5空间基本力系
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空间一般力系
Fy = −Fxy cos β = −F cosα cos β n
机械设计基础
§5-2 力对轴的矩
y
平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。 平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。
z
r r Mz (F) = Mo (Fxy ) =±Fxy ⋅ h
x
空间的力对轴之矩： 空间的力对轴之矩：
（a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）、（c） （b）、（ ）力与轴相交，力对轴的力矩等于零； ）、（ 力与轴相交，力对轴的力矩等于零；
X Y Z 方向： 方向： cosα = , cos β = , cosγ = F F F
机械设计基础
⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量； 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 力在坐标平面上的投影是矢量。 二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求 与平面汇交力系的合成方法相同， 合力。 合力。
⒊ 二次投影法（间接投影法） 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易 确定时， 面上， 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴 上。 X =F⋅sinγ ⋅cosϕ=F ⋅cosϕ=F⋅cosθ⋅cosϕ 即：
Y =F⋅sinγ ⋅sinϕ=Fxy ⋅sinϕ=F⋅cosθ⋅sinϕ Z = F ⋅ cosγ = F ⋅ sinθ
Fxy
作用点： 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。 的接触之点。
机械设计基础
一次投影法（直接投影法） ⒉ 一次投影法（直接投影法） 由图可知： 由图可知： X =F⋅cosα,
5章空间力系(交)
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
工程力学第五章 空间力系
cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。
空间力系介绍
y
x
3.空间力系的平衡
空间力系的简化：与平面任意力系的简化方法一样，空
间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Mo [ M x (F)]2 [ M y (F)]2 [ M z (F)]2
• 空间力系的平衡方程 平衡的必要与充分条件：
M＝o０， F＝R０
平衡方程：
Fx 0
Fy 0
Fz Mx My
0 (F) (F)
00
M z(F) 0
3.空间力系平衡问题的平面解法
在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平 面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三 视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所 求的未知量。这种将空间问题转化为平面问题的 研究方法，称为空间问题的平面解法。
x
y Fx
Fxy
A Fy
2.力对轴之矩
合力矩定理 ：如一空间力系由F1、F2、…、Fn组 成，其合力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分
力对同一轴之矩的代数和。
M z (FR ) M z (F)
例1：图示力F=1000N，求F对z轴的矩Ｍz。 FZ
z
Fx
Fy
Fxy
x
5
Fy
Fx
Fxy
10
则力在三个坐标轴上的投影 分别为 ：
z
Fz
Fx Fy
F F
sin sin
cos sin
Fz F cos
若已知力在三个坐标轴上的投
F 影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小 x
和方向，即 :
《理论力学》基本力系
接触点处受到法向约束力的作用。
03
铰链约束
铰链约束是指两个构件通过销钉或铰链连接在一起，并能绕销钉或铰链
相对转动。这种约束只能限制物体沿垂直于销钉轴线的运动，而不能限
制物体绕销钉的转动。
平衡条件及求解方法
平面力系的平衡条件
平面任意力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和主矩都为零。即所有各力在x轴和y轴 上的投影的代数和分别等于零；所有各力对任意一点之矩的代数和也等于零。
汇交力系平衡条件应用
平衡条件
汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零，即力多边形自行封闭。
应用
在静力学中，汇交力系平衡条件可应用于求解未知力、判断物体是否平衡等问题 ；在动力学中，可用于分析物体的运动状态及受力情况。
04 平面任意力系简化与平衡
平面任意力系简化方法
向一点简化
选择适当的一点，将力系中的各 力向该点平移，得到一个等效的 平面汇交力系和一个平面力偶系。
