2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十九)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.2{|6510}M x x x =-+=，{|1}P x ax ==，若P M ⊆，则a 的取值集合为( ) A. {}2 B. {}3C. {}2,3D. {}0,2,3【答案】D 【解析】 【分析】求出11,32M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由{|1}P x ax ==，P M ⊆，可得P ∅=，13P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由此能求出a 取值集合．【详解】211{|6510},32M x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，{|1}P x ax ==，P M ⊆，P ∅∴=，13P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，0a ∴=或3a =或2a =．a ∴的取值集合为{}0,2,3．故选D ．【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题． 2.若复数()122aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A. 1B. 1-C. 16D. 16-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a 的值．【详解】∵复数()()()()12212221422255ai i ai a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a -+=，解得a 16=． 故选C ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立， 当αβ⊥时，l β⊥不一定成立， 即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.4.在区间上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≥”的概率，2p为事件“12x y-≤”的概率，3p为事件“12xy≤”的概率，则（）A. 123p p p<< B.231p p p<<C. 312p p p<< D.321p p p<<【答案】B【解析】【详解】因为,[0,1]x y∈，对事件“12x y+≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y-≤”，如图（2）阴影部分，对为事件“12xy≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p<<．（1）（2）（3）考点：几何概型．5.已知数列{}n a的首项为1，第2项为3，前n项和为n S，当整数1n>时，()1112n n nS S S S+-+=+恒成立，则15S 等于 A. 210 B. 211C. 224D. 225【答案】D 【解析】 【分析】结合题目条件，计算公差，证明该数列为等差数列，计算通项，结合等差数列前n 项和公式，计算结果，即可．【详解】结合()1112n n n S S S S +-+=+可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，所以()12121n a n n =+⋅-=-，所以1529a =所以()()11515152911522522a a S ++⋅===，故选D ．【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法，考查了等差数列前n 项和计算方法，难度中等． 6.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7.已知椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一个动点P ，P 不同于A 、B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则PBQF k k 的取值范围是（ ）A. 33044⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， B. ()3004⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭，， C. ()()101-∞-，，D. ()()001-∞⋃，，【答案】D 【解析】 【分析】椭圆焦点在x 轴上，由P 在圆224x y +=，则PA PB ⊥，有11,PB PB PA QF QF PA k k k k k k =-=-⋅，设(2cos )Q θθ，求出223(1cos )4cos 2cos 2QF PAk k θθθ-⋅=+-，令cos (1,1)t θ=∈-，224223(1)PB QF k t t k t +-=--，分离常数，求解得出结论.【详解】椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，右焦点(1,0)F ，点P 圆224x y +=上且不同于,A B ，11,1,,PB PB PA PB PA QF QF PAk PA PB k k k k k k k ∴⊥⋅=-∴=-=-⋅，设(2cos )Q θθ，223(1cos )2cos 22cos 14cos 2cos 2QF PAk k θθθθθθθ-⋅=⋅=+-+- 令cos (1,1)t θ=∈-，222242222(1)14213(1)31331PB QF k t t t t k t t t +--++=-=⋅=+⋅--- 1111,210,12t t t -<<-<-<<--，(,1)PBQFk k ∈-∞且不等于0. 故选:D.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.8.已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A. tan tan x y >B. ()()22ln 2ln 1x y +>+ C.11x y> D. 33x y >【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得x ＞y ，据此结合函数的单调性分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，实数x ，y 满足（12）x <（12）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1y，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是掌握并利用常见函数的单调性．9.若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()+∞B. (1,)+∞C. [1,)+∞D. )+∞【答案】D 【解析】 【分析】求得()(cos sin )xf x e x x a =--'，把函数的单调性，转化为cos sin 0x x a --≤在区间(,)22x ππ∈-上恒成立，即cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，利用三角函数的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得()(cos sin )xf x e x x a =--'，若()f x 在区间(,)22ππ-上单调递减，则cos sin 0x x a --≤在区间(,)22ππ-上恒成立， 即cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，令()cos sin sin(),(,)422h x x x x x πππ=-=-∈-，则3(,)444x πππ-∈-，故sin()4x π-的最大值为1，此时42x ππ-=，即4πx =-，所以()h x ，所以a ≥D.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调及其应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中转化为转化为cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别12F F 、，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 在第一象限交于点P ，且2PO PF =,则双曲线的离心率为( )A.1B.C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，1290F PF ∠=︒，三角形2POF 为等边三角形，从而可以得到122PF PF c a -=-=，即可求出离心率．【详解】由题意知，1290F PF ∠=︒，212PO OF OF PF c ====，三角形2POF 为等边三角形，则1PF =，2PF c =，则122PF PF c a -=-=，解得1c a ==，1，答案为A. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属于基础题．11.已知直线3402x y ππ+-=经过函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻的最高点和最低点，则将()f x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为（ ）A. cos 2y x =B. cos2x y =-C. 3sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 28y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由直线斜率求出周期，从而得ω，直线与x 轴的交点是函数()f x 的零点，由此可求得ϕ，最后由图象变换可得结论．【详解】直线3402x y ππ+-=的斜率为4k π=-，∴242T π=，T π=，22πωπ==， 直线3402x y ππ+-=与x 轴交点为3(,0)8π，根据对称性，此点是()f x 的零点． ∴33()sin(2)088f ππϕ=⨯+=，又2πϕ<，∴4πϕ=，∴()sin(2)4f x x π=+． ∴将()f x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为sin[2()]cos 284y x x ππ=++=．故选：A ．【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象与性质，考查三角函数图象变换，解题时注意正弦函数的“五点法”，求三角函数的解析式、性质常常与这五点联系起来．12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线2:C y x =，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为T .给出以下四个几何体：① ② ③ ④图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体； 图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与T 的体积相等的是（ ） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】A 【解析】 【分析】将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求. 【详解】几何体T 是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为1x ，切线对应的横坐标为2x()()2,2f x x f x x '==，()12k f '∴==切线为()121y x -=-，即21y x =-，2121,2y x y x +∴==横截面面积2221s x x ππ=-()2211=42y y y ππ⎡⎤+-⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦图①中的圆锥高为1，底面半径为12，可以看成由直线21y x =+绕y 轴旋转得到 横截面的面积为2212y s x ππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以几何体T 和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等， 故选A 项.【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.属于难题.二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.261()(21)x x x-+的展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：()621x +的展开式为：()66616622rrr r rr T C x C x ---+==，当62r -=，4r =时，644642416260T C xx --+==， 当65r -=，1r =时，6116154162192T C x x --+==，据此可得：展开式中4x 项的系数为60192132-=-.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．14.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C成等差数列，b =则ABC∆面积的取值范围是__________．【答案】 【解析】分析：由A 、B 、C 成等差数列可得3B π=，然后根据正弦定理可得2sin a A =，2sin c C =，在此基础上求得ABC ∆的面积后再根据三角变换可得ABC S ∆=)6A π-+再根据锐角三角形求得62A ππ<<，于是可得面积的取值范围．详解：∵ABC ∆中A 、B 、C 成等差数列， ∴3B π=．由正弦定理得2sin sin sin sin3a cb A C B π====，∴2sin ,2sin a A c C ==， ∴132sin 3sin sin 3sin sin()23ABC S ac B ac A C A A π∆====-23133331cos 23sin (cos sin )sin cos sin sin 22222422A A A A A A A A -=+=+=+⋅ 33333sin 2cos 2sin(2)444264A A A π=++=-+， ∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<． ∴52666A πππ<-<， ∴1sin(2)126A π<-≤， ∴33333sin(2)22644A π<-+≤， 故ABC ∆面积的取值范围是333(,]． 点睛：（1）解决三角形中的范围问题的常用方法：①利用余弦定理并结合基本不等式求解；②结合正弦定理将问题转化为形如sin()y A x ωϕ=+的形式后根据三角函数的有关知识求解．（2）解答本题时容易出现的错误时忽视“锐角ABC ∆”这一条件，从而扩大了角A 的范围．15.如图所示，已知直线AB 的方程为1x y a b+=，⊙C ，⊙D 是相外切的等圆.且分别与坐标轴及线段AB 相切，||AB c =，则两圆半径r =__________（用常数,,a b c 表示）．【答案】()2()c a b c a b +-+ 【解析】 【详解】分析：由题得△CDM ∽△BAO ，得2b x r a y r r b a c----==，再利用等式的性质得到两圆半径r . 详解：如图所示，作CM ⊥DM,CE ⊥AB,由△CDM ∽△BAO,得2,.CM DM CD b x r a y r r OB OA AB b a c----==∴== (2)2(),.2()a b x y r a b c r c a b c r a b a b c a b +-+++-+-∴==∴=+++ 故答案为()()2c a b c a b +-+ 点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何选讲，意在考查学生对这些知识的掌握能力和计算能力. (2)解答本题的关键是得到2b x r a y r r b a c----==的化简，这里利用到了合比的性质，(2)2.a b x y r a b c r a b a b c+-+++-==++ 16.已知两平行平面αβ、间的距离为3A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC 与平面β交线为CE ，取CE AB = ,则0//,4,60AB CE CE ECD =∠=0112343sin 60 6.32A BCD A CDE V V --==⨯⨯⨯⨯=三､解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.在ABC ∆中，边a b c 、、所对的角分别为、、A B C ，sin sin sin 23sin a A b B c C C a B +-= （1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值【答案】（1）3C π∠=（2）面积的最大值为33【解析】【分析】 （1）由已知及正弦定理可得：22223a b c ab +-=C ，由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tan C 的值，结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2，结合基本不等式可求ab 43≤，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）∵由已知及正弦定理可得：22223a b c ab +-=C ， ∴由余弦定理可得：22232a b c cosC sinC ab +-==， 即3tanC =∴由C ∈（0，π），可得3C π=．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝22+c 2＝4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2得：224423ab a b ab ab -=+≥≤，（当且仅当a ＝b 时，等号成立）， 即1143322323ABC S absinC =≤⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形中线长定理的综合应用，三角形中线长定理主要表述三角形三边和中线长度关系，定理内容为：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍，属于中档题．18.如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，DC BC ⊥,3AB =，2BC =，1AC =.(1)求证：AB AD ⊥；(2)设E 是BD 的中点，若直线CE 与平面ACD 的夹角为30︒，求四面体ABCD 外接球的表面积.【答案】（1）见解析；（2）12π.【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理结合题意(2)利用题意首先求得外接球的半径，然后利用球的表面积公式计算表面积即可.试题解析：(1)由平面ABC ⊥平面BCD ，DC BC ⊥，得DC ⊥平面ABC ，AB CD ∴⊥又由3AB =2BC =，1AC =，得222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥故AB ⊥平面ADC ，所以AB AD ⊥（2）取AD 的中点F ，连接EF ，则EF BA //,因为AB ⊥平面ADC EF ∴⊥平面ADC连接FC ,则30ECF ︒∠=，23CE EF AB ∴===又90BAD BCD ︒∠=∠=，所以四面体ABCD 的外接球的半径3R CE ==故四面体ABCD 的外接球的表面积=24312ππ=（向量解法酌情给分）. 19.已知过抛物线()2:20E x py p =>焦点F 且倾斜角的60直线l 与抛物线E 交于点,M N OMN ∆的面积为4．（I ）求抛物线E 的方程；（II ）设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为,A B 直线AB 与直线,OP y 轴的交点分别为,Q R 点,C D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标．【答案】（I ）24x y =；（II ）()22,2±-． 【解析】试题分析：（I ）抛物线焦点为(,0)2p F ，写出直线l 方程，与抛物线方程联立，消元后可得1212,x x x x +，其中1122(,),(,)M x y N x y ，可再求出原点O 到直线l 的距离d ，由12S MN d =求得p ，也可由1212S x x OF =-求得p ； （II ）首先设出点坐标，设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数几何意义得出两切线方程，代入P 点坐标，从而得直线AB 方程为240tx y -+=，从而可得,R Q 坐标，得QR 的长，而要使CPD ∠最大，则,PC PD 与圆R 相切，这样可求得sin2CPD ∠，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函数求最大值．试题解析：（I ）依题意，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l的方程为2p y =+；由2{22p y x py =+=得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p ∆=+=>+==-所以)1212127,8y y x x p p MN y y p p +=++==++=，O 到MN 的距离21,442OMN p d S MN d p ∆=====， 2p ∴=，抛物线方程为24x y =（II ）设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24x y =得2,'42x x y y ==， 则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即21111242x x x y x x y =-=-， 同理，切线PB 方程为222x y x y =-， 把P 代入可得112222{22x t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+= ()0,2R ∴由240{2tx y y x t -+=-=得2244{84Q Q t x t y t -=+=+，r RQ ∴====，当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，此时1sin 23CPD r PR ∠===≤，等号当t =± ∴当()2P ±-时，所求的角CPD ∠最大．综上，当CPD ∠最大时点P的坐标为()2±-点睛：在解析几何中由于OMN ∆的边MN 过定点F ，因此其面积可表示为1212S OF x x =-，因此可易求p ，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II ）小题中如能发现OP AB ⊥则知OP 是圆R 的切线，因此CPD ∠取最大值时，,PC PD 中一条与PO 重合，另一条也是圆的切线，从而易得解．另解：（I ）依题意，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l的方程为2p y =+；由2{22p y x py =+=得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p ∆=+=>+==-124x x p -==， 2121422OMN S OF x x p p ∆=-==⇒=，抛物线方程为24x y =． （II ）设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24x y =得2,'42x x y y ==， 则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即21111242x x x y x x y =-=-， 同理，切线PB 方程为222x y x y =-， 把P 代入可得112222{22x t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+=()0,2R∴由240{2tx yy xt-+=-=得2244{84QQtxtyt-=+=+，()()()22222222216822444Q Qttr RQ x yt tt⎛⎫∴==+-=+-=⎪+⎝⎭++，注意到OP AB⊥2284tPQt+∴=+，2222tan2822RQ tCPD tPQ t t∠∴==≤=+当且仅当28t+即22t=±时等号成立．20.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23. 【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 ()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果. 试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为： ()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭； （3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()023********C C P C ξ⋅=== ()1136291811362C C P C ξ⋅==== ()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 21.设函数()ln x f x ae x x =-，其中R a ∈，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若()f x 是0,上的增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若22ea ≥，证明：()0f x >. 【答案】（Ⅰ）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（I ）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得a 的最小值，由此得到a 的取值范围；（II ）将原不等式()0f x >，转化为e ln 0x a x x ->，令()e ln x a F x x x=-，求出()F x 的导数，对x 分成01,1x x ≤两类，讨论函数的最小值，由此证得()0F x >，由此证得()0f x >. 试题解析：（Ⅰ）()()e 1ln x f x a x '=-+，()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln e x x g x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e1ln x g x x x -⎛⎫=-'- ⎪⎝⎭， 令()11ln h x x x =--，()2110h x x x'=--<，()h x 是()0,+∞上的减函数， 又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增；当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减； 故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11e g =，所以1e a ≥，即a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）()0f x >⇔ e ln 0xa x x->. 令()e ln xa F x x x=-（0x >），以下证明当22e a ≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()21e 1xa x F x x x='-- ()211e x a x x x ⎡⎤=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()1F x F ≥ e 0a =>；②当1x >时，()()21a x F x x ='- ()e 1x x a x ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，令()()e 1x x G x a x =--， 则()e x G x '= ()2101a x +>-，又()222e G a =- 2e 20a a-=≥， 取()1,2m ∈且使()2e 1m a m >-，即22e 1e 1a m a <<-，则()()e 1m m G m a m =-- 22e e 0<-=， 因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000e ln x a F x x x =-， 且()()0000e 01x x G x a x =-=-，即()000e 1x x a x =-，故()0001ln 1F x x x =--， 因为()()02001101F x x x =--<-'，故()0F x 是()1,2上的减函数. 所以()()02F x F >= 1ln20->，所以()0F x >. 综上，当22ea ≥时，总有()0f x >. 点睛：本题主要考查导数与单调性的关系及恒成立问题，考查利用导数证明不等式的方法，考查化归与转化的数学思想方法.第一问由于已知函数在区间上单调递增，故其导函数在这个区间上恒为非负数，若函数在区间上单调递减，则其导函数在这个区间上恒为非正数.分离常数后可求得a 的取值范围.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 经过点()0,1P ，倾斜角为6π.在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4sin ρθ=.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）；曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=；（2）3． 【解析】【详解】试题分析：（1）先根据直线参数方程标准式写直线l 的参数方程，利用y sin ,x cos ρθρθ==化简极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆方程，再根据参数几何意义化简11PA PB+，最后根据韦达定理代入化简求值试题解析：（1）直线l的参数方程为0611162x tcos y tsin t ππ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩(t 为参数）.即直线l的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）； ∵4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，∴224x y y +=，即()2224x y +-=， 故曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得230t t --=，显然>0∆, ∴2121,3l t t t t +==-, ∴123PA PB t t ⋅==，12t t PA PB +=-==∴113PA PB PA PB PA PB ++==⋅. 23.已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M（2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.【答案】(1){1M x x =<-或 }1x >；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平方，因式分解转化为证明()()22110a b -->，最后根据条件221,1a b >>确定()()22110a b -->成立.【详解】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，∴1x <-； 当112x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当12x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述，{1M x x =<-或}1x >.（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤，要证()()()f ab f a f b >--成立， 只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证222210a b a b --+>,即证()()22110a b -->.由（1）知，{1M x x =<-或}1x >，∵a b M ∈、，∴221,1a b >>，∴()()22110a b -->成立.综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十九)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十九）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|20190M x x =+>，{}2|3N x x =>，则MN =（ ）A. 19|20x x ⎧-<<⎨⎩ B. {|x x >C. 19|20x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D. {|x x <【答案】B 【解析】 【分析】求出M 和N ，然后直接求解即可【详解】19|20M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{|N x x =< x >，{|M N x x ∴⋂=>，故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题2.满足条件|4|2||z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线【答案】B 【解析】 【分析】设复数z x yi =+，然后代入|4|2||z i z i +=+，得2222(4)44(1)x y x y ++=++，化简即可得答案【详解】设复数z x yi =+，则：|4||(4)|z i x y i +=++=，|||(1)|z i x y i +=++=结合题意有：2222(4)44(1)x y x y ++=++， 整理可得：224x y +=. 即复数z 对应点的轨迹是圆. 故选：B.【点睛】本题考查复数的模的运算，属于简单题3.已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<， 因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3x y =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解【详解】因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<， 故选：A.【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题4.给出关于双曲线的三个命题：①双曲线22194y x -=的渐近线方程是23y x =±；②若点()2,3在焦距为4的双曲线22221x y a b-=上，则此双曲线的离心率2e =；③若点F 、B 分别是双曲线22221x y a b-=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【详解】对于①：双曲线22194y x -=的渐近线方程是32y x =±，故①错误；对于②：双曲线的焦点为()()2,0,2,0-，22,1a a ===，从而离心率2ce a==，所以②正确； 对于③：()(),0,0,,F c B b FB ±±的中点坐标,22c b ⎛⎫±± ⎪⎝⎭均不满足渐近线方程，所以③正确； 故选C. 5.已知函数()f x 图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A. ()()44||x xf x x -=+B. ()4()44log||x xf x x -=-C. ()14()44log ||xxf x x -=+D. ()4()44log||x xf x x -=+【答案】D 【解析】 【分析】结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()x xf x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B 项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意， 故选：D.【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题6. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A. 40种 B. 60种C. 100种D. 120种【答案】B 【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ．7.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A.2 B.23C.2 D.2【答案】C 【解析】 【分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以2cos ,22⋅<>===a b a b a b.故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.8.如图，给出的是求1111 (24636)++++的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A. 18?i >B. 18?i <C. 19?i >D. 19?i <【答案】D 【解析】 【分析】由已知中程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出 进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，即36n ，19i <时，进入循环，当19i =时，退出循环， 则判断框内填入的条件是19i <．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出 最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.非负实数x 、y 满足ln （x ＋y －1）≤0，则关于x －y 的最大值和最小值分别为 A. 2和1 B. 2和－1C. 1和－1D. 2和－2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：依题意有，作出可行域，如下图所示：设x y z -=，则有y x z =-，平移y x z =-，当直线y x z =-经过点(0,2)A 时，z 有最小值，其值为2-，当直线y x z =-经过点(2,0)B 时，z 有最大值，其值为2， 因此 x －y 的最大值和最小值分别为2和－2， 故选：D.考点： 简单的线性规划问题．10.如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()6f =（ ）A. 61B. 33C. 63D. 65【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出(1)1f =，同理，求出(2)21+1=3f =⨯，(3)2(2)17f f =+=，(4)2(3)115f f =+=，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+ 【详解】由题设可得(1)1f = 求出(2)21+1=3f =⨯，(3)2(2)17f f =+=，(4)2(3)115f f =+=，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+， 所以()663f =. 故选：C【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．11.已知函数()|cos |(0)f x x x =的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()221sin 2θθθ=+（ ） A. 2- B. 1-C. 0D. 2【答案】B 【解析】 【分析】依题意，设直线为y kx =，则直线y kx =与(0)y cosx x =切于3(,2)2ππ上的一点,求出切点坐标为(,cos )θθ，然后利用切线方程，即可求出θ，进而得到22(1)sin 2θθθ+的值【详解】函数()|cos |(0)f x x x =的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数()|cos |(0)f x x x =在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切，在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上， ()f x 的解析式()cos f x x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ.∴切线斜率0sin sin x k y x θ==-=-'=，∴由点斜式得切线方程为：cos sin ()y x θθθ-=--，即sin sin cos y x θθθθ=-++直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()221222tan tan 1sin 11sin 2212sin cos cos tan θθθθθθθθθθ--∴===-⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图像问题，难点在于利用切线方程求出θ的值，属于中档题12.过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【解析】 【分析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD所成角都相等，过顶点A 作平面α平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，故选：D.【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.函数()e 22019x f x x =-+在()()0,0f 处的切线方程是_______. 【答案】2020y x =-+ 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到(0)f '，再求出(0)f ，然后列出利用切线方程可得答案. 【详解】求导函数可得()2xf x e =-，当0x =时，0(0)21f e '=-=-，0(0)020192020f e =-+=，切点为()0,2020，∴曲线()22019x f x e x =-+在点()()0,0f 处的切线方程是2020y x -=-，故答案为：2020y x =-+.【点睛】本题考查切线方程问题，属于简单题14.数列{}n a 是各项为正且单调递增的等比数列，前n 项和为n S ，353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，则3a =_____. 【答案】36 【解析】 【分析】由题意可得：1q >，由353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，可得324523a a a ⨯=+即 523111(1)(),4841a q a q a q q q-=+=-，联立解得:1a ，q ，再利用通项公式即可得出答案【详解】由题意得()2311151510314841a q a q a q a q S q ⎧⋅=⋅+⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得3q =，14a =，23136a a q ∴=⋅=. 故答案为：36【点睛】本题考查差比混合问题，设方程求解即可，属于简单题15.点M 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在FPM 中，sin sin PFM PMF λ∠=∠，则λ的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由正弦定理求得||||PMPF λ=，根据抛物线的定义，得1||||PB PM λ=,即1sin αλ=，则λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，由0∆=求得k 的值，即可求得λ的最大值【详解】如图，过P 点作准线的垂线，垂足为B ，则由抛物线的定义可得||||PF PB =， 由sin sin PFM PMF λ∠=∠，在PFM △中正弦定理可知：||||F PM P λ=， 所以||||PM PB λ=，所以1||||PB PM λ=， 设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，当λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，设直线PM 的方程为2p y kx =-，则222x py p y kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2220x pkx p -+=， 所以222440p k p ∆=-=， 所以1k =±，即tan 1α=±，则sin 2α=， 则λ得最大值为1sin α=【点睛】本题属于综合题，难度较大，难点（1）利用sin sin PFM PMF λ∠=∠，通过正弦定理转化为||||F PM P λ=；难点（2）设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，通过λ取得最大值时，sin α最小，得出PM 与抛物线相切，本题属于难题16.甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．【答案】(,6][12,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为211()24=， 当3111(26)632a a a =-+=+，其出现的概率为211()24=， 当1312(6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=， 当1132(6)6924a aa =++=+其出现的概率为211()24=， ∵甲获胜的概率为34，即31a a >的概率为34， 则满足111111114184189944a a a a a a a a -≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+≤⎪⎪⎩⎩或整理得11612a a ≤≥或.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos (2)cos a B c b A =-. （1）求角A 的大小；（2）若6a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3π；（2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系式，结合两角和差正弦公式和三角形内角和的特点可求得1cos 2A =，根据A 的范围求得结果；（2）利用余弦定理构造等式，利用基本不等式可求得bc 的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos C B A A B -=，即：()2sin cos sin cos cos sin sin C A A B A B A B =+=+，A B C π++= ()sin sin 0A B C ∴+=≠ 1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2）由（1）知：13sin 2ABCSbc A bc == 由余弦定理得：2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥（当且仅当b c =时等号成立） ∴036bc ∴<≤（当且仅当b c =时等号成立）ABC S ∆∴的最大值为：33693⨯= 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、两角和差正弦公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求最值的问题，属于常考题型.18.如图在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，2224AB AD CD PC ====，，E 为线段PB 上一点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若点E 满足13BE BP =，求二面角P AC E --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）63【解析】 【分析】(1)由已知条件分别证明AC BC ⊥、PC AC ⊥，由此可证得AC ⊥平面PBC ，进而可证EAC PBC ⊥平面平面(2)以C 为原点，取AB 的中点H ，CH ，CD ，CP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由13BE BP =，求得224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求得平面ACE 的一个法向量为()1,1,1n =--，平面PAC 的一个法向量为(1,1,0)CB =-，设二面角P AC E --的平面角为θ，根据||cos |cos ,|||||n CB n CB n CB θ⋅=〈〉=⋅求解即可【详解】（1）如图，由题意，得2AC BC ==2AB =，BC AC ∴⊥.PC ⊥底面ABCD ，PC AC ∴⊥，又PC BC C =，AC ∴⊥平面PBC ，AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）如图，以C 为原点，取AB 中点M ，以CM CD CP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系， 则()()()1,1,0,0,0,4,1,1,0B P A -，设(),,E x y x ，且13BE BP =，得 1(1,1,)(1,1,4)3x y z -+=-，即224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,1,0)CA =，224,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面EAC 的法向量为()111,,n x y z =，由00CE n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111122403330x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 令11x =，得(1,-1,-1)n =.又BC AC ⊥，且BC PC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，故平面PAC 的法向量为(1,1,0)m BC ==-， 设二面角P AC E --的平面角为θ，则||cos |cos ,|||||3m n m n m n θ⋅=〈〉==⋅. 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系和空间直角坐标系，属于简单题19.某学校为了了解全校学生“体能达标”的情况，从全校1000名学生中随机选出40名学生，参加“体能达标”预测，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则全校“体能达标”为“合格”；否则该校“体能达标”为“不合格”，需要重新对全校学生加强训练现将这40名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）.（1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ； （2）假设该校学生的“体能达标”预测服从正态分布()2,N μσ用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ.利用估计值估计：该校学生“体能达标”预测是否“合格”？ 附：①n 个数12,,,n x x x 的平均数11n i i x x n ==∑，方差(22221111)n n i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑；②若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）平均分为74，标准差为7.（2）该校学生“体能达标”预测合格. 