将代入k2﹣m2+4＞0，得：22．解：（1）．所以．（2）方法一：（分参）即x≥1时，，x=1时，显然成立；x＞1时，即令，则令ϕ（x）=﹣x2ln x+x2﹣ln x﹣1，，∴ϕ'（x）＜ϕ（1）=0即h'（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴；故方法二：（先找必要条件）注意到x=1时，恰有f（x）﹣g（x）=0，令，则，∴F（x）≤0在[1，+∞）恒成立的必要条件为F'（1）≤0，即，∴，下面证明：当时，F（x）=﹣a（x﹣1）≤﹣（x﹣1）=h（x），而h′（x）=，令ϕ（x）=2x+2+2ln x﹣（x+1）2，，即ϕ（x）≤ϕ（1）=0，∴h（x）在[1，+∞）递减，∴h（x）≤h（1）=0恒成立，即也是充分条件，故有．（3）不妨设S n=ln（2n+1）为{a n}前n项和，则，要证原不等式，只需证，而由（2）知：当时恒有f（x）≤g（x），即当且仅当x=1时取等号，取，则，即即，即成立，从而原不等式获证．。

2018年最新黄冈市荆州市2018年4月份高三年级模拟考试

荆州市黄冈市2018年4月份高三年级模拟考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.若函数f (x )的反函数f -1(x )=1+x 2(x <0)，则f (2)的值为 A.1 B.-1 C.1或-1 D.52.已知sin2α=-⎪⎭⎫⎝⎛-∈042524,,πα则sin α+cos α等于A.51-B.51 C.-57 D.57 3.已知向量a =(2,3),b =(-1，2)，若ma+nb 与a-2b 共线，则nm等于 A.-21 B.2 C.21 D.-24.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n -1)，则a 2等于 A.4 B.2 C.1 D.-25.已知随机变量ξ则ξ的标准差为 A.3.56B.563.C.3.2D.23.6.若实数x ，y 满足|x -1|-lny1=0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是7.已知两点M (-5，0)和N (5，0)，若直线上存在点P 使|PM |-|PN |=6则称该直线为“B 型直线”，给出下列直线，①y=x +1，②y =2,③y =,x 34④y =2x +1,其中为“B 型直线”的是 A.①③ B.③④ C.①② D.①④ 8.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在BB 1上，且BD =1，若AD 与侧面AA 1CC 1所成的角为α，则α的值为 A.3π B.4π C.arc tan410 D.arc sin 469.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当x ∈[0.1)时，f (x )=2x -1,则f (log 216)的值为A.-25 B.-5 C.-21 D.-610.已知点P 是椭圆81622y x +=1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F ∙1=0，则||的取值范围是 A.[0.3)B.(0，22)C.[22，3)D.[0，4]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.11.已知点P 是圆C ：x 2+y 2+4x +ay -5=0上任意一点，P 点关于直线2x +y -1=0的对称点也在圆C 上，则实数a =_______.12.一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个项点)，则此内切球、外接球与正三棱柱的表面积之比为________. 13.已知△ABC 的三个内角为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S=a 2-(b-c )2，则tan 2A=________. 14.设a n (n=2，3，4,…)是(3+x )n的展开式中x 的一次项的系数，则a n =_________,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++20062006332233320052006a a a 的值是_______. 15.设函数f (x )的定义域为D ，如果对于任意的x 1∈D ,存在唯一的x 2∈D ，使()()221x f x f +=C (C为常数)成立，则称函数f (x )在D 上均值为C ，下列五个函数：①y =4sin x ；②y =x 3；③y=lg x ；④y =2x ；⑤y =2x -1.则满足在其定义域上均值为2的的所有函数的序号是_________.三、解答题：本大题共和6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 16.(本小题满分12分)平面直角坐标系内有点P (1，cos x )、Q (cos x ，1)，x ∈[-44ππ,]. (1)求向量OP 和OQ 的夹角θ的余弦值；(2)令f (x )=cos θ，求f (x )的最小值. 17.(本小题满分12分)某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A 班的同学和2个B 班的同学；乙景点内2个A 班同学和3个B班同学，后由于某种原因甲乙两景点各有一个同学交换景点观光.