主矢和主矩
平面任意力系向作用面内任一点 简化时，一般可得到一个力和一 个力偶，这个力称为该力系的主 矢，这个力偶的矩称为该力系对
简化中心的主矩。
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内 任一点之矩，等于力系中各分力
对于同一点之矩的代数和。
简化结果分析
当主矩为零时，主矢也为零
01
说明该力系本身是平衡的，或者可以合成为一个合力。
合力矩
主矩表示原力系对物体的 总体转动效应，其大小和 方向由主矩矢量确定。
平衡条件
当且仅当主矢和主矩都为 零时，空间任意力系才处 于平衡状态。
空间任意力系平衡条件应用
静力学问题
利用空间任意力系的平衡条件，可以解决各种静力学问题， 如物体的平衡、刚体的平衡等。
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
工程力学第五章 空间力系(2)
l l l
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
《工程力学》教学课件 第5章 空间力系
在平面力系中，力 F 与矩心 O 在同一个平面内，用代数量 MO (F ) 就足以概括力对点 O 之矩 的全部要素。但在空间力系中，由于各力与矩心 O 所决定的平面可能不同，导致各力使刚体绕同 一点转动的方位不同。当方位不同时，即使力矩的大小相同，作用效果也会完全不同。例如，作 用在飞机尾部垂直舵和水平舵上大小相同的力，对飞机产生的绕重心转动的效果却不同，前者使 飞机转弯，而后者则使飞机俯卧。
从实践中可知，如果推门时力的作用线与门的转轴平行或相交，无论力多大，门都不会发生 转动。如图 5-6（a）所示，当力 F 与门的转轴 z 共面时，力对轴不产生转动效应，即力对轴之矩 为零。
如图 5-6（b）所示，如果推门时力 F 在垂直于转轴 z 的平面内，此时就能把门推开。实践证 明，力 F 越大或其作用线与转轴间的垂直距离 d 越大，转动效果就越明显。因此，可以用力 F 的 大小与垂直距离 d 的乘积来度量力 F 对刚体绕定轴的转动效应，其转向可用正负号区分。若将力 F 对 z 轴之矩用 M z (F ) 表示，则
1.2 力在空间直角坐标轴上的投影
首先，将力 F 向 z 轴和 Oxy 平面上投影，得 Fz F cos γ Fxy F sin γ
然后再将 Fxy 向 x，y 轴上投影，得 即力 F 在 x，y，z 轴上的投影为
Fx Fxy cos φ F sin γ cos φ
Fy
Fxy
sin φ
F
MO (F ) Fd 2A△OAB
（5-9）
式中， A△OAB 表示三角形 OAB 的面积。 由以上定义可知，力矩矢 MO (F ) 的大小和方向
与矩心 O 的位置有关，即力矩矢 MO (F ) 是一个定位矢量。
图5-5
2.1 力对点之矩
从实践中可知，如果推门时力的作用线与门的转轴平行或相交，无论力多大，门都不会发生 转动。如图 5-6（a）所示，当力 F 与门的转轴 z 共面时，力对轴不产生转动效应，即力对轴之矩 为零。
如图 5-6（b）所示，如果推门时力 F 在垂直于转轴 z 的平面内，此时就能把门推开。实践证 明，力 F 越大或其作用线与转轴间的垂直距离 d 越大，转动效果就越明显。因此，可以用力 F 的 大小与垂直距离 d 的乘积来度量力 F 对刚体绕定轴的转动效应，其转向可用正负号区分。若将力 F 对 z 轴之矩用 M z (F ) 表示，则
1.2 力在空间直角坐标轴上的投影
首先，将力 F 向 z 轴和 Oxy 平面上投影，得 Fz F cos γ Fxy F sin γ
然后再将 Fxy 向 x，y 轴上投影，得 即力 F 在 x，y，z 轴上的投影为
Fx Fxy cos φ F sin γ cos φ
Fy
Fxy
sin φ
F
MO (F ) Fd 2A△OAB
（5-9）
式中， A△OAB 表示三角形 OAB 的面积。 由以上定义可知，力矩矢 MO (F ) 的大小和方向
与矩心 O 的位置有关，即力矩矢 MO (F ) 是一个定位矢量。
图5-5
2.1 力对点之矩
理论力学课本及习题集答案
理论力学课本及习题集答案
西北工业大学理论力学教研室
2009年7月
第一章:静力学的基本概念
第二章:平面基本力系
第三章:平面任意力系
第五章:空间基本力系
第六章:空间任意力系
第七章:重 心
第八章:点的运动
第九章:刚体的基本运动
第十章:点的复合运动
日
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
第十一章:刚体的平面运动
第十二章:刚体的转动合成
第十四章:质点动力学基础
第十五章:质点的振动
第七章:动能定理
第十八章:动量定理
第十九章:动量矩定理
第二十章:碰撞理论
第二十一章:达朗伯原理
第二十二章:虚位移原理
西北工业大学理论力学教研室
2009年7月
第一章:静力学的基本概念
第二章:平面基本力系
第三章:平面任意力系
第五章:空间基本力系
第六章:空间任意力系
第七章:重 心
第八章:点的运动
第九章:刚体的基本运动
第十章:点的复合运动
日
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
第十一章:刚体的平面运动
第十二章:刚体的转动合成
第十四章:质点动力学基础
第十五章:质点的振动
第七章:动能定理
第十八章:动量定理
第十九章:动量矩定理
第二十章:碰撞理论
第二十一章:达朗伯原理
第二十二章:虚位移原理
理论力学03空间力系的简化和平衡1.