【解析】 【分析】(1)根据甲组的平均成绩为70,乙组的平均成绩为80，根据公式可得x设甲组24名学生的测试成绩分别为：1224 ,x x x ⋯，乙组16名学生的测试成绩分别为：252640,x x x ⋯，将公式2211()n i i s x x n ==-∑变形变形为()22222121n s x x x nx n ⎡⎤=+++-⎣⎦，分别求得21s 和22s ，即可根据公式解得解得()22221224241670x x x +++=⨯+和()2222252640163680x x x +++=⨯+，最后整理公式得()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦，计算并求解即可(2)由(1)可得ˆ74μ=,ˆ7σ=,由(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=， 得(6088)0.9544P X <<=，进而得到1(60)(10.9544)0.02282P X <=⨯-=， 求出全校学生“不合格”的人数占总人数的百分比，与5%进行比较即可 【详解】（1）这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==.将()2211n i i s x x n ==-∑变形为()()22222212111n i n i s x x x x x nx n n =⎡⎤=-=+++-⎣⎦∑.设第一组学生的测试成绩分别为12324,,,,x x x x ， 第二组学生的测试成绩分别为25262740,,,,x x x x ，则第一组的方差为()2222221122412470424s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦， 解得()22221224241670x x x +++=⨯+.第二组的方差为()222222225264011680616s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦， 解得()2222252640163680x x x +++=⨯+.这40名学生的方差为()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦()()222124167016368040744840⎡⎤=⨯++⨯+-⨯=⎣⎦，所以7s ==≈.综上，这40名学生测试成绩的平均分为74，标准差为7.（2）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=. 由(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，得(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=，即(6088)0.9544P X <<=.所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=，从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人）， 而23505%10001000<=， 故该校学生“体能达标”预测合格.【点睛】本题主要考查用样本估计总体，难点在于运算量较大，属于基础题20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()2,1P -是1C 上一点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设A B Q 、、是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于P Q 、的两点C D 、．点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．【答案】（1）22182x y +=；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）因为1C 所以224a b =；即1C 的方程为：222214x y b b +=，代入()2,1P -即可；（2）设直线PD PE 、的斜率为12,k k ,则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形需证120k k +=．由已知可得直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为：12y x t =+，联立直线和椭圆的方程，找到斜率，代入相应的量即可．试题解析：（1）因为1C 离心率为2，所以224a b =， 从而1C 的方程为：222214x y b b+=代入()2,1P -解得：22b =， 因此28a =．所以椭圆1C 的方程为：22182x y +=（2）由题设知A B 、的坐标分别为()()2,1,2,1--， 因此直线l 的斜率为12， 设直线l 的方程为：12y x t =+， 由2212{182y x t x y =++=得：222240x tx t ++-=， 当0∆>时，不妨设()()1122,,,C x y D x y ， 于是212122,24x x t x x t +=-=-，分别设直线PD PE、的斜率为12,k k ，则，则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证()()()()212112210y x x y ---++=，而()()()()()()212121122112122124y x x y y y x y x y x x ---++=--++--()()211212121212224424240x x x x t x x x x x x t x x t t =---++--=--+-=-++-=所以直线PD PE 、与y 轴转成的三角形是等腰三角形 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆综合题． 21.已知函数()1e cos x f x x -=+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若12,(,)x x π∈-+∞，12x x ≠，且()()1212e e 4x xf x f x +=，证明：120x x +<.【答案】（1）单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z .（2）见解析 【解析】 【分析】(1)先求函数定义域，对函数求导，分别解不等式()0f x >和()0f x <，得函数的增区间和减区间即可； (2)由2112()()4xxe f x e f x +=,得21124xxe cosx e cosx +++=，可构造函数()x g x e cosx =+，则12()()4g x g x +=，探究()g x 在(,)π-+∞上的单调性，构造函数()()()G x g x g x =+-，探究()G x 在(,)π-+∞上的单调性,再结合关系式12()()4g x g x +=，利用单调性可得出结论【详解】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()cos sin sin 4x x x f x e x e x x π---⎛⎫'=--=+ ⎪⎝⎭，由()0f x '<，得sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，从而322,44k x k k ππππ-<<+∈Z ； 由()0f x '>，得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，从而522,44k x k k ππππ-<<-∈Z ； 所以，()f x 的单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； 单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z . （2）()()12124xxe f x e f x +=，即1212cos cos 4xxe x e x +++=， 令()cos xg x e x =+，则()()124g x g x +=，()sin xg x e x '=-.当0x >时，()1sin 0g x x '>-；当0x π-<时，sin 0x ，()sin 0xg x e x '=->，故(,)x π∈-+∞时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在(),π-+∞上单调递增，不妨设12x x π-<<，注意到0(0)cos 02g e =+=，所以120x x π-<<<，令()()(),(,0)G x g x g x x π=+-∈-，则'()2sin xxG x e ex -=--，令()2sin x xx e ex ϕ-=+-，则()2cos 2(1cos )0x x x e e x x ϕ-'=+--，所以()x ϕ在(),0π-上单调递增，从而()(0)0x ϕϕ<=，即()0G x '<，所以()G x 在(),0π-上单调递减，于是()(0)(0)(0)4G x G g g >=+-=， 即()()4g x g x +->，又1(,0)x π∈-，所以()()114g x g x +->，于是()()()1124g x g x g x ->-=， 而()g x 在(),0π-上单调递增，所以12x x ->，即120x x +<.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数与指数函数的极值点偏移问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于难题请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3【解析】 【分析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解.【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ，即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩ 消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程. （2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数）， 代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '， 则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选修4-5：不等式选讲23.（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a b c+++【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】 （1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可【详解】证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++， 当a b c ==时等号成立.（2）因为11111111111222a b c a b a c b c ab ⎛⎛⎫++=+++++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc=， 111c b a b c ∴++++.当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1.集合{|2lg 1}A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B =（ ）A. [3,3]-B.C. (0,3]D. [-【答案】C 【解析】 【分析】通过解不等式分别得到集合,A B ，然后再求出A B ⋂即可．【详解】由题意得{}{1|2lg 1|lg |02A x x x x x x ⎧⎫=<=<=<<⎨⎬⎩⎭， {}{}2 |9|33B x x x x =≤=-≤≤，∴{}(]|030,3A B x x ⋂=<≤=．故选C ．【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题． 2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 3.已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22ππαβ-<-<，利用三角函数的基本关系式，分别求得cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.【详解】由题意，可得α，β均锐角，∴－2π <α－β<2π. 又.又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝5×310－25×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝22.∴β＝4π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.把60名同学看成一个总体，且给60名同学进行编号，分5为00，01，…，59，现从中抽取一容量为6的样本，请从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（ ）A. 32B. 38C. 39D. 26【答案】D 【解析】 【分析】从随机数表的倒数第5行第11列开始，依次向右读取两位数，大于等于60的数据应舍去，与前面取到的数据重复的也舍去，直到取足6个样本号码为止．【详解】根据随机数表抽取样本的六个号码分别为：18，00，38，58，32，26； 所以抽取样本的第6个号码为26. 故选：D.【点睛】本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．5.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.【详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是11212⨯⨯=，正视图与侧视图的面积之和为112+=， 故选：A.【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6.在等比数列{}n a 中，“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”与“81a =-”的互相推出情况，判断出是何种条件. 【详解】因为4124123,1a a a a +=-=，所以4120,0a a <<， 所以等比数列中4840a a q =<，所以84121a a a =-=-；又因为在常数列1n a =-中，81a =-，但是412,a a 不是所给方程的两根．所以在等比数列{}n a 中，“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查数列与充分、必要条件的综合应用，难度一般.在等比数列{}n a 中，若()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.7.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为（ ）A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】当1n =时，1542a b ==，，满足进行循环的条件； 当2n =时，45,84a b == 满足进行循环的条件； 当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件； 当4n =时，405,3216a b ==不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4. 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 9.已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||MN =A.163B. 83C. 2D.83【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y 2＝2x 的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB 的长． 【详解】解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），准线为l ：x ＝﹣12，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ， 由抛物线的定义可知|MF |＝d M ＝x 1+12，|NF |＝d N ＝x 2+12，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+1． ∵3PF MF =，则2PM QM =，易知：直线MN 的斜率为±3，∵F （12，0）， ∴直线PF 的方程为y 3（x ﹣12）， 将y 3（x ﹣12），代入方程y 2＝2x ，得3（x ﹣12）2＝2x ，化简得12x 2﹣20x +3＝0， ∴x 1+x 253=，于是|MN |＝x 1+x 2+153=+183= 故选：B ．点睛】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10.已知圆1C ：2220x y kx y +-+=与圆2C ：2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过定点()P a b ，，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（ ）A. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 104⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D. 14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】【详解】2220x y kx y +-+=与2240x y ky ++-=,相减得公共弦所在直线方程：(2)40kx k y +--=，即()(24)0k x y y +-+=，所以由240y x y +=⎧⎨+=⎩得2,2-==y x ，即(2,2)P -，因此2211122201,=(1)()244m n m n mn m m m m m +-=∴+=-=-=--+≤， 选D.点睛：在利用基本不等式求最值或值域时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴左侧的交点为B ，若(21)FA AB =-，则此双曲线的离心率是（ ）C.【答案】A 【解析】 【分析】设(),0,)0,(F c A b - ，渐近线方程为b y x a =，求出AF 的方程与b y x a =联立可得,acbc B a c a c ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，利用 ()21FA AB =-，可得,a c 的关系，即可求出双曲线的离心率．【详解】设(),0,)0,(F c A b -，渐近线方程为by x a=，则 直线AF 的方程为 1x y c b -=，与b y x a = 联立可得,ac bc B a c a c ⎛⎫ ⎪⎝-⎭- ， ∵()2 1FA AB =-，),,(()1)ac bcc b b a c a c∴--=+--，)1acca c∴-=-，∴cea==故选：A．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.已知函数()(2)3,(ln2)()32,(ln2)xx x e xf xx x⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m∈+∞时，()f x的取值范围为(,2]e-∞+，则实数m的取值范围是（）A.1,2e-⎛⎤-∞⎥⎝⎦B. (,1]-∞ C.1,12e-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. [ln2,1]【答案】C【解析】【分析】求导分析函数在ln2x≥时的单调性、极值，可得ln2x≥时，()f x满足题意，再在ln2x<时，求解()2f x e≤+的x的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x≥时，()()()'12xf x x e=---，令()'0f x>，则ln21x<<；()'0f x<，则1x>，∴函数()f x在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减.∴函数()f x在1x=处取得极大值为()12f e=+，∴ln2x≥时，()f x的取值范围为(],2e-∞+，∴ln2m1≤≤又当ln2x<时，令()322f x x e=-≤+，则12ex-≥，即1x ln22e-≤<，∴1e22m ln-≤<综上所述，m的取值范围为1,12e-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()2sin15,2sin 75a =︒︒，||1a b -=，a 与a b -的夹角为3π，则a b ⋅=__________. 【答案】3. 【解析】 【分析】先求a ，再分别根据向量数量积定义以及数量积运算绿求()a ab -，即可得出结果. 【详解】因为2224sin 4sin 154cos 152a ==+=，()cos13a ab a a b π-=-=，又()241a a b a a b a b -=-⋅=-⋅=， 所以3a b ⋅=. 故答案：3.【点睛】本题考查了向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属于基础题.14.()5212x ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是_________．【答案】42- 【解析】 【分析】由于52⎫⎪⎭的通项为()552rr r C -⋅⋅-，可得()5212x⎫+-⎪⎭的展开式的常 【详解】()555221222x x ⎫⎫⎫+-=-+-⎪⎪⎪⎭⎭⎭由于52⎫⎪⎭的通项为()55 2rrr C -⋅⋅-，故由题意得4r =或5,故的展开式的常数项是()()5152242C ⋅-+-=-，故选：42-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________．【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞ 【解析】设0x ＜ ，则0x -＞ ，由题意可得222222f x f x x x x x f x x x -=-=---=+∴=--（）（）（）（），（），故当0x ＜ 时，22f x x x （）．=-- 由不等式f x x （）＞ ，可得20 2x x x x ⎧⎨-⎩＞＞ ，或202x x x x ⎧⎨--⎩＜，＞ 求得3x ＞ ，或30x -＜＜， 故答案为（303，）（，）．-⋃+∞ 16.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名;乙说：我是第三名;丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是__________. 【答案】甲 【解析】 【分析】若甲正确,则乙与丙错误.则甲不是第三名,乙不是第三名,丙是第一名,矛盾,假设不成立;若乙正确,甲与丙错误.则甲是第三名,乙是第三名,丙是第一名,矛盾,假设不成立;若丙正确,甲与乙错误.则甲是第三名,乙不是第三名,丙不是第一名,即乙是第一名,丙是第二名,甲是第三名,假设成立.【详解】解:若甲的预测正确,乙与丙预测错误.则甲不是第三名,乙不是第三名,丙是第一名,即甲乙丙都不是第三名,矛盾,假设不成立;若乙的预测正确,甲与丙预测错误.则甲是第三名,乙是第三名,丙是第一名,即甲乙都是第三名,矛盾,假设不成立;若丙的预测正确,甲与乙预测错误.则甲是第三名,乙不是第三名,丙不是第一名,即乙是第一名,丙是第二名,甲是第三名,假设成立. 故答案为:甲【点睛】本题主要考查合情推理和演绎推理,考查学生的逻辑推理能力和辨析能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）17.在平面四边形ABCD中，已知AB =，3AD =，2ADB ABD ∠=∠，3BCD π∠=.（1）求BD ；（2）求BCD ∆周长的最大值. 【答案】（1）5BD =（2）15 【解析】 【分析】（1）设BD x =,ABD α∠=,则2ADB α∠=,利用正弦定理求出6cos α=,在利用余弦定理26cos 32263α==⨯⨯5x =或3x =,最后检验即可得出结果. （2）设CBD β∠=,利用正弦定理有2sin sinsin 33BDBC CDππββ==⎛⎫- ⎪⎝⎭,从而得出 BC 和CD 的表示方法,然后10sin 106BC CD πβ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭,即可得出BCD ∆周长最大值.【详解】解:（1）由条件即求BD 的长,在ABD ∆中,设BD x =,ABD α∠=,则2ADB α∠=,∵sin 2sin AB AD αα=,∴6cos 3α=,∴26cos 32263α==⨯⨯整理得28150x x -+=,解得5x =或3x =. 当3x =时可得22ADB πα∠==,与222AD BD AB +≠矛盾,故舍去∴5BD =（2）在BCD ∆中,设CBD β∠=,则2sin sinsin 33BDBC CDππββ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∴10323BC πβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,103CD β= ∴10333sin 10sin 103226BC CD πβββ⎛⎫⎛⎫+=+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴BCD ∆周长最大值为15.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形周长的最大值,是中档题.18.如图所示，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，2AD AP ==，22AB DP ==，E 是CD 中点，点F 在线段PB 上.（Ⅰ）证明：AD PC ⊥； （Ⅱ）若PF = ,PB λ []0,1λ∈，求实数λ使直线EF 与平面PDC 所成角和直线EF 与平面ABCD 所成角相等.【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) 33-【解析】 【分析】(Ⅰ)由线面垂直的判定定理，先证明AD ⊥平面PAC ，进而可得AD PC ⊥；（Ⅱ）先结合(Ⅰ)证明PD ⊥底面ABCD ，以A 为原点，DA 延长线、AC 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系，用λ表示出直线EF 的方向向量与平面PDC 的法向量的夹角余弦值，以及直线EF 的方向向量与平面ABCD 的法向量的夹角余弦值，根据两角相等，即可得出结果.【详解】(Ⅰ)解：PAD 中222PA AD PD +=，∴90PAD ∠=︒∴AD PA ⊥； 连AC ，ABC 中2222cos 4AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠= ∴222AC BC AB +=∴AC BC ⊥，∴AD AC ⊥ 又PA AC A ⋂=∴AD ⊥平面PAC ∴AD PC ⊥(Ⅱ)由（1）：PA AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD 于AD ，∴PD ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，DA 延长线、AC 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系；∴()000A ，，，()220B ，，，()020C ，，,()200D -，，，()110E -，，，()002P ，，∴()022PC =-，，，()202PD =--，，，()222PB ，，=-， 设PFPBλ=，（[]01，λ∈），则()222PF λλλ=-，， ()2222F λλλ-+，，，()212122EF ，，λλλ=+--+ 设平面PCD 的一个法向量()m x y z =，，，则00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得()111m =--，， 又平面ABCD 的一个法向量()001n =，，由题：cos cos EF m EF n =，，，即2223EFEFλλ-=解得：332λ-=【点睛】本题主要考查线面垂直的性质和已知线面角之间的关系求参数的问题，对于线面角的问题，通常用空间向量的方法，求出直线的方向向量以及平面的法向量，即可求解，属于常考题型.19.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详分布列见解析，35. 【解析】 【分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ~，分别求得0331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，即可知的概率分布及其期望.【详解】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝， 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12CB B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=，2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， ∴1(3,)5X B ~，于是00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，故的分布列为123P6412548125121251125的数学期望为13()355E X =⨯=. 考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率22e =，过右焦点F 且垂直于x 轴的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 交于,M N 两点，求MFN △的面积取最大值时m 的值．【答案】（1）22142x y +=；（2）2m =. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和椭圆的几何性质，即可求出结果；（2）联立方程得22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2234240x mx m ++-=，再根据韦达定理和弦长公式可得2126||2|=3m MN x x -=-，由点到直线的距离公式可得点(2,0)F 到直线MN 的距离22d =22|2|6FMN S m m =⋅-△()22()6(2)(||6)u m m m m =-<，利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果.【详解】解：(1)设右焦点(c,0)F ，x c =代入椭圆方程得2by a=±由题意知2222222c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22142x y +=．(2)联立方程得22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2234240x mx m ++-=， ()2221612248480m m m ∆=--=-+>，∴||m <． 设()11,M x y ，()22,N x y ，∴1243m x x +=-，212243m x x -=，∴12|||3MN x x =-===． 又点F 到直线MN的距离d =∴1|||||2FMN S MN d m m =⋅=<△．令()22()6((||u m mm m =-<，则()2(2u m m m m '=-++，令()0u m '=，得m=或m =或m =，当2m <-时，()0um '>；当2m -<<()0u m '<；当m <时，()0um '>m <<()0u m '<． 又324u ⎛-=⎝⎭，32u=，∴max()32u m=，∴当m =时，MFN △的面积取得最大值，最大值为833=． 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系和椭圆中三角形面积最值的求法，属于中档题.21.已知函数()()1xf x a x e =--，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间及极值； （2）设()()22ln m g x x t x t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当1a =时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，使方程()()12f x g x =成立，求实数m 的最小值．【答案】（1）单调递增区间为(,1)x a ∈-∞-，单调递减区间为(1,)x a ∈-+∞.函数()f x 有极大值且为1(1)1a f a e --=-，()f x 没有极小值.（2）1e-【解析】 【分析】（1）通过求导，得到导函数零点为1x a =-，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为()1f a -，无极小值；（2）由()f x 最大值为0且()0g x ≥可将问题转化为ln x xm=有解；通过假设()ln h x x x =，求出()h x 的最小值，即为m 的最小值.【详解】（1）由()()1x f x a x e =--得：()()1x f x a x e '=--令()0f x '=，则()10xa x e --=，解得1x a =-当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '> 当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<()f x 的单调递增区间为(),1x a ∈-∞-，单调递减区间为()1,x a ∈-+∞当1x a =-时，函数()f x 有极大值()111a f a e--=-，()f x 没有极小值（2）当1a =时，由（1）知，函数()f x 在10x a =-=处有最大值()0010f e =-= 又因为()()22ln 0m g x x t x t ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭∴方程()()12f x g x =有解，必然存在()20,x ∈+∞，使()20g x =x t ∴=，ln mx t =等价于方程ln x xm=有解，即ln m x x =在()0,∞+上有解记()ln h x x x =，()0,x ∈+∞()ln 1h x x '∴=+，令()0h x '=，得1x e=当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增所以当1x e =时，()min 1h x e=- 所以实数m 的最小值为1e-【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.【选修4-4：极坐标与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:y t C x t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩t 为参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2226:2cos C ρθ=+．（1）求曲线1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程；（2）设121,1t t ==-在曲线1C 上对应的点分别为,,A B P 为曲线2C 上的点，求PAB △面积的最大值和最小值．【答案】（1）0x y +-=，22123x y +=；（2）最大值和最小值分别为 【解析】 【分析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把极坐标方程化成普通方程；（2）由(1)得点)P θθ，利用点到直线距离公式可得点P 到直线AB距离d =；再由121,1t t ==-，可得||AB =，由此即可求出PAB △面积的最值．【详解】(1)由曲线1:y t C x t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩1C 的普通方程为0x y +-=．由2226:2cos C ρθ=+得()222cos 6ρθ+=，2222cos 6ρρθ+=，22326x y +=，所以曲线2C 的直角坐标方程为22123x y+=．(2)由(1)得点)P θθ，点P 到直线AB 的距离d ==tan ϕ=，所以max d ==，min d ==．又当121,1t t ==-时，(1,1A -+，(1,1B -+，||AB =所以PAB △面积的最大值和最小值分别为．【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程和参数方程求解面积最值问题，考查计算能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|||2|(0)f x x m x m =-++>. （1）若函数()f x 的最小值为3，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若正数,,a b c 满足2a b c m ++=，求证：114a b b c+≥++. 【答案】（1）1m =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得()|||2||()(2)||2|f x x m x x m x m =-++≥--+=+,则|2|3m +=,即可求解；（2）由（1）可得21a b c ++=,即()()1a b b c +++=,则1111[()()]a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭,进而利用均值不等式证明即可.【详解】（1）解:∵()|||2||()(2)||2|f x x m x x m x m =-++≥--+=+, ∴|2|3m +=, 又∵0m >,∴1m =.（2）证明:由（1）知1m =,∴21a b c ++=,即()()1a b b c +++=,正数,,a b c,∴1111[()()]2224b c a ba b b ca b b c a b b c a b b c++⎛⎫+=++++=++≥+= ⎪++++++⎝⎭,当且仅当b c a ba b b c++=++时等号成立.【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值,考查利用均值不等式证明不等式,考查“1”的代换的应用.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)理科数学试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}AB x x =>D. AB =∅【答案】A 【解析】∵集合{|31}xB x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A2.已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.3.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A. 1i + B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.4.已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A. (0,1])⋃+∞B. (0,1][3,)⋃+∞C. )⋃+∞D. [3,)⋃+∞【答案】B 【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A. sin y x = B. ln y x =C. xy e =D. 3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件； 当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x 时，y ′＝e x ＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件；故选A ．考点：导数及其性质.6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D. 【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos（2x+π6）=sin（2x+2π3）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数sin()()y A x x Rωϕ=+∈是奇函数π()k k Zϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x Rωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Zϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x Rωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Zϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x Rωϕ=+∈是偶函数π()k k Zϕ⇔=∈.8.设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.9.已知F为抛物线2:4C y x=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12,l l，直线1l与C交于A B、两点，直线2l与C交于D E、两点，则|||||AB DE+的最小值为（）A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】A 【解析】 【分析】根据12l l ⊥，要使|||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1时，取得最小值.【详解】解法一：如图所示因为12l l ⊥，直线1l 与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，要使||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1， 又直线2l 过点()1,0，所以直线2l 的方程为1y x =-，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，12124,4y y y y +==-，所以()212121222111148DE y y y y y y k k=+-=++-=，所以|||||AB DE +的最小值为16. 故选：A解法二：设AB 为(1)y k x =-，DE 为1(1)y x k=--．分别代入抛物线方程得：2222(24)0k x k k -++=⋯（1），22(24)10x k x -++=⋯（2）．由于21234242()2()44482416AB DE x x x x k k+=+++++=+++>=+⨯=．此时2244k k=，1k =或1k =-，故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系，弦长公式等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A. 1- B. 32e -- C. 35e - D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．11.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-B.13C.12D. 1【答案】C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.12.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A. 3 B. 22C. 5D. 2【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.【答案】79- 【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=cos cos βα=-=， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=- 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .14.已知函数f （x ）＝23,12,1x x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)2x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是__ 【答案】﹣4716≤a ≤2 【解析】 【分析】先求画出函数()f x 的图像，然后对2y x a =+的图像进行分类讨论，使得2y x a =+的图像在函数()f x 的图像下方，由此求得a 的取值范围.【详解】画出函数()f x 的图像如下图所示，而,22222xa x a x y a x a a ⎧+≥-⎪⎪=+=⎨⎛⎫⎪-+<- ⎪⎪⎝⎭⎩，是两条射线组成，且零点为2x a =-.将2x y a =+向左平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程22x y a y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简得2240x ax -+=，令判别式24160a ∆=-=，解得2a =.将2xy a =+向右平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程223x y a y x x ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+⎩消去y 并化简得2302x x a -++=，令判别式()14304a ∆=-+=，解得4716a =-.根据图像可知47,216a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如y ax b =+函数的图像，是,0b a ⎛⎫-⎪⎝⎭引出的两条射线. 15.设抛物线22{2x pt y pt==（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ，若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为32则p 的值为__________． 6 【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=， 又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则2A y =，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF==， 所以262CEFCEAS S==92ACFAECCFESSS=+=所以132922p ⨯=6p =【考点】抛物线定义【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理． 2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋2p；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．16.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值． （Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ， ＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．18. 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．【答案】(1)取出1球为红球或黑球的概率为3.4(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为11.12【解析】试题分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，∴概率为．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，∴概率为．即取出的1球是红球或黑球的概率为；取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．考点：等可能事件的概率19.（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）7 .【解析】试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值7试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故90DOB ∠=. 所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()311,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,310.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n .设m是平面AEC的法向量，则m ACm AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取()0,1,3=-m.则7cos,⋅==n mn mn m.所以二面角D-AE-C的余弦值为7.【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n互补或相等，故有cos cos,m nm nm nθ⋅==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.20.如图，已知抛物线2x y=.点A1139-2424B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22⎛⎫⎪⎝⎭＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求PA?PQ的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分．（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为12x-，再由1322x-<<，得直线AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达||PA与||PQ的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k=--+求解||||PA PQ⋅的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA1)2x +1)k +， |PQ2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3()(1)(1)f k k k =--+， 因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．21.已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21ax x n<+- 【答案】（Ⅰ） 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即，则0()()()F x f x f x -'''=由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x'，可得202.a x x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=，故1102n nx -≥=，所以2121ax x n-<+-. 考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.11,23x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被曲线cos ,3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）所截得的弦长.【答案】2 【解析】 【分析】由cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ得到直角坐标方程，然后将11,22x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义求弦长.【详解】由cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ得2213y x +=，将11,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2213y x +=并整理得：220t t -=，解得120,2t t ==， 所截得的弦长为122t t -=【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.设0,0x y >>，已知1x y +=，求2223x y +的最小值. 【答案】65【解析】 【分析】根据柯西不等式的性质求解.【详解】由柯西不等式得()()222222231x yx y ⎡⎤+⋅+≥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以226235x y +≥，当且仅当23x y =，即32,55x y ==时，取等号.