(1)求甲景点恰有2个A 班同学的概率；(2)求甲景点A 班同学数ξ的公布列及期望.18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=2，AC=BC =1， ∠ACB =90°，点E 是AB 的中点，点F 在侧村BB 1上，且EF ⊥CA 1.(1)求二面角C-A 1F-E 的大小； (2)求点E 到平面，CA 1F 的距离. 19.(本小题满分12分) 如图，已知△P 1OP 2的面积为P P ,1427=22PP ，求以直线OP 1、OP 2为渐近线过点P 的离心率为213的双曲线方程. 20.(本小题满分13分)已知f (x ) = -()2111,,*,2n n x x x f x n N +++=∈且1<x 1<2. (1)当n ≥2时，求证：1<x n <23； (2)试确定一个正整数 N (N ≥2)，使得当n>N 时，都有|x n -2|<.321 21.(本小题满分14分)设函数f (x )=(1+x )2-21n (1+x ). (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[111--e ,e]时 ,(其中e =2.718…)不等式f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若关于x 的方程f (x )=x 2+x +a 在区间[0，2]上恰好有两具相异的实根，求实数a 的取值范围.荆州市黄冈市2018年4月份高三年级模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、选择题1.B2.B3.A4.A5.B6.B7.C8.D9.C 10.B(提示：延长PF 2与F 1M 相交于Q ，则|OM|=21|F 2Q |=21|(|PF 1|-|PF 2|)| 二、填空题11.-10 12.2π：10π：93 13.41 14.()2321-∙-n n n ，18(第1空3分，第2空2分) 15.②③⑤三、解答题16.(1)∵xcos xcos OQ OP cos ,x cos cos OQ OP 21212+==∴+==∙θ(6分)(2)f (x )=,x cos x cos ,,x cos .xcos x cos x cos x cos 2231212212122≤+≤∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∈∴+=+ ∴f (x )min=322. (12分) 17.解：(1)甲乙两景点各有一具同学交换后，甲景点恰有2个A 班同学有下面几种情况：①互换的A 班同学，则此时甲景点恰好有2个A 班同学的事件记为A 1，则P (A 1)=5115141212=∙∙C C C C(3分)②互换的是B 班同学，则此时甲景点恰有2个A 班同学的事件记为A 2，则 P (A 2)=10315141312=∙∙C C C C (6分)故P=P (A 1)+P (A 2)=2110351=+(8分)(2)设甲景点内AE ξ=103³1+21³2+51³3=1019(12分)18.方法一：(1)过E 作EG ⊥F A 1，垂足为G ，连结CG 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，面A 1B ⊥面A 1B ，又AC=BC ，E 为AB 中点∴CE ⊥AB ∴CE ⊥面 A 1B ,∴CG ⊥A 1F∴∠CGE 为二面角C-A 1F-E 的平面角 (2分) 又∵CE ⊥面A 1B ∴CE ⊥EF而EF ⊥CA 1∴EF ⊥面A 1CE ∴EF ⊥A 1E(4分)∴△A 1AE ∽△EBF∴BF=112224AE BE AA ∙=⨯=在Rt △A 1AE 中，A 1E =22322222221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+AE A A 在Rt △EBF 中，EF =4341222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+BF BE ∴A 1F94=∴EG =22494322311=⨯=∙F A EF E A(6分)又CE =22∴tan ∠CGE =︒=∠∴=451CGE EGCE即二面角C -A 1F-E 的大小为45°(2)设顶点E 到平面A 1CF 的距离为d ，由(1)CG =1，CE ⊥面A 1BA 1F ⊥EF .11E-A CF C-A EF V =V∴d F A CG ,EF E A CE ∙∙⨯=∙∙1121312131 ∴d ∙⨯⨯⨯=⨯⨯⨯4912131432232231 ∴d =21即点E 到平面CA 1F 的距离为21. 方法2：(1)如图，分别以CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系并设BF=x ，则C (0，0，0)， A (1，0，0)，B (0，1，0)，E (21，21，0)，F (0，1， x )，A 1(1，0，2)，12121CA ,x ,,EF ⎪⎭⎫⎝⎛==(1，0，2)∵EF ⊥CA 1,则 1CA EF ∙=0 ∴-21³1+21³0+2x =0 x =41 ∴F (0，1，41) 设向量n =(x ，y ，z )为平面A 1CF 的法向量，则n ²01=CA ,n ²0=CA 又1CA =(1，0，2)，CF (0，1，41) ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0412y z x ，令x =2，则x =-1，y =41 ∴n =(2，41，-1) (4分)由题意CA =CB ，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ，又三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱 ∴CE ⊥平面A 1EF=(21，21，0)为平面A 1EF 的法向量 (6分)∴cos(n ,CE22224989=⨯=CE ∴(n ，CE )=45°∴二面角C-A 1F-E 的大小为45°(8分)(2)向量CE 在平面CA 1F 的法向量n 上的射影的长为d214989== 向量CE 在平面A 1CF 的法向量n 上投影长即为点E 到平面A 1CF 的距离. ∴点E 到平面A 1CF 的距离为21 19.