r F1 r F2 r Fn
Fn A
F2
mO (F1) mO (F2 ) mO (Fn )
O
r F1
n
y
mO (F )
i 1
x
31
n
将 mO (R ) mO (F ) 向坐标轴投影，得 i 1 n mx (R ) mx (Fi ) i 1 n my (R ) my (Fi ) i 1 n mz (R ) mz (Fi ) i 1
习题课
3
§3-1 空间汇交力系
一、空间力的投影（与力的分解）：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg
20
①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空
间汇交力系：F '1,F2 ',F3'Fn ' 和附加力偶系 m1,m2 ,mn [注意] m1,m2 ,mn 分别是各力对O点的矩。
②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。
21
③合成 F '1,F2 ',F3'Fn ' 得主矢 R ' 即 R 'Fi 'Fi （主矢 R ' 过简化中心O，
且与O点的选择无关） 合成 m1,m2 ,mn 得主矩 M O
即：mO mi mO (F i（) 主矩 M O 与简化中心O有关）
理论力学05空间力系_2力对轴的矩
x、y、z 轴上的投影。
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
Mx FR Mx Fi M y FR M y Fi Mz FR Mz Fi
z
四、力对点的矩的矢量定义
力F 对点O 的矩的矢量定义为
MO F r F
式中，r 为矩心 O 至力F 作用点
Mz F xFy yFx 0 l aF sin F l asin
两种计算方法结果相同
[例2] 如图，长方体边长分别为a、b、c，沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力F 对 x ，z 及 y1三轴的矩。
解： 将力F 作三维正交分解， 其中各分力大小
Fx
a
F
a2 b2 c2
z
Fy
b F
a2 b2 c2
c
Fz
F a2 b2 c2
c
Fy
a
x
b
Fz
y
Fx
y1
Fx
a F
a2 b2 c2
Fy
b F
a2 b2 c2
Fz
c
F
a2 b2 c2
利用力对轴的矩的合力矩定理，即得
M x F M x Fz
bc F
a2 b2 c2
M z F M z Fx
Mz F Mz Fx Mz Fz Fx AB CD 0 F l asin
解法二： 利用力对轴的矩的解析算式
力的作用点的坐标为
x l y l a z 0
力F 在 x、y、z 轴上的投影为 Fx F sin Fy 0 Fz F cos 代入解析算式，即得
Fx
Fz
Mx F yFz zFy l aF cos 0 F l acos My (F) zFx xFz 0 lF cos Fl cos
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
Mx FR Mx Fi M y FR M y Fi Mz FR Mz Fi
z
四、力对点的矩的矢量定义
力F 对点O 的矩的矢量定义为
MO F r F
式中，r 为矩心 O 至力F 作用点
Mz F xFy yFx 0 l aF sin F l asin
两种计算方法结果相同
[例2] 如图，长方体边长分别为a、b、c，沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力F 对 x ，z 及 y1三轴的矩。
解： 将力F 作三维正交分解， 其中各分力大小
Fx
a
F
a2 b2 c2
z
Fy
b F
a2 b2 c2
c
Fz
F a2 b2 c2
c
Fy
a
x
b
Fz
y
Fx
y1
Fx
a F
a2 b2 c2
Fy
b F
a2 b2 c2
Fz
c
F
a2 b2 c2
利用力对轴的矩的合力矩定理，即得
M x F M x Fz
bc F
a2 b2 c2
M z F M z Fx
Mz F Mz Fx Mz Fz Fx AB CD 0 F l asin
解法二： 利用力对轴的矩的解析算式
力的作用点的坐标为
x l y l a z 0
力F 在 x、y、z 轴上的投影为 Fx F sin Fy 0 Fz F cos 代入解析算式，即得
Fx
Fz
Mx F yFz zFy l aF cos 0 F l acos My (F) zFx xFz 0 lF cos Fl cos
5 理论力学--空间任意力系
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
z z
F
O
F A
B
d
A x
x
O d
y a F x
y
y
Fy
b
Fx
图5-2
力F对z轴的矩，就等于力F在垂直于z轴的Oxy平面 上的投影Fxy对z轴与该平面的交点O的矩(见图5-2)
M z ( F ) M O (Fxy ) Fxy d 2Oab
力对轴的矩是一个代数量。 正负号规定：右手螺旋规则。
z
任选O点为简化中心,将各力
平行搬移到O点(见图5-4)。 根据力线平移定理，将各力 平行搬移到O点，得到一空间汇 交力系；和一附加力偶系。
F1 ' F1 , F2 ' F2 , , Fn ' Fn ;
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ), , M n M O (Fn ) .
