天河区06-07学年下学期高一数学竞赛试题
广州市2007~2008学年第二学期高一数学期末测试试卷
广州市2007~2008学年第二学期高一数学期末测试试卷注意事项：1.本试卷共三大题，满分150分.考试时间120分钟.2.本试卷的所有题目的答案全部做在答卷上，写在问卷上不给分.3.考生必须将学校、班级、姓名、学号填写在答卷密封线内，并用黑色的钢笔、签字笔作答，不准使用涂改液.一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,)1.6π弧度化为度是(*) A.30︒ B.60︒ C.120︒ D. 150︒ 2.2sin 3π的值为(*)A.12 C. 12- D. 3．在数列{}n a 中，已知前n 项和28n S n n =-，则5a 的值为(*)A.63-B. 15-C. 1D. 54．若向量(3,2)a =，(0,1)b =-，则向量2b a -的坐标是(*)A.(3,4)B.(3,4)-C.(3,4)-D.(3,4)-- 5.已知向量(3,1)a →=，(,3)b x →=-，且//a b →→则x =(*)A. 9B.9-C. 13-D. 136．△ABC 中，AB a =,AC b =,若0a b ⋅<, 则ABC ∆是(*)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形或钝角三角形7. 在ABC 中，1a =,b =30A =︒, 则B ∠等于(*)A.60︒B.60︒或120︒C.30︒或150︒D.120︒x8.下列各式中，值为2的是（ * ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+9.下列各二元一次不等式组能表示如图所示阴影部分的是(*)A.2240x x y ≤⎧⎨-+≤⎩ B. 02240x x y ≤≤⎧⎨-+≤⎩ C. 02240x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩D.002240x y x y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪-+≥⎩10.已知等比数列的公比为2,且前4项之和为1,那么前8项之和等于(*)A.15B.17C.19D.21二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分). 11．已知1()22P 是角α终边上的一点，则sin α= * . 12.已知等差数列{}n a 中,357324a a a a +=-=,则2a = * .13．已知,,a b c 三个数成等比数列,其中5a =+5c =-则b = * . 14.正数a ,b 满足8ab a b =++,则ab 的最小值是 * .三、解答题：(本大题共六大题,满分80分)15.（本小题满分12分）已知||2a =，(1,1)b =-且a b ⊥，求向量a 的坐标.16. （本小题满分12分）已知函数()2cos 2f x x x =- (x R ∈). (1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 当x 为何值时,()f x 的值最大? 最大值是多少?17. （本小题满分14分）已知: 0αβπ<<<,且4cos()5αβ-=. (1)求sin()αβ-; (2) 当4tan 3β=时, 求tan α.18. （本小题满分14分）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ,c , 且2sin c b C =. （1）求角B 的大小;（2）若5,a c ==b .19. （本小题满分14分）某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可生产产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可生产产品100千克.若每日预算总成本不得超过6000元,运费不得超过2000元,问此工厂每日最多可生产多少千克产品?20. （本小题满分14分）已知正整数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的正整数n满足1n a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n B .2007~2008学年第二学期高一数学期末考题参考答案及评 分 标 准一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1．A 2. B 3. C 4. D 5. B 6.C 7. B 8. B 9. D 10. B二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分,其中13题答对一个3分,全对5分). 11． 1212. 0 13．1± 14. 16三、解答题：(本大题共六大题,满分80分) 15.（本小题满分12分）已知||2a =，(1,1)b =-且a b ⊥，求向量a 的坐标. 解:设(,)a x y =, 2分 ∵a b ⊥,∴0x y -= 4分又||2a =,则 2240x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 解得,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 10分∴(2,2)a =或(2,a =- 12分16. （本小题满分12分）解：(1)由原式得，1()2(2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)22666f x x x x x x πππ=-=-=- 6分 ∴周期T π= 8分 (2) 当sin(2)16x π-=时，此时2262x k πππ-=+,3x k ππ=+10分()2f x =最大值 12分17. （本小题满分14分） 解: (1) 4cos()5αβ-=, 又0αβπ<<< 0παβ∴-<<< 2分3sin()5αβ∴-==- 6分l:90x+100y=0x(2)sin()3tan()cos()4αβαβαβ--==--, 8分又 4tan 3β=tan()tan 7tan tan[()]1tan()tan 24αββααββαββ-+∴=-+==-- 14分18. （本小题满分14分）解:(1)由2sin c b C =,根据正弦定理得, sin 2sin sin C B C =, 1sin 2B =4分 又ABC ∆为锐角三角形, 所以6Bπ= 6分(2)由余弦定理得,222222cos 52572b ac ac B =+-=+-⨯⨯= 12分故 b =分19. （本小题满分14分） 解:设工厂每日需用甲原料x 吨,乙原料y 吨,可生产产品z 千克,根据题意,则001000150060005004002000x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩, 即002354x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩画出可行域如图所示则不等式组(*)所表示的平面区域是四边形 的边界及其内部(如图阴影部分)由23125420x y x y +=⎧⎨+=⎩解得, 127207x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,设1220(,)77M ，90100z x y =+ 令0z =,得 ':901000l x y += 即910y x =- 由图可知把'l 平移至过点1220(,)77M 时, 即1220,77x y ==时,12209010044077z =⨯+⨯=最大值(千克) 答:工厂每日最多生产440千克产品.20. （本小题满分14分） 解:(1)∵对任意的正整数n ,1n a =+ ① 恒成立,∴当1n =时,11a =+,即21)0=,∴11a = 2分当2n ≥时,有11n a -=+ ②①2-②2, 得2211422n n n n n a a a a a --=-+-, 4分即11()(2)0n n n n a a a a --+--=∵0n a >,∴10n n a a -+>,∴12n n a a --= 6分 ∴数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列. ∴1(1)221n a n n =+-⨯=- 8分(2)由(1)知121n a n +=+ ∴1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+ 10分∴12311111111111(1)()()()2323525722121n n B b b b b n n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+--+ 11(1)2212(1)nn n =-=++ 14分。
2007年天河区高二数学竞赛试题
7 8 9 9 4 4 6 4 732007年天河区高二数学竞赛试题2007年4月12日下午2：30—4：30一、选择题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A ．84，84.4 B ．84，6.1 C ．85，6.1 D ．85，42.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18913.动点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） （A ）一条直线 （B ） 双曲线的右支 （C ） 抛物线 （D ） 椭圆4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
）5．某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___.6、已知向量,5),4,2(),2,1(=--==c b a 的夹角为与则若c a ,25)( =⋅+c b a ______. 7.已知02s i n 2s i n 5=α，则)1t a n ()1t a n (00-+αα的值是_______________________.8. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 另一个端点N 在底面ABCD∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为 _____ ______.9. 已知0>t ,关于x 的方程22=-+x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是___.10．已知点P 为椭圆1322=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 三、解答题：（本大题共5小题，共90分。
天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题
天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线 017tan=-+⋅y x π的倾斜角α是A ．76πB ．76π-C ．7πD ．7π-2．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为 A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与153．已知集合{|27}E x x =-≤<，{}φ≠-≤≤+=121|m x m x F ，若E F E =，则实数m 的取值范围是A ．[3,4)-B ．]4,3[-C ．)4,2[D ．()4,24．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π6 5．若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围是A.)1,0(B.)2,0(C.)2,1(D.),2(+∞ 6．函数22sin ()14y x π=--是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 7．为了得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有点A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度主B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，||||,2==++且，则向量在向量方向上的投影为A ．21B ．23 C ．21-D ．23- 9．如图，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045,腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为A ． 21+B ． 221+C ．222+ D ．22+ 10 已知0>t ，关于x 的方程2x =-A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 已知向量,5),4,2(),2,1(=--==c b a 的夹角为与则若c a ,25)( =⋅+c b a ______. 12. 一束光线从点A （-1，1）发出，并经过x 轴反射，到达圆1)3()222=-+-y x （上一点的最短路程是 ．13．()()()b x a x x f ++=是偶函数，且它的定义域为()4,+a a ，则该函数的最小值是 ．14．已知02sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是_____________________.三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16．（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点A 的坐标为()1,3-，AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求BC 边所在直线的方程．17. （本小题满分14分）已知向量)sin ,(cos αα=a, )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a .（Ⅰ）求cos()αβ-的值;（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α.18. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点AB ，． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．19. （本小题满分14分） 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2==PD AD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点． （Ⅰ）求证：PAB EF 面⊥； （Ⅱ）设,2AD AB =求点C 到平面AEF 的距离．20. （本小题满分14分）设()()2,,f x ax bx c a b c =++为实常数, ()01f =，()()(),0,0f x xg x f x x <⎧⎪=⎨->⎪⎩.(Ⅰ)若()20f -=, 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立, 求()g x 的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 若()()h x f x kx =+不是[2, 2]上的单调函数, 求实数k 的取值范围； (Ⅲ)设0,0,0a m n >><且0m n +>, 当()f x 为偶函数时, 求证: ()()0g m g n +<.天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题答卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)题号1234567891答案二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)题号11121314答案三、解答题：15.16.17.18.19.20.天河区09-10学年下学期高一数学竞赛答案一、选择题：ACCBC ACADD二．填空题： 11.120︒ 12. 4 13．4- 14． 32-三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）∵ 2()sin cos f x x x x =)12sin cos cos 212x x x =⋅++ ……………1分1sin 22222x x =++ ……………2分sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………4分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤ ……………8分 ∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………10分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤+= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22+，最小值为0．