2013-2014高一数学必修4试题及答案

2013-2014高 一 数 学 测 试 卷1（必修4）
一、填空题（1-8题每题5分 , 9-14题每题6分，共76分） 1、比较大小： 0c o s (508)- 0cos(144)- 2、函数tan 2y x =的定义域是
3、函数y ＝cos(2x －4π
)的单调递增区间是_________________ 4、若21tan =α，则α
αα
αcos 3sin 2cos sin -+=
5、函数y =
___________
6、函数)2
3cos(3x y π
+=的图象是把y=3cos3x 的图象平移而得，平移方法是______________
7、函数x
x
y sin 3sin 3+-=
的值域为______________________
8、①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③相等向量一定共线；④共线向量一定相等；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量，其中正确的命题是 。

9、函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0,0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为___________________ 10、函数2005
sin(
2004)2
y x π=-是_______函数 (填：奇函数、 偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数 ) 11、 关于函数f(x)＝4sin(2x ＋
3
π
), (x ∈R )有下列命题：
①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6
π
)；
③y ＝f(x)的图象关于点(－
6
π
，0)对称； ④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝512
π
-
对称； 其中正确的序号为 。

12、直线y
a = （a 为常数）与正切曲线tan y x ω=（0ω>）相交的相邻两点间的距离是_______
13、如下图，函数)6
56(
3sin 2π
π
≤
≤=x x y 与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________________________
14、如上图，函数f(x)=Asin(ωx ＋ϕ) (A>O ，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f (2)+…+f(2008)的值等于________ 二、解答题（共6大题，共84分） 15、(本题满分14分)
（1）已知tan 3α=-，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ; （2
）已知sin cos ,2,tan ααπαπα-=求的值。

16、(本题满分14分)
已知tan(3)3π
α+=，
试求 sin(3)cos()sin()2cos()
22sin()cos()
π
π
αππααααπα-+-+--+--++的值．
17、 (本题满分14分)
已知sin ,cos αα是方程2
2
255(21)0x t x t t -+++=的两根，且α为锐角。

⑴求t 的值； ⑵求以
11
,sin cos αα
为两根的一元二次方程。

18、(本题满分14分)
求下列函数的值域：
22()2cos 3sin 3[,]63
f x x x x ππ
=++∈
19、（本题满分14分）
A （3-6班做）已知函数()sin(),(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的图象，它与y 轴的交点为（30,
2
），它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为00(,3),(2,3)x x π+-. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间和对称中心.
（3）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
B （1-2班做）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋ϕ) (ω>0，0≤ϕ≤π)是R 上的偶函数，其图象关
于点M (
34
π，0)对称，且在区间[0,
2
π
]上是单调函数，求 ωϕ，的值。

20、（本小题满分14分）
A （3-6班做）函数y ＝Asin(ωx+ϕ)(A ＞0,ω＞0)在x ∈(0，7π)内取到一个最大值和一个最
小值，且当x ＝π时，y 有最大值3，当x ＝6π时，y 有最小值-3. （1）求此函数解析式；
（2）写出该函数的单调递增区间；
(3) 是否存在实数m ，满足不等式Asin(ϕ)＞Asin(ϕ )? 若存在，求出m 值（或范围），若不存在，请说明理由。

B （1-2班做）某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y =
已知某日海水深度的数据如下：
经长期观察，)(t f y =的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象 （1）根据以上数据，求出函数
b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。

某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）
参考答案
一、填空题（1-8题每题5分,9-14题每题6分，共76分）
1、＜
2、{|,}24
k x x k Z ππ≠+∈ 3、[k π－83π，k π＋8π]，k Z ∈或[k π+58π，k π＋98π
]，k Z ∈
4、34-
5、222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦ 6、向左平移6π个单位长度
7、[2
1，2] 8、③ 9、)322sin(2π
+=x y 10、偶
11、②③④ 12、
π
ω 13、3
4π 14、0 二、解答题（共6大题，共84分）
15、（1
）sin ,cos αα=
= （2）tan 2α= 16、由tan(3)3πα+=， 可得 tan 3α=，
故 sin(3)cos()sin()2cos()
22sin()cos()
ππ
αππααααπα-+-+--+--++
sin cos cos 2sin sin cos αααααα--++=
- sin sin cos ααα
=
-tan tan 1
α
α=
-33
312
=
=- 17、⑴t=3,t=-4(舍去)， ⑵ 2
352501212
y y -+= 18、1sin [,1]2x ∈，值域是49
[6,
]8
19、A 解答：（1）由题意可得3A =,由在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,3)x ，
0(2,3)x π+-得
00222T x x ππ=+-=，∴4T π= 从而1
2
ω= 又图象与y 轴交于点3(0,)2，∴33sin 2ϕ=⇒1sin 2ϕ=由于||)2πϕ<，∴6
π
ϕ=
函数的解析式为1()3sin()26
f x x π
=+
(2) 递增区间：42[4,4],()33k k k Z ππππ-+∈ 对称中心：2(2,0)()3
k k Z π
π+∈
(3) 将函数sin y x =的图象向左平移
6
π
个单位，,再将所得函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍,最后将所得函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍得到函数
13sin()26
y x π
=+的图象 。

B 解答： 22,3
2
πωϕ==或
20、A 解答：(1)∵A ＝3
2
T
＝5π⇒T ＝10π ∴ω＝T π2＝51 51π+ϕ＝2
π⇒ϕ＝103π ∴y ＝3sin(51x+103π)
（2）令 2k π-2π≤51x+103π ≤2k π+2
π
得10k π-4π≤x ≤10k π+π k ∈Z
∴函数的单调递增区间为：｛x ∣10k π-4π≤x ≤10k π+π k ∈Z ｝ (3)∵ω322++-m m +ϕ＝
5
1
4)1(2+--m +
103π∈(0, 2
π)
ω
42+-m +ϕ＝
5π 42+-m + 103π∈(0, 2π
) 而y ＝sint 在(0，2
π
)上是增函数
∴ω
322++-m m +ϕ＞ω42+-m +ϕ⇒322++-m m ＞42
+-m
B 解答：（1）依题意有：最小正周期为： 12=T
振幅：3=A ， 10=b ， 62ππω==T 10)6
sin(3)(+⋅==t t f y π
（2）该船安全进出港，需满足：55.6+≥y 即： 5.1110)6sin(3≥+⋅t π 2
1
)6s i n (≥⋅t π
Z k k t k ∈+≤⋅≤+∴6
52662π
ππππ Z k k t k ∈+≤≤+512112
又 240≤≤t 51≤≤∴t 或1713≤≤t
依题意：该船至多能在港内停留：16117=-（小时）。