所以2223x y +的最小值为65【点睛】本题主要考查柯西不等式的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学(理科)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|1},{|0}A x x B x x ≤==<，则()RA B ⋃=（ ）A. {|1}x x ≥B. {|1}x x >C. {|1x x <-或01}x ≤< D . {|1x x ≤-或01}x <≤【答案】B 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再求A 与B 的并集，然后再求补集即可. 【详解】因为2{|1}={|11}A x x x x =-≤≤，{|0}B x x =<，所以={|1}A B x x ≤，所以(){|1}RA B x x =>.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.在等比数列{}n a 中，363,6a a ==，则9a =（ ） A.19B.112C. 9D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为等比数列的性质，369,,a a a 成等比数列，即9623a a a =⋅，所以392636312a a a =÷=÷=.故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题. 3.设复数() ,z x yi x R y =+∈，下列说法正确的是（ ） A. z 的虚部是yi ; B. 22||z z =；C. 若0x =，则复数z 为纯虚数;D. 若z 满足|1|z i -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的相关概念一一判断即可；【详解】解：z 的实部为x ，虚部为y 所以故A 错；2222i z x y xy =++，222||z x y =+，所以B 错；当00x y ==，时，z 为实数，所以C 错；由|1|z i -=得||1x yi i +-=，|(1)|1x y i ∴+-=，22(1)1x y ∴+-=，所以D 对. 故选：D【点睛】本题考查复数的相关概念的理解，属于基础题.4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（ ） A. 8种 B. 9种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】 【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果. 【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目. 5.若sin 831πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简求得结果.【详解】227sin 2sin 2cos 212sin 14424899πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C .【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值的问题，考查基础公式的应用.6.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（ ） A. 0.832 B. 0.920C. 0.960D. 0.992【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；【详解】解：三次试跳都没成功的概率为30.2=0.008，所以他获得冠军的概率是10.0080.992-=. 故选：D【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.7.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，()ln ln 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较a 、b 、c 与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】555log 1log 2log 5<<，则01a <<，0.50.5log 0.2log 0.51b =>=，ln1ln 2ln e <<，即0ln 21<<，()ln ln 2ln10c ∴=<=.因此，c a b <<. 故选：D.【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.8.已知直线a 和平面α、β有如下关系：①αβ⊥；②//αβ；③a β⊥；④//a α.则下列命题为真的是（ ）A. ①③⇒④B. ①④⇒③C. ③④⇒①D. ②③⇒④【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质可判断A 选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B 选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C 选项的正误；利用面面平行的性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由①③可知，//a α或a α⊂，A 错； 对于B 选项，由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错； 对于C 选项，过直线a 作平面γ，使得b γα⋂=，//a α，则//a b ，a β⊥，b β∴⊥，b α⊂，αβ∴⊥，C 对；对于D 选项，由②③可知，a α⊥，D 错. 故选：C.【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.9.如图，为测量某公园内湖岸边,A B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得,A B 的俯角分别为,αβ，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为（ ）A. ()222cos 11sin si s n s n in i hβααβαβ-+- B. ()222cos 11sin si s n s n in i hβααβαβ-++C. ()222cos 11cos co c s c s os o h βααβαβ-+- D. ()222cos 11cos co c s c s os o hβααβαβ-++【答案】A 【解析】 【分析】设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin hPB β=，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得AB ，得到答案.【详解】如图所示，设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin hPB β=， 由正弦定理得sin()sin AB PBαβα=-，所以sin()sin()=sin sin sin PB h AB αβαβαβα⋅-⋅-=222222sin ()(sin cos cos sin )sin sin sin sin h h αβαβαββαβα--= 222222sin cos cos sin 2sin cos cos sin =sin sin h αβαβαβαββα+- 2222cos cos 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ+-22221sin 1sin 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ--+-22112cos cos 2sin sin sin sin h βααβαβ=+--22112sin sin 2cos cos sin sin sin sin h αβαβαβαβ+=+- 22112cos()sin sin sin sin h αβαβαβ-=+-故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.10.过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则AFOF=（ ） A.43B.34C. 4D.54【答案】A 【解析】 【分析】画出图像,分别作,A B 关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.【详解】如图,作分别作,A B 关于准线的垂线,垂足分别为,D E ,直线AB 交准线于C .过A 作BE 的垂线交BE 于G ,准线与y 轴交于H .则根据抛物线的定义有,AF AD BF BE ==.设AF AD t ==,3BF BE t ==,故2BG t =,4AB t =,故1cos 2BG ABG AB ∠==. 故26BC BE t ==,故FH 是CBE △边BE 的中位线,故113244OF FH BE t ===.故4334AFt t OF==.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.11.函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M 、N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）①函数()f x 的图象关于点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称;②函数()f x 11,26--⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增; ③圆C 的面积为3136π. A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 分析】先求出函数()y f x =的解析式，验证403f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断①的正误；利用正弦函数的单调性可判断②的正误；求出圆C 的半径，利用圆的面积可判断③的正误.【详解】由圆对称性，正弦函数的对称性得1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()y f x =的一个对称中心，所以周期112136T ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，22T πωπ∴==，又函数()y f x =的图象过点1,06⎛⎫-⎪⎝⎭，则1sin 063f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =在16x =-附近单调递增，所以，()23k k Z πϕπ-=∈，可取3πϕ=.所以，()i 2s n 3x f x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 084s =33in 3f ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以①对； 当1126x -<<-时，22033x πππ-<+<，所以，函数()y f x =在区间11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以②错；当0x =时，得点M 的坐标为⎛ ⎝⎭，所以圆的半径为MC ==，则圆的面积为3136π，所以③对. 故选：B.【点睛】本题考查利用正弦函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性和单调性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12.函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-的图象在点()()()()1111,,,A xf x B x f x --处两条切线的交点0(P x ，0)y 一定满足（ ） A. 00x = B. 0x m = C. 00y = D. 0y m =【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-，求导，然后利用导数的几何意义，分别写出在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程，再联立求解即可.【详解】因为函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-，所以()2mx mxf x me mex m -'=-+-， 所以()11112-'=-+-mx mx f x me me x m ()11112-'-=---mx mx f x me me x m所以()()112111R -=++∈-mx mx f x ee x mx m ，()()112111+R --=++∈mx mxf x e e x mx m又因为在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程分别为：()()()()()()111111,y f x f x x x y f x f x x x ''-=---=-+，联立消去y 得：()()1111211112+---+--++-mx mx mx mx me me x m x x e e x mx ，()()111121111+2--=--++-++mx mx mx mx me me x m x x e e x mx .解得0x =. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】y x =± 【解析】 【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：2222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b ac a b，双曲线的渐近线方程为y x =± 故答案为y x =±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 14.执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3t ∈-，则输出s 的取值范围是____________.【答案】[0,1] 【解析】 【分析】分别在[)1,1t ∈-和[]1,3t ∈两种情况下，根据指数函数和对数函数的单调性求得值域，取并集得到所求的取值范围.【详解】当[)1,1t ∈-时，1t s e -=，1t s e -=在[)1,1-上单调递增，)2,1s e -⎡∴∈⎣；当[]1,3t ∈时，3log s t =，3log s t =在[]1,3上单调递增，[]0,1s ∴∈；综上所述：输出的[]0,1s ∈. 故答案为：[]0,1.【点睛】本题以程序框图为载体考查了指数函数和对数函数值域的求解问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的单调性，进而确定所求值域.15.已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=则ABC ∆面积为____________.【答案】2【解析】 【分析】根据()0,1=AB ，1AB BC ⋅=，可得||cos 1-=BC B ，再由||7=AC ，利用余弦定理可解得||BC ，cos B ，进而得到sin B ，然后代入1sin 2=ABCS BA BC B 求解. 【详解】因为()0,1=AB ， 所以||1=AB ，又因为||||cos()1π⋅=⋅-=AB BC AB BC B ， 所以||cos 1-=BC B ，由余弦定理得222||||||2||||cos =+-⋅⋅AC AB BC AB BC B ， 所以||2BC =， 则1cos 2B =-， 因为 0180<<︒B ，所以120B =︒，sin B =，所以面积为1133sin 122222==⨯⨯⨯=ABCSBA BC B . 故答案为：32【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点，则二面角C AM N --的余弦值为_________；若动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，且1PA //平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是_________.【答案】 (1). 23 (2). 32[,5] 【解析】 【分析】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角，计算可得结果；取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连结1A O ，推导出平面//AMN 平面1A EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出1PA 的长度范围． 【详解】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角， 计算得25CG =，22535()155NG =+=，所以25352cos 553NGC ∠=÷= 取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连接1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连接1A O ，点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点， 1//AM A E ∴，//MN EF ， AMM N M =，1A EEF E =，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，2211215A E A F ==+22112=+=EF ，1AO EF ∴⊥， ∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值221232(5)()2A O =-=，当P 与E （或)F 重合时，1PA 的长度取最大值为115A E A F ==． 1PA ∴的长度范围为325]． 故答案为：23；325] 【点睛】本题考查二面角余弦值的求法和线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.已知数列{}n a 是等比数列，且公比q 不等于1，数列{}n b 满足2n bn a =.（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若12a =，32432a a a =+，求数列211log n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1n nS n =+ 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则和等比数列定义可证得12log n n b b q +=-，由此证得结论； （2）利用等比数列通项公式可构造方程求得q ，进而整理得到211log n n b a +，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）已知数列{}n b 满足2n b n a =，则2log n n b a =，1121222log log log log n n n n n na b b a a q a +++∴-=-==， ∴数列{}n b 为等差数列.（2）由12a =，32432a a a =+可得：23642q q q =+，解得：2q或1q =（舍），2n n a ∴=，则2log n n b a n ==，()211111log 11n n b a n n n n +==-++∴，11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的证明、裂项相消法求解数列的前n 项和问题，涉及到等比数列通项公式的应用；求和问题的处理关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90B AB C AD D ︒∠=，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =.（1）求证：EF //平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）277【解析】 【分析】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系，找到平面PBF 的一个法向量n ，求出直线PA 向量n 所成夹角的余弦值，即可求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，因为点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，所以//EM AB 且112EM AB ==， 因为13DF FC =，所以411==DF DC ，所以1==EM DF ， 又因为//AB DC ，所以//EM DF ，所以四边形EMDF 为平行四边形，所以//EF DM ，又DM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ， 因为PA PD =，所以PNAD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN平面ABCD ，又//,90B AB C AD D ︒∠=，所以AD NH ⊥，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系， 所以()0,0,1P ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,1,0F -，在平面PBF 中()1,2,1=--BP ，()2,1,0=--BF ，()=1,0,1PA -,设在平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，所以00BP n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，2020x y z x y --+=⎧⎨--=⎩，令1x =，则法向量()1,2,3n =--，又()1,0,1PA =-， 设直线PA 与平面PBF 所成角为α， 所以||27sin |cos ,|||||214α⋅=<>===⋅⋅PA n PA n PA n ，即直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值为27.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，和线面所成角的求法，解题的关键是会用法向量的方法求线面角的正弦值.19.已知椭圆22:12x C y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、D 两点.（1）求过A 、B 、D 三点的圆E 的方程；（2）若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和（1）中的圆E 分别相切于点P 和点Q （P 、Q 不重合），求直线OP 与直线EQ 的斜率之积.【答案】（1）22948x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）24. 【解析】 【分析】（1）求出A 、B 、D 三点的坐标，求得圆心E 的坐标，进而求出圆E 的半径，由此可求得圆E 的方程； （2）设直线l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠），将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆=可得2212m k =+，由直线l 与圆E相切可得出22889k m =-+，进而可得出2221241k m =-=，求出直线OP 与直线EQ 的斜率，进而可求得结果. 【详解】（1）由题意可得)A、()0,1B -、()0,1D ，则圆心E 在x 轴上，设点(),0E m ，由BE AE =，可得)221m m +=，解得m =，圆E的半径为AE =. 因此，圆E的方程为2298x y ⎛+= ⎝⎭； （2）由题意：可设l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠）， 与椭圆C 联立消去y 可得()222124220kxkmx m +++-=，由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为()00,P x y ，由()()222216421120k m m k∆=-⨯-+=，可得2212m k =+，解得02k x m =-，01y m=， 由圆E 与直线l4=，可得22889k m =-+.因此由222212889m k k m ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，可得2221241k m =-=， 直线OP 的斜率为12OP k k =-，直线EQ 的斜率1EQ k k=-， 综上：22421OP EQ k k k =⋅=. 【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.20.武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*1000n N ∈份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验1k次)；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =. 试比较方案②中，k 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案】（1）分布列见解析；（2）2k =，总次数为690次；3k =，总次数为604次；4k =，次数总为594次；减少406次 【解析】 【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，可得1q p =-，再由相互独立事件的概率求法可得k 个人呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1k q -，随机变量1,1X k k=+即可得出分布列. （2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令2,3,4k =求出期望即可求解. 【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq -， 依题意可知1,1X k k=+， 所以X 的分布列为：1111k kX k k Pq q +- （2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:()()111111k k k E X q q k k k q ⎛⎫=++⋅-=-+ ⎪⎝⎭⋅ 所以当2k =时, ()210.910.692E X =-+=， 此时1000人需要化验的总次数为690次，3k =()31,0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，4k =时, ()410.910.59394E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少. 而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①, 当4k =时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数()2ln 2,xe f x a x e R a =-∈ （1）若函数()f x 在2ex =处有最大值，求a 的值； （2）当a e ≤时，判断()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）a e =；（2）当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）根据函数最值点可确定02e f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，从而求得a ；代入a 的值验证后满足题意，可得到结果；（2）令()()ln 0tg t a a t e t =+->，将问题转化为()g t 零点个数的求解问题；分别在0a =、0a <和0a e <≤三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个数.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()22xe af x e x e'=-，()f x 在2e x =处取得最大值，2202e af e⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得：a e =. 当a e =时，()2ln 2xef x e x e =-，()22xe ef x e x e'=-，()22240xe ef x e x e''∴=--<，()f x '∴在()0,∞+上单调递减，又02e f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，则0,2e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x ∴在0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 2e f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，满足题意；综上所述：a e =. （2）令2x t e=，()()ln 0tg t a a t e t =+->，则()g t 与()f x 的零点个数相等， ①当0a =时(),0,tg t e =-<即()20x ef x e =-<，∴函数()f x 的零点个数为0；②当0a <时, ()0ta g t e t'=-<，()g t ∴在()0,∞+上为减函数， 即函数()g t 至多有一个零点，即()f x 至多有一个零点.当10e a t e-<<时，1ln ln 1ea e a a t a a e a a e a -⎛⎫⎛⎫+>+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ln t a a t e +∴>，即()0g t >，又()01g a e =-<，∴函数()g t 有且只有一个零点，即函数()f x 有且只有一个零点；③当0a e <≤时，令()0g t '=，即t a te =，令()()0th t te t =>，则()()10ttth t e te t e '=+=+>()t h t te ∴=在()0,∞+上为增函数，又()1h e =，故存在(]00,1t ∈，使得()00g t '=，即00t ae t =. 由以上可知：当00t t <<时，()0g t '>，()g t 为增函数；当0t t >时，()0g t '<，()g t 为减函数；()()0000max 0ln ln t ag t g t a a t e a a t t ∴==+-=+-，(]00,1t ∈， 令()ln aF t a a t t=+-，(]0,1t ∈， 则()20a aF t t t'=+>，()F t ∴在(]0,1上为增函数， 则()()10F t F ∴≤=，即()()max0g t ≤，当且仅当1t =，a e =时等号成立，由以上可知：当a e =时，()g t 有且只有一个零点，即()f x 有且只有一个零点；当0a e <<时，()g t 无零点，即()f x 无零点；综上所述：当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数的最值求解参数值、利用导数研究函数零点个数的问题；函数零点个数的求解关键是能够通过换元法将问题转化为新函数零点个数的求解，进而通过分类讨论的方式，结合函数单调性、零点存在定理和函数最值来确定零点个数，属于较难题.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足||||8,OA OB ⋅=点B 的轨迹为2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值. 【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：cos 4ρθ=； （2）2. 【解析】 【分析】（1）消去参数，求得曲线1C 的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线1C 的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）由2OM =,求得OBM OAM ABM S S S ∆∆∆=-，求得ABM ∆面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，消去参数，可得普通方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 设点B 的极坐标为(,)ρθ，点A 点的极坐标为00(,)ρθ， 则0000,,2cos ,OB OA ρρρθθθ====， 因为||||8OA OB ⋅=，所以08ρρ⋅=，即82cos θρ=，即cos 4ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（2）由题意，可得2OM =, 则2211||||242cos 42cos 22ABM B OBM O M A A S S S OM x x θθ∆∆∆=⋅-=⋅⋅=-=--， 即242cos ABM S θ∆=-， 当2cos 1θ=，可得ABM S ∆的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.23.已知函数()|23||23|.f x x x =-++（1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（1）{|22}x x -≤；（2）6【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,a b c a b c ++++++= 当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6.【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理科)
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（ ）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 3.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1x =- B. 2x =- C. 1y =- D. 2y =-【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，抛物线可化为24x y =，则2p =，所以准线方程为1y =-，故选C ．考点：抛物线的几何性质．4.若向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则|2+|=a b （ ）A.B.2C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到3x =-，故()|2+|=3,3a b -，计算得到答案.【详解】向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则()12x -+=，故3x =-，()()()|2+|=4,41,13,3a b -+-=-=故选：C .【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若,m n m α⊥⊥，则//n α B. 若//,//,m n m n αα⊄，则//n α C. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 6.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()sin 2f x x x =+ C. 1()sin 22f x x x =- D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意； 由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ， 使得1()cos ()2f x x x f x -=--≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.8.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=-故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2x y -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.9.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.10.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭， 的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=， ()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+， 13a =，20a =，332a =-，432a =-，50a =，632a =，每个周期和为0， 故202012343S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =，则双曲线的离心率为（ ） A. 3B.5 C. 2 D.3【答案】B 【解析】 【分析】计算得到2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据2FN FM =得到222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程解得答案.【详解】易知直线NF ：()a y x c b =-，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭. 2FN FM =，故222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故2222222241a c c a b a c b⎛⎫- ⎪⎝⎭-=， 化简整理得到：22241e e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得e =故选：B .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫⎪⎝⎭B. 52⎛-⎝C. 1,320⎛-⎝ D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==， 当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OBk ==. 所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得322,m =- 322m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得56,2m =562m =；故当()f x mx =有四个不同交点时56,3222m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____. 【答案】700 【解析】 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x ﹣4. 由题意可得()()2222436x x x +-+-=，∴7x =. 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据36271800N⨯=，求得N ＝700 故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.【答案】22 【解析】 【分析】3y x z =-，作出可行域，利用直线的截距与b 的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS==∑_____.【答案】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】 (1). 23 (2). 94【解析】 【分析】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，设(,)P x y ，求出点P 的轨迹为22+12x y =，即得解；（2）先求出点P 的轨迹为222++12x y z =，P 到平面1B CF 的距离为3h =，再求出h 的最小值即得解.【详解】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ， 由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+， 所以22+12x y =，所以若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为3（2）设点(,,)P x y z ，由3BP PE ＝得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12x y z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =， 所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩，由题得(6,3,z)CP x y =--， 所以点P 到平面1B CF的距离为||||CP n h n ⋅== 因为2222222(++)(111)(),66x y z x y zx y z ++≥++∴-≤++≤， 所以minh ==M 到平面1BCF由题得1B CF ∆=， 所以三棱锥1MB CF -的体积的最小值为21934. 故答案为：(1). (2).94． 【点睛】本题主要考查空间几何中的轨迹问题，考查空间几何体体积的计算和点到平面距离的计算，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分)17.在锐角△ABC 中，a =________， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围． 注：在①(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(6+ 【解析】 【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案.（2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c A B C ===，故6ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b c A B C===， 故24sin 4sin 4sin 4sin 3ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△ 6ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(6ABC l ∴∈+△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cosb A a Cc A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③11()cos (cos )24f x x x x =-＝21cos 2x sin x x －14＝12×1+cos 22x ＋2×sin 22x －14111=(cos 22)=sin(2)2226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z ~N (μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值．．．．作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求(88.5)P Z ≥；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．14≈．若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=．【答案】（1）①60.5μ=②0.0228（2）见解析，1654【解析】 【分析】（1）直接根据公式计算得到60.5μ=，14σ=，计算得到答案.（2）获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）由题意得：3024013502160257024801190460.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴60.5μ= ，∵14σ=≈，1(22)(88.5)(2)0.02282P u Z P Z P Z σμσμσ--<≤+>=>+==，（2）由题意知()()12P Z P Z μμ<=≥=，.获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()13320248P X ==⨯=，()133********P X ==⨯⨯=，()11150248P X ==⨯=，()13111337024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()111110024432P X ==⨯⨯=，.∴X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 3893218316132∴39131165()20405070100832816324E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =， 又因为4,4CD BDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π12=，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 20.已知函数21()(1)ln(1)()2f x x x ax x a R =++--∈ （1）设()'()h x f x =，试讨论()h x 的单调性；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上有最大值，求实数a 的取值范围 【答案】（1）在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）01a << 【解析】 【分析】（1）计算()()()ln 1h x f x x ax '==+-，()11h x a x '=-+，讨论0a ≤，0a >两种情况，计算得到答案. （2）讨论0a ≤，1a ≥，01a <<三种情况，求导得到函数单调区间，110h a ⎛⎫->⎪⎝⎭，由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，计算最值得到答案.【详解】（1）()()ln 1f x x ax '=+-，令()()()ln 1h x f x x ax '==+-， ()11h x a x '=-+； 当0a ≤时，()0h x '>，()'fx ∴在()1,-+∞上递增，无减区间；当0a >时，令()0h x '>，则111x a -<<-，令()0h x '<，则11x a>-， 所以()'fx 在11,1a⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）由（1）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,∞+上递增，()()''00f x f ∴>=，()f x ∴在()0,∞+上递增，无最大值，不合题意；当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+，()'f x 在()0,∞+上递减， 故()()''00f x f <=，()f x ∴在()0,∞+上递减，无最大值，不合题意； 当01a <<时，110a ->，由（1）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 设()1ln g x x x =--，则()1x g x x-'=； 令()0g x '<，则01x <<；令()0g x '>，则1x >，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤-，由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=-．取241t a =-，则11t a>-，且()20h t <-=， 又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭， 所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00h x =；. 当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 故函数在()0,∞+上有最大值()0f x ． 综上，01a <<.【点睛】本题考查了函数的单调性，根据最值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2F 点又恰为抛物线2:4D y x =的焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线1x =-的距离分别为1d ，2d ，12||AB d d =+．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记OAB ，OEF 的面积分别为1S ，2S ． （ⅰ）证明：1EFF △的周长为定值； （ⅱ）求21S S 的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii【解析】 【分析】（1）由已知求得2(1,0)F ，可得1c =，又以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点，知b c =，从而求得a 与b 的值，则答案可求；（2）()i 由题意，1x =-为抛物线D 的准线，由抛物线的定义知，1222||||||AB d d AF BF =+=+，结合22||||||AB AF BF +，可知等号当且仅当A ，B ，2F 三点共线时成立．可得直线l 过定点2F ，根据椭圆定义即可证明11||||||EF EF FF ++为定值；()ii 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，求出||AB 与||EF可得21||||4S EF S AB ==；若直线l 的斜率存在，可设直线方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得||AB ，||EF，可得2212||1()1||2S EF S AB k ==∈+，由此可求21S S 的最大值． 【详解】解：（1）因为2F 为抛物线2:4D y x =的焦点，故2(1,0)F所以1c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c =所以a =1b =所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=（2）（ⅰ）由题知，因为1x =-为抛物线D 的准线 由抛物线的定义知：1222||AB d d AF BF =+=+又因为22||AB AF BF ≤+，等号当仅当A ，B ，2F 三点共线时成立 所以直线l 过定点2F 根据椭圆定义得：112112||4EF EF FF EF EF FF FF a ++=+++==（ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x = 因为||4AB =，||EF =21||||4S EF S AB == 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，()2222240k x k x k -++= 所以212224k x x k ++=，212244||2k AB x x k+=++= 设()33,E x y ，()44,F x y ，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-= 则2342412k x x k +=+，23422212k x x k-=+所以)23421||12k EF x k+=-==+则2212||11||242S EF S AB k ⎛⎫⎪⎛⎫===⨯∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭综上知：21SS 的最大值等于4【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值. 【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】【分析】 （1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=. 【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=， 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t +=所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||2AP AQ AM t ==. 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)答案及解析
m AM
2 x y 0 .令 x 2
2 ，的 m (
2,1, 2) .设平面 PMB 的一个法向量为
n (x, y, z) ，
则
n
CB
2x 0
.令 y 1， 的 n (0,1,1) .所 以