以O 为原点，∠P 1OP 2的平分线为x 轴建立直角坐标系，设双曲线的方程为,by a x 12222=-由于双曲线的离心率为213，∴e 3=23413122=∴=+=a b ,ab a c,∴两条渐近线的方程为y ±.x 23(3分)由此设点P 1(x 1,.x 123),P 2(x 2,-.x 223)(x 1>0,x 2>0),由题设知点P 分21P P 所成的比λ=2，得点P 的坐标为(2232211x x ,x x -+)，又点P 在双曲线上，∴()()192922221221=-+a x x ,a x x ，即(x 1+2x 2)2-(x 1-2x 2)2=9a 2,∴8x 1x 2=9a 2①(8分)又|OP 1|=221212121321349x |OP |,x x x ==+且sin ∠P 1OP 2=121322tan 12291tan 1314POX POX ⨯∠==+∠+.(10分) ∴S △=21|OP 1||OP 2|sin ∠P 1OP 2=21³,x x 427131241321=由此得x 1x 2=.29代入①式得a 2=4,∴b 2=9,所求方程为19422=-y x(12分)20.解：(1)证明：f (x )=-21x 2+x +1,x n +1=f (x n )∴x n +1=-21x 2n +x n +1=-21(x n -1)2+32 当n =2时，x 2=-21(x 1-1)2+32∴1<x 2<32 ∴当n =2时，不等式成立 (4分)假设n=k (k ≥2)时不等式成立，即1<x k <23∵x k +1=-21(x k -1)2+32 ∵f (x )=-21(x -1)2+23在[1，+∞)上是减函数 ∴f (2)<f (23)<x k +1<f (1) ∴1<x k +1<23 ∴当n=k +1时不等式也成立. 综上，对于任意n ≥2都有1<x n <23成立. (2)∵x n+1-()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=221122n n x x∴|x n +1-2|=|x n -2|²|1-22+n x | ∵1<x n <23(n ≥2) ∴|x n -2|<21|x n-1-2|<122222212121221221----=∙<-<<-n n n n |x |x (12分) ∵21321=∴|x 6-2|<21 即存在N =5，当n >5时，都有|x n -2|<321(13分)21.(1)函数的定义域为(-1，+∞)，∵f (x )=2[(x +1)-11+x ]=(),x x x 122++由f (x )>0得x >0由f (x )<0,-1<x <0.则递增区间是(0，+∞)；递减则区间(-1，0)； (4分)(2)由f (x )=()0122=++x x x 得x =0由(1)知f (x )在[011,e-]上递减，在[0，e -1]上递增，又f (11-e )=(),e e f ,e 212122-=-+且e 2-2>212+e,所以x ∈[111--e ,e ]时，f (x )的最大值为e 2-2,故m>e 2-2时，不等式f (x )<m 恒成立；(3)方程f (x )=x 2+x+a,x-a +1-2ln(1+x )=0,记g (x )-a +1-2ln(1+x ),则因g ′(x)=1-1112+-=+x x x 由g ′(x)>0,得x>1，由g ′(x)<0得-1<x<1,所以g(x)在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，为使方程f(x)=x 2+x+a 在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在[0,1)和(1,2 ]上各有一个实根，于是有()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≥020100g g g∵2-2ln2<3-2ln3,解得2-2ln2<a ≤3-2ln3. (14分)。

数学(理工农医类)

（）ｒ－３Ｄ．的６个面中选取３个面，中有２个面１）其
不相邻的选法共有
（）Ａ８种（１Ｃ）６种
（１Ｂ）２种
（２种Ｄ）Ｏ
（２据２０１）０２年３月５日九届人大五次会议《府工作政报告》 “ ０１国内生产总值达到９３：２０年５９３亿元，比上年增长７３．如果 “ ・五 ” 间（０１年～． ” 十期２０
（）号）（，）Ａ（手，ｕ５７ｒ
／１ｒ＼
如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ那／，Ｚ，
”
（）亍，ｊＢＩ
次立复Ｐ（）一好Ｐ（１－ｐ的率独重试中Ｃ生－）概验恰发次
（）÷，ｒｃｆ）５７、
（）９已知ｏ＜＜１则有＜＜口，
（复【＋ｉ值２数是）Ｊ的
（一ｉＡ）（一１ｃ）（ｉＢ）（１Ｄ）（）知，异面直线，二平面，（平面，３已 ”为ｍ（＝ ”二＝ｎ
一，
一
为１侧棱长为 √ ２，这个棱柱的侧面对角线，则Ｅｌ与ＢＣＤ所成的角是
（）０Ａ９。
（）５Ｃ４。
、
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目只