……………12分16．（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点A 的坐标为()1,3-，AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求BC 边所在直线的方程．【解析】设11(410,)B y y -， ……………3分由AB 中点在610590x y +-=上， 可得：0592110274611=--⋅+-⋅y y ，y 1 = 5，所以(10,5)B ．……………6分 设A 点关于4100x y -+=的对称点为'(',')A x y ， ……………7分 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-'+'=+-'⋅-+'14131********x y y x . ……………9分 所以：()7,1'A ……………10分故:29650BC x y +-=……………12分17. （本小题满分14分）已知向量)sin ,(cos αα=a , )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a . （Ⅰ）求cos()αβ-的值; （Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α.【解】（Ⅰ）(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，. ……………2分5-=a b , 5=, ………3分 即 ()422cos 5αβ--=, ………5分 ()3cos 5αβ∴-=. ……………6分 （Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<, ……………7分 ()3cos 5αβ-=, 5sin 13β=-()4sin 5αβ∴-=， 12cos 13β=……………9分 ()()()sin sin sin cos cos sin 11ααββαββαββ∴=-+=-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦分412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ……………12分18. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点AB ，． （1）求k 的取值范围； （2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．………………………………………2分代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ①………………………………………4分直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于 2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，…………………………………6分 解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． …………………………………7分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，， 由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③…………………………………10分而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，． 所以OA OB +与PQ 共线等价于12122()6()x x y y -+=+，…………………………13分 将②③代入上式，解得34k =-． 由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ………14分19. （本小题满分14分） 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2==PD AD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点．（Ⅰ）求证：PAB EF 面⊥；（Ⅱ）设,2AD AB =求点C 到平面AEF 的距离．【解析】（Ⅰ）连BE PE ,，易知BCE PDE ∆≅∆，所以BE PE =，在PEB ∆中，F 为PB 的中点，BE PE =，所以PB EF ⊥……………2分取BA 得G ，连FG EG ,，易证DPA EFG 面面// ……………4分EF BA EFG BA PAD BA PD BA AD BA ⊥⊥⊥⊥⊥则面则面,,,, ……………6分由B BA PB PB EF BA EF =⋂⊥⊥,,，所以PAB EF 面⊥ ……………7分（Ⅱ）因为AEC F AEF C V V --= ……………8分在EFA ∆中由（Ⅰ）PAB EF 面⊥得FA EF ⊥， ……………9分221==BP FA ；622=+=DE AD EA ，2=∆AEF S ……………11分 在AEC ∆中，221=⋅=∆AD CE S AEC ……………12分 又F 到面ACE 距离121==PD ，代入体积公式得点C 到平面AEF 的距离为1……………14分20. （本小题满分14分）设()()2,,f x ax bx c a b c =++为实常数, ()01f =， ()()(),0,0f x xg x f x x <⎧⎪=⎨->⎪⎩.(Ⅰ)若()20f -=, 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立, 求()g x 的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 若()()h x f x kx =+不是[2, 2]上的单调函数, 求实数k 的取值范围； (Ⅲ)设0,0,0a m n >><且0m n +>, 当()f x 为偶函数时, 求证: ()()0g m g n +<.【解析】（Ⅰ）由()10=f 得1=c ……………1分 由()02=-f 得0124=+-b a , ……………2分又由()0≥x f 对R x ∈恒成立, 知0>a 且042≤-=∆a b ， ……………4分即()011222≤-=+-b b b ∴41,1==a b ……………5分从而()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>---<++=++=0141141;141222x x x x x x x g x x x f ……………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()()11412+++=x k x x h , 其图象的对称轴为()12+-=k x , ……………7分再由()x h 在 [2, 2]上不是单调函数, 故得()2122<+-<-k 解得02<<-k ……………9分(Ⅲ)当()x f 为偶函数时, ()()x f x f =-, ∴0=b , ∴()12+=ax x f , ………10分 0>a 故()x f 在(0, +∞)上为增函数, 从而, ()x g 在(0, +∞)上为减函数,……11分 又0,0,0,0>->∴>+<>n m n m n m , 从而()()n g m g -< ………12分 且()()()()n g n f n f n g -=-=--=- 故得()()n g m g -<, ……………13分 因此, ()()0g m g n +< ……………14分。
天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题
天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题(总17页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．直线 017tan=-+⋅y x π的倾斜角α是A ．76π B ．76π- C ．7π D ．7π- 2．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为 A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与153．已知集合{|27}E x x =-≤<，{}φ≠-≤≤+=121|m x m x F ，若E F E =，则实数m 的取值范围是A ．[3,4)-B ．]4,3[-C ．)4,2[D ．()4,24．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π6 5．若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围是A.)1,0(B.)2,0(C.)2,1(D.),2(+∞6．函数22sin ()14y x π=--是主视图3A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 7．为了得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，||||,2==++且，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为A ．21B ．23 C ．21-D ．23- 9．如图，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045,腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 A ． 21+B ． 221+C ．222+ D ．22+10 已知0>t ，关于x 的方程2x =-A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. 已知向量,5),4,2(),2,1(=--==c b a 的夹角为与则若c a ,25)( =⋅+c b a ______.12. 一束光线从点A （-1，1）发出，并经过x 轴反射，到达圆1)3()222=-+-y x （上一点的最短路程是 ．13．()()()b x a x x f ++=是偶函数，且它的定义域为()4,+a a ，则该函数的最小值是 ．14．已知02sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是_____________________.三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16．（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点A 的坐标为()1,3-，AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求BC 边所在直线的方程．17. （本小题满分14分）已知向量)sin ,(cos αα=a, )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a .（Ⅰ）求cos()αβ-的值;5（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α.18. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．619. （本小题满分14分） 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2==PD AD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点．（Ⅰ）求证：PAB EF 面⊥；（Ⅱ）设,2AD AB =求点C 到平面AEF 的距离．20. （本小题满分14分）设()()2,,f x ax bx c a b c =++为实常数, ()01f =，()()(),0,0f x x g x f x x <⎧⎪=⎨->⎪⎩.(Ⅰ)若()20f -=, 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立, 求()g x 的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 若()()h x f x kx =+不是[-2, 2]上的单调函数, 求实数k 的取值范围； (Ⅲ)设0,0,0a m n >><且0m n +>, 当()f x 为偶函数时, 求证: ()()0g m g n +<.天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题答卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)题号11 12 13 14答案三、解答题：716.817.918.1019.20.天河区09-10学年下学期高一数学竞赛答案一、选择题：ACCBC ACADD二．填空题： 11.120︒ 12. 4 13．4- 14． 32-三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）∵ 2()sin cos f x x x x =)12sin cos cos 212x x x =⋅++ ……………1分1sin 222x x =++ ……………2分sin 232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………4分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤ ……………8分∴ sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………10分∴ 20sin 213222x π⎛⎫≤++≤+= ⎪⎝⎭，∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小值为0．……………12分16．（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点A 的坐标为()1,3-，AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求BC 边所在直线的方程．【解析】设11(410,)B y y -， ……………3分由AB 中点在610590x y +-=上， 可得：0592110274611=--⋅+-⋅y y ，y 1 = 5，所以(10,5)B ．……………6分设A 点关于4100x y -+=的对称点为'(',')A x y ， ……………7分 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-'+'=+-'⋅-+'14131********x y y x . ……………9分所以：()7,1'A……………10分 故:29650BC x y +-=……………12分17. （本小题满分14分）已知向量)sin ,(cos αα=a , )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a . （Ⅰ）求cos()αβ-的值; （Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α.【解】（Ⅰ）(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，. ……………2分5-=a b ,5=, ………3分 即 ()422cos 5αβ--=, ………5分 ()3cos 5αβ∴-=. ……………6分 （Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<, ……………7分()3cos 5αβ-=, 5sin 13β=-()4sin 5αβ∴-=， 12cos 13β=……………9分 ()()()sin sin sin cos cos sin 11ααββαββαββ∴=-+=-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦分412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ……………12分18. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，， 过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．