n PB 2x y z 0
cosm, n
m n
3
3 14 ，所以二面角 A PMN B 的正弦值为
A. f ( x 1) 1
B. f ( x 1) 1
C. f ( x 1) 1
D. f ( x 1) 1
答案：
B
解析：
f (x) 1 x 1 2 ， f (x) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 g(x) 2 为奇
1 x
1 x
x
函数.
5.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为 B1D1的中点，则直线 PB 与 AD1 所成的角为
（）
A. 60 种
B.120 种
C. 240 种
D. 480 种
答案：
C
解析：
所求分配方案数为 C52 A44 240 .
7.把函数 y f ( x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，再把所得曲 2
线向右平移 个单位长度，得到函数 y sin( x ) 的图像，则 f ( x) （ ）
y2 b2
1(a
b
0) 的上顶点，若 C
上的任意一点
P 都满足，
PB 2b ，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
2 A.[ ,1)
2
B.[ 1 ,1) 2
Байду номын сангаас
C. (0, 2 ] 2
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(三)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（三）数学试卷（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1|02x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}|5213B x x =-≤+≤，则集合A B =（ ） A. [)3,2-- B. ()2,1-C. RD. ∅【答案】A 【解析】 【分析】分别求解集合A 和集合B ，进而求解AB 即可.【详解】解：由1|02x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，可知{|2A x x =<-或}1x >， 由{}|5213B x x =-≤+≤，可知{}|31B x x =-≤≤. 则{}|32A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，结合分式不等式的解法，考查运算能力，属于基础题. 2.已知直线1l :sin 210x y α+-=，直线2l :cos 30x y α-+=，若12l l ⊥，则tan2α=（ ）A. 23-B. 4 3-C. 2 5D. 4 5【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的垂直，即可求出tanα=2，再根据二倍角公式即可求出． 【详解】因为l 1⊥l 2，所以sin 2cos 0αα-=， 所以tan α=2， 所以22tan 44tan 21tan 143ααα===---. 故选：B ．【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题.3.已知复数z 满足||1z =，则|1|z -+的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】复数方程||1z =转化成实数方程221x y +=，再由复数模几何意义得|1|z -+表示(1,与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】设(),z x yi x R y R =+∈∈，由||1z =得221x y +=，又1z -+=(1,与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得min |1|1211z -==-=，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，考查了转化思想，属于中档题．4.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A. //αβ，//m α，则//m βB. m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβC. m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥D. m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面平行，线线、线面和面面垂直有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，//αβ，//m α，可能m β⊂，所以A 选项错误.对于B 选项，m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，可能α和β相交，所以B 选项错误. 对于C 选项，m n ⊥，m α⊥，βn//，可能n ⊂α、//αβ，所以C 选项错误.对于D 选项，m α⊥，//m n ，则n α⊥，由于//αβ，则n β⊥，所以D 选项正确，故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性判断，属于中档题. 5.已知()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则函数()f x 可以是（ ）A. 42()2f x x x =-B. ()2x xe ef x -+=C. ()sin f x x x =D. 21()cos 3f x x x =+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间(0,)+∞上的单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，42()2f x x x =-，其定义域为R ，有42()2()f x x x f x -=-=，是偶函数，其导数32()444(1)f x x x x x '=-=-，在区间(0,1)上，()0f x '<，()f x 为减函数，不符合题意；对于B ，()2x x e e f x -+=，其定义域为R ，有()()2x xe ef x f x -+-==，是偶函数，其导数()2x xe ef x --'=，在区间(0,)+∞上，()0f x '>，()f x 为增函数，符合题意；对于C ，()sin f x x x =，其定义域为R ，有()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，是偶函数，而()022f ππ=>， 33()022f ππ=-<，在(0,)+∞上不是增函数，不符合题意； 对于D ，()21cos 3f x x x =+，其定义域为R ，有21()()cos()3f x x x -=-+-21cos 3x x =+()f x =，是偶函数，而(0)1f =，21()13272f ππ=+<，在(0,)+∞上不是增函数，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意函数奇偶性与单调性的判断方法，属于基础题． 6.已知圆C :22()4(2)x a y a -+=≥与直线20x y -+=相切，则圆C 与直线40x y --=相交所得弦长（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆C :22()4(2)x a y a -+=≥与直线20x y -+=相切，由圆心到直线的距离等于半径求得a，然后再利用弦长公式l =.【详解】圆心到直线20x y -+=的距离为：d =，因为圆C :22()4(2)x a y a -+=≥与直线20x y -+=相切，所以2d r ===，解得2a =或2a =- 因为2a ≥， 所以2a =，所以22(2)4x y -+=，圆心到直线40x y --=的距离为：d ==，所以圆C 与直线40x y --=相交所得弦长为l ==， 故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及弦长公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7.已知函数()sin cos f x x x =+的导函数为()g x ，则下列结论中错误．．的是（ ） A. 函数()f x 与()g x 有相同的值域和周期 B. 函数()g x 的零点都是函数()f x 的极值点 C. 把函数()f x 的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图象 D. 函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，利用三角函数的辅助角公式进行化简，分别进行判断即可.【详解】由题意知，()()cos sin )[4g x f x x x x π'==-=+∈，周期为2π又()sin cos )[4f x x x x π=+=-∈，周期2π，两个函数值域与周期相同，故A 正确；若0x 是函数()g x 的零点,则g (0x ) =0，即0()0f x '=，即0x 是函数()f x 的极值点，故B 正确；把函数()f x 的图象向左平移2π个单位，得)4y x π=+，得到函数()g x 的图象，故C 正确；当,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，则(0)42x ππ-∈-，此时()f x 是增函数，当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，(0,)42x ππ+∈，此时函数()g x 是减函数，两个函数不都是增函数，故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查命题的真假关系，涉及三角函数的图象和性质,利用辅助角公式进行化简，导数零点与函数极值点，结合三角函数的性质是解决本题的关键.8.若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布()21000,500N ，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ） 参考数据:若随机变量X 服从正态分布则()2N ,μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=.A. 2.718B. 6.827C. 8.186D. 9.545【答案】C 【解析】 【分析】先求恰在500元至2000元之间概率，再求数学期望. 【详解】(100050010002500)P X -<≤+⨯(1000250010002500)(100025001000500)P X P X =-⨯<≤+⨯--⨯<≤- (1000250010002500)P X =-⨯<≤+⨯(1000250010002500)(10005001000500)2P X P X -⨯<≤+⨯--<≤+-(1000250010002500)(10005001000500)2P X P X -⨯<≤+⨯+-<≤+=0.95450.68270.81862+==ξ的数学期望为0.8186108.186⨯=故选：C【点睛】本题考查正态分布及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.5(21)(x x++的展开式中3x 系数为（ ） A. 180 B. 90C. 20D. 10【答案】A 【解析】 【分析】 利用5(x+展开式通项公式352153r r r r T C x -+=即可得解.【详解】5(x展开式通项公式352153r r r r T C x -+=，其各项次数依次为7155,,2,,1,222--, 所以3x 的系数是21x +的一次项系数2乘以5(x+展开式的2x 的系数. 由5(x+展开式通项公式352153r r r r T C x -+=知3522r-= 解得2r，所以3x 系数为22523=180C ⨯. 故选：A【点睛】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用.求解形如()()++n ma b c d 的展开式问题的思路：(1)若n m ， 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222+++()()()(2)++m m a b c d a ab b c d ＝ ，然后展开分别求解．(2)观察()(++)a b c d 是否可以合并，如5752252()()[()()1+1]()111()()11x x x x x x x ---=--=+ ； (3)分别得到((+))+n m a b c d ，的通项公式，综合考虑．10.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且2sin b a B =， 则cos sin B C +的取值范围为（ ）A. B.C. 322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得sin B 进而求得B 的大小.根据三角恒等变换化简cos sin B C +，由此求得取值范围.【详解】依题意2sin b a B =， 由正弦定理得sin 2sin sin B A B =，所以1sin 2A =，cos A =由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6A π=.由23202A B B B ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩. 所以5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos cos 22B B B B B =++=+3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336B πππ<+<，所以1sin ,322B π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332B π⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题.11.设双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，P 在双曲线E 的右支上.且12PF PF ⊥，Q 为线段1PF ，与双曲线E 左支的交点，若230PQF ∠=︒，则2e =（ ）A. 7-B. 1+C. 1D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设2PF m =，根据双曲线的定义和直角三角形的性质可得出22,==QF m PQ ，122=-QF m a ，4a m =，2221616c m =，再由双曲线的离心率可得选项.【详解】据已知在2PQF ∆中，230PQF ∠=︒，设2PF m =，则22,==QF m PQ ，由双曲线定义得211||||2,22-=∴=-QF QF a QF m a，又()12||||222,PF PF a m a m -==--所以4a m =，12=PF ，又在12PF F ∆中有，2222112+,=PF PF F F 即222+4m c⎫=⎪⎪⎝⎭，所以2221616c m=，故22227mcea===-.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的基本知识和离心率的求解，关键在于由平面几何中的三角形的性质和双曲线的定义得出线段间的数量关系，属于中档题.12.已知函数33,0()ln1,0xx x xf x x xxe x⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若关于x的方程发2()()10f x mf x--=恰好有6个不相等的实根，则实数m的取值范围是（）A.12,1e⎛⎫-+⎪⎝⎭B. ()12,00,1e⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭C.2321,2ee e+⎛⎫- ⎪+⎝⎭D.2321,00,2ee e+⎛⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】【分析】利用导数的性质对该分段函数进行作图，并利用导数求出该分段函数的极值，根据图像即可求解.【详解】当0x≤时,3()3f x x x=-，则2'()333(1)(1)f x x x x=-=-+，令'()0f x=，得1x=-，∴当(,1)x∈-∞-时，'()0f x<，()f x单调递减；当(1,0)x∈-时，'()0f x>，()f x单调递增，且(1)2f-=-，(0)0f=，当0x>时，ln1()xx xf xe x+=+，21ln'()xx xf xe x--=+，显然，'(1)0f=，∴当(0,1)x∈时，'()0f x>，()f x单调递增；当(1,)x∈+∞时，'()0f x<，()f x单调递减，且1(1)1fe=+，故()f x的大致图像如图所示：令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x --=化为关于t 的方程210t mt --=，240m ∆=+>，∴方程210t mt --=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ，由韦达定理得：1212,10t t m t t +==-<，不妨设120,0t t ><，关于x 的方程2()()10f x mf x --=恰好有6个不相等的实根，由函数()f x 的图像可知，1101t e <<+，220t -<<，设2()1g t t mt =--，则(2)0(0)01(1)0g g g e ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪+>⎩，解得：23212e m e e+-<<+ 故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的根的情况，属于难题.二、填空题.13.已知向量,a b ，满足：(1,3)a =，||2b =，()a b b -⊥，则向量,a b 的夹角为______.【答案】4π 【解析】 【分析】根据()a b b -⊥，利用平面向量的数量积运算求得=2a b ⋅，然后结合()21+3a =，||2b =，由夹角公式cos ,a b a b a b⋅=⋅求解.【详解】因为(1,3)a =， 所以(1+a =，又因为()a b b -⊥，所以2()==0a b b a b b -⋅⋅-， 解得=2a b ⋅，所以cos ,222a b a b a b⋅===⋅⋅， 因为[],0,a b π∈， 所以a,b 4π=，故答案为：4π 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知非负实数x ，y 满足10240x y x y --≥⎧⎨+-≤⎩，则11y z x +=+的最大值是______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最大值，得到答案.【详解】由已知得,因为非负实数x ，y ，故可得x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点B 时，z 最大， 所以，z 的最大值为11201+=+. 故答案为：2【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15.已知直线l 经过抛物线C :24y x =的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若2AF FB →→=，则直线l 的斜率为______.【答案】22-【解析】 【分析】根据题中所给条件，设出直线方程为()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果．【详解】依题意，抛物线24y x =的焦点()10F ， 设直线l 的方程为()1y k x =-由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222220k x k k -++=，设()11A x y ，，()22B x y ，12242x x k ∴+=+，121x x ⋅=， 2AF FB →→=，且()()11221,,1,AF x y FB x y →→=--=-，12122x x ∴-=-即21230x x +-= 121x x =，221230x x ∴+-=， 解得21x =或212x =11x ∴=或12x =又122422x x k +=+>，所以12x =，212x =，得241222k +=+ 解得：22k =±，结合图象得22k =-.故答案为：22-【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 16.如图，在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，3AC BD ==，5BC AD ==，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若用一个与直线EF 垂直的平面去截该三棱锥，与棱AC ，AD ，BD ，BC 分别交于M ，N ，P ，Q 四点，则四边形MNPQ 面积的最大值为______.【答案】32【解析】 【分析】把三棱锥A BCD -放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ 为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得||||||2PN PQ AB +==,求出PN 与PQ 所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值. 【详解】把三棱锥A BCD -放置在长方体中,如图，,E F 分别是AB ,CD 的中点,且平面MNPQ EF ⊥，可知//,//MN PQ PN QM ，则四边形MNPQ 为平行四边形， 再由平行线截线段成比例知，||||||||,||||||||NP PD PQ BP AB BD CD BD ==，且||||AB CD =， 所以|||||||||||+1|||||||||PN PQ NP PQ PD BP AB CD AB BD ++=== 可得||||||2PN PQ AB +==，因为长方体侧面DC 3,1， 所以长方形对角线长为2，由正三角形可知侧面两条对角线所成锐角为60°, 又//,//PQ CD PN AB 则60NPQ ︒∠=，23||||3||||sin 60222MNPQ PN PQ S PN PQ ︒+⎛⎫∴=⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭四边形， 当且仅当|||1PN PQ==∣时等号成立， ∴四边形MNPQ 33【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线、直线与平面位置关系的应用，考查“分割补形法，利用基本不等式求最值，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且满足121n n S S n +=++ （1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】（1）见解析；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】（1）根据1n n n a S S -=-结合已知条件等式可得递推关系式121n n a a +=+，2n ≥，即可得证； （2）首先根据（1）求得n b 的通项公式，然后利用错位相减法求解即可. 【详解】(1)证明：∵121n n S S n +=++，① ∴当2n ≥时，12n n S S n -=+②-①②得，121n n a a +=+，2n ≥∴11211n n a a ++=++，2n ≥ 即()1121n n a a ++=+，2n ≥. 又12122a a a +=+，∴23a =， 则()21121a a +=+∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，公比为2的等比数列.(2)由（1）知12n n a +=. ∴2nn b n =⋅.∴1234112223242(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅①∴23451212223242(1)22nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⨯+-⋅+⋅②-①②得：23121212122n n n T n +-=+⨯+⨯+⋯+⨯-⋅1(1)22n n +=-⋅-.∴1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.18.如图.长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，2AB =，13AA =，E 为棱1AA 上一点，1AE =，F 为棱11B C 上任意一点.（1）求证：BE EF ⊥；（2）求二面角11C B E C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（210【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可知1BE B E ⊥，再由11B C ⊥平面11A ABB 知11BE B C ⊥，可证BE ⊥平面11E B C ，即可得BE EF ⊥；（2）分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 【详解】(1)证明：∵1AE =，12A E =，在长方体1111ABCD A B C D -中，2211116B E A E A B =+=，223BE AE AB =+，∴22211B B B E BE =+，即1BE B E ⊥.在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11A ABB ，BE ⊂平面11A ABB ，∴11BE B C ⊥ 又1111E B B C B ⋂=，∴BE ⊥平面11E B C .无论点F 位置如何，EF ⊂平面11E B C ， ∴BE EF ⊥.(2)如图所示，分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦即可.则1(2,2,3)B ，E(2,0,1)，2,0)，2,2,0)B ，1(2,0,3)CB →=，12,2)EB →=设平面的法向量为n (x,y,z)→=∴1100n CB n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230220x z z +=+= 令2z =3x =-，2y =-，可得平面1CB E 的一个法向量为(3,22)n →=--由（1）可知，BE ⊥平面11E B C ，所以平面11B C E 的一个法向量(0,2,1)BE →=- ∴,3210cos ,315||||BE BE B n E nn →→→→→→⋅<>===⨯⋅即二面角11C B E C --10【点睛】本题主要考查了线线垂直，线面垂直的判定与性质，利用向量法求二面角，属于中档题. 19.已知平面内动点P 与点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率之积为34-. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点(1,0)F 的直线与曲线E 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线4x =分别交于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆恒过定点.【答案】（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）见解析【解析】 【分析】(1) 设点P 的坐标(),x y ，再根据34PA PB k k ⋅=-列式求解，同时注意定义域即可； (2)联立PQ 与椭圆的方程，设()11,P x y ，()22,Q x y ，得出韦达定理，进而求得,M N 的坐标表达式，进而求得MN 的长及MN 的中点，写出以MN 为直径的圆的方程，即可分析出所过定点. 【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，则由34PA PB k k ⋅=-，可得3224y y x x ⋅=-+- 整理得221(2)43x y x +=≠±，即动点P 的轨迹E 的方程（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为(1)y k x =-，与曲线E 的方程联立，消去y 得()22223484120k xk x k +-+-=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+ 直线AP 的方程为1122y x y x +=+，令4x =，得1162=+y y x ，即1164,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 同理2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭， ∴()()()()()211221************||62224k x x x x y y MN x x x x x x +⎡⎤-+--+⎣⎦=-=++++()()2112121824k x x x x x x -=+++21||x x -===∴|MN |=线段MN 中点的纵坐标为12121212661113322222y y x x k x x x x k ⎛⎫⎛⎫--+=⋅+=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭故以MN 为直径的圆的方程为：()2222913(4)k x y k k +⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 令0y =得:2(4)9x -=，解得1x =或7x =此时MN 以为直径的圆过点()1,0D 和()7,0E 当PQ x ⊥轴时，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,3M ，()4,3N - 则以MN 为直径的圆的方程为22(4)9x y -+=，也过点D ，E 所以，以MN 为直径的圆恒过点(1,0)D 和(7,0)E .【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解方法，圆的方程，同时也考查了联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求解定值的问题，需要根据题意设椭圆上的点的坐标，进而表达相关点的坐标，进而表达出对应的弦长代入韦达定理求解.属于难题.20.某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性.主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）.若朝上的点数为偶数.则继续抛掷一次.若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次.每位参与者只能参加一次游戏.（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书.方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励.试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由. 【答案】（1）49216；（2）选择方案一，理由见解析 【解析】 【分析】（1）游戏结束时朝上点数之和为5的事件为只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5、抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5、掷3次结束游戏且朝上点数之和为5三个互斥事件的和，根据互斥事件的和的概率求解即可;（2）分别计算方案一、方案二获得畅销书本书的随机变量的期望即可比较方案的优劣.【详解】(1)设事件A ：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B :抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C :掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A ，B ，C 彼此互斥. 则1()6P A =，()11111666618P B =⨯+⨯=，()1111666216P C =⨯⨯= 游戏结束时朝上点数之和为5，即事件A B C ++，其概率为11149()618216216P A B C ++=++=（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X ，1(3)8P X ==7(1)8P X ==则X 的分布列为：175()31884E X =⨯+⨯=方案二：设获得奖励畅销书的本数为Y1(5)8P X ==7P(0)8X ==则Y 的分布列为：175()50888E Y =⨯+⨯=∵()()E X E Y >，∴选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励.【点睛】本题主要考查了互斥事件的和的概率，古典概型，离散型随机变量的分布列，期望，属于中档题.21.设函数()ln f x x =，()(1)g x a x =-.（1）若对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值集合； （2）设()2*n x nn N =∈，点()(),nnnA x f x ，点()()111,n n n A xf x +++，直线1n n A A +的斜率为n k 求证:()*122n k k k n N ++⋯+<∈.【答案】（1）{}1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令()()ln (1())F x f x g x x a x =--=-，求得导数1()axF x x-='，结合导数分类讨论求得函数()F x 的单调性与最值，即可求解.（2）由点()22,ln n A n n，点()(221(1),ln(1)n A n n +++，求得221ln 121n n n k n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，根据（1）求得2221121n n n k n n+<=+，进而作出证明. 【详解】（1）由题意，函数()ln ,()(1)f x x g x a x ==-， 令()()ln (1())F x f x g x x a x =--=-，则11()axF x a x x-=-='， 若0a ≤时，()0F x '>，函数()F x 为单调递增函数，当1x >时，ln (1)0x a x -->，即()()f x g x >，不符合题意； 若0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<，令()0F x '<，解得1x a>， 所以()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减， 所以，当1x a =时，函数()F x 取得最大值111ln 1ln 1F a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使得对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≤恒成立，只需1ln 10F a a a ⎛⎫=-+-≤⎪⎝⎭， 令()ln 1x x x ϕ=-+-，可得11()1x x x xϕ-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递减， 所以()x ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以()(1)0x ϕϕ≥=，所以()0a ϕ≥，即()0a ϕ=，可得()ln 10a a a ϕ=-+-=，解得 1a =， 所以实数a 的取值集合为{}1. （2）由题意知，点()22,ln n A n n，点()(221(1),ln(1)n A n n +++，2222221ln 1ln(1)ln (1)21n n n n n k n n n +⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==+-+ 由（1）知，当1a =时，ln 1(0)x x x ≤->，所以222121ln 1n n n n ++⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以2221121nn n k n n +<=+， 所以1222111122n n k k k +++<++， 而22221111111112311223(1)n n n++++≤++++⨯⨯-11111111222231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()*122n n k k k N++⋯+<∈.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点(2,1)A，点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值.并求此时点B 的坐标.【答案】（1）2213xy+=，10x-=；（2）最大值为4，此时点的坐标为22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）曲线C的普通方程为2213xy+=，由1sin62πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭11sin cos22ρθρθ+=，然后可化为10x+-=（2）点A的直角坐标为()2,1，设点),sinBαα，则点1sin2Mα⎫+⎪⎪⎝⎭，点M到直线l的距离为:d==然后即可得出其最大值，进而可求出此时点B的坐标【详解】（1）曲线C的参数方程为sinxxαα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)可得cossinyαα==⎩两边平方相加得：221y+=即曲线C的普通方程为：2213xy+=由1sin62πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭11sin cos22θρθ+=即直线l的直角坐标方程为10x+-=(2)(2,1)A，设点),sinBαα，则点1sin2Mα⎫+⎪⎪⎝⎭，点M到直线l的距离d ===当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d即点M 到直线l的，此时点的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用参数方程求解最值问题，属于基础题.23.已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111a b c++的最小值； ()2求证：22216a b c ++≥. 【答案】()16+；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1根据a ，b ，c 是正实数，且21a b c ++=，可得()1111112a b c a b c a b c⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求出111a b c++的最小值即可； ()2由柯西不等式可得()()()22222221122a b c a bc ++++≥++，再结合21a b c ++=，即可证明22216a b c ++≥成立. 【详解】解：()121a b c ++=，∴()11111122b a c a b c a b c a b c a b a⎛⎫++=++++=+++ ⎪⎝⎭ 246a c bc b c+++≥+当且仅当a b ==时，等号成立.又由21a b c ++=，∴22a b -==，12c =时，等号成立，即111a b c++的最小值为6+. ()2由柯西不等式可得()()()222222211221a b c a b c ++++≥++=即2221 6a b c ++≥当且仅当112a b c==时，等号成立. 又由21a b c ++=，∴13c =，16a b ==时，等号成立.∴22216a b c ++≥成立. 【点睛】本题考查利用综合法证明不等式，基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想，属于中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十）数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24410U x x x =-+≥，{}20B x x =-≥，则UB =（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合U 和B ，进而可求出UB .【详解】由()22441210x x x -+=-≥恒成立，所以U =R . 又因为{}{}202B x x x x =-≥=≥，所以{}2UB x x =<.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题. 2.已知32a ib i i-=+（,a b ∈R ），其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数,a b ，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断. 【详解】因为32a ib i i-=+，故可得32a i bi -=-+， 故可得2,3a b =-=-，则复数23a bi i -=-+在复平面内对应的点为()2,3-， 其位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若2124a a =，则72a （ ） A. 2- B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的性质可得，27212a a a =，即可求出7a ，从而可求出()72a-. 【详解】在正项等比数列{}n a 中，由题意得272124a a a ==，72a ∴=，()()72224a -=-=∴.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 4.251(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中x 3的系数为（ ） A. 5 B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】 【分析】利用乘法分配律和二项式展开式通项公式，求得3x 的系数. 【详解】依题意，展开式中3x 的项为()12243355151015x C x C x x x x⋅+⋅=+=，所以3x 的系数为15. 故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查乘法分配律，属于基础题.5.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为135，180，则输出的a =（ ）A. 0B. 5C. 15D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，列出算法循环的每一步，结合判断条件，可得输出的a 值. 【详解】运行该程序，输入135a =，180b =， 则a b ，且a b <，可得135a =，18013545b =-=； 则a b ，且a b >，可得1354590a =-=，45b =； 则ab ，且a b >，可得904545a =-=，45b =；则a b =，退出循环，输出45a =. 故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，直线9x =与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O为坐标原点.若OPQ △为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B.3C.43D.【答案】B 【解析】 【分析】由OPQ △为正三角形，可得π6QOx ∠=，从而可知双曲线C 的渐近线为y x =，即可求出b a 的值，再结合离心率c e a ==.【详解】依题意得OPQ △为正三角形，所以π3POQ ∠=，结合对称性可知，π6QOx ∠=，所以双曲线C 的渐近线为y x =，即b a =所以离心率3c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 7.东京夏季奥运会推迟至2021年7月23日至8月8日举行，此次奥运会将设置4⨯ 100米男女混泳接力赛这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有（ ） A. 144种 B. 8种 C. 24种 D. 12种【答案】B 【解析】 【分析】由甲只能承担仰泳或者自由泳，可分为两种情况，分别讨论，进而利用分类加法计数原理，可求出答案.【详解】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有122C =种安排方法，其他两名运动员有222A =种安排方法，共计224⨯=种方法；若甲承担自由泳，则乙运动员有122C =种安排方法，其他两名运动员有222A =种安排方法，共计224⨯=种方法.所以中国队参赛共有448+=种不同的安排方法. 故选：B .【点睛】本题考查排列组合，考查分类加法计数原理的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 8.已知直三棱柱111ABC A B C -玉石，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，14cm AA =，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）2cm .A.8π3B.32π3C. 16πD.64π3【答案】C 【解析】 【分析】由222AB AC BC =+，可知ABC 为直角三角形，可求得Rt ABC △的内切圆的半径r ，可知12AA r =，从而将此玉石加工成一个球，此球是该三棱锥的内切球时，球的表面积最大，且内切球半径R r =，求出该球的表面积即可.【详解】在ABC 中，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，则222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，在Rt ABC △中，设内切圆的半径为r ，则()1168681022r ⨯⨯=++，即2cm r =， 因为12AA r =，所以将此玉石加工成一个球，要求此球的最大表面积，此球应是直三棱的内切球，球的半径R 等于底面直角三角形内切圆的半径，即2cm R =， 所以该球的最大表面积为24π16πS R ==. 故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征、内切球的表面积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A. 335π11π2π,2πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B. 335π11π4π,4πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C. 33π5π2π,2πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈ZD. 33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知函数()f x 的周期7ππ233T ⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，结合2πT ω=，可求出ω，再结合函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭，可求出,A ϕ，即可得到函数()f x 的表达式，进而利用平移变换，可得到()g x 的表达式，然后求出单调递增区间即可.【详解】由图象可知，函数()f x 的周期7ππ2π24π33T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，12ω∴=. 又函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， ππsin 036f A ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2π6n ϕ+=∴()n ∈Z ，π2π6n ϕ=-∴，π2ϕ<，π6ϕ∴=-，又()π30sin sin 62f A A ϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，3A ∴=，()1π3sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.∴()π1π3sin 323g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π1ππ2π2π2232k x k -+≤-≤+()k ∈Z ，得π5π4π4π33k x k -+≤≤+， 故()g x 的单调递增区间为33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . 选择：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式、图象的平移变换及单调递增区间，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.定义在R 上的奇函数()f x 在,0上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】易知()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可判断出0.822log 5log 4.122>>>，结合函数的单调性可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】由()f x 是定义域为R 的奇函数，且在(),0-∞上是增函数， 则()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()2log 4.1b f =，()0.82c f =，易知222log5log 4.1log 42>>=，而10.822<，所以0.822log 5log 4.12>>.所以()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即c b a <<.故选：A.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说法中：①PQ 可能与平面11CDD C 平行； ②PQ 与BC 所成的角的最大值为π3； ③1CD 与PQ 一定垂直； ④2PQ ≥⑤PQ 与1DD 5. 其中正确个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】结合空间中线线、线面、面面间的位置关系及正方体的性质，对题中5个说法逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，当Q 为11B C 的中点时，因为1//C Q PD 且1C Q PD =，所以四边形1C QPD 是平行四边形，所以1//PQ C D ，又因为PQ ⊄平面11CDD C ，1C D ⊂平面11CDD C ，所以//PQ 平面11CDD C ，故①正确； 对于②，当Q 为11B C 的中点时， 1//PQ C D ，又111B C C D ⊥，11//BC B C ，可得PQ BC ⊥，此时PQ 与BC 所成的角为π2，故②错误； 对于③，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，且1111C DB C C =，可得1CD ⊥平面11ADC B ，又PQ ⊂平面11ADC B ，故1CD PQ ⊥，故③正确；对于④，当Q 为11B C 的中点时，线段PQ 的长为两平行线11,AD B C 之间的距离，且12PQ C D AB ==，故2PQ AB ≥，即④正确；对于⑤，如图，点E 为11A D 中点，连结,PE QE ，因为1//PE DD ，所以PQ 与1DD 所成角的正切值即为PQ 与PE 所成角的正切值，为EQPE，点Q 为11B C 上移动，PEQ 始终为直角三角形，当Q 与1B 或1C 重合时，EQ 取得最大值，此时PQ 与PE 所成角的正切值最大，且PQ 与PE 所成的角也最大，设正方体边长为2，则2PE =，221215EC =+=，所以所成最大角的正切值为5，故⑤正确. 所以正确的个数为4. 故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及其应用，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A. ln 212-B. ln 212+C. 2D.2【答案】D 【解析】 【分析】易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为1y x =-，且()ln 10xx x x-≥>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =. 