要求的．
ｆ —ｃｓｏ。
（６。Ｂ）Ｏ
（８乙）本小题满分１１（２分）如图，方形ＡＢＣ、正ＤＡＢＥＦ的边长都是１而且，

2018年最新湖北省荆州市、黄冈市、宜昌市2018年高三

荆州市、黄冈市、宜昌市2018年高三联合考试数学(理工农医类)注意事项:1、本试卷共三大题21道小题,全卷满分150分，考试用时120分钟.2、答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试卷答题卡上．3、第１至10小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第11至21题用钢笔或圆珠笔在答题卡上作答,答在试卷上的无效.4、考试结束，只交答题卡.本科目考试时间:2018-4-25下午3:00—5:00一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项正确,每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,多涂、不涂或涂错均得0分.1. 不等式2|1|x x >-的解集为A .1(,)3+∞B .1(,1]3C .[1,)+∞D .1(,1)(1,)3+∞2. 已知函数()f x 是定义在闭区间[,](0)a a a ->上的奇函数，，则最大值与最小值之和为A .1B .2C .3D .03. ξ的概率密度函数为2(1)2()x f x --=，下列错误的是A .(1)(1)P P ξξ<=>B .(11)(11)P P ξξ-≤≤=-<<C .()0f x x =渐近线为D .设1ηξ=-，则(0,1)N η4. 把函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的图象按向量(,0)3πα=-平移，所得曲线的一部分如图所示，则ωϕ、的值分别是 A .1，3π B .1，3π- C .2，3π D .2，3π- 5. 已知二面角l αβ--的平面角为θ,PA α⊥，PB β⊥，A B 、到棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是A .B .C .D .6. 若不等式[(1)]lg 0a n a a --<，对任意正整数n 恒成立，则实数a 取值范围是A .1(0,)(1,)2+∞B .1(0,)2C .(1,)+∞D .1(0,)(1,)3+∞7. 三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻，那么不同的排法有A .36种B .72种C .118种D .120种8. 已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11a b >，11()a b N n N ++∈∈、，则数列{}nba 前10项和等于A .55B .70C .85D .1009. 给出平面区域G ，如图所示，其中(5,3)A ，(2,1)B ，(1,5)C ，若使目标函数(0)P ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个，则a 的值为A .12B .23C .2D .410. 对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，!!(2)(4)642n n n n =-- 当n 为奇数时，!!(2)(4)531n n n n =--`现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!=，②2006!!21003!=，③2006!!个位数为0，④2007!!个位数为5其中正确的个数为A .1B .2C .3D .4二、填空题:本大题共5小题,每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中相应的横线上。

荆州市高中毕业班质量检查(三)理科综合答案.doc

参考答案１．A ２．B ３．A ４．C ５．D ６．C ７．C ８．A ９．B １０．C１１．A １２．B １３．C １４．C １５．A １６．B １７．D １８．B １９．C ２０．A ２１．C ２２．Ｃ23.(1)必须直接或间接地以绿色植物为食物(2分)(2)3(2分)(3)生产者(2分，答“绿色植物”不给分)(4)分解有机物，释放能量(2分) 线粒体(2分)(5)43.7%(2分)(6)维持体温稳定，保证酶催化反应时所需要的适宜温度(4分)(7)ATPＡＤＰ＋Pi ＋能量(4分)，缺酶或能量或加逆反应符号“ ”，均扣1分)24.(1)23892Ｕ 23490Ｔｈ＋42Ｈｅ(2分，错或漏一处不给分) (2)DNA 分子中脱氧核苷酸的排列顺序(3分)(3)降低(2分) 升高(2分)(4)X(2分) 常(2分) 1／３２(3分)25.(1)ＣｌＯ２有强氧化性，为高效消毒剂，不与有机物发生加成和取代反应(4分)(2)２ＮａＣｌＯ３＋４ＨＣｌ（浓）Ｃｌ2↑＋ＣｌＯ２＋２ＮａＣｌ＋２Ｈ２Ｏ（4分）(3)Ｃｌ２＋２ＮａＣｌＯ２ＣｌＯ２＋２ＮａＣｌ(2分)质量好，无杂质Ｃｌ２(2分)(4)Ｎａ２ＳＯ３＋２ＮａＣｌＯ３＋Ｈ２ＳＯ４２ＣｌＯ２＋２Ｎａ２ＳＯ４＋Ｈ２Ｏ(4分)ｈγ26.(1)Ｈ２＋Ｃｌ２２ＨＣｌ(4分)(2)Δp Ｓ≥Ｆ(4分) Sp p p S mg 110)(-+Ｔ１(4分) 27.如图所示(5分)250 Ω(5分)28.解：据题意知，C 最终转化为CO ２，Ｈ最终转化为H ２Oｎ（Ｏ２）＝ｎ（Ｃ）＋4)(H n ＝［２ｍ＋（２ｍ＋２ｎ）／４］ｍｏｌ＝（２．５ｍ＋０．