………………………………………2分 代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ①………………………………………4分 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，…………………………………6分 解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． …………………………………7分（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，， 由方程①，1224(3)1k x x k -+=-+ ②又1212()4y y k x x +=++． ③…………………………………10分而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，．所以OA OB +与PQ 共线等价于12122()6()x x y y -+=+，…………………………13分 将②③代入上式，解得34k =-． 由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ………14分19. （本小题满分14分） 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2==PD AD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点．（Ⅰ）求证：PAB EF 面⊥；（Ⅱ）设,2AD AB =求点C 到平面AEF 的距离．【解析】（Ⅰ）连BE PE ,，易知BCE PDE ∆≅∆，所以BE PE =，在PEB ∆中，F 为PB 的中点，BE PE =，所以PB EF ⊥……………2分取BA 得G ，连FG EG ,，易证DPA EFG 面面// ……………4分 EF BA EFG BA PAD BA PD BA AD BA ⊥⊥⊥⊥⊥则面则面,,,, ……………6分 由B BA PB PB EF BA EF =⋂⊥⊥,,，所以PAB EF 面⊥ ……………7分 （Ⅱ）因为AEC F AEF C V V --= ……………8分 在EFA ∆中由（Ⅰ）PAB EF 面⊥得FA EF ⊥， ……………9分221==BP FA ；622=+=DE AD EA ，2=∆AEF S ……………11分 在AEC ∆中，221=⋅=∆AD CE S AEC ……………12分 又F 到面ACE 距离121==PD ，代入体积公式得点C 到平面AEF 的距离为1 ……………14分20. （本小题满分14分）设()()2,,f x ax bx c a b c =++为实常数, ()01f =，()()(),0,0f x xg x f x x <⎧⎪=⎨->⎪⎩.(Ⅰ)若()20f -=, 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立, 求()g x 的表达式； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 若()()h x f x kx =+不是[-2, 2]上的单调函数, 求实数k 的取值范围； (Ⅲ)设0,0,0a m n >><且0m n +>, 当()f x 为偶函数时, 求证: ()()0g m g n +<.【解析】（Ⅰ）由()10=f 得1=c ……………1分由()02=-f 得0124=+-b a , ……………2分 又由()0≥x f 对R x ∈恒成立, 知0>a 且042≤-=∆a b ， ……………4分即()011222≤-=+-b b b ∴41,1==a b ……………5分 从而()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>---<++=++=01410141;141222x x x x x x x g x x x f ……………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()()11412+++=x k x x h , 其图象的对称轴为()12+-=k x , ……………7分再由()x h 在 [-2, 2]上不是单调函数, 故得()2122<+-<-k 解得02<<-k……………9分(Ⅲ)当()x f 为偶函数时, ()()x f x f =-, ∴0=b , ∴()12+=ax x f , ………10分 0>a 故()x f 在(0, +∞)上为增函数, 从而, ()x g 在(0, +∞)上为减函数,……11分 又0,0,0,0>->∴>+<>n m n m n m , 从而()()n g m g -< ………12分 且()()()()n g n f n f n g -=-=--=- 故得()()n g m g -<, ……………13分 因此, ()()0g m g n +< ……………14分。
2010年天河区高一数学竞赛获奖学生名单
34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
张晋宁 庄裕山 邝颖聪 张国昊 陈梓滔 周诗韵 卢路明 杨林伟 梁润钊 谭瑙泽 黄日广 吴崇雄 詹仲舟 孔兆明 陈天宇 刘泽涛 陈健武 黄家杨 蔡玉莹 黄颖欣 陈润玲 张炜杰 龙 乙 周子博 毕鑫 朱伟平 江晓妹 熊意林 郑嘉鑫 倪楠 梁延东 高彦 吴敏怡 曾俊鹏 黄漂雄 游丰析
一等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖
成东 谌小为 姚正喜 段锦矿 陈望胜 段锦矿 成东 袁伟林 林俊平 林俊平 袁伟林 武瑞恒 林俊平 林俊平 林俊平 段锦矿 谌小为 谌小为 袁伟林 成东 袁伟林 黄少华 姚正喜 林俊平 李宏伟 吴治平 成东 姚正喜 林俊平 林俊平 陈望胜 王翠娜 王翠娜 李琼 袁伟林 黄少华
广州市天河中学 广州市第七十五中学 广州市华美英语实验学校 广州市第四十七中学 广州市第四十七中学 广州市第四十七中学 广州市天河中学 广州市第八十九中学 广州市第四十七中学 广州市第四十七中学 广州市第八十九中学 广州市暨南大学附属中学 广州市第四十七中学 广州市第四十七中学 广州市第四十七中学 广州市第四十七中学 广州市第七十五中学 广州市第七十五中学 广州市第八十九中学 广州市天河中学 广州市第八十九中学 广州市第八十九中学 广州市华美英语实验学校 广州市第四十七中学 广州市天河中学 广州市天河中学 广州市天河中学 广州市华美英语实验学校 广州市第四十七中学 广州市第四十七中学 广州市第四十七中学 广州市天河中学 广州市天河中学 广州市第一一三中学 广州市第八十九中学 广州市第八十九中学
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、选择题1、若A={3，4，5}，B={1，2}，f为集合A到集合B的映射，则这样的映射f的个数为（）A、8个B、6个C、9个D、12个2、已知I=R，A={x||x－a|≤2}，B={x||x－1|≥3}且A∩B= ，则实数a的取值范围是（）A、0≤a≤2B、0<a<2C、0≤a≤1D、0<a<13、已知函数，则它的定义域是（）A、[-2,0)∪(0,2]B、C、D、(0,2]4、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在（－∞，0）上递增，n=f(a2+a+1)，则m，n的大小关系是（）A、m>nB、m<nC、a>0时，m>nD、不能确定5、设a、b、c 分别是方程的实数根，则（）A、a>b>cB、b>a>cC、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、D、7、数的大小顺序为（）A、a>b>cB、a<b<cC、a<c<bD、c<a<b8、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中如果某人不亚于其它99人，就称它为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（）A、1个B、2个C、50个D、100个[答案]二、填空题9、如果质数p、q满足关系式3p＋5q=31，那么= ___________．10、非空集合则具备这样性质的集合s共有______个．11、若，则a0＋a2＋a4＋a6=______．12、一个学校中有2001个学生，每人都学习法语或西班牙语，其中学习西班牙语的学生数在总人数中所占的比例介于80%与85%之间；学习法语的学生数在总人数中所占的比例介于30%与40%之间，设两门都学的学生数的最小值为m，最大值为M，则M－m的值为_____________．[答案]三、解答题13、设－1≤x≤0，求函数y=2x＋2－3×4x的最大值及最小值．[解答]14、已知A={x|x2－7x＋10≤0}，B={x|x2＋ax＋b<0}，且A∩B≠,A∪B={x||x－3|<4≤2x}，写出集合s={x|x=a＋b}．[解答]15、设其中a i∈N(i=1,2,3,4,5)，a1<a2<a3 <a4<a5，且A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又A∪B元素之和为224，求A．[解答]16、函数f(n)是定义在正整数集上，并取非负整数值，且对所有m，n，有f(m＋n)－f(m)－f(n)=0或1，以及f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)．[解答]。
高一第二学期数学竞赛试题含答案
高一第二学期数学竞赛试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.13B.12 C .310 D.7102．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32 C ．2 D ．63．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α等于( )A ．－12B ．－14 C.12 D.324．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．125．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )A ．－22B .22C ．－1D ．16．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A .23 B.13 C ．－13 D ．－237．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．38．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图像关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图像关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图像向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图像D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数二、填空题(本大题共5小题，每小4分，共20分)11．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．0.312．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.π213．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________.13－15614．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC→＝________.2 15．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________.12三、解答题(本大题共6小题，共60分)16．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x ，y )表示“甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车”．(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A ，则P (A )＝19. (3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B ，则P (B )＝1－3×19＝23. 17．(12分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2.(1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4.(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.18．(12分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB→，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)．(2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)．当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]．若a >0，当2x ＋π6＝π2时，f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52；若a <0，当2x ＋π6＝7π6时， f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5.19．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．解 (1)∵图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT ＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x .(2)由已知得cos(α＋π3)＝13.∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)．∴sin(α＋π3)＝223.∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429.20．(12分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32 ＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32 ＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直，得5f (π4－A )＋1＝0，∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45.∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)，∵sin(2A －π3)＝－45<0，∴2A －π3∈(－π3，0)，∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3]＝35×12＋45×32＝43＋310.。
广东省高一下学期数学6月月考试卷