【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e x y '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x -'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ 的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,3a =，()3,b m =，且0a b ⋅=，则向量a 在向量()a b -上的投影为__________.【解析】 【分析】由0a b ⋅=，可求出m ，进而由向量a 在()a b -上的投影为()aa b a b⋅--，求解即可.【详解】因为630a b m ⋅=+=，解得2m =-，所以()3,2b =-，()1,5a b -=-， 所以向量a 在()a b -上的投影为()262125a ab a b⋅-==+-. 故答案为：262. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14.某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名.若a ，b 满足不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z =__________.【答案】13 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可求出+a b 的最大值. 【详解】如图所示，画出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当6a =，7b =时，+a b 取得最大值. 故()max 6713a b +=+=，即13z =. 故答案为：13.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，考查数形结合的思想在解题中的应用，属于基础题. 15.已知A ，B 是抛物线22y x =上的两个动点，O 为坐标原点且满足0OA OB ⋅=，直线AB 与x 轴交于点M ，当2AM BM =时，直线AB 斜率为__________.【答案】 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为x my t =+，与抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由0OA OB ⋅=，可得12120x x y y +=，结合韦达定理，可求出124y y =-，由2AM BM =，可得122y y =-，进而可求出,m t 的值，由1AB k m=，可求出直线AB 的斜率. 【详解】由题意，设直线AB 的方程为x my t =+，联立22y x x my t⎧=⎨=+⎩，得2220y my t --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121222y y my y t +=⎧⎨=-⎩，因为0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即22121204y y y y +=，即1212041y y y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为120y y ≠，所以124y y =-，所以2t =， 由2AM BM =，可得122y y =-，所以22222422y m y y +=⎧⎨-=--⎩，解得222y =，212m =，所以2m =±，即1AB k m ==故答案：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查韦达定理的应用，及平面向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 16.已知数列{}n a 满足14a =，144n na a +=-，且()()()()()12232222f n a a a a =--+--+()()()()3412222n n a a a a +--++--，若对()3n n *∀≥∈N ，都有()22f n m m ≥-恒成立，则实数m 的最小值为__________.【答案】1-【解析】 【分析】 易知124422n n n n a a a a +--=-=，可得111122422n n n n a a a a +==+---，从而可得数列22n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，进而可求出22n a -及2n a -的表达式，从而可求出()f n 的表达式，然后求出()f n 的最小值，令()2min 2f n m m ≥-，即可求出实数m 的范围，从而可求出实数m 最小值.【详解】14a =，144n na a +=-， ∴124422n n n na a a a +--=-=， 若存在()2,n n n *≥∈N，使得12n a+=，则2n a =，即112n n a a a -====，显然与14a =矛盾，12n a +∴≠，2n a ≠. 111122422n n n n a a a a +∴==+---，122122n n a a +∴-=--，1221242a ==--，22n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列；2112n n n a ∴=+-=-，22n a n-=， ()()1221122411n n a a n n n n +⎛⎫∴--=⋅=- ⎪++⎝⎭， ()()()()()()()()()122334122222222n n f n a a a a a a a a +∴=--+--+--++--1111144122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭.对()*3n n ∀≥∈N，都有()22f n mm ≥-恒成立，所以()2min 2f n m m ≥-，因为()*3n n ∀≥∈N时，()44141n f n n n ==-++，易知()f n 在[)3,+∞上是增函数，所以()()min 33f n f ==，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤，所以实数m 的最小值为1-. 故答案：1-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7a =，8c =..（1）若sin C =A ；（2）若ABC 的面积为，求ABC 周长.【答案】（1）π3A =；（2）周长为20或15+【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a c A C =，可求出sin A ，易知π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求出角A ； （2）由1sin 2ABC S ac B =△，可求出sin B ，进而可求出cos B ，结合余弦定理，可求出b ，即可求出ABC 的周长.【详解】（1）由已知条件可知，7a =，8c =，sin C =根据正弦定理可得sin sin a cA C=，si 7sin n 8a A c C =∴==， a c <，A C ∴<，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=.（2）因为ABC 的面积为7a =，8c =.1sin 28sin 1032ABC S ac B B ∴===△，53sin 14B ∴=. 2111si s 14co n B B ±=±∴=-. ①若11cos 14B =，由余弦定理得，22222112cos 782782514b ac ac B ⨯=+-⨯⨯-=+=， 5b ∴=，ABC ∴的周长为78520a b c ++=++=；②若1os 14c 1B =-，由余弦定理得，22222112cos 7827820114b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪⎝⎭⨯⨯， 201b ∴=，ABC ∴的周长为2011527081a b c ++=+++=.综上，ABC 周长为20或15201+.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”.“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x （单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y （单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，（例如：若需求量[)80,90x ∈，则取85x =，且85x =的概率等于需求量落入[)80,90的频率），求小王的网店下一个月销售利润y 的分布列和数学期望.【答案】（1）130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤<⎩；（2）0.7；（3）见解析，期望为70900元【解析】 【分析】（1）分别写出[)70,100x ∈和[]100,120x ∈时，利润y 的表达式，进而利用分段函数可得到所求函数； （2）结合（1），令67000y ≥，分[)70,100x ∈和[]100,120x ∈两种情况，分布求出对应x 的范围，结合频率分布直方图，可求出所求概率；（3）由频率分布直方图知，需求量x 可取75，85，95，105，115，结合（1）可得利润y 的所有取值，进而求出对应概率，可求得下一个月销售利润y 的分布列和数学期望.【详解】（1）依题意得，x 表示一个月内的市场需求量，y 表示一个月内经销西凤脐橙的利润，当[)70,100x ∈时，()800500100130050000y x x x =--=-. 当[]100,120x ∈时，80010080000y =⨯=.所以130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤<⎩. （2）由题意令67000y ≥，当[)70,100x ∈时，由13005000067000x -≥，得90x ≥，所以90100x ≤<. 当[]100,120x ∈时，8000067000y =>.综上可知，若利润不少于67000元，则[]90,120x ∈.由频率分布直方图可知，需求量[]90,120x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=， 所以小王的网店下一个月内的利润y 不少于67000元的概率的估计值为0.7. （3）由频率分布直方图知，需求量x 可取75，85，95，105，115. 当75x =时，1300755000047500y =⨯-=； 当85x =时，1300855000060500y =⨯-=； 当95x =时，1300955000073500y =⨯-=； 当105x =时，80000y =； 当115x =时，80000y =.所以()475000.010100.1P y ==⨯=，()605000.020100.2P y ==⨯=，()735000.030100.3P y ==⨯=，()()800000.0250.015100.4P y ==+⨯=.故小王的网店下一个月内销售利润y 的分布列为：y （元） 4750060500 73500 80000 p0.10.20.30.4()475000.1605000.2735000.3800000.470900E y =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.所以小王的网店下一个月内销售利润y 的期望为70900元.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分段函数的应用，考查分布列及数学期望的求法，考查概率的计算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66N 点位置；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）存在，此时N 为BC 的中点. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明PE ⊥平面EBCD ，得到平面PEB ⊥平面EBCD ，故平面PBC ⊥平面PEB ，EM ⊥平面PBC ，得到答案.（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，设2PE EB BC ===，BN x =，计算得到答案. 【详解】（Ⅰ）∵PE EB ⊥，PE ED ⊥，EBED E =，∴PE ⊥平面EBCD .又PE ⊂平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC EB ⊥，∴平面PBC ⊥平面PEB ， 由PE EB =，PM AB =知EM PB ⊥，可知EM ⊥平面PBC ， 又EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC .（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，由PE EB ⊥知//PE MQ ， 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）， 即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角， 不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN ∆中，设BN x =（02x <<），由Rt ~Rt EBN ERQ ∆∆得，BN ENRQ EQ= 即222x x RQ +=，得222RQ x =+，∴24tan MQ x MRQ RQ +∠==， 依题意知6cos 6MRQ ∠=，即24tan 5x MRQ x+∠==，解得1(0,2)x =∈， 此时N 为BC 的中点.综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6，此时N 为BC 的中点.【点睛】本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2P ⎫⎪⎪⎭.（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625 【解析】 【分析】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，可得2b a =，进而将2⎭代入椭圆方程，可求出,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与椭圆方程联立，并消去x 得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，可得0CA CB ⋅=，将其展开并结合韦达定理，可求得65m =，即直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，进而1212ABCS DC y y =-，结合韦达定理，求出最大值即可.【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x yb b+=.将2⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =. 故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式并整理得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=，则()()()()22222214222044k m k m m m k k +---++-=++，化简得()()5620m m --=， 解得65m =或2m =， 因为直线x ky m =+不过点()2,0C ，所以2m ≠，故65m =. 所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121162225ABCSDC y y ⎛=-=⨯- ⎝==， 设211044t t k ⎛⎫=<≤⎪+⎝⎭，则ABCS =在10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增， 当14t =时，1625ABCS ==， 所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查三角形的面积的计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数()()21ln 22f x m x x x m =+-∈R . （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <且()120f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）()f x 的定义域为0,，对()f x 求导，分0m ≤、01m <<和1m ≥三种情况，分别讨论，可求得函数的单调递增区间；（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=有两个不等正根，可求得212x x =-，()112m x x =-，及101x <<，212x <<，由()120f x ax -≥恒成立，可得111112ln 122a x x x x ≤+---恒成立，构造函数()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-，求导并判断单调性可知()()1g x g >，令()1a g ≤即可.【详解】（1）()f x 的定义域为0,，求导得()222m x x m f x x x x -+'=+-=， 令0f x ，得2x 2x m 0-+=，()4441m m ∆=-=-，若1m ≥时，0∆≤，0f x 在0,上恒成立，()f x 单调递增； 若1m <时，>0∆，方程2x 2x m 0-+=的两根为11x =21x =当0m ≤时，10x <，20x >，则()2,x x ∈+∞时，0f x ，故()f x 在()2,x +∞单调递增；当01m <<时，120x x <<，则()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，0f x ，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增.综上，当0m ≤时，()f x的单调递增区间为()1++∞；当01m <<时，()f x的单调递增区间为(0,1，()1+∞；当1m ≥时，()f x 的单调递增区间为0,.（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=的有两个不等正根 ()121241020m x x x x m ⎧∆=->⎪∴+=⎨⎪=>⎩，()112m x x ∴=-，101x <<，212x <<，此时不等式()120f x ax -≥恒成立，等价于()()211111112l 2202n x x x x x x a -+---≥对()10,1x ∈恒成立， 可化为()2111111111112ln 2122ln 1222x x x x x a x x x x x -+-≤=+----恒成立， 令()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-， 则()()()()22241212()1ln ln ln 222222x x g x x x x x x x -'=+--=+-=+---， ()0,1x ∈，ln 0x ∴<，()40x x -<，()0g x '∴<在0,1恒成立，()g x ∴在0,1上单调递减，()()12310112212g x g >=+-⨯-=--∴， 32a ∴≤-. 故实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线112:12x t C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离.【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2224x y -+=；（2【解析】【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案.【详解】（1）曲线1:C 1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=， 其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0，又()1,1M，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.【选修4—5：不等式选讲】23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {}23x x -≤≤ (2) 24a -≤≤【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题x a 2x +≤-在[]1,1-上有解，去绝对值分离变量a 即可.【详解】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤ 等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩ 或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得 2x 3-≤≤，所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-， 所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解，所以，2a 4-≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.。
2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(十九)理科数学
2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合[]{}{}21,1,1,||2,A y y x x B x y x ==-∈-==+则A B =（ ）A. 0,1B. []1,1-C. 0,1D. ∅ 【答案】A 【解析】【分析】求函数[]21,1,1y x x =-∈-的值域化简集合A 的表示，再求出函数y =的定义域化简集合B 的表示，最后根据集合交集的定义结合数轴进行求解即可.【详解】因为[]{}{2|[0,11,1,]|[,,1),2A y y x x B x y ===-∈--===+∞所以A B =[]0,1.故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力. 2.若复数z 满足()()3451i z i -=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 15-C.15D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式化简变形得出()5134i z i-=-，利用复数的除法法则将复数化为一般形式，即可得出复数z 的虚部.【详解】根据已知得()()()()()515134771343434555i i i i z i i i i --++====+--+， 因此，复数z 的虚部为15. 故选：C.【点睛】本题考查复数虚部的求解，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ） A. 4()f x x = B. ()tan 2()22f x x x ππ=+-<<C. ()cos 1f x x =-D. ()23xf x =-【答案】B 【解析】【详解】4()f x x =不是单调函数，0y ≥，不能用二分法求零点；()tan 2()22f x x x ππ=+-<<是单调函数，y R ∈，能用二分法求零点；()cos 1f x x =-不是单调函数，0y ≤，不能用二分法求零点；()23x f x =-不是单调函数，0y ≥，不能用二分法求零点.故选：B5.已知角α顶点为原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()P 在终边上，则()cos 6πα-=（ ）A.12B. 12-D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，代入两角和差余弦公式可求得结果.【详解】()3,1P -在终边上，1sin2α∴==，cos α==，33111cos cos cos sin sin 66622222πππααα⎛⎫∴-=+=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查利用两角和差余弦公式求解三角函数值的问题，涉及到任意角三角函数的定义，属于基础题.6.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A. 32B. 40C.32103D.40103【答案】C 【解析】 【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为2211132π24π24π2323⨯⨯+⨯⨯⨯=，利用张衡的结论可得2π53210π10V 168，，=∴==故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7.已知抛物线2y =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于,A B 两点若双曲线的离心率是3，那么AB =（ ） A. 2 B.43D.3【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，根据双曲线离心率公式，结合双曲线,,a b c 的关系，可以求出,a b 之间的关系， 这样可以求出渐近线方程，通过代入法，结合双曲线的对称性进行求解即可.【详解】抛物线2y =的准线x =22223c c a b a ==+，b a ∴=，因此双曲线的渐近线方程为：y x =， 双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得1,y =根据双曲线的对称性可知：2AB = 故选：A【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，考查了双曲线离心率的计算，考查了双曲线渐近线方程的应用，考查了数学运算能力.8.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7y x =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.9.给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 32种【答案】C 【解析】 【分析】通解：利用分类讨论思想，根据分类加法计数原理进行求解即可；优解：通过分析可知.每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次，这样利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】通解如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.染边1时有3种染法，染边2时有2种染法.()1当边3与边1同色时，边3有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法， 此时染法总数为3212112⨯⨯⨯⨯=(种).()2当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法，则此时共有染法()321121118⨯⨯⨯⨯+⨯=(种). 由分类加法计数原理可得，不同的染法种数为30.优解通过分析可知.每种色至少要染1次，至多只能染2次， 即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次. 染五条边总体分两步.第一步选一色染1次有1135C C 种染法， 第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有1135230C C =种染法，故选：C10.已知0>ω，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( ) A. 15[,]24B. 17[,]24C. 39[,]44D. 37[,]24【答案】D【解析】【详解】函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z .依题意，则有－π＋2k π≤＋＜ωx ＋2k π(ω＞0)得4k －≤ω≤2k －，由－≤0且4k －＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是，故选D.11.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A. 22 B. 23C. 42D. 43【答案】D 【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知：21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OB OA OBπ⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y ===，则：23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤.作出可行域，如图所示．则所求面积1243432S =⨯⨯⨯=. 本题选择D 选项.12.设在R 上可导的函数()f x 满足()()()3100, ,3f f x f x x =--=并且在(,0)-∞上有()21,2f x x '<实数a 满足()()321631836,3f a f a a a a --≥-+-+则实数a 的取值范围是（ ） A. (,3]-∞ B. [3,)+∞ C. [4,)+∞ D. (,4]-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据()212f x x '<这种形式，构造函数()()316g x f x x =-，利用导数判断函数()g x 的单调性，再判断函数()g x 奇偶性，最后利用()g x 的单调性和奇偶性进行求解即可. 【详解】设()()316g x f x x =-， 则()()()21''00,2g x f x x x =-<< 故()()316g x f x x =-在区间(,0)-∞上单调递减.()()()()3311066g x g x f x x f x x ⎡⎤-=---+=⎢⎥⎣⎦-， 故()g x 为偶函数， 在区间(0,)+∞上单调递增.()()()()3216631836,(03)g a g a f a f a a a a --=----+-+≥故原不等式等价于()()6g a g a -≥， 即6,a a -≥平方解得3,a ≤ 故选：A【点睛】本题考查了通过构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性求解不等式解集问题，考查了导数的应用，考查了函数奇偶性的判断，考查了数学运算能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.命题“1x ∀>，都有212x +>”的否定是______.【答案】1x ∃>，有212x +≤ 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定.【详解】全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“1x ∃>，有212x +≤”. 【点睛】本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题.14.设,x y 满足约束条件：0,01,3x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩则10z x y =-的取值范围是________________.【答案】[]19,3- 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内画出约束条件所表示的平面区域，平移直线111010y x z =-，在所确定的平面区域内，找到当该直线在纵轴上的截距最小和最大时所经过的点，求出坐标，代入进行求解即可.【详解】不等式所表示的区城如图，由10z x y =-,得111010y x z =- 平移直线110y x =由图象可知当直线经过点()3,0D 时，直线111010y x z =-的截距最小， 此时z 最大为103z x y =-=；当直线经过B 点时，直线截距最大，此时z 最小，由13x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩即()1,2,B此时1012019,z x y =-=-=-193z ∴-≤≤即z 的取值范围是[]19,3-【点睛】本题考查了线性目标函数的最值问题，考查了数学运算能力和数形结合思想. 15.已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足tan 2tan A c bB b-=，则ABC 面积的最大值为_________． 33【解析】由1r =，利用正弦定理可得：2sin 2sin c r C C ==，2sin 2sin b r B B ==，∵sin tan cos A A A=，sin tan cos BB B =，∴tan sin cos 4sin 2sin 2sin sin tan cos sin 2sin sin A A BC B C B B A B B B--===，∴sin cos cos 2sin sin 2sin cos sin cos A B A C B C A B A=-=-（），即sin cos cos sin sin sin 2sin cos A B A B A B C C A +=+==（），∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =，即3A π=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，∴222222222sin 323bc b c a b c r A b c bc =+-=+-=+-≥-（），∴3bc ≤（当且仅当b c =时，取等号），∴ABC 面积为11333sin 32224S bc A =≤⨯⨯=，则ABC 面积的最大值为334，故答案为334. 16.将正三棱锥P ABC -置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P ABC Q --，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有________________.①PQ ⊥平面ABC ；②若,,,P A B C 在同一球面上，则Q 也在该球面上； ③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则2AB PA =；④若,AB =则PQ 的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据球的几何特征和性质，结合已知逐一判断即可.【详解】由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ ⊥平面,ABC ①正确； 当,,,P A B C 在同一球面上时， 若ABC 的外接圆不是球的最大圆， 则点Q 不在该球面上，②错误； 若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P ABC -的外接球的半径与等边三角形ABC 外接圆的半径相等，设其为R ，则,AB PA ==，则,2AB PA =③错误； 由③的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为ABC 的中心， 即PQ 的中点，④正确. 故正确的说法有①④.【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了多面体外接球的问题，考查了空间想象能力. 三、解答题；共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分，17.已知等差数列{}n a 满足()()()()()*1223n n 1a a a a a a 2n n 1n N+++++⋯++=+∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2数列{}n b 中，1b 1=，2b 2=，从数列{}n a 中取出第n b 项记为n c ，若{}n c 是等比数列，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a 2n 1=-；（2）n 312n4-+．【解析】 【分析】()1对n 赋值为1,2，可得：12a a 4+=，1223a a a a 12+++=，设等差数列的公差为d ，由通项公式解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；()2分别求得1c ，2c ，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式可求得()n 1n 1b 132-=+，再利用分组求和方法即可计算所求和．【详解】()1差数列{}n a 满足()()()()()*1223n n 1a a a a a a 2n n 1n N +++++⋯++=+∈，可得12a a 4+=，1223a a a a 12+++=，设等差数列的公差为d ，可得12a d 4+=，14a 4d 12+=， 解得1a 1=，d 2=， 则()n a 12n 12n 1=+-=-；()2由题意可得11b1c a a 1===，22b 2c a a 3===，可得数列{}n c 的公比为3，n 1n c 3-=，由n n b n c a 2b 1==-， 可得()n 1n 1b 132-=+， {}n b 的前n 项和()n 1n 11T 133n 22-=++⋯++n n 1131312nn 21324--+=⋅+=-． 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、分组求和公式的运用，考查了赋值法及方程思想，还考查化简运算能力，属于中档题．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥； （2）∵F棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=，解得1113 ,,,4222Fλ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222AB AF⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF的法向量(,,)n x y z=，则113222n AB xn AF x y z⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z=，得(0,3,1)n=-，平面ABP的一个法向量(0,1,0)m=，设二面角F AB P--的平面角为θ，则||310cos||||10m nm nθ⋅===⋅，∴二面角F AB P--的余弦值为310.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.如图，已知()1,0A-、()10B,，Q、G分别为ABC的外心，重心，//QG AB.（1）求点C的轨迹E的方程；（2）是否存在过()0,1P的直线L交曲线E于M，N两点且满足2MP PN=，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.【答案】（1）()22103yx xy+=≠；（2）不存在.【解析】【分析】（1）设点()(),0C x y xy ≠，利用重心的坐标公式得出点G 的坐标为,33x y ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出点0,3y Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由QA QC =可得出点C 的轨迹E 的方程； （2）由题意得出直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线L 的方程与曲线E 的方程联立，并列出韦达定理，由2MP PN =，可得出122x x =-代入韦达定理求出k 的值，即可得出直线L 的方程，此时，直线L 过点()1,0-或()1,0，从而说明直线L 不存在.【详解】（1）设点()(),0C x y xy ≠，则点,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于//QG AB ，则点0,3y Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由QA QC =，可得出2224199y y x +=+，化简得2213y x +=.因此，轨迹E 的方程为()22103y x xy +=≠；（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.假设存在直线:1L y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y .将直线L 的方程与曲线E 的方程联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()223220k x kx ++-=，由韦达定理得12223k x x k +=-+，12223x x k =-+. ()11,1MP x y =--，()22,1PN x y =-，2MP PN =，122x x ∴-=，得122x x =-，即122x x =-，()()22221222212432233x x k k k x x k k +⎛⎫+=⋅-=- ⎪+⎝⎭+， 另一方面()2212122122112223x x x x k x x x x k +=++=-=-+，得21k =，解得1k =±. 则直线L 过点()1,0-或()1,0，因此，直线L 不存在.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 20.已知函数()()ln xf x xe a x x =-+.（1）若函数()f x 恒有两个零点，求a 的取值范围； （2）若对任意0x >，恒有不等式()1f x ≥成立. ①求实数a 的值；②证明：()22ln 2sin xx e x x x >++.【答案】（1）(),a e ∈+∞；（2）1a =，②见解析. 【解析】【详解】试题分析： 试题解析：（1）()ln ,0xf x xe a x ax x =-->，则()()()1111xx a f x x e a x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意； 当0a >时，()0f x '=有唯一解0x x =，()f x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，此时00x e x a =，则()()00000min ln x f x f x x e a x ax ==--，注意到00x e x a =，0x →时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞.因此()()()00min ln ln 0,x f x a a ae ax a a a a e -=--=-<⇒∈+∞.（2）①当0a <时，()f x 单调递增，()f x 的值域为R ，不符合题意；当0a =时，则1211122f e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，也不符合题意.当0a >时，由（1）可知，()min ln f x a a a =-，故只需ln 1a a a -≥.令1t a=，上式即转化为ln 1t t ≥-， 设()ln 1h t t t =-+，则()1th t t-'=，因此()h t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()max 10h x h ==，所以ln 1t t ≤-. 因此，ln 11t t t =-⇒=，从而有111t a a==⇒=.故满足条件的实数为1a =.②由①可知22ln x x e x x x x -≥+，因而只需证明：0x ∀>，恒有22ln 2sin x x x x +>+. 注意到前面已经证明：1ln x x -≥，因此只需证明：222sin x x x -+>. 当1x >时，恒有22sin 22x x x ≤<-+，且等号不能同时成立；当01x <≤时，设()222sin g x x x x =-+-，则()212cos g x x x =--'，当(]0,1x ∈时，()g x '是单调递增函数，且()112cos112cos03g π=-<-='，因而(]0,1x ∈时恒有()0g x '<；从而(]0,1x ∈时，()g x 单调递减，从而()()122sin10g x g ≥=->，即222sin x x x -+>.故()22ln 2sin xx e x x x >++.点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数()f x ，利用()f x m >恒成立min ()f x m ⇔>；()f x m <恒成立max ()f x m ⇔<，即可求出参数范围. 21.本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； （3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．【答案】（1） 不变化；（2）121223q q q q --+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小 【解析】【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()112123111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+． 若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()113132111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+， 发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. （2）由题意得X 可能取值为1,2,3∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--， ∴其分布列为:X123P1q()121q q -()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+．（3）()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,1231p p p >>> ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =--+； 若先派乙,再派甲,最后派丙, 则2122123EX p p p p =--+，()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．(二)选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系x y O 中，点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为2cos()6m πρθ+=．m （为实数）． （1）试求出动点的轨迹方程（用普通方程表示） （2）设点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线l 的距离为1,求实数m 的取值范围．【答案】（1）22(3)(1)4x y -+-=；（2）. 【解析】试题分析：（1）由32cos {12sin x y αα=+=+（为参数）消去参数得动点A 的普通方程；（2）由（1）知，动点A 的轨迹是以(3,1)为圆心，2为半径的圆. 直线l 的极坐标方程化为普方程，要使圆上有四个点到的距离为1，则必须满足212m-<,解得.试题解析：（1）由32cos {12sin x y αα=+=+（为参数）消去参数得：22(3)(1)4x y -+-=故动点A 的普通方程为22(3)(1)4x y -+-=；（2）由（1）知，动点A 的轨迹是以(3,1)为圆心，2为半径的圆.由2cos()6m πρθ+=展开得：3cos sin 0m ρθρθ--=,∴的普方程为：30x y m --=.要使圆上有四个点到的距离为1，则必须满足212m -<,解得. 考点：1、极坐标方程；2、参数方程.【方法点睛】（1）先由32cos {12sin x y αα=+=+（为参数）消去参数得故动点A 的普通方程.然后由直线l 的极坐标方程得直线l 的直角坐标方程.由平面几何知识可知要使圆上有四个点到的距离为1，则必须满足212m -<，从而得到关于m 的不等式，解得.把直线l 的参数方程化为普通方程，把曲线C 的参数方程化为直角坐标方程能够简化解题过程.23.设函数()23f x x x x m =-+---，1,4()x R f x m ∀∈-≥恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）求证：(1)(2)log (2)log (3)m m m m -++>+ 【答案】（1）()0,∞+；（2）详见解析.【解析】 【分析】 （1）由1,4()x R f x m ∀∈-≥恒成立，转化为1234m x x x m+≥-+-++恒成立，令()234g x x x x =-+-++，求得函数的最大值，得到m 的不等式，即可求解. （2）转化为证明()()()()12log 2log 3m m m m +++>+，利用基本不等式，即可作出证明. 【详解】（1）由题意知1,4()x R f x m ∀∈-≥恒成立，即1423x x x m m -≥-+---恒成立，即1234m x x x m+≥-+-++恒成立. 令()234g x x x x =-+-++33,2,1,23,5, 3.x x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩可得函数()g x 在(],3-∞上是增函数，在()3,+∞上是减函数，所以()()max 32g x g ==，则()max 12m g x m+≥=， 即120m m +-≥，整理得()221210m m m m m--+=≥，解得0m >， 综上实数m 的取值范围是()0,∞+.（2）由0m >，知3211m m m +>+>+>，即()()lg 3lg 2m m +>+()lg 1lg10m >+>=，所以要证()()()()12log 2log 3m m m m +++>+，只需证()()()()lg 2lg 3lg 1lg 2m m m m ++>++， 即证()()()2lg 1lg 3lg 2m m m +⋅+<+，又()()()()2lg 1lg 3lg 1lg 32m m m m +++⎡⎤+⋅+<⎢⎥⎣⎦()()2lg 134m m ++⎡⎤⎣⎦=<()()222lg 44lg 24m m m ⎡⎤++⎣⎦=+， ()()()()12log 2log 3m m m m ++∴+>+成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的恒成立问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.。
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(十九)理科数学