５ｎ）ｍｏｌ(1分)ｎ（ＣＯ２）＝ｎ（Ｃ）＝２ｍｍｏｌ(1分)ｎ（Ｈ２Ｏ）＝2222)(n m H n += ｍｏｌ＝（ｍ＋ｎ）ｍｏｌ (1分) 则：ｍ（O ２）＝（1.5ｍ＋0.5ｎ）ｍｏｌ×３２ｇ·ｍｏｌ－１＝（８０ｍ＋１６ｎ）g (3分)ｍ（ＣＯ２）＋２ｍｍｏｌ×４４９ｇ·ｍｏｌ－１＝８８ｍｇ (3分) ｍ（Ｈ２Ｏ）＝（ｍ＋ｎ）ｍｏｌ×１８ｇ·ｍｏｌ－１＝（１８ｍ＋１８ｎ）ｇ(3分) 答(略)29.解：设光电子的最大初速度大小为ｖ，当开关S 闭合，光电流恰好为零时，由动能定理得ｅＵ＝21ｍｖ２ ①(3分) 断开S ，光电流恰好为零时，光电子则在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：ｅｖＢ＝ｍrv 2②(3分) 设M 、N 极板间的距离为d则有ｄ＝２ｒ ③(3分)联立①②③解得：ｄ＝eBemU 8（3分） 30.(1)研钵(3分) 干燥器内(3分)(2)20 g 、5 g (4分)(3)最后两次称量坩埚和剩余物的质量相差不足0.1 g (4分)(4)ｘ＝４(4分)31.(1)光能→葡萄糖→ATP →各种形式的能，(3分)吸收红光和蓝紫光。

湖北剩州市2018届高三数学第一次质量检查试题理33

荆州市2018届高三年级第一次质量检查数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确． 1．已知集合{|0}1xA x x R x =≥∈-，，B ＝{y |y ＝3x 2+1，x ∈R }，则A ∩B ＝ A ．∅ B ．(1，+∞)C ．[1，+∞)D ．(-∞，0)∪(1，+∞) 2．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是 A ．y ＝e x B ．y ＝tan x C ．y ＝x 3-x D ．2ln2xy x+=- 3．已知角α的终边经过点P (-5，-12)，则3πsin()2α+的值等于 A ．513-B ．1213-C ．513D ．12134．在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是 A ．15 B ．30 C ．31 D ．645．若a ，b ，c 为实数，下列结论正确的是 A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＜b ＜0，则b aa b> C ．若a ＜b ＜0，则11a b< D ．若a ＞b ＞0，则a 2＞ab ＞b 2 6．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则3445b b b b ++的值为 A ．12B ．4C ．2 D7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a =3cos 4A =，sinB ＝2sinC ，则△ABC 的面积是 A．165 D ．858．函数ln ||1()xx f x e +=的图象大致为9．已知x 、y 满足约束条件20280240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数2y z x a +=-的取值范围为[0，2)，则实数a 的取值范围是A ．a ≥1B ．a ≤2C ．a ＜2D ．a ＜1 10．已知函数21()cos (0)22xf x x x R ωωω=+->∈，，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是A ．5(0]12，B ．5(0)6，C ．5511(0][]12612 ，，D ．5511(0](]12612，，11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x -3)＝f (-x -3)，且当x ≤-3时，f (x )＝ln(-x )．若对任意x ∈R ，不等式f (sin x -t )＞f (3sin x -1)恒成立，则实数t 的取值范围是 A ．t ＜-3或t ＞9 B ．t ＜-1或t ＞9 C ． -3＜t ＜9 D ．t ＜1或t ＞912．设函数f (x )＝e x +1-ma ，g (x )＝ae x-x （m ，a 为实数），若存在实数a ，使得f (x )≤g (x )对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．1[)2e -+∞， B ．1[0)2e -， C ．1[)e -+∞， D ．1[0)e-，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答。

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荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理工农医类）第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集U R =，集合{|13}A x x =<<，{|230}B x x =-≥，则()U A C B =（）A ．3(,)2-∞B ．(1,)+∞C ．3(1,)2D ．3[,3)22.若复数21(1)z m m i =-++是纯虚数，其中m 是实数，则2z=（） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 3.下列命题正确的是（）A ．命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；C ．