广东省高一下学期数学 6 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一下·通辽期末) 若，则下列不等式成立的是（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2019 高二上·双流期中) 已知向量,则的充要条件是 （ ）A. B. C. D.3. （2 分） 已知{an}是等比数列，a2=2，a5= ，则公比 q=（ ）A. B . ﹣2 C.2D.4. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 在中，，，，则 的值为（ ）第 1 页 共 16 页A. B. C. D. 5. （2 分） (2019 高二下·鹤岗月考) 已知 位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的 是（ ）A . 众数为 7 B . 极差为 19 C . 中位数为 64.5 D . 平均数为 64 6. （2 分） (2020 高二下·天津月考) 若 x2－ax－b<0 的解集是{x|2<x<3}，则 bx2－ax－1>0 的解集为（ ） A. B. C. D. 7. （2 分） 如果执行右边的程序框图，那么输出的 S= （ ）第 2 页 共 16 页A . 2450 B . 2500 C . 2550 D . 2652 8. （2 分） (2017 高一上·邢台期末) 对变量 x，y 有观测数据（xi ， yi）（i=1，2，3，…，8），得散点图 如图①所示，对变量 u，v 有观测数据（ui ， vi）（i=1，2，3，…，8），得散点图如图②所示，由这两个散点图 可以判断（ ）A . 变量 x 与 y 正相关；u 与 v 正相关 B . 变量 x 与 y 正相关；u 与 v 负相关 C . 变量 x 与 y 负相关；u 与 v 正相关 D . 变量 x 与 y 负相关；u 与 v 负相关 9. （2 分） 为测一树的高度，在地面上选取 A、B 两点，从 A、B 两点分别测得树尖的仰角为 30°，45°，且第 3 页 共 16 页A、B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为（ ）A.B.C.D.10. （2 分） (2019·龙岩模拟) 已知等差数列 前 8 项和为（ ）的公差为 ，若A . -20B . -18C . -8D . -10成等比数列，则数列 的11. （2 分） 在中，，． 若点 满足，则（）A. B. C. D. 12. （2 分） 设正实数 a，b 满足 a+λb=2（其中 λ 为正常数）．若 ab 的最大值为 3，则 λ=（ ）第 4 页 共 16 页A.3B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高三上·双流期中) 某校有高一学生 名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为 ________．的样本，若样本中男生比女生多 人，则14. （1 分） (2020 高三上·浙江月考) 已知向量，，则________， ________.，，且，15. （1 分） (2016 高三上·虎林期中) 设数列{an}是首项为 1，公比为﹣3 的等比数列 a1+|a2|+a3+|a4|+a5=________．16.（1 分）(2018·浙江模拟) 在中，角所对的边分别为 ， ，，且外接圆半径为 ，则 ________，若，则的面积为________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） (2018 高一下·汕头期末) 已知数列 中，前 项和和 满足，．（1） 求数列 的通项公式；（2） 设，求数列 的前 项和 ．18. （10 分） (2019·荆门模拟) 在中，角所对的边分别为，且．1 求角 的值；19. （15 分） (2019 高三上·安顺月考) 某研究机构为了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了第 5 页 共 16 页60 名学生（其中男、女生人数之比为 2：1）进行问卷调查.进行统计后将这 60 名学生按男、女分为两组，再将每组学生每天使用手机的时间（单位：分钟）分为 率分布直方图（所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过 50 分钟）.5 组，得到如图所示的频（1） 求出女生组频率分布直方图中 的值； （2） 求抽取的 60 名学生中每天使用手机时间不少于 30 分钟的学生人数.20. （10 分） (2019 高一下·内蒙古期中) 数列 满足.（1） 设，求证： 为等差数列；（2） 求数列 的前 项和21. （10 分） (2020·南京模拟) 已知正数满足，求22. （10 分） (2018·吉林模拟) 在中，角所对边分别是的最小值. ，满足（1） 求角 ；（2） 若，求面积的最大值.第 6 页 共 16 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点： 解析：第 7 页 共 16 页答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点： 解析：第 8 页 共 16 页答案：7-1、 考点： 解析： 答案：8-1、 考点： 解析：答案：9-1、 考点： 解析：第 9 页 共 16 页答案：10-1、 考点：解析： 答案：11-1、 考点： 解析：答案：12-1、 考点：第 10 页 共 16 页解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
广东省广州市天河中学2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试 数学试题【含答案】
广州市天河中学高中部2023学年第二学期6月高一数学考试试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分满分：150分考试用时：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填涂到答题卡上．1．已知复数z 满足：()20241i 23i z +=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量()2,a m = ，(),1b n = ，()1,1c m =+- ，若a b ⊥ ，//b c ，则m n +为（）A ．13-B ．13C ．1D ．1-3．在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A B ．C ．D 4．已知α、β、γ是三个不同的平面，l 、m 、n 是三条不同的直线，则（）A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m αγ= ，n βγ= ，//αβ，则//m n C ．若m α⊂，n α⊥，l n ⊥，则//l mD ．若l αβ= ，且//m l ，则//m α5．从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少1个白球，都是红球B ．至少1个白球，至少1个红球C ．至少1个白球，至多1个白球D ．恰好1个白球，恰好2个红球6．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）A ．A 与B 互为对立事件B ．()()P A P B =C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥7．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（）A ．163，5B ．5，5C ．163，6D ．5，68．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，若E 、F 分别为AB ，AC 靠近点A 的三等分点，平面11EB C F 将三棱柱分成左右两部分体积为1V 和2V ，那么12:V V =（）A ．7:5B ．14:13C ．5:7D ．13:14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选不得分．9．在ABC 中，11,45,2OA OB AOB AM MB ∠====，则下列选项正确的是（）A ．1233OM OA OB =+ B ．1OA OB ⋅= C ．min 22OA tOB+=D ．向量OB 在向量OA 上的投影向量为OA10．已知函数()1cos cos 22f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象的对称轴方程为()ππ32k x k =+∈Z D ．函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象向右平移π12单位长度得到11．袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（）A ．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是35B ．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是18125C ．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是25D ．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是15三、填空题：本大题共3小题，共15分．12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为．13．若1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，则1a ，2a ，…，20a ，x 这21个数据的方差为．14．一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75 ，距离为C 在A 的北偏西30 ，距离为该游轮由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60 方向，则此时灯塔C 位于游轮的方向(用方向角作答)四、解答题：本大题共5小题，共77分．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，14BC AA ==，5AB =，D 是AB 的中点．(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求点B 到平面1CDB 的距离．16．在ABC 中，2221sin sin cos sin sin A B B A C +=-+.(1)求角C 的大小；(2)若D 在边AB 上，DC CB ⊥，且1AC AD ==，求ABC 的面积S .17．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11A B 与1A C ，11B C 都垂直，已知3AB =，15AA AC ==．(1)求证：平面1A BC⊥平面ABC；(2)当直线1A B与底面ABC所成的角为π3时，求二面角1A AC B--的正切值．18．辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为A+，则直接参加；若一科笔试成绩为A+，另一科笔试成绩不低于B，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为25，16，112，15，320；乙在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为14，15，25，110，120；甲、乙在面试中通过的概率分别为15，516．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n = ，非零向量(),OM m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点.(1)若向量OM 的“伴随函数”为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求向量OM ；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =，且已知8a =，()35h A =；（ⅰ）求ABC 周长的最大值；（ⅱ）求AB AC AB AC +-⋅的取值范围.1．D【分析】根据题意结合复数的四则运算及几何意义分析求解.【详解】因为()20241i 23i z +=+，可得复数()1012202423i 23i 23i 31i 1i 2211z +++====+++-，可得31i 2z =-，所以z 在复平面内对应的点的坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D ．2．D【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示可直接构造方程求得,m n ，进而求得结果.【详解】a b ⊥ ，//b c，201n m m n+=⎧∴⎨+=-⎩，解得：2m =-，1n =，1m n ∴+=-.故选：D.3．A【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.【详解】连接DE ，设正四面体ABCD 的棱长为2，因为,G F 分别为,AC CD 的中点，则GF //AD ，所以异面直线AE ，FG 所成角为DAE ∠（或其补角），在ADE V 中，则2AE DE AD ===，由余弦定理可得222cos2AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅所以异面直线AE ，FG 故选：A.4．B【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故A 错误；对于B ：根据面面平行的性质定理可知，若//αβ，且m αγ= ，n βγ= ，则//m n ，故B 正确；对于C ：若n α⊥，m α⊂，则n m ⊥，又l n ⊥，则//l m 或m 与l 相交或m 与l 异面，故C 错误；对于D ：若l αβ= ，且//m l ，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B 5．D【分析】根据题意，结合互斥事件和对立事件的概念，逐项判定，即可求解.【详解】从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，对于A 中，至少1个白球，都是红球是对立事件，所以A 错误；对于B 中，至少1个白球，至少1个红球能同时发生，不是互斥事件，所以B 错误；对于C 中，至少1个白球，至多1个白球能同时发生，不是互斥事件，所以C 错误；对于D 中，恰好1个白球，恰好2个红球不能同时发生，是互斥事件，且这两个事件可能都不发生，故不是对立事件，所以D 正确.故选：D.6．B【分析】AD 选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B 选项，求出两事件的概率；C 选项，两事件不是同一事件，C 错误.【详解】AD 选项，事件A 与B 能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD 均错误；B 选项，()()12P A P B ==，故B 正确；C 选项，事件A 与事件B 不是同一个事件，故C 错误．故选：B ．7．C【分析】先求出x 的值，再根据定义分别求解.【详解】依题意可得中位数42x +=，众数为4，由题意知45424x +=⨯，解得6x =，该组数据的平均数为()114467856x =⨯+++++=，则该组数据的方差是2222222116(15)(45)(45)(65)(75)(85)63S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，因为660% 3.6⨯=，所以该组数据的第60百分位数是6；故选：C.8．D【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比.【详解】设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则12V V V Sh =+=，因为E 、F 分别为AB ，AC 靠近点A 的三等分点，所以19AEF S S = ，则11113(3927V S S h Sh =+=，所以211427V V V Sh =-=，所以12:13:14V V =.故选：D.9．BCD【分析】利用平面向量基本定理可表示出2133OM OA OB =+，由平面向量数量积定义可知B正确；将OA tOB + 平方并利用二次函数性质可求得最值，再由投影向量定义计算可判断出D 正确.【详解】如下图所示：对于A ，由12AM MB = 可得13AM AB =，所以()11213333OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+ ，因此A 错误；对于B ，cos 11OA OB OA OB AOB ⋅=∠=⨯ ，可知B 正确；对于C ，易知222222111222222OA tOB OA t OB tOA B t t t O ⎛⎫=⋅=++=++ ⎪⎝⎭+++ ，显然21112222t ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当12t =-时，等号成立；所以2OA tOB +≥，可得min 2OA tOB += ，即C 正确；对于D ，向量OB 在向量OA上的投影向量为2211OB OA OA OA OA OA⋅==，即可得D 正确.故选：BCD 10．BCD【分析】对于A ：根据三角函数图象变换分析求解；对于B ：根据正弦型函数周期公式运算求解；对于C ：以π26x -为整体，结合正弦函数的对称性运算求解；对于D ：根据三角函数图象变换分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：()1πcos2sin 226f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ：函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；对于选项C ：令ππ2π,62x k k -=+∈Z ，解得ππ,23k x k =+∈Z ，故C 正确；对于选项D ：sin2y x =的图象向右平移π12单位长度，可得()ππsin2sin 2126y x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：BCD.11．BCD【分析】AB 选项，考虑有放回时，利用白球和黑球个数比例求出相应的概率；C 选项，考虑两种情况，求出相应的概率求和即可；D 选项，在C 选项的基础上进行求解即可.