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（共12小题）．1.已知集合24120{15|}{|}A x x x B x x =+﹣＜，＝﹣＜＜，则A B =（ ）A. (12)-， B. (15)-， C. [2,5)D. [1,2]-【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵{|},{}615|2A x x B x x =<<=<<--， ∴()12AB =-，．故选：A ．【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于根据题意准确求解二次不等式，根据交集运算法则求解.2.已知复数z 满足1z i +=，且2z =，则z =（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 2i -D. 2i【答案】C 【解析】 【分析】第一种做法，赋值法验算结果，可选出答案；第二种做法，设z a bi =+，根据复数模的定义，列出方程组，求出0a =，2b =-，可选出答案【详解】解法一：赋值法，将A ，B ，C ，D 四个选项中的值代入题目条件验算，可知C 选项为正确答案；解法二：设z a bi =+，∵1z i +=，2z = ，∴22224(1)1a b a b ⎧+=⎨++=⎩，∴02a b =⎧⎨=-⎩ ， ∴2z i =- ， 故选：C【点睛】本题考查复数的模的相关知识，要求学生会计算有关复数的模的题型，会用待定系数法根据复数的模求解复数，为容易题，小记：z a bi =+，则z =.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且72428,7S a a +==，则8a =（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵72428,7S a a +==， ∴1172128,247a d a d +=+=．解得：152a =，12d =．则8517622a =+⨯=．故选：A ．【点睛】此题考查根据等差数列求解基本量，根据通项公式求解指定项，关键在于熟练掌握数列相关公式，准确化简求解.4.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的三个全等的等腰直角三角形是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 23B.43C.83D. 4【答案】B【解析】【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥，放入棱长为2的正方体中，容易求出三棱锥的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是三棱锥，放入棱长为2的正方体中，如图所示；计算该三棱锥的体积为114222323V=⨯⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，利用锥体的体积公式求解，关键在于熟练掌握根据三视图还原几何体的方法.5.如图所示，折线图和条形图分别为某位职员2018年与2019年的家庭总收入各种用途所占比例的统计图，已知2018年的家庭总收入为10万元，2019年的储蓄总量比2018年的储蓄总量减少了10%，则下列说法：①2019年家庭总收入比2018年增长了8%； ②年衣食住的总费用与2018年衣食住的总费相同； ③2019年的旅行总费用比2018年增加了2800元； ④2019年的就医总费用比2018年增长了5% 其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】设该教师家庭2019年收入为x 元，则25%10000030%90%x =⨯⨯，解得108000x =．进而判断出正误．【详解】设该教师家庭2019年收入为x 元，则25%10000030%90%x =⨯⨯，解得108000x =．可得：①2019年家庭总收入比2018年增长了1080001000008%100000-=，正确；②虽然年衣食住的总费用占用家庭总收入的比例25%，但是家庭总收入不一样，因此年衣食住的总费用与2018年衣食住的总费不相同，不正确；③2019年的旅行总费用比2018年增加了()10800010000035%2800-⨯=元，正确； ④2019年的就医总费用比2018年增长了15%10800010%1000006.2%1000000⨯-⨯==，因此不正确．其中正确的个数为2． 故选：B ．【点睛】此题考查统计图表的识别，并进行判断，关键在于准确读图，提取有用信息，计算相关结果. 6.函数()2sin(),(0,||)2f x x πωϕωϕ=±><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 在区间π(,0)2-上单调递增 B. 函数()f x 的最小正周期为2π C. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6对称 D. 函数()f x 的图象可以由2y x ω= 的图象向右平移5π6个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出最小正周期2πT ω=，求出2ω=，图象平移遵循左加右减，结合图象分析对称中心和单调区间，以及平移方式. 【详解】如图所示，可得741234T πππ=-=，∴2,,2T πππωω===∵图象过两点7(,0),(,2)312ππ-sin(2)0,sin(2)0,2333k πππϕϕϕπ⨯+=⨯+=⨯+=，23k πϕπ=-，||2ϕπ< 当1k =时，3πϕ=∴函数())3f x x π=+A ：222()232k x k k z πππππ-+++∈，解得子51212k x k ππππ-+，当0k =时，51212xππ-为递增区间，A 中π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭超出了范围，所以A 错 B ：最小正周期πT =（已求），所以B 错 C ：对称中心为2,()326k x k x k z ππππ+==-∈，当1k =时，π3x =，所以对称中心为π(,0)3，所以C 错D ：())))36f x x x ππ=+=+，所以函数图象可以由y x ω=向右平移56π个单位得到． 故选：D ．【点睛】此题考查三角函数图象与性质的综合应用，关键在于熟练掌握三角函数的性质，根据图象求解解析式，根据解析式或图像关系求解单调区间，对称中心.7.设函数()f x 的定义域为()0+∞，，满足(2)2()f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，23()log (2)log (1)f x x x =+⋅+，则(7)f =（ ）A. 1B. 2C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()()()()7254381f f f f ===，结合函数的解析式求出()1f 的值，计算可得答案．【详解】根据题意，()1f 满足()(2)2f x f x +=，则()()()()7254381f f f f ===， 又由当(]0,2x ∈时，()23log (2)log (1)f x x x =+⋅+， 则23(1)log 3log 21f =⋅=，则()()7818f f ==； 故选：D ．【点睛】此题考查求函数值，关键在于准确弄清函数关系，结合对数求解，易错点在于漏掉考虑函数定义域.8.双曲线E ：22221x y a b-=的一条渐近线与圆()22:34C x y -+=相交于,A B 若ABC 的面积为2，则双曲线E 的离心率为（ ）A.5B.5C.7D.7【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，进一步求得弦长，利用三角形面积公式列式求解．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线：0bx ay -=，与圆()2234x y -+=相交于A B 、两点，圆的圆心()30，，半径为2，圆心到直线的距离为：d =，弦长||AB ==可得：122=，整理得：2227a b =，即()22227a a c -=，解得双曲线E 的离心率为7． 故选：C ．【点睛】此题考查求双曲线离心率，关键在于熟练掌握双曲线与圆的几何性质，构造齐次式求解离心率.9.在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若cos cos 2a B b Abc +＝，且1cos 4S c A =，则A =（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式可得sin 2sin C b C =，解得12b =，进而根据三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式即可求得tan 1A =，结合范围()0,A π∈，可求A 的值．【详解】∵cos cos 2a B b A bc +=，∴由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin A B B A b C +=， ∵sin cos sin cos sin()sin 0A B B A A B C +=+=≠，∴sin 2sin C b C =，即12b =， ∵111cos sin sin 424S c A bc A c A ===，∴sin cos A A =，即tan 1A =， ∵(0,)A π∈， ∴π4A =． 故选：B ．【点睛】此题考查正弦定理和面积公式的综合应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据两角和的正弦公式化简求解.10.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）A.110B.15C.25D.12【答案】C 【解析】 【分析】从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．【详解】由题意得数字4，9属性金，3，8属性为木，1，6属性为水，2，7属性为火，5，10属性为土，从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82205m p n ===． 故选：C ．【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数. 11.抛物线()2:0E y axa =>过点()2,1，直线l 过点()2,0M 且与抛物线E 交于两点,A B 与y 轴交于点C ，则下列命题：①抛物线E 的焦点为1(0,)16F②抛物线E 的准线为1y =-； ③2MA MB MC =+； ④2MC MA MB =； 其中正确命题有（ ） A. ①② B. ①④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】抛物线2:(0)E y ax a >＝过点(21)，，可得：14a =，可得抛物线方程为：24x y =．进而判断出①②是否正确．设直线l 的方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，t 为参数，α为直线l 的倾斜角，为钝角，(0,2tan )C α-．代入抛物线方程可得：22cos (4cos 4sin )40t t ααα⋅++=﹣，利用1212224sin 4cos 4,cos cos a a t t t t a a==-+利用参数方程即可判断出③④是否正确． 【详解】抛物线2:(0)E y ax a =>过点(21)，，可得：14a =，解得14a =． ∴抛物线方程为：24x y =．∴12p =．∴抛物线E 的焦点为1(0)F ，；抛物线E 的准线为1y =-； 设直线l 的方程为：2cos sin x t y t aα=+⎧⎨=⎩，t 为参数，α为直线l 的倾斜角，为钝角，(0,2tan )C α-．代入抛物线方程可得：22cos (4cos 4sin )40t t ααα++=﹣， ∴1212224sin 4cos 4,cos cos a a t t t t a a==-+ 1224sin 4cos ||||,cos a a MA MB t t a -∴+=+=24||||cos MA MB a ⋅=．2224,cos cos MC MC αα===-． 21224,||||2||:||||cos t t MA MB MC MC MA MB α=∴+≠=⋅综上只有②④正确． 故选：D ．【点睛】此题考查根据抛物线上的点的坐标求抛物线方程得焦点坐标和准线方程，根据直线与抛物线的位置关系求解线段相关关系.12.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x >时，211,01()1,1x f x xx nx x ⎧-<<⎪=⎨⎪>⎩，且()00f =，则不等式(31)(21)(1)f x f x f x -<-<-的解集为（ ）A. 1(0,)3B. 2(0,)5C. 222(0,)(,)553D.112(0,)(,)335【答案】D 【解析】 【分析】运用导数判断()f x 在[(0,1),1,)+∞的单调性，可得()f x 在(0)+∞，递增，由偶函数的性质可得()()f x fx ＝，可将原不等式的“f ”去掉，解不等式可得所求解集．【详解】当0x >时，211,01()1,1x f x x x nx x ⎧-<<⎪=⎨⎪≥⎩由1x ≥时，()f x xlnx ＝的导数为()1ln 10f x x '=+≥＞，可得()f x 在[1)+∞，递增； 又01x <<时，()21f x x -=-的导数为3()20f x x -'=＞，可得()f x 在0,1递增，且111ln10-==，可()f x 在0,递增．又()f x 是定义域为R 的偶函数，可得()()f x fx ＝，由()00f =，不等式()()()31211f x f x f x -<-<-， 即为()()()31211||||||f x f x f x -<-<-，由f x （）在0,递增，可得0|31||21||1|x x x <-<-<-，化为13205203x x x ⎧≠⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩解得103x <<或1235x << 则原不等式的解集为112(0,)(,)335故选：D ．【点睛】此题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，根据分段函数单调性，结合函数奇偶性解决不等式问题，涉及等价转化思想. 二、填空题13.设向量(2,)a m =-，(3,4)b =，且||||a b b -=，则m =________． 【答案】4 【解析】 【分析】可求出(5,m 4)a b -=--），从而根据a b b -=即可得出()240m -=，解出m 即可． 【详解】(5,m 4)a b -=--，且a b b -=， 5=，∴225(4)25m +-=，解得4m =．故答案为：4．【点睛】此题考查平面向量基本运算的坐标表示，根据平面向量线性运算和模长关系的坐标表示求解参数的取值.14.已知()πtan()2,0π4αα+=∈，，则sin cos αα+=_________．【答案】5【解析】 【分析】先根据两角和的正切展开求得1tan 3α=，再结合同角三角函数的基本关系式求得sin ,cos αα，即可求得结论．【详解】∵()tan()2,0,4a a ππ+=∈，∴tan 112tan 1tan 13a a α+=⇒=-⨯∴α为锐角；且cos 3sin αα=；① ∵22sin cos 1αα+=②；∴联立①②可得：cos 10α=,10sin α=∴sin cos αα+==． 【点睛】此题考查同角三角函数关系解决三角恒等变换解决给值求值的问题，关键在于熟练掌握和差公式和同角三角函数基本关系，根据公式准确计算. 15.已知函数()f x 为偶函数，当0x >时，()1ln x f x x e -=+，则函数()f x 在1x =-处的切线方程为________． 【答案】210x y ++= 【解析】 【分析】依题意，可求得0x <时的解析式为()ln()1f x x x =--+，求导，可得曲线()y f x =在1x =-处的切线的斜率，继而可得答案．【详解】因为函数()f x 是偶函数，当0x >时，()1ln x f x x e=+﹣，所以当x <0时，0x -＞，所以()()()1ln x f x f x x e --=-=-+，所以()11f -=， 又111()x f x x e+'=-， 所以()12f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为210x y ++=． 故答案为：210x y ++=．【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导函数求得切线斜率，利用直线经过的点和斜率写出切线方程.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB BC ⊥，244BC AB AD ===，将直角梯形ABCD 沿对角线BD 折起，使点A 到P 点位置，则四面体PBCD 的体积的最大值为________，此时，其外接球的表面积为________．【答案】 (1). 515(2). 65π4 【解析】 【分析】四面体PBCD 的体积的最大值时，面PBD ⊥面DBC ，点P 到面DBC 的距离为PDB △斜边DB 上的高h ．求得h 即可求得四面体PBCD 的体积的最大值，PDB △的外心为斜边DB 的中点M ，DBC △的外心为O ，过M 作面PDB 的垂线，过O 作面BDC 的垂线，两垂线的交点即为球心，由面PBD ⊥面DBC ，即可得O 即为球心，利用正弦定理即可得DBC △的外接圆半径即为球半径．【详解】如图，四面体PBCD 的体积的最大值时，面PBD ⊥面DBC ， 点P 到面DBC 的距离为PDB △斜边DB 上的高h ． ∵1122AB AD BD h ⋅=⋅，5h =故最大体积为11185423325DBC V S h =⋅=⨯⨯⨯= PDB △的外心为斜边DB 的中点M ，DBC △的外心为O ，过M 作面PDB 的垂线，过O 作面BDC 的垂线，两垂线的交点即为球心． ∵面PBD ⊥面DBC ，∴O 即为球心，DBC △的外接圆半径即为球半径．∴65522sin13BDRBCD===∠∴外接球的表面积为2654π4S R==．故答案为：8565,π154．【点睛】此题考查平面图形的折叠问题，求体积的最值和几何体外接球表面积，关键在于熟练掌握几何体的特征，根据线面位置关系求解.三、解答题17.已知数列{}n a的前n项和为n S，且*45,5n nS a n N+=∈．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足：51(1)1nnbn og a=+设数列{}nb的前n项和为nT，证明：1nT<【答案】（1）*,5nna n N=∈；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用公式11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-⎩进行计算并转化可发现数列{}n a是以5为首项，5为公比的等比数列，即可计算出数列{}n a的通项公式：（2）根据第（1）的结果计算出数列{}n b的通项公式，然后运用裂项相消法．计算出前n项和2T，最后应用放缩法证明结论成立．【详解】（1）由题意，当1n=时，11145455S a a+=+=，解得15a=．当2n≥时，由455n nS a+=，可得：11455n n S a+=﹣﹣，两式相减，可得114455n n n n S S a a -=-﹣﹣， ∴1455n n n a a a -=-，即15n n a a -=．∴数列{}n a 是以5为首项，5为公比的等比数列，∴1*55,5n n n a n N -=⋅=∈．（2）由（1）知，5511111(1)1log (1)15(1)1n n n b n a n og n n n n ====-++++12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1111112231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111n =-<+，故得证．【点睛】此题考查求数列通项公式和利用裂项相消求前n 项和，证明不等式，关键在于熟练掌握数列的常见处理办法.18.如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA AB AC ==．（1）求证：DA ∥平面EBC ； （2）若π2BAC =，DE ⊥平面BCE ，求二面角A DC E --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于点H ，由已知利用面面垂直的性质可得EH ⊥平面ABC ，结合DA ⊥平面ABC ，得//AD EH ，再由线面平行的判定可得//DA 平面EBC ；（2）由已知证明四边形DAHE 是矩形，以A 为坐标原点，分别以AC AB AD ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，分别求出平面DEC 的一个法向量与平面DAC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A DC E --的余弦值．【详解】（1）证明：过点E 作EH BC ⊥于点H ，∵平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE ⊥平面,ABC BC EH =⊂平面BCE ， ∴EH ⊥平面ABC ，又∵DA ⊥平面ABC ，∴//AD EH ， ∵EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ， ∴//DA 平面EBC ；（2）∵DE ⊥平面BEC ，∴π2DEB DEC ∠=∠=， 又∵DB DC DE DE DEB DEC ==∴，，△≌△，则BE CE =， ∴点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH BC ⊥， ∴AH ⊥平面EBC ，则,//DE AH AH EH ⊥． ∴四边形DAHE 是矩形．以A 为坐标原点，分别以,,AC AB AD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 设2DA a =，则(,,2),(2,0,0),(0,0,2)E a a a C a D a ， 设平面DEC 的一个法向量为(,,)n x y z =， ∵(,,0)DE a a =，(2,0,2).DC a a =-由0220n DE ax ay n DC ax az ⎧⋅=+=⎨⋅=-=⎩取1x =，得(1,1,1)n =-；又平面DAC 的一个法向量为(0,1,0)m =， 设二面角A DC E --的平面角为θ，cos θcos m =<，||3||||m n n m n ⋅>==⋅，二面角A DC E --是钝角，则二面A DC E --的余弦值为【点睛】此题考查线面平行的证明和求二面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小.19.已知椭圆2222:1x y C a b+=，右顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，2OA OF =，椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点D E ，（D 在B E ，之间），求OBD 与OBE △面积之比的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）(743,1).- 【解析】 【分析】（1）由2OA OF =椭圆C 过点3(1,)2-，及a b c ，，之间的关系，可得a b ，的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立由>0∆，可得斜率的范围，求出两根之和及两根之积，求出面积之比可得C D ，的横坐标之比，代入两根之和及两根之积，可得k 的表达式，进而求出面积之比的范围．【详解】（1）由2,OA OF =，可得，2a c =，且过点3(1,)2-，则221914a b+=，，故解得：2a =，3b =所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：2y kx =+，设1222,),,()(D x y E x y ，将l 的方程代入22143x y +=，整理可得：22(34)1640k x kx +++=，>0∆，可得：21212221164,,43434k k x x x x k k >+=-=++ * ， 令1122||||21||||21OBDOBEOB x S x t S x OB x ===△△，且01t << 将12x tx =代入*可得()2222216134434k t x k tx k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得：222(1)64.34t k t k +=+ 所以2223(1)1,45644t k t t +=>-+-解得：71t -<< 所以OBD 与OBE △面积之比的取值范围：(7-【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系，求解三角形面积关系，结合韦达定理处理根的关系利于解题.20.2020年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命．随着疫情的发展，自2020年2月5日起，武汉大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了14家方舱医院，其中武汉体育中心方舱医院从2月12日开舱至3月8日闭仓，累计收治轻症患者1056人．据部分统计该方舱医院从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与散点图如下：根据散点图和表中数据，某研究人员对出仓人数y 与日期序号x 进行了拟合分析．从散点图观察可得，研究人员分别用两种函数①2ˆy mx p =+②txy ke =分析其拟合效果．其相关指数R 2可以判断拟合效果，R 2越大拟合效果越好．已知2y mx p =+的相关指数为20.89R =．（1）试根据相关指数判断．上述两类函数，哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系数r 与相关指数R 2满足22R r =，参考数据表中2ln ,u y v x ==）（2）①根据（1）中结论，求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位） ②3月3日实际总出仓人数为216人，按①中的回归模型计算，差距有多少人？（附：对于一组数据(1,,,))(2,i i x y i n =⋅⋅⋅，其回归直线为ˆˆˆybx a =+ 相关系数()()()()()()()11222111ˆˆ,,ˆnniiiii i n nni iii i i x x yy x x yy r by bx x x x y a x y=====----===---⋅-∑∑∑∑∑参考数据：xyv u(61ii v =∑2)v -1(b ii y =-∑ 2)y(61ii u =∑ 2)u -()()61iii x u u x =--∑ ()()61iii v yy v =--∑3.5 49.17 15.17 3.13 894.83 19666.83 10.55 13.56395708317.5 4.18≈10.55 3.25≈，0.418 1.520e ≈， 5.425227e ≈．【答案】（1）回归方程的拟合效果更好；（2）①0.7751.520xy e =．②相差129人．【解析】【分析】（1）由相关数据和参考公式求出相关系数r 即可得解；（2）①根据参考公式求出ˆˆ,ab 这两个系数，从而得到ln 0.7750.418y x =+，于是可知回归方程；②把7x =代入①中求出的回归方程即可得解．【详解】（1）由tx y ke =得，ln ln y tx k =+，令ln u y =， 由上表得：662113.5, 3.13,()10.55,)13.5(6)(i i i i i x u u u x x u u ====-=--=∑∑， 又由已知计算621()17.5,i i x x =-=∑ ∴()()13.560.9984.18 3.25n i ix x y y r --===≈⨯∑ 故由220.9960.89R r ==>，因此回归方程的拟合效果更好．（2）①()()()6162113.560.77517.5ii i i i x x u u t b x x ==--===≈-∑∑ ∴ˆˆˆ1 3.130.775 3.50.418nk b a u bx===-=-⨯≈， 故ln 0.7750.418y x =+，即回归方程为0.7750.4180.7751.520x x y e e +==．②当序号7x =时，0.7757 5.4251.520 1.520 1.520227345y e e ⨯==⨯=⨯≈，而3月3日实际出仓人数为216人，相差129人．【点睛】此题考查根据相关指数判断拟合函数的效果，通过换元法求解回归方程，关键在于熟练掌握相关公式的应用，根据给定数据计算求解.21.已知函数()()22cos 0f x x x x =+≥． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，对任意0[)x ∈+∞，，证明：2sin cos ax x e x +≤+． 【答案】（1）单调递增区间[0,)+∞；（2）见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）结合（1）可知，结合已知不等式的特点，合理的构造函数，结合函数的性质及导数可证．【详解】（1）函数的定义域()0),22sin [f x x x '+∞=-，， 设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以sin 0x x -≥，()22sin 0f x x x '=-≥，所以()f x 的单调递增区间[0,)+∞，（2）由（1）可知()02f x f ≥=（）， 即22cos 2x x +≥，即21cos 12x x -+ 因为1a ≥，所以ax x e e ≥，∴21cos 12ax x e x e x +-+①， （1）知，sin 0x x -≥，∴sin ,2sin 2x x x x ≤+≤+②， 由①②知，要证原不等式，知21122x e x x -++即2110,2x e x x --- 21()12x h x e x x =---，则()1x h x e x '=--， 设()=1x x e x ϕ--，则()=1x x e ϕ'-，∵0x ≥，则()0x ϕ'≥，则()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ≥=，即()0h x '≥，故()h x 在[0,)+∞上单调递增，故()()0h x h x ≥=， 所以21102x e x x ---≥， 故2sin cos ax x e x +≤+．【点睛】此题考查导数的应用，根据导函数讨论函数的单调性，通过等价转化，构造函数，结合函数单调性证明不等式.请考生在第22，23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的参数方程为244x at y at=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >），曲线C 2的极坐标方程为：πcos(θ)104+-=．且两曲线1C 与C 2交于M N ，两点． （1）求曲线C C 12、的直角坐标方程；（2）设()1,2P --，若PM MN PN ，，成等比数列，求a 的值． 【答案】（1）24x ay =，10x y --=；（2【解析】【分析】（1）由曲线1C 的参数方程，消参能求出曲线1C 的直角坐标方程；曲线2C 的极坐标方程转化为cos sin 10ρθρθ--=，由此能求出曲线2C 的直角坐标方程． （2）设直线的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将参数方程代入曲线24x ay =，得21)1620t a t a -+++=，由此能求出实数a 的值．【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为244x at y at=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）， 消参得曲线1C 的直角坐标方程为24x ay =．∵曲线2Ccos()104πθ+-=． ∴cos sin 10ρθρθ--=，∴曲线2C 的直角坐标方程为10x y --=．（2）由直线10x y --=过点(1,2)P --，且倾斜角为π4，设直线的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 将参数方程代入曲线24x ay =，得：21)1620t a t a -+++=，28(21)4(162)0a a -∆=++＞，解得1a >，且12.1)t t a +=+，12162t t a =+⋅， 由,||,||PM MN PN 成等比数列，得2MNPM PN =，由直线参数方程的几何意义知 21212||||t t t t -=，即2121212|||4|t t t t t t +-＝∵120t t ＞，22121258215(1|62|)t t t t a a ∴+∴+==+，（）， 化简为216241=0a a --，解得a =或a =（舍）， ∴实数a【点睛】此题考查极坐标与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，根据直线参数方程与曲线普通方程关系结合韦达定理求解含参问题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知实数a b c ，，满足1a b c ++=，||||||3a b c a b c ++=； （1）求证：111(1)(1)(1)8a b c ---；（2）当（1）中不等式取等号时，且关于x 的不等式2113|x x x x t a b c +--++的解集非空，求t 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）136t ≤【解析】【分析】（1）首先判断0,0,0a b c >>>，再将原不等式的左边变形，运用基本不等式和不等式的性质，即可得证；（2）由（1）将原不等式化为2||339x x x x t ≥-+-++，即23|93|t x x x x ++--≤--的解集非空，构造函数()2=933||f x x x x x --++--，则max t f x ≤（），由绝对值的意义，去绝对值，运用二次函数的最值求法，可得所求．【详解】（1）证明：由1a b c ++=，且||||||3a b c a b c++=， 可得0,0,0a b c >>>，则1112(1)(1)(1)8b c c a a b bc a b c a b c +++---=⋅⋅⋅= 当且仅当13a b c ===取得等号； （2）由（1）可得13a b c ===，则原不等式2||339x x x x t ≥-+-++， 即23|93|t x x x x ++--≤--的解集非空，设()2||933f x x x x x =-+-+--，则()max t f x ≤， 当3x ≥时，()296f x x x --=+递减，可得()78f x ≤-； 当33x -<<时，()29f x x x =-+的最大值为11()1836f =；当3x ≤-时，()296f x x x --=-递增，可得()84f x ≤-； 即有()f x 的最大值为136， 所以136t ≤ 【点睛】此题考查不等式的证明，利用基本不等式证明不等式，利用分段讨论求解绝对值函数的最值，解决不等式恒成立求参数范围问题.。
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(九)理科数学
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜2x －2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3） 2．已已已已已已已已“”已“”已已 已 A已已已已已 B已已已已已已已已 C已已已已已已已已D已已已已已已已已已已已3．已已已已已已已已 已 A已B已C已D已4．已已已已已已已已已已已已已已已已已已已 已A已B已C已D已5已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已 已 A已已已已已B已已已已已C已已已已已已已已已已 D已已已已已已已已已已6已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已 已A已B已C已0 D已()1,2=-a ()3,m =b m ∈R 6m =-()+∥a a b p 21,2n n n ∃>>p ⌝21,2n n n ∀>>21,2n n n ∃≤≤21,2n n n ∀>≤21,2n n n ∃>≤1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()x f x a =0a >1a ≠R 22()a g x x -=(0,)+∞(,0)-∞(0,)+∞(,0)-∞()f x R [0,1]x ∈3()f x x =x ∀∈R ()(2)f x f x =-(2017.5)f =1818-17 .已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin6πx 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．199.甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“四位同学去的景点不相同”，事件B=“甲同学独自去一个景点”，则P(A|B)=（ ）A.29B.13C.49D.5910.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A．100 B．200 C．300 D．40011.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，A．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D．)22,e ⎡-+∞⎣ 12．已知方程ln ｜x ｜－212mx ＋32＝0有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，22e ）B ．（0，22e ] C ．（0，2e ] D ．（0，2e ）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十九)数学(文科)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260A x x x =--≤，{}20B x x =->，则()R C A B =（ ）A. {}23x x x ≤>或 B. {}23x x x ≤->或C. {}23x x x <≥或D. {}23x x x <-≥或【答案】A 【解析】 【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【详解】{}260{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤,{}{}202B x x x x =->=，则{|23}A B x x ⋂=<≤，{2()R C A B x x =≤∣或3}x >，故选：A.【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，根据不等式先化简集合，再进行集合的运算即可，属于基础题.2.已知复数12iz i+=，则||z =（ ）A.B. 3C. 1D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】可用除法法则计算出复数z ，然后再由模的定义求得模． 【详解】解：∵212(12)()2i i i z i i i ++-===--，∴|z |= 故选A ．【点睛】本题考查复数的除法运算和求复数的模，掌握复数的运算法则和复数的概念是解题基础． 3.命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A. 2,||0x x x ∀∈+<R B. 2,||0x x x ∀∈+≤R C. 2000,0x R x x ∃∈+< D. 2000,0x R x x ∃∈+≥【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定0x R ∃∈，2000x x +<，故选：C.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A. 66B. 90C. 117D. 127【分析】 由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，代入数据可得9S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属于基础题．5.在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC FA +＝ A. BDB.12BD C. ACD.12AC 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则即可求出()()1122EC AC BC FA BC BA ++＝，＝， 所以EC FA BD +＝． 【详解】如图，()()1122EC AC BC FA BC BA ++＝，＝，∴()12EC FA BC BA BD ++＝＝； 故选A ．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算．6.已知tan 2θ=，则sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+--=+--（ ） A. 2B. 2-C. 0D.23由题意得，根据三角函数的诱导公式，可得sin()cos()cos cos 2222cos sin 1tan 12sin()sin()2πθπθθθπθθθθπθ+--+====----+--，故选B. 7.函数()f x = ）A. 01a <<B. 1a >C. 01a <≤D. 1a ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义得到11x -≤≤，再计算定义域0)x a ≤≤>，根据大小关系计算得到答案.【详解】()(),1111f x f x x x =-=+--+-，()f x 为奇函数11211x x x =++-=∴-≤≤考虑定义域：2a x 0-≥即0)x a ≤≤>且0x ≠101a ≤∴<≤ 故选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性，忽略定义域是容易发生的错误. 8.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④C. ①③D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观. 9.函数()1xf x x =-在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. []1,2C. []0,1D. []1,3【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数()y f x =在区间[]2,5上的单调性，可得出max min f -，然后再解不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()()1111111x x f x x x x -+===+---，该函数在区间[]2,5上单调递减， 所以，max min 25321514f -=-=--，由2max min 2f a a --≥-，得2324a a -≤-， 化简得24830a a -+≤，解得1322a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，涉及二次不等式解法的应用，解题的关键就是判断出函数的单调性，并利用单调性求出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（ ） A. ()1e ,1- B. ()1e ,e - C. ()()0,1e,⋃+∞ D. ()()10,e1,-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数的性质可得()f x 在(),0-∞上单调递增，可将问题转化为ln x 和1到对称轴的距离的大小的问题求解．【详解】由题意，根据偶函数()f x 的性质知，()f x 在(),0-∞上单调递增， 又()()ln 1f x f >，所以ln 1x <，解得1ln 1x -<<， 由ln y x =在()0,+∞上为单调递增， 所以1e x e -<<． 故选B ．【点睛】偶函数具有性质()()()f x f x fx -==，利用这一性质，可将问题转化到函数的同一个单调区间上去研究，同时也可将函数值的大小转化为变量到对称轴的距离的大小的问题求解． 11.已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32πB. 24πC.6πD. 6π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，=R =，因此，此球的体积为343π⨯=⎝⎭. 故选C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.12.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右焦点为F ，P 为双曲线C 上的一点，且位于第一象限，直线,PO PF 分别交于曲线C 于,M N 两点，若∆POF 为正三角形，则直线MN 的斜率等于（）A. 2B.2C.2+D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】记双曲线左焦点为1F2c a -=；再设00(,)P x y ，(,)N x y ，得到00(,)--M x y ，由点差法求出200200+-⋅=+-y y y y b x x x x a，得到222213⋅==-=+NM NPb c k k a a. 【详解】记双曲线左焦点为1F ，因为∆POF 为正三角形，所以112=OP FF ， 即190∠=︒F PF ，160∠=︒PFF ， 则有PF c =，1=PF ，2c a -=， 设00(,)P x y ，(,)N x y ，则00(,)--M x y ，所以222222002211 x ya bxya b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得2222002222-=-x yx ya ab b，即200200+-⋅=+-y y y y bx x x x a，即22221323⋅==-=+NM NPb ck ka a，又3NPk=-，则23NMk=--故选D【点睛】本题主要考查双曲线中的直线斜率的问题，熟记双曲线的定义与简单性质即可，属于常考题型.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()()()3?10(){(5)?10x xf xf f x x-≥=+<，则(5)f=____________.【答案】8【解析】试题分析：依分段函数的定义，得(5)((55))f f f=+((10))(103)(7)f f f f==-=((75))((12))f f f f=+= (123)(9)((95))((14))(143)f f f f f f f=-==+==-(11)1138f==-=，即(5)8f=.考点：分段函数求函数值.14.若x，y满足约束条件330, 330, 0,x yx yy⎧-+≥⎪⎪+-≤⎨≥⎪⎩则当13yx++取最小值时，x y+的值为__________．【答案】1【解析】【分析】画出满足条件的可行域，根据目标函数表示可行域内点与(3,1)M--连线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】画出可行域如下图所示，13yx++表示可行域内的点(,)x y与(3,1)M--连线的斜率，根据图形可得，当点0(1)C，点与M连线时，13yx++取得最小值，此时x y+的值为1点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.若4sin3cos0αα-=，则2sin22cosαα+=_________．【答案】5625【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系可得3tan4α=，利用二倍角的正弦函数公式化简，再由已知等式弦化切后代入tanα的值，计算即可求出值．【详解】∵4sin 3cos 0αα-=，3tan 4α=， ∴22222sin cos 2cos sin 22cos cos sin ααααααα++=+ 223222tan 25641+tan 2531+4αα⨯++===⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：5625. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，涉及二倍角公式的应用，解题关键是运用齐次式化正切进行转化求解，属于简单题.16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=，120BCD ∠=，则四边形ABCD 的面积的最大值是 .【答案】33.【解析】【详解】如下图所示，设CD x =，BC y =，由余弦定理可知222cos12012x y xy +-=，即221234x y xy xy xy ++=≥⇒≤，∴1124sin 60sin1203322S x y =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≤， 当且仅当2x y ==时，等号成立，即面积的最大值为33，故填：33.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率. 【答案】（1）23（2）725【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，分别求出文学类图书总数以及正确分类的图书数，即可求出； （2）根据古典概型的概率公式，分别求出图书分类错误的数量以及图书总数，即可求出． 【详解】（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p ==． （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本， 所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，意在考查学生的数据处理能力，属于基础题． 18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若1132a c +=，ABCb .【答案】（1）23B π=（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可将已知等式整理求得tan B ，根据()0,B π∈可求得B ；（2）由三角形面积公式可求得ac ，利用11a c ac a c ⎛⎫+=+⎪⎝⎭求得a c +，利用余弦定理可求得结果. 【详解】（1）∵sin sin 3b C c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴由正弦定理得：sin sin sin sin 3B C C B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∵0C π<< ∴sin 0C > ∴sin sin 3B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴13sin sin cos 2B B B =- ∴tan 3B =- ∵()0,B π∈ ∴23B π=（2）由1123sin sin 3223ABC S ac B ac ac π====△得：4ac = ∴113462a c ac a c ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭∴()222222cos 36142b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-=-=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.19.如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，6AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥； （2）求三棱锥A AMB ''-的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】 【分析】（1）要证AB A M ''⊥，可证A M '⊥平面AB C ''．由平面知识可证得A M AC ''⊥，又B C ''⊥平面ACC A ''可推出B C A M '''⊥，即得A M '⊥平面AB C ''，于是AB A M ''⊥；（2）根据等积法，13A AMB B A MA A MA V V S BC '''''--∆''==⋅，即可求出． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==C M A C A C AA'''=''' ∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A ''， ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥（2）在ABC ∆中，1BC =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒所以AC =1）知B C ''⊥平面ACC A ''由于四边形ACC A ''是矩形，所以1122MA A S AA AC '∆'=⋅==．∴11133A AMB B A MA A MA V V S B C '''''--∆''==⋅==． 【点睛】本题主要考查利用线面垂直的判定定理，性质定理证明线线垂直，以及利用等积法求 三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 20.已知函数().xf x e =（1）讨论函数()()g x f ax x a =--的单调性； （2）证明：()3ln f x xx ++>【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【详解】试题分析: （1）对函数()g x 求导,按0a ≤和0a >分别判断导函数的正负,写出函数的单调性;（2）要证()3ln f x xx ++>只需证()ln 30x x x e +->，由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-，用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln1(0)x x x ≤->，所以1ln 1(0)x x x≥->,将原不等式放缩,即可证得. 试题解析:（1）解：()()(),1axxg x f ax x a e x a g x ae =--=-='--， ①若0a ≤时，()()0,g x g x '<R 上单调递减；②若0a >时，当1ln x a a<-时，()()0,g x g x '<单调递减； 当1ln x a a>-时，()()0,g x g x '>单调递增； 综上，若0a ≤时，()g x 在R 上单调递减； 若0a >时，()g x 在1,ln a a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减； 在1ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明：要证()3ln f x xx ++>，只需证()ln 30xx x e +->， 由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-， 用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln 1(0)x x x≤->， 所以1ln 1(0)x x x≥->， ()1ln 3113x x x e x x x ⎛⎫+->-+++- ⎪⎝⎭()222211x x x =++-=+- (()22110≥-=≥，即原不等式成立.21.已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与曲线C 交于,R S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时总有OTS OTR ∠=∠？