“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D ．命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”.4.已知随机变量(1,1)N ξ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）注：()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=.A ．6038B ．6587C ．7028D ．7539 5.已知数列{}n a 满足15255n n a a +=⋅，且2469a a a ++=，则()15793log a a a ++=（）A ．-3B ．3C ．13- D ．136.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（） A ．16 B ．13 C ．12D ．1 7.偶函数()f x 和奇函数()g x 的图象如图所示，若关于x 的方程()()1f g x =，()()2g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（）A ．16B ．14C ．12D ．10 8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．14B ．15C ．16D ．179.已知()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，若0170a a a ++⋅⋅⋅+=，则3a =（） A ．-5 B ．-20 C ．15 D ．3510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A ．842+B ．124223+C ．64223+D ．1211.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（） A ．3535+ C ．15+ D 15+ 12.已知函数()2ln xf x e x x =++与函数()22xg x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],e -∞-B ．1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．(],1-∞- D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上. 13.平面向量(2,)a λ=，(3,1)b =-，若向量a 与b 共线，则a b ⋅= ．14.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为．15.已知x ，y 满足不等式组2030230y x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若不等式7ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是．16.设数列{}n a 满足012a =，()210,1,22018n n n a a a n +=+=⋅⋅⋅，若使得11k k a a +<<，则正整数k = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知向量()2sin 2,2cos 2a x x =，()cos ,sin ()2b πθθθ=<，若()f x a b =⋅，且函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2f A =，且5b =，23c =，求ABC ∆外接圆的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 19.手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示： ()0,2500[)2500,5000 [)5000,7500 [)7500,10000 [)10000,+∞步数性别（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20.已知倾斜角为4的直线经过抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点F ，与抛物线Γ相交于A 、B 两点，且8AB =.（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(12,8)P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N .如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点. 21.已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若21,a e ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦，求证：()12ax f x ax xe -≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C的圆心为4π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为以极点为原点，极轴方向为x 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为131x t ay t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数，a R ∈且0a ≠）.