最优滤波与应用课件v稳定性

2.滤波稳定性分析 滤波稳定性分析
ˆ ˆ ˆ X k +1/ k +1 = X k +1/ k + K k +1[ Z k +1 − H k +1 X k +1/ k ]
ˆ ˆ ˆ 改写为 X k +1/ k +1 = Φ k +1,k X k / k + Tk +1,kU k + K k +1 ( Z k +1 − H k +1Φ k +1,k X k / k − H k +1Tk +1,kU k ) ˆ = ( I − K k +1 H k +1 )Φ k +1,k X k / k + K k +1Z k +1 + ( I − K k +1 H k +1 )Tk +1,kU k
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3-1、滤波的稳定性概念 、
• 采用卡尔曼进行滤波估计时，需要获 采用卡尔曼进行滤波估计时， 得初始时刻状态量X 的统计特性， 得初始时刻状态量 0的统计特性，但 如果不能准确获得或无法获得，则初 如果不能准确获得或无法获得， 的估计取值就有相当大的随意性。 始X0的估计取值就有相当大的随意性。 • 该估计取值对于卡尔曼滤波有无影响？ 该估计取值对于卡尔曼滤波有无影响？
有基本解阵离散化系统
X k +1 = Φ k +1, k X k + Tk +1, kU k Z k +1 = HX k +1
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3-2、线性控制系统的能控性和能观性 、
2. 线性定常离散系统能控性和能观性
• 采样数据系统：控制的输入信号是断 采样数据系统： 续的常量，仅在时间离散点上变化。 续的常量，仅在时间离散点上变化。 基本解阵离散化系统： 基本解阵离散化系统：由连续系统的基 本解阵（状态转移阵）离散化后得到。 本解阵（状态转移阵）离散化后得到。 是一种假想的离散系统， 是一种假想的离散系统，便于计算机计 算和控制。 算和控制。也是我们这门课程研究的系 统。
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3-1、滤波的稳定性概念 、
1.滤波的稳定 滤波的稳定 当滤波时间充分长时， 当滤波时间充分长时，卡尔曼滤波的精度 不受初始值精度的影响，则称该滤波是稳定的， 不受初始值精度的影响，则称该滤波是稳定的， 或称该滤波系统是稳定的，或称滤波递推的误 或称该滤波系统是稳定的， Pk是收敛的。 差( )是收敛的。 是收敛的 +1/ k +1
3-2、线性控制系统的能控性和能观性 、
• 线性定常连续系统 • 离散系统 • 随机线性系统
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3-2、线性控制系统的能控性和能观性 、
1. 线性定常连续系统能控性和能观性
设有确定性定常连续系统
X = AX (t ) + BU (t ) Z (t ) = HX (t )
完全可控性定义和判据？ 完全可控性定义和判据？
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线性定常系统的稳定性定义
• 外部稳定性：反映系统在给定有界输入条件下，输出 外部稳定性：反映系统在给定有界输入条件下， 也是有界的。（ 。（BIBO稳定） 稳定） 也是有界的。（ 稳定 讨论外部稳定性时，需要假定系统初始条件为0。 讨论外部稳定性时，需要假定系统初始条件为 。 • 内部稳定性：反映系统在没有输入条件作用下，由于 内部稳定性：反映系统在没有输入条件作用下， 初始状态不为0，所引起的系统零输入响应。 初始状态不为 ，所引起的系统零输入响应。如果系统 的零输入响应随着时间趋于无穷，而输出值也趋于0， 的零输入响应随着时间趋于无穷，而输出值也趋于 ， 则称为系统内部稳定，或称为渐近稳定。（ 。（“ 则称为系统内部稳定，或称为渐近稳定。（“李亚普 诺夫” 诺夫”意义下的稳定 ） • 一致渐近稳定：系统初始状态在任意时刻给定的任意 一致渐近稳定： 非零条件下，都能够回到同一个平衡状态， 非零条件下，都能够回到同一个平衡状态，则称为系 统是一致渐近稳定的。 统是一致渐近稳定的。
卡尔曼滤波的稳定性与什么因素有关？ 卡尔曼滤波的稳定性与什么因素有关？
ˆ ˆ ˆ X k = Φ k ,k −1 X k −1 + K k ( Z k − H k Φ k ,k −1 X k −1 ) ˆ = ( I − K k H k )Φ k ,k −1 X k −1 &#、滤波的稳定性概念 、
• 对卡尔曼滤波稳定性分析，转化为对原来系统 对卡尔曼滤波稳定性分析，
的一致完全可控和一致完全可观性的分析。 的一致完全可控和一致完全可观性的分析。
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滤波稳定性定理
• 目的 解决卡尔曼滤波实际使用过程 目的--解决卡尔曼滤波实际使用过程 状态初始值的选取问题。 中，状态初始值的选取问题。
ˆ ˆ (1) 随着滤波时间的增长， 随着滤波时间的增长，估计值 X k （或 X (t ) ）是否逐渐不 ˆ 的影响。 受所选的初始估计值 X 0 或 X (0) ）的影响。 （
令 Ψ k +1, k = ( I − K k +1 H k +1 )Φ k +1,k 滤波器的状态方程
