2020届百校联盟(全国卷)高三第三次模拟考试数学(文)试题
2020年高三第三次模拟考试卷文科数学(三)(含答案)
c 2 ，则角 C （ ）
A． 5π 6
B． π 6
C． π 4
D． π 3
uur uuur 10 ． 在 △ ABC 中 ， A, B 分 别 是 双 曲 线 E 的 左 、 右 焦 点 ， 点 C 在 E 上 ． 若 BA BC 0 ，
uur uuur uuur
( BA BC) AC 0 ，则双曲线 E 的离心率为（
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
）
A． 36
B． 18
C． 6 2
D． 5 2
8．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知
甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（
）
2
A．
9
1
B．
5
3
C．
10
1
D．
3
9． △ ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 sin B sin A(sin C cosC) 0 ， a 2 ，
增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间
x 与乘客等候人数 y 之间的关系，经过调查得到如下
数据：
间隔时间 x （分钟）
10
11
12
13
14
15
等候人数 y （人）
23
校2020届高三数学第三次模拟考试试题文(含解析)
校2020届高三数学第三次模拟考试试题文（含解析）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一.选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的概念进行运算可得结果.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2.已知向量，.若向量与垂直，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】向量与垂直可得数量积,根据向量坐标计算即可.【详解】因为向量，，且向量与垂直，所以，即，解得，故选：D【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，向量垂直的性质，属于容易题.3.在复平面内复数对应的点在( )A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】分析：首先化简复数，然后结合复数对应的点即可求得最终结果.详解：结合复数的运算法则可得：，该复数对应的点的坐标位于第一象限.本题选择A选项.点睛：本题主要考查复数的混合运算，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.双曲线的渐近线方程是（）A. y±4x＝0B. y±2x＝0C. x±2y＝0D. x±4y＝0【答案】C【解析】【分析】直接在双曲线的方程中把1变为0，可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的方程为双曲线.则令，得，即所以双曲线的渐近线方程为：.故选：C【点睛】本题考查根据双曲线的方程求渐近线方程，属于基础题.5.若实数满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到最值.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，则，表示直线纵截距的相反数，根据图象知：当直线过点，即，时最小为.故选：C.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图象是解题的关键.6.已知等差数列满足，，则数列的前项的和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的通项公式和求和公式计算得到答案.【详解】，，则，解得，故.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.7.设则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合换底公式比较大小得到答案.【详解】，，且，故，，故.故选：A.【点睛】本题考查了利用指数对数函数单调性，换底公式比较大小，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.若某位同学次数学成绩和次语文成绩的茎叶图如图，则该同学的数学成绩平均分与语文成绩的中位数分别为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根据茎叶图提供的数据分别计算数学成绩的平均值、语文成绩的中位数即可.【详解】由茎叶图知，5次数学成绩的平均分为(分)，语文成绩的中位数为故选：C【点睛】本题主要考查了茎叶图，平均数，中位数，属于容易题.9.已知函数，则（）A. 的最小正周期为B. 曲线关于对称C. 的最大值为D. 曲线关于对称【答案】D【解析】【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以所以函数的最小正周期，最大值为又，所以函数关于对称，故正确的为D；故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及正弦函数的性质的应用，属于基础题.10.四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图画出直观图，有两个三角形，则必为锥体，底面为正方形，故而原图为一条侧棱垂直底面的四棱锥，进而可以将其补全为一个正方体再来求外接球的半径，即可求解.【详解】将三视图还原为直观图，可得四棱锥，将其放入棱长为的正方体，如图，则四棱锥与该正方体内接于同一个球，所以∴故选：B【点睛】本题主要考查了四棱锥及其外接球，考查了正方体及其外接球，球的面积公式，三视图，属于中档题.11.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】变换得到，设，求导得到单调区间，画出图象得到答案.【详解】，则，设，则，当时，，函数单调递增；当及时，，函数单调递减，且，，画出函数图象，如图所示：根据图象知，.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，构造函数画图是解题的关键.12.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设，则，，，由，利用余弦定理，可得，在中，利用余弦定理，即可求椭圆的离心率.【详解】由题意，如图：设，因，则，由椭圆的定义知，，，在中，由余弦定理得：，即，整理得，在中，由余弦定理得：，即，即，即，所以，椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查余弦定理的应用，考查椭圆离心率公式，考查计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在机读卡上相应的位置.13.已知抛物线的方程，其准线方程为________；【答案】【解析】【分析】将抛物线方程化为标准式，再根据抛物线的性质计算可得；【详解】解：因为抛物线方程为，化成标准式为，所以所以其准线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______；【答案】【解析】【分析】根据题意，命题“”是假命题，其等价转化为命题“”是真命题，设函数，则为开口向上的二次函数，即可得到结论.【详解】由题意，命题“”是假命题，其等价转化为命题“”是真命题，设，则函数为开口向上的二次函数，所以，由恒成立，即，解得，故实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，二次函数的性质，属于基础题.15.已知各项都为正数的等比数列，若，则______；【答案】19【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：已知各项都为正数的等比数列且所以，解得或（舍去）所以故答案为：【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.16.正方体的棱长为，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若与重合，此时截面把正方体分成体积之比为的两部分，则______；若为棱的中点，则截面面积为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）当点与重合时，求三棱锥的体积和正方体的体积，做差得到剩余部分的体积，最后求比值；（2）首先作出截面，如图，四边形是等腰梯形，再计算等腰梯形的面积.【详解】（1）当点与重合时，三棱锥的体积，正方体的体积，则正方体除去三棱锥，剩下的几何体的体积，所以；（2）当为棱的中点时，取的中点，连结，，，且，又因为,所以四点四点共面，且四边形是等腰梯形，截面如下图，，所以等腰梯形的高为故答案为：；【点睛】本题考查作几何体中截面，以及计算截面面积，重点考查数形结合分析问题的能力，计算能力，属于基础题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角所对应的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简可得，即可得到结论；（2）根据题意，由余弦定理可得，解得，再利用三角形面积公式即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，即，即，又，所以，即.（2）由题意，，，，由余弦定理得：，即，解得（舍）或，所以.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键.18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了止损，某地一水果店老板利用抖音直播卖货，经过一段时间对一种水果的销售情况进行统计，得到天的数据如下：销售单价（元/）销售量（）（1）建立关于的回归直线方程；（2）该水果店开展促销活动，当该水果销售单价为元/时，其销售量达到，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（1）中得到的回归直线方程是否理想？（3）根据（1）的结果，若该水果成本是元/，销售单价为何值时（销售单价不超过元/），该水果店利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程，其中，.参考数据：，.【答案】（1）（2）所得到的回归直线方程是理想的（3）该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润【解析】【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）当时，，得到答案.（3）设销售利润为，则，根据二次函数性质得到答案.【详解】（1），，故，则，故回归方程为.（2）当时，，则，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的.（3）设销售利润为，则，，所以时，取最大值，所以该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润.【点睛】本题考查了求回归方程及回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.已知正边长为，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示.（1）求证：直线平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明线面垂直，需证明线与平面内的两条直线垂直，根据余弦定理和勾股定理可知，；（2）根据四棱锥的体积公式直接计算求解.【详解】解：（1）依题意得，在中，，，由余弦定理得，即，，即在图2中，，，，又，平面，平面（2）由（1）可知平面所以为四棱锥的高，所以.【点睛】本题考查线面垂直，锥体的体积公式，重点考查推理证明，计算能力，属于基础题型.20.已知椭圆的长轴长为，且其离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.（其中为坐标原点）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，，列式求解；（2）设直线方程为：，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示的面积，，代入后换元求面积的最大值.【详解】（1）由已知得，，解得：，则的方程为；（2）由已知直线斜率不为0，，所以设直线方程为：，，由得：设，则，又因为在上单调增，所以当时，面积有最大值，此时.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21.已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）设①当时，求函数的单调区间；②当时，求函数的极大值.【答案】（1）（2）①函数的单调增区间为，单调减区间为②【解析】【分析】（1）先求出导数值，即切线斜率，再求出切线方程；（2）①求出，令，求出递增区间，令，求出递减区间；②求出，利用，求出单调区间，由，求出极值点，再求出函数的极大值.【详解】（1），切线斜率又切线方程为（2）当时，，由，设，，即在上单调递减，又因为所以时，，即，此时函数单调递增，时，，即，此时函数单调递减，所以当时，函数的单调增区间为，单调减区间为②当时，，，令，，则在单调递减，又，，使得，故当，即，此时单调递增；当，即，此时单调递减；且，极大值又，，所以故极大值.【点睛】本题考查了导数几何意义，利用导数求切线方程，还考查了利用导数求单调区间，极值，考查了学生分析、运算能力，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.【答案】（1）（2）30【解析】【分析】（1）将直线的参数方程消去可得直角坐标方程，结合极坐标方程与直角坐标方程间的关系，求求得的直角坐标方程.（2）将直线的参数方程，代入的直角坐标方程中，得到关于的一元二次方程，结合根与系数关系，及，可求出答案．【详解】（1）由已知得直角坐标方程分别为，由，则，得.（2）将直线的参数方程代入直角方程得：，不妨设对应的参数分别为，则恒成立，，又因为，所以由参数的几何意义得：，.【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的转化，考查直线参数方程中参数含义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.选修4—5：不等式选讲23.函数（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）若的最小值为，，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）对分类讨论去绝对值化简，求出各段函数的范围，即可求出的最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，将所求的不等式化为，利用基本不等式，即可证明结论.【详解】（1）当时，；当时，；当时，．所以的最小值为．（2）由（1）知，即，又因为，所以．当且仅当，即时，等号成立，所以．【点睛】本题考查分类讨论求绝对值不等式的最值，以及利用基本不等式证明不等式，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.校2020届高三数学第三次模拟考试试题文（含解析）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一.选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的概念进行运算可得结果.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2.已知向量，.若向量与垂直，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】向量与垂直可得数量积,根据向量坐标计算即可.【详解】因为向量，，且向量与垂直，所以，即，解得，故选：D【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，向量垂直的性质，属于容易题.3.在复平面内复数对应的点在( )A第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】分析：首先化简复数，然后结合复数对应的点即可求得最终结果.详解：结合复数的运算法则可得：，该复数对应的点的坐标位于第一象限.本题选择A选项.点睛：本题主要考查复数的混合运算，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.双曲线的渐近线方程是（）A. y±4x＝0B. y±2x＝0C. x±2y＝0D. x±4y＝0【答案】C【解析】【分析】直接在双曲线的方程中把1变为0，可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的方程为双曲线.