【详解】A 选项，有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率为22325=+，A 错误；B 选项，放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球，则前两次均摸到黑球，故概率为2321855125⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，B 正确；C 选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球，分以下两种情况进行求解，前两次摸到1个白球，第三次摸到白球和前两次没有摸到白球，第三次摸到白球，其中前两次摸到1个白球，第三次摸到白球的概率为23132115435435⨯⨯+⨯⨯=，前两次没有摸到白球，第三次摸到白球的概率为32215435⨯⨯=，综上：第三次摸到白球的概率为152155+=，C 正确；D 选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率为32215435⨯⨯=，D 正确.故选：BCD12【分析】利用圆柱的高和圆柱外接球半径，求出圆柱底面圆半径，由圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得，球半径1R =，圆柱底面圆半径12r =，该圆柱的表面积23π22π1π222S ⎛⎫+=⋅⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.．13．0.20【解析】根据平均数与方差的概念，利用公式，准确计算，即可求解．【详解】由题意，数据1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，由方差的公式，可得222212201[()()()]0.2120s a x a x a x =⨯-+-++-= ，所以2221220((( 4.2a x a x a x -+-++-= ，所以22222122011[()()()()] 4.20.202121s a x a x a x x x '=⨯-+-++-+-=⨯= ，故答案为：0.20．【点睛】本题主要考查了平均数与方差的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．14．南偏西60【分析】由正弦定理得到24AD =，由余弦定理得12CD =，从而由正弦定理得到sin CDA ∠，结合AD AC >，得到60CDA ∠= ，得到答案.【详解】如图，在ABD △中，180607545B =--=，由正弦定理得sin45sin60AD AB == 24AD =，在ACD 中，由余弦定理得2222cos30CD AC AD AC AD =+-⨯⨯ ，因为24AC AD ==，所以解得12CD =，由正弦定理得sin30sin CD AC CDA ∠=，解得sin CDA ∠，故60CDA ∠= 或120CDA ∠= ，因为AD AC >，故CDA ∠为锐角，所以60CDA ∠= ，此时灯塔C 位于游轮的南偏西60 方向．故答案为：南偏西6015．(1)证明见解析(2)17【分析】（1）设11B C BC O = ，连接OD ，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用余弦定理求出CDB S △和1CDB S ，再利用等体积法即可得解.【详解】（1）设11B C BC O = ，连接OD ，直三棱柱111ABC A B C -中，11BCC B 是矩形，O ∴是1BC 中点， 点D 是AB 的中点，1//OD AC ∴，OD ⊂ 平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，1//AC ∴平面1CDB ；（2）易知111343222CDB ABC S S ==⨯⨯⨯= ，又15AC ==，1C B =,在CDO 中，11522OD AC ==，1522CD AB ==，112CO CB ==由余弦定理可得，(2225522cos 5522COD ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯，所以sin COD ∠=则()11115sin 222CDB S CB OD COD ⎛=⋅∠=⨯⨯= ⎝⎭设点B 到平面1CDB 的距离为h ，因为11B CDB B CDB V V --=，所以1111··33CDB CDB S h S BB = ，34h =⨯，所以63417h =．16．(1)2π3【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简即可得出所求角；（2）由正弦定理求出ADC ∠，再由三角形的面积公式求解.【详解】（1）由题意得2221cos sin sin sin sin B A C A B -+-=-，即222sin sin sin sin sin B A C A B +-=-，由正弦定理得222AC BC AB BC AC +-=-⋅，由余弦定理得2221cos 22AC BC AB C BC AC +-==-⋅.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.（2）如图，因为DC CB ⊥，所以2πππ326ACD ∠=-=.在ACD 中，由正弦定理得1πsin6=，解得sin ADC ∠=则2π3ADC ∠=或π3（舍去），得2ππππ366A B =--==，则BC AC ==故12π33sin 234S ==.17．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据题意，证得因为111A B A C ⊥和AB BC ⊥，证得AB ⊥平面1A BC ，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面1A BC ⊥平面ABC ；（2）根据题意，证得1A D ⊥平面ABC ，得到1A BD ∠是1A B 与平而ABC 所成的角，作DE AC ⊥，得到1A ED ∠为二而角1A AC B --的平面角，在直角1A ED △中，列出方程，即可求解.【详解】（1）证明：因为111A B A C ⊥，1111A B B C ⊥，又由棱台得性质，可得11//AB A B ，所以1,AB A C AB BC ⊥⊥，又因为1BC A C C = ，且，1,BC A C ⊂平面1A BC ，所以AB ⊥平面1A BC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以平面1A BC ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知，平面1A BC ⊥平面ABC ，过1A 作1A D BC ⊥于D ，因为平面1A BC ⋂平面ABC BC =，1A D ⊂平面1A BC ，则1A D ⊥平面ABC ，所以1A BD ∠是1A B 与平而ABC 所成的角，即1π3A BD ∠=，作DE AC ⊥于E ，因为1A D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1A D AC ⊥，又因为1DE A D D = ，且1,DE A D ⊂平面1A DE ，所以AC ⊥平面1A DE ，因为1A E ⊂平面1A DE ，所以1AC A E ⊥，则1A ED ∠为二面角1A AC B --的平面角，在直角ABC 中，3,5AB AC ==，可得BC 4==，在直角1A DB △中，114,2,2A B A D BD CD ====，又由DEC ABC △∽△，可得DE CD AB AC =，所以23655CD AB DE AC ⋅⨯===，所以1153tan 3A D A ED DE ∠==，二面角1A ACB --的正切值为3.18．(1)作图见解析，76.25分；(2)35；(3)132.【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；（2）根据古典概型的概率计算公式求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知[70,80)的频率为1(0.0150.0300.0100.005)100.40-+++⨯=，所以[70,80)组的纵轴为0.40100.040÷=，所以频率分布直方图如下所示：又(0.0100.005)100.150.3+⨯=<，0.4(0.0100.005)100.550.3++⨯=>，所以第70%分位数位于[70,80)，且0.40.15107076.250.4-⨯+=，所以入围分数应设为76.25分.（2）依题意从[80,90)抽取0.01640.010.005´=+人，标记为1,2,3,4；从[90,100]抽取0.005620.010.005´=+，标记为a ，b ；从6人中随机选2人其样本空间可记为()()()()()()()()(){()()()()()()}Ω1,21,31,41,1,2,32,42,2,3,43,3,4,4,,a b a b a b a b a b =，共包含15个样本点，即有15种选法．设事件A=“至少有1名学生成绩不低于90”，则其中2人都是[80,90)的样本空间可记为{}(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)A =，共包含6个样本点，即有6种选法．则63()1()1155P A P A =-=-=；所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为35.（3）依题意甲能参加冬令营的概率2221111255561255P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭甲，乙能参加冬令营的概率11112552444551632P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭乙，二人互不影响，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率15153232P P P ==⨯=甲乙．19．(1)(3OM = (2)（ⅰ）858；（ⅱ）[)32,8-【分析】（1）由“源向量”与“伴随函数”的概念将()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为()sin cos f x m x n x =+形式求解即可.（2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合重要不等式求解即可.【详解】（1）()πππ2sin 2sin cos 2cos sin sin cos 333f x x x x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以(OM = （2）（ⅰ）由于函数()h x 的“源向量”为()0,1OM = ，所以()cos h x x =，()35h A =，所以3cos 5A =，()0,πA ∈，所以4sin 5A =，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即()2226166455b c bc b c bc =+-=+-，所以有基本不等式得：()()221646455bc b c b c =+-≤+，所以()21645b c +≤，即()2320b c +≤，所以b c +≤=b c ==.所以8a b c ++≤+，所以周长的最大值为8.（ⅱ）35AB AC AB AC AB AC bc +-⋅-⋅- ，又226645b c bc =+-，所以226126455b c bc bc ++=+，所以3355AB AC AB AC bc bc +-⋅== ，因为22646455b c bc bc =+-≥，所以80bc ≤，当且仅当b c ==又当点A 无限接近点顶点C 时，边b 无限接近0，即bc 无限接近0，综上所述：080bc <≤，令t 23165bc t =-，48t <≤，从而()2232162165AB AC AB AC bc t t t t +-⋅==--=-++ ，所以[)2321632,85AB AC AB AC bc t t +-⋅==-++∈- ，即AB AC AB AC +-⋅ 的取值范围为[)32,8-.。
天河区05-06学年下学期高一数学竞赛考试题
天河区05-06学年下学期高一数学竞赛考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量)67cos ,23(cos ︒︒=，)37cos ,53(cos ︒︒=，=⋅b a （ ）(A)23 (B)21 (C)－23(D)－212．若1||||==b a ，⊥且32+与k 4-也互相垂直，则实数k 的值为（ ） (A)6- (B)6 (C)3- (D)33. 方程lg 3x x +=根的情况是 ( ) A. 有两个正根 B. 有一正根一负根 C. 仅有一正根 D. 没有实根4.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=05.下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.6、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π7、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，λ∈（0，∞），则直线AP 一定通过△ABC 的 A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心8．若奇函数f （x ）在区间[3，7]上递增且最小值为5，则f （x ）在[－7，－3]上为（ ） A ．增函数且最小值－5 B ．增函数且最大值－5 C ．减函数且最小值－5 D ．减函数且最大值－59.设P （x ,y ）为圆x 2+（y -1）2=1上的任一点，欲使不等式x +y +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）.A ．[12,21---] B.[+∞-,12] C.(12,12---) D.(12,--∞-)10．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 时一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围 。
2020-2021学年广东省广州市天河区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．已知复数z＝a2+（a+1）i，若z是纯虚数，则z的共轭复数＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是（）A．对立事件B．相互独立事件C．互斥但非对立事件D．以上都不对3．某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm、177.6cm，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（）A．176cm B．176.3cm C．176.6cm D．176.9cm4．复平面内的平行四边形OABC的项点A和C（O是坐标原点）对应的复数分别为4+2i 和﹣2+6i，则点B对应的复数为（）A．2+6i B．2+8i C．6+2i D．8+2i5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则EF 与平面ABCD所成角的正切值是（）A．B．C．D．6．某运动队为了对A、B两名运动员的身体机能差异进行研究，将A、B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分绘成折线图，并提出下列四个结论，其中错误的结论是（）A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分B．第2天至第7天B运动员的得分逐日提高C．第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量D．A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差7．关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊥β，a⊥b，b⊂α，则α∥βC．若a∥α，α⊥β，则a⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b8．如图，在△ABC中，∠CAB＝，AB＝3，AC＝2，，，则||＝（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2006年高中一年级数学竞赛试题及解析