若存在，请说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠-（2）()4,0T【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求轨迹方程：先由动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，得12PM R r PN r R =+=-，，从而124PM PN r r +=+=，再由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-（2）条件OTS OTR ∠=∠就是0TS TR k k +=，利用坐标化简得：设()()1122,,,R x y S x y ，则()()12122120x x t x x t -+++=，再联立直线方程与椭圆方程，消去y ，利用韦达定理得21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+，代入化简得4t =试题解析：（1）得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心()1,0N ，半径23r =.设圆P 的圆心为(),P x y ，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以12124PM PN R r r R r r +=++-=+= 由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，其方程为()221243x y x +=≠-（2）假设存在(),0T t 满足OTS OTR ∠=∠.设()()1122,,,R x y S x y 联立()221{34120y k x x y =-+-=得()22223484120kxk x k +-+-=，由韦达定理有21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+①，其中0∆>恒成立，由OTS OTR ∠=∠（显然,TS TR 的斜率存在），故0TS TR k k +=，即12120y yx t x t+=--②， 由,R S 两点在直线()1y k x =-上，故()()11221,1y k x y k x =-=-代入②得：()()()()()()()()()()121212************k x x t x x t k x x t k x x t x t x t x t x t ⎡⎤-+++--+--⎣⎦==----即有()()12122120x x t x x t -+++=③将①代入③即有：()()222228241823462403434k t k t k t k k --+++-==++④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =”时成立，综上所述存在()4,0T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠ 考点：利用椭圆定义求轨迹方程，直线与椭圆位置关系 【方法点睛】1.求定值问题常见的方法有两种（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； （2）若曲线C 上存在点到l，求t 的值. 【答案】(1)(；. 【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式d =，结合题目求得结果解析：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为,x tcos y sin αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >）所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=，由2222,1,x y x y t+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22164140t t ∆=-+-<，解得0t <<故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =，故d的=解得t =.又因为0t >，所以t =.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单 23.已知函数()21f x x =-，x ∈R . (1)解不等式()1f x x <+；(2)若对x ，y ∈R ，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()1f x <. 【答案】（1）{x |0<x <2}．（2）见解析 【解析】 【分析】(1)分段讨论求解不等式即可.(2)利用1x y --与21y +拼凑出21x -再利用三角不等式证明即可. 【详解】(1)∵()1f x x <+,∴|2x －1|<|x |＋1,即12211x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩ 或102121x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩或0121x x x ≤⎧⎨-<-+⎩ 得122x ≤<或102x <<或无解． 故不等式()1f x x <+的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤11521366⨯+=<. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法以及拼凑利用三角不等式证明不等式的方法.属于中等题型.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十九)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十九）数学试题（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.{}|2,x M y y x R -==∈，{|sin ,}N y y x x R ==∈，则MN =（ ） A. (0,1]B. [1,0)-C. [1,1]-D. ∅ 【答案】A【解析】【分析】先分别求出集合M 与N ，再利用集合的交集运算进行求解. 【详解】{}{}20x M y y y y -===>；{}{}sin ,11N y y x x R y x ==∈=-≤≤， ∴(]0,1M N =.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.2.若2()i a R a i+∈-为纯虚数（i 为虚数单位），则a =（ ） A. 2 B. 1 C. 12- D. 12 【答案】D【解析】【分析】 根据复数代数形式的四则运算化简()2222211+1a i i a a i a a ++-=+-+，令22101a a -=+，即可求出a 值. 【详解】()()()()()()222222221222222111+1i a i a a i a i i a i ai i a a i a i a i a i a a a ++-+++++++-====+--+-++， 2()i a Ra i +∈-为纯虚数，∴22101a a -=+，解得12a =， 故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，属于基础题.若复数z a bi =+为纯虚数，则由0a =，0b ≠.3.已知sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭一条对称轴为34x π=，则ϕ=（ ） A. 4π B. 4π- C. 3π D. 6π 【答案】A【解析】【分析】 根据34x π=是sin(3)y x ϕ=+的一条对称轴，求得4k πϕπ=+，再根据ϕ的范围，即可求出ϕ值. 【详解】34x π=是sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴， ∴3342k ππϕπ⨯+=+()k Z ∈，∴4k πϕπ=+()k Z ∈， ||2ϕπ<，∴4πϕ=，【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查运算求解能力，熟练掌握正弦型函数的对称轴是解答本题的关键，属于基础题.求解正弦型函数()sin y x ωϕ=+的对称轴，只需令2x k πωϕπ+=+()k Z ∈，即可解出正弦型函数的对称轴为2k x πϕπωωω=-+()k Z ∈. 4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ） A. y x =±B. 2y x =±C. 12y x =±D. 14y x =± 【答案】B【解析】【分析】直接由双曲线的渐近线的定义，即可求出渐近线方程.【详解】由双曲线的方程可得24a =，21b =，焦点在y 轴上， 所以渐近线的方程为：2a y x x b=±=±， 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.已知双曲线的标准方程，求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程. 5.华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测.A. 3B. 4C. 6D. 7 【答案】B【解析】类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.【详解】先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故选：B.【点睛】本题考查的是二分法的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.6.已知“若p 则q ”为真命题，“若p ⌝则q ⌝”为假命题，则p 成立是q 成立的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】“若p 则q ”为真命题， ∴由p 成立可以推出q 成立，∴p 成立是q 成立的充分条件，“若p ⌝则q ⌝”为假命题，即“若q 则p ”为假命题，∴由q 成立不能推出p 成立，∴p 成立是q 成立的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查的是原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题.若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性没有关系.判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .7.疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ） A. 34 B. 712 C. 23 D. 56【答案】C【解析】【分析】用列举法列出所有的基本事件以及满足条件的基本事件，用古典概型概率公式即可求得概率.【详解】将数学、语文、政治、地理分别记为,,,A B C D ，将英语，历史，体育分别记为,,a b c ， 在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c 共12种情况.选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有(),A b ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c 共8种情况. 所以，所求概率为82123P ==， 故选：C.【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有两种，（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.8.若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是（ ）A. 31B. 63C. 127D. 255【答案】C【解析】【分析】 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值.【详解】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=；第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=；第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=；第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=；第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=；第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=；第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=；第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立，所以输出S 的值为127.故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则(1)(3)(5)(2019)f f f f +++=（ ）A. 0B. aC. 2aD. 1010a 【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，分别求出一个周期内的函数值，结合周期性分析，即可得解. 【详解】(2)f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线2x =对称,∴()(4)f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，()00f =，∴()(4)f x f x +=-，∴()()()(8)4f x f x f x f x +=-+=--=，即()f x 是周期为8的周期函数，()1f a =，∴()1f a -=-，()()()3141f f f a =-+==，∴()()()533f f f a =-=-=-，()()71f f a =-=-，()()()()13570f f f f a a a a +++=+--=，∴()()()()()()1352019252020172019f f f f f f ++++=⨯++()()132f f a a a =+=+=,故选：C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查学生的综合计算能力，求出函数的周期是解题的关键，属于中档题.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A.33B.12C.22D.63【答案】A【解析】【分析】由题意作出椭圆图象，结合图象可知121OMF PF F∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的离心率.【详解】如图，设直线1PF与圆2224cx y+=相切于点M，连接OM，则2cOM=，椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为()1,0F c-，()2,0F c，2PF x⊥轴，∴22=PbPF ya=，∴21222bPF a PF aa=-=-，1OM PF⊥，2PF x⊥轴，∴121OMF PF F∽，∴121OM OFPF PF=，即2222ac cbbaa=-，解得33cea==，故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、椭圆的简单几何性质以及椭圆离心率的求解，考查运算求解能力，属于基础题.11.如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，,E F分别为1,AD AA的中点，则以下说法错误的是（）A. 平面EFC 截正方体所的截面周长为2532+B. 存在1BB 上一点P 使得1C P ⊥平面EFCC. 三棱锥B EFC -和1D FB C -体积相等D. 存在1BB 上一点P 使得//AP 平面EFC【答案】B【解析】【分析】对于A ，平面EFC 截正方体所得的截面为梯形1EFB C ，求出梯形的周长即可得解； 对于B ，通过建立空间直角坐标系，设出P 点坐标，证出1C P EC ⊥不成立，即可得出B 选项错误； 对于C ，通过等体积法，分别求出三棱锥B EFC -和1D FB C -的体积，进而得解； 对于D ，通过线线平行，证得线面平行，进而得解.【详解】 对于A 选项，连接1B C ，1B F ，E ，F 分别为AD ，1AA 的中点，∴1EF B C ∥， ∴E ，F ，1B ，C 四点共线，∴平面EFC 截正方体所得的截面为梯形1EFB C ，∴截面周长11252252532L EF FB BC EC =+++=+++=+， 故A 正确；对于B 选项，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,2E ，()2,0,1F ，()0,2,2C ，()10,2,0C ， 设()2,2,P P z ，所以()12,0,P C P z =，()1,2,0EC =-， 若1C P ⊥平面EFC ，则1C P EC ⊥，而20-=显然不成立， 所以1C P 与EC 不垂直，所以1BB 上不存在点P ，使得1C P ⊥平面EFC ， 所以B 选项错误； 对于C 选项，112221323B EFC F BEC V V --==⨯⨯⨯⨯=， 1111222223223D FB C F DB C V V --==⨯⨯⨯=， 所以1B EFC D FB C V V --=成立，C 正确； 对于D 选项，取1B C 中点M ，1BB 的中点N ，连接EM ，AN ，MN ， AE MN 且AE MN =，∴四边形AEMN 为平行四边形，∴1EM B F ∥， ∴ANEM ，EM ⊂平面EFC ，AN ⊄平面EFC ，∴AN 平面EFC ，∴点P 为1BB 的中点，∴1BB 上存在一点P 使得//AP 平面EFC ，故D 正确.故选：B.【点睛】本题属于综合题，考查了线线平行和线面平行的证明，向量垂直的坐标表示，求三棱锥的体积，属于中档题.证明线线平行，常见的方法有三种：（1）通过线线平行的传递性进行证明；（2）通过三角形的中位线进行证明；（3）通过平行四边形进行证明.12.已知函数3()31f x x x =-+，若1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈，使得()()12f x f x =，且12x x ≠，则b a -的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数，求出()f x 的极大值和极小值，求出函数值与极大值相等的x 值，函数值与极小值相等的x 值，即可得解. 【详解】3()31f x x x =-+，∴()233f x x '=-，令()0f x '=，即2330x -=，解得11x =-，21x =， 当1x <-时，()0f x >′，所以()f x 在(),1-∞-上单调递增； 当11x -≤≤时，()0f x <′，所以()f x 在[]1,1-上单调递减； 当1x >时，()0f x >′，所以()f x 在()1,+∞上单调递增.∴()f x 在1x =-处取得极大值，极大值()11313f -=-++=；在1x =处取得极小值，极小值为()11311f =-+=-. 令()3f x =，即3313x x -+=，即()()2120x x +-=，解得1x =-（舍）或2x =；令()1f x =-，即3311x x -+=-，即()()2120x x -+=，解得1x =（舍）或2x =-；∴b a - 的最大值为()224--=.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求出函数的极大值与极小值是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.若变量,x y 满足1033020x y x y y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值为______.【答案】3- 【解析】 【分析】作出可行域，令z x y =+，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出x y +的最小值. 【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，令z x y =+，所以y x z =-+，显然直线过10x y -+=与20x y -=的交点时，z 最小，1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，此时3x y +=-， 故答案为：3-.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为______.【答案】9 【解析】 【分析】根据三视图，可知该几何体为四棱锥1B DCPD -，求出四棱锥的底面积和高即可得解. 【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为四棱锥1B DCPD -，四边形1DCPD 的面积为()1=4+23=92S ⨯⨯， B 点到平面1DCPD 的距离为3，则11=93=93B DCPD V -⨯⨯， 故答案为：9.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题.将三视图还原为空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.15.已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，22a =，38S =，则53S a =______. 【答案】11 【解析】 【分析】当1q =时，求得36S =与38S =矛盾，得到1q ≠，再利用23228a S a a q q=++=，得到231a q =-，化简51234533S a a a a a a a ++++=，并借助231a q =-，即可求得53S a 的值. 【详解】设等比数列的公比为q ，当1q =时，323326S a ==⨯=与38S =矛盾，所以1q ≠，22a =，∴23123222228a S a a a a a q q q q=++=++=++=， 即2310q q -+=，解得231q q =-，51234533S a a a a a a a ++++= 23222222q q q q q++++=23421+q q q q q+++= ()()()221313131q q q q q q++-+-+-= 221231q q q-+= 11=故答案为：11.【点睛】本题考查的是有关等比数列的问题，求解本题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程，属于中档题. 16.ABC 中，(32)0AB AC BC +⋅=，且对于t R ∈，||BA tBC -最小值为6||5BC ，则BAC ∠=_____.【答案】4π 【解析】 【分析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，可得到22255b c a -=，化简2BA tBC -，并利用二次函数求最值，求出2BA tBC -的最小值，且使最小值等于23625a ，可得2285c a =，进而得出2295b a =，最后利用余弦定理即可得解.【详解】设AB c =，BC a =，AC b =，()32AB AC BC +⋅()()32AB AC AC AB =+⋅-2223b c AC AB =-+⋅2223cos b c bc BAC =-+∠22222232b c a b c +-=-+()320AB AC BC +⋅=，∴222222302b c a b c +--+=，∴22255b c a -=，2BA tBC -2222cos c t a tac B =+-22222222a cbc t a t +-=+-⋅222245a t a t c =-+222224525a t c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∴BA tBC -的最小值为22425c a -， ∴2224362525c a a -=，解得2285c a =，∴2295b a =，2222222298255cos 2298255a a abc a BAC bc a a+-+-∠===⋅⋅，02BAC π<∠<，∴4BAC π∠=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大. 利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，得出三角形三边的关系是解题的关键.三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分，每题考生都必须在答题卡上作答.17.已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，,M N 分别为11,AC B C 的中点.（1）求证：//CN 平面11MA B ； （2）求三棱锥11M A B C -体积. 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1） 取11A B 中点P ，连接PN ，通过证明四边形PNCM 为平行四边形，并借助线线平行，得到线面平行；（2）利用等体积法，将求11M A B C -的体积转化为求11B A MC -的体积，借助三棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）取11A B 中点P ，连接PN ，由于,P N 分别为1111,A B B C 的中点，所以1112PN AC 而1112MCAC ，则PN MC ，所以PNCM 为平行四边形，所以CNPM又因为CN ⊄面11MA B ，PM ⊂面11MA B ，所以CN 平面11MA B（2）111212A MCS=⨯⨯=， 1B 到平面1A MC 的距离2sin 603d =⨯︒=，所以111111131333M A B C B A MC A MC d V V S --==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求解，其中涉及到线线平行的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.求解三棱锥的体积时，要注意等体积法的应用. 18.ABC 为直角三角形，斜边BC 上一点D ，满足3=AB BD .（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠； （2）若12BD CD =，2AD =，求BC . 【答案】（1）60C ∠=°（2）32BC =【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及ADB ∠的范围，得出ADB ∠的值，再借助ADB C DAC ∠=∠+∠即可得解；（2）设12BD CD a ==，根据已知条件和勾股定理求出AC =，进而得到cos C ∠的值，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：sin 30sin BD ABADB=︒∠，得sin 30sin AB ADB BD ⋅︒∠==， 60180ADB ︒<∠<︒，∴120ADB ∠=︒，∴120C DAC ∠+∠=︒，60=︒∠DAC ，∴60C ∠=°.（2）设12BD CD a ==，=AB ，∴AB =，∴AC =，从而cos AC C BC ∠==，由余弦定理222cos2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅，即223=，解得a =BC =【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题. 平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； （2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.19.新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①2y bx a =+，②y dx c =+对变量x和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差i i i e y y =-）：经过计算得()()81728i i ix xy y =--=∑，()82142i i x x=-=∑，()()816868i i i z zy y =--=∑，()8213570i i z z=-=∑，其中2i iz x =，8118i i z z ==∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留一位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数作出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()81821ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）选择模型①，详见解析（2）21.9 1.6y x =+（3）156 【解析】 【分析】（1）根据残差图，估计值和真实值越接近，拟合效果越好，即可得解；（2）令2z x =，分别计算,z y 的平均数，根据公式求得,b a ，即可求出模型①对应点回归方程； （3）将9x =代入回归方程，即可得解【详解】（1）根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近， 模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好，所以选择模型①.（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为2y bx a =+，令2z x =，则y bz a =+. 由所给数据得：1(1491625364964)25.58z =+++++++=， 1(481631517197122)508y =+++++++=，()()()8182168681.93570iii i i zzy y b z z==--==≈-∑∑， 50 1.925.5 1.6a y bz =-≈-⨯≈，y ∴关于x 的回归方程为21.9 1.6y x =+.（3）预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为21.99 1.6155.5156y =⨯+=≈（人）. 【点睛】本题考查了利用残差图判断拟合效果，求解回归方程，利用回归方程求解预估值的问题，考查了学生的数据处理能力，对于学生的运算求解能力有一定的要求，属于基础题.20.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过F 与抛物线交于,A B 两点.,A B 到准线的距离之和最小为8.（1）求抛物线方程；（2）若抛物线上一点P 纵坐标为2p ，直线,PA PB 分别交准线于,M N .求证：以MN 为直径的圆过焦点F .【答案】（1）28y x =（2）证明见解析【解析】 分析】（1）根据题意及抛物线定义，可知28p =，从而可求出抛物线方程；（2）当直线l 与x 轴垂直时，求出M ，N 的坐标，进而证得以MN 为直径的圆过焦点F ；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线方程，A 点和B 点坐标，并与抛物线方程联立，借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得0MF NF ⋅=，从而证出以MN 为直径的圆过焦点F .【详解】（1）,A B 到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为||AB ，||AB 最小为通径，所以28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =.（2）抛物线焦点()2,0F ，准线方程：2x =-，由P 点纵坐标为2p ，得(8,8)P ，当直线l 与x 轴垂直时，直线方程为2x =，此时，()2,4A ，()2,4B - ，直线PA ：2833y x =+，直线PB ：28y x =-， 所以，42,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,12N --， 所以，圆心坐标为162,3⎛⎫--⎪⎝⎭，半径203r =，焦点到圆心的距离203d r ===， 此时，以MN 为直径的圆过焦点F .当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:2l x my =+，设()()1122,,A x y B x y ，228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28(2)y my =+，1216y y =-，128y y m +=， PA 直线为111888(8)(8)88y y x x x y --=-=--+代入准线2x =-得： 11180816888M y y y y --=+=++同理可得228168N y y y -=+ ()()()12121212642244,4,168864M N y y y y MF NF y y y y y y --+⋅=⋅=++++ ()()121212121212161281664642248864y y y y y y y y y y y y +++⋅+--+=+++ 12121280166446408864y y y y y y +⋅+⋅==+++，所以2MFN π∠=，所以焦点F 在以MN 为直径的圆上.综上，以MN 为直径的圆过焦点F .【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系以及向量数量积的坐标表示，属于中档题.解决直线与圆锥曲线的位置关系的题型时，要注意韦达定理的应用.21.已知函数2()(1)f x a x =+，()x g x xe =.（1）若()g x 的切线过(4,0)-，求该切线方程；（2）讨论()f x 与()g x 图像的交点个数.【答案】（1）2(4)y e x -=-+（2）0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点【解析】【分析】（1）设出切点，根据()()000000014x x x e g x x e x -'==++，求出切点，进而求出直线斜率，从而得解； （2）构造函数()()()F x g x f x =-，求出导函数，通过分类讨论，研究()F x 的单调性，进而判断出()F x 的零点个数，从而得解.【详解】（1）()x g x xe =，∴()()1xg x x e '=+， 设切点为()00,x y ，则()()000000014x x x e g x x e x -'==++， 化简得200054x x x =++，所以02x =-，2k e -=-，所以切线方程为2(4)y e x -=-+.（2）设()()()F x g x f x =-，即讨论()F x 零点个数. ()()(1)2(1)(1)2x x F x x e a x x e a '=+-+=+-，0a =时，()F x 只有一个零点；0a <时，()F x 在(,1)-∞-上单调递减，(1,)-+∞单调递增，1(1)0F e-=-<，x →-∞，x →+∞时，()F x 均∞→+，此时，()F x 有两个零点， 0a >时，x →-∞时，()F x →-∞，x →+∞时()F x →+∞，由()0F x '=得1x =-，ln(2)x a =， 若12a e=时，()F x 在R 单增，只有一个零点； 若12a e ≠时，1(1)0F e -=-<，2(ln(2))ln (2)0F a a a a =--<， 极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点.综上，0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点.【点睛】本题考查了函数过某点的切线方程，两个函数图像交点个数的判断，难度较大.求函数的切线方程时，要注意区分“在某点”和“过某点”，这是一个易错点.求解两个函数交点个数的问题时，常用构造函数法，转化为求解零点个数的题型.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若曲线C 上两点,M N ，有OM ON ⊥，求OMN 面积最小值.【答案】（1）()2213sin 4ρθ+=（2）45 【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）设出M ，N 两点的坐标，代入曲线C 的极坐标方程，求出2212ρρ，化简得221221694sin 24ρρθ=+，再根据三角函数的范围即可求出2212ρρ的范围，从而得解.【详解】（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α， 得曲线C 的普通方程为：2244x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2244x y +=，得曲线C 的极坐标方程为：()2213sin 4ρθ+=. （2）设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入曲线得： ()22113sin 4ρθ+=，()22213cos 4ρθ+=，则()()221222222161616166492549sin cos 2513sin 13cos 4sin 244ρρθθθθθ===≥=++++， 当4πθ=，34π，54π，74π时可以取到等号， 所以OMN 面积为121425S ρρ=≥. 故OMN 面积最小值为45 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，属于中档题.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.23.已知函数()1122f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a ≤有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()4f x x b ≤--对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）4a ≥-；（2）(,6]-∞-．【解析】【分析】（1）将()f x 化为分段函数，求出函数的值域，即可求出a 的范围，（2）画出相对应的函数的图象，结合图象可得b 的取值范围．【详解】（1）()4,122,11112244,124,2x x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪--<≤⎪=++---=⎨-<<⎪⎪≥⎩，∴()f x 的值域为[]4,4-，∵关于x 的不等式()f x a ≤有解，∴4a ≥-，（2）()y f x =与4y x b =--对的图象如图所示：由图象知，要使()4f x x b ≤--对任意x ∈R 成立，只需要()224f b ≤--，且0b <解得6b ≤-，故b 得取值范围为(,6]-∞-．【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题和存在性问题，考查了数形结合的思想.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(九)理科数学
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（九）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21iz i=+在复平面内对应点的坐标为（ ） A. ()1,1-- B. ()1,1-C. ()1,1D. ()1,1-【答案】C 【解析】 【分析】由除法法则计算复数，化为复数的代数形式，得对应点坐标．【详解】21i i +2(1)1(1)(1)-==+-+i i i i i ，对应点为(1,1)． 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．属于基础题．2.已知集合{}2|20A x x x =--<，{}|3B x a x a =<<+，若{}|02A B x x ⋂=<<，则AB =（ ）A. {}|23x x -<<B. {}|13x x -<<C. {}|03x x <<D. {}|21x x -<<【答案】B【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解法，求出集合{|12}A x x =-<<，然后根据{|02}A B x x ⋂=<<得出0a =，从而可得出集合B ，然后进行并集的运算，即可求出AB ．【详解】解：由题可知，{}2}|20{|12A x x x x x =-<-=<-<， 由于{|3}B x a x a =<<+，且{|02}A B x x ⋂=<<，0a ∴=，{|03}B x x ∴=<<，{|13}A B x x ∴=-<<．故选：B ．【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和并集的运算，属于基础题． 3.已知向量()0,1a =，()1,3b =，则a 在b 上的投影为（ ）D.12【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积公式得出a 与b 的夹角的余弦值，再由cos a θ得出a 在b 上的投影. 【详解】设a 与b 的夹角为θ11a ==，(12b =+=，011a b =⨯+=⋅2cos 3a b ba θ⋅∴=⋅=则a 在b 上的投影为cos 1a θ==故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的几何意义，属于中档题.4.某校2名教师、4名学生分成2个小组，分别到两个不同的实验室做实验.每个小组由1名教师和2名学生组成，则教师A 和学生B 在同一个小组的概率为（ ）A.16B.14C.13D.12【答案】D 【解析】 【分析】把四个学生编号，分配两个给教师A ，写出所示有基本事件可知教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件的个数．即可计算出概率．【详解】4名学生编号为,,,B C D E ，与教师A 同一组的基本事件有,,,,,BC BD BE CD CE DE 共6个，其中教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件有,,BC CD BE 共3个，所以所求概率为3162P ==． 故选：D ．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是用列举法写出事件空间中的所有基本事件．5.某数学小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标()(),y 01,01x x y <<<<，其中有399个点的坐标满足221x y +≤，据此可估计π的值约为（ ）A. 3.19B. 3.16C. 3.14D. 3.11【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可以通过绘图明确点()(),y 01,01x x y <<<<所在区域以及221x y +≤所表示的区域，然后求出重合的区域面积，最后根据题意以及几何概型的性质即可得出结果.【详解】如图所示，点()(),y 01,01x x y <<<<落在一个边长为1的小正方形内，正方形面积为1，221x y +≤指一个半径为1的圆以及此圆内部的所有区域，圆与小正方形重合的区域面积为4π， 因为获得500个点()(),y 01,01x x y <<<<的坐标，有399个点的坐标满足221x y +≤，所以π43991500，π 3.19， 故选：A.【点睛】本题考查几何概型，能否根据题意准确的绘出图像是解决本题的关键，考查几何概型概率计算公式的灵活使用，体现了基础性，是中档题.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，且两条渐近线夹角为60，则该双曲线的焦距为（ ）A.B. 8C. 4D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以根据双曲线方程得出渐近线方程为b y x a =±，然后根据两条渐近线夹角为60得出3b a =或ba=222c a b =+即可得出结果. 【详解】令22220x y a b -=，则2222y x b a =，b y x a =±，故双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，因为两条渐近线夹角为60，所以其中一条渐近线的切斜角为30或60，b a =ba = 因为实轴长为4，所以2a =，当b a =时，3b =，22443433c a b ，焦距832c ；当ba=b =224124c a b ，焦距28c =，综上所述，该双曲线的焦距为8， 故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线的相关性质求焦距，能否根据双曲线夹角的度数得出a 、b 之间的关系是解决本题的关键，考查双曲线实轴、虚轴以及焦距三者之间的关系，考查计算能力，是中档题. 7.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D ）A. #FB. GC. #GD. A【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求得公比，结合题目所求半音与#D 的频率之比，求得该半音. 【详解】依题意可知()01,2,,12,13n a n >=.由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则121111222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,,12,13n a n =为等比数列，设公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率之41131222⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.即对应的半音为G .故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.8.已知函数()tan 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，其图象过点(，则其对称中心为（ ）A. (),046k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B. (),0412k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C. (),026k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D. (),0212k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数的最小正周期公式T πω=求出ω，将点(代入求出ϕ，得出()tan y x ωϕ=+的解析式，根据正切函数的对称中心和利用整体代入法得出232k x ππ+=，即可求出对称中心. 【详解】解：已知函数tan()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的最小正周期为2ππω=，2ω∴=，即函数tan(2)y x ϕ=+，其图象过点，tan ϕ∴=2πϕ<，3πϕ∴=，则函数tan(2)3y x π=+，令232k x ππ+=()k Z ∈，求得46k x ππ=-，k Z ∈， 则该函数的对称中心为(46k ππ-，0)，k Z ∈. 故选：A.【点睛】本题考查正切函数的图象和性质，以及利用整体代入法求正切型函数的对称中心，考查分析和运算能力.9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 472πB. 47π+C. 872π+D. 872π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，根据所给数据可计算出表面积. 【详解】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，如图所示： 其中2AD DC ==3 所以2PA PB ==，22PC PD == 所以侧面PAD 和侧面PBC 面积相等，均为12222⨯⨯=， 侧面PCD 的面积为()221222172⨯-=半个圆锥的侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为21221422ππ⨯-⨯=-， 所以该几何体的表面积为22748722πππ++-=，故选：C.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题.10.已知函数21,2()log ,2x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则不等式(21)(4)f x f x +<的解集为（ ） A. 11(,)(,)64-∞-+∞ B. 11(,)(,)42-∞-+∞ C. (,1)(1,)-∞⋃+∞ D. 11(,)(,)22-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数图象解不等式求解可得.【详解】画出函数图象，由图得：()f x 是偶函数且在(,2)-∞-上单减，在(2+)∞，上单减； (21)(4)f x f x +<，由偶函数性质得当2214x x ≤+<，满足不等式，则12x >因为22x -<<时()1f x = 42x ∴<-时，满足不等式，则21x <- 综上有11(,)(,)22x ∈-∞-+∞ 故选：D【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式.利用指对数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行讨论 11.若面积为1的ABC 满足2AB AC =，则边BC 的最小值为（ ）A. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用三角形的面积公式可得21sin AC A=，由余弦定理可求2sin 4cos 5BC A A +=，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：ABC 的面积1S =，且2AB AC =，21sin sin 12ABC S AB AC A AC A ∴===△， 21sin AC A∴=， 根据余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅ 22422cos AC AC AC AC A =+-⋅⋅⋅ 22254cos 54cos (54cos )sin AAC AC A A AC A-=-⋅=-=，即254cos sin ABC A-=，可得2sin 4cos 5BC A A +=，2sin 4cos )5BC A A A α∴+=+=，55sin()A α=≥+，解得：BC ≥即边BC 故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了化简和运算能力.12.当[],x m n ∈时，函数()2sin cos 2310f x x x x x ππ=--++≥恒成立，则n m -的最大值为（ ）A.52B. 2C.32D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将原不等式恒成立转化为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，2()231h x x x =--，转化为()()g x h x ≥恒成立，求得它们的交点(0,1)-，3(2，1)-，画出()y g x =和()y h x =的图象，即可得到所求区间和n m -的最大值．【详解】解：由题可知，[],x m n ∈时，函数2()sin cos 2310f x x x x x ππ=--++恒成立， 即为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，即()2sin()4g x x ππ=-，()g x 为最小正周期为2的函数，且(0)1g =-，35()2sin124g π==-， 设2()231h x x x =--，可得3(0)()12h h ==-，分别作出()y g x =和()y h x =的图象，可得它们有两个交点(0,1)-，3(2，1)-，由题意可得当[0x ∈，3]2时，()()g x h x ≥恒成立，即()0f x 恒成立，此时n m -取得最大值32. 故选：C .【点睛】本题考查不等式恒成立问题，以及正弦函数和二次函数的图象和性质，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.若命题“[]01,2x ∃∈-，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据命题为假得到[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立，简单计算，可得答案. 【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题， 故[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立.所以[]1,2x ∀∈-，a x ≥恒成立， 故2a ≥ 所以实数a 的最小值为2 故答案为：2.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题.14.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入的a ，b ，c 分别为0.61.5，1.50.6，0.6log 1.5，则输出的结果为________.（结果用a ，b ，c 表示）【答案】b 【解析】 【分析】模拟程序运算，确定变量值．