2000年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
2000第十七届全国初中数学联赛
【解析】这是典型的最短路线问题，一般要用对称性来做，再利用两点之间线段最短或是三角形两边之和大于第三边来分析．
如图，以 向外作正三角形，有对称性 ，则要求的是 的极值问题，显然，它们的极大值是 ，极小值是 ，易求得：
， ，故：
．
【点评】这是一道直线型和极值结合的题目上，一般这种题目归结到最后都是一条：两边之和大于第三边．
四、
【解析】 题中所给的条件 ， 都可以应用，是很正常的条件，但是对于四边形 的面积为5这个条件来说， 和 并不垂直，也不能通过求三角形面积或是其他方法来给出面积求法，所以必须把四边形分割来求，很自然的想法就是按下图的做法，将外围的三角形向内做成一个矩形，如三角形 和三角形 全等．这样，中间是一个矩形 ．
第二试
三、
【解析】1．由韦达定理得 ， ．
代入到 中：
得到 ；
又 ，
故 ．
2． ．
， 之间的距离为 ，则 ，
两边平方得： ，
故 ．
并且 满足 ，故 的最大值为 ．
【点评】本题为典型的带参数的二次函数题．这种题极为不常见但不容易得到满分．我们所用的工具无非根与系数关系（韦达定理）、根的分布关系以及恒等变形求极值等办法，但这种题非常需要严密的思维，以及正确的书写．
3．实数 ， 满足 和 ，则 ________．
4．设正三角形 的边长为2， 是 边上的中点， 是 边上的任意一点， 的最大值和最小值分别记为 和 ．则 __数，二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点 ， ．
①求证： ；
②若 ，两点之间的距离不超过 ，求 的最大值．
设分别卖出甲种、乙种、丙种水果分别为 ， ， 套，则由题意可得：
，
．
我们要求的是 种水果的销售额，即 的值，利用上两式消去 可得：
详解——2000年全国初中数学联合竞赛试卷
2000年全国初中数学联赛试题解答第一试第一试试题答案一、1、（C ）；2、（A ）；3、（C ）；4、（D ）；5、（D ）；6、（B ）二、1、20；2、150；3、4；4、详解一、1．(Ｃ)∵ 2)53(5614+=+,,∴ 原式2．(Ａ).由已知条件知x ≠0，y ≠0 . 把已知等式变形并利用等比消去y ，得则 x =3y .故3．(Ｃ)设a =1,b =3，得x =10,y =32. 从而否定(A )及(B ) . 设a =3,b =4，得x =317，y =410. 于是否定(D )，故只有(C )正确. 4．(Ｄ)由，以及若x 不是整数，则[x ]＜x 知，2|n , 3|n , 6|n ，即n 是6的倍数. 因此，小于100的这样的正整数有=16个.5．(Ｄ)以1、2、3、4为边作梯形只有以下六种可能：(1)以1、2为底；(2)以1、3为底；(3)以1、4为底；(4)以2、3为底；(5)以2、4为底；(6)以3、4为底.易知只有(3)才能构成梯形，其他都不能构成梯形.如图，设在梯形A B C D 中，A B =3，B C =4，C D =2，D A =1，过A 作A H ⊥B C 于H ，作A E ∥D C 交B C 于E ，则△A B E 是等腰三角形. 由得则6．(Ｂ)由切割线定理得P B·P A=P C·P D，有8×20=P C(P C+6).解得P C=10 .如图，连结A C.在△P A C中，由P A=2P C,∠A P C=60°，得∠P C A=90°.从而A D是圆的直径.由勾股定理，得A D2=A C2+C D2=(P A2-P C2)+C D2=202-102+62=336∴.二、1．20由题设知a2-8b≥0，4b2-4a≥0 .则a4≥64b2≥64a，∴a≥4，b2≥a≥4 .∴a2+b2≥20 .又当a=4,b=2时，抛物线y=x2+a x+2b和y=x2+2b x+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是20 .2．150 .设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套.依题意有∴(2)-(1)×11，消去x，得31(y+z)=465，故y+z=15 .所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×20=150(元). 3．4 .由题设等式知2x2-5x+4=y(x-1)≤x(x-1)，有x2-4x+4≤0，即(x-2)2≤0 .从而，x=2 .代入已知等式得y=2,故x+y=4 .4．4.先求s .∵ P A ≤A C ，P M ≤C M ， ∴ P A +P M ≤C A +C M =2+ .当点P 为顶点C 时，等号成立 .则 s =2+ .再求t.如图，作正△A ′B C .设M ′为A ′B的中点，则△P B M ≌△P B M ′. ∴ P M =P M ′.P A +P M =P A +P M ′≥A M ′.连结C M ′，则∠A C M ′=90° .∴ . ∴ t = .故.第二试（4月2日上午10:30----11:30）一、（本题满分20分） (1)由题设知△=(-2p )2-4(-p )=4p 2+4p ＞0，∴＝2p x 1+2p x 2+p +3p =2p (x 1+x 2)+4p=4p 2+4p >0.(2)∵ A B =|x 2-x 1|，∴P P 442+≤|32|-P . 有 4p 2+4p ≤4p 2-12p +9 . ∴ p ≤.又当p =时满足题意，故p 的最大值为.二、如图，在正方形A B C D中，过E、F、G、H分别作对边的垂线，得矩形P Q R T .设A B C D的边长为a，P Q=b，Q R=c，由勾股定理得由S△A E H =S△T H E ,S△B E F =S△P E F ,S△C F G =S△Q F G ,S△D G H=S△R G H，得S正方形A B C D+S矩形P Q R T=2S四边形E F G H.则a2+b c=2.5 .,有5a2=44,a2=.即S正方形A B C D=.三、原方程可化为(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0，［(k-4)x+(k-2)］［(k-2)x+(k+2)］=0，∵(k-4)(k-2)≠0，∴,.∴,.(x1≠-1,x2≠-1)消去k,得x1x2+3x1+2=0，∴x1(x2+3)=-2 .由于x1、x2都是整数，∴∴10.经检验，k=6,3,.满足题意.∴k=6,3,3。
2000-2011年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题及答案选编