x 2 Ax
y 1 Ay
C
F2
x 0
z
1
Az
FAy
1
2
y
x
z
1
2
z
图5-9
解得
FAx 100kN FAy 200kN FAz 400kN M x 600kN m M y 500kN m M z 400kN m
例5-3 如图5-10(a)所示板ABCDEF由六根链杆支承，正方形 ABCD位于水平面内，EF平行于CD。试求沿AD方向作用有力F时， 六根杆的内力。 B 4 C 3 a 解： 取悬臂刚架ABCDEFG为研究 F 5 2 对象，受力如图5-10(b)所示。 D a
空间力系
O
Fx
y a y x
Fy
Fx
Fxy b
M x ( F ) yZ zY M y ( F ) zX xZ M z ( F ) xY yX
x
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
M x ( F ) yZ zY M y ( F ) zX xZ M z ( F ) xY yX
X 0
平衡方程:
Y 0 Z 0 M x (F ) 0 M y ( F ) 0 M z (F ) 0
平面任意力系
X 0 Y 0 M z ( F ) 0
§4-7 空间约束类型 及其约束反力
例 题 3
已知： P 、 a、b、c
求： 力P 对OA轴之矩
z
解：（1）计算 MO(P)
A
P
c a y
i MO (P) r P 0 0 Pbi
（2）利用力矩关系
j b 0
k 0 P
x
O
b
M OA ( P ) M O ( P ) cos Pab a b c
2 2 2
i M O (F ) r F x X
j y Y
k z Z
( yZ zY )i ( zX xZ ) j ( xY yX )k
● 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。
M O ( F )x M x ( F ) M O ( F )y M y ( F ) M O ( F )z M z ( F )
MO
z
FR
O
y
x
§4-5 空间任意力系的简化结果分析
Fx
y a y x
Fy
Fx
Fxy b
M x ( F ) yZ zY M y ( F ) zX xZ M z ( F ) xY yX
x
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
M x ( F ) yZ zY M y ( F ) zX xZ M z ( F ) xY yX
X 0
平衡方程:
Y 0 Z 0 M x (F ) 0 M y ( F ) 0 M z (F ) 0
平面任意力系
X 0 Y 0 M z ( F ) 0
§4-7 空间约束类型 及其约束反力
例 题 3
已知： P 、 a、b、c
求： 力P 对OA轴之矩
z
解：（1）计算 MO(P)
A
P
c a y
i MO (P) r P 0 0 Pbi
（2）利用力矩关系
j b 0
k 0 P
x
O
b
M OA ( P ) M O ( P ) cos Pab a b c
2 2 2
i M O (F ) r F x X
j y Y
k z Z
( yZ zY )i ( zX xZ ) j ( xY yX )k
● 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。
M O ( F )x M x ( F ) M O ( F )y M y ( F ) M O ( F )z M z ( F )
MO
z
FR
O
y
x
§4-5 空间任意力系的简化结果分析
工程力学课件 05空间力系
②画受力图
③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数 2、解题技巧： ① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。
② 投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力
平行或相交。 ③ 一般从整体 局部的研究方法。
④ 摩擦力F = FN fs ，方向与运动趋势方向相反。
26
3、注意问题： ① x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴）可以不重合、可以
3 3 80 20 ( N ) 31 6 2
32
知数。
30
M
DD '
0,
1 FTB cos60 AC P CE 0 2
又 AC ctg60 cos60 CE
FTB cos 60 AC P
FTB
1 AC ctg 60 cos 60 2
FTA FNA
B
求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ (Q力作用在C轮的最低点） 解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
最好使每
FAz FAy FAx FBx FBz
一个方程 有一个未 知数，方 便求解。
18
FAz FAy FAx
FBz
FBx
F
y
0
M
y
0
FAy Py 0
Fz
Fy Fx
13
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承 Fz
Fx Fz Fx
14
3、止推轴承
Fz Fy Fx
15
4、带有销子的夹板
Fz Fx
Fy Fz Fy