则令，得，即所以双曲线的渐近线方程为：.故选：C【点睛】本题考查根据双曲线的方程求渐近线方程，属于基础题.5.若实数满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到最值.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，则，表示直线纵截距的相反数，根据图象知：当直线过点，即，时最小为.故选：C.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图象是解题的关键.6.已知等差数列满足，，则数列的前项的和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的通项公式和求和公式计算得到答案.【详解】，，则，解得，故.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.7.设则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合换底公式比较大小得到答案.【详解】，，且，故，，故.故选：A.【点睛】本题考查了利用指数对数函数单调性，换底公式比较大小，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.若某位同学次数学成绩和次语文成绩的茎叶图如图，则该同学的数学成绩平均分与语文成绩的中位数分别为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根据茎叶图提供的数据分别计算数学成绩的平均值、语文成绩的中位数即可.【详解】由茎叶图知，5次数学成绩的平均分为(分)，语文成绩的中位数为故选：C【点睛】本题主要考查了茎叶图，平均数，中位数，属于容易题.9.已知函数，则（）A. 的最小正周期为B. 曲线关于对称C. 的最大值为D. 曲线关于对称【答案】D【解析】【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以所以函数的最小正周期，最大值为又，所以函数关于对称，故正确的为D；故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及正弦函数的性质的应用，属于基础题.10.四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图画出直观图，有两个三角形，则必为锥体，底面为正方形，故而原图为一条侧棱垂直底面的四棱锥，进而可以将其补全为一个正方体再来求外接球的半径，即可求解.【详解】将三视图还原为直观图，可得四棱锥，将其放入棱长为的正方体，如图，则四棱锥与该正方体内接于同一个球，所以∴故选：B【点睛】本题主要考查了四棱锥及其外接球，考查了正方体及其外接球，球的面积公式，三视图，属于中档题.11.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】变换得到，设，求导得到单调区间，画出图象得到答案.【详解】，则，设，则，当时，，函数单调递增；当及时，，函数单调递减，且，，画出函数图象，如图所示：根据图象知，.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，构造函数画图是解题的关键.12.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设，则，，，由，利用余弦定理，可得，在中，利用余弦定理，即可求椭圆的离心率.【详解】由题意，如图：设，因，则，由椭圆的定义知，，，在中，由余弦定理得：，即，整理得，在中，由余弦定理得：，即，即，即，所以，椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查余弦定理的应用，考查椭圆离心率公式，考查计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在机读卡上相应的位置.13.已知抛物线的方程，其准线方程为________；【答案】【解析】【分析】将抛物线方程化为标准式，再根据抛物线的性质计算可得；【详解】解：因为抛物线方程为，化成标准式为，所以所以其准线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______；【答案】【解析】【分析】根据题意，命题“”是假命题，其等价转化为命题“”是真命题，设函数，则为开口向上的二次函数，即可得到结论.【详解】由题意，命题“”是假命题，其等价转化为命题“”是真命题，设，则函数为开口向上的二次函数，所以，由恒成立，即，解得，故实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，二次函数的性质，属于基础题.15.已知各项都为正数的等比数列，若，则______；【答案】19【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：已知各项都为正数的等比数列且所以，解得或（舍去）所以故答案为：【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.16.正方体的棱长为，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若与重合，此时截面把正方体分成体积之比为的两部分，则______；若为棱的中点，则截面面积为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）当点与重合时，求三棱锥的体积和正方体的体积，做差得到剩余部分的体积，最后求比值；（2）首先作出截面，如图，四边形是等腰梯形，再计算等腰梯形的面积.【详解】（1）当点与重合时，三棱锥的体积，正方体的体积，则正方体除去三棱锥，剩下的几何体的体积，所以；（2）当为棱的中点时，取的中点，连结，，，且，又因为,所以四点四点共面，且四边形是等腰梯形，截面如下图，，所以等腰梯形的高为故答案为：；【点睛】本题考查作几何体中截面，以及计算截面面积，重点考查数形结合分析问题的能力，计算能力，属于基础题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角所对应的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简可得，即可得到结论；（2）根据题意，由余弦定理可得，解得，再利用三角形面积公式即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，即，即，又，所以，即.（2）由题意，，，，由余弦定理得：，即，解得（舍）或，所以.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键.18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了止损，某地一水果店老板利用抖音直播卖货，经过一段时间对一种水果的销售情况进行统计，得到天的数据如下：销售单价（元/）销售量（）（1）建立关于的回归直线方程；（2）该水果店开展促销活动，当该水果销售单价为元/时，其销售量达到，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（1）中得到的回归直线方程是否理想？（3）根据（1）的结果，若该水果成本是元/，销售单价为何值时（销售单价不超过元/），该水果店利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程，其中，.参考数据：，.【答案】（1）（2）所得到的回归直线方程是理想的（3）该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润【解析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）当时，，得到答案.（3）设销售利润为，则，根据二次函数性质得到答案.【详解】（1），，故，则，故回归方程为.（2）当时，，则，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的.（3）设销售利润为，则，，所以时，取最大值，所以该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润.【点睛】本题考查了求回归方程及回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.已知正边长为，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示.（1）求证：直线平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】。
2020高考数学(文科)全国三卷高考模拟试卷(2)
则将韦恩图（ Venn）图中的阴影部分表示集合是（
）
A ．.{1 ， 5}
B ．{2 ， 3}
C． .{4 ， 5}
D． .{0 ， 6}
【解答】 解：由 Venn 图中阴影部分可知对应集合为 A∩（ ?UB）， ∵全集 U ＝ {0 ， 1，2， 3，4， 5， 6} ，集合 A＝ {1 ， 2， 3，5} ，B＝ {2 ， 3， 4} ，
5 万居民的光明社区采用
分层抽样方法得到年内家庭人均 GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如表：
人均 GDPx（万
3
6
9
12
15
元 /人）
人均垃圾清运
0.13
0.23
0.31
0.41
0.52
量 y（吨 /人）
（ 1）已知变量 y 与 x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程； （ 2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网 电量 200 干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均 GDP 的频率分布直方图，请补全 [15 ，
→→→
→
→
→
→→ →→
7．（ 5 分）若 ??，??， ??满足， |??| = |??| = 2|??| = 2 ，则 (??- ??) ?(??- ??)的最大值为（
）
A ．10
B ．12
8．（ 5 分）“ x2＞ y2”是“ x＞ y”的（
A ．充分不必要
C ．充分必要
C． 5 √3 ）条件
D． 6 √2
球的概率为（
）
3 A．
14
3 B．
7
6 C．
7
2020届高三第三次模拟考试数学文试题含答案
2020届第三次模拟考试文科数学试题参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑ 一、选择题（10小题，每小题5分，共50分） 1、设U R =，若集合{}|12M x x =-<≤，则U C M =A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()[),12,-∞-⋃+∞D. (](),12,-∞-⋃+∞ 2、设i 为虚数单位，则复数343i i +为A.43i --B.43i -+C.i 4+3D.i 4-33．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =A ．8B ．12C ．88-或D ．1212-或 4、下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上存在零点的是 A 、1y x=B 、lg ||y x =C 、x y e -=D 、21y x =-- 5．总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 6．若如图所示的程序框图输出的S 是62，则在判断框 中M 表示的“条件”应该是A . 3n ≥B . 4n ≥C . 5n ≥D . 6n ≥7、在平面直角坐标系中，O （0,0），P （6,8），将向量OP uuu r按逆时针旋转2π后，得向量OQ uuu r ，则点Q 的坐标是A 、（－8，6）B 、（－6,8）C 、（6,－8）D 、（8，－6）8、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为第6题图A ．3y x =± B ． 32y x =±C ．33y x =±D ． 32y x =± 9、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A. [)3+∞，B. []83-，C. (],9-∞D. []89-，10、设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“倍约束函数”。
2020届高三第三次模拟考试卷 文科数学(一) 解析版
2020届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设3i1iz +=-，则||z =（ ）A ．3B ．5C ．3D ．2答案：B 解：|3i |10||5|1i |2z +===-． 2．设集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =≤，则()A B =R I ð（ ） A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{1,2} D ．{1,2,3}答案：A解：{|3}B x x =>R ð，(){4,5}A B =R I ð．3．已知22log 5log 5x =-，5log 3y =，125z -=，则下列关系正确的是（ ） A ．z y x << B ．z x y << C ．x y z << D ．y z x <<答案：A解：∵222log 5log 5log 51x =-=>，5log 31y =<，1211525z -==<， 因为551log 3log 52>=，即y z >，∴z y x <<．4．定义：10000100010010abcde a b c d e =++++，当五位数abcde 满足a b c <<，且c d e >>时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ） A ．16B ．110C ．112D ．120答案：D解：由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个基本事件，所以恰好为“凸数”的概率为6112020P ==． 5．函数||2()2x f x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D解：由||2()2x f x x =-为偶函数可排除A ，C ；当01x <<时，2xy =图象高于2y x =图象，即||220x x ->，排除B ，故选D ．6．将参加体检的36名学生，编号为1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为9的样本，已知样本中含有编号为33的学生，则下面十名学生编号中被抽到的是（ ） A ．13 B ．14 C ．23 D ．24答案：A解：从36名学生中抽取9名，抽样间隔为4，所以9名学生的编号分别为33，29，25，21，17，13，9，5，1． 7．若cos57m ︒=，则cos213︒=（ ）A ．21m--B ．2211m m--+ C ．21m --D ．m -答案：C解：2cos213cos(18033)cos33sin571m ︒=︒+︒=-︒=-︒=--．8．若向量(2,3)=m ，(1,)λ=-n ，且(23)⊥-m m n ，则实数λ的值为（ ） A ．329-B ．329C ．32D ．32-此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号答案：B解：由题意得，23(7,63)λ-=-m n ，∵(23)⊥-m m n ，∴(23)0⋅-=m m n ，即141890λ+-=，解得329λ=． 9．执行下面的程序框图，如果输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．5n <B ．5n ≤C ．6n <D ．6n ≤答案：D解：运行程序，0,2S n ==，判断是，1,42S n ==，判断是，11,624S n =+=，判断是，11111,824612S n =++==，判断否，输出1112S =，故答案为D ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的焦点(2,0)F 3，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1 B 3 C ．2 D ．23答案：C解：由题意知双曲线的焦点(2,0)到渐近线的距离为3b =2224c a b =+=，所以1a =，该双曲线的离心率为2ca=．11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos a B b A c C +=，sin sin sin 0a A c C b A -+=，则ba=（ ） A ．53B ．73 C ．72D ．