ˆ ˆ X k +1/ k +1 = Ψ k +1,k X k / k + K k +1Z k +1 + ( I − K k +1 H k +1 )Tk +1,kU k
自由运动项 系统强迫运动项
滤波的稳定性取决于自由运动项，与滤波器的转移矩阵Ψ 有密切关系。 滤波的稳定性取决于自由运动项，与滤波器的转移矩阵Ψk+1/k有密切关系。
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3-2、线性控制系统的能控性和能观性 、
2. 线性定常离散系统能控性和能观性
•线性定常离散系统可控性 线性定常离散系统可控性
Qcd
Tk +1, k , Φ k +1, k Tk +1, k , Φ k +1, k 2Tk +1, k ,L , Φ k +1, k n −1Tk +1, k rankQcd = n (n为X的维数)
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3-2、线性控制系统的能控性和能观性 、
1. 线性定常连续系统能控性和能观性
完全可控性定义
• 若线形系统对初始时刻 存在时刻ta>t0,对t0时刻的 若线形系统对初始时刻t0,存在时刻 存在时刻 对 时刻的 任意初始值X(t0)=X0可找到容许控制矢量 ，使 可找到容许控制矢量U， 任意初始值 可找到容许控制矢量 X(t0)=0，也就是说，可以把系统从任意初始状态控 ，也就是说， 制到原点，则称系统在t0时刻完全能控 时刻完全能控， 制到原点，则称系统在 时刻完全能控，或在区间 [t0,ta]上完全能控。若系统对于任意时刻 处于系统 上完全能控。 上完全能控 若系统对于任意时刻t0(处于系统 定义域内)都完全能控 则称系统为一致完全可控。 都完全能控， 定义域内 都完全能控，则称系统为一致完全可控。 简称为完全可控性。 简称为完全可控性。
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线性定常系统的稳定性定义
• 稳定和一致稳定的区别在于后者对于 时刻没有关系； 时刻没有关系； • 一致稳定，则必然稳定，反之不然； 一致稳定，则必然稳定，反之不然； • 定常系统而言，稳定和一致稳定是一 定常系统而言， 致的。 致的。 • 渐进稳定和一致渐进稳定的含义类似 于稳定和一致稳定的关系； 于稳定和一致稳定的关系；
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3-1、滤波的稳定性概念 、
3.滤波稳定性定理 滤波稳定性定理
• 如果系统一致完全可控，一致完全可观，则其线形最 如果系统一致完全可控，一致完全可观， 优滤波系统一定是一致渐进稳定。 优滤波系统一定是一致渐进稳定。 • 滤波方程一致渐进稳定 无论初始值 X k / k )怎么取，只 无论初始值( ˆ 怎么取 怎么取， 要时间充分长， 要时间充分长，就能保证往后的滤波值与最优滤波值 十分接近。换句话说，初始值的影响可以忽略。 十分接近。换句话说，初始值的影响可以忽略。
• 若线形系统对初始时刻 t0 ,存在时刻 ta > t0 ,根据在 [t0，ta ] 存在时刻 根据在 时间区间内的观测值Z(t), t ∈ [t0，ta ] ，能唯一地确定 时间区间内的观测值 系统在 t0 时刻的任意初始值 X (t0 ) = X 0 ,则称系统在t0 则称系统在 时刻完全能观测的， 时刻完全能观测的，若系统对于任意时刻t0 ( t0 处于系统 定义域内)都完全能观测 则称系统为一致完全可观测。 都完全能观测， 定义域内 都完全能观测，则称系统为一致完全可观测。 简称完全可观测性。 简称完全可观测性。
•线性定常离散系统可观性 线性定常离散系统可观性
Qod
H , H Φ k +1, k , H Φ k +1, k ,L , H Φ k +1, k rankQod = n (n为X的维数)
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3-2、线性控制系统的能控性和能观性 、
1. 线性定常连续系统能控性和能观性
完全可观性判据
Qo
要求： 要求：
H , HA, HA ,L , HA
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n −1 T

rankQo = n
(n为X的维数)
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3-2、线性控制系统的能控性和能观性 、
2. 线性定常离散系统能控性和能观性
X = AX (t ) + BU (t ) 由 Z (t ) = HX (t )
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3-1、滤波的稳定性概念 、
ˆ ˆ X k +1/ k +1 = Ψ k +1,k X k / k
• 滤波稳定性定义：如果上述系统是一致渐 滤波稳定性定义： 进稳定的，则滤波是稳定的。 进稳定的，则滤波是稳定的。 • 滤波方程一致渐进稳定，表示无论如何选 滤波方程一致渐进稳定， 择滤波初始值，只要滤波时间充分长， 择滤波初始值，只要滤波时间充分长，就 能保证以后的滤波值与真实值十分接近。 能保证以后的滤波值与真实值十分接近。 • 如果滤波一致渐进稳定，则系统不可能发 如果滤波一致渐进稳定， 确保计算机运算数据不溢出。 散，确保计算机运算数据不溢出。