云南省玉溪第二中学2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

玉溪第二中学2012-2013学年高二下学期期末考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1．全集U={1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B={3, 4},则()
U A C B ＝
A ．{1}
B ． {5}
C ．{1, 2,}
D ．{1, 2,5}
2．函数542--=
x x y 的定义域是
A ．{x|5≥x 或1-≤x }
B ．{x|－1<x<5}
C ．{x|5>x 或x <-1}
D ．{x|51≤≤-x } 3．函数x x x f cos sin )(+=的最小正周期为
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ． 1
2π
4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A ．
3,y x x R =∈ B ． sin ,y x x R =∈ C ．
lg ,0y x x =>
D ． 3,2x y x R ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
5．已知1,0,0=+>>b a b a ，则b a 1
1+
的取值范围是
A ． ()4,∞-
B ． [)+∞,4
C ．(]4,∞-
D ．()+∞,4 6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A ．23π
B ．
83π
-
C ．82π-
D ．
283π-
7．角α的终边经过点A ),3(m -，且点A 在抛物线
y x 42
-=的准线上，则sin α=
A ．12-
B ．1
2 C
．2-
D
．2
8．设变量y x ,满足
,011⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≤+x y x y x 则y x 2+的最大值和最小值分别为
A ．2,-2
B ． 1,-1
C ．1,-2
D ． 2,-1 9．已知向量(3,2)a =-，(,4)b x =，若a//b ，则x=
A ．83
B ．-8
3 C ．6
D ．-6
10．“2=m ”是“直线m x y +=与圆
122=+y x 相切”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分而不必要条件
D ．既不充分也不必要
11．如图，圆222
:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴
围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内 投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A ．24π B ．34π C ．22π D ．3
2π
12．已知
,,34
224,21,022 ≥++=+≥+
>x x x x x x x x 由不等式启发我们可以推广为
a N n n x a x n 则实数),(1*
∈+≥+
的值为
A ．2
B ．2n+1
C ．n2
D ．nn 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1
s ，
2
s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标
准差，则
1
s
2
s ．（填“>”、“<”或“＝”）．
14．复数2
(1)1i i +-的共轭复数是
15. 已知{an}是等比数列，251
,4
2a a ==,则公比q=
16．阅读右侧的算法框图，输出结果S 的值为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）某班同学利用今年五一节假期进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值。

18（12分）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为.2,43
cos ,,,A C A c b a ==
（I ）求C cos 的值；
（II ）若c a ac ,,24求=的值。

19（12分）．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E 在CC1上且C1E=3EC （Ⅰ）证明；⊥C A 1平面BED ； （Ⅱ）求二面角A1-DE-B 的余弦值。

20（12分）．已知数列}
{n a 中，
).
2(322,3*11N n n a a a n n n ∈≥++=-=-且
（1）求
3
2,a a 的值；
（2）设n n n a b 23
+=
，证明}{n b 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式。

21．（12分）设函数)3ln(2)(+-=x x x f
（Ⅰ）求曲线y=()f x 在-点（1,12ln4)处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[-2,3]上的最值。

22．（12分）已知椭圆
)0
(1
:
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
C
的离心率为3
6
，椭圆C上任意一点到
椭圆两个焦点的距离之和为6。

（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线
2
:-
=kx
y
l与椭圆C交于A、B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的
方程。

2012-2013学年下学期高二年级期末质量检测
（理科数学）参考解答
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300
⨯=，
所以
195
0.65300p =
=．
第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=． ………… 10分
因为
,
81
cos =C 所以,873)81(1sin 2=-=C …………8分
根据正弦定理,
sin sin C c A a =所以
,32=c a …………10分 又24ac =，解得6,4c a == …………12分
19.解：以D 为坐标原点，建立如图所示直角坐标系D －xyz.
依题意，B （2，2，0，）C （0，2，0）E （0，2，1）A1（2，0，4）.
DE = （0，2，1）DB = （2，2，0，）,
A 1=（－2，2，－4）1DA =（2，0，4） ……3分 （Ⅰ）因为 A 1·D
B = A 1 ·DE =0， 故,,11DE
C A B
D C A ⊥⊥ 又,D D
E DB =
所以⊥C A 1平面DBE. ……6分
所以二面角A1－DE －B 的余弦值为4214
. …………12分 ．
20．解：（1）
13
322,132232
2312=++==++=a a a a …………4分
（2）.122)32(21232311
11111==--=+-+=-+++++++n n n n n n
n n n n n a a a a b b
∴数列
}
{n b 是公差为1的等差数列。

…………10分
)(32)1(,123*
N n n a n a b n n n
n n ∈-⋅-=∴-=+=
……12分
21． （Ⅰ）解：
21()1(3)33x f x x x x +'=-
=>-++，
'1
(1)2f = …………2分 1
(12l n 4)(1)
2
214l n 404y x x y --=--+-=⋯⋯⋯⋯所求切线方程为即分
（Ⅱ）解得0)('
>x f ),1()(+∞-的增区间为x f
得解0)('<x f )1,3()(--的减区间为x f …………6分
所以()
f x 极小值
=2ln 1)1(--=-f …………8分
且21ln 22)2(-=--=-f < 6ln 23)3(-=f …………11分
所以
=最大值)(x f 6ln 23)3(-=f ，=最小值)(x f 2
ln 1)1(--=-f …………12分
22．解：（I
）由已知
26,
3c a a ==，222a b c -= ………………2分
解得3,a c ===3 ………………3分
所以椭圆C 的方程为22
1.93x y += ………………4分
计算
121222
124
()4,13413k y y k x x k k k +=+-=⋅
=-+-+
所以，A ，B 中点坐标为22
62
(,),1313k E k
k -++ ………………10分
因为|PA|=|PB|，所以PE ⊥AB ，
1,
PE AB k k ⋅=-
所以2
2
2
1
131
613k k k k -
-+⋅=-+，
………………10分。