52答案：A解：在ABC △中，由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=，得sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=，∴sin()sin 3sin cos A B C C C +==， 又sin 0C ≠，∴1cos 3C =， 由正弦定理及sin sin sin 0a A c C b A -+=，得22a c ab -=-，∴由余弦定理得22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===，即213b a -=，∴53b a =． 12．抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22221y x -=的一个焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l 交C 于A 、B ，则||AB =（ ）A 432 B ．432C ．163D ．16答案：D解：双曲线2211122y x -=，∴焦点(0,1)±，∴(0,1)F ，114a =，∴14a =，直线:31l y x =+，由2431x y y x ìï=ïíï=+ïî，得21410y y -+=，1214y y +=，1212||||||(1)(1)216AB AF BF y y y y =+=+++=++=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为 ．答案：2解：1()ln +ax f x a x x-'=，(1)11f a '=-=，∴2a =． 14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则5a = ． 答案：323解：因为410S =，22S =，所以414(1)101a q S q -==-，212(1)2(1)1a q S q q-==≠-，， 两式相除可得215q +=，24q =，2q =±，由题设知2q =-舍，故123a =，1212233n n n a -=⋅=⋅，5323a =． 15．函数2()cos sin f x x x =-的最大值为 ．答案：5 4解：221()1sin sin5(sin)24f x x x x=-+-+=-，∵sin[1,1]x∈-，∴()f x的最大值为54．16．已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为4，E为棱1CC的中点，点M在正方形11BCC B内运动，且直线AM∥平面1A DE，则动点M的轨迹长度为．答案：22解：设平面1DA E与直线11B C交于点F，连接EF，则F为11B C的中点．分别取1B B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，则∵1A F AO∥，AN DE∥，1A F，DE⊂平面1A DE，AO，AN⊂平面ANO，∴1A F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO，∵1A F、DE是平面1A DE内相交直线，∴平面1A DE∥平面ANO，所以NO∥平面1A DE，∴M的轨迹被正方形11BCC B截得的线段是线段NO，∴M的轨迹被正方形11BCC B截得的线段长22NO=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名．下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A类学生，已知体育健康A类学生中有10名女生．（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否有%95的把握认为达到体育健康A类学生与性别有关？非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生女生合计（2）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A+类学生，已知体育健康A+类学生中有2名女生，若从体育健康A+类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率．附：22()()()()()n ad bcKa cb dcd a b-=++++答案：（1）列联表见解析，没有95%的把握认为；（2）710．解：（1）右频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A类学生有25人，从而22⨯列联表如下：非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生301545女生451055合计7525100由22⨯列联表中数据代入公式计算，得：时间/mint222()100(30104515)1003.030 3.841()()()()7525455533n ad bc K a c b d c d a b -⨯⨯-⨯====<++++⨯⨯⨯，所以没有%95的把握认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（2）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记123,,a a a 表示男生，12,b b 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为12132311{(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b Ω=12212231,(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b 3212(,),(,)}a b b b ．Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用B 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则11122122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}B a b a b a b a b a b a b b b =共计7种，∴7()10P B =．18．（12分）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()1,d a d ∈∈Z Z ，前n 项的和为n S ，且749S =，524S 26<<．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求n T ． 答案：（1）21n a n =-；（2）11(1)221n T n =-+． 解：（1）由题意可得11176749254245262,a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⨯⎪<+<⎨⎪∈∈⎪⎪⎩Z Z ，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)21n a a n d n =+-=-．（2）∴111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==-⋅-+-+，∴11111111[(1)()()](1)23352121221n T n n n =-+-++-=--++L ． 19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===，现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，如图2．（1）求证：BC ⊥平面DBE ； （2）求点D 到平面BEC 的距离． 答案：（1）证明见解析；（2）63． 解：（1）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥， 又因为平面ADEF⊥平面ABCD ，且平面ADEF I平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ，可得ED BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，1AB AD ==，2CD =，可得2BC =在BCD △中，2BD BC ==2CD =，所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥，ED BD D =I ，所以BC ⊥平面DBE ． （2）因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ， 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则DG ⊥平面BEC ， 所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度． 在直角三角形BDE 中，1122BDE S BD DE BE DG =⋅=⋅△， 所以263BD DE DG BE ⋅===，所以点D 到平面BEC 的距离等于63． 20．（12分）已知函数()1xf x ae x =-+．（1）若()f x 在(0,3)上只有一个零点，求a 的取值范围； （2）设0x 为()f x 的极小值点，证明：02123()4f x a a >-++． 答案：（1）3221(1,]{}e e -U ；（2）证明见解析． 解：（1）因为()f x 在(0,3)上只有一个零点，所以方程1x x a e-=在(0,3)上只有一个解， 设函数1()x x h x e -=，则2()xxh x e-'=， 当02x <<时，()0h x '>；当23x <<时，()0h x '<，所以max 21()(2)h x h e ==， 又(0)1h =-，32(3)h e =，故a 的取值范围为3221(1,]{}e e-U ．（2）证明：()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 无极值，故0a >， 令()10xf x ae '=-=，得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<；当ln x a >-时，()0f x '>， 故()f x 的极小值为(ln )2ln f a a -=+，故要证02123()4f x a a >-++，只需证：2125ln 04a a a +-+>， 设函数1()ln 1g x x x =+-，21()(0)x g x x x-'=>，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，故min ()(1)0g x g ==，而2213913()042a a a -+=-≥， 于是221251139ln ln 1044a a a a a a a +-+=+-+-+>，从而02123()4f x a a >-++．21．（12分）已知动点P 到点1(,0)2的距离比到直线1x =-的距离小12，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上一点00(2,)(0)M y y >作两条直线1l ，2l 与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k =，证明：直线AB 过定点．答案：（1）22y x =；（2）证明见解析．解：（1）由题意可知，动点P 到点1(,0)2的距离与到直线12x =-的距离相等， 所以点F 的轨迹是以1(,0)2为焦点，直线12x =-为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为22y x =．（2）易知(2,2)M ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为x my b =+，联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b --=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，所以21221222x x m b x x b⎧+=+⎪⎨=⎪⎩， 因为12121222122y y k k x x --=⋅=--，即121212122()2()y y y y x x x x -+=-+， 所以222440b b m m --+=，所以22(1)(21)b m -=-，所以2b m =或22b m =-+，当22b m =-+时，直线AB 的方程为22x my m =-+过定点(2,2)与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 的方程为2x my m =+过定点(0,2)-， 所以直线AB 过定点(0,2)-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知斜率为1的直线l 经过点(1,1)P ． （1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，求22PA PB-的值．答案：（1）1:12x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数；（2） 解：（1）直线l 的参数方程为π1cos 4π1sin4x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数，即112x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数． （2）将112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入224x y +=，化简整理得220t +-=， 因为||||||4PA PB AB +==，12||||||||PA PB t t -=+=所以22||||||PA PB -= 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()2121f x x x =++-．（1）解不等式()(1)f x f >；（2）若不等式11()f x m n ≥+（0m >，0n >）对任意的x ∈R 都成立，证明：43m n +≥． 答案：（1）3(,)(1,)2-∞-+∞U ；（2）证明见解析． 解：（1）()(1)f x f >，即21215x x ++->． ①当12x >时，2(1)(21)5x x ++->，得1x >； ②当112x -≤≤时，2(1)(21)5x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <-时，2(1)(21)5x x -+-->，得32x <-， 综上，所求的x 的取值范围是3(,)(1,)2-∞-+∞U ．（2）因为21212221(22)(21)3x x x x x x ++-=++-≥+--=，所以113m n+≤． 因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥，所以43m n +≥≥，当且仅当32==n m 时等号成立．。
2020届全国百校联考新高考押题模拟考试(三)文科数学