2006年高中一年级数学竞赛试题及解析（总分：150分，时量：120分钟）第一卷 选择题、填空题一、选择题（第小题7分）1、已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1(x)，则函数y= f -1(1-x)的图象是（C ）解析：由已知可得，x x f2)(1=-，)1(1122)1(----==-x xx f ，xx g -=2)(与x x f2)(1=-关于y 轴对称（或)1(1122)1(----==-x x x f 为减函数），排出A 、B ， 又)1(1122)1(----==-x x x f 相当于x x g -=2)(向右平移了1个单位而得（或)1(1122)1(----==-x x x f 不过原点，排出D ），故选C. 2、在（0，2π），使sinx>cosx 成立的x 的取值范围为（ C ）A 、45,()2,4(ππππ B 、),4(ππ C 、45,4(ππ D 、)23,45(),4(ππππ 解法一：运用特殊值法； 解法二：利用三角函数的图象； 解法三：画单位圆3、方程2sin xx =解的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4解析：先构造函数x y sin 1=和22x y =， 再画出它们的图象，即可得交点个数.选C.4、在直角坐标系中，已知两点A （cos80°,sin80°），B （cos20°,sin20°），则|AB|的值是（ D ）A 、21B 、22C 、23 D 、1解法一：运用两点间的距离公式；解法二：作单位圆，则A 、B 是单位圆上位于第一象限的两点，∠AOB=80°-20°=60°，所以△AOB 是边长为1的等边三角形.故选D.5、已知二次函数f(x) =（x-a ）（x-b ）-2，m 、n 是方程f(x) =0的两根，则a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（ A ） A 、m<a<b<n B 、a<m<n<b C 、a<m<b<n D 、m<a<n<b解法一：特殊值法；解法二：设g(x)=（x-a ）（x-b ），则a 、b 就是g(x)与x 轴的两个交点的横坐标，f(x) = g(x)-2的图象，相当于g(x)的图象向下平移了2个单位，则m 、n 就是f(x)与x 轴的两个交点的横坐标，由函数图象即可得xyoABy出结果.选A.6、设0＜x ＜π，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是 ( C )A ．3B ．2C ．3D ．2-3解法一： 因y sin x +cos x =2，故2)sin(12=ϕ++x y ．由1)sin(≤ϕ+x ，得212≥+y ，于是32≥y ．因0＜x ＜π，故y ＞0．又当3=y 时，)6sin(2cos sin 3π+=+x x x ．若x =3π,有2)6sin(2=π+x ， 故y m in =3，选C ．解法二： 设tan 2x t =，则22212121tt t y t --+=+13t 2t 2=+≥=当且仅当13t 2t 2=，即t =332tan =x ，亦即x =3π时，取“=”，故y m in =3，选C ．解法三： 如图，单位圆中，∠MOt =),0(π∈x ，P (2,0)， M (cos x ，sin x )为圆上的任意一点，)0,[cos 2sin 0PA PM k xxk ∈--=，即为圆上一点M 与P 点的连线的斜率，当MP 与圆相切时，斜率最大. 因AP OA OP OA ⊥==,2,1，故∠AOP =3π，∠APt =65π，33tan -=∠=APt k PA ， 因x x y sin cos 2-=PM k 1-=， 故y m in = (- 1k PM )min = - 1k P A3，选C ．二、填空题（每小题7分）1、若直线y=2a ，与函数y=|a x —1|（a >0，且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 （0，21） 解析：若a >1，画出y=|a x —1|的图象，因为a >1，2a >2，所以y=2a 与y=|a x —1|只有一个交点.若0<a <1，画出y=|ax —1|的图象，若0<a <2，2a <1，所以y=2a 与y=|a x —1|有二个交点. 故a 的取值范围是（0，21）. 2、计算89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=____44.5________解析：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.53、函数)2(x f 的定义域是[-1，1]，则)(log 2x f 的定义域是______42≤≤x ______解析：42)(log 2log 222)(22211)2(22212121≤≤⇒≤≤⇒≤≤⇒≤≤⇒≤≤----x 是的定义x f x x 是的定义x f x 是的定义f x x 域域域4、函数312)(-+=x x x f 的值域是______y ≠2________ 解析：，x x x f x x x f 213)(312)(1-+=⇒-+=- 所以312)(-+=x x x f 的值域是y ≠2的实数5、设)(x f 是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当x ，x ，f x =≤≤)(10时则)5.7(f = -0.5 解析：由题意可知， )2(x f +=)(x f)5.7(f ∴＝)5.08(-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－０.５6、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0的解集是 (－2,0)∪(2,5] .解析：因为f(x)为奇函数，所以其图象关于 原点对称，画出其图象后，即可得f(x)<0的解集 为(－2,0)∪(2,5].第二卷 解答题1、已知0132=--x x ，求198757623+-+x x x 的值.解：198757623+-+x x x =（132--x x ）（2x+3）+1990=19902、已知：61=+x x 求30122-+x x 的值. 解：⇒=+226)1(x x 362122=++x x 34122=+⇒x x 430122=-+⇒xx3、已知函数)34lg(2++-=m mx mx y 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.解：函数)34lg(2++-=m mx mx y 的定义域为R ，即0342>++-m mx mx 恒成立，当0>m 时,100)3(4)4(△2<<⇒<+--=m m m m 时，0342>++-m mx mx 恒成立，当0=m 时，0342>++-m mx mx 恒成立，所以m 的取值范围是10<≤m .4、北京和上海分别有多余的精密仪器10台和4台，调配到武汉和广州，武汉要6台，广州要8台.预计每台运费为：北京到武汉400元，北京到广州800元，上海到武汉200元，上海到广州500元，问怎样调配可使运费最少？并求出最少的运费.解析：设从北京调往武汉x 台，则从北京调往广州（10-x ）台，设从上海调往武汉（6-x ）台，设从上海调往广州[8-（10-x ）]台，设总运费为y ，由题意可得：y=400x+800（10-x ）+200（6-x ）+500[8-（10-x ）]=400x+8000-800x+1200-200x-1000+500x=8200-100x 因为0≤x ≤10，0≤6-x ≤6， 0≤[8-（10-x ）]≤8，所以0≤x ≤6由此可得，当x=6时，（100x ）最大=600，y 最小=8200-600=7600答：设从北京调往武汉6台，则从北京调往广州4台，设从上海调往武汉0台，设从上海调往广州4台，最少的运费7600元。
广东高一高中数学竞赛测试带答案解析
广东高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，则是（）A．B．C．D．2.如图，已知分别是正方体的棱的中点，设为二面角的平面角，则＝（）A．B．C．D．3.点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（）A．B．C．D．4.有下列命题：①；②；③；④，其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个5.已知角与角的终边相同，那么的终边不可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.若幂函数在上是增函数，则（）A．B．C．D．不能确定7.已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A．B．C．D．8.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合．若此时点与点重合，则的值为（）A．B．C．D．9.函数是（）A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数10.的三内角所对边的长分别为设向量，，若∥，则角的大小为（）A．B．C．D．11.已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，，与的夹角为，则．2.在中，，，，则最短边的边长＝．3.已知，则的值是．4.某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确到0．1）”时，设，算得；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他又取的的4个值分别依次是．5.已知两圆和相交于两点，则公共弦所在直线的直线方程是．6.正六棱锥中，为侧棱的中点，则三棱锥与三棱锥的体积之比＝．三、解答题1.（本题10分）如图所示，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．2.已知圆．（1）此方程表示圆，求的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点），求的值；（3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程．3.（本小题满分10分）已知函数．（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设，若记，求函数的最大值的表达式．4.已知向量，其中．（1）若，求函数的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且，求的值．5.（本小题满分14分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且销售量近似满足（件），价格近似满足（元）．（1）试写出该种商品的日销售额与时间（）的函数关系表达式；（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值广东高一高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.若，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以【考点】集合的运算2.如图，已知分别是正方体的棱的中点，设为二面角的平面角，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则，设平面的法向量为，则由得，令，则，故，又由为平面的一个法向量，为的平面角，，故．故选B．【考点】二面角的平面角及其求法3.点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由点到直线的距离公式求得，点及直线的距离是，则的最小值是．【考点】点到直线的距离4.有下列命题：①；②；③；④，其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】①当为偶数，为负数时，，所以①不对；②明显不对；③应该为；④，④不对．故选择A．【考点】（1）根式（2）对数运算5.已知角与角的终边相同，那么的终边不可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由题知为第二象限角，所以可能落在第一，二，三象限，故选择C．【考点】（1）终边相同的角（2）象限角，轴线角6.若幂函数在上是增函数，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】因为幂函数在上是增函数，所以【考点】幂函数的性质7.已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得，函数的大致图像如图：由图得，B一定不成立，C，D一定成立，而A可能成立，也可能不成立，故选A．【考点】（1）二次函数的图像（2）根的存在性及根的个数判断8.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合．若此时点与点重合，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，得到折痕的对称轴，也是的对称轴，的斜率为，其中点为，所以图纸的折痕所在的直线方程为，所以的中点为，所以，由①②解得【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程9.函数是（）A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数【答案】D【解析】，故选D．【考点】（1）降幂公式（2）正弦函数的周期（3）函数的奇偶性10.的三内角所对边的长分别为设向量，，若∥，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）余弦定理（2）平行向量与共线向量11.已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是偶函数，，，又因为在区间是减函数，，故选C．【考点】奇偶性与单调性的综合12.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，解得，因为点是线段上的一个动点，所以，即满足条件的实数的取值范围是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义二、填空题1.已知，，与的夹角为，则．【答案】【解析】由题意可得．【考点】（1）向量的模（2）数量积2.在中，，，，则最短边的边长＝．【答案】【解析】，，，由正弦定理得：．【考点】正弦定理3.已知，则的值是．【答案】【解析】，【考点】三角函数的化简求值4.某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确到0．1）”时，设，算得；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他又取的的4个值分别依次是．【答案】1．5， 1．75， 1．875， 1．8125【解析】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是，又方程的近似解是，故后4个区间分别是，故它去的4个值分别为1．5， 1．75， 1．875， 1．8125．【考点】二分法的定义5.已知两圆和相交于两点，则公共弦所在直线的直线方程是．【答案】【解析】两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．【考点】相交弦所在直线的方程6.正六棱锥中，为侧棱的中点，则三棱锥与三棱锥的体积之比＝．【答案】 2：1【解析】由于为的中点，故等于的体积，在底面正六边形中，，而，故，于是，故三棱锥与三棱锥的体积之比为2：1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积三、解答题1.（本题10分）如图所示，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）本题考察的直线与平面垂直的证明，根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出得出．正方形，对角线，由线面垂直的判定定理可证出．（2）取的中点，连接，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出，且，从而得到是平行四边形，可得，结合线面平行判定定理即可证出．试题解析：（Ⅰ）在直三棱柱中，侧面⊥底面，且侧面∩底面=，∵∠=90°，即，∴平面∵平面，∴．∵，，∴是正方形，∴，∴．（Ⅱ）取的中点，连、在△中，、是中点，∴，，又∵，，∴，，分故四边形是平行四边形，∴，而面，平面，∴面【考点】（1）直线与平面垂直的判定（2）直线与平面平行的判定2.已知圆．（1）此方程表示圆，求的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点），求的值；（3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）本题考察的是二元二次方程表示圆的判定，可以把方程化为圆的标准方程，利用半径大于0，即可求得的取值范围．也可以利用公式，也可求得的取值范围．（2）本题考察的线段的垂直，可以转化为向量的垂直，利用向量积为0，即可求出所求的值．本题可以把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及，建立关于的方程，即可求出的值．（3）根据的值即可求出以为直径的圆的圆心和半径，然后根据圆的标准方程，代入所求的圆心和半径，即可得到圆的方程．试题解析：（1）方程，可化为，∵此方程表示圆，∴，即（2）消去得，化简得．设，，则由得，即，∴．将①②两式代入上式得，解之得．（3）由，代入，化简整理得，解得．∴，．∴，∴的中点的坐标为又∴所求圆的半径为∴所求圆的方程为【考点】（1）直线和圆的方程的应用（2）二元二次方程表示圆的条件3.（本小题满分10分）已知函数．（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设，若记，求函数的最大值的表达式．