（Ⅰ）写出圆C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求AB 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设不等式112x x +--<的解集为A . （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若m A ∀∈，不等式2210mx x m -+-<恒成立，求实数x 的取值范围.荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC 二、填空题13. 203- 14.221248x y += 15. [4,3]- 16. 2018 三、解答题17.解：（Ⅰ）()2sin 2cos f xa b x θ=⋅=2sin )x x θθ=+，∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，∴262k ππθπ⨯+=+，k Z ∈，∴6k πθπ=+，k Z ∈，又2πθ<，∴6πθ=.∴())6f x x π=+. ∵函数sin y x =的单调递减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，∴2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦. ∴()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z∈. （Ⅱ）∵())6f A A π=+=，∴sin(2)16A π+=.∵(0,)A π∈，∴132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴262A ππ+=，∴6A π=. 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-25122576π=+-⨯⨯=，∴a =由正弦定理得2sin 2a R A==，∴R =，∴7S π=.18.（Ⅰ）证明：法1：连接1AB 、1AC ，显然A 、Q 、1B 三点共线.∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ；在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥，又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥， ∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ，∴1AC ⊥平面1A BC ，而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC . 法2：（用向量法同等给分）.（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，连接1A P 、1B Q ，设(,,)Q x y z ，∵1BQ BA λ=，∴(,2,)(2,2,2)x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴(2,22,2)Q λλλ-. 当点Q 在线段1A B 上运动时，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1A PB 的法向量，设平面1A PB 的法向量为1(,,)n x y z =，由11100n BP n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令2y =得1(1,2,1)n =，设平面1B PQ 的法向量为2(,,)n x y z =，由212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0(1)0y x z λλ=⎧⎨+-=⎩，令1z =得211(,0,1)(1,0,)n λλλλλ-==-，取2(1,0,)n λλ=-，∵12cos ,n n <>=10==， ∴29920λλ-+=，∴13λ=或23λ=. 19.解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为62155=. X 可能取值分别为0，1，2，3，∴00332327(0)()()55125P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===， 22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，X 的分布列为则()01125125E X =⨯+⨯231251255+⨯+⨯=.（Ⅱ）完成22⨯列联表2k 的观测值2030(91164)15151317k ⨯-⨯=⨯⨯⨯7503.394 3.841221=≈<.据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 20.解：（Ⅰ）由题意可设直线AB 的方程为2py x =-，令11(,)A x y ，22(,)B x y . 联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=，∴123x x p +=，根据抛物线的定义得，又124AB x x p p =++=，又8AB =，∴48p =，∴2p =. 