2020届全国百校联考新高考押题模拟考试（三）数学试题（文史类）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|24},{|lg(2)}A x x B x y x =-<<==-，则A B =I （ ） A. (2,2]- B. (2,2)-C. (2,4)-D. (2,4)【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，求得{|2}B x x =>，再利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|24},{|lg(2)}{|2}A x x B x y x x x =-<<==-=>， 所以{|24}(2,4)A B x x =<<=I . 故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据对数函数的性质，正确求得集合B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】依题意将函数2y sin x =的图象向左平移8π个单位长度得到： sin 2sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A4.已知等比数列{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，则7a 的值为（ ） A. 9 B. 32C. 64D. 128【答案】C【解析】 【分析】根据两个等式列出方程组求解出首项和公差得到通项公式，然后求解7a 的值. 【详解】因为12233,6a a a a +=+=，所以1121136a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，解得：112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=，则67264a ==， 故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，难度较易.5.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A. 89-B. 79-C.79D. 725-【答案】C 【解析】2sin cos 2312x x sinx sinx sinx π⎛⎫+-=+== ⎪⎝⎭13sinx ∴=217cos21239x ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭故选C6.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A. 28B. 56C. 84D. 120【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S === 执行循环体，1,1,1i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===； 满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84. 故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.设,m n u r r为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅<u r r”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】,m n v v 为非零向量,“存在负数λ,使得m n λ=v v ”,则向量,m n v v 共线且方向相反,可得0m n ⋅<v v ，即充分性成立；反之不成立,非零向量的夹角为钝角时,满足0m n ⋅<v v ,而m n λ≠v v”，即必要性不成立； 综上可得“存在负数λ,使得m n λ=v v ”是“0m n ⋅<v v”的”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.8.已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(1)0f x f ---<的解集为（ ）A. (0,2)B. (1,2)-C. (0,1)(1,2)UD. (1,1)(1,3)-U【答案】A 【解析】 【分析】由函数22()log f x x x =+，得到函数()f x 为偶函数，且当0x >时，函数()f x 为单调递增函数，把不等式转化为11x -<-，即可求解.【详解】由题意，函数22()log f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，且关于原点对称， 又由2222()()log log ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，函数22()log f x x x =+为单调递增函数，因为不等式(1)(1)0f x f ---<，即(1)(1)f x f -<-，则满足11x -<-，即11x -<，即111x -<-<，解得02x <<， 所以不等式(1)(1)0f x f ---<的解集为(0,2). 故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质应用，其中解答中根据函数的解析式，利用函数的奇偶性的定义和初等函数的单调性，得到函数()f x 的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知动点(,)P x y 满足3,(0,0)24x y O x y +≥⎧⎨+≥⎩，则||OP 的最小值为（ ）A.5B. 54C. 3D.322【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，分别计算,A B 的坐标，求得,OA OB 的长，即可求解. 【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由方程组324x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(1,2)A ，此时22125OA =+=，过原点(0,0)O 与直线3x y +=垂直的直线方程为0x y -=，联立方程组30x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得33(,)22B ，此时223332()()222OB =+=，过过原点(0,0)O 与直线24x y +=垂直的直线方程为20x y -=，联立方程组2420x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得84(,)55C ，此时点C 不在不等式组所表示的平面区域内，又由325>，所以当点P 为B 点重合时，此时||OP 取得最小值，最小值为32. 故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 10.函数cos y x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-， 故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 故选B ． 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除11.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =u u u v u u u v ，则AD AP u u u v u u u v⋅=（ ）3 B. 13D. 3【答案】D 【解析】 【分析】设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则2,2a b v v==，且a r 与b r 的夹角为060，由向量的运算法则可得112(),233AD a b AP a b =+=+u u u v u u u v v vv v ，利用数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则2,2a b v v==，且a r 与b r 的夹角为060， 又由向量的运算法则可得112(),233AD a b AP a b =+=+u u u v u u u v v vv v所以221112111()()2233623AD AP a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+u u u v u u u v v v v v v v v v20211121142cos6022236233223a b =⨯+⋅+⨯=+⨯⨯⨯+=v v ，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的运算法则和向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的三角形法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.已知函数32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ） A. [4,)+∞ B. [3,)+∞C. [2,)+∞D. [1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】把对于()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，转化为函数()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值不小于()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，分别利用导数求得函数()(),f x g x 单调性与最值，即可求解. 【详解】由题意，对于()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值不小于()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由()32g x x x =-，则()22323()3g x x x x x '=-=-，可得当12[,)33时，()0g x '<，()g x 单调递减，当2(,2]3时，()0g x '>，()g x 单调递减，又由12(),(2)4327g g =-=，即()g x 在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4， 所以()ln 34a f x x x x =++≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即2ln a x x x ≥-在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21ln ,,23h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()12ln h x x x x '=--，令()12ln p x x x x =--，则()32ln p x x '=--，当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0p x '<，函数()p x 单调递减，即()h x '在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，又由()10h '=，所以()h x '在1[,1)3为正，在(1,2]上为负， 所以()h x 在1[,1)3为单调递增，在(1,2]上单调递减， 所以()h x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()11h =，所以1a ≥．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，其中利用导数研究不等式恒成立问题时，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,a b r r 满足(1,2),(2,)a b m =-=r r .若//a b r r ，则||b =r ______.【答案】【解析】 【分析】由//a b r r ，根据向量的共线条件，求得4m =-，得到(2,4)b =-r ，再利用向量模的计算公式，即可求解.详解】由题意，向量,a b r r 满足(1,2),(2,)a b m =-=r r，因//a br r ，所以122m -⨯=⨯，解得4m =-，即(2,4)b =-r ，所以b ==r故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的共线条件和向量的模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 14.已知0,0a b >>，若461log log 2a b ==，则ab=______．【解析】 【分析】由指数式与对数式的互化公式，得到2,a b ==ab的值，得到答案. 【详解】由对数式与指数式的互化，因为461log log 2a b ==，可得112242,6a b ====所以a b ==. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4,cos 5b B ==-，则sin A =______.【答案】5【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式，求得3sin 5B =，再由正弦定理，即可求解sin A 得值，得到答案.【详解】由题意，在ABC ∆中，因为4cos 5B =-，所以3sin 5B ==，又由正弦定理可得sin sin a b A B =，则3sin sina B Ab ====故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式求得sin B 的值，再利用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.函数()()g x x R ∈的图象如图所示，关于x 的方程()()2230g x m g x m ⎡⎤+⋅++=⎣⎦有三个不同的实数解，则m 的取值范围是__________【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】设()g x t =，结合函数图象可得2230t mt m +++=有两个根，且一个在()0,1上，一个在[)1,+∞上，设()223h t t mt m =+++，①当有一个根为1时，由()10h =，求得m 的值，检验符合题；②当没有根为1时，由()()0230112+30h m h m m ⎧=+>⎪⎨=++<⎪⎩，求得m 的范围，综合可得结论.【详解】根据函数()()g x x R ∈的图象，设()g x t =，Q 关于x 的方程()()2230g x m g x m ⎡⎤+⋅++=⎣⎦有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根，且一个在()0,1上，一个在[)1,+∞上， 设()223h t t mt m =+++，①当有一个根为1时，()411230,3h m m m =+++==-，此时另一个根为13，符合题意；②当没有根为1时，则()()0230112+30h m h m m ⎧=+>⎪⎨=++<⎪⎩，解得3423m -<<-，综上可得，m 的取值范围是34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故答案为34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．三、解答题：共70分。
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)文科数学试题(含答案解析)
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2019-2020年高三第三次模拟考试数学文试题 含答案
2019-2020年高三第三次模拟考试数学文试题含答案一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=i，是z的共轭复数，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣12．已知全集U=R，集合A={x|＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（2，3）C．[2，3）D．（1，2] 3．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知实数x、y满足不等式组，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣3 D．35．设奇函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，则ω，φ分别是（）A．2，B．，C．，D．2，6．按1，3，6，10，15，…的规律给出xx个数，如图是计算这xx个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入（）A．i≥xx B．i＞2014 C．i≤xx D．i＜xx7．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．48π8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，关于x的方程ax2+bx﹣=0的两根为m，n，则点P（m，n）（）A．在圆x2+y2=7内B．在椭圆+=1内C．在圆x2+y2=7上D．在椭圆+=1上9．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）10．如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．11．不等式|x﹣1|≤x的解集是_________．12．已知x、y的取值如表所示，如果y与x线性相关，且线性回归方程为y=x+，则表中的且与其准线相切的圆的方程是_________．14．已知双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_________．15．已知数列{a n}中，a1=1，a2=2，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）都成立，则S n=_________．三、解答题：本题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosBcosC（1﹣tanBtanC）=1．（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为2，求b+c的值．17．