2000---2011年初中数学竞赛试题汇编重要资料注意保存注意研究C2000年初中数学竞赛试题一、选择题(每小题5分，共50分)1．正多边形的一个内角为156°，它的边数是（ ）(A)10 (B)13 (C)15 (D)19 2．方程x ＋y ＝2001的整数解（ ）(A)不存在 (B)仅有1组 (C).恰有2组 (D).至少有4组 3．下列不等式中，正确的是（ ）(A)12340×12352＞123462 (B)1.99×1001×1097＞10012＋10972(C)25＞3＋7 (D)19991217＞200112194．如图，ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为（ ）(A)41(B)413-(C)81(D)8132-5．一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（ ） (A)0.5小时 (B)1小时 (C)1.2小时 (D)1.5小时 6．考虑下列四个命题：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似; ②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等; ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; ④对角线相等的梯形是等腰梯形. 其中正确命题的序号是（ ）(A)①②③④ (B)①②④ (C)②③④ (D)①④7．△ABC 三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，这三边的高依次为h a 、h b 、h c ，若a ≤h a ，b ≤h b ，则这个三角形为（ ）(A)等边三角形 (B)等腰非直角三角形 (C)直角非等腰三角形 (D)等腰直角三角形 8．若3x 3－x ＝1，则9x 4＋12x 3－3x 2－7x ＋2001的值等于（ ）(A)1999 (B)2001 (C)2003 (D)20059．如果x 3＋ax 2＋bx ＋8有两个因式x ＋1和x ＋2，则a ＋b ＝（ (A)7 (B)8 (C)15 (D)21 10．如图，若AB ＝AC ，BG ＝BH ，AK ＝KG ，则∠BAC 的度数为（ ） (A)30° (B)32° (C)36° (D)40° H B二、填空题(每小题5分，共20分) 11．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不某人一月份应交纳税款30元，则他的当月工资、薪金所得为12．如图所示，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，AD ⊥BC 交BC 于D ，则AD ＝________。
2000年全国初中数学联赛试题及解答
2000年全国初中数学联合竞赛试题第一试一．填空题1．设a,b,c 的平均数为M ， a,b 的平均数为N ，N 、c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ）。
（A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b<a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A ）甲比乙大5岁； （B ）甲比乙大10岁； （C ）乙比甲大10岁； （D ）乙比甲大5岁。
4、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A ）4个； （B ）5个； （C ）6个； （D ）7个。
5、设a,b,c 分别是ABC △的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角A ∠、B ∠的关系是（ ）。
（A ）B ∠＞2A ∠；（B ）B ∠＝2A ∠；（C ）B ∠＜2A ∠；（D ）不确定。
6、已知ABC △的三边长分别为a,b,c ，面积为S ，A △1B 1C 1的三边长分别为a 1,b 1,c 1，面积为S 1，且a>a 1,b>b 1,c>c 1，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。
（A ）S ＞S 1； （B ）S ＜S 1； （C ）S ＝S 1； （D ）不确定。
7、已知：333124++=a ，那么133aa a ++＝________。
8、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB ＝8，BC ＝62，BCD ∠＝45°，BAD ∠＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。
2000年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２０００年全国初中数学联合竞赛试题2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案2005年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2007年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案2007年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b 的值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）112、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（ ）（A ）185 （B ）4 （C ）215 （D ）2453、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）（A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ）（A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( xy，则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1、设a，则5432322a a a a a a a +---+-= 。
2000年全国初中数学竞赛试题及解析
2000年全国初中数学竞赛试题及解析一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。
由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D ＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。