则此抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，直线1l 的斜率为k ，则tan k α=. 由于直线1l 与2l 的倾斜角互余，则sin()2tan tan()2cos()2παπβαπα-=-=-cos 11sin sin tan cos ααααα===，则直线2l 的斜率为1k.于是直线CD 的方程为8(12)y k x -=-，即(12)8y k x =-+，联立2(12)84y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2432480ky y k -+-=，∴4C D y y k +=，则241624C D x x k k +=+-，∴2282(12,)M k k k+-，同理将k 换成1k得：2(1228,2)N k k k +-， ∴2212()112()8()MN k k k k k k k-=---114k k =+-. 则直线MN 的方程为212[(1228)]14y k x k k k k-=-+-+-，即1410k y x k ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，显然当10x =，0y =. 所以直线MN 经过定点(10,0). 21.解：（Ⅰ）11'()ax f x a x x-=-=， ∵0a ≤，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0a >时，由'()0f x >，得1x a >；由'()0f x <，得10x a<<；综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（Ⅱ）令1()()2ax g x f x ax xe -=-+1ln ax xe ax x -=--，则111'()ax ax g x e axe a x --=+--11(1)ax ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由于1111ax ax xe ex x----=，设1()1ax r x xe-=-，1'()(1)ax r x ax e -=+，由1'()010r x ax x a >⇒+>⇒<-，所以()r x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；由1'()010r x ax x a <⇒+<⇒>-，所以()r x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴max 211()(1)0r x r a ae ⎛⎫=-=-+≤ ⎪⎝⎭（因为21a e ≤-），从而110ax e x --≤.则()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴min 1()g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设(210,t e a ⎤=-∈⎦，221()ln 1(0)t g h t t t e a e ⎛⎫-==-+<≤ ⎪⎝⎭， 211'()0h t e t=-≤，()h t 在(20,e ⎤⎦上递减，∴2()()0h t h e ≥=； ∴()0g x ≥，故()12ax f x ax xe-≥-. 说明：判断11ax e x--的符号时，还可以用以下方法判断：由110ax e x --=得到1ln x a x -=，设1ln ()x p x x -=，2ln 2'()x p x x -=，当2x e >时，'()0p x >；当20x e <<时，'()0p x <.从而()p x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增. ∴2min 21()()p x p e e ==-. 当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即110ax e x--≤. 22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令BOX θ∠=，4AOX π∠=，在ABC ∆中，AC为直径，)4OB πρθ==-， ∵131x t a y t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为：310ax y a +--=. 法二：在直角坐标系中，圆C 的圆心为(2,2)，则方程为22(2)(2)8x y -+-=. 即22440x y x y +--=，∴24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin )4πρθθθ=+=+.（Ⅱ）法一：直线过圆C 内一定点(3,1)P ，当CP AB ⊥时，AB 有最小值，∴AB ===.法二：点(2,2)C 到直线l的距离d =，∴AB ===当1a =时，AB有最小值.23.解：（Ⅰ）由已知，令2(1)()112(11)2(1)x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，由()2f x <得{|11}A x x =-<<.（Ⅱ）将不等式2210mx x m -+-<整理成2(1)210x m x --+<，令2()(1)21g m x m x =--+，要使()0g m <，则22(1)(1)(1)210(1)(1)1210g x x g x x ⎧-=-⨯--+≤⎪⎨=-⨯-+≤⎪⎩， ∴2222020x x x x ⎧+-≥⎪⎨-≤⎪⎩，∴1102x x x ⎧≤-≥⎪⎨≤≤⎪⎩12x -≤≤.。