Fx
16
5、空间固定端
Fy Fx
Fz
Fz Fy Fx
工程力学_05空间力系
0, MO 0 时，空间力系为平衡力系。 当 FR
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。
空间汇交力系
空间任意力系
空间力偶系
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。 一、空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，
Fx 0, FAx Fx 0 (1) Fy 0, FAy Fy 0 (2) Fz 0, FAz Fz 0 (3) M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0,
FAz MAz
O
z
MAy FAx
FAy Fz
y 200 Fy
MAx
M Ax 0.075Fz 0 M Ay 0.2 Fz 0
x 75 Fx
M Az 0.075Fx 0.2 Fy 0
P 20 kN
§5–2 空间任意力系的平衡条件
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
O
11
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
三、补充:空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
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第五章 空间基本力系
§5–5 空间力偶系的合成和平衡条件
1. 空间力偶系的合成 空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等于各分力偶 矩矢的矢量和。
即
M M1 M 2 M n M i
第五章 空间基本力系
§5–5 空间力偶系的合成和平衡条件
M M1 M 2 M n M i
第五章 空间基本力系
§5–5 空间力偶系的合成和平衡条件
3.合力偶矩矢M 的大小和方向。
M M x M y M z 42.7 N m
2 2 2
例题 5-4
z
cos M , i
Mx M My
0 , M , i 90
M1
M2
45°
M3
y
cosM , j
沿各轴的分力为
Fx ( Fn cos sin ) i Fy ( Fn cos cos ) j Fz ( Fn sin ) k
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
例5-3 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节
23
例题 5-1
cos
0.919 ,
F
19.6
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的 解析法及其平衡的解析条件
合力投影定理 空间共点力系平衡的充要条件
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
1. 合力投影定理 共点力系的 合力在某一轴上的
投影，等于力系中
所有各力在同一轴 上投影的代数和。
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 2. 空间共点力系平衡的充要条件 力系中各力在三个坐标轴中每一轴上的投影之和分别等于零。
F
空间共点力系的平衡方程
x
0 0
F
y
F
z
0
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
列平衡方程
B
A
D
F3 F' β α α F2
z
F
y C
x
0， F2 sin F3 sin 0
F
F
y
0,
x
O
F1
F1 F2 cos sin F3 cos sin 0
z
F
0,
F2 cos cos F3 cos cos F 0
§5– 1 空间共点力系合成的 几何法及其平衡的几何条件
空间共点力系合成的几何法
空间共点力系平衡的几何条件
第五章 空间基本力系
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 1.空间共点力系合成的几何法
结论：空间共点力系
的合力等于力系中的 各个力的矢量和。 或者说，合力是由这 个力系的力多边形的
第五章 空间基本力系
§5–2
力在轴上和平面上的投影
二次投影法
第五章 空间基本力系
§5–2
力在轴上和平面上的投影
例题 5-1
例5-1 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受 的力F的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN， 18 kN。试求力F的大小和方向。 解： 力F的大小 F
例题 5-2
例5-2 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。 已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。
第五章 空间基本力系
例题 5-2
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