【详解】模拟程序运算，变量值变化如下：开始输入 1.50.60.60.6, 1.5,log 1.5a b c ===， 1.50.6x =，判断0.6 1.51.510.6x >>=，0.61.5x =，判断0.60.61.50log 1.5x =>>，输出0.61.5x =，故答案为：b ．【点睛】本题考查程序框图，考查选择结构，模拟程序运行，观察变量值的变化，判断条件是否满足，可得结论．15.已知点()A ，)B ，动点P 满足APB θ∠=且2cos 12PA PB θ⋅⋅=，则点P 的轨迹方程为__________【答案】2213x y +=【解析】 【分析】根据题意得||AB =由半角公式和余弦定理可得||||PA PB +的值为定值，且大于两个定点A ，B 的距离，由椭圆的定义可得P 的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质求出a ，c ，b 的值，进而求出椭圆的方程．【详解】解：根据题意，可知||AB = 由2||||cos12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=， ||||||||cos 2PA PB PA PB θ∴+=，在ABP △中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==，222||||cos 8PA PB PA PB θ∴=+-，即22||||cos 42PA PBPA PB θ+=-，22||||||||cos ||||422PA PBPA PB PA PB PA PB θ+∴+=+-=，22||||||||62PA PB PA PB +∴+=，即222||||||||12PA PB PA PB ++=，2(||||)12PA PB ∴+=，所以||||PA PB +=为定值且大于||AB ， 可得P 的轨迹为椭圆，且长轴长223a =，焦距222c =，焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆， 即3a =，2c =，所以2221b a c =-=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=.故答案为：2213x y +=.【点睛】本题考查点的轨迹方程和椭圆的定义及性质的应用，还涉及半角公式及余弦定理的应用，考查化简和计算能力，属于中档题．16.已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 是边长为6的菱形，ACBD O =，SO ⊥底面ABCD 且8SO =.若此四棱锥的内切球的表面积为16π，则该四棱锥的体积为_______. 【答案】642 【解析】 【分析】利用数形结合，根据题意可知球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，可知11,O F O O 为内切球的半径，然后计算SE ，利用等体积法，求得ABCD S ，最后根据体积公式可得结果. 【详解】由题可知：球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，如图由SO ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，则SO CD ⊥⋂=SO OE O ，所以，CD ⊥平面SOE ，又1,⊂O F SE 平面SOE所以1,⊥⊥SE CD O F CD ，又1⊥O F SE ，⋂=SE CD E ，所以1O F ⊥平面SCD 由此四棱锥的内切球的表面积为16π，可知半径为2 所以1112,6===O F O O SO ，由111∠+∠=∠+∠SO F O SF O SF SEO ，所以1∠=∠SO F SEO11121cos cos 63∠=∠===O F SEO SO F O S，则sin 3∠=SEO所以sin ∠==⇒=OS SEO SE SE则11142332⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⇒= ⎪⎝⎭ABCD ABCD ABCD S SO CD SE S S所以13-=⋅=S ABCD ABCD V S SO故答案为：【点睛】本题考查几何体内切球问题，本题关键在于找到球心，以及计算底面菱形的面积，考验分析能力以及计算能力，同时结合数形结合的方法，形象直观，便于理解与计算，属难题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共60分17.已知等差数列{}n a 中，11a =且1a ，2a ，74a -成等比数列、数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足321n n b S -=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a ，{}n b 的公共项12,,,n k k k a a a ⋅⋅⋅按原来的顺序组成新的数列，试求数列{}n k 的通项公式，并求该数列的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；13n n b -=（2）13122n n k -=+；31424n n n T =+-【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质，可求等差数列{}n a 的公差，从而求得数列{}n a 的通项公式，由()()1112n nn S n b S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，可求得数列{}n b 的通项公式； （2）由（1）得1213n nk --=，所以可得13122n n k -=+，再求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，74a -成等比数列，所以()21274a a a -=，即()()112164a a d a d +-=+，()()21631d d -=+⨯，解得2d =.所以21n a n =-.当1n =时，111321b S b -==，因为321n n b S -=，得11321n n b S ---=，（2n ≥） 所以()()1132320n n n n b S b S -----=，得13n n b b -=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比3q =的等比数列，所以13n n b -=.（2）依题意，n k n a b =，由（1）得1213n nk --=，113131222n n n k --+==+，所以()0121131333322424n n n n n T -=+++++=+-.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等，属于中档题.18.如图，在ABC 中，AC BC ⊥，30BAC ∠=︒，4AB =，E ，F 分别为AC ，AB 的中点,PEF 是由AEF 绕直线EF 旋转得到，连结AP ，BP ，CP .（1）证明：AP ⊥平面BPC ；（2）若PC 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角P CF B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13- 【解析】 【分析】（1）要证AP ⊥平面BPC ，则证AP PC ⊥和BC AP ⊥；证AP PC ⊥由平面几何知识可得，证BC AP ⊥，只需证EF AP ⊥，即证EF ⊥平面APC ，利用线面垂直判定可得.（2）建立空间直角坐标系，根据PC 与平面ABC 所成的角为60°，可知PEC 为等边三角形，分别计算平面CFB 、平面PCF 的一个法向量，然后根据向量的夹角公式，可得结果. 【详解】解法一：（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，且E 为AC 中点， 所以AE EC EP ==.所以AP PC ⊥ 又因为F 为AB 的中点，所以EF BC ∥， 又BC AC ⊥，所以EF AC ⊥， 从而EF EP ⊥，又ACEP E =，所以EF ⊥平面ACP ，即BC ⊥平面ACP ，又AP ⊂平面ACP ，所以BC AP ⊥， 又AP PC ⊥且PC BC C ⋂=，所以AP ⊥平面BPC （2）由（1）得EF ⊥平面AEP ，因为EF ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP 过点P 作PM AC ⊥，交AC 于M 又平面ACP平面ABC AC =，故PM ⊥平面ABC ，所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角， 所以60PCM ∠=︒，又EC EP =，所以PEC 为等边三角形， 得MEC 中点，由BC ⊥平面ACP ，AC BC ⊥分别以CA ，CB 为x ，y 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，)3,1,0F，3M ⎫⎪⎪⎝⎭，332P ⎫⎪⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，()3,1,0CF =，332CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：2200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303302x y x z +=+=， 令3x =，得()23,3,1n =--，12121213cos ,13n n n n n n ⋅==又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为1313- 解法二：（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，所以EP AE =，又因为E 为AC 的中点，所以AE EC EP ==. 所以2APC π∠=，即AP PC ⊥，同理，AF BF PF ==，得AP BP ⊥， 又BPCP P =，所以AP ⊥平面BPC（2）由（1）得⊥AP BC ，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面APC ，又因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP . 过点P 作PM AC ⊥，垂足为M ， 因为平面ACP平面ABC AC =，所以PM ⊥平面ABC ，所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角，所以60PCM ∠=︒， 因为EC EP =，所以PEC 为等边三角形，所以M 为EC 中点， 取FB 的中点N ，连接MN ，所以MN EF ∥，所以MN ⊥平面PAC ， 分别以MN ，MC ，MP 为x ，y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，()0,0,0M ，330,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，32,2B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，()1,3,0CF =-，330,22CP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：2200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303302x x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 令3x =，得()23,3,1n =，12121213cos ,n n n n n n ⋅==又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为13-【点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，以及线面角，面面角知识，考查推理论证能力、运算求解能力，审清题意细心计算，属中档题.19.某药业公司统计了2010-2019年这10年某种疾病的患者人数，结论如下：该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有3年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有1年的患者人数不低于300万.（1）药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组，实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为70％.请完成如下的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99.9％把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）药业公司最多能引进3条新药品的生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元.根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立.欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线？附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）应引进2条生产线. 【解析】 【分析】（1）通过计算，直接列出2×2列联表，根据公式计算2K ，即可判断出结果；（2）分引进1条，2条，3条生产线三种情况，分别求解总利润的期望值，即可得出结论. 【详解】（1）列联表如下：由于()222007060403020018.210.8281001001109011K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效； （2）根据提议：()31002000.310P x ≤<==，()62003000.610P x ≤<==， ()13000.110P x ≥==， 记药业公司年总利润为ξ（单位：万元）， ①引进1条生产线的情形：由于每年的患者人数都在100万以上，因此运行1条生产线的概率为1，对应的年利润，()600016000E ξ=⨯=；②引进2条生产线的情形：当100200x ≤<时，运行1条生产线，此时600010005000ξ=-=，因此()()5000 1002000.3P P x ξ==≤<=）， 当200x ≥时，运行2条生产线，此时6000212000ξ=⨯=， 因此()()12000200= 0.60.10.7P P x ξ==≥+=， 由此得ξ与的分布列如下：所以()50000.3120000.79900E ξ=⨯+⨯=； ③引进3条生产线的情形：当100200x ≤<时，运行1条生产，此时6000100024000ξ=-⨯=， 因此()()40001002000.3P P x ξ==<<=，当200300x ≤<时，运行2条生产线，此时60002100011000ξ=⨯-=， 因此()()11000 2003000.6P P x ξ==<<=，当300x ≥时，运行3条生产线，此时6000318000ζ=⨯=， 因此()()18000 3000.1P P x ξ==≥=， 由此得ξ与的分布列如下：所以()40000.3110000.618000 0.19600E ξ=⨯+⨯+⨯=，因为9900＞9600＞6000，所以欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进2条生产线.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列与期望的计算，考查了独立性检验的应用，考查学生的运算求解能力、数据处理能力与应用意识.20.已知函数()()1ln 0x e f x a x a x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln 0xf x a x x +->，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0e a -<≤ 【解析】 【分析】（1）求出导数后，对a 分类讨论，利用导数可求得函数的单调区间； （2）分离参数后得n 11l xx a e +->在(0,)+∞上恒成立，再构造函数利用导数求出最大值即可得到答案. 【详解】（1）()222(1)e e (1)11()xx x a x f x a x xx x -+-⎛⎫'=+-+= ⎪⎝⎭， 由定义域为()0,∞+，所以e 1x >.当10a -≤≤时，0x e a +>，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<， 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当1a <-时，令()0f x '=，则1x =或()ln x a =-， 当a e =-时，()ln 1a -=，()0f x '≥恒成立， 所以函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；当1e a -<<-时，()0ln 1a <-<，由()0f x '>，得0ln()x a <<-或1x >，由()0f x '<，得ln()1a x -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为()()ln ,1a -，递增区间为()()0,ln a -和()1,+∞；当a e <-时，()ln 1a ->，由()0f x '>，得01x <<或ln()x a >-，由()0f x '<，得1ln()x a <<-， 所以函数()f x 的单调递减区间为()()1,ln a -，递增区间为()0,1和()()ln ,a -+∞.综上，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当a e =-时，函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；当1e a -<<-时，函数()f x 的单调递减区间为()()ln ,1a -，递增区间为()()0,ln a -和()1,+∞； 当a e <-时，函数()f x 的单调递减区间为()()1,ln a -，递增区间为()0,1和()()ln ,a -+∞. （2）依题意得，()()1ln ln 0xxf x a x x e a a x +-=++>在()0,∞+恒成立.①当0a =时，不等式显然成立； ②当0a <时，()1ln xa x e -+<，即n 11l x x a e+->成立， 设()1ln xx g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=，设()11ln h x x x=--，则()h x 在()0,∞+单调递减，()10h =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以()()max 11g x g e== 所以11a e->，解得(),0a e ∈-. 综上，当0e a -<≤时，()()1ln 0xf x a x x +->.【点睛】本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.属于中档题. 21.平面直角坐标系xOy 中，动直线AB 交抛物线2:4y x Γ=于A ，B 两点.（1）若90AOB ∠=︒，证明直线AB 过定点，并求出该定点；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作与y 轴垂直的直线交抛物线2:4y x Γ=于C 点；点N 为AC 的中点，过点N 作与y 轴垂直的直线交抛物线2:4y x Γ=于点P .设△ABC 的面积1S ，△APC 的面积为2S . （i ）若AB 过定点()2,1，求使1S 取最小值时，直线AB 的方程；（ii ）求12S S 的值.【答案】（1）证明见解析；定点()4,0（2）（i ）230x y --=（ii ）128S S = 【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程，并代入抛物线方程，利用韦达定理和12120x x y y +=可解决；（2）（i ）得到M 、C 的坐标，得到||CM ，进而得到31121211||232S CM y y y y =⋅-=-，再根据二次函数可求得最小值；（ii ）求出122112111||||||2222y y S PN y PN y y +=⋅⋅-=⋅-，求出2121||||64PN y y =-代入12||2||S CM S PN =即可得到结果. 【详解】（1）证明：依题意可设直线AB 的方程为x ty m =+， 代入24y x =消去x 得：2440y ty m --=，216160t m ∆=+>，即20t m +>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y m =-， 因为90AOB ∠=︒，所以12120x x y y +=， 又21114x y =，22214x y =，所以2212121016y y y y +=，故1216y y =-，（120y y =已舍去） 所以416m -=-，得4m =，因此直线AB 的方程为4x ty =+，该直线过定点()4,0. （2）（i ）因为AB 过定点()2,1，所以由（1）得2t m =+，即2mt ，()2216161620t m t t ∆=+=-+>恒成立，124y y t +=，12448y y m t =-=-，由题知得1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21212,162y y y y C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()2222212121212121144||21621616y y y y y y y y x x CM +++-+=-=-=， 所以31121211||232S CM y y y y =⋅-=-， 因为12y y -==≥12t =时等号成立，所以331121132324S y y=-≥=当1S取到最小值4时，12t=，32m=，直线AB的方程为1322x y=+，即230x y--=.（ii）依题知可得1121||2S CM y y=⋅-，122112111||||||2222y yS PN y PN y y+=⋅⋅-=⋅-，所以12||2||S CMS PN=，由（2）（i）可知212||16y yCM-=（此处12y y-可以理解为A，B两点的纵向高度差）同理可得22121212121()122||161664y y y yyPN y y⎛⎫+-- ⎪⎝⎭===-，所以21212122||1628||64y ySy yS-==-.【点睛】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.（二）选考题共10分・请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossinx ry rθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0r>）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的圾坐标方cos4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭l与曲线C相交于A，B两点.（1）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）若4r>，点()4,0P满足11PA PB-=r的值.【答案】（1）222x y r +=，40x y --=（2）r =【解析】 【分析】（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，可得到l 的直角坐标方程.（2）写出l的参数方程可设为422x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，得22160t r ++-=，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则由韦达定理得1221216t t t t r ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩得所求值.【详解】（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，得到l 的直角坐标方程为40x y --=.（2）点()4,0P 在直线l 上，则l的参数方程可设为422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，得22160t r ++-=，()()2232416432>4r r r ∆=--=->0，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则由韦达定理得1221216t t t t r⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩4r >时，212160t t r =-<⋅.所以21212212111616t t t t PA B t P t r r----====--⋅r =. 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()1f x x a x =-+-.（1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A .（2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 【答案】（1）{|01}A x x =≤≤（2）12【解析】 【分析】（1）将0a =代入，则|||1|1x x +-，再利用绝对值不等式的性质即可得解； （2）问题等价于1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立，由此建立关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】解：（1）当0a =时，()|||1|f x x x =+-，即解不等式|||1|1x x +-， 由绝对值不等式知，|||1||(1)|1x x x x +---=，当且仅当(1)0x x -时取等号，因此()1f x 的解集{|01}A x x =；（2）由A B ⊆，即[0x ∈，1]，不等式3()||2f x x -恒成立，即3||12x a xx -+--，整理得1||2x a -， 故1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立， 则1212a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩在[0x ∈，1]上恒成立，得1212a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故12a =． 【点睛】本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.。
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2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十九）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{1,3,4,5}A =，集合2{}450|B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{}0,1,2,3,4B =，所以{}1,3,4A B ⋂=，所以A B ⋂的子集个数为328=，故选C ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数•z i （i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A. 1ZB. 2ZC. 3ZD. 4Z【答案】B 【解析】试题分析：z i ⋅为将复数z 所对应的点逆时针旋转90得2Z ，选B. 考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、共轭为.a bi - 3.下列四个函数，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x = ②21y x +=③y x =④2x y = A. ① ② B. ② ③C. ③ ④D. ① ③【答案】B 【解析】【详解】试题分析：能不能取得极值要看函数在这个导函数的零点处的两边是否异性单调．通过检验②③这两个函数在处的左右两边情况是：左边是减函数,右边是增函数,因此是极值点．而①④两个函数都是单增的，所以应选B ． 考点：函数极值的定义．4.已知变量,x y 满足：20{2300x y x y x -≤-+≥≥，则22)x y z +=的最大值为（ ）2 B. 22 C. 2D. 4【答案】D 【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知目标函数12z x y =+经过点(1,2)A 时取得最大值，所以212max (2)4z ⨯+==，故选D ．考点：简单的线性规划问题．5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】按照流程图运行到第五次循环后停止循环，由此可得答案. 【详解】1i =，12n =， 第一次循环： 8n =，2i =， 第二次循环：31n =，3i =， 第三次循环：123n =，4i =， 第四次循环：119n =，5i =，第五次循环：475n =，6i =，停止循环， 输出6i =. 故选：B.【点睛】本题考查了循环结构流程图和条件结构流程图，属于基础题.6.两个等差数列的前n 项和之比为51021nn+-，则它们的第7项之比为（）A. 2B. 3C.4513D.7027【答案】B【解析】试题分析：设这两个数列的前n项和分别为,n nS T，则1131377113137713()132513102313()13221312a aS a ab bT b b+⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B．考点：1、等差数列的前n项和；2、等差数列的性质．7.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()2100,(0)Nδδ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（）A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.2【答案】B【解析】试题分析：由题意知ξ服从正态分布2(100,)σ，(80120)0.8Pξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P Pξξ<<=-<<=，故选B．考点：正态分布．8.函数()sin(0,0)f x A x Aωω=>>的部分图象如图所示，(1)(2)(3)(2015)f f f f++++的值为（）A. 0B. 32C. 62D. 2-【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象可得：22,2(62)8A T w π==-==，解得4w π=，可得函数的解析式为()sin4f x x π=，所以()()()()()()122,340,562,f f f f f f ======-()()()780,9f f f ===，观察规律可知函数()f x 的值以8为周期，且()()()()()()()12345780f f f f f f f ++++++=，由于201525187=⨯+，故可得()()()()()()()()()()12320151234570f f f f f f f f f f ++++=+++++=，故选A.考点：三角函数的周期性.【方法点晴】本题主要考查了三角函数sin()y A wx ϕ=+部分图象确定函数的解析式、数列的周期性、数列的求和扥知识点的综合应用，其中根据三角函数的图象，求出函数的解析式，进而分析出函数的性质和数列的周期性，进而求解数列的和是解答本题的关键，着重考查了学生分析和解答问题的能力及转化与化归思想的应用.9.若(1)x +7280128(12)x a a x a x a x -=++++，则127a a a +++的值是（ ）A. -2B. -3C. 125D. -131【答案】C 【解析】试题分析：令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．考点：二项式定理．10.已知圆1C ：2220x cx y ++=，圆2C ：2220x cx y -+=，c 是椭圆C ：22221x ya b+=的半焦距，若圆1C ，2C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 2⎫⎪⎪⎣⎭D. 0,2⎛ ⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】首先求出两圆的圆心和半径，可得两圆的位置关系.则问题等价于圆2C 上的点()()2,0,,c c c 都在椭圆的内部，列不等式组，即可求出椭圆离心率的范围.【详解】把圆1C ：2220x cx y ++=，圆2C ：2220x cx y -+=化为标准式得， 圆()2212:C c x c y ++=，圆()2222:C x c y c -+=，则圆1C 和圆2C 关于原点对称. 圆1C ，2C 都在椭圆内等价于圆2C 上的点()()2,0,,c c c 都在椭圆的内部，222222221c a cc a b b a c<⎧⎪⎪∴+<⎨⎪=-⎪⎩，解得102c a <<，即102e <<.故选：B .【点睛】本题考查圆与椭圆的位置关系，根据图形找出临界值，列出关于,a c 的不等式组即可求解. 11.定义在R 上的函数()f x 对任意1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A. 1[3,)2-- B. 1[3,]2--C. 1[5,)2--D. 1[5,]2--【答案】D 【解析】试题分析：由已知条件知函数()f x 为奇函数且在R 上为减函数,由22(2)(2)f s s f t t -≤--有22(2)(2)f s s f t t -≤-,所以2222s s t t -≥-，()(2)0s t s t -+-≥,若以s 为横坐标,t 为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式()(2)0{14s t s t s -+-≥≤≤表示的平面区域,即ABC ∆及其内部,(1,1),(4,4),(4,2)A B C -,令2t s z s t -=+,则21z t s z+=-,求出1,12OC AB k k =-=,所以,解得152z -≤≤-,∴2t s s t -+的取值范围是15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,选D.考点：1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数()f x 是R 上的减函数,由函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，根据图象的平移,得出()y f x =的图象关于原点成中心对称,所以()f x 为奇函数,解不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--,得出()(2)0s t s t -+-≥,画出不等式组表示的平面区域,2t sz s t -=+,则21z t s z+=-,通过图形求关于s 的一次函数的斜率得出z 的范围,从而求出2t ss t-+的范围. 12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A.77B.1919C. 7πD. 19π【答案】C 【解析】分析：三棱锥B ACD -的三条侧棱,BD AD DC DA ⊥⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.详解：根据题意可知三棱锥B ACD -的三条侧棱,BD AD DC DA ⊥⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径， 三棱柱中，底面BDC ∆，1,3BD CD BC ===,120BDC ︒∴∠=，BDC ∴∆的外接圆的半径为1312⨯=， 由题意可得：球心到底面的距离为32. ∴球的半径为3714r =+=. 外接球的表面积为：274474S r πππ==⋅=. 故选：C.点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为__________．433【解析】该几何体可以看作是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为3，因此体积为2143233V =⨯=14.已知向量AB 与AC 的夹角为60，且2AB AC ==，若AP AB AC λ=+且AP BC ⊥，则实数λ的值为__________． 【答案】1 【解析】试题分析：因为AP BC ⊥，所以0AP BC ⋅=．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC AC λλ⋅=+⋅-=⋅+－2AB AB ACλ-⋅＝22(1)cos60||AB AC AC AB λλ-︒+-＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=．考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be （e为双曲线的离心率），则e 的值为__________． 【答案】6 【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为x c =-，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为22b a ，所以222223b be a =，即223b e a =，所以，整理，得422910e e -+=，解得62e =或3e =1的直线与双曲线的右支交于两点，所以6e =． 考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式．16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么2015(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=__________．【答案】2015413- 【解析】由题意得(),(),()(),(),2n g n n n g n g n ==为奇数为偶数 所以20152015201521(1)(2)(3)(4)(22)(21)S g g g g g g -=+++++-+-20142015(1)(1)(3)(2)(21)(21)g g g g g g =+++++-+-20142015(1)(2)(3)(21)13(21)g g g g =+++++-++++-201420142013201420152014201320142121212(121)4442S S S ---+-=+=+=++1201520151201320141201320142114414441444.143S ---==++++=++++==-三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a =3b =sin B A +=（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的面积．【答案】（1）3A π=；（2）2ABC S ∆=． 【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =3sin B=3sin B A =.sin B A +=sin A =. 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=.解得1c =或2c =.当1c =时，因为222cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC∆面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯=.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.（1）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较,m n 的大小关系；（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值．（只需写出结论）【答案】（1）m n =；（2）X 的分布列为X12P295929∴252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）0b =． 【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. 由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =.（2）由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2.且()025*******C C PX C ===，()()11025555221010521299C C C C P X P X C C ======，， 所以X 的分布列为X0 12 P295929所以()25201+2=1999E X =⨯+⨯⨯. （3）当0b =时，2s 达到最小值.试题解析：（1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到“星级卖场”的个数进行比较；（2）写出X 的所有可能取值，求出相应概率，列出分布列，求得数学期望；（3）根据方差的定义求解． 考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19.如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2．（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ； （2）求二面角1E A B C --的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）77；（3）不存在． 【解析】(1)∵DE ⊥BE ，BE ∥DC ， ∴DE ⊥DC ．又∵A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE =D ， ∴DC ⊥平面A 1DE ， ∴DC ⊥A 1E .又∵A 1E ⊥DE ，DC ∩DE =D ， ∴A 1E ⊥平面BCDE .(2)∵A 1E ⊥平面BCDE ，DE ⊥BE ，∴以EB ，ED ，EA 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．易知DE =2，则A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (4，2，0)，D (0，2，0)，∴1BA =(−2，0，2)，BC =(2，2，0)，易知平面A 1BE 的一个法向量为n =(0，1，0)． 设平面A 1BC 的法向量为m =(x ，y ，z )， 由1BA ·m =0，BC ·m =0，得令y =1，得m =(−，1，−)，∴cos 〈m ，n 〉===.由图得二面角E −A 1B −C 为钝二面角， ∴二面角E −A 1B −C 的余弦值为−.(3)假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面A 1DP ⊥平面A 1BC ． 设P (t ，0，0)(0≤t ≤2)，则1A P =(t ，0，−2)，1A D =(0，2，−2)，设平面A 1DP 的法向量为p =(x 1，y 1，z 1)， 由1100A D p A P p ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得令x 1=2，得p =.∵平面A 1DP ⊥平面A 1BC ， ∴m·p =0，即2−＋t =0，解得t =−3.∵0≤t ≤2，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．20.如图，已知椭圆2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,EF 两点．（1）若6ED DF =，求k的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值． 【答案】（1）23k =或38k =；（2）22 【解析】试题分析：（1）先由两点式求得直线AB 的方程，然后设l 的方程为y kx =.设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，联立直线l 与椭圆的方程，得到12,x x 间的关系，再由6ED DF =与点D 在线段AB 上求得k的值；（2）由点到直线的距离公式分别求得点,A B 到线段EF 的距离，从而得到四边形AEBF 的面积的表面式，进而求得其最大值．试题解析：（1）依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,D x kx E x kx F x kx ，，其中12x x <，联立直线l 与椭圆的方程221{4x y y kx+==，消去y ，得方程()22144k x +=.（3分）故21214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得021+2x k =，所以21+2k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =. （2）根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF的距离分别为12h h ==，又EF =所以四边形AEBF 的面积为()1221212k S EF h h +=+====≤ 当且仅当14k k=，即12k =时，取等号，所以四边形AEBF 面积的最大值为考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式． 21.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）若方程()()f x c c R =∈，有两个不相等的实数根12,x x ，比较12()2x x f +'与0的大小． 【答案】(1) 单调增区间(,)2a +∞，单调减区间为(0,)2a. (2) 3a =,(3)详见解析 【解析】试题分析: (1)先求函数导数,再求导函数零点1,a - ,根据定义域舍去1-,对a 进行讨论, 0a ≤时，()0f x '>，单调增区间为()0,+∞．0a >时,有增有减;(2) 函数()f x 有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:4ln 402aa +->,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得a 的取值范围,进而确定整数值,（3）根据02a f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以只需判定1222x x a 与+大小,由()()12f x f x =可解得221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--,代入分析只需比较11221222ln x x x x x x -+与大小, 设12x t x =,构造函数()22ln 1t g t t t -=-+,利用导数可得最值,即可判定大小.试题解析:(1)解：()()22a f x x a x =---' ()()()22221x a x a x a x x x----+== (0)x >． 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞． 当0a >时，由()0f x '>，得2a x >；由()0f x '<，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)解：由(1)得，若函数()f x 有两个零点 则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<. 因为0a >，所以4ln402a a +->.令()4ln 42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数， 且()220h =-<，()38134ln 1ln10216h =-=->，所以存在()02,3a ∈，()00h a =. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a = (3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()21112ln x a x a x c ---=，()22222ln x a x a x c ---=.两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--.因为02a f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当x∈,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故只要证1222x x a+>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--，即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222lnx x x x x x -<+.设12(01)x t t x =<<． 令()22ln 1t g t t t -=-+，则()()()()22211411t g t t t t t -=-=+'+.因为0t >，所以()0g t '≥，当且仅当t ＝1时，()0g t '=，所以()g t 在()0,+∞上是增函数． 又()10g =，所以当()0,1t ∈时，()0g t <总成立．所以原题得证点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22. 如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB ，并延长与直线PQ 相交于点Q ，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC 2﹣QA 2=BC ⋅QC ；（Ⅱ）求弦AB 的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）103AB = 【解析】试题分析：（Ⅰ）由于PQ 与⊙O 相切于点A ，再由切割线定理得：QA 2=QB ⋅QC=（QC ﹣BC ）⋅QC=QC 2﹣BC ⋅QC 从而命题得到证明（Ⅱ）解：PQ 与⊙O 相切于点A ，由弦切角等于所对弧的圆周角∠PAC=∠CBA ，又由已知∠PAC=∠BAC ，所以∠BAC=∠CBA ，从而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB ∽△QCA ，由对应边成比例，求出AB 的值．试题解析：（Ⅰ）证明：∵PQ 与⊙O 相切于点A ，∴由切割线定理得：QA 2=QB ⋅QC=（QC ﹣BC ）⋅QC=QC 2﹣BC ⋅QC ． ∴QC 2﹣QA 2=BC ⋅QC ．（Ⅱ）解：∵PQ 与⊙O 相切于点A ，∴∠PAC=∠CBA ， ∵∠PAC=∠BAC ，∴∠BAC=∠CBA ，∴AC=BC=5又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA 2=QB ⋅QC=（QC ﹣BC ）⋅QC ，∴QC=9 由∠QAB=∠ACQ ，知△QAB ∽△QCA ，∴AB QA AC QC =，∴103AB =． 考点：切割线定理及三角形相似.【方法点睛】（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.23.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3,5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 【答案】（1）（2）32【解析】试题分析：（1）由加减消元得直线l 的普通方程,由222sin ,y x y ρθρ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2,再根据韦达定理可得结果试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1+t 2=3又直线l 过点P，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．24.选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()|1||3|f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； （2）若,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，求225m x z =++的最大值．【答案】（1）[]3,1x ∈-；（2）3． 【解析】试题分析：（1） 利用零点分段法求解；（2）利用柯西不等式求解．试题解析：（1）()22,313{4,3122,1x x f x x x x x x --<-=-++=-≤≤+>.则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.（2）由柯西不等式得()(((()2222222225225x y z x z ⎡⎤++++≥+⎢⎥⎣⎦，所以32253x z -≤++≤222==，即225x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．。