【答案】（1），偶函数；（2）【解析】（1）函数的定义域是使函数有意义的的取值范围，本题考察的是开偶次方根，所以只需使根号下大于等于0就可以了，再求出两个的交集．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，再判断定义域关于原点对称，函数的解析式可以化简的要先化简，再去判断与的关系，即可判断函数的奇偶性．（2）本题考察的是二次函数动轴定区间求最值问题，根据二次函数的图像和性质，对对称轴的位置进行讨论，判断函数在定区间上的单调性，从而判断出最大值再某个点取得，代入即可求出最大值．试题解析：（1）函数有意义，须满足，得，故函数定义域是---2分因为，所以函数是偶函数．（2）设，则，∵，∴，∵，∴，即函数的值域为，即∴令∵抛物线的对称轴为①当时，，函数在上单调递增，∴；②当时，，③当时，，若即时，函数在上单调递减，∴；若即时，；若即时，函数在上单调递增，∴；综上得【考点】（1）函数的奇偶性（2）函数的最值及其几何意义4.已知向量，其中．（1）若，求函数的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且，求的值．【答案】（1），（2）【解析】（1）根据向量的数量积表示出函数的解析式后，令转化为二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出的最小值，及其所对应的x的值．（2）根据向量与的夹角为确定，再由向量与向量的数量积等于0，整理可得，再讲代入即可得到所求答案．试题解析：（1）∵，，∴．令，则，且．则，．∴时，，此时．由于，故．所以函数的最小值为，相应x的值为．（2）∵a与b的夹角为，∴．∵，∴，∴．∵a⊥c，∴．∴，．∴，∴．【考点】平面向量的坐标运算5.（本小题满分14分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且销售量近似满足（件），价格近似满足（元）．（1）试写出该种商品的日销售额与时间（）的函数关系表达式；（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值【答案】（1）（2）最大为1225元，最小为600元．【解析】（1）本题考察是关于函数的应用题，要认真读题，找出题目中的等量关系，建立起关系式．根据可得该种商品的日销售额与时间的函数表达式．（2）本题考察的是分段函数，求关于分段函数的题时，记住一句话分段函数分段求．根据函数的定义域所对应的不同的解析式，求出各段的最值，再进行比较即可得到答案．试题解析：（1）依题意，可得：（2）当时，的取值范围是，在时，取得最大值为1225；当时，的取值范围是，在时，取得最小值为600；综上所述，第五天日销售额最大，最大为1225元；第20天日销售额最小，最小为600元．【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．。
2013年天河区高一数学竞赛成 绩
2013年天河区高一数学竞赛成绩一等奖（27人）序号姓名所在学校获奖等级辅导老师1周铭炜113中一等奖熊祖良2许鹏斌天河中学一等奖黄仿青3翟少驹天河中学一等奖黄仿青4庄书琪113中一等奖熊祖良5孙锦晖113中一等奖熊祖良6谭程47中一等奖胡东7云亮113中一等奖熊祖良8谭颖诗47中一等奖张芬9余杨斌47中一等奖段锦矿10卢嘉俊天河中学一等奖王翠娜11李嘉仪47中一等奖段锦矿12张莱47中一等奖耿晓沙13饶广新47中一等奖段锦矿14田钰鹏47中一等奖张芬15方泳恒113中一等奖叶方祥16刘毓轩47中一等奖杜建文17刘粤龙89中一等奖袁伟林18伍芳正47中一等奖段锦矿19张政韬47中一等奖段锦矿20陈佳德47中一等奖耿晓沙21陈昭伟89中一等奖袁伟林22耿岑然47中一等奖段锦矿23刘海正省实附中一等奖费华菲24彭清47中一等奖段锦矿25郭永杰天河中学一等奖黄仿青26孙于依然47中一等奖段锦矿27程朗琨47中一等奖耿晓沙二等奖（58人）序号姓名所在学校获奖等级辅导老师1胡骜聪113中二等奖熊祖良2侯凌89中二等奖袁伟林3王世杰89中二等奖袁伟林4骆沁君47中二等奖胡东5杨岳霖天河中学二等奖王翠娜6蔡建鑫天河中学二等奖黄仿青7陈锐生天河中学二等奖童承武8曾令瑜47中二等奖胡东9黄宇辉89中二等奖袁伟林10钱力47中二等奖耿晓沙11周明天47中二等奖胡东12黄杰楹47中二等奖段锦矿13苏颂贤47中二等奖耿晓沙14刘逸龙省实附中二等奖柯瑞珍15黄超逸天河中学二等奖李宏伟16江嘉怡天河中学二等奖童承武17叶子文47中二等奖杜建文18梁文钊47中二等奖耿晓沙19潘业蓥113中二等奖熊祖良20徐光登89中二等奖袁伟林21陈镇杭47中二等奖耿晓沙22陈晓欣47中二等奖胡东23潘浩楠东圃中学二等奖戴杏冰24赵思泽47中二等奖胡东25孔德键47中二等奖周君26尹立成47中二等奖陈望胜27胥东44中二等奖杜心怡28梁志健47中二等奖周君29谢雨铮47中二等奖胡东30郑碧莹47中二等奖胡东31黄译葭47中二等奖段锦矿32陈奕同47中二等奖段锦矿33钟宇杰47中二等奖段锦矿34李紫珲47中二等奖何家瑜35王镜郦47中二等奖杜建文36蔡亦涵47中二等奖耿晓沙37陈露洁47中二等奖耿晓沙38王嘉豪省实附中二等奖柯瑞珍39谢洋天河中学二等奖王翠娜40李智睿天河中学二等奖李宏伟41郑会填89中二等奖逄淑艳42吴甲鑫47中二等奖张芬43谢洁47中二等奖杜建文44谢嘉锐89中二等奖逄淑艳45肖旻渝47中二等奖耿晓沙46邓子瑶47中二等奖耿晓沙47陈逸谢47中二等奖段锦矿48刘付强47中二等奖耿晓沙49谭璐天河中学二等奖黄仿青50蔡慧淇天河中学二等奖李宏伟51李梓轩89中二等奖袁伟林52吴杰威89中二等奖逄淑艳53罗健强47中二等奖胡东54黄嘉华47中二等奖胡东55何美琪天河中学二等奖王翠娜56王依君天河中学二等奖黄仿青57陈志彬75中二等奖黄冰桃58李卓燃省实附中二等奖柯瑞珍三等奖（89人）序号姓名所在学校获奖等级辅导老师1陈海斌47中三等奖胡东2李嘉宁47中三等奖胡东3刘相成47中三等奖胡东4罗智恺47中三等奖胡东5陈梓桐47中三等奖陈望胜6李星光47中三等奖陈望胜7吴柳滢47中三等奖张芬8郑桂峰天河中学三等奖李宏伟9吴浩邦天河中学三等奖童承武10李和俊89中三等奖袁伟林11王赣宇47中三等奖耿晓沙12陈嘉乐47中三等奖胡东13章嘉浩47中三等奖段锦矿14李勇47中三等奖耿晓沙15王筱玥113中三等奖熊祖良16骆锦豪89中三等奖袁伟林17谢展鹏89中三等奖逄淑艳18尤玉婷89中三等奖李海英19张恒鑫89中三等奖袁伟林20刘若琳47中三等奖胡东21祝嘉慧47中三等奖杜建文22伦颖聪天河中学三等奖王翠娜23魏晓琪天河中学三等奖李宏伟24袁家顺天河中学三等奖李宏伟25张富杰东圃中学三等奖戴杏冰26余卓洲东圃中学三等奖戴杏冰27孙耿44中三等奖杜心怡28樊敏均89中三等奖袁伟林29钟澔坚47中三等奖张芬30梁炳勋47中三等奖张芬31李晓欣天河中学三等奖黄仿青32黎相坤75中三等奖黄冰桃33文豪75中三等奖黄冰桃34肖旭婧47中三等奖耿晓沙35陈卫47中三等奖周君36梁子骏47中三等奖胡东37徐毅远47中三等奖段锦矿38谢佳欣47中三等奖周君39何佩珊天河中学三等奖黄仿青40黄瀚碧天河中学三等奖童承武41叶茂林75中三等奖黄冰桃42林仲旸113中三等奖谢时冬43徐森涛113中三等奖谢时冬44黄展89中三等奖袁伟林45杜奇宇47中三等奖何家瑜46孙广泉47中三等奖耿晓沙47邓博彦47中三等奖段锦矿48江科衡47中三等奖段锦矿49邹谷原47中三等奖陈望胜50张艺云47中三等奖耿晓沙51郑晓辉省实附中三等奖柯瑞珍52董永谊天河中学三等奖林玉娜53潘健航天河中学三等奖黄仿青54彭靓天河中学三等奖黄仿青55刘剑麟天河中学三等奖李宏伟56胡佳禺75中三等奖黄冰桃57陈泽鑫75中三等奖黄冰桃58许粮锋89中三等奖袁伟林59郑燕玲89中三等奖袁伟林60张泽扬47中三等奖胡东61廖水霞47中三等奖张芬62李存正47中三等奖杜建文63黄桂铃天河中学三等奖王翠娜64梁晓珊天河中学三等奖黄仿青65张振洪天河中学三等奖李宏伟66梁健豪天河中学三等奖童承武67钏小刚天河中学三等奖成东68简颖琳天河中学三等奖成东69梁德诠113中三等奖周舟70钟伟兴89中三等奖逄淑艳71李芝琪47中三等奖周君72吴昭筠47中三等奖耿晓沙73丘浩为47中三等奖耿晓沙74黄磊47中三等奖胡东75吴妃漫47中三等奖张芬76陈苹霖47中三等奖何家瑜77冯展镇47中三等奖张芬78岑炜燊47中三等奖谢林艳79何冠辰47中三等奖耿晓沙80苏军羽47中三等奖耿晓沙81刘成林47中三等奖杜建文82杜嘉君47中三等奖谢林艳83沈富成47中三等奖陈望胜84祝逸洋暨大附中三等奖武瑞恒85叶凯杰天河中学三等奖成东86吴雨静东圃中学三等奖彭红亮87陈森瑜东圃中学三等奖戴杏冰88谭高坚44中三等奖杜心怡89肖佳殷华美三等奖曾旺红。
广东省广州市市天河中学高一数学理联考试题含解析
广东省广州市市天河中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法中正确的个数为①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥⑥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线。
A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B2. 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（）A、 B、 C、 D、参考答案：D3. 设集合，，若，则x的值为（）．A．2 B．0 C．1 D．不能确定参考答案：C，，∵，∴，，∴．故选．4. 若，则是（）A.等腰直角三角形B.有一内角是的直角三角形C.等边三角形D.有一内角是的等腰三角形参考答案：A5. （5分）函数f（x）=x2﹣6x+8在上的最大值和最小值分别为（）A．15，3 B．15，﹣1 C．8，﹣1 D．20，﹣4参考答案：考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．解答：∵f（x）=x2﹣6x+8（﹣1≤x≤2），∴f（x）=（x﹣3）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x=3，当x=3时y有最小值：﹣1，∵﹣1≤x≤5，∴x=﹣1时，f（﹣1）=15是最大值．∴函数的最大值为15，最小值为﹣1．故选：B．点评：本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．6. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记=，=，则向量=（）A．﹣﹣B．﹣+C．﹣D．+参考答案：B【分析】由向量的平行四边形法则、三角形法则可得：=，，即可得出．【解答】解：∵=，，∴==．故选：B．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，属于基础题．7. △ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（）A. B. C. D.参考答案：B8. 已知等差数列满足，则有（）A B C D参考答案：略9. 实数x，y满足，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】对于ACD选项，当x<0,y<0时，显然不成立；对于B可根据指数函数的单调性得到结果.【详解】由题意，当x<0,y<0可得到，而没有意义，此时故A不正确CD也不对；指数函数是定义域上的单调递增函数，又由，则，所以.故B正确；故选B.【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.10. 函数是（）A.奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递增B. 奇函数，在区间(0,+∞) 上单调递减C. 偶函数，在区间(－∞,0) 上单调递增D. 偶函数，在区间(－∞,0) 上单调递减参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 幂函数，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为参考答案：212. 函数的图象为，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)；①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象。
广东省惠州市高一数学竞赛试题
惠州市高一年级数学竞赛试题考试时间1 分值150分一、 选择题（每题5分，共30分）1．非空集合S {},,5,4,3,2,1⊆且若,S a ∈则必有S a ∈-6，则所有满足上述条件的集合S 共有（ ）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2 当01x <<时，()lg xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ）．A ．22()()()f x f x f x <<B ．22()()()f x f x f x <<C ．22()()()f x f x f x <<D ．22()()()f x f x f x <<3．有三个命题：（1）空间四边形ABCD 中，若AC=BC ，AD=BD ，则AB ⊥CD ． （2）过平面α的一条斜线l 存在一个平面与α垂直．（3）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直． 其中正确的命题个数（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点． 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点．若它停在 奇数点上，则下一次．只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳 两个点．该蛙从5这点跳起，经次．跳后它将停在的点是 A ．1B ．2C ．3D ．45．若)(,1,0x F a a≠>是R 上的奇函数，则)2111)(()(+-=xa x F x G 是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．奇偶性与a 相关6．对于每一个实数x ，设x x x x f 242,14)(-++和是三个函数中的最小值，则)(x f 的最大值是（ ）．A ．38B ．3C ．32D ．217．若有样本容量为8的样本平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据为4，现在样本容量为9，则样本平均数和方差分别为（ ）．A ．81296,935 B ．81296,944 C ．917,935 D ．81152,944 8．已知定义域为R 上的函数)(,2),2()2()(x f x x f x f x f 时当满足<--=+单调递增，如果124,x x +<且12(2)(2)0,x x --<则12()()f x f x +的值（ ）A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负二、 填空题（每题5分，共30分） 9．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且对任意的R x ∈，有[]1)()(1)2(+=-+x f x f x f 成立．若=-=)2008(,2)2(f f 则 ．10．已知)(x f 是定义在（1,1-）上的偶函数，且在()1,0上为增函数，若0)4()2(2<---a f a f ，则实数a 的取值范围 ．11．在空间直角坐标系中，已知点A 的坐标是（1，2-，11），点B 的坐标是 （4，2，3），点C 的坐标是（6，1-，4），则三角形ABC 的面积是 ．12．若实数b a ,满足条件014222=+--+b a b a ， 则代数式2+a b 的取值范围是 ．13．已知函数2212)(x x x f +=，那么)21()2008()3()2()1(f f f f f +++++ +)20081()31(f f ++ = ． 14．用S （n ）表示自然数n 的数字和，例如：S （10）=1+0=1，S （909）=9+0+9=18，若对于任何n N ∈，都有()n S n x +≠，满足这个条件的最大的两位数x 的值是 ．三、 解答题(本题共80分) 15．（本小题12分） 已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin )2222x x x x ==-a b ，其中[,]22x ππ∈-. （1）求证：()()+⊥-a b a b ；（2）设函数2()f x =⋅+a b b ，求()f x 的最大值和最小值16．（本小题12分）已知2()log f t t =，t ∈，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围．17．（本小题14分）已知圆()()22:122,C x y -+-=点(2,1)P -，过P 点作圆C 的切线,,,PA PB A B 为切点．（1）求,PA PB 所在直线的方程； （2）求切线长PA ； （3）求直线AB 的方程．18．（本小题14分）右图是一个直三棱柱（以111C B A 为底面） 被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ． 