2000年到2011年全国初中数学竞赛历考答案(12份)-716
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题题 号 一 二 三总 分1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S=++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223yx =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=． 4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PCQD x =-，所以BC PC BD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-， 所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q QQ x x y =++. 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。
全国初中数学联赛试题(含参考答案)
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
2000 2012全国初中数学联合竞赛试题分类汇编及详细解析 专题07 实数
一、选择题，的平均数为PN，N一试1)，若设的平均数为M，的平均数为20001、(，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
2.（2000一试3）甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；:ZXXK]来源[ 5岁。
（）乙比甲大（C10岁； D）乙比甲大3.（2000一试7）已，那么＝________。
知：1【答案】．，，那么a，）已知b，，c．4（2002一试1的大小关系）是（ Da． c＜a＜b．CBa A．＜b＜c ．b＜a＜cc＜b＜来][来源:学,科,网[ :ZXXK]源5.（2002一试6）如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k 个完全平方数的和，那么k的最小值为（）A． 1 B．2 C． 3 D．4[来[来[来源:学&科&网源:Zxxk.]源:Zxxk.] Z&X&X&K] [来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:Zxxk.]学§科§网Z§X§X§K]:来源[620031）计算：．（( )一试等于212?17?22?32 (B)4-1 -4 (C)5 (D)1(A)522Z,X,X,K],网:学,科[来源11＋）化简：2005一试1的结果是＿＿。
7．（3－66－404＋59+3022A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数222c、a、b.a,,a?2ab?c?0bc?b?0是系则实数的大小试8.（2006一4）设关】【cb?a?a?ba?b?c?b?c?ac (D)(A) (C) (B)12?a?2c?6?b?3?2a,b,c的大小关系是（9．2012一）已知，那么，试1，（）a?b?ca?c?bb?a?cb?c?a A. B. C. D.:ZXXK来源二、填空题1.2003一试10）已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,（那么a、b中较大的数是__ __.2.（2004一试10）设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= . Z|X|X|K]网|科|学:来源[K]。
2000年全国初中数学联合竞赛试题及解答
4 x 2 5xy 6 y 2 36 y 2 15 y 2 6 y 2 9 ． x 2 2 xy 3 y 2 9 y2 6 y2 3y2 2
b2 1 a2 1 ，y ，则 x ， y 这两个数一定（ a b
3．设 a ， b 是不相等的任意正数，又 x A．都不大于 2 C．至少有一个大于 2 【答】C. 方法一：令 a 4 ， b 5 ，得到 x
2000 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档； 第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
k 2 k 2 ， x2 ． k 2 k 4
5．已知一个梯形的四边条的长分别为 1，2，3，4．则此梯形的面积等于（ A．4. 【答】D. B． 6. C． 8 2 . D．
10 2. 3
）
首先考虑梯形的各个边的构成情况，以 1，2，3，4 作为边的梯形有以下六种可能：1， 2 为对边；1，3 为对边；1，4 为对边；2，3 为对边；2，4 为对边；3， 4 为对边． 如图，如果 AB 1 ， CD 2 ，显然，作 BE 平行于 AD 交 CD 于 E ， 可知 CE 1 ，而三角形 CEB 另外两边分别为 3 和 4，与三角形两边之和 大于第三边矛盾．
两边平方得： ， 4 p 2 4 p ≤ 4 p 2 12 p 9 16 p ≤ 9 p ≤ 并且 p
9 9 满足 4 p2 4 p 0 ，故 p 的最大值为 ． 16 16
9 ． 16
二． （本题满分 25 分）如图，EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形， BEG 与 CFH 都是 锐角．已知 EG＝3，FH＝4，EFGH 的面积为 5．求正方形 ABCD 的面积．
21549_2000年全国初中数.doc
2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月2日上午8:30----9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、计算的值是（）。
（A）1；（B）；（C）；（D）5。
2、若，则的值是（）。
（A）；（B）；（C）5；（D）6。
3、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定（）。
（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。
4、正整数小于100，并满足等式，其中表示不超过的最大整数，这样的正整数有（）。
（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。
5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）。