（12分）甲、乙两位同学从A、B、C、D共4所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A高校外，再在余下的3所中随机选1所；同学乙对4所高校没有偏爱，在4所高校中随机选2所．（1）求乙同学选中D高校的概率；（2）求甲、乙两名同学恰有一人选中D高校的概率．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N+）．（1）求a n和S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），函数g（x）的导函数g′（x）=e x，且函数f （x）无极值，g（0）g′（1）=﹣e（其中e为自然对数的底数）．（1）求a的取值范围；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，求实数m的取值范围；（3）当a≤0时，对于任意的x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）．20．解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．21．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+（x＞0）；当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（x）无极值；当a＜0时，f′（x）=；若x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0；若x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；∴f（x）存在极大值，且当x=﹣时，f（x）极大=f（﹣）=ln（﹣）﹣1；综上，a的取值范围是[0，+∞）；（2）∵函数g（x）的导数是g′（x）=e x，∴g（x）=e x+c；∵g（0）g′（1）=﹣e，∴（1+c）e=﹣e，∴c=﹣2，∴g（x）=e x﹣2；∵存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，即存在x∈（0，+∞），使得m＞e x﹣x成立；令h（x）=e x﹣x，则问题可化为m＞h（x）min，对于h（x）=e x﹣x，x∈（0，+∞），∵h′（x）=e x（+）﹣，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，+≥2=，∴e x（+）＞；∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数；∴h（x）＞h（0）=0，∴m＞0，即实数m的取值范围是（0，+∞）；（3）由（1）得a=0，则f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x），则φ（x）=e x﹣lnx﹣2，∴φ′（x）=e x﹣，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数；设φ′（x）=0的根为t，则e t=，即t=e﹣t，∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上是减函数，当x∈（t，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上是增函数；∴φ（x）min=φ（t）=e t﹣lne﹣t﹣2=e t+t﹣2；∵φ′（1）=e﹣1＞0，φ′（）=﹣2＜0，∴t∈（，1）；∵φ（t）=e t+t﹣2在t∈（，1）上是增函数，∴φ（x）min=φ（t）=e t+t﹣2＞+﹣2＞0，∴f（x）＜g（x）．。
【2020年数学高考】2020届高三第三次模拟考试文科数学.doc
2020届高三第三次模拟考试数学（文科）试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12M x x =-<<，{}2|0N x x mx =-<，若{}|01M N x x =<<，则m的值为（ ）A ．1B ．-1C ．1±D ．2 2.命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是（ ）A ．2x ∀>，230x -≤B ．2x ∀≤，230x ->C ．02x ∃>，230x -≤D ．02x ∃>，230x ->3.设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i =+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．-5 B ．53- C ．-1 D ．13-4.已知变量x ，y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-C ．4m =D ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,45.在等差数列{}n a 中，35712a a a +=-，则19a a +=（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206.在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-，()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A ．336B ．510C ．1326D ．3603 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．14-B ．45C ．4D ．5 9.若函数()24log m x m f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（0m >且1m ≠）在[]2,3上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]1,36B ．[)36,+∞C ．(][)1,1636,+∞ D ．(]1,1610.已知变量x ，y 满足2220240x y x y x y -≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，若方程2260x y y k ++-=有解，则实数k 的最小值为（ ） A．455 B ．295- C．33 D ．16511.将函数()2cos2f x x x =-的图象向左平移()0t t >个单位后，得到函数()g x 的图象，若()12g x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数t 的最小值为（ ） A ．524π B ．724π C ．512π D ．712π12.已知关于x 的不等式()221x x m x x e e -+≥在(],0-∞上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)0,+∞C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知向量()2,1a =，()1,b x x =-，()3,3c x x =-，满足//a b ，则b ，c 夹角的余弦值为 ．14. 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为 ．15.已知球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为 ． 16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A cB b+=，则b c +的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22122a S =+，32a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log 3n n b a =+，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求满足13n T >的正整数n 的最小值.18.新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；如果平均气温位于[)20,25摄氏度，需求量为200n =公斤；如果平均气温位于[)15,20摄氏度，需求量为100n =公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：（Ⅰ）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；（Ⅱ）若该商场每天进货量为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.19.如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD .点E 、F 分别为CD 、PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且AGGBλ=.（Ⅰ）当12λ=时，求证：//PG 平面AEF ； （Ⅱ）当FG AC ⊥时，求三棱锥A EFG -的体积.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且椭圆C 过点2⎫-⎪⎪⎭.过点()1,0做两条相互垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆C 交于P 、Q 、M 、N 四点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若MS SN =，PT TQ =，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知函数()()ln f x x x m m R =--∈. （Ⅰ）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；（Ⅱ）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.请考生在22、23题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （Ⅰ）求出曲线2C 、3C 的参数方程；（Ⅱ）若P 、Q 分别是曲线2C 、3C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()225f x x =+-. （Ⅰ）解不等式：()1f x x ≥-；（Ⅱ）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.2020届高三第三次模拟考试 数学（文科）参考答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、12：BC 二、填空题13. 10- 14. 2213y x -= 15. 16π 16. 6 三、解答题17.（Ⅰ）由题意知，22122a S =+，∴212122a a a =++，得2112a a =+， 设等比数列{}n a 的公比为q ， 又∵32a =，∴22212q q =+，化简得2440q q -+=，解得2q =. ∴3323222n n n n a a q ---=⋅=⋅=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2log 3n n b a =+22log 23231n n n -=+=-+=+.∴()()11112n n b b n n +=++1112n n =-++， ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111233412n n =-+-+⋅⋅⋅+-++()112222n n n =-=++. 令13n T >，得()1223n n >+，解得4n >， ∴满足13n T >的正整数n 的最小值是5. 18.（Ⅰ）当需求量100n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4100400⨯=元； 当需求量100n <，即50n =时，荔枝为该商场带来的利润为4504500⨯-⨯=元. ∴这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润为204008839190⨯+⨯≈元.（Ⅱ）当需求量200n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4200800⨯=元； 当需求量100n =时，荔枝为该商场带来的利润为410041000⨯-⨯=元； 当需求量50n =时，荔枝为该商场带来的利润为4504150400⨯-⨯=-元； ∴当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100、200或300公斤，则所求概率902449045P -==. 19.（Ⅰ）连接CG ，当12λ=时，//CE AG ，∴四边形AECG 是平行四边形，∴//AE CG ，∵12PF CE FD ED ==，∴//EF PC ，∵AE EF E =，PC CG C =， ∴平面//PCG 平面AEF ，又PG ⊂平面PCG ，∴//PG 平面AEF . （Ⅱ）取AD 的中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD . 过点F 作FH AD ⊥于点H ，连接GH，则2233FH PO ===∵2DH DF HO PF ==，∴213DH OD ==， ∵PO AD ⊥，FH AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD ， ∴FH AC ⊥，又FG AC ⊥，∴AC ⊥平面FGH ，∴AC GH ⊥， 又ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，∴//GH BD ，∴2AG AH ==， ∴A EFG F AGE V V --=112332=⨯⨯⨯=20.（Ⅰ）由题意知，222223112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）∵MS SN =，PT TQ =，∴S 、T 分别为MN 、PQ 的中点. 当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线1l 的方程为()1y k x =-， 则直线2l 的方程为()11y x k=--，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ， 联立()221421x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，∴224160k ∆=+>， ∴2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+，∴PQ 中点T 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；同理，MN 中点S 的坐标为222,22k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴232(1)ST k k k -=-， ∴直线ST 的方程为223212(1)kky k k -+=+-22221k x k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，即2322(1)3k y x k -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴直线ST 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线ST 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭. 21.（Ⅰ）令()ln 0f x x x m =--=，∴ln m x x =-； 令()ln g x x x =-，∴()11'1xg x x x-=-=， 令()'0g x >，解得01x <<，令()'0g x <，解得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11g x g ==-. 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =有两个不同的交点， 则1m <-，即实数m 的取值范围为(),1-∞-.（Ⅱ）∵()()20xf x x e +-<，∴()2ln xm x e x x >-+-.设()()2ln xh x x e x x =-+-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()1'1xh x x e x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 设()1x u x e x =-，∴()21'0x u x e x =+>，则()u x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1202u ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()110u e =->， ∴01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00u x =，即001x e x =，∴00ln x x =-.