运 动 演 示
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
静 力 学
空间基本力系
第五章 空间基本力系
静
第 五 章 空 间 基 本 力 系
力
学
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其 平衡的几何条件
§5–2 力在轴上和平面上的投影
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其 平衡的解析条件
§5–4 力 偶 矩 矢 §5–5 空间力偶系的合成和平衡条件
目录
第五章 空间基本力系
z轴上的投影时，须先将 它们投影到Oyz 平面上。
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
A
D
B
F' F2 x
F3
α β α
z y C
O
力F2 在平面Oyz上的投影为：
F F2 cos
F1
并与 z 轴成β角。
F 2F'
β
故力F2在y，z 轴上的投影分别为:
闭合边来表示。 公式
FR Fi
第五章 空间基本力系
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 2. 空间共点力系平衡的几何条件
空间共点力系平衡的充要的几何条件是这力系的多
边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。
FR Fi 0
第五章 空间基本力系
§5–2 力在轴上和平面 上的投影
－F2 cosαsinβ 和 F2 cosαcosβ。
z
F1
O
y
力F3的投影可用同样方法求出。
F
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
力F2与x轴之间的 夹角为90o－α，故它在 该轴上的投影为：
F2 x F2sin
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
§5–4 力 偶 矩 矢
力偶作用面的平移
力偶作用面的平移
第五章 空间基本力系
§5–4 力 偶 矩 矢
2. 力偶矩矢
(1) 概念： 用来表示力偶矩的大小、转向、作用面方位的有向线段。
(2) 力偶的三要素：
力偶矩的大小。 力偶的转向。 力偶作用面的方位 (3) 符号：M
M1
M2
第五章 空间基本力系
cos M , k
0.262 , M , j 74.8
0.965 , M , k 15.2
M Mz
M
45°
O
4. 为使这个刚体平衡，需加一力
偶，其力偶矩矢为 M4= －M 。
第五章 空间基本力系
x
§2–9 空间力偶系的合成和平衡条件
例题 5-5
例 题 5-5 工 件 如 图 所示，它的四个面上同 时钻五个孔，每个孔所 受 的 切 削 力 偶 矩 均 为 80 N· m。求工件所受合力偶 的矩在x，y，z轴上的投
§5–4 力 偶 矩 矢
力偶矩矢
M1
空间力偶可用一个矢量M 表示， 该矢量M称为力偶矩矢。
矢量M的模表示力偶矩的大小；方 位垂直于力偶作用平面；指向表示力偶
的转向，符合右手螺旋规则。
力偶矩矢是自由矢量，一般从力偶 矩中点画出。
M2
第五章 空间基本力系
§5–4 力 偶 矩 矢
力偶矩矢与力矢的区别
平
行
六
面
体 规
则
第五章 空间基本力系
§5–2
力的分解
力在轴上和平面上的投影
设将力F按坐标轴x，y，z方向分解为空间三正交分量：
Fx，Fy，Fz。 则
F Fx Fy Fz
引入x，y，z轴单位矢i，j， k。则可
Fx Fx i Fy Fy j Fy Fy k
F Fx i Fy j Fy k
影Mx ，My ，Mz ，并求合
力 偶 矩 矢的 大 小 和方 向 。
第五章 空间基本力系
例题 5-5
§2–9 空间力偶系的合成和平衡条件
例题 5-5
解： 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。（单击图
面演示平移动画）
可得
M x M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m M y M 2 80 N m M z M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m
第五章 空间基本力系
§5–2
力在轴上和平面上的投影
2.力在平面上的投影 由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线，由垂足A′到 B′所构成的矢量A′B′ ，就是力F在平面Oxy上的投影，记为Fxy。 力Fxy的大小： Fxy F cos
F
A
y
B
Fxy
B′
x
A′
O
注意 力在轴上的投影是一代数量。 力在一平面上的投影仍是一矢量。
例题 5-4
1.画出各力偶矩矢。（单
击图面演示平移动画）
2.合力偶矩矢M 的投影。
M x M1x M 2 x M 3 x 0
M y M 1 y M 2 y M 3 y 11.2 N m
M z M1z M 2 z M 3 z 41.2 N m
解：
取O点为研究对象，受力分
析如图所示，这些力构成了空间
A D B
F3
α β α
z y C
O
共点力系。
F2 x
F1
F
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件