（A）4；（B）6；（C）；（D）。
6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB 和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（）。
（A）10；（B）；（C）；（D）14。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、是正数，并且抛物线和都与轴有公共点，则的最小值是________。
2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。
A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。
某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为________元。
3、实数满足和，则________。
4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为和，则________。
=============== =============== ===============第二试（4月2日上午10:30----11:30）一、（本题满分20分）设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点。
2000-2011年全国初中数学联赛试题(含答案)
则方程 的两个整数根为α＋1、β＋1，
由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a
两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3
∴ 或 解得： 或
又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)]
∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6
A．－13. B．－9. C．6. D．0.
5．在△ 中，已知 ，D，E分别是边AB，AC上的点，且 ， ， ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数 ，将其各位数字之和记为 ，如 ， ，则 （D）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
即 .
又 ，所以
，
解得 .
二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.
解因为BN是∠ABC的平分线，所以 .
又因为CH⊥AB，所以 ，
因此 .
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆.
２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００３年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００５年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
答案：
２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
答案：
解点P 、Q 在二次函数 的图象上，故 ， ，
2000年全国初中数学联合竞赛试题 .doc
２０００年全国初中数学联合竞赛试题2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案2005年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2007年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案2007年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b 的值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）112、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（ ）（A ）185 （B ）4 （C ）215（D ）245 3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）（A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ）（A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( x –22008x -) ( y –22008y -) = 2008，则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1、设a =512-，则5432322a a a a a a a+---+-= 。
全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
O1A B O2全国初中数学联赛试题一、选择题1、已知a＝2－1，b＝22－6，c＝6－2，那么a，b，c的大小关系是【】(A) a＜b＜c (B) b＜a＜c (C) c＜b＜a(D)c＜a＜b2、若m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，则m3－2mn＋n3的值为【】(A) 1 (B)0 (C)－1 (D)－23、已知二次函数的图象如图所示，并设M＝|a＋b＋c|－|a－b＋c|＋|2a＋b|－|2a－b|，则【】(A)M＞0 (B)M＝0 (C)M＜0 (D)不能确定M为正、为负或为04、直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC＝90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB 于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为【】(A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圆O₁与O₂圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O₁相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O₁与圆O₂的半径之比为【】(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：36、如果对于不小于8的自然数n，当3n＋1是一个完全平方数是，n＋1都能表示成个k 