当01,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0u x <，()'0h x >；当(]0,1x x ∈时，()0u x >，()'0h x <；∴函数()h x 在01,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,1x 上单调递减， ∴()()()00000max 2ln xh x h x x e x x ==-+-()00000122212x x x x x =-⋅-=--. 设()212x x xϕ=--，∴()222222'2x x x x ϕ-=-=， 当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>恒成立，则()x ϕ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()()13x ϕϕ<=-，即当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()3h x <-，∴当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.22.（Ⅰ）曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， ∴其参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， ∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=，∴其参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（β为参数）.（Ⅱ）设()2cos ,sin P αα，则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d==∵[]sin 1,1α∈-，∴当1sin 3α=时，max 3d =.∴max max PQ d r=+3133=+=. 23.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于理综押题【绝密】12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞. （Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++315x =+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+-37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m -=-<⎧⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。
2020届百师联盟高三冲刺卷(三)全国I卷文科数学试卷(原卷版)
2020届高三冲刺考（三）全国卷文科数学试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1i1ia z -=+是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1B. 1-C. 0D. ±12.已知集合{}2|20A x x x =-≤，集合{}2|log 0B x x =>，则A B =I （ ）A. []1,2B. (]0,1C. (]1,2D. ()1,23.在平面直角坐标系中，x 轴负半轴上有6个点，y 轴负半轴上有2个点，将x 轴负半轴上这6个点和y 轴负半轴上这2个点连成12条线段，这12条线段在第三象限内的交点最多有（ ） A. 10个B. 12个C. 15个D. 18个4.若实数x ，y 满足111x y -+-≤，则22x y +的最大值为（ ）A. 1B. 4C.92D. 55.设()14,,711,,87xx b x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b =（ ） A.23B.410- C.13D.210-6.某几何体的三视图如图所示，图中每个小正方形的边长为1，侧视图为圆及其内接正方形，那么这个几何体的体积为（ ）A. 84π+B. 44π+C. 82π+D. 42π+7.刘徽是我国古代伟大的数学家，他的《九章算术注》和《海岛算经》被视为我国数学史上的瑰宝，他创立的“割圆术”理论上能把π的值计算到任意精度.“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，如图，从正六边形开始，依次将边数增倍，使误差逐渐减小，当圆内接正三百六十边形时，由“割圆术”可得圆周率π的近似值为（ ）A. 360cos1︒B. 180cos1︒C. 360sin1︒D. 180sin1︒8.函数()e ln xf x x x =在[)(]1,00,1-⋃上的大致图象是（ ）A. B.C. D.9.已知点P 为直线10x y --=上的一动点，过点P 作圆224240x y x y +-++=的切线，则点P 在运动的过程中，切线长的最小值为（ ） A. 2B.2C.3 D. 110.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，其一个对称中心为5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，把()y f x =的图象向左平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A. 1B.12C.32D.2211.若函数()()ln 1xf x e x e x a =-+-+在()0,∞+上存在零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D. 1,2⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭12.已知)P，曲折C ：4216x y =与直线l ：x a =（0a >且a ≠A ，B 两点，则PAB△的周长的最小值为（ ）A. 2B. 2C.1D.1二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知向量()1,1a =-r，,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r b ，若a b ⊥r r，则+=r a b __________.14.设p ：12x +<，当p 成立时，x 的取值范围是__________；q ：x m <，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________.15.已知三棱锥S ABC -的体积为AB AC ==，6BC =，SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的体积为__________.16.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C--=++且ab =则ABC V 面积的最大值为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos 4B =. （1）求2sinsin 22A CB ++值；（2）若b =ABC V 面积的最大值.18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111111122A B A D B C C D ====，111B D DD =E ，F 分别1CC ，1A D 中点.（1）证明：//EF 平面1111D C B A ； （2）求点1B 到平面11A D F 的距离.19.已知点33,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若椭圆C 的某条弦AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，试问OA OB ⋅u u u r u u u r 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20.2020年春节即将来临，某市一商家为了在春节期间更好地推销商品，随机抽取了去年春节期间在该商家消费总额不超过2500元的200名老顾客进行了消费额统计，得到所示频率分布直方图：若去年春节期间在该商家消费总额超过1.5千元的顾客称为“VIP 顾客”，消费总额不超过1.5千元的顾客称为“非VIP 顾客”.（1）若抽取的“非VIP 顾客”中男性占40人，请根据条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“VIP 顾客”与性别有关.VIP 顾客 非VIP 顾客 总计 男性顾客4080（2）该商家为了进一步了解这200人的消费体验和购买意愿，采用分层抽样的方法在“VIP 顾客”和“非VIP 顾客”中抽取20人.若需从这20人中随机选取2人进行问卷调查，求恰有1人是“VIP 顾客”的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：.21.已知函数()()213ln 222f x a x x x a =-+-∈R . （1）若3x =为函数()f x 的极值点，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）对任意[]3,8a ∈，当[]1,x n ∈时，()0f x ≥恒成立，求正整数n 的最大值.（二）选考题：10分.请考生第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请写清题号.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,21,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，单位长度相同，曲线C 的极坐标方程为23cos 2ρθρ-=. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）已知点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅. 23.已知函数()21f x x x =++-，()1g x x a =-+.（1）解不等式()4f x ≥；（2）当2a ≥时，若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.。
2020届百师联盟高三冲刺卷(三)全国I卷文科数学试卷(解析版)
2020届高三冲刺考（三）全国卷文科数学试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1i1ia z -=+是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 1-C. 0D. ±1【答案】A 【解析】 【分析】将复数化简为z m ni =+的形式，若复数z 为纯虚数，则0m =，且0n ≠，可解得a 的值. 【详解】()()()()1i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 22a a a az ----+===-++-， 因为复数z 是纯虚数，故102a-=，102a +-≠， 解得1a =. 故选：A.【点睛】本题考查复数的分母实数化运算和纯虚数的定义，考查了学生的运算求解能力和理解辨析能力，是基础题.2.已知集合{}2|20A x x x =-≤，集合{}2|log 0B x x =>，则A B =I （ ）A. []1,2B. (]0,1C. (]1,2D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数不等式，分别得出集合A 和集合B ，再利用交集的定义求解即可.【详解】集合{}{}2|20|02A x x x x x =-≤=≤≤，集合{}{}2|log 0|1B x x x x =>=>， 所以(]1,2A B =I . 故选：C.【点睛】本题考查集合交集的运算，考查了学生的运算求解能力，是基础题.3.在平面直角坐标系中，x 轴负半轴上有6个点，y 轴负半轴上有2个点，将x 轴负半轴上这6个点和y 轴负半轴上这2个点连成12条线段，这12条线段在第三象限内的交点最多有（ ） A. 10个 B. 12个 C. 15个 D. 18个【答案】C 【解析】 【分析】以x 轴上的两点和y 轴上的两点为顶点做四边形，连接对角线，对角线的交点即为所要找的点.【详解】易知x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第三象限，适合题意，而x 轴上6个点的组合共有5432115++++=种，则这样的四边形共有15个，于是最多有15个交点. 故选：C .【点睛】本题考查统计交点个数，考查了学生数据处理的能力，是基础题.4.若实数x ，y 满足111x y -+-≤，则22xy +的最大值为（ ）A. 1B. 4C.92D. 5【答案】D 【解析】 【分析】通过去绝对值列出不等式组，找出可行域，求目标函数的最值.【详解】通过去绝对值可得不等式组：1130x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，1110x y x y >⎧⎪<⎨⎪--≤⎩，1110x y x y <⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，如图，作出111x y -+-≤的可行域， 则22xy +表示的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方，则易知点()1,2A )或点()2,1B 满足题意， 此时225x y +=. 故选：D .【点睛】本题考查线性规划问题，通过几何法求最值，考查学生数形结合的数学思想和求解运算的能力，是中档题.5.设()14,,711,,87xx b x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若1282f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b =（ ） A.23B.4210- C.13D.2210-【答案】C 【解析】 【分析】分段函数，从内到外逐个代入相应解析式求待定系数. 【详解】因为1187≤，所以1182f b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ①当1127b -≤，即514b ≥时， 11242542221014f b b b b ⎛⎫⎛⎫-=--=⇒=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（舍）；②当1127b ->，即514b <时，111226112111528288314b b f b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⇔=⇒=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足题意，综上所述13b =. 故选：C .【点睛】本题考查分段函数的求值问题，分段函数求值时，一定要根据自变量的值代入相对应的解析式，考查学生运算求解的能力，是基础题.6.某几何体的三视图如图所示，图中每个小正方形的边长为1，侧视图为圆及其内接正方形，那么这个几何体的体积为（ ）A. 84π+B. 44π+C. 82π+D. 42π+【答案】A 【解析】 【分析】利用三视图还原出空间几何体，利用体积公式计算空间几何体体积. 【详解】易知该几何体由一个正四棱锥和圆柱构成， 因为()2122383V =⨯⨯=正四棱锥，2214V ππ=⨯⨯=圆柱， 所以该几何体的体积为84V V V π=+=+圆正四棱锥. 故选:A .【点睛】本题考查三视图的应用，由三视图还原空间几何体，求锥体和圆柱的体积，考查学生的直观想象能力，是基础题.7.刘徽是我国古代伟大数学家，他的《九章算术注》和《海岛算经》被视为我国数学史上的瑰宝，他创立的“割圆术”理论上能把π的值计算到任意精度.“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，如图，从正六边形开始，依次将边数增倍，使误差逐渐减小，当圆内接正三百六十边形时，由“割圆术”可得圆周率π的近似值为（ ）A. 360cos1︒B. 180cos1︒C. 360sin1︒D. 180sin1︒【答案】D 【解析】 【分析】圆内接正三百六十边形可以看成由360个顶角为1︒的等腰三角形构成，腰长与圆的半径相等，利用圆内接正三百六十边形的面积与圆的面积近似相等，计算π的近似值. 【详解】设圆的半径为1，当圆内接正三百六十边形时，每边端点与圆心连线构成的小三角形均为腰为1，顶角为1︒的等腰三角形， 则圆内接正多边形的面积为111sin1360180sin12S =⨯⨯⨯︒⨯=︒， 圆的面积为π，用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积， 即有180sin1π︒=. 