已知111111111,90,4A B B C A B C AA ==∠==．112,3BB CC ==．（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111C B A ； （2）证明：BC ⊥AC ，并求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积．19．（本小题14分）已知一次函数b ax x f +=)(与二次函数2()g x ax bx c =++，满足a b c >>，且).,,(0R c b a c b a ∈=++（1）求证：函数)()(x g y x f y ==与的图象有两个不同的交点A,B ； （2）设A 1,B 1是A,B 两点在x 轴上的射影,求线段A 1B 1长的取值范围； （3）求证：当3-≤x 时,)()(x g x f <恒成立.本小题14分）设n c bx ax x x f n ,)(2+++=为自然数，已知9)2(,6)1(,0)1(-=-==-f f f ，119)6(,4)3(=-=f f ，求)(x f ．参考答案二、填空题：（每小题5分，共30分）9、3 10、()()5,22,3⋃ 11、12[0,]513、 4015 14、97 三、解答题：（共80分） 15．已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin )2222x x x x ==-a b ，其中[,]22x ππ∈-. （1）求证：()()+⊥-a b a b ；（2）设函数2()f x =⋅+a b b ，求()f x 的最大值和最小值 解：（1）22()()+⋅-=-=-=22a b a b a b a b 222233cossin (cos sin )1102222x xx x +-+=-= 所以，()()+⊥-a b a b （2）2()f x =⋅+a b b 33cos cos sin sin 12222x xx x =-+ cos21x =+当 2,x k k z π=∈ max 2y = 2,x k k z ππ=+∈ min 0y =16．（本小题12分）已知2()log ,f t t t =∈，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围．解：2()log ,f t t t =∈，1[,3]2m ∴∈ ……………………………………2分22424(2)440x mx m x x m x x ++>+⇔-+-+>令2()(2)44g m x m x x =-+-+，由题意知：当1[,3]2m ∈时，恒有()0g m >， (5)分当2x =时，不满足题意． ……………………………………………………………7分当2x ≠时，有1()02(3)0g g ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：1x <-或2x >．(,1)(2,)x ∴∈-∞-+∞． (12)分17．（本小题14分）已知圆()()22:122,C x y -+-=点(2,1)P -，过P 点作圆C 的切线,,,PA PB A B 为切点．（1）求,PA PB 所在直线的方程； （2）求切线长PA ； （3）求直线AB 的方程． 解：①设切线的斜率为k ，切线方程为)2(1-=-x k y ，即,012=---k y kx 又C （1，2），半经2=r由点到直线的距离公式得：22)1(1222-+---=k k k ，解之得：7=k 或1-=k ．故所求切线PA 、PB 的方程分别为：0157,01=--=-+y x y x ．……………………4分 ②连结AC 、PC ，则 AC ⊥PA ，在三角形APC 中,10,2==PC AC22210=-=∴PA ．……………………………………………………………8分 ③解法1：设()()2211,,,y x B y x A ，则()()()2)2(1,22122222121=-+-=-+-y x y x ．因AC ⊥AP ，所以1-=⋅AP CA k k ，121121111-=-+⋅--∴x y x y ． 0)1()2(3)2()1(112121=---+-+-∴x y y x ．2)2()1(2121=-+-y x ， ………………………………………………………… 10分上式化简为：03311=+-y x ．同理可得：03322=+-y x ． ………………………………………………………… 12分 因为A 、B 两点的坐标都满足方程033=+-y x ．所以直线AB 的方程为033=+-y x ． …………………………………………………14分解法2：因为A 、B 两点在以CP 为直经的圆上．CP 的中点坐标为（21,23），又21021=CP 所以以CP 为直经的圆的方程为：03)210()21()23(22222=--+=-+-y x y x y x 即，又圆C 的一般方程为034222=+--+y x y x ，两式相减得直线AB 的直线方程： 033=+-y x ． …………………………………………………………………………14分18．（本小题14分）右图是一个直三棱柱（以111C B A 为底面） 被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111111111,90,4,2,3A B B C A B C AA BB CC ==∠====． （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面A 1B 1C 1； （2）证明BC ⊥AC ，求二面角B —AC —A1的大小； （3）求此几何体的体积．解：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．……………………………………4分（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1A C ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ==+．11A 2所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为2BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH =∠， 即：所求二面角的大小为30． ……………………………………………………9分（3）因为2BH =，所以22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -=⋅=⋅+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -=⋅=⋅=△．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． …………………………14分19．（本小题14分）已知一次函数b ax x f +=)(与二次函数2()g x ax bx c =++，满足a b c >>，且).,,(0R c b a c b a ∈=++（1）求证：函数)()(x g y x f y ==与的图象有两个不同的交点A,B ； （2）设A 1,B 1是A,B 两点在x 轴上的射影,求线段A 1B 1长的取值范围； （3）求证：当3-≤x 时,)()(x g x f <恒成立.解：（1）由0)(,)()(22=-+--++=+=b c x b a ax c bx ax x g b ax x f 得和，………… 2分则2()4,,0(,,).a b ac a b c a b c a b c R ∆=+->>++=∈又且0,0,0,a c ><∴∆>则 …………………………………………………………………4分∴函数)()(x g y x f y ==与的图象有两个不同的交点A,B ； ---5分（2）由1212()(),a b c b x x x x a a--+==，则： 4)2(||||22111--==-=acx x B A ， (7)分又因为,0(,,).a b c a b c a b c R >>++=∈且122c a -<<-则，113||(2A B ∈ …………………………………………… 9分（3）设b c x b a ax x f x g x F -+--=-=)()()()(2的两根为21,x x 满足21x x <，则3212<-x x ， …………………………………………………………………… 10分又()y F x =的对称轴为：,02>-=a b a x 于是321<--x aba ， ∴aba x ab a 23231-<<--<-， 由此得：当3-≤x 时，,21aba x x -<< (12)分又)2,()(,0aba x F a --∞>在知上为单调递减函数，于是，,0)()(1=<x F x F 即当)()(,3x g x f x <-≤时恒成立． ……………………………………………… 14分本小题14分）设n c bx ax x x f n,)(2+++=为自然数，已知(1)0,(1)6,f f -==-(2)9f =-，119)6(,4)3(=-=f f ，求)(x f ．解：由题设有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++⋅=-=+++=-=+++=-=+++==+-+-=-11963632)6(4393)3(9242)2(61)1(0)1()1(c b a f c b a f c b a f c b a f c b a f n n n n n ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅-=++--=++--=++-=++--=+-n n n nn c b a c b a c b a c b a c b a 32119636343929247)1(所以13(1)22,61(1)7,214(1)2,3n nnn n a b c ⎧⎡⎤=---⋅⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=--⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=----⎪⎣⎦⎩⑴ ……………………………………………… 5分① 当n 为奇数时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=-=).211(31,4),22(31n n c b a将上列各式的值代入⑴中得：11382170,233523680,n nn n n++⎧-⋅-=⎪⎨⋅-⋅-=⎪⎩ 消去13+n ，得：018429)2(42=-⋅-⋅n n ． 解得,3=n 从而,1,4,2-=-=-=c b a故得：.142)(23---=x x x x f ………………………………………………… 11分② 当n 为偶数时，3213,3,321nn c b a +-=-=-=， 同①可得方程：.09724)2(22=-⋅-⋅nn 这时无整数解n ，故.142)(23---=x x x x f ……………………………………………14分。
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知
……….8分
……..12分
即 成立的 的取值集合是 …..14分
20.解：（1）由 ，整理得 ……..2分
若直线和圆C相切，则有圆心 到 的距离 ，
即 ……………………………6分
（2）、设存在满足条件的直线
由 消去 ，得
（1）……………………8分
设直线 和圆C的交点为A ，B ，则 是方程（1）的两根
（2）……………….10分
由题意有：
即
即 （3）
将（2）代入（3）得： ……………………………….12分
解得：
所以满足条件得直线 为： …………….14分
1．A2．D3.C4.D5.B
6．C7.C8：A9、D10．D
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．{x|x<0}
12．解析(数形结合)由图形可知点A 在圆 的内部,圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 ,所以
13、
14． （或底面为菱形、正方形）.
三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
天河区06-07学年下学期高一数学竞赛试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为（）
(A)(x2)2y25；(B)x2(y2)25；
(C)(x2)2(y2)25；(D)x2(y2)25。
2．已知 的边长为1， = 那么 等于（）
（A）3（B）－3（C） （D）
3.对于平面 和共面的直线 、 下列命题中真命题是（）
（A）若 则 （B）若 则
（C）若 则 （D）若 、 与 所成的角相等，则
4.在四边形ABCD中， ， ， ，
则四边形ABCD的形状是（）
（A）长方形（B）平行四边形（Ｃ）菱形（Ｄ）梯形
5.设锐角使关于x的方程 有相等实数根，则的弧度数为（）
（A） （B） （C） （D）
6、方程 的实根的个数是（）
（A）0（B）1（Ｃ）2（Ｄ）3
7、函数 的最小值是( )
（A） （B） （C） （D）
8．函数 的图象关于 轴对称，则 ( )
（A） （B）
（C） （D）
9.若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，当x∈(0，1)时，f(x) = ，则 的值是（）
20. (本小题14分)已知圆C: ,直线 。
（1）若直线 与圆 相切，求实数 的值；
（2）是否存在直线 ，使 与圆 交于 两点，且以 为直径的圆过原点？
如果存在，求出直线 的方程，如果不存在，说明理由。
天河区06-07学年下学期高一数学竞赛试题答卷
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
成绩
姓名学校学号
15、解：（1）解法一：由 得 则 α= ..2分
因为 所以 ……….4分
……7分
解法二：由 得
解得 或 由已知 故舍去 得
因此， 那么
且
故
（2） ， ，
，∴ ， ，
则 =
= ………13分
16.解：（1）依题意： ， ，……………………………………………4分
则 平面 .……………………………………………………………………………7分
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
题号
11
12
13
14
答案
三、解答题：
15.
16.
17.
18.
19.
20.
天河区06-07学年下学期高一数学竞赛试题参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（A） （B） （C） （D）
10．已知函数 对定义域内的任意 都有 成立，则实数 的值为（）
（ ） （ ） （ ）1（ ）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．函数 的定义域是；
12．过点A（1， ）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝．
（2） ………13分（公式3分，计算3分）
17、解（1）当 时， ………2分
由 解得 …………………………4分
故当 时，函数 的零点为－1，3………………6分
（2）因函数 恒有两个相异的零点，
即 恒有两个相异的实数根，……………8分
得 恒成立………………10分
于是对上面关于b的不等式，有
，解得 …………….12分
15.(本小题13分，其中（1）7分，（2）6分)
（1）已知 ， ．求 和 的值．
（2）已知 ，sin( )=－ sin
求cos 的值
16. (本小题13分)长方体 中， ， ，
是侧棱 的中点.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积；
17.已知函数
（1）当 时，求函数 的零点；
（2）若对任意实数 ，函数 恒有两个相异的零点，求实数 的取值范围。
18.(本小题13分)已知向量 满足， 且 的夹角为60°．
（Ⅰ）当 的模取最小值时，求t的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： 与 垂直．
19. (本小题14分)设向量 ＝(sinx，cosx)， ＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝ .
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥ 成立的x的取值集。
故对任意实数b，函数 恒有两个相异得零点，实数a的取值范围是（0，1）…13分
18、解：（Ⅰ）∵ 取最小值时， 2也取最小值，而
2＝ ＝ ．…….5分
∴当 时， 取得最小值．即 取得最小值．………7分
（Ⅱ） ……………..10分
＝ ，………12分
∴ ．……………13分
19、解：
（Ⅰ）∵ ……2分
………………4分
13、设COS2θ= ，则COS4θ+sin4θ的值是
14、如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件___________________时，有A1B⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）