完全平方数的和，那么k的最小值为【】(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题P ′QA B C RP 7、 已知a ＜0，ab ＜0，化简，1 │a －b －32│－│b －a ＋3│＝____________8、 如图，7根圆柱形筷子的横截面圆的半径均为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为___________9、 甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件10、 设N ＝23x ＋92y 为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对 （x ，y ）共有 ____对三、解答题11、已知：a ，b ，c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ，试求方程bx 2＋cx －a ＝0的根。
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2000年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试
1、计算56145614--+的值是【 】
（A ）1 （B ）5 （C ）25 （D ）5
2、若x y x y x y y x 156523-=-=，则222
232654y
xy x y xy x +-+-的值是【 】 （A ）92 （B ）9
4 （C ）
5 （D ）6
3、设a ，b 是不相等的任意正数，又x ＝b 2＋1a ， y ＝a 2＋1b ，则x ，y 这两个数一定【 】
（A ）都不大于2 （B ）都不小于2 （C ）至少有1个大于2 （D ）至少有1个小于2
4、正整数n 小于100，并满足等式n n n n =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，
这样的正整数n 有【 】
（A ）2个 （B ）3个 （C ）12个 （D ）16个
5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于【 】 （A ）4 （B ）6 （C ）82 （D ）10
3
2
6、已知ABCD 是一个半径为R 的圆的内接四边形，AB ＝12，CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于P 且BP ＝8，∠APD ＝60°，则R 等于【 】
（A ）10 （B ）221 （C ）122 （D ）14
7、 a ，b 是正数，并且抛物线y ＝x 2＋ax ＋2b 和y ＝x 2＋2bx ＋a 都与x 轴有公共点，则a 2＋b 2的最小值是________。
8、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元。
某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为________元
9、实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝________
10、设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是边BC 上的任意一点，P A ＋PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则s 2－t 2＝________
H G A B C D E F 第二试
一、 设p 是实数，二次函数y ＝x 2－2px －p 的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1，0)， B (x 2，0)
（1）求证：2px 1＋x 22＋3p ＞0；
（2）若A ，B 间的距离不超过│2p －3│，求p 的最大值。
二、EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，∠BEG 与∠CFH 都是锐角.已知EG ＝3，FH ＝4，四边形EFGH 的面积为5. 求正方形ABCD 的面积
三、 设关于x 的二次方程(k 2－6 k ＋8) x 2＋(2k 2－2k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值
H
G
Q
R
T
A
B C
D
E F
P 2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、D ； 5、D ； 6、B
二、7、20； 8、150； 9、4； 10、43 三、（1）由题意知δ＝(－2p )²－4(－p )＝4p ²＋4p ＞0
x ₂2－2px ₂－p ＝0
∴ 2px ₁＋x ₂2＋3 p ＝2px ₁＋2px ₂＋p ＋3p ＝2p (x ₁＋x ₂)＋4p ＝4p ²＋4p ＞0
（2）∵
x ₁│＝∴ 2p 4p ²－12p ＋9
即p ≤916 且p ＝9
16
满足题意
故 p 的最大值为9
16
；
四、过E 、F 、G 、H 分别作对边的垂线，得矩形PQRT ，
设ABCD 的边长为a ，PQ ＝b ，QR ＝c ，由勾股定理可得： b ＝32－a 2 ；c ＝42－a 2 由S △AEH ＝S △TEH ，S △BEF ＝S △PEF ，S △CFG ＝S △QFC ，S △DGH ＝S △RGH ，得 S ABCD ＋S PQRT ＝2S EFGH
则×5
a ²＋•42－a 2＝10
解得：a ²＝44
5
即S 正方形ABCD ＝
445
.
五、原方程可化为
(k －4) (k －2)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0 [(k －4)x ＋(k －2)][(k －2)x ＋(k ＋2)]＝0 ∵ (k －4)(k －2)≠0 ∴ x ₁＝－k －2k －4＝－1－2
k －4
x ₂＝－k ＋2k －2＝－1－4k －2
∴ 消去k 得：x ₁x ₂＋3x ₁＋2＝0
∴ x ₁(x ₂＋3)＝－2 由于x ₁、x ₂都是整数
∴ 122
31x x =-⎧⎨
+=⎩ ；
121
32x x =⎧⎨
+=-⎩ ； 122
31x x =⎧⎨
+=-⎩ ∴ 12
2
2x x =⎧⎨
=-⎩ ；
12
1
5x x =⎧⎨
=-⎩ ； 12
2
4x x =⎧⎨
=-⎩ ∴ k ＝6，3，103
经检验，k ＝6，3，10
3 均符合题意。