故选：D.【点睛】本题利用“割圆术”计算圆周率π的近似值，需要仔细阅读题干，理解“割圆术”的概念，考查学生的理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.8.函数()e ln xf x x x =在[)(]1,00,1-⋃上的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】本题可通过排除法找函数图像，先判断原函数是否具有奇偶性，再利用特殊值法可得出正确的选项. 【详解】因为()()f x f x ≠-，()()f x f x ≠--， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除选项B ，C ； 又因为1e2022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.故选：A .【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，若特值法无法选出正确选项，则考查利用导数求函数的单调性判断函数图像，着重考查推理论证和运算求解的能力，是基础题.9.已知点P 为直线10x y --=上的一动点，过点P 作圆224240x y x y +-++=的切线，则点P 在运动的过程中，切线长的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】D 【解析】 【分析】先判断直线与圆的位置关系，直线与圆相离；可将切线长、点P 到圆心的距离和圆的半径利用勾股定理联系起来，点P 到圆心的距离最小则切线长最小.【详解】圆的方程可化为()()22211x y -++=，半径1r =，圆心到直线的距离1d ==>，所以直线和圆相离，当这个点到圆心距离最小时，切线长最小，1==.故选：D .【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，将切线长问题转化为点到直线距离的大小问题，考查求解运算能力和转化与化归的思想，是中档题.10.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，其一个对称中心为5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，把()y f x =的图象向左平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ）A. 1B.12C.D.2【答案】B 【解析】 【分析】先用邻两条对称轴之间的距离求出周期T ，通过周期T 求ω，再用对称中心求ϕ，可得()f x 的解析式，通过平移变换得出()g x 的解析式，利用三角函数的性质在给定区间上求出()g x 的最大值. 【详解】由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， 得22T T ππ=⇒=， 所以22Tπω==，()()sin 2f x x ϕ=+， 又其一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，即有5212k πϕπ⨯+=k Z ∈， 则56πk πϕ=-+，k Z ∈.又2πϕ<， 所以6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，所以()5sin 2cos 263ππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,332πππx ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()max 12g x =. 故选:B .【点睛】本题考查用文字描述三角函数图像求解析式，三角函数图像变换，三角函数性质，考查推理论证和运算求解的能力，是中档题.11.若函数()()ln 1xf x e x e x a =-+-+在()0,∞+上存在零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D. 1,2⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】分离常数构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并求出最值，以此来判断实数a 的取值范围. 【详解】因为函数()()ln 1xf x e x e x a =-+-+在()0,∞+上存在零点，即方程ln x a ex e x x =-+-在()0,∞+上有解，令()ln xh x ex e x x =-+-，则()111xx x h x e e e e x x-'=-+-=-+， 所以当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<， 所以函数()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()h x 在1x =处取最大值011e e -+-=-，所以()h x 的值域为(],1-∞-，所以a 的取值范围是(],1-∞-. 故选：B .【点睛】本题考查函数的零点与方程根的应用，利用导数判断函数的单调性，考查转化与化归的思想和求解运算的能力，是中档题.12.已知)P，曲折C ：4216x y =与直线l ：x a =（0a >且a ≠A ，B 两点，则PAB△的周长的最小值为（ ）A. 2B. 2C.1D.1【答案】B 【解析】 【分析】化简曲线的方程，可利用抛物线定义将长度进行转化，得出PAB △的周长的最小值. 【详解】易知曲线C 是由两抛物线24x y =和24x y =-构成， 如图，设AB 与x 轴交于点D ，抛物线24x y =的焦点为F ，连接AF ，PF ，则()0,1F ，PAB △的周长()()())2212121c AP AD AP AF PF =+=+-≥-=，当F ，A ，P 的三点共线时取等号. 故选:B .【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，抛物线的性质，考查数形结合和求解运算的能力，是中档题.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知向量()1,1a =-r ，3n ⎛= ⎝⎭r b ，若a b ⊥r r，则3+=r a b __________.【答案】2 【解析】 【分析】利用两向量垂直数量积等于0得出b r的坐标，再计算出()3a b +r 的坐标，最后利用坐标计算3+r a b .【详解】因为a b ⊥r r 330n n -=⇒=()30,2a b =r ， 所以32a b =r .故答案为：2.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算和向量的模的坐标运算，考察了学生的求解运算能力，是基础题.14.设p ：12x +<，当p 成立时，x 的取值范围是__________；q ：x m <，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________.【答案】 (1). ()3,1-； (2). [)1,+∞ 【解析】 【分析】解绝对值不等式得出命题中p 中x 的取值范围，p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，q 推导不出p ，可得出实数m 的取值范围.【详解】由12x +<得31x -<<； 因为p 是q 的充分不必要条件，则m 1≥. 故答案为：()3,1-；[)1,+∞.【点睛】本题考查命题的充分性和必要性， 是基础题.15.已知三棱锥S ABC -的体积为AB AC ==，6BC =，SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的体积为__________.【答案】288π 【解析】 【分析】解三角形可得底面面积，通过锥体体积计算公式可得高的长度，将三棱锥补为三棱柱，找到球心位置，利用勾股定理求球体半径，最后可得球体体积.【详解】因为AB AC ==，6BC =，所以由余弦定理，22222261cos 12022AB AC BCBAC BAC AB AC+-+-∠===-⇒∠=︒⋅，则11sin 32S ABC V AB AC BAC SA SA SA -=⨯⋅⋅∠⋅=== 将三棱锥补成三棱柱，可的球心的三棱柱的中心，球心到底面的距离d 等于三棱柱的高SA的一半，即d =ABC V外接圆的半径3sin120r ==︒所以三棱锥S ABC -外接球的半径6R ==， 则其体积34π6288π3V =⨯=. 故答案为：288π.【点睛】本题考查与球有关的组合体问题，求几何体外接球体积需先求出球体半径，考查直观想象和求解运算的能力,是中档题.16.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin sin sin sinsin A C C BB C A C--=++且ab =，则ABC V 面积的最大值为__________.【答案】34【解析】 【分析】利用正弦定理将角的正弦值的等量关系转化为边的等量关系，结合余弦定理得出角C余弦值的取值范围；ab =为定值，则sin C 最大ABC V 的面积最大.【详解】因为sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C --=++，由正弦定理得a c c bb c a c--=++，即2222a b c +=， 由余弦定理222222222212cos 22442a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===≥=，当且仅当222a b c === 所以π0,3C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，sin 2C ≤，则113sin 2224ABC S ab C =≤=△， 所以ABC V 面积的最大值34. 故答案为:34. 【点睛】本题考查用弦定理边角转化，用余弦定理三边求角，三角形面积的表示，考查运算求解的能力，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos 4B =. （1）求2sinsin 22A CB ++的值； （2）若b =ABC V 面积的最大值.【答案】（1）58；（2）6. 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数基本关系式求出sin B ，再用降幂公式和正弦倍角化简结果，最后 代入求值；（2）利用余弦定理列出边的等量关系，再用基本不等式得出ac 的最大值. 【详解】（1）因为1cos 4B =，所以sin B ==， 222sin sin 2sin 2sin cos cos 2sin cos 222A C πB BB B B B B +-+=+=+ 1cos 2sin cos 2B B B +=+1115422448+=+⨯⨯=； （2）由余弦定理知，22222132cos 22b ac a B a c ac ac =+-=+-≥， 所以22433ac b ≤=，当且仅当3a c ==时取“=”， 则ABC V的面积114sin 22346ABC S ac B =≤⨯⨯=△， 即ABC V面积的最大值为6. 【点睛】本题考查三角恒等变换，余弦定理解三角形，考查运算求解的能力，是基础题.18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111111122A B A D B C C D ====，111B D DD =E ，F 分别1CC ，1A D 中点.（1）证明：//EF 平面1111D C B A ； （2）求点1B 到平面11A D F 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）39. 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形证明线线平行，利用线线平行证明线面平行；（2）利用线面垂直的判定方法证明线面垂直，再利用等面积法求垂线段的长度. 【详解】（1）证明：如图取11A D 中点G ，连接FG ，1C G ， 因为点F ，为1A D 中点， 所以11////FG DD CC ，且112FG DD ， 因为点E 为1CC 中点，所以1111122EC CC DD FG ===， 即1//FG EC ，1FG EC =，所以四边形1FGC E 为平行四边形， 所以1//EF C G ，因为1C G ⊂平面1111D C B A ，EF ⊄平面1111D C B A ， 所以//EF 平面1111D C B A （2）如图，过点1B 作111B H A D ⊥于点H ，因为1B H ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊥平面1111D C B A ， 所以11DD B H ⊥， 因为1111A D DD D =I ， 所以1B H ⊥平面11AA D D ，则1B H 即为点1B 到平面11A D F 的距离，在111A B D V中，11111113339222A B D B H A D S ⋅===△， 139B H =即为点1B 到平面11A D F 39【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，等面积法求高，正确作出辅助线是解题的关键，考查直观想象和推理论证的能力，是中档题.19.已知点P ⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若椭圆C 的某条弦AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，试问OA OB ⋅u u u r u u u r 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，1112OA OB ⋅=-u u u r u u u r . 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于a ，b ，c 的等量关系式求椭圆C 的方程；（2）先用点差法求出弦AB 的方程，再联立方程用韦达定理求出两根之积，最后用数量积的坐标运算得出OA OB ⋅u u u r u u u r的值.【详解】（1）由条件知223314a b+=，12c a =， 且222a b c =+，解得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）OA OB ⋅u u u r u u u r的值为定值1112-， 证明如下：设点A ，B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ， 易知AB 中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭线段OP 上，因为点11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()121222x x y y +=+=，又2211143x y+=，2222143x y+=，两式相减得，()()()()12121212043x x x x y y y y-+-++=，易知120x x-≠，12y y+≠，所以()()121212123342x xy yx x y y+-=-=--+，即32ABk=-.设AB方程为322y x=-+，代入22143x y+=并整理得23610x x-+=，所以1213x x=，122x x+=，则()12121212339522342244y y x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故121215113412OA OB x x y y⋅=+=-=-u u u r u u u r.【点睛】本题考查求椭圆方程的标准方程，点差法设而不求算中点弦方程，联立方程利用韦达定理解决综合问题，考查求解运算能力，是中档题.20.2020年春节即将来临，某市一商家为了在春节期间更好地推销商品，随机抽取了去年春节期间在该商家消费总额不超过2500元的200名老顾客进行了消费额统计，得到所示频率分布直方图：若去年春节期间在该商家消费总额超过1.5千元的顾客称为“VIP顾客”，消费总额不超过1.5千元的顾客称为“非VIP顾客”.（1）若抽取的“非VIP顾客”中男性占40人，请根据条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“VIP顾客”与性别有关.VIP顾客非VIP顾客总计男性顾客40 80女性顾客120（2）该商家为了进一步了解这200人的消费体验和购买意愿，采用分层抽样的方法在“VIP 顾客”和“非VIP 顾客”中抽取20人.若需从这20人中随机选取2人进行问卷调查，求恰有1人是“VIP 顾客”的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“VIP 顾客”与性别有关；（2）4895. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图完成22⨯列联表，把数据带入公式计算，通过与表格数据对比判断得出所要结果； （2）用分层抽样分别得出“VIP 顾客”和“非VIP 顾客”的人数，按要求的计算出事件总数和特殊事件个数求事件的概率.【详解】(1) ()2000.80.50.5130⨯+⨯=,20013070-=, ∴VIP 顾客总数为130，非VIP 顾客总数70，可得：()22132001200360013.10708800712k ⨯≈⨯⨯⨯-=∵13.18710.828>∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“VIP 顾客”与性别有关； （2）∵ 80:1202:3=， ∴22085⨯=，320125⨯=， ∴20人中VIP 顾客8人，非VIP 顾客12人， 又∵19(119)123191902⨯++++⋅⋅⋅+==，12896⨯=，∴20人中随机选取2人有190种，恰有1人是“VIP 顾客”有96种， ∴964819095=， 即恰有1人是“VIP 顾客”的概率为4895. 【点睛】本题考查独立性检验，古典概型概率计算，考查数据处理能力，是基础题. 21.已知函数()()213ln 222f x a x x x a =-+-∈R . （1）若3x =为函数()f x 的极值点，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （2）对任意[]3,8a ∈，当[]1,x n ∈时，()0f x ≥恒成立，求正整数n 的最大值. 【答案】（1）440x y --=；（2）7. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）构造新函数讨论让x 取最大值时对应的a 的值，再用导数判断函数的单调性，最后用零点存在定理的出x 得最大值.【详解】（1）∵()()213ln 222f x a x x x a =-+-∈R ，()0x ∈+∞，， ∴()2af x x x'=-+， 又∵3x =为函数()f x 的极值点， ∴()33203af '=-+=， ∴3a =，∴()311241f '=-+=，()10f =， 由直线的点斜式方程得()041y x -=-，即()f x 在()()1,1f 处的切线方程为440x y --=； （2）任意[]3,8a ∈，[]1,x n ∈，令()213ln 2022f x a x x x =-+-=，可得 ()2131ln1121022f a =-⨯+⨯-=，()1f 恒等0，213ln 222a x x x =-+，如图()213ln 2022f x a x x x =-+-≥，即213ln 222a x x x ≥-+，当a 越大，第二个零点的值就越大，即当8a =时，可求n 的最值， 又()2138ln 222f x x x x =-+-，[)1,x ∈+∞， ∴()28282x x f x x x x-++'=-+=，∴()0f x '=，得2x =-（舍），4x =，()0f x '>，得14x <<，()0f x '<，得4x >，∴4x =可取极大值，且()21318ln1121022f =-⨯+⨯-=，∴()f x 在()4,x ∈+∞递减，4n >， 又∵()21378ln 7727022f =-⨯+⨯->， ()21388ln8828022f =-⨯+⨯-<，∴正整数n 的最大值为7.【点睛】本题考查曲线的切线，函数不等式恒成立问题，需要构造新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到参数的范围，考查转化与化归思想，数形结合思想，求解运算能力，是难题.（二）选考题：10分.请考生第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请写清题号.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,21,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，单位长度相同，曲线C 的极坐标方程为23cos 2ρθρ-=. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）已知点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅. 【答案】(1) 10y -+=,12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；(2) 2.【解析】 【分析】（1）利用代入消参的方法的出线l 的直角坐标方程，利用公式转化得出曲线C 的参数方程； （2）点M 在直线l 上，可用直线参数方程参数的几何意义计算MA MB ⋅. 【详解】（1）由已知可得直线l10y -+=，∵23cos 2ρθρ-=，∴22cos 3ρρθ+=，∴2223x y x ++=，∴曲线C 的直角坐标方程为()2214x y ++=，∴曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）； （2）∵点M 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴点M 的直角坐标为()01，，点M 在直线l 上，设111122A t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，，221122B t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，， 将直线l的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得 221142t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴)2120t t +-=，有韦达定理可得122t t =-，∴122MA MB t t ⋅==.【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程和极坐标方程的相互转化，直线参数方程参数的几何意义，考查求解运算的能力，是中档题.23.已知函数()21f x x x =++-，()1g x x a =-+.（1）解不等式()4f x ≥；（2）当2a ≥时，若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，，；（2）[]24，. 【解析】【分析】（1）利用分类讨论去绝对值的方法解绝对值不等式；（2）若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集，以此求实数a 的取值范围.【详解】（1）①2x <-时()214f x x x =---+≥，得52x ≤-， ∴52x ≤-， ②21x -≤≤时()214f x x x =+-+>，得34>，∴无解，③1x >时()214f x x x =++-≥，得32x ≥， ∴32x ≥， 综上所述，原不等式的解集为5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，，； （2）∵2a ≥，[]2,2x ∈- ()21f x x x =++-，()1g x x a =-+，∴()3212112x f x x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩，，，即()35f x ≤≤， ()1g x x a =-++，若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则有()()()22152213g a g a ⎧-=--++≥⎪⎨=-++≤⎪⎩得24a ≤≤，且2a ≥∴实数a 的取值范围[]24，. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，考查了运算求解的能力、转化与化归思想，是中档题.。
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2020届百校联盟（全国卷）高三第三次模拟考试数学（文）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12小题 ，每题 5 分，共计60分）1.设,则Z在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列结论错误的是（ ）A.命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题B.命题[]1,1,0:≥∈∀x e x p ，命题则""q p ∨为真C.若“22bm am <，则b a <”的逆命题为真命题D.命题,:"0R x p ∈∃使得0220≥-x ”的否定为"02,:"20<-∈∀⌝x R x p3. 已知等差数列 {}n a 的前n 项和为n s ,若6274=+a a ，则9s（ ） A.9B.18C.27D.364. 已知直线⊥l 平面α，直线≠⊂m 平面β，给出下列命题： ①m l ⊥⇒βα∥；②m l ∥⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l ∥④βα∥⇒⊥m l .其中正确命题的序号是 （ ） A.①③B.②③C.②④D.①③④5. 《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α、β,且小正方形与大正方形面积之比为4：9,则()βα-cos 的值为 （ ） A.95B.94C.32D. 06.的值为则相切与点与曲线直线b M c bx x y kx y ),2,1(123++=+= （ ） A.-1 B.0C.1D.27.已知函数1ln 1)(--=x x x f ,则y=f(x)的图象大致为（ ）A. B. C.D.8. 已知⎩⎨⎧≥-<-+-=,1,ln ,1,33)21()(x x x a x a x f 的值域为R ，那么a 的取值范围是 （ ）A ．(]2,∞- B.⎥⎦⎤ ⎝⎛2,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21 D.()2,09．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = （ ） A ．2B ．3C ．4D. 810.如图，四边形ABCD 和四边形ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为（ ）A.4π B 2π C 6π D 3π11.已知()x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间()0,∞-上单调递增，若实数a 满足()()2＞21--f f a ，则a的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321,C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21D.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 12.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意0x >都有2()()0f x xf x '+>成立，则（ ）A ．4(2)9(3)f f -<B ．4(2)9(3)f f ->C ．2(3)3(2)f f >-D ．3(3)2(2)f f -<-卷II （非选择题）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）13.=+--=-απαπαcos )3cos(33)6cos(则若______ 14.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是______方向在向量共线，则向量与若向量已知向量-===2),2,1(),1,3(),,1(.15λ上的投影为 ______16.已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，若n n s n +=2，由数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为 ______三、 解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（第17—21题为必考题，每个考题考生都必须作答。
第22,23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：（共60分）.,26sin sin 322..)(4＜4-)1()125()(,)(),1,(cos ),sin ),sin(2(,,,,AB 分)12本小题小题.(17的面积求，）若（值域时，求当都有对任意的，向量的对边分别为中，角在ABC C B a x f x f x f R x n x f x A A x c b a C B A C ∆=+=≤≤∈⋅==-=∆πππ18.（本小题满分12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。
经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值;（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.19（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，，，︒=∠=∠90ABC DAB ,，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程.（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()32f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值. (1)求,a b 的值及函数()f x 的单调区间. (2)若对[]2,3x ∈-,不等式()23c 2f x c +<恒成立,求c 的取值范围.（二）选考题，共10分。
请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=(1)求曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()133f x x x a a =-+-+，x R ∈． (1)当1a =时，求不等式()7f x >的解集. (2)对任意m R +∈，x R ∈恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围．试题答案一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. -1 14.15. 0 16.三、解答题：17解：（1）因为==所以==----2‘所以因为对,都有所以----4‘因为所以----5‘当时，所以的值域为----6‘(2)因为所以在中，由正弦定理得----7‘所以所以----8‘在中，由余弦定理得即----9‘所以解得bc=4 ----10‘所以----12‘18.解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．19.20.21.1. ()2'=32f x x ax b ++由题意得'(1)0'(2)0f f -==⎧⎨⎩即3201240a b a b -+=++=⎧⎨⎩解得326a b =-=-⎧⎪⎨⎪⎩ 所以()3223()6,'362f x x x x c f x x x =--+=-- 令()0f x '<解得12x -<<令()0f x '>解得1x <-或2x >所以()f x 的减区间为()1,2-,增区间为()(),1,2,.-∞-+∞2.由(1)知, ()f x 在(),1-∞-上单调递增;在()1,2-上单调递减;在()2,+∞上单调递增.所以[]2,3x ∈-时, ()f x 的最大值即为()1f -与()3f 中的较大者.()79(1),3.22f c f c -==-+ 所以当1x =-时, ()f x 取得最大值. 要使23()2f x c c +<,只需23(-1)2c f c >+, 即2275c c >+,解得1c <-或7c>2. 所以c 的取值范围为7(-,-1)(,)2∞⋃+∞ 22（Ⅰ）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =;（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得22sin 4cos 40t t αα--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则的最小值为4． 23.（1）当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-=3,1231,51,27)(x x x x x x f ，7)(>∴x f 的解集为{}40><x x x 或． (2)a a a x a x a a x x x f 313331331)(+-=+-+-≥+-+-=， 又有54949=-≤--mm ， 由题意恒成立得，5313≥+-a a ，解